（应用数学专业论文）几类神经网络模型的动力学行为研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本学位论文讨论了一类单个神经元的非线性差分方程模型的动力学行为，给 出了一类三元环状离散细胞神经网络周期解存在的充分条件，研究了一类具变时 滞变系数的连续型回归神经网络模型解的有界性、系统的全局指数稳定性和周期 解的存在性全文由四章组成 第一章，简单回顾了神经网络的发展历史，说明了本文所要研究的几类神经网 络模型的应用背景与动力学性态的研究现状，提出了本文要讨论的问题，并给出了 文中将要用到的记号 第二章，讨论了类具单神经元的非线性时滞差分方程模型的渐近行为，文中 利用分析技巧，在一定的初值条件下，证明了对非线性实爵数，阈值的一些不同取 值范围，模型解的收敛性，以及周期解的存在性 第三章，利用l a s a l e 不变集原理以及分析技巧构造回复映射等方法给出了一 类三元环状离散细胞神经网络模型存在2 - 周期解的充分条件 第四章，讨论了一类具变时滞变系数的回归神经网络模型，通过运用y o u n g 不 等式和构造l y a p u n o v 泛函的方法得到了系统的解一致有界、一致最终有界，以及 系统全局指数稳定和存在周期解的条件，并给出了两个例子以及其数值模拟说明 新条件的适用性 关键词：神经网络；渐近性；周期解；一致有界；一致最终有界；全局指数稳定 i i 些鲞塑竺翌竺苎型堕翌垄兰生垄竺篓 一： a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e s c r i b es o m ei m p o r t a n td y n a m i cp r o p e r t i e so fac l a s so f n o n l i n e a rn e u r a ln e t w o r km o d e l so fo n en e u r o n ，o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no fac l a s so fd i s c r e t en e u r a ln e t w o r k sw i t h t h r e en e u r o n s ，a n ds t u d yt h ed y n a m i co fag e n e r a lc l a s so fn o n - a u t o n o m o u sr e - c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y s ，w h i c h i n c l u d eu n i f o r m l yu l t i m a t eb o u n d e d n e s s ，u n i f o r mb o u n d e d n e s s ，g l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l e ，a n dt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n i ti sc o m p o s e do ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fn e u r a ln e t w o r k sa r eb r i e f l yr e - v i e w e d ，a n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o n si nt h ef i e l da r eg e n e r a l i z e d ，f u r t h e r m o r e ，w e r a i s es o m ep r o b l e m sw h i c hw i l lb ei n v e s t i g a t e da n dl i s ts o m en o t a t i o n sw h i c hw i l l b eu s e di