（应用数学专业论文）受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析.pdf

i n s t a b i l i t ya n a l y s i so fs l i pf a u l tw i t hs l a n t i n ge d g ec r a c k at h e s i ss u b m i t t e dt o d a l i a nm a r i t i m eu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y r e nr u i ( a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s ) t h e s i ss u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r y a n g x i a o c h u n j u n e2 0 1 1 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文竺矍斜望昼鍪筮髭堕的枣滑堑屋丕稳定丝坌堑：。除论 文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经 公开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：丝垃 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论 文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式 出版发行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密( 请在以上方框内打“一) 论文作者签名：能彭缸 导师签名： 日期：知，年多月玎日 中文摘要 摘要 2 0 世纪7 0 年代，断裂力学迅速发展起来，并于近年来成功的应用到了地学等 领域中由于地壳构造中存在大量的裂隙和断层，所以断裂力学中的一些结论， 特别是有关岩石和陶瓷断裂的结论是可以用来研究地壳裂纹扩展规律及地震的力 学过程的6 0 年代中期，断裂力学与地震学的某些成就相结合能够比较满意地 解释地震过程中的断层错动的力源及低应力降现象，对于震源物理的探索有较大 的帮助断裂力学的观点与方法为震源物理的研究提供了新的途径，是震源物理 一个重要的领域 本文总共分为五部分，主要是将力学上的结果与地学相结合，解释了震源观 测中发现的低应力降现象 第一部分为绪论部分，概述了断裂力学的发展以及它在地学上的一些应用， 还介绍了本文的相关研究内容及论文的结构安排第二部分给出了本文所需要的 一些理论及基本公式，为后面的研究工作打下基础第三部分介绍了弹性半平面 斜边界裂纹问题的分析求解，求出应力强度因子第四部分建立了断层模型，将 力学上的斜边界裂纹问题的结果与地学相结合，通过对临界应力值无量纲化的结 果，分析斜边界裂纹对走滑断层不稳定性的影响，对震源观测中发现的低应力降 现象做了定量估计第五部分对本文结果做了总结，并提出将来应做的一些工作 关键词：斜边界裂纹；断层；不稳定性；低应力降 英文摘要 a b s t r a c t i nt h e1 9 7 0 s ，f r a c t u r em e c h a n i c sd e v e l o p e dq u i c k l y i nr e c e my e a r s ，f r a c t u r et h e o r y i ss u c c e s s f u l l ya p p l i e dt og e o l o g i c a l ，e t c t h e r ea r eal o to ff r a c t u r ea n df a u l ti nt h e e a r t h sc r u s t s o m ec o n c l u s i o n so ff r a c t u r em e c h a n i c s ，e s p e c i a l l yr o c ka n dc e r a m i c f r a c t u r ec o n c l u s i o n s ，c o u l db es t u d i e dt h ep r o p a g a t i o no fc r u s tc r a c ka n dt h em e c h a n i c a l p r o c e s so ft h ee a r t h q u a k e i nt h em i d d l eo f1 9 6 0 s ，s o m er e s u l t so ff r a c t u r em e c h a n i c s a r ec o m b i n e dw i t l ls e i s m o