（应用数学专业论文）双曲混合多项式曲线及其性质.pdf

中文摘要 摘要 b 6 z i e r ，b 一样条以及它们的有理模型在c a d c a m 系统中有着非常重 要的地位，但是这些模型也有着明显的缺陷，譬如不能精确表示很多非 代数曲线，如圆弧，摆线，悬链线双曲螺线等 本文构造了一类新的曲线，使它既保留b e z i e r ，b 样条等模型的几何性 质，又可以弥补一些它们的缺陷本文利用多项式混合双曲形式在空间 k 。= s p a n 1 ，t ，2 ，f ”2 ：s h t ，c h t ) 中构造了一组新的基，称为h - b z i e r 基，它 具有类似于b e r n s t e i n 基的端点性质零点阶数，正性，正规性质对称性 等性质进一步文章通过控制多边形的方式定义了h b e z i e r 曲线基于 h b e z i e r 基函数的儿何性质，h 。b 6 z i e r 曲线具有适合c a d 中曲线建模和 形状设计的保形性，端点插值性，凸包性几何不变性和形状控制等很好 的几何性质而且h b e z i e r 曲线还引入了一个称为形状因子的参数，形状 设计者不仅可以像b 6 z i e r 曲线一样通过调节控制多边形来控制曲线形状， 而且还可以调节形状因子来调整曲线对控制多边形的逼近程度实验表明 对相同的控制多边形，它能够比b f i z i e r 曲线更好的保持曲线形状从而也 就能够更方便有效的控制和调整曲线形状 进一步，本文讨论了空间k 。中的b a l l 曲线我们知道b a l l 曲线除了 具有be z i e r 曲线的几何性质之外，还可以快速的升阶和降阶本文找出了 空间k ，中的b a l l 基我们称它为h b a l l 基由这组基通过控制多边形定义 的曲线即是空间k ，中的b a l l 曲线除了具有多项式空间中的b a l l 曲线的 性质( 如保形性，凸包性，快速升降阶等) 之外，这类曲线同h b 6 z i e r 曲线 一样具有形状因子可以通过调节形状因子调整曲线逼近多项式的程度， 从而更便于曲线的形状设计 本文试图对n u r b s 等模型的改进做了一些探讨，而且提出了一种一 般性构造基函数的方法，使得构造出来的基函数( 如h b 6 z i e r ) 具有良好 的几何性质以适合c a d 中的应用 关键词：h b 6 z i e r 基函数，h b e z i e r 曲线h b a l l 基函数，h b a l l 曲线 英文摘要 a b s t r a c t b 6 z i e r , b s p l i n e ，a n dt h e i rr a t i o n a lm o d e l sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nc a d c a m s y s t e m s b u tt h e s em o d e l ss h o wo b v i o u ss h o r t c o m i n g s ，s u c ha sn oe n c o m p a s s i n g t r a n s c e n d e n t ( i e ，n o n a l g e b r a i c ) c u r v e s ，e g t h ec i r c l e ，t h ec y c l o i d ，t h ec a t e n a r ya n d t h eh y p e r b o l i ch e l i x t h i sp a p e rp r e s e n t san e wk i n do fc u r v e sw h i c hn o to n l yi n h e r i tg o o dg e o m e t r i c p r o p e r t i e so f b 6 z i e ra n d b s p l i n em o d e l sb u ta l s oc o n q u e rs o m ed r a w b a c k s o ft h e s e m o d e l s w ec o n s t r u c tan e wb a s i s ，t ob ec a l l e dh b 4 z i e rb a s i s ，o ft h e s p a c e k 。