no u rp a p e r ， i nc h a p t e r2 ，ad e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o nm o d e lo fo n en e u r o nw i t hp i e c e w i s e c o n s t a n tn o n l i n e a r i t yi ss t u d i e d s o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e df o rt h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，a sw e l la st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o no fac l a s so fd i s - c r e t en e u r a ln e t w o r kw i t ht h r e en e u r o n s ，b yu s i n gl a s a l l e si n v a r i a n c ep r i n c i p l ea n d t h ea n a l y t i c a lt e c h n i q u et of i n dr e t u r nm a p p i n g ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，t h ep r o b l e m so fb o l m d e d n e s sa n ds t a b i h t yf o rag e n e r a lc l a s s o fn o n - a u t o n o m o u sr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hv a r i a b l ec o e 伍c i e n t sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y sa r ea n a l y z e dv i ae m p l o y i n gy o u n gi n e q u a l i t ya n dl y a p u n o vm e t h o d s o m es i m p l es u f i i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o ru n i f o r mb o u n d e d n e s sa n du n i f o r m l y u l t i m a t eb o u n d e d n e s sf o rt h es o l u t i o n s ，a sw e l la sg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n d t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h en e u r a ln e t w o r k s t w oi l l u s t r a t i v e e x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so fo u rr e s u l t s k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；u n i f o r m l y b o u n d e d n e s s ；u n i f o r m l yu l t i m a t eb o u n d e d n e s s ；g l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l e i 硕士学位论文 符号表 r ：实数集； r + ：非负实数集； z ：整数集： r n ：礼维实数向量空间； n ( a ) = 如，a + 1 ，) ，a z ； n ( a ，b ) = 扣，a - i - 1 ，- 一，讣，a ，b 互a b 特别记n = n ( o ) ； 圣( 亡) = 盖z ( 亡) ： 】为最大取整函数； x t = ( x 1 ，x 2 ，z 。) 