l o g y i te x p l a i n sf o r c es o u r c eo fs e i s m i cf a u l tr u p t u r ea n d l o w s t r e s sd r o pp h e n o m e n o n ，a n di s h e l p f u lt oe x p l o r a t i o nf o rp h y s i c so fe a r t h q u a k e f o c i f r a c t u r em e c h a n i c sv i e w p o i n ta n dm e t h o dp r o v i d ean e ww a yt os t u d yp h y s i c so f e a r t h q u a k el o c i i ti sa ni m p o r t a n tf i e l d t h i sp a p e rd i v i d e di n t of i v ep a r t sw h i c hc o m b i n e st h er e s u l t so fm e c h a n i c s 、航t l l g e o l o g i c a l ，a n dm a i n l ye x p l a i n st h el o ws t r e s sd r o pp h e n o m e n o ni no b s e r v a t i o no f p h y s i c so fe a r t h q u a k ef o c i t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o ns e c t i o n i ts u m m a r i z e st h ed e v e l o p m e n to ff r a c t u r e m e c h a n i c sa n ds o m eo fs u c c e s s f u la p p l i c a t i o no nt h eg e o l o g i c a l i ta l s oi n t r o d u c e st h e r e l a t e dr e s e a r c hc o n t e n ta n da r r a n g e m e n to ft h i sp a p e r t h es e c o n dp a r ti sa b o u ts o m e t h e o r i e sa n db a s i cf o r m u l a sw h i c hi st h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h er e s e a r c h t h et h i r dp a r t a n a l y s e sas l a n t i n ge d g ec r a c kp r o b l e mi ne l a s t i ch a l fp l a n e ,a n dc a l c u l a t e ss t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ra tt h ec r a c kt i p t h ef b r lp a r ts e t su pam o d e lo fs l i pf a u l t t h e s o l u t i o n so f as l a n t i n ge d g ec r a c kp r o b l e mi ne l a s t i ch a l fp l a n e i sa p p l i e do nt h e g e o l o g i c a l a c c o r d i n gt od o i n gn o n d i m e n s i o n a lq u a n t i t i e so ft h es l i pf a u l ts t r e s s ，i t a n a l y z e st h er e l a t i o n so fs l a n t i n ge d g ec r a c ka n ds l i pf a u l ti n s t a b i l i t y ，a n dq u a n t i t a t i v e l y e s t i m a t e st h el o ws t r e s sd r o pp h e n o m e n ai i lo b s e r v a t i o no fp h y s i c so fe a r t h q u a k e f o c i t h ef i f t hp a r to ft h i sp a p e rs u m m a r i z e st h er e s u l t sa n dp u t sf o r w a r ds o m ew o r k s h o u l db ed o n ei nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：s l a n t i n ge d g ec r a c k ；f a u i t ：i n s t a b i l i t y ；l o ws t r e s sd r o p 目录 目录 第1 章绪论1 1 1 断裂力学的发展1 1 1 1 线弹性断裂力学2 1 1 2 弹塑性断裂力学3 1 1 3 断裂力学在地学上的应用。