= s p a n 1 ，t ，r 2 ，尸，s l a t ，c h t h r o u g hm i x i n ga l g e b r a i cp o l y n o r m i a la n dh y p e r b o l i c f u n c t i o n s t h i sn e wb a s i sp r o v i d e sp r o p e r t i e sa n a l o g o u st ob e r s t e i np o l y n o r m i a l s ， i n c l u d i n gs y m m e t r y , z e r o so f t h eb a s i sf u n c t i o n s ，p o s i t i v i t y , n o r m a l i z a t i o n , e t c b a s e d o nt h i sn e w b a s i s ，w ed e f i n ean e wk i n do fc u r v e s ，t ob ec a l l e dh b 6 z i e rc u r v e s ，谢t h c o n t r o lp o l y g o n a c c o r d i n gt o p r o p e r t i e so fh - b 6 z i e rb a s i s ，h b 6 z i e r c u f v e sa r e e n d o w e dw i t l lw o n d e r f u lg e o m e t r i cp r o p e r t i e si n c l u d i n gi n t e r p o l a t i n ga t e n d p o i n t s c o n v e xh u l l ，a f f i n ei n v a r i a n c ea n do p t i m a ls h a p ep r e s e r v i n g f u r t h e r m o r e ，as h a p e f a c t o ro f t h eh b g z i e rc u r v ei si n t r o d u c e dt oc o n t r o lt h es h a p eo f t h ed e s i g n i n gc u r v e s h e n c ed e s i g n e r sc a na d j u s tt h es h a p eo fc u r v e sb yc h a n g i n gn o to n l yc o n t r o lp o i n t s b u ta l s os h a p ef a c t o r o u re x p e r i m e n t ss h o wt h a th b 6 z i e rm o d e la p p r o x i m a t et ot h e c o n t r o lp o l y g o nm o r e c l o s e l yt h a nb 6 z i e r m o d e l s o t h e ya r es u i t a b l et os h a p ed e s i g n a n d m o d e l i n gi nc a ds y s t e m s a n o t h e rt a s ko ft h i sp a p e ri st od i s c u s sb a l lc u r v e si n k 。i ti sw e l lk n o w nt h a t b a l lc u r v e sp r e s e r v eg e o m e t r i cp r o e g i e so fb 6 z i e rc u r v e sa n dc a nb ed e g r e e - e l e v a t e d a n dd e g r e e - r e d u c e dm o r er a p i d l y w ef i n do u tt h eb a l lb a s i so ft h es p a c e k 月a n d d e f i n e t h eh - b a l lc h r v e s 、】l ，i mt h i sb a l lb a s i sh - b a l lc u r v e sc a nb ew e l la p p l i e df o rc l j r v e s d e s i g n a n ds h a p em o d e l i n gi nc a ds y s t e m sa n dr e l a t e df i e l d si nt e r mo ft h e i r g e o m e t r i c p