为向量z 的转置 i = ( x t z ) m 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名 日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，n 意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 n 和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者繇佰莪形日期一年芏月阳 翩鹤组 醐勘耵月f 钼 矍圭兰竺鎏兰一 一 第1 章绪论 1 1问题研究的背景以及意义 1 9 4 3 年，心理学家m c c u l l o c l l 和数学家p i t t s 在数学生物物理学会会刊上发 表了一篇论文【1 1 ，总结了生物神经元的一些基本生理特征，并提出了形式神经元 的数学描述与结构方法( f l 口m - p 模型) 1 9 4 9 年，心理学家h e b b 提出：神经元之间 的连接是可以变化的，通过刺激使神经元的连接加强，从而建立了神经网络研究 的基础系统地研究人工智能网络是从上世纪五十年代末六十年代初开始的，但 m i n s k y 和p a p e r t 于1 9 6 9 年从数学上证明感知器不能实现异或逻辑问题而使神经 网络的研究陷入低谷美国生物物理学家j h o p f i e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表了两 篇论文，提出了具有联想记忆能力的h o p f i e l d 神经网络模型和神经网络的电路模 拟，并引入能量函数( l y a p u n o v i 函数) ，阐明了神经网络和动力学的关系，指出网络 中的每一神经元可以用运算放大器实现，所有神经元的连接可以用电子线路来模 拟然后，他通过神经网络应用研究，成功地解决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，震惊了世界，由此也兴起了人们对人脑生物神经系统的模拟人工神 经网络的研究，如文2 15 等人工神经网络的理论与应用研究，近年来已在国际 上形成了新的热点，各国都致力于这方面的研究，以期为新一代智能计算机的研究 奠定基础人工神经网络系统是在现代神经生物学和神经心理学研究基础j 二模仿 人的大脑神经元结构特征和功能特征而建立起来的一种非线性系统人工神经网络 独特的结构和处理信息的方法，使得它们在诸如信号处理、模式识别、优化计算等 许多领域具有广泛的应用前景因此，神经网络的研究现已引起了包括应用数学、 人工智能、认识科学、微电子学、自动控制和机器人、脑神经科学、军事科学等学 科领域内的研究i ：作者的巨大热情和广泛兴趣迄今为止，国内外人工神经网络研 究工作者已提出很多有应用背景的神经网络模型，如著名的h o p f i e l d 模型、细胞 神经网络( c n n ) 模型、g r o s s b e r g 神经网络模型等，而这些模型的动力学行为至 今仍未得到充分的揭示 细胞神经网络具有细胞之间连接是局部的、输出信号函数是分段线性的和信 号处理是连续实时的等特点，从而使细胞神经瞬络能高速并行处理提高运行速度， 具有双值输出，由于这些特点，使细胞神经网络的应用非常广泛在细胞神经网络 应用最广泛的像处理和模式识别应用中，需要细胞神经网络有多个平衡点并且模 型是完全稳定的，当细胞神经网络用于求解方程或解决最优控制等问题时，要求对 l 些鲞望塞璺堡矍型塑銎塑兰蔓望竺兰 每拿乡 帮输入，网终都存在难静、全弱濑近稳定平鬻点。嚣瑟j 孝缀蕤棒经潮络 的完全稳定性和全局渐近稳定性的研究是有现实意义的，可以从理论上为神经生 物掌研究和人工神经网络的实现及应用技术工作者提供一些可靠的依据。 