4 1 2 断裂力学与地震研究4 1 2 1 板块构造与大陆漂移理论4 1 2 2 从断裂力学角度看地震5 1 3 断层不稳定性分析的相关研究6 1 4 本文的研究内容与结构安排7 1 4 1 研究内容7 1 4 2 结构安排8 第2 章预备知识9 2 1 基本公式9 2 2 平面弹性问题1 1 2 3 力学量的复变函数表示1 3 2 4 边界条件复数表示1 4 第3 章弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解。1 6 3 1 断裂力学求解方法16 3 2 基本问题描述与求解1 7 3 2 1 基本问题的描述。1 7 3 2 2 基本问题的求解2 1 3 3 应力强度因子2 6 3 4 本章小结。2 7 第4 章受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析2 8 4 1 物理模型2 8 4 2 断层不稳定性分析。2 9 4 3 本章小结3 3 第5 章结论与展望3 4 5 1 本文主要结论3 4 5 2 前景及展望3 4 参考文献3 5 至定谢3 9 它和其他学科一样也 究含有缺陷材料和结 相关，所以并没有因 ，人们就观察到了大 量的断裂现象，并且发现脆性断裂问题1 9 2 0 年，g r i f f i t h 试着解释玻璃的实际强 度为什么远远低于理论强度假设材料内部存在缺陷，那么在一定的条件下，材 料或结构中存在的缺陷或裂纹将导致裂纹失稳扩展，最终使材料或结构破坏 随着科学技术的不断发展，新材料，新产品开始出现，人们在生产实践过程 中发现了一些结构或构件的低应力脆断事故，这些事故大多是在低于材料屈服极 限时发生的为什么会出现这种现象呢，人们通过对一些事故的研究发现，构件 中存在着多种多样的缺陷或者裂纹，而这些缺陷或者裂纹正是导致低应力脆断事 故的原因另外还发现大部分低应力脆断是由宏观裂纹引起的，对于大部分构件 来说，存在宏观裂纹不可避免，而带有缺陷或裂纹的材料的强度是由材料对裂纹 扩展的阻力决定的，这种阻力取决于材料的内部属性应用弹性理论、塑性理论 以及一些新的科学实验技术来研究裂纹尖端附近的应力场、应变场以及裂纹的扩 展规律，逐渐就产生了一门新的力学分支，即断裂力学【l 】 断裂力学的研究内容是相当广泛的，包括线弹性断裂力学，弹塑性断裂力学 和断裂动力学【2 】三个部分其中线弹性断裂力学的理论基础是线弹性理论，对脆性 断裂能做出定量分析值得指出的是它在疲劳裂纹扩展的研究中也取得了不错的 结果因为以上原因，线弹性断裂力学的发展很快，到目前为止已经比较成熟， 在生产生活中也有了一定程度的应用 裂纹尖端附近存在应力集中现象，这种现象必然会使裂纹尖端产生一定的塑 性区，若塑性区尺寸达到一定程度，那么塑性区对材料的影响就不能忽略了，这 第1 章绪论 时线弹性断裂理论已不再适用，于是对于裂纹尖端附近的塑性区的研究就发展成 了弹塑性断裂理论到现在为止，弹塑性理论发展的还不是很成熟，在断裂力学 研究中，是一个非常重要的分支 当裂纹失稳之后，裂纹开始迅速扩展，这时就必须要考虑材料的惯性了，这 属于断裂动力学的范畴，对于研究裂纹止裂问题极为重要由于本文不是基于断 裂动力学的角度进行研究的，所以对断裂动力学不再进行概述 1 1 1 线弹性断裂力学 断裂力学的一个重要分支是线弹性断裂力学，它是以弹性力学【3 4 】的线性理论 为基础的，从而对材料中的裂纹进行力学分析线弹性断裂力学认为，材料或者 构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，所以可以把物体看做是带有裂纹的弹性 体 早在1 9 2 1 年，g r i f f i t h 5 , 6 就跟据裂纹体的应变能提出裂纹失稳的c j f i f f i t h 扩展 准则，即当外加应力值仃超过临界应力值以，或者裂纹的尺寸a 超过临界裂纹尺 寸口时，脆性物体将发生断裂g r i f f i t h 准则解释了玻璃的实际断裂强度比理论强 度低得多的原因，并得到了裂纹体能量释放率的概念，后来这一概念成为线弹性 断裂力学的基本概念之一因为g r i f f i t h 准则是以玻璃等脆性材料为基础建立起来 的，所以其适用的范围十分有限，尽是完全弹性体( 理想的脆性材料) ，但它在力学 