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变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 摘要 人工神经网络是目前国内外关注的一个非常活跃的研究领域，它在智能控制、 模式识别、图像处理、非线性优化计算、传感技术、机器人等众多领域都有广泛的 应用。在实际应用中，人们通过电子电路来实现神经臃络的功能，由于受人为因素 以及神经元放大器有限转化速度和技术水平等客观因素的影响，时滞现象是不可避 免的。时滞现象，其不但会降低网络的传输速度而且常常会导致网络的不稳定，所 以，具有时滞的神经网络系统的动力行为就尤为重要。 根据系统基本变量选取的不同，递归神经网络的数学模型可分为静态神经网络 和局域神经网络。静态神经网络模型，它将神经元外部状态作为变量研究，在某些递 归神经网络中有广泛应用，例如r e b p 网( r e c u r r e n tb a c k - p r o p a g a t i o nn e t w o r k s ) 、c n n s 网( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ) 、b s b 网( b r a i n - s t a t e i n - a - b o xt y p en e t w o r k s ) 等。现在关于 递归神经网络的研究大多集中于局域神经网络模型，静态神经网络模型的动力学性 质还未被深入讨论。 在目前有关时滞静态神经网络系统动力学行为的研究成果中，绝大部分局限于 研究常时滞情况，对变时滞神经网络系统的研究工作尚不多见。本文主要研究了变 时滞静态神经网络的一些动力行为。 本文的安排如下：第一章是概述，简单介绍了人工神经网络，涉及本文将要用到 的定义及定理：第二章的内容是运用非负矩阵性质和不等式技巧，研究了变时滞静 态神经网络存在不变集和周期吸引子的充分条件，并对周期吸引子的存在范围进行 了估计。第三章的内容是利用矩阵不等式的分析技巧和b a n a c h 空间中不动点定理， 通过构造李雅普诺夫函数，研究变时滞静态神经网络的概周期解，得到了变时滞静 态神经网络概周期解存在性，唯一性和全局指数稳定性的充分条件。第四章贝利用 拓扑度理论，y o u n g 不等式及矩阵不等式的分析技巧，研究变时滞静态神经网络平 衡点的存在性和全局指数稳定性，得到一系列充分条件。 关键词：变时滞；静态神经网络；不变集：吸引子；概周期解；全局指数稳定 性；周期解。 d y n a m i c a ib e h a v i o ro fs t a r i cn e u r a i n e t w o r k w i t ht i m e v a r y i n gd e i a y s a b s t r a c t a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r ki sav e r ya c t i v er e s e a r c ha r e ai nt h e s ey e a r s ， i ti sa p p l i e di np a t t e r nr e c o g n i t i o n 、a u t o m a t i c c o n t r o ls y s t e m s 、 o p t i m i z a t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g 、s i g n a lp r o c e s s i n g 、a s s o c i a t i v em e m o r i e sa n d s oo n i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，p e o p l ec a r r yo u tt h ef u n c t i o n so ft h ea n n b yu s i n ge l e c t r o n i c t i m ed e l a y sa r ei n e v i t a b l y e n c o u n t e r e di nn e u r a l n e t w o r k sb e c a u s eo ft h ea r t i f i c i a lf a c t o r s 、t h ef i n i t es w i t c h i n gs p e e do f a m p l i f i e r sa n dt e c h n i c a ll e v e l ，a n ds oo n t i m ed e l a y sn o to n l yr e d u c et h e v e l o c i t y 、o ft r a n s m i s s i o n ，b u t + a l s oc a u s ei n s t a b i l i t ya n dp o o rp e r f o r m a n c e o fn e u r a ln e t w o r k s s oi ti si m p o r t a n tt or e s e a r c hd y n a m i c a