r o p e r t i e s t h i sp a p e rt r yt o e x p l o r ea na l t e r n a t i v em o d e lo fn u r b s a n db r i n gf o r t ha g e n e r a l m e t h o dt oc o n s t r u c tb a s i sf u n c t i o n sw h i c hh a v e g e o m e t r i cp r o p e r t i e s a n a l o g o u s t ob e r n s t e i nf u n c t i o n s k e yw o r d s ：h b 6 z i e rb a s i sf u n c t i o n ，h b 6 z i e rc r r v c s ，h b a l lb a s i sf u n c t i o n ，h b a l l c u r v e s 2 概述 第一章概述 1 1b 6 z i e r 、b 一样条、n u r b s 模型与曲线曲面造型 c a d c a m 系统中最基本的问题是曲线皓面的设计和表示b 6 z i e r 模型是最 基本的造型工具，设计者可以通过调整控制多边形来调整曲线形状，非常直观 和方便而且d ec a s t e l j a u 算法对控制多边形递归割角几何意义明确，算法快速， 再加上其很好的凸包性和保形性使得它在曲线曲面的造型设计和表示中得到广 泛的应用不过随着控制多边形顶点增加，相应的基函数( b e m s t a i n 多项式) 次 数增加；而且b e z i e r 模型没有局部可调性b 。样条模型可以弥补这一缺点，而且 保留了b 6 n e r 模型其他优秀的几何性质，在形状设计上更加方便不过由于b 6 z i e r 曲线和b 一样条曲线都是多项式形式的曲线，不能精确表示抛物线以外的圆 锥曲线；而圆弧段等在机械设计和加工等方面都是极其基本和常用的，为此 v e r s p r i l l e ，p i e g l 等人【1 2 发展了有理形式的b 样条曲线 现在n u r b s ( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 模型【3 4 】已经是c a d 系统中 曲线曲面表示的基础，而早在1 9 9 1 年就在工业产品数据交换的s t e p 标准中成 为了自由曲线曲面的唯一定义 5 它兼有b 一样条的形状局部可调和其他优秀的 几何性质之外，外可以精确表示某些圆锥曲线段，基本满足当前工业上的需求， 但是n u r b s 模型仍然有一些不可避免的缺陷 6 1 0 ，譬如 1 n u r b s 曲线曲面求导非常麻烦，次数太高对n - 阶n u r b s 曲线求导， 其导矢曲线的阶数几乎增加一倍，如果反复求导则其高阶导矢曲线的阶数快速 上升而非有理的b 一样条曲线的导矢曲线的阶数则会下降 2 权因子几何意义不清晰，以致人机交互不方便权因子给了设计者更大 的自由度，譬如在表示部分圆弧段的时候就需要对权因子进行调整这就要求 设计者需要对n u r b s 模型要有很强的数学基础和了解而权因子并没有明显 的几何意义，很难在交互设计中对权因子进行调整 3 不能完全精确表示整段圆弧，摆线，螺旋线等曲线n u r b s 基函数是有 理多项式形式，不能用它精确表示一些参数化的超曲线( 非代数曲线) 于是，我们希望能够找到既保留这些多项式或有理多项式形式的曲线的优 秀的几何性质而又能够克服上述缺点的新的曲线 概述 1 2 b - 基与形状设计 既然n u r b s 模型有其自身不能克服的缺点，那么我们需要找到其他合适 的模型来弥补；同时必须保留n u r b s 模型的优点，譬如保形性，端点插值，凸 包性，变差缩减性，保凸性等，这些性质是曲线曲面建模和形状设计所必需的， 构造这样的曲线的关键在于基函数的设计，就如b e m s t e i n 基函数决定b 6 z i e r 曲 线的各种性质一样 c a m i c e r , p e f i a 和m a i n n a 等【1 1 - 1 6 1 研究了在一般有限维函数向量空间中的 基函数，以及由此定义的曲线设i c r ，( u o ( t ) ，“! ( f ) i ，“。o ) ) ( t ，) 为函数空 间u ( ，) 的一组基，于是我们定义曲线p ( r ) = “o 嵋( r i ，只r k ) ，其中 咒，鼻，p ，称为控制顶点习惯上，我们称曲线p ( r ) 为空间u ( ，) 中的曲线 p e f i a 等人研究了u ( i ) 中的曲线，找出了曲线具有适合形状设计的保形性，端点 插值，凸包性，变差缩减性等性质的本质，这是对b z i e r , b 样条，以及相应的 有理模型的抽象 如果函数o ) ，( r ) ，“。