中引进的新思想对断裂力学的发展起了很大的推动作用 1 9 4 8 年，o r o w a n 和i r w i n 7 1 对g r i f f i t h 理论进行了修正，发展了g r i f f i t h 理 论1 9 5 7 年，i r w i n 8 1 提出了度量裂纹顶端附近奇异应力应变场的一个参量，即应 力强度因子k 的概念，并建立了以应力强度因子为参量的裂纹扩展准则此后不 久，应力强度因子也被用来处理疲劳裂纹扩展等其他有关裂纹的问题i r w i n 在1 9 6 0 年前后用石墨作实验，测出裂纹开始扩展时的k 值，记为疋( 后来称为断裂韧性) ， 并且提出新的断裂判据：当k 达到临界值( 1 1 ) 时，裂纹就开始扩展，从而导致断 裂 k = k ( 1 1 ) 力 应 扩 6 0 年代初期，i r w i n 把线弹性断裂力学理论进行塑性修正后推广到了弹塑性裂 纹体中，在小范围屈服的条件下得到了比较好的结果1 9 6 3 年，w e l l s 1 3 1 以大范围 屈服以至全面屈服为前提条件，提出裂纹张开位移理论( c o d 准则) 该理论用裂 纹顶端的张开位移艿为控制参量来表示韧性断裂过程的特征，并以万达到裂纹顶端 张开位移的临界值魂作为断裂准则进行断裂分析 1 9 6 8 年由c h e r e p a n o v 和r i c e 1 4 】相互独立地提出了，积分同一年， h u t c h i n s o n 1 5 】，r i c e 和r o s e n g r e n 1 6 】用塑性全量理论分析了裂纹体在张开型断裂情 况下裂纹顶端起裂前的应力场和应变场，并指出弹塑性体的裂纹顶端附近在一定 条件下存在着称为h r r 奇异场的应力应变场，而j 积分正是表征该奇异应力应变 场强度的主导参量近年来以j 积分为特征参量的塑性断裂力学的工程方法得到了 一定的发展对于弹塑性断裂力学理论，其实验技术及应用都比弹性断裂力学复 杂得多，虽然它的研究历史已有几十年，但到目前为止仍有许多问题未能解决， 加上工程需要的迫切性，直到现在它仍然是断裂力学中十分活跃的一大分支 我国对断裂力学方面的研究要比国外晚二十几年，大概可以追溯到上个世纪 7 0 年代，但是到目前为止我国学者也做出了很多杰出的贡献我国学者每年被s c i 检索的关于这方面的论文篇数逐年增加范天佑【1 7 捌1 与他的学生对断裂理论的发 展做出了许多有意义的工作以上这些都说明我国学者在断裂力学这个领域中的 研究成果得到了世界的认可在2 0 0 4 年的国际理论与应用力学会议上，断裂力学 第1 章绪论 的论文发表篇数位居固体力学领域所给出的2 4 个主题前列，这些在一定程度上可 以看出断裂力学的研究趋势及发展前景 1 1 3 断裂力学在地学上的应用 近年来断裂理论被成功的应用到了地学 2 2 - 2 5 1 等领域中，而且还成功的避免了 一些自然灾害 2 6 , 2 7 6 0 年代中期，断裂力学被引入到岩石破裂领域中，并将它和 地震学中的某些成就相结合，比较满意地解释了地震过程中的断层错动的力源及 低应力降现象，并发展成为- t l 新的学科，即地震破裂动力学，可以说断裂理论 对震源物理的探索有了较大的帮助 陈培善等1 2 8 ，2 明将断裂力学的观点引入到地震学当中，提出了一种估算环境剪 应力值的方法，并将其运用于搜寻地震危险性区域 3 0 1 他们的推导虽然没有考虑 岩石围压的作用，但对地下应力量值的估算却做出了有意义的尝试地质学家李 四光是我国研究断裂理论最早的科学家，他所著的地质力学原理及方法一书 于1 9 4 3 年出版，用于探索地质力学问题，后来他又著论地震一书，依然是在 探求岩石与地壳断裂判据的问题断裂力学的观点与方法向震源物理的渗透，为 震源孕育和破裂过程的研究提供了新的途径，是震源物理一个重要的领域 1 2 断裂力学与地震研究 地震是一种非常常见的自然现象，大地震对人类所造成的危害是十分严重的， 地震不仅仅会令一些建筑物倒塌，还会造成如火灾，泥石流，山体滑坡，瘟疫等 重大次生灾害，除此之外，天然地震通过地震波还会给我们带来关于地球深部的 结构、组成、过程和状态所以地震研究就成为人们关注的一个重要方面 1 2 1 板块构造与大陆漂移理论 自从德国的魏格纳( w e g e n e r ) 于1 9 1 2 年提出大陆漂移说以来，板块构造学说与 大陆漂移理论就已成为地球学说中最权威的学说之一该学说认为：地球的外层 是由很多板块构成的，地幔中的熔岩在不停地进行上下对流活动，板块因此而产 生缓慢的横向漂移，就像传送带一样，而地壳只是传送带上的“乘客”有的大陆壳 板块相撞之后地壳隆起，形成高山，如喜马拉雅山；有的板块俯冲到另一板块的 受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析 形成一系列岛屿，如干岛群岛由于板块接合部附近有较高的 致附近断层断裂而引发地震，这也说明了地震频发区大多数位 岛弧附近的原因 条地震带为：环太平洋地震带、欧亚地震带以及大洋中脊地震 