（应用数学专业论文）半群理论在markov链中的应用.pdf

半群理论在m a r k o v 链中的应用 应用数学专业硕士研究生文兴易 指导教师李扬荣教授 摘要 本文主要利用矩阵半群和积分半群的理论研究连续时间m a r k o v 链首先在矩阵算子和 算子半群理论的基础上定义了l 。空间上一种新的半群一一w + 连续矩阵半群，并研究了该半 群的生成元定理 然后将加+ 连续矩阵半群的理论应用到连续时间m a r k o v 链中，对转移函数进行研究， 得到转移函数与2 。空间上正坩+ 连续压缩矩阵半群的一一对应关系，和转移函数满足k o l - m o g o r o v 前、后项方程的充要条件，以及对一个稳定的q - 矩阵，t d , q - 函数是f e l l e r 的充 要条件 另外本文还研究了m a r k o v 积分半群的性质，得到了m a r k o v 积分半群忠实性的一系列 等价描述，并证明了m a r k o v 积分半群具有二次可微性 关键词：矿连续矩阵半群转移函数q - 函数q - 矩阵k o l m o g o r o v 前项方程 k o l m o g o r o v 后项方程m a r k o v 积分半群 t h e o r e mo fs e m i g r o u pa n da p p l i c a t i o nt om a r k o vc h a i n s m a j o r a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y a p p l i e df u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p | y a n g r o n gl i a u t h o r x i n g y iw e n ( 11 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 5 0 ) i nt h i sp a p e r ，u s i n gt h et h e o r e mo fm a t r i xs e m i g r o u pa n di n t e g r a t e ds e m i g r o u p ，w e m a i n l ys t u d yt h eq u e s t i o n so fc o n t i n u o u st i m em a r k o vc h a i n s f i r s to fa l l ，w ed e f i n ea n e ws e m i g r o u po nl o 。一一w + c o n t i n u o u sm a t r i xs e m i g r o u pa n do b t a i nt h eh i l l e - y o s i d a t h e n ，w ea p p l yt h et h e o r e mo fw + c o n t i n u o u sm a t r i xs e m i g r o u pt oc o n t i n u o u st i m e m a r k o vc h a i n s b ys t u d y i n gt h et r a n s i t i o nf u n c t i o n ，w eo b t a i nt h eo n e - t o - o n er e l a t i o n s h i p b e t - w e e nt r a n s i t i o nf u n c t i o na n dp o s i t i v ew + c o n t i n u o u sm a t r i xc o n t r a c ts e m i g r o u p ，g e t t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h et r a n s i t i o nf u n c t i o ns a t i s f yk o l m o g o r o v f o r w a r da n db a c k w a r de q u a t i o n s ，a n ds h o wf o ras t a b l eqm a t r i x ，u n d e rw h a tc o n d i t i o n t h em i n i m a lq - f u n c t i o ni sf e l l e r w h a t sm o r e ，i nt h i sp a p e r ，w ed i c t i o nt h ep r o p e r t i e so fm a r k o vi n t e g r a t e ds e m i - g r o u p i e t h ep r o p e r t yo fh o n e s ta n dt w i c ed i f f e r e n t i a b l e k e yw o r d s ：w 。