( f ) 是非负的，而且其和恒为1 ( 正规性 n o r m a l i z e d ) ，我们称( ( r ) ，铂( m ，“。( f ) ) 为混合系统( b l e n d i n gs s y t e m ) 由混 合系统定义的曲线恰好具有凸包性 在i 中取t o t l 1 时我们递归定义 e 。( r ) 1 一孕尝 ( f = o ) 。 ) 、+ 兰二型盟一旦盟垃 形。 ) 彬，t 似) “h ( t ) “一 ) ( i = 肝) ( 2 1 3 ) 定义1 我们称由( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 式所确定的函数耳。( f ) 2 ，0 i 竹) 为n 次h b 6 z i e r 基函数，其中参数口称为形状因子 我们看到，这样的构造方法保证了同次h b 6 z i e r 基函数之和恒等于1 ，而且 由于q 。( f ) 是在低一次的相邻基函数e “。( r ) 和e ，( f ) 积分的基础上得到的， 并且在端点处取值满足h i 。( o ) = h i 。 ) = 0 ( 0 i ) ，容易得到它比低一次的 基函数多了一阶零点更多的性质和具体证明将在下一节中讨论事实上这样 的构造方法具有一般性只要给出两个适当的初始基函数再用同样的方法构造 得到的一组基函数就能够满足这些性质如果初始基函数选得好，还可以使得 到的基函数满足正性和其他性质例如，如果把初始基函数换成多项式形式 1 一r 和r ，形状因子口= 1 ，那么构造出来的基函数恰好是b e m s t e i n 基函数即 有： 定理1 若设h 0 1 ( r ) = 口一，h l l ( f ) = r ，且口3 1 则由( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 构造 得到的基函数e “f ) 恰好是b c m s t e i n 基函数量一r ) = ( ? 卜( 1 一r 证明：根据b e t a 函数b ( p ，g ) 2e f 川( 1 一f ) 一d t 的性质，容易得到 j 。e 一( ) 出2 焘 我们注意到：对0 i h b 6 z i e r 曲线 ：；：；!：!：二二!；：!：一：；：；!：!；!：!：=”j：j石l一。，。一，(s)一bj。一。(占)dj cz i 一，。一。( 。) d sf ：e ，。一。( j ) d s 。一。”一1 、”1 。 = n ：孵p ”矿f 卜叫“。卜 ：f ? ： 妇1 c ，一s ，- i - ( n - i ，s 。c ，一s ，”一】一 d ， = s l c l - s ) - 3 出 2 e 。( f ) 2 2 h b 6 z i e r 基函数的性质 在这一节中我们可以看到h b 6 z i e r 基函数具有很多与b e r n s t e i n 基函数类似 的性质，我们可以把它看成是b e m s t e i n 基函数在空间k 。的扩展 性质2 2 1 ( 端点性质) 。( o ) 2 峨。( 口) 2 1 h ，。( o ) 2 h j 。( 口) 2 0 ( o i ，0 s ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 性质2 2 2 ( 零点性质) h 。( f ) ( o i sn ) 恰好有n 阶零点，其中0 为q 。( f ) 的i 重零点，口为 。( f ) 的”一i 重零点如果记瓯，= ( 哌， ) ) ( o k ，) 则： h 搿( o ) = 掣：( 口) = 0 ( 七= o ，1 ，i 一1 ；，= o ，1 ，m i 一1 ) ( 2 2 3 ) 日i ! ! ： ( o ) = 点- 1 。4 _ 2 。一2 氏，。 ( 2 2 4 ) 赡”( 口) = ( 一1 ) ”“4 ，h 4 ，2 巧， ( 2 2 5 ) 证明：根据定义1 有： 珥。( f ) = 4 - l h i “h ( t ) 一4 , n - 1 日p l ( f ) ( 0 i 0 ，i = o ，l ，2 ， ( 2 2 7 ) 证明：由性质2 2 2 可知，日，。( f ) 在【o ，口 上恰有n 个零点( 含重数) ，则q 。( r ) 在( o ，口) 上没有零点，由介值定理知q 。