地震都是构造地震，地震的发生与断层的稳定性密切相关地 上是地下岩石中的应变缓慢积累并快速释放的过程浅源地震 岩石脆性破裂，所以断裂力学就很自然的被应用到对震源物理 力学已成为地学上研究地震破裂的基本工具之一王新华【3 1 1 ， 张之立【3 2 1 等从断裂力学的角度对唐山大地震的破裂过程进行了分析研究 1 2 2 从断裂力学角度看地震 地壳构造中存在大量的裂隙和断层，从断裂力学的角度看地震发生的过程实 质上是一个很复杂的物理过程，主要是一个力学过程，对浅源地震来说更是如- 此断裂力学理论认为，宏观裂纹的失稳是造成宏观物体断裂的主要原因，而现 实生活中的实物在受到形成条件，使用过程或环境等因素的影响下都是有裂纹的， 所不同的只是裂纹的多少与大小而己 岩石断裂力学理论的实验【3 3 , 3 4 研究表明，岩石的破裂过程与一般材料的破裂 过程有着共同的特点，即岩石在受到一定限度的应力作用下所发生的破裂也表现 为裂纹初始化，裂纹的稳态扩展，裂纹的非稳态扩展，含裂纹的岩石破碎这几个 阶段就其本质而言，都是物质连续性的破裂过程，只是规模不同而已所以断 裂力学中的一些理论与实践结果，特别是有关岩石和陶瓷断裂的结论是可以用来 研究地壳裂纹扩展规律及地震的力学过程的 现代断裂力学理论为地震建立了一个力学模型【3 5 】：地球的外层是地壳，厚度 在十几公里到几十公里不等，地壳的下部是地幔，而地幔的上部是软流层，厚度 在2 5 0 k i n 到4 0 0 k i n ，地幔以下是地核，绝大部分呈液态地壳中存在的断层可以 看做是裂纹，露出地面或者接近地表的断层视之为表面裂纹，深埋在地壳之中的 断层视之为埋藏裂纹断层的长度从地球的尺度来看一般都在数百公里以上，比 如我国的郊庐断裂，北起东北的伊兰，南至湖北的广济，横贯我国东部，绵延 第1 章绪论 2 4 0 0 k m 以上，由此可见把地壳看做是均质材料是可行的地壳主要由岩石构成的， 所以可以看做脆性材料，板块构造的复杂性决定了地震的多样性，也就决定了地 震模型的不同断层不稳定性研究的裂纹模型【3 6 4 1 】在一定程度上推动了震源物理 的发展 走滑断层普遍存在于地球上，而且大部分破坏性构造地震的震源机制是走滑 断层，所以对走滑震源机制的研究十分重要1 9 7 3 年，p a l m e r 和r i c e 4 2 提出滑动 弱化模型s t u a r t 4 3 州等利用滑动弱化模型对无限长直立的二维走滑断层的地震不 稳定性进行了分析研究，还利用该模型对圣费尔南多地震( 1 9 7 1 ) 的观测资料进行了 模拟【4 5 1 ，理论的和观测的隆起值以及地震参数互相吻合牛志仁等【4 6 】利用滑动弱 化模型对有限长的、含有粗糙区的二维走滑断层的地震不稳定性作了研究因此， 滑动弱化模型对震源机制和地震预报的研究都有极其重要的意义另外滑动弱化 模型可以视为断裂力学中的d u g d a l e b a r e n b l a t t 模型 4 7 , 4 8 1 在地震学中的成功应用 断裂力学中裂纹主要分三种：张开型( i 型裂纹) ，错开型( i i 型裂纹) ，撕开型( i i i 型裂纹) ，它们分别对应地震学中的张性断裂，走向滑动断裂和倾向滑动断裂如 果两板块相互撞击引起地壳局部隆起或下陷，断层两侧面相互分离，则可以看做 是断裂力学中的i 型裂纹( 张性断裂) ：如果板块主要做旋转运动，则断层两侧面在 水平方向上沿断裂面滑动，这种类型可以看做是断裂力学中的i i 型裂纹( 走向滑动 断裂) ；如果板块向另一板块下俯冲，则断层两侧面沿断层面向上或向下运动，这 种类型可以看做是断裂力学中的i 型裂纹( 倾向滑动断裂) ；若断层在运动时同时出 现以上两种或三种情况时则可以看做是复合型裂纹 1 ，3 断层不稳定性分析的相关研究 尽管地震的根源还没有完全弄清楚，但科学家们一致认为产生地震的主要原 因是地壳上的断层活动所以通过研究断层“失稳”来研究地震的成因是地震研究者 所讨论的主要问题之一，研究者们有的从理论出发，有的从实验结果与观测资料 出发，对这一地震学界所普遍关注的问题展开了深入的讨论和研究 走滑断层不稳定性分析 的研究工作已有很多，杨晓春，范天佑【2 3 2 5 】 对断层不稳定性进行了数学分析，侧重分析了断层的有限尺寸效应和断层传播速 度效应以及它们对断层不稳定性的影响，这一结果对震源观测中发现的低应力降 现象做了很好的解释，也对板块构造理论涉及该方面的内容做出了补充 李平思，殷有泉 4 9 1 基于断层面强度的非均匀性，将断层面的宏观破裂过程看 作是断层面局部微元的破裂累积过程，假设断层面局部微元强度遵循w e i b u l l 概率 分布，从统计力学的角度推导了宏观的断层荷载变形的全过程本构关系 孙竹凤，范天佑【5 0 】以连续介质力学为基础，以地块动力学为指南，对2 0 0 8 年 5 月1 2 日汶川m s 8 0 级地震的主震断层的构造应力场进行了定量分析，讨论了 地块地块、地块断层和断层断层间的相互作用 朱伯靖，柳畅，石耀霖【2 4 