c o n t i n u o u sm a t r i xs e m i g r o u p ，t r a n s i t i o nf u n c t i o n ，q - f u n c t i o n ，q - m a t r i x ，e v o l u t i o n a r ys u i c i d e ，k o l m o g o r o vf o r w a r df u n c t i o n ，k o l m o g o r o vb a c k w a r df u n c - t i o n ，i n t e g r a t e ds e m i g r o u p 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：喜孙 签字吼砷年年月万日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者张客易易 导师馘李扬甍 签字日期：b 一9 7 年4 月玎日 签字日期： d7 年6 月吝日 f 7 第一章引言和预备知识 1 1 引言 有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生和发展起来的，作为泛函分析 的一个重要分支越来越被人们所重视。算子半群理论在解决抽象发展方程、c a u c h y 问题及在m a r k o v 过程的系统研究中都成为基本的数学工具自从1 9 4 8 年，h i l l e 和y o s i d a 发现生成元定理以来，有界线性算子半群理论已得到迅速的发展，它是 一个在分布参数系统、现代控制理论、滤波和信息处理、偏微分方程及随机过程等 许多分析领域都有广泛的应用的数学课题 m a r k o v 过程最初是由俄国数学家m a r k o v 提出，至今已发展成为随机过程中 最富理论意义和应用价值的重要分支之一它与泛函分析、微分方程、微分几何、 理论物理等学科密切相关一方面它用到这些学科中的许多结果；另一方面，它 又在方法上丰富了这些学科从应用上来看，许多具体的m a r k o v 过程如布朗运 动、p o i s s o n 过程、扩散过程在兴起的系统论、自组织理论、数理经济学中都有广泛 的应用 关于m a r k o v 过程的研究，历来有概率方法和分析方法许多物理学家、生 物学家、化学家钟爱概率方法，而分析方法更适用于将m a r k o v 过程与现代数学 的成果联系起来。例如角谷静夫、d o o b 等人发现的布朗运动与狄利克雷问题的联 系，h u n t 等人研究的一般的m a r k o v 过程与位势理论的联系，以及最近十几年发展 起来的m a l l i a v i n 分析都是这方面的例证随着算子半群理论的产生和发展，数学 家开始用算子半群理论研究m a r k o v 链，并且取得了用概率方法无法得到的广泛结 论例如f e l l e r 和r e u t e r 在参数连续m a r k o v 链中引入的有界线性算子半群方法得 到的丰富结果，以及最近李扬荣建立的m a r k o v 积分半群理论都是这方面的例证 本文着力于使用分析的方法，以矩阵算子和算子半群理论为工具，研究矩阵 半群理论及其在连续时间m a r k o v 链中的应用 1 2 文献综述 由连续时间m a r k o v 链( 文献 1 】) 可知，给定一个m a r k o v 链，存在一个与之相 l 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 对应的转移函数；反过来，给定一个转移函数，总能构造一个m a r k o v 链，使得此 转移函数就是该m a r k o v 链所对应的转移函数，也就是说转移函数与m a r k o v 链是 一一对应的。因此，转移函数在m a r k o v 链理论中有非常重要的地位，我们甚至可 以说转移函数就是m a r k o v 链 然而，转移函数作为序列空间上有界算子，具有与算子半群类似的性质因此 利用半群理论来研究m a r k o v 链，很大程度上可以归结为首先寻找合适的半群理论 对转移函数进行刻画然后以此为桥梁，利用半群理论去解决m a r k o v 链中的各种 问题。例如文献 1 】证明了转移函数与1 1 空间上正强连续压缩半群一一对应文献 【2 】证明了f e l l e r 转移函数与c o 空间上正强连续压缩半群一一对应 本文沿着上面的思路，第二章在2 0 。空间上定义一种新的半群一一w 连续矩 阵半群，并且研究了该半群的生成元定理 第三章将k 空间上w + 连续矩阵半群的理论应用的连续时间m a r k o v 链中，对 转移函数进行刻画，得出转移函数与k 上正w + 连续压缩矩阵半群的一一对应关 系，以及转移函数满足k o l m o g o r o v 前、后项方程的充要条件最后应用到f e l l e rq - 函数中，解决了如下问题： 问题对一个稳定的q - 矩阵，其最小q 函数是f e l l e r 的充要条件是什么? 