lb e h a v i o ro f n e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a y s b a s i n go nt h ed i f f e r e n tb a s i cv a r i a b l e s ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f n e u r a ln e t w o r k sc a nb ed i v i d e di n t ot w ot y p e s - - l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k s m o d e la n ds t a ri cn e u r a ln e t w o r k sm o d e l s t a t i cn e u r a ln e t w o r k sm o d e lr e s e a r c h o u t e rs t a t eo ft h en e u r o na n di ti sa p p li e di ns e v e r a lr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k s ，f o ri n s t a n c er e c u r r e n tb a c k - p r o p a g a t i o nn e t w o r k s 、c e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k s 、b r a i n - s t a t e - i n - a - b o xt y p en e t w o r k s ，a n ds oo n m o s tr e s e a r c h e r s a b o u tn e u r a ln e t w o r k sf o c u s e do nt h el o c a lf i e l dm o d e i s ，f e wp a i da t t e n t i o n t ot h es t a t i cm o d e l s i nt h er e s u l t so fd y n a m i c a lb e h a v i o ro fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k w i t ht i m e d e l a y s 。m o s ta r ea b o u tc o n s t a n tt i m ed e l a y s ，f e wa b o u tt i m e v a r y i n gd e l a y s i nt h i sp a p e r ，d y n a m i c a lb e h a v i o ro fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k w i t ht i m e v a r y i n g d e l a y sw i l lb ei n v e s t i g a t e d t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eg e n e r a l k n o w l e d g ea n dp r e s e n t ss e v e r a li m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s i n c h a p t e r2 ，s o m es u f f i c i e n tc r i t e r i ao ft h ei n v a r i a n ts e ta n dp e r i o d i c a t t r a c t o ra r ed e r i v e d p a r t i c u l a r l y w eh a v ep r o v i d e da ne s t i m a t eo n e x i s t e n c er a n g eo fp e r i o d i ca t t r a c t o rb yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fn o n n e g a t i v e m a t r i c e sa n dd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yt e c h n i q u e i nc h a p t e r3 ，s o m e s u f f i c i e n tc r i t e r i ao ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o na r ed e r i v e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m o fb a n a c hs p a c e ，n o n n e g a t i v em a