】应用非线性边界元法和主部分析法，将汶川地震断 层的破坏过程转化为解以断层位移为未知函数的超奇异积分方程组的问题，定义 并得到了断层处应力强度因子数值解，分析了应力强度因子随断层位置的变化规 律，并得到汶川地震断层的破坏过程，为地震短临预测提供理论支持和帮助 1 4 本文的研究内容与结构安排 1 4 1 研究内容 研究表明，走滑断层是构造地震的主要震源机制，且在地球上具有普遍性， 故对走滑断层的不稳定性分析就显得十分重要走滑断层可以用断裂力学中的 型裂纹进行模拟前人对受内裂纹影响的断层不稳定性进行了很多分析，但是对 于受边界裂纹影响的断层的不稳定性分析却不多见很多研究者采用数值分析或 者有限元等方法对断层不稳定性进行研究，但量化的结果却不多见 力学上的斜边界裂纹问题已经有了一些结果杨晓春，范天佑【5 l 】以断裂力学 为基础，应用复变函数方法将弹性半平面中的斜边界裂纹静力学问题转化为一组 解析函数边值问题进行求解；h a s e b e 等【5 2 1 采用保形映照的方法也对这一裂纹问题 进行了力学分析这一模型可以直观的模拟走滑断层失稳可能引起的地壳变形和 地震一些文献 2 3 , 2 5 】对断层的不稳定性做了一些量化分析，解释了震源观测中发 第1 章绪论 现的低应力降现象本文主要是将弹性半平面中的斜边界裂纹问题【5 1 】的力学结果 与地学相结合，对受斜边界裂纹影响的走滑断层做了量化分析，讨论了斜边界裂 纹对断层不稳定性的影响，从而对震源观测的低应力降现象作出进一步解释 1 4 2 结构安排 第l 章：绪论本章概述了断裂力学的发展以及它在地学上的一些应用，还 介绍了本文的相关研究内容与结构安排 第2 章：预备知识本章给出了本文所需的一些理论及基本公式，为后面的 研究工作打下基础 第3 章：弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解本章介绍了弹性下半平 面斜边界裂纹问题的求解过程，并求出应力强度因子 第4 章：受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析本章主要将力学上的 斜边界裂纹问题的结果与地学相结合通过临界应力值的无量纲化结果，考虑斜 边界裂纹对走滑断层不稳定性的影响，证实了震源观测中发现的低应力降现象 第5 章：结论与展望本章对本文的结果做了总结，并提出将来应做的一些 工作 第2 章预备知识 这一章中，着重介绍一些与本文相关的概念与公式，其中包括复变函数中的 基本公式与平面弹性复变方法中的基本知识 2 1 基本公式 复变函数中通常以 z = x + i y ( 2 1 ) 表示一个变量，其中 i = 一1 ( 2 2 ) 有时也记为 z = r e 谚， ( 2 3 ) 五 其中 一 、 ，= 如2 + y 2( 2 4 ) 为z 的模， p = a r c t a n i y x ) ( 2 5 ) 是z 的幅角 ( 1 ) 柯西积分公式【5 3 】：设区域d 是以有限条简单闭曲线c 为边界的有界区域， f ( z ) 在d 内解析，在历= d + c 上连续，则v z d ，则 f ( z ) = 击c 静f ( 2 6 ) ( 2 ) p l e m e l j 公式【5 4 】：设三是一条分段光滑曲线，f ( t ) e h 2 # l _ i x ，则对于任 何，oe 三( 当三为开口曲线时，t o 不为三的端点) ，c a u c h y 型积分 心) = 去磐衍，z 仨三 ( 2 - 7 ) 的边值存在，且有下列p l e m e l j 公式 第2 章预备知识 其中r ( f o ) 与f 一( f o ) 表示( 2 7 ) 中的f ( z ) 当z 分别从三的正侧和负侧趋于气时的极 限值，而岛是三在岛处的两单侧切线在三正侧所张的角( o - e o o ) 表示弹性体的弹性模数，v ( o 1 i ， 必) 表示其泊松比 q 加一锄 + 锄一知加一钞锄一砂 = = = 红 助 幻 第2 章预备知识 相容方程如下 等+ 磐：鱼 (217)&a却2 苏2 y r 在弹性理论中，广义的胡克定律起着极其重要的作用，它可以表述为：应力 是诸形变的齐次线性函数；反之，形变也是诸应力的齐次线性函数假定弹性体 是各项同性的平面弹性问题分为平面应力与平面应变两种情况，平面应变情况 下广义胡克定律如下 其中 代表弹性体剪切模数 q = ( 允+ 2 ) 罢+ 五罢 l 珥 o y c r y = 也m 脚) 善 ( 2 1 8 ) f ，却8 u 、 叫l 瓦+ 万j 名= 旦 ( 1 + ，) ( 1 - 2 v ) e = 夏而 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 设弹性体内有体积力f = ( z ，y ，o ) ，根据静力学的平衡原理有下列平衡方程 f 监+ 堕+ x ：0 j 苏 砂 1 监+ 盟+ 】，= o 【8 x 砂 由( 2 1 8 ) 不难得出 c q + q ，= 2 c 五+ ，( 