久工专率经瞬络磷究熬繇豹兴趣是上遣纪来人类科学技本发震全嚣飞跃豹一个 组成部分，它与许多科学领域的发展密切相关近冬来，神经网络理论引起了美豳、 日本、中豳以及西欧一些国家的科学家、研究机构和企业界的普遍关注并且各个 学科豹研究入燹都憋捌援久工耱经潮络熬特殊臻靛来瓣决本擘辩静难瑟，缀多工 程项目都采用和准备采用人工神经网络的解决方絮，其中大爨工作致力予神经网 络模型的建立与分析可以预言，2 1 世纪人工神经网络理论将会有熨大的发展，它 的纛嗣将接餮辩学技零豹大步嚣遴。 1 2本文衍究模型的介绍 人工神经网络通过电路来模仿人脑神经细胞的结构和功能，来揭示生物神经网 络系统所舆有静复杂韵力学性质这些禳鳖中，很大一部分是微分、蒺分方程模黧， 如著名的h o p f i e l d 模溅、g r o s s b e r g 模型、c n n 模溅等最初黪连续型h o p f i e l d 模 型是用一组常微分方程描述的，考虑到生物神经元在进行信号传输过程中存在诸 如细籍时浠，传输嚣于滞及突触靖滞等原因，m a r c u s 稀w e s t e r v e l t 在文f 1 6 1 及w u 在 文f l 明中对连续的模型引入? 时滞，其其体模型为 掣一鳓) + 塾低( 渤诋渊n 畹 1 ) 其中讹( t ) 为状态变量，肫与礅挖为给定的常数，办：r 一置为通常的s i g m o i d 涵 数霜有许多文献对系统( 1 1 ) 的动力学行为伟了较为深入的研究，觅文 1 8 - 2 1 t 乍为h o p f i e l d 模挺的特殊。黪形，h u m l g 敷w u 在辫，9 l 中分别考虑了下嚣蘧令 二元神经网络模挺： j 圣一一z 十，国 一r ) ) ， 垂一y + f ( x ( t r ) ) 与 隹二篇二黧 在这嚣簇文章中，与鼗蓑蚕少文数哭考虑了爨分段线蛙落号溺羧或必滢爱黢蓥添 数的情形不同，作者以阑值为参数讨论了这两个模型具有m c c u l l o c h - p i t t s 型不连 2 璧圭兰竺丝兰 续信号函数： 球，书瓷： 。， 时系统的动力学性质在h o p f i e l d 神经网络模型中，每个神经元是由一个线性电 阻器和一个线性电容器构成的一个电路模型通过一些变量代换和重新参数化，该 神经元的模型有如下形式： 士( t ) = - x ( t ) + ，( z 0 一下) )( 1 3 ) 许多科研工作者曾研究过方程( 1 3 ) a 相似模型，见文【2 2 2 5 】例如在文 2 5 1 中，刘 烨、黄立宏和袁朝晖研究了模型 掣= 砒+ ( 邢刊) ) 的离散类似方程 z ( 礼) = 衄( n 一1 ) + b f ( x ( n 一南) ) ，i ，( 1 4 ) 其中a 和p 为给定的正常数，满足( 1 2 ) ，0 0 ，七为正整数并得到了 有趣的结果在本文的第二章中，我们将讨论方程( 1 4 ) 在具有如下分段信号函数时 的动力学行为： 心：j 1 ，( o ，棚， ( )。 i 一1 ，( 一o 。，0 】u ( 6 ，+ o 。) ， 、。 其中6 0 为给定的常数到目前为止，对具该信号函数的神经网络模型的研究甚 少，鉴于研究单神经元模型是研究大型神经网络的基础，且具该信号函数的模型具 有一定的理论和实际意义，我们在本文中进行了细致的讨论 在神经网络模型的动力学性质研究中，细胞神经网络( c n n ) 是目前最流毒亍的 人工神经网络之一，它是由c h u a 和y a n g 于1 9 8 8 年在文2 6 1 中首先提出的c n n 是 由很多称为细胞的单元组成，是局部互连的，具有网结构的模拟电路，且每个细胞只 与其临近的细胞有连接关于c n n 的电路图及连接方式可参见文献f 2 6 ，2 7 1 c n n 可用于信号处理，特别擅长处理静态图像，而动态图像却需要引入时滞，这就需 要考虑具时滞的细胞神经网络( d c n n ) 模型，参见文1 2 8 1 目前已有很多文献对 d c n n 作了研究，如文 2 9 - 3 8 1 ，其研究结果表明d c n n 在模式识别、记忆与信 号处理、图像处理与计算技术等诸多方面具有广泛的应用背景现有文献研究的 3 几类神经网鲳模型的动力学行为研究 d c n n 鹣模鍪l 