t r i c e st h e o r ya n dd i f f e r e n t i a li ne q u a l i t y t e c h n i q u e i nc h a p t e r4 ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nt og t l a r a n t e e t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ta n dt h ee x i s t e n c e o f p e r i o d i cs o l u t i o nf o rs u c hd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sb yu s i n gt h e t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y 。y o u n gi n e q u a l i t ya n dn o n n e g a t i v em a t r i c e st h e o r y k e yw o r d s ：s t a t i cn e u r a ln e t w o r k ；t i m e v a r y i n gd e l a y s ；i n v a r i a n ts e t ； p e r i o d i ca t t r a c t o r ；a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b a le x p o n e n f i a ls t a b i l i t y 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 (2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名 签字日期：& 酊7 年乡月知日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：夕舍雄稿 签字日期：文的7 车亡月；o 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字： 渺 签字日期：仞扩7 年f a r o 日 电话： 邮编 变时滞静态冲经网络模型的动力行为研究 1 概述 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s 。缩写心) 是对人脑若干基本特征通 过数学方法进行抽象和模拟，是一种模仿人脑结构及其功能的非线性信息处理系统。 人工神经网络作为人工智能的一个重要分支，具有许多独特的优点，从诞生之日起 就备受瞩目。尽管在二十世纪六、七十年代，人工神经网络的研究经历了一个短暂 的低潮期，进入二十世纪八十年代后，他重新引起了人们的注意，进入了发展的高 潮。目前，人工神经网络已成为一个十分活跃的研究领域，国内外许多学者致力于 人工神经网络理论与应用的研究。本文介绍作者三年来在人工神经网络领域所作的 一些研究成果。 1 1 人工神经网络基本涵义 人类的大脑是由大约1 0 ”至1 0 ”个神经细胞( 神经元) 组成。人脑神经元有许 多不同的类型。就其共性而言，神经元由三个部分组成：树突、轴突和细胞体。神 经元通过树突与轴突彼此相互连接，组成了网状结构，被称为神经网络。 单个神经元的功能是简单的，智能或信息并不是存储在单个神经元中。人脑的 智能存在于大规模的神经元相互连接之中，存在于神经元相互作用之中。即是说， 智能是分布式地存在着，主要存在于神经元之间的连接模式和连接强度之中。改变 脑中神经元之间连接模式或强度，就改变了大脑掌握的信息。 人工神经网络，是通过模拟人类大脑结构，实现某种智能行为的信息处理系统。 人们已经提出了许多种人脑的数学模型。尽管在细节上有许多不同，这些模型包含 着若干基本共同特征。基于此，我们只讨论一种通用神经元模型，并把它与大脑神 经元实体部分相对应，如表1 1 所示。 模拟单个生物神经元对信息的处理，建立了人工神经元模型。单个神经元对信 息的处理能力是非常有限的，只有将多个神经元相互连接起来，构成一个神经网络 体系，才能够对复杂的信息进行识别处理。人工神经元按照一定的拓扑结构相互连 接组成的网络，被称为人工神经网络。 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 表1 1生物的和人工的神经元 生物神经系统人工神经系统 神经元，神经细胞 一 处理元件，人工神经元 树突连接函数 细胞体传递函数，作用函数 轴突元件输出 突触连接权重 1 2 人工神经网络的产生与发展 人工神经网络的产生与发展经历了一个曲折艰难的过程。早在1 9 4 3 年，心理学 家w a r r e nm c c u l l o e h 和数理逻辑学家w a l t e rp i t t , s 从信息处理的角度出发，采用数学 模型的方法，对生物神经细胞的行为进行研究，提出了形式神经元模型，称为m p 模型。通过m p 模型提出了神经元的形式化数学描述和网络构造方法，证明了单个 神经元能够执行逻辑功能，从而开创了人工神经网络研究的时代。