这个问题最早是由r e u t e r 和r i l e y 在1 9 7 2 年文献 3 1 中提出来的，当时只给出 了充分条件后来很多学者对该问题作了研究，1 9 9 9 年陈安跃和张汉君在文献 4 】 对一类特殊的q 矩阵给出了充要条件直到2 0 0 8 年李扬荣在文献 9 】中利用积分 半群的理论给出了一个充要条件，但是结论比较复杂本文利用k 上w 连续矩 阵半群理论再次解决了该问题，并得到较为简洁的结论 这是w + 连续矩阵半群理论在m a r k o v 链中的首次应用，为研究m a r k o v 链提 供了一种全新方法，对半群理论和m a r k o v 理论的发展都有重要的意义 另外，自从李扬荣在文献 9 中提出m a r k o v 积分半群的概念以来，m a r k o v 积 分半群成为研究连续时间m a r k o v 链的一个重要的工具本文也将对m a r k o v 积分 半群的性质进行研究第四章给出m a r k o v 积分半群忠实性的一系列等价描述，并 且证明m a r k o v 积分半群具有二次可微性这对m a r k o v 积分半群的进一步应用有 非常重要的意义。 2 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 1 3 预备知识 为了叙述方便，我们列出一些相关的概念及相关的结果 定义1 3 1 6 | ( 强连续半群) 设x 是b a n a c h 空间， t ( t ) ；t o 】是映x 到x 内的有界线性算子的单参数簇如果它满足： ( j ) t ( o ) = j ( j 是x 上的恒等算子) i ( 2 ) t ( s + t ) = t ( s ) t ( t ) 对一切s ，t 0 成立( 4 - 群性质) ； ( ? ) ! i i t ( t ) x x l l = 0 对一切z x 成立( 强连续性) 则称 t ( t ) ；t 0 ) 是强连续半群或c o 类半群，简称岛半群 定义线性算子a 如下： 刚h x ex ；舰笔! 存在) 且对任意的z d ( a ) ，规定 az=lim业型=丁d+t(t)xt-,ot 山 d t 则称a 是半群 丁( t ) ；t 0 ) 的无穷小生成元，简称生成元，d ( a ) 是生成元a 的定 义域 定义1 3 2 【6 | 设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的c o 半群，如果对任意的t 0 有 i i t ( t ) l l 1 ，则称t ( ) 为强连续压缩半群或c o 压缩半群，简称压缩半群 定g 1 3 3 【6 1 设x 是b a n a c h 空间，x + 是其对偶空间，对v x x ，称 f ( z ) = z + ：z + x ，( z ，z ) = i l x l l 2 = i i x + 1 1 2 ) 为z 的对偶集 ( 注：若矿x 4 ，z x ，符号( z + ，z ) 或( z ，矿) 都表示z + 在z 点的值) 线性算子a 是耗散算子，如果它满足对比d ( a ) ，存在z + f ( z ) ，使得有 r e ( a x ，矿) 0 3 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 理： 引理1 - 3 1 【翻线性算子a 是耗散算子当且仅当 ( a ，一a ) x l i a i i z | | vz d ( a ) ，a 0 关于岛压缩半群的两个经典刻画一一觑f l e y o s i d a 定理和l u m e r - p h i l i p s 定 定理1 3 1 【翻( 觑f l e y o s i d a 定理) 一个( l g - ) 算子a 是b a n a c h 空间x 上的 岛压缩半群t ( t ) 的生成元的充要条件是： ( j ) a 是稠定的闭算子； ( 2 ) ( 0 ，+ o o ) cp ( a ) 且预解算子r ( a ：a ) 满足 i i r ( 入：刮i 妻 va o 定t $ 1 3 2 【6 | ( l u m e r - p h i l i p s 定理) 设a 是b a n a c h 空间x 上的一个稠定线 性算子， ( j ) 如果a 是耗散算子且存在一个知 0 使得i m ( a o i a ) = x ，那么a 是x 上 某个压缩半群t ( t ) 的生成元； ( 2 ) 如果a 是x 上压缩半群t ( t ) 的生成元，那么对v a 0 ，有i m ( m a ) = x 且a 是耗散算子另外，对比d ( a ) 及比+ f ( z ) ，有r e ( a x ，矿) 0 定h i 3 3 【6 | 若s 为空间x 上的有界算子，s 为其对偶算子，则矿为x + 上的有界算予且i i 舻| | = i i s l l 定理1 3 4 6 | 设a 为空间x 上稠定的线性算子，a 4 为其对偶算子，若a j d ( a ) ，贝l ja p ( a + ) 且r ( 入，a + ) = r ( 入，a ) + 定义1 - 3 4 1 1 ( 参数连续m a 他o v 链) 以可数集e = 0 ，1 ，2 ，) 为状态空间， 定义在概率空间( q ，f ，p ( r ) ) 上的随机过程 x ( ) ；o t 称作参数连续m a 吨o v 链， 如果满足对任意有限个“时间”参数0 t l t 2 t 。