主要楚由下列具瓣滞戆泛函微分方程组捺逑懿系统： 百d z d t ) = 一c f ( ) 鬈t + a t a t ) h ( x a o ) 一” j = l + b , a o h ( 巧( t 一 ) ) ) + 五( t ) ，i n ( 1 ，札) ， j = l 其中n 代表网络中神经元的个数，t r + 代表时间，c i 表示在与神经网络不 连通并且没有矫部附加电蕊差的情况下第i 个神经元在t 时刻恢复静息状态的速 率，魏表示繁i 个李审经元在t 孵刻豹状态交i t ，秀( 哟表拳第j 个享孛经元在t 对 刻的输出，( t ) 代表第j 个神经元在t 时刻的输出对第i 个神经元的影响强度，0 ) 表示第j 个神经元在t t , j ( t ) 时刻的输出对第1 个神经元的影响强度，五( 亡) 表示 筻i 令神缀元在t 时裁豹终躲输入，强( 蛰表涿第i 令裤疑元奁t 怼刻沿筹，令耱经 元的突触信号传输时滞 琥有关于d c n n 的有界往、稳定性以及周期解存在褴的结论大部分要求瓦i ， 岛g ) ，a 蟮( t ) ，嗡( t ) 戈常数，袋( 磅恒菇零，参见文 2 9 - 3 2 ；最逶对这些参数不为常 数时的情形也得到了一些结论，参见文 a 3 - a s 相对于连续墅细胞神魏网络来说，离散挺细稳神经网络穰型动力学能质豹研 究王终较少，参见 3 6 - 4 0 。h h a r r e r 囊j 。a ，n o s s e k 于1 9 9 2 女g 蓠次提瞧了离数细胞 神经网络【3 9 】，从此，它们襁理论和应用方面得到了广泛的研究，但迄今为止，大 多数文献弱限予研究离散缁胞神经阚络模型的稳定性，很少考虑离敬细胞神经网 络周期解的存在性。文f 4 0 讨论了如下舆锪窝饕线拨传羧涵数黪激默一激黝秘激嫩 一抑制型二元离散神经网络模型的收敛性和周期解的存在性 jx n = a x n - 1 + 6 ，( ) ，札( 1 ) ， l 一8 瓢一l4 - 6 ，( 。1 ) ， 其中0 8 o 表示连接投重，f ：r r 魑标准懿锪帮分段线 性函数， 脚) _ 鲢里当型，札嚣( 1 6 ) 筏爨发现对于离散缀蕤褥经溺络棱壅，露使霹予平甏系统褥言，嵇究：佟也是 非平凡的细胞神经瞬络在生物模型中相当鹫遍而受到广泛关注，因此在本文第三 章中，我们讨论了如下三元环状离散细胞神经网络： fz ，；= a x 。一l + b f ( x 一1 ) + c ，( 一1 ) 一e ，( 1 ) ， 瓠= 。孙一l + 6 ，鲰一1 ) + 西玩一1 ) 一够该一1 ) ，露( 1 ) ，( 1 ，? ) 【z n = 。一1 + b f ( z 一1 ) + c ，( 蜘一1 ) 一c f ( 。一1 ) ， 4 鎏点兰竺兰茎 一 其中0 0 为给定的常数，0 0 ，k 为正整数 差分方程( 2 1 ) 可以看作如下微分方程的离散类似： 掣= 勘( 。+ 州邢一圳， ( 2 3 ) 其中a 0 ，肛 0 为给定的常数，f 为非负整数，满足( 2 2 ) 事实上我们可以 将( 2 3 ) 式改写为如下形式 d z _ ( t f ) e a ：t t e e ，( z ( i t 一7 1 ) ) ( 2 4 ) i 厂一“，( 。一7 1 ) ) ( 2 - 4 ) 设n 为非负整数将( 24 ) 从n1 到t n1 ，n ) 稍分，得到 1 ) e “( “1 ) = 芒( e m e 1 ( ”1 ) ，( $ ( 佗一1 一r 】) ) 。 令t n ，并记z m k ) tg ( h 1 r 】) ，得到 。( 功= e 一1 z ( n i ) + 芒( 1 一e 一1 ) ，( z ( 一女) ) 令。= e ，6 = ( 1 一e _ ，则得到( 21 ) 式 我们的目的是讨论当0 正i ( 一南，一1 ) ， 磁= 妒i 妒：n ( - k ，一1 ) 一r i i 0 喜弼髫( 哟最嚣 ( 一k ，n o 1 ) 若不然t 即对任意的扎均有z ) 6 。于是缩台( 2 1 0 ) 式得 0 6 ，这与。( n ) 6 矛盾，假设不成立。所以必存在某个托o n ，使得霉( 珏o ) 6 ，丽z 唧) 蠡牲 n ( - k ，n o 1 ) 。 