1 9 4 9 年，心理学 家d o n a l dh e b b 在行为科学( t h eo r g a n i z a t i o no fb e h a v i o r ) 一书，明确提出了突 触联系强度可变假设，认为突触联系强度是随前后神经元的活动而变化，从而说明 了神经元连接强度是可以修正的，为神经网络的产生奠定了基础。1 9 5 7 年f r a n k r o s e b l a t t 首次引入感知器( p e r c e p t r o n ) 的概念，它由阂值型神经元组成，试图模拟 动物和人脑的感知和学习能力。感知器通过训练可用作某些模型的分类器。尽管感 知器模型十分简单，但它已经具备了神经网络的某些基本特征，如学习功能、分布 式存贮和并行处理功能、一定的容错性等等。1 9 6 2 年，美国斯坦福大学教授b e r h a r d w i d r o w t i 提出了自适应线性神经元( a d a p t i v el i n e a r n e u r o n ，简称a d a l i n e ) ，并与 m a r t i a nh o f f 一起提出了一个新的学习规则，称为w i d r o w h o f f 学习规则。此规则 可减少训练过程中神经网络输出的误差平方和。自适应线性神经元及其扩展而来的 多自适应线性神经元( m u l t i p l e a d a l i n e ，简称m a d a l i n e ) ，早期主要应用于模式识 别、天气预报和自适应控制。人工神经网络第一个成功应用的实例是消除通讯中的 回波。 但是，在1 9 6 9 年m a r v i n i i n s t y 和s e y m o u r p a p e r t 出版了感知器) ) ( p e r c e p t r o n ) 2 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 一书，该书指出：简单的感知器只能局限于处理线性问题，对于像x o r ( 异或) 这 样简单的非线性问题都无能为力。他们提出了构造含有隐层的多层感知器的方案， 但对隐层神经元的学习规则并不清楚，并对此持悲观态度。加之当时v o nn e u m a n n 数字计算机和人工智能正处于发展的黄金时期，暂时掩盖了发展新型计算机和人工 智能新前途的必要性和迫切性，使得人工神经网络的研究一度处于低潮。 直至1 9 8 2 年，美国加州工学院物理学家j o h nh o p f i e l d 提出了h o p f i e l d 神经网 络模型，引出了“能量函数”的概念，给出了网络稳定性的判据，并成功地解决了 著名的“旅行商问题”，成为人工神经网络走向成熟的里程碑。1 9 8 4 年，他又提出 了连续时间h o p f i e l d 神经网络模型，为神经计算机的研究做了开拓性的工作，开创 了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途径，有力的推动了神经网络的研究。 1 9 8 6 年，d e r u m e h a r t 和j l m c c l e l l a n d 提出多层网络学习的误差反传播算法， 实现了m i n s k y 引入隐层的设想。这为多层感知机找到了一个有效的学习算法，从 而把人工神经网络的研究进一步推向深入。与此同时，基于v o nn e u m a n n 原理的数 字计算机在处理形象思维、语音图像识别以及联想记忆等模糊信息时屡受挫折，而 神经网络能够处理模糊信息的特点使人们认识到人工神经网络的重要价值。 随着人工神经网络理论研究的不断成熟，神经网络的发展进入了一个新时期， 应用研究也得到迅速发展，应用领域趋于广泛。进入2 0 世纪9 0 年代，人工神经网 络作为新学科、新方法和新技术，在自然科学和社会科学各个领域得到了广泛的应 用，取得了丰硕的成果。神经网络技术研究也随之得到飞速发展，各种网络结构和 算法系统应运而生，逐渐构成了较为完善的人工神经网络理论体系。同时，人工神 经网络的学术交流日益频繁，形成了良好的学术氛围。 1 9 8 7 年6 月电气和电子工程师协会( i e e e ) 在美国加州举行了第一届人工神经 网络( a n n ) 国际会议，并成立了国际神经网络学会，此后，每年召开两次国际联 合神经网络大会( i j c n n ) 。我国于1 9 9 0 年1 2 月在京召开了第一次中国神经网络学 术大会，规定每年召开一次，并于1 9 9 1 年成立了中国神经网络学会。 人工神经网络作为一种数学算法体系，已经解决了许多实际问题，它的生命力 也恰恰在于其广泛的实用价值。 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 1 3 人工神经网络的特性 人工神经网络具有以下特性： 1 并行分布处理 神经网络具有高度的并行结构和并行实现能力因而能够有较好的耐故障能力 和较快的总体处理能力。这特别适用于实时控制和动态控制。 2 非线性映射 神经网络具有固有的非线性特征，这源于其近似任意非线性映射( 变换) 能力。 这一特性给非线性控制问题带来新的希望。 3 通过训练进行学习 神经网络是通过研究系统过去的数据记录进行训练的。一个经过适当训练的神 经网络具有归纳全部数据的能力。