( f ) 在( o ，口) 上恒为正或负而风，( f ) ， q 1 ( ，) 在( o ，a ) 上恒正，再设对k = l ，2 ，3 ，n ，都有耳小( f ) ( 0 t k ) 在( o ，口) 上恒正，则莓小( o 兰i k ) 在( o ，口) 上也恒正由定义知h o 卅( ) 在( 0 ，口) 上为正， 而对0 0 容易得到皿。( t ) ( 0 i n + 1 ) 在( o ，岱) 上恒正由归纳法可得结论成立 性质2 2 6 ( 对称性) v t 0 ，口】，有耳。( f ) = 乜。一r ) ( 2 2 8 ) h b 4 z i e r 曲线 证明：用归纳法证明显然凰，o ) = q ，。 一r ) ，设q ，。( f ) = 峨。 一f ) ( i = o ，1 ，2 ，k ) 成立则对0 i k + 1 ， 巩m + l 一r ) 2 卜加，幽( k 鼬，出一“蛐。小，司 口一， 厂d、一1 口一r 厂n、一1 2 fe “口一s ) 出i 耳“a s ) 出jfe 。( 1 2 r - - $ ) 出【f q 吐。似一s ) 西 0 000 a 厂a、一1 口 厂a、一1 2 q ，。 ) a x i h m ( x ) 出j j e 。o ) a x j j 耳 。 ) a xi = 一 h , k ( x ) d x ( i f h , ，。c x ，出 。1 一 一? q + c x ，d 。( 7 h , _ u ( x ) d x 。1 2 q “i ( r ) 对i = 0 或i = k + 1 也容易证明日 - t ) = q “i ( f ) 成立，由归纳原理 性质2 2 7 ( 升阶性质) 设 爿：，( 叫二为空间k 。的h b 6 z i e r 7 j ，则任取t e o ，口】， e ，。( f ) = 口。皿川( r ) + c g nin h j + ln + l ( f ) ， 舯= 嚣警告 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1o ) 证明，因为空间k 。是空间k 。的子空间，n h , 。( f ) 可以写成 q ，。( f ) ) ? 三的 线性组合即存在一列实数 q ) ：使得 n + l e ，。( f ) = q q ，- u ) j = 0 根据h - b6 z i e r 基函数的零点性质，对上式依次反复在端点0 处求 k ( k = o ，1 ，2 ，i 一1 ) 阶导数，可得 碟( o ) = 吼碰譬。( o ) = 0 ，则吒= 0 同样，依次在e 。( f ) 端点口处求女( k = o ，1 ，2 ，n i 一1 ) 阶导数，可得 日兰( 口) = c k + l - k 碰2 一i 。1 ( 口) = 0 ，则口。+ l t = 0 这样就剩下两项： 日( f ) = 口，日i + l ( r ) + 口川h f + l 卅l ( r ) 再次对上式在端点分别求i 和n i 阶导数，可以求出系数 h b 6 z i e r 曲线 铲器，= 怒 即有 = 器等筹+ 煮小z 2 而且有对称性匹。= 4 ，。，于是得证 性质2 2 8 县，( f ) ) 是一混合系统 证明根据h b 6 z i e r 基函数的正性和正规性即知有此性质 性质2 2 9 h i 。( f ) 是空间k 。中的标准b 一基【2 4 】 这一性质由何玲娜【2 4 证明 2 3h b 6 z i e r 曲线及其性质 我们在上面定义了h b 6 z i e r 基，并且讨论了它的性质很自然的，我们可以 定义h b 6 z i e r 曲线如下： 定义3 设# e r 3 ( f _ o ，1 ，2 ，n ) ， h 。( 1 ) 1 7 0 。为空间k 。的h - b 6 z i e r ，则我 们称曲线 p ( f ) = h i 。o ) # ，t e o ，口】 ( 2 3 1 ) ，；o 为 次h b 6 z i e r 曲线，其中 # 二称为它的控制多边形， 因为h b 6 z i e r 基函数具有与b e m s t e i n 基函数类似的性质，如端点性质，零 点阶数，正性，正规性等，所以h b 6 z i e r 曲线也与b 6 z i e r 曲线有着极其相似的 几何性质 性质2 3 1 ( 端点插值) h b 6 z i e r 曲线尸( f ) 插值于它的控制多边形端点，并 与端边相切即： e ( o ) = e o ，e ( a ) = 只 ( 2 3 2 ) 且p ( o ) ( e , 一晶) ，p ( a ) ( g 一只一1 ) 证明：根据性质2 ( 2 2 1 ) 即得端点插值而 p ( o ) = 弼。