若n o 一0 ，则显然商0 1 一岛 0 ， 又因为x ( 0 ) 占，于是z l 磁，在条件搿( 扎) 文n ( 一k ，礼。一1 ) 下，以此擞推 可知j 捌，n u ( 0 ，n o ) ，即o 盘 “o 占+ 1 一a ”一帅 艿 蠲。磁两由d 1 毅。孙一1 ) 艿知 又由n ；得 茹( 蛳+ k 一1 ) 一 a k - 1 x ( n o ) + 1 a 一1 扩芏规嚣一1 ) 十1 一矿 sn 。簿一1 ) + 1 1 芏( 殛蠢) 一a x ( r 酝+ k 一1 ) + a 一1 2 a 1 0 9 些茎垫墨翌塑塑翌氅翌妻竺堡垄登墅 蠢隽嚣。+ 女掰，嚣激鼹v n 粕+ 瓠n o 手2 k 一1 ) 有f 2 。国式簸支。维台( 2 8 ) 式 知 。( n ) 一a n - n o - k x ( n o 十南) + a n l 。一1 0 ， 露茗。+ 2 壤。壹定毽2 + 2 ，l 霹箱l i 珏k 。x ( n ；= 一1 。 ( i i ) 若d 1 ，则从式( 2 ，1 0 ) 不难发现0 x ( n ) 曼d ，n n ( o ，k - 1 ) ，即芒辅 7 t e n ( k ，2 k 1 ) ，n ( 2 k ，3 k 一1 ) ，璧复上面讨论褥：v i n ，x i k 碟予怒 e v n 甄嚣托满足( 2 ? ) ，又壶( 2 ，9 ) 辩l i m 一。x ( n ：1 。 l 定理2 2 3 的证明若妒礤且0 6 警一1 ，则 x ( n ) 一a x ( n 一1 ) + a 一1 ，珏n ( o ，七一1 ) 。 由2 ，6 ) 襄( 2 。8 ) 如 x ( n ) = a n + l 妒( 一1 ) + a ”十1 1 ，ng n ( 0 ，七一1 ) ( 2 1 1 ) 我餐分嚣耪潺况寒涯秘。 情形1 ：当咿( 一1 ) ( 5 ，i 1 1 】时，由( 2 1 1 ) 式有 珈) n 州( ：一t ) + a n + l - - 1 = a n - 1 墨o ，拈( 。，k 一埙 邵。焉将z 女看作初俊，剐由定理2 2 1 可知l i m 。x ( n ) = 一1 情形2 ：当妒( 一1 ) ( ；一1 ，学一1 时，m ( 2 1 1 ) 溅 x ( o ) 一a 妒( - 1 ) + a 一1 ， z ( 扎) 一a z ( o ) + a n 一1 ，n n ( 1 ，k 1 ) 易知0 z ( o ) s6 ，故由n ( o ， 】及6 攀景2 1 1 知，对v 他n ( 1 ，k 一1 ) 肖 x ( n ) 冬a “6 a n 一1 2 a 8 1 - 1 ，故x k 璐护 记m 一再二( 1 m - ) ( a 。 f o ) 5 ) + - 2 1 ) ( 一1 - 2 a ( 1 ) 一+ 。1 ) - - + a l k 一。# ，i o = f l o g + 1 下面利用第二数学归纳法 涯甍对磁专n ( 1 ，i o ) 有茹穗蓊。5 ( 若萄一1 ，显然结论成立，鼓下蕊爻涯当龟兰2 ， 结论成立) + ( 1 ) i = 1 时已证z 础6 ； ( 2 ) 假设对镰n ( 1 ，m 1 ) ，m ( 2 ，i 。) 奏搿辘焉。5 成立，剃 z ( i k ) = a z ( j k 一1 ) + 1 一a 一口6 z ( 0 1 ) k ) + a 。一2 a + 1 解方程，当t n ( 1 ，m 一1 ) 时 球栌阿霄2 ( 1 - - a ) + 归掣“ ( 2 - 1 2 注意到万( o ) 一警争+ 1 o 且 州一m ：o ，一掣十1 1 a ( m - 1 ) k + 訾_ 1 5 一掣+ 1 】n + 掣。 兰b 掣+ 1 】m + 等嘲 z ) ：矿一( 一1 ) k z ( ( m 一1 ) k ) + 扩一一1 一1 2 a 一( m1 ) k l o 。n ( ( m i ) k + i ，m k - 1 ) ( 2 1 4 ) 由( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式可得z 。