因此，神经网络能够解决那些由数字模型或描述 规则难以处理的控制过程问题。 4 ，适应与集成 神经网络能够适应在线运行，并能同时进行定量和定性操作。神经网络的强适 应和信息融合能力使得网络过程可以同时输入大量不同的控制信号，解决输入信息 间的互补和冗余问题，并实现信息集成和融合处理。这些特征特别适于复杂、大规 模和多变量系统的控制。 5 硬件实现 神经网络不仅能够通过软件而且可以借助软件实现并行处理。近年来，一些超 大规模集成电路实现硬件已经问世，而且可以从市场上购到。这使得神经网络具有 快速和大规模处理能力的实现网络。 1 4 人工神经网络的应用 随着计算机技术的普及和发展，人工神经网络的研究和应用也取得了惊人的进 展，涉及自然科学、社会科学、应用科学及综合性交叉学科等各个方面，取得了令 人瞩目的成果，主要应用有以下方面。 1 模式识别 在模式识别方面的主要应用有：非线性系统识别、动态系统识别、图形和文字 4 变时滞静志神经网络摸型的动力行为研究 识别、卫星遥感图像识别、声音识别、模糊系统识别、化学过程的仿真和识别、医 疗疾病的诊断等。 2 预测和预报 在预测和预报方面的主要应用有：经济发展预测、银行汇率预测、股市行情预 测、市场需求预测、天气预报、江水径流预报、洪水预报、电力负荷预报、交通状 况预报等。 3 优化问题 电力输送的优化，大型混合问题的解决、能源的优化利用、水资源优化配置、 水库优化调度等。 4 神经控制 基于神经网络的智能控制有：工程过程控制、运载工具控制、机器人的智能控 ， 制、冰箱温度智能控制、机械振动系统的智能减震控制等。 等 5 智能决策和专家系统 人力物力优化分配与调度、智能数据库系统、专家系智能学习和判断分析系统 1 5 关于静态神经网络 神经网络根据网络结构( 神经元间连接方式) 的不同，可以分为：前馈网络 ( f e e d f o r w a r dn e t w o r k s ) 和反馈网络( f e e d b a c kn e t w o r k s ) 。反馈网络又称递归网络 ( r e c u r r e n tn e t w o r k s ) 。 递归神经网络可分为离散型和连续型，其模型分别对应了离散动力系统和连续 动力系统。 也：童淼名以 连续型递归神经网络以模拟量作为网络的输入输出量，各神经元采用并行方式 工作，更易于由简单的电子网路实现，许多模型被相继提出。例如，h o p f i e l d 将他 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 的离散型模型推广为连续型模型，提出了可以由电子网路实现的连续型h o p f i e l d 网 络模型 e 鲁= 1 r 嘻呐h ， 根据基本变量的不同选择，连续型递归神经网络的数学模型可以分为局域神经 网络模型( l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k sm o d e l s ) 和静态神经网络模型( s t a t i cn e u r a l n e t w o r k sm o d e l s ) 两类。 局域神经网络模型将神经元内部状态作为基本变量，其基本形式为 r 警一卅砉( 卅，f ， 常见局域神经网络模型有：双向联想记忆( b a m ) 模型，细胞神经网络( c l , f n s ) 模 型，h o p f i e l d 神经网络模型。 静态神经网络模型将神经元的外部状态作为基本变量，其基本形式为 r 警= 哪m 。( 喜嘞啪m ) 扛1 2 ， 常见静态神经网络模型有：递归b p 网络( r e b p t y p en n s ) 模型，脑中盒( b s b ) 模型。 目前，递归神经网络模型已经被深入的研究，并取得了众多成果。但大部分是 基于局部神经网络模型进行的，静态神经网络模型的动力学性质还未被深入讨论。 由于静态神经网络有广泛代表性，因此对其进行深入研究是非常重要的。本文研究 了变时滞静态神经网络模型的动力行为。 1 6 预备知识 变时滞静态神经网络模型基本形式为 警一州蝴( 喜吲一( f ) h ( f ) ) 其中，l 代表神经元的个数，毛( f ) 表示第i 个神经元在f 时刻的状态变量，a a t ) 表示在 与神经网络不连通并且无外部附加点压差的情况下第i 个神经元恢复孤立静息状态 6 变时滞静态神经网络援掣的动力行为研究 的速率，表示从第，个神经元到葶f 个神经元的连接权重，乃( ) 表示对第f 个神经 元作用函数，_ ( f ) 第f 个神经元与第，个神经元在f 时刻的传递时滞，( f ) 表示第f 个 神经元在t 时刻的偏流。 定理1 1 李雅普诺夫定理( l y a p u n o vt h e o r e m ) 考虑动力系统 j ( f ) = ，( z ( f ) ) ， ( 1 1 ) 其中，f ：w r 4 是开集wc r 。上的c 1 影射 设i w 是( 1 1 ) 的一个平衡点若v ：u 专r 是定义在i 的邻域uc w 上的一个连 续函数，在u i 上可微，且使得 ( a )y ( x - ) = 0 ，y ( 功 0 当工i ； ( b ) 矿( 工) 0 ，当工u i 时； 则i 是稳定的此外，若还满足 ( c )矿( 力 l l ，8 毛( f ) n ，i l x c , ) l l ，r ， 其中8 删i i r = 恶+ s ) i 设a = ( ) 。