t n + l ，及相应的状态 i l , i 2 ，i n - l , i ，歹，当b x ( 如) = i ，x ( t n 一1 ) = i n - 1 ，x ( t 1 ) = i l 0 时，有 p r x ( t 。+ 1 ) = j l x ( t 。) = i ，x ( t 。一1 ) = i n - 1 ，x ( h ) = i l 4 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 = g x ( t 。+ 1 ) = j l x ( t n ) = i 此等式称为m a 他o v 性质如果对于s ，t 满足0 s t 及任意i ，j e ，条件概率 b x ( t ) = j i x ( 8 ) = t ) 只依赖于t s 而与s ，t 无关，则称随机过程 x ( ) ；o ) 是 齐次m a 兆o v 链此时只 x ( t ) = j l x ( 8 ) = i ) = b x 一8 ) = j l x ( 0 ) = i ) 称 w j ( t ) = b x ( t ) = j l x ( 0 ) = i 】 vi ，j e ，t 0 为该随机过程的转移函数 由参数连续m a x k o v 链理论 1 1 知道，任何一个m a r k o v 过程被它的转移函数唯 一确定，因此，对m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究标准转移函数 的定义如下； 定义1 3 5 【司( 标准转移函数) 设可数集e = o ，l ，2 ，) 是状态空间p ( ) = 扫巧( t ) ；i ，j e ，t o 】称为标准的转移函数，如果它满足： 如果i = 歹 如果i j ( 功对任意的i e , t o ，岳p 巧( 。) 1 i 特别地，若对耽o ，e ，j 甚p 巧( ) = 1 ， 则称 ( t ) ；i ，j e ，t 0 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 了) 对任意的t ，j e ，黝0 + 8 ) = 仇南( ) p 幻( s ) i ( 彳) 对任意的i e ，：。i m 。p i ( t ) = 1 或等价的，对任意的i ，j e ，；觋黝( t ) = ( 标 准性) 本文始终假定转移函数是标准的，即满足上面的1 到4 同时由文献 1 】知， 对于一个标准的转移函数来说，一定存在如下形式的极限： l i m 型尘鱼：vi ，j e t - - * 0t 。 我们规定q = q i 3 ；i ，j e ) ，则得到q - 矩阵q 及相关概念的定义 5 ，j_、 i i 如 = 且 e ： 一 巩m 一 的意 任 对 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 定义1 3 6 i i ( 口矩阵) 矩阵q = q i j ；i ，j e 】称为q 一矩阵，如果它满足： 0 0 满足、 ( j ) ( a ) 20 i 6 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 引言和预备知识 ( 2 ) a j e ( a ) 1 i ( 3 ) ( a ) 一( ，正) 4 - ( a p ) k 6 e n 七( 入) r 幻( p ) = 0 ( 预解方程) i ( 彳) 、l i ma r “( a ) = 1 或等价地，、l i ma ( a ) = a _ + 0 4 - 设只j ( t ) 是转移函数，则其相应的预解函数定义为 ，十。o r 玎( 2 9 = e a 。p 巧( t ) d t vi ，j e ，a 0 ，0 定g 1 3 1 0 【司转移函数p ( t ) = 甜( t ) ) 称为f e l l e r - r e u t e r - r i l e y 转移函数( 简 称f e l l e r 转移函数) ，如果满足 1 i m 黝( t ) = 0 ， vj e ，t 0 l 十。 在本文中涉及到如下序列b a n a c h 空间 f 1 = z = ( x i ；i e ) i i x d + 。o ) ，i l x l l l 。= i 6 e l e e f m = z = ( 翰；t e ) l 8 酱i x i l + 。】