( o ) e o + 日i 。( o ) 鼻= 一5 0 。一。昂+ 磊，。一，只， h - b 6 z i e r 曲线 于是p 7 ( o ) ( 日一晶) 同样可得p ) ，( 只一只一。) 如图1 所示 f 升阶后的控制多迷形 鬟曲线重合 、 。8 2 。 图1 三次h b 6 z i e r 曲线( a = 5 )图2 三次h - b e z i e r 曲线的升阶( a = 1 ) 性质2 3 2 凸包性h b e z i e r 曲线p ( r ) = e 。( r ) 鼻位于其控制多边形的凸 i = 0 包内 证明：根据h b 6 z i e r 基的正性和正规性可得到这一性质 性质2 3 3 ( 几何不变性) h b 6 z i e r 曲线( 2 3 1 ) 的形状与坐标系的选取无关， 并且曲线经过平移，旋转，缩放等几何变换后所得曲线恰好是相同形状因子下 将控制多边形经过相同几何变换所得到的控制多边形对应的h b 6 z i e r 曲线 证明：记尸( ) = h * p ，其中h 为向量 风。( r ) ，q 。( f ) ，见。( f ) ，p 为控 制多边形顶点序列，p 为尸的转置则p ( t ) + 丁= ( hs p ) + t = h + ( p t 丁) ，于是 知对该曲线作几何变换等价于对其控制多边形顶点作相同的几何变换 接下来我们导出h b 6 z i e r 曲线的升阶公式因为k 。 k 。，可设 e ，。( r ) = 乃q 。，( f ) 然后反复在端点处求导，利用h - b 6 z i e r 基函数的零点性 质( 2 2 3 ) ( 2 2 5 ) ，容易得到： 哪) 2 毒躲+ 豢嘎 ( 2 s 3 ) 于是，尸( r ) = e 。( r ) # = 喜( 毒滁，+ 爱豢r ，卜 2 只，1 ( ) q ( 2 3 4 ) 其中9 = 裟p + 端( 姐哦，_ 0 ) ( 2 3 - 5 ) h b 6 z i e r 曲线 于是我们得到 性质2 3 4 ( 升阶公式) 一次h b e m e r 曲线h 。( r ) 只可升阶为n + 1 次h - b 6 i = o n + l z i e r 曲线e ，( f ) q ，其中控制多边形顶点满足( 2 3 5 ) i = 0 如图2 所示，升阶后的曲线与原曲线重合，我们也可以再对它继续进行一次 次升阶同一条h b 6 z i e r 曲线可以有多种的表示形式 性质2 3 5 ( 变差缩减性) 穿过平面控制多边形的直线与平面h b e z i e r 曲线 p ( t ) 的相交次数不多于与这一直线与控制多边形的相交次数【2 4 性质2 , 3 6 设晶，墨，b 为r 2 中不共线的三点，则参数曲线段 尸( f ) = 只2 ( r ) 只，t o ，口 i = 0 为双曲线的一段 2 证明：设p ( r ) = e ：( r ) f ：。q lc h t + q 2 s h r + q 3 其中 鸟2 c h 口( 昂一弓) + ( e 一鼻) 】( e h a - i ) ；q 2 = s h a ( p i 一晶) 】( c h a - 1 ) ； g ： ( 1 + c h a ) p , 一岛一只】( c h 口一1 ) 设坐标q ( 一，y ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 根据昂，弓，县不共线，经计算可得 x 2 y 2 于是可解出c h f ：垒二皇坐 墨生业：s h t ： o l y 2 一x 2 y lx y 2 一x 2 弘 由( c h t ) 2 - ( s h 妒= 1 得到二次方程，设为a t l x 2 + 2 a 1 2 x y + a 2 2 y 2 + 2 b i x + 2 b 2 y + c = 0 则q 。a ：一是决定二次曲线几何形状的不变量 q 1 q 2 一日之= ( y ；一_ y ；) ( x ；一x ；) 一( x l y l x z y 2 ) 2 = 一( 五y 2 一x 2 y 1 ) 2 1 ) 即可，其中e ，。( f ) 为n 次b e m s t e m 多 项式基函数 根据t a y l 。r 展式，c 加= 1 + i t 2 + 。( f 4 ) 因此 l i m 风，：( ，) = l i 恐型些兰型= 嵝= ( 1 ) z 同样容易得到， a - - + 0 “。、7a 畸o c h a 一1口2 2 、 l i n l 暖( f ) = 2 以及l i m h ，( r ) = 2 2 ( 1 一兄) 这样，当n = 2 