，口= ( ) 。，j f a , j ，i = 1 ，2 ，n ，j 2 1 ，2 ，l ，则a b 。 定义2 1 对于集合s 仁c 【一r ，o l ，r 8 】，若任意初始条件矿e s ，当f f o 时，系统( 2 2 ) 满足初始条件的解j ( f ) s ，则称s 为( 2 2 ) 的正不变集 9 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 定义2 2 对于集合s c c - r ，0 】，r 4 】，若任取初始条件矿c 【一r ，o 】，r 勺，当f _ + o o ，系 统( 2 2 ) 满足初始条件的解工( f ) 收敛于s ，即 d i s t ( x ( t ) ，s ) 斗0 ， 其中，d i s t ( x ，s ) = i 西d ( x ，y ) ，则称s 全局吸引 y t j 引理2 1 若m 0 ，p ( 膨) l ，当【纠j 气使得 1 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 即 x a t 0 + = 口瓦，【( f ) 】+ 口墨，t o f f 1 ( 2 6 ) 【j ( f ) 】+ c t kv t os f - - - 6 ， 其中k i 是向量五的第f 个元素 由( 2 2 ) 式及( 日2 ) 得 i c t ) = 一a ( f ) f ) + f ( w x ( t r ( f ) ) + ，( f ) ) m o c k ， 所以 【工( ) 】+ 一“”( a k - m a k ) + m c r k 1 ，当 t o ： 0 ，存在f 2 毛，使得当 t f 2 时有 工( f ) 】：置+ ( 1 + 矿v t t 2 ( 2 9 ) 由a = d i a g a ，a 0 ，对上述占 o ，必存在t f 2 ，使得 f “e 4 j 如口融s e ( 2 1 0 ) j r 由( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) ，当f f 2 + r ，可得 i x ( r ) 】+ s p 如+ e - x | - ) b w + 【工( j ) 】：幽 = e 却飞+ ( j _ 也弦舢b w 怫) 】 g 一【纠；+ f p “j 沁口k d s + l p 一_ 【h 面膨( i + ( 1 + e ) o ) l d s p 一1 白【矿】：+ e 占+ ( ，一f 一盯) 饭+ f ( 1 + 0 盯1 p 一1 卜【痧】：+ e 台+ 懈+ f ( 1 + s ) c r ( 2 1 1 ) 由( 2 8 ) 式及上确界极限的定义可知，存在t 2 + z ，z = l ，2 ，使得 。1 + i r a 。 工( ) 】+ = 置+ 口 令t t 寸佃。占专o 。由( 2 1 1 ) 式得 j r + 仃 k + m 盯 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 再由m k + q = k ，得 置+ 盯m k + m c r = k q + 肘护k + m c r 即 盯膨 若o r 0 时，由【5 】定理8 3 2 ，可知厦膨) 1 这与条件p ( 肼) 0 ，存在 ，= f ( 0 0 ，使得在每个长度为z 的区间内至少有一个f = f ( s ) r ( ，0 ，使得对一 切t r ，有i f ( t + r ) 一，( f ) k 占 集合r ( ，西叫做，( f ) 的占一移位数集或s 一概周期集f 叫做，( f ) 的s 一移位数 或占一概周期，( s 叫做r ( f ，西的包含区间长度 引理3 1 设4 ( f ) ，( 力为概周期函数，且膨 4 ( f ) 】o ，则系统j = 4 ( f ) 石+ ，( f ) 具有唯一的 概周期解 1 7 变时滞静态神经网络模型的动力行为研究 雄，= 躲= 三 其中肘【d ( f ) 】：r l i - m 蛐! tj 广o 4 ( s 胁 引理3 2 假设a o 为l l x l l 实矩阵且谱半径以a ) l ，则( e a ) 一1 o 其中e 为肛阶 3 2 主要结果 假设： ( 疗1 ) 对每个j ，系统( 3 1 ) 中的工：r 专足满足l 枷c 触z 条件，即 i z ( “) 一f , ( v ) i a l , b v l ， v u ，y r ( t t 2 ) 令l = d i a g ( 1 _ a ，岛，) ，则 反a 。1 l w ) 1 定理3 1 假设系统( 3 1 ) 满足( 日1 ) 、( 日z ) ，则系统( 3 1 ) 存在概周期解 证明：设集合 x = 矿矿( ，) = ( 矗( f ) ，办( f ) ，以( f ) ) 7 ， 其中破：尺专r 为连续概周期函数，i = l ，2 ，疗则x 构h 茂b a n a c h 空间，定义范数 h ：i i z 2 哿脚忙s 川u p m 。a x o , ( f 引进辅助方程组 掣一j ( f 删堋窆j - i 们吲f ) ) 堋f ) ) 扣l ，2 ，n ( 3 2 ) 其中，烈f ) = ( 萌( d ，唬( f ) ，破( f ) x 是概周期函数