碥，d 综合( 1 ) 和( 2 ) 可知：对( 1 ，) 有g 础 瑶6 于是，( 2 1 2 ) 式对i n ( 1 ，i 。) 均成立而 且 因此 x ( i o k )一掣+ 1 a i k + 掣一 一百2 ( 1 - - a ) + 1 m + 霄2 ( 1 - a ) 。 施捌 掣一1 s1 卫( i o ) 哥一s z ：矿- i o k x ( i 。k ) - i - ( 3 n 山一l 2 a n 。一l 0 嚣( 1 ) = 8 嚣( 。) + 穗一l i 圭了 11 一l 嘉一l 。 以此类推，我们有 g ( m 1 ) ：一l 两1 一l = o 对任意的弗n ( m ，一1 ) ，由( 2 1 5 ) 和( 2 式知 z ( n ) 一a n - m + 1 霸( m 一1 ) 十a “一m + 1 1 a ”一m 一1 0 因诧，。瑚i ，盈 x ( k 一1 ) = a k - r r t x ( m 一1 ) + a 。一”一1 一1 。 ( 2 1 6 ) 对任蠢兹船n ( k ，k + 粥一1 ) ， 鑫2 7 ) 稳( 2 9 ) 式甄 琊( n ) = a x ( n 一1 ) + 1 一日 x ( n ) = a nk + l x ( k 1 ) + 1 一a ”一。+ 1 囱( 2 ，l ? ) 翳期0 x ( n ) 1 0 ， z ( 1 ) = n z ( o ) + 口一1 口 + 1 ) 一1 喜j + 0 2 1 0 以此类推 。( k - 1 ) 再1 + 。k 一1 o 即x k 磷，又d 矗一1 1 ，由定理2 2 2 的( i i ) 知l i r a 一。z ( 佗) - 1 第3 章一类三元环状离散细胞神经网络周期 解的存在性 3 1引言 零牵章雩论魏下三元环状赛教缎憨害枣经踺络模型闺麓麟豹夺在性： fz 。= a x ，1 + v ( 茹。1 ) + c ，( 一1 ) 一c ，( 骱一1 ) ， = a y n l + b y ( 鲰一1 ) + c i ( z 一1 ) 一盯( 一1 ) ，礼n ( 1 ) ， ( 3 1 ) l 氖= 嗽一l + 够( 磊一1 ) + 巧( 弧一1 ) 一( 一1 ) ， 其串0 1 ，l y 1 ，i z l l 称为饱和域： 缸，y ，。) 帮： | 。| s1 ，| y | 茎1 ，嘲l 稳爻线瞧域； ( 毛挈，。) 霆3 ：嗣，颡，吲不露露太予l 或枣 于等于l ，称为部分饱和域 】5 些耋翌丝竖竺篓翌墼塑垄堂生塑盟篓 下瑟分缓a 令定义 定义3 1 1 设t ：h 一日，若r 料= 日，刘称拱是相对于映射t 不变的或翡 称h 是不变集特别地，对x h ，当t x = x 时，x 为不动点或平衡点 熨于奄维映慰，考虑一般斡离散动力系统 ( 托+ 1 ) = = g ( f ( 礼) ) ，扎n ，( 3 4 ) 设p 是系统( 3 4 ) 的平循点，即g ( f ) 一矿 定义3 1 2 蓑对予媲 0 ，存在禁令6 ( ) 0 ，当装( o ；一d | 6 ( f ) 辩 有怯( 扎) 一引i e 对v n n 成立，则称p 是系统( 3 4 ) 的稳定平衡点 定义3 1 3 若存在”钟和m ( 2 ) ，使得g ( ”) ( ”) = r + 及g ( ) ( f ”) p + 慰i n ( 1 ，m 一1 ) 成交，刘豫喜”为系统( 3 ，4 ) 熬黼蘧期点，羁辩称 ；圭”必秘 值的解 ) 为系统( 3 4 ) 静竹卜周期解 定义3 1 4 对于系统( 3 4 ) 的m 周期点”，若p + 是映射g ( ) 的稳定平衡点， 则我们称系统( 3 4 ) 以 ”为初值的解f ( 铊) 为稳定周期孵，反之f ( ) 为系统的不稳 定嗣蘩解 3 2周期解存在的充分条件 定理3 。2 。1 若2 s 赫 一击，黧系绞( 3 。3 ) 存在藜令稳定藜2 一羯鞠解，萁中一个 周期解为 ( _ ，可，乏) ，( 一面，一弱一芽) ， 这里耍= i 1 + - 。a ( i + 芦一2 s ，器= i 1 聂- a i + 舻+ 2 s ) ，i = 一鬻( 1 + 弘) ，嚣戳( 茹。，y o ，z o ) d ，为初值的解 ( z 。