- ，l o o = s u plxii6 i 6 e i ； e c o2 z = ( e ) i 三瓤20 ， c o2 涩阱x i l + 十i # p 定义1 3 2 0 1 1 1 设q 为q 矩阵，分别在1 1 ，k ，c o 空间上定义算子q ，q 1 ，q 。，q o 如下： 可西= ! q ，y d ( 亩) = 哪m 礼【乞】 哟! = 们，掣d ( q 1 ) = ! ，f 1 ； y i q i j i + 。，且i y i q i j 4 - 0 0 i 6 e j e el e e q 。z = q z ，z d ( q o o ) = ( z 2 0 。；q z l 。】 q o x = q z ，z d ( q o ) = z c o ；q z c o 这里y 是行向量，z 是列向量；并且注意到，当z l 。dc o 时，q z 一定是有意 义的，即对e ，都有j e q i j x j + 本文所用的其它定义、定理直接参考对应文献 7 第二章f o o 空间上w 4 连续矩阵半群 半群的生成元定理，在半群理论中有着相当重要的地位文献【6 ，7 ，8 认为i t 上的岛半群的对偶在2 。上一般不具有强连续性，但是在w + 拓扑下是连续的然 而正如文献 9 】所述，在连续时间m a r k o v 链的研究中，我们更感兴趣的是k 上的 矩阵算子半群本章在l 。上定义一种新的半群，并给出其生成元定理 2 1k 空间上w + 连续矩阵半群的定义 定义2 1 1 2 0 。上的一个有界线性算子a ，称为矩阵算子，如果存在一个无穷 矩阵b = ( b i j ；i ，j e ) 满足s u p i i 0 有a qc 入一a + = ( a a ) + 因为a 是岛 半群的无穷小生成元，则r ( a a ) = l l ，于是r ( a a ) 在1 1 中稠密由【1 1 】中定理 4 4 1 2 可得( a a ) 在k 中是单射又因为q 是矿连续压缩半群的无穷小生成 元，由引理1 可得r ( a q ) = 1 0 。则由文献 1 2 】引理5 5 可得a q = a a + 所以 q = a + 口 引理2 2 3 设h ( t ) 是l 。上的w + 连续压缩半群，则存在1 1 上的有界线性算 子t ( t ) ，使得t ( t ) + = h ( t ) 且t ( t ) 是1 1 上的岛压缩半群 p r o o f 设h ( t ) 是z 。上的w 连续压缩半群，对v x 2 l ，z + z 。有 ( h ( o ) x 4 ，z ) = ( z 。，z ) = ( z + ，t ( o ) z ) 由矿的任意性得t ( o ) = j 同理可得t ( + 8 ) = t ( t ) f ( s ) 另外，因为罂i m u ( t ( t ) + 矿，z ) = ( 矿，z ) 2 觋( 矿，t ( t ) z ) 所以t ( t ) x 在z 1 中是弱连 续的由 1 1 中引理1 4 7 可得t ( ) z 在z l 中强连续，即! i m u t ( t ) z 2 z ，所以t ( ) 是 2 1 上的岛压缩半群 口 有了上面这些引理，我们可以得到本节的主要定理： 定理2 2 1 设a 是2 。o 上的一个线性算子，则a 生成一个伽+ 连续压缩矩阵 半群当且仅当a 满足。 ( j ) 在叫拓扑下，a 是k 上的稠定的闭算子； ( 2 ) ( o ，+ o o ) cp ( a ) 且j jr ( a ，a ) j j ； ( 3 ) 存在z 1 上的一个稠定的闭算子a 使得a + = a 】o 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r2 l 空间上+ 连续矩阵半群 p r o o f 充分性，设a 生成w 连续压缩矩阵半群g ( ) ，由引理2 2 1 可得条件( 1 ) 和 ( 2 ) 成立再由a ( t ) 是z 。上的矩阵算子，则存在t ( t ) b ( 1 ) 使得a ( t ) = t ( t ) + 由引理2 2 3 可得t ( t ) 是1 1 上的岛压缩半群，令其无穷小生成元为a ，则a 是1 1 上的稠定闭算子且a = a ，因此条件( 3 ) 也是成立的 必要性，由文献 1 0 中定理2 8 可得，当a 满足条件( 1 ) 和( 2 ) 时a 生成z 。o 上的w 连续压缩半群g ( t ) ，下面只需说明a ( t ) 还是矩阵算子即可。事实上，由 条件( 2 ) 和( 3 ) 得( 0 ，+ 。) p ( a ) = p ( a + ) = p ( a ) 且妾e l la al i = 1 ia a + i l = 0 ( a a ) i i = 1 ia ai i 又因为a 是z l 上的一个稠定的闭算子，由【6 】中定理1 3 1 可 知a 生成了f 1 上的岛压缩半群t ( t ) ，t ( t ) + 是2 。上的w 连续压缩矩阵半群，其 生成元为a 而a = a ，则a ( t ) = f ( 矿是上的一个矩阵算子。