罢+ 考 将( 2 1 8 ) 代入到( 2 2 1 ) q b 并与( 2 2 2 ) 比较，得到弹性体所满足的协调方程 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) a 2 u 2 一丽 则 战= o 七g 9 f l q ( 2 2 5 ) 与( 2 2 7 ) 容易得到双调和方程 2 u = 0 其中 a 2a 2 = 丽+ 矿 为二维l a p l a c e 操作数，u 称为实应力函数或实a i r y 函数 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 舸一矿舸一掰 = = b 奠 第2 章预备知识 啪肚卜小z 姚 ， 这里伊( z ) 与( z ) 表示两个解析的复应力函数或称复a i r y 函数，也称k o l o s o v 函数 或m u s l d a e l i s h v i l i 函数z = x + i y - 与z = x 一纱互为共轭，r e 表示复数的实部 根据静力学，位移的复变表达式如下 2 t ( u + i v ) = x 纵z ) 一z 雨一而， ( 2 3 1 ) 用极坐标来表示 2 , u ( v p + i v o ) = x t p ( z ) 一z 雨一而 p 瑚 ( 2 3 2 ) 其中 心= 舷34 v 裟 茁= 1 厶j jj l 一 ，平面应变 。 由弹性静力学的基本关系和( 2 3 0 ) ，应力的复变表达式如下 p - 2 ：， “弛p 】， ( 2 3 4 ) h t r , * + 2 i t , , r 2 2 【印。( z ) + 北) j 其极坐标形式 ， c r p 呜+ c r o + 2 i = 4 r 矿e l p ( 2 z 七加p 毋 ( 2 3 5 ) 【一+ 2 1 = 2 【却。( z ) + ( z ) 彬 。 裂纹面上 厂( f ) = f 【( 露( f ) + f 聍( 蝴， ( 2 3 6 ) 口是裂纹，的起点，n 是裂纹，的外法线方向，砖( f ) + f 野( ，) 表示裂纹厂两侧各点 处所受的外应力 2 4 边界条件复数表示 求解( 2 2 5 ) 这一类的偏微分方程，要有一定的边界条件，设弹性体占有平面中 受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析 边界三上给定了位移 g ( ，) = ( f ) + i v ( t ) ， 位移边界条件如下 x q o ( t ) - t 妒( t ) - q k ( t ) = 2 比g ( t ) ，r 三 中g ( f ) 是三上给定的函数 边界工上给定外力 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 厂o ) = f j ：( 以( f ) + f o ) 净， ( 2 3 9 ) 则应力边界条件如下 q o ( t ) + t q o 9 ) + ( f ) = 厂l j f ) + c ，l ( 2 4 0 ) 其中c 为常数 根据边界条件提法的不同，着重讨论下面两类基本问题：第一基本问题，已 给三上各点的外应力，求弹性平衡；第二基本问题，已给三上各点的位移，求弹性 平衡所谓求弹性平衡，就是要求s 中各点的应力状态以及位移 还有一种所谓的混合问题，就是在三的一部分上已知外应力，而在另外一部 分上已知位移，求弹性平衡 第3 章弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解 第3 章弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解 最近几十年断裂力学发展迅速，无论是在科学上还是在工程上都发挥着极其 重要的作用随着断裂力学的发展，断裂力学被应用于地学中，尤其是在地震学 中的应用破坏性构造地震的震源机制大部分为走滑断层，它可以用滑开型裂纹 进行模拟，所以力学上的某些断裂问题的研究就显的十分重要文献【5 l 】研究了弹 性半平面中的斜边界裂纹问题，这是一个典型的地学断裂问题，它能直观的模拟 走滑断层失稳所引起的一些地壳变形等 前两章中已经介绍了断裂力学的发展概况以及在本文中将会用到的一些基本 知识断裂力学裂纹问题的研究方法有很多种，如复变函数法，有限单元法，边 界配置法，奇异积分方程法，权函数法等在计算的时候，可以根据实际情况的 不同采用不同的计算方法有些问题并不能算出解析解，这时可以借助数值解来 解决问题 3 1 断裂力学求解方法 复变函数法复变函数法是一种将保形映照，c a u c h y 型积分，解析延拓，刘 维尔定理等理论应用到求解裂纹问题的一种方法当弹性介质中裂纹的几何形状 比较复杂时，平面弹性复变方法就是一种行之有效的方法m u s k h e l i s h v i l i 在他的 专著【铜中系统地介绍了如何利用复变函数理论求解弹性静力学问题这一方法使 许多实际工程问题得到了解决可以说m u s k h e l i s h v i l i 在利用复变函数理论求解弹 性静力学模型这一领域中作出了巨大贡献 有限单元法当物体的几何形状、裂纹位置或者加载方式比较复杂时，可采 用有限元法求得数值解为了得到可靠结果，裂纹尖端的网格要划分得足够细， 网格尺寸一般为l o 。