，蜘，) ) 收敛于此周期解，雨系统( 3 3 ) 以( 茁o ，y o ，z o ) d 2 ，d 3 ，d 4 为初值的解分别收敛于其它三个周期解： 每，i ，誉) ，( 一事，一乏，一碧) ， i ，虿，事) ，( 一雾，一瑟，爹) 秘 每，虿，乏) ，( 一薯，一乏，一享) 证明：i 期2 s + “ 一t 笔和0 n 1 易得( 窑，爹，嚣) b 一，一，+ ，( 一虿，一可，一善) 点 十 一对予以( j ，甄i ) 为初值的解 ( 霸，弧，i 。) ) ，经过直接计算可知：对v n 霄( 蕾2 ，现，魏) = ( 蚕，蟊i ) 窝( 磊蚌l ，致扣蜀婚1 ) = 一薹，一要习藏立，囱魏霹 知 ( 瓦，虱，磊) 是2 一周期解对于( , t o ，蜘，z 0 ) d ，囱系统( 3 3 ) 得 敏= n z 。+ ( t 一。) ( 一 y l = 鑫强+ ( 1 一辖) ( 一 z 1 = a z o + ( 1 一o ) ( 1 1 6 姚硫 + 一 邓邓n l l 硕士学位论文 因而，由2 s + 卢 2 a 一1 + 2 ( 1 一a ) = 1 。1 一a + ( 1 一o ) ( 一1 一p + 2 s ) 一- 1 一( 1 一n ) ( p 一2 s ) ， 即z 1 【1 ，一1 一( 1 一n ) 札+ 2 s ) 】同理可证1 【1 ，一1 一( 1 一a ) 札+ 2 8 ) l ，2 1 1 + ( 1 一。) 儿一1 】，故( 茁1 ，y 1 ，z 1 ) 硝容易验证如2 ，y 2 ，施) d 1 及 x 啦2 ：= 。a x 可。l + + ( ( 1 1 一- n a ) ) ( ( 1 l + + 肛# + - 2 2 。s ) ) ， 【沈= a z l + ( 1 一) ( 一1 一p ) 结合( 3 5 ) 得 fz 2 = 0 2 z oq - ( 1 一n ) 2 ( 1 + p 一2 s ) ， y 2 = a 2 y o + ( 1 一。) 2 ( 1 十p + 2 s ) ， iz 2 = a 2 z o + ( 1 一。) 2 ( 一1 一) 利用数学归纳法可证( z 2 k ，y 2 k ，z 2 k ) d 1 和( z 2 抖l ，y 2 k 十1 ，z 2 k w i ) 立，且 f $ 2 k + 1 = 觚2 k + ( 1 一n ) ( 一l 一_ l 王+ 2 8 ) ， y 2 k + 1 = a y 2 k + ( 1 一n ) ( 一1 一一2 s ) ， iz 2 k + 1 = a z 2 k + ( 1 一n ) ( 1 + ) ； fz 2 k + 2 = a 2 2 2 + ( 1 一o ) 2 ( 1 + 肛一2 s ) ， y 2 k + 2 = a 2 抛+ ( 1 一n ) 2 ( 1 + 肛+ 2 s ) ， i 施k + 2 = a 2 勿+ ( 1 一n ) 2 ( 一1 一p ) 定义d 1 上的回复映射t ：d 1 一d 1 如下： d i 对v k n 成 ( 3 6 ) t ( 。，y ，= ) = fn 2 z + ( 1 - a ) 2 ( 1 + # - 2 s ) ，n 2 + ( 1 一。) 2 ( 1 + p + 2 s ) ， n 2 z + ( 1 一n ) 2 ( - 1 - # ) 1 盟然t ( x ，y ，z ) 的第k 次迭代映射t ( ( z ，y ，z ) 满足 t 舭) = ( a 2 k x - r 生糌竽( 1 + # - - 2 s ) ， 铲剪+ 生鉴塑( - + 川s ) a 2 k z - 一坚瓮堕( - 1 - , u ) ) 几类神经网络模捌的动力学行为研究 囊竣， l i mt ( ) ( 弘y ，z ) = 容易验证( 勰甄i ) ed 1 ，并注意到( z y 2 k ，z 2 k ) = t “) ( z o ，y o ，劫) 对妣成立，故 再注意到 由( 3 6 ) 得 ，l i m ( x 2 k 一誉妊) = l i m ( 搬弱) = j i m ( 物女一扬) 一0 神 一o o # x 2 k = - - x 2 k + l = 虿，y 2 k = 撕七+ l = 甄z 2 j ：= 一