所以a 生成一 个w + 连续压缩矩阵半群 口 第三章w + 连续矩阵半群在m a r k o v 链中的应用 本章将? 。上伽+ 连续矩阵半群的理论应用的连续时间m a r k o v 链中，对转移 函数进行刻画，得到转移函数与l 。上正w 连续压缩矩阵半群一一对应关系，和 转移函数满足k o l m o g o r o v 前、后项方程的充要条件最后应用到f e l l e rq - 函数中， 得到对一个稳定的q 矩阵，最小q 函数是f e l l e r 的充要条件这是矩阵半群理论 在m a r k o v 链中的首次应用，为研究m a r k o v 链提供了一种全新的方法 3 1k 空间上w + 连续矩阵半群与转移函数 定理3 1 1 p ( t ) = 0 场( t ) ) 是一个转移函数，则其对偶p + ( t ) = 0 0 ( t ) ) 是 o o 上 的一个正w 连续压缩矩阵半群，且孺( t ) = 黝( t ) p r o o f 因为p ( t ) 是一个转移函数，则p ( t ) 是f 1 上的一个岛压缩半群，并且p i j ( t ) 0 所以p + ( t ) 是l o 。上的一个矩阵算子，且满足对比k ，z 1 1 均有 = = ( 3 1 1 ) = = - - - ( 3 1 2 ) = _ 当t 一0 ( 3 1 3 ) 由( 3 1 1 ) 可得p + ( o ) = 1 ；由( 3 1 2 ) 可得p + ( + 8 ) = p ( ) p + ( s ) = p + ( s ) p + ( ) ； 由( 3 1 3 ) 可得p 4 ( t ) 扩 一3 * 矿当t _ 0 所以p + ( ) 是k 上的一个w 连续矩阵半 群又因为l ip ( t ) l i = 1 lp ( t ) 临1 并且 p i + j ( t ) = = = p i j ( t ) 0 其中e i ，e j 分别为1 1 和l 的单位向量，所以p + ( t ) 是f 上的一个正w + 连续压缩 矩阵半群，且p b ( t ) = 胁j ( t ) 口 相反，我们会有如下定理。 定理3 1 2 a ( t ) = ( ( t ) ) 是f 上的一个正w + 连续压缩矩阵半群，则存在惟 一的转移函数p ( t ) ，使得a ( t ) = p + ( t ) 1 2 西南大塑圭苎啦论文 c h a p t e r3 w 连续矩阵半群在m a r k o v 链中的应用 州由于g ( ) 是k 上的一个矩阵算子，所以一定存在z 。上的一个有界线性算 子p ( ) ，使得p ( t ) = g ( ) 下面说明p ( t ) 是一个转移函数。由于 g i j ( t ) = = = = ( ) 0( 3 1 4 ) 所以有p ( o ) = g ( o ) = j ；p ( s + t ) = p ( t ) p ( s ) = p ( s ) p ( t ) ；黝( t ) 0 并且 黝( z ) 0 ，有a qca 一嘴= ( a n 1 ) 4 因为q 1 是 岛半群的无穷小生成元，则r ( x q 1 ) = z 1 ，于是r ( a a ) 在1 1 中稠密，由 1 1 中 定理4 4 1 2 可得( a q 1 ) + 在f 。o 中是单射又因为q 是w + 连续压缩半群的无穷小 生成元，由 1 3 】定理2 可得r ( x q ) = l o o ，则由 1 2 】中引理5 5 可得入一q = a q ： 所以q = q ；。于是由 1 1 】可得 r ( a ，q ) = r ( 入，鹾) = r ( a ，q 1 ) 所以r ( a ，9 t ) 是2 。上的一个矩阵算子。 另外又由文献f 1 】知，在l l 上，r ( 2 ，s2 1 ) = 月( a ) ，所以在k 上有r ( a ，i 2 ) = r ( a ，q ：) = r ( a ，q 1 ) + = r ( a ) + = 兄( 入) 口 定理3 2 2 设p ( ) ，g ( ) ，f l l ，q 和r ( a ) ，定义如上，则下面三条命题等价： ( j ) q 是q 。的限制，即qcq 。i ( 2 ) s p a n i e e e i cd ( q 1 ) ； ( 了) p ( t ) 满足k o l m o g o r o v 后项方程 p r o o f ( 1 ) 号( 3 ) n ( a ) = ( ( 入) ) 是p ( t ) 的豫解函数，由定理3 2 1 可得r ( 入，q ) = 冗( a ) ，特别的对e ，有勺= ( a i q ) r ( a ) 勺因为qcq 。那么兄( 入) e j d ( q 。o ) 且e j = ( a i q 。) 冗( a ) 勺即 入( a ) = 如+ q i k r k j ( a ) ，对任意a 0 ，i ，j e 七e 因此p ( t ) 满足k o l m o g o r o v 后项方程 ( 3 ) 兮( 2 ) 由1 中命题l - 4 5 很容易可以得到s p a n t e _ 【e ) cd ( n 1 ) 1 4 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r3 w 连续矩阵半群在m a r k o v 壁中煦廛用 ( 2 ) 兮( 1 ) 由算子西的定义可得西是2 ，上的一个稠定的算子，且石cq ，又 由 1 2 】中引理5 4 可得西+ = q o 。 如果条件( 2 ) 成立，则对v i e 有e i d ( q 1 ) ，则 。l 。i m 。1 ( 龟p ) 一e t p ( 0 ) ) = e i q l 特别的 = = 舰咝号巡= v i , j e 于是有e t 百：e t q l 对v i e ，即西cq 1 ，又由定理3 2 1 可得q o 。= 百+ 3q 1 + = q ， 因此( 1 ) 1 成立 口 定理3 2 3 令p ( t ) 是一个转移函数，q 是p ( t ) 对应的q - 矩阵，如果p ( t ) 满 足满足k o l m o g o r o v 前项方程，则q q ：，反之，如果q3q i 且q 的每一列是有 界的，则p ( t ) 满足前项方程 p r o o f 如果p ( ) 满足满足k o l m o g o r o v 前项方程，由 1 】中命题1 4 6 容易得到n lc q 1 ，于是q = q i ) q i 反之，如果q3q i ，且q 的每一列有界，则e j d ( q 。) 因为 对比= ( z 詹) d ( q 1 ) 于是对e j d ( 饼) 有q ；勺= q 。e j 2 。因为q ；cq ，那么e j d ( q ) 并且 = q ；勺= q e j 。由定理3 2 1 可得r ( x ，q ) = r ( a ) ，特别的 即 勺= 冗( a ) ( 入j q o o ) e j = a r ( a ) 勺r ( a ) q m e j a r 玎( a ) = 如+ r i k ( a ) q k j ，对任意a 0 ，i ，j e 七e 因此p ( t ) 满足k o l m o g o r o v 后前微分方程 1 5 口 西南大学硕士学位论文 c h a p t e r3 w 连续矩阵半群在m a r k o v 链中的应用 3 3k 空间上w + 连续矩阵半群与f e l l e r 转移函数 在这一节中，我们将把k 空间上w + 连续压缩矩阵半群的生成元定理应用到 f e l l e r 转移函数中我们知道每一个f e l l e r 转移函数p ( t ) 总有一个稳定的q 矩阵 本节将给出对一个稳定的q - 矩阵，最小的q - 函数f ( t ) 是f e l l e r 的充要条件首先 我们介绍如下引理； 为了得到本节的主要定理，我们需要如下引理： 引理3 3 1 对任意的一个稳定的q 一矩阵q = ( ) ，q o 在c 0 上总是耗散的闭 算子 p r o o f q o 在c 0 上的耗散性见 1 2 】引理6 2 下证q o 是c 0 上的闭算子事实上，在 印上设l i mz ( n ) = y ，且l i mq o z ( n ) = z 则对任意固定的i e ，垤 0 存在一个 n 0 使得l iy x c n ) i i = s u py 七一z l 0 ，所以向( t ) 一0 当i _ + 。o 对 k e e v t 0 ，即f ( t ) 是f e l l e r 口 1 7 第四章m a r k o v 积分半群 m a r k o v 积分半群是近期由李扬荣在文献 9 】中提出来的一种新的积分半群，与 转移函数有着紧密的联系，有利于用积分半群的各种性质解决连续时间m a r k o v 链 中的很多难题。例如文献【9 】在m a r k o v 积分半群的理论上给出稳定q 矩阵最小q - 函数是f e l l e r 的充要条件在本章我们将对这类积分半群的忠实性和二次可微性进 行研究 4 1m a r k o v 积分半群的定义 定义4 1 1 b a n a c h 空间x 上一族强连续线性算子 s ( ) t 2 0 ) 叫做积分半群如 果满足条件 ( j ) s ( 0 1 = 0 ( 2 ) s ( ) s ( s ) = 名s ( 7 + s ) 一s ( r ) d r ，v t ，s 0 另外，如果对所有的t 0 ，由s ( t ) x = 0 都可以推出z = 0 则称s ( t ) 是非退化 的；我们说s ( t ) 是指数有界的，如果存在常数m 0 ，u r 使得对任意的t 0 i ls ( t ) 临m e 。( 4 1 1 ) 定义4 1 2 设s ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的积分半群，定义x 上的集合d ( q ) 和线性算子q ： d ( q ) = p xf 存在可x 使得s ( ) z = t x + s ( r