2 1 0 - 3 ，三是裂纹的尺寸 边界配置法边界配置法的优点是计算方便，特别适合用于紧凑拉伸、三点 弯曲及含中心裂纹的矩形试样缺点是收敛性未得到证明，再就是配置点的选择 对结果有影响但是一些学者为了得到可靠的计算结果，采用了边界配置法与最 t j 、- - 乘法相结合的办法来分析问题，从而得到稳定的收敛结果 受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析 奇异积分方程法断裂力学中许多裂纹问题的数学模型都可以归结为求解带 有c a u e h y 核或者是h i l b e r t 核的奇异积分方程问题实际操作中，只有很少的特殊 条件下的一些问题可以求出解析解，大部分的研究工作只是给出了所研究问题的 解的存在唯一性证明但是在实际工程应用中，工程师们往往只是对数值结果感 兴趣，这就要求我们求解奇异积分方程的数值解在实际操作中，我们往往先用 l o b o t t o c h e b y s h e v 求积公式将所得到的奇异积分方程离散，再利用所得到的线性 代数方程组来逼近所要求解的奇异积分方程通过计算机编程，就可以得到奇异 积分方程的数值解了随着计算机科学技术的发展和奇异积分方程理论的成熟， 奇异积分方程的数值解法逐渐被应用到对各种断裂行为的研究上m u s k h e l i s h v i l i 对奇异积分方程的一般理论进行了深入研究，这些研究成果为奇异积分方程的求 解奠定了基础 权函数法权函数法最早由b u e c k n e r 提出的，他不仅阐述了权函数的重要性 质，而且还给出了一些应用随后r i c e 和p a r i s 等利用应力强度因子与能量释放率 之间的关系，在静态断裂力学中对权函数的构造方法进行了发展断裂力学中的 权函数类似于数理方程中的格林函数，而格林函数是解决边值问题的有力工具， 所以权函数法也是解决断裂力学中裂纹问题的一种有效方法 本章应用复变函数理论对弹性下半平面带有斜边界裂纹的问题进行分析求 解研究中主要以断裂力学为基础，采用复变函数法将原问题化为一组解析函数 边值问题进行求解通过分拆函数法以及黎曼边值问题的理论，给出了所研究问 题的解析解所以本章介绍弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解过程，求出 问题的应力强度因子，为后面研究斜边界裂纹问题对走滑断层不稳定性影响打下 基础 3 2 基本问题描述与求解 3 2 1 基本问题的描述 如图3 1 所示，所讨论的问题位于坐标系的下半平面s ，取x 轴从左向右为其 正方向，在坐标系的下半平面中含有一个斜边界裂纹，与x 轴成秒角，记 第3 章弹性下半平面带有斜边界裂纹问题的求解 t 二 a 图3 1 断层裂纹面上的应力分布 f i g 3 1t h e s t r e s sd i s t r i b u t i o no i lt h ec r a c ko f f a u l t 所研究问题的控制方程可以用下式来表示 v 2 订2 vu = 0 ， ( 3 1 ) 裂纹，表面上受到水平方向的均匀压力p ，而其余的边界都不受外力作用，由应力 p 引起裂纹扩展的起始问题可以用下列边界条件来描述 y = o ，一0 0 x + 叮， ，= = 0 x 2 + j ，2 - - 0 0 ，= = = o ， ( 3 2 ) 以o ) + f 聍( ，) = + p s i n 0 用群( f ) + f 野( f ) 表示裂纹y 正侧各点处所受的外应力，巧p ) + f 巧p ) 表示裂纹 ，负侧各点处所受的外应力，于是，正负侧的外应力主矢量分别为 受斜边界裂纹影响的走滑断层不稳定性分析 x + + i y + = l ( 辫( ，) + f e ( r ) ) 凼 = 一要( 1 - e 2 妇) t n 旷：l k ( f ) + 啾) ) 豳 。3 = 。1 - e 2 谚) ， 由静力平衡原理，整个边界上外应力的合主矢量应为零，即 x + i y = ( x + + i y + ) + ( x 一+ i y 一) = 0 ( 3 4 ) f h 5 4 的一般理论，复应力函数伊( z ) 与( z ) 应满足的边界条件为 p d “型+ 塑w ) + r ， ( 3 5 ) 【q f ( t ) + t q o o ) + 一o ) = f 一( f ) + c 一 因此这一问题可化为下列解析函数边值问题进行求解：已知y 上的函数 五( ，) + f 匕o ) ，满足厂( ，) 单值( 或整个边界上外应力主矢量为零) ，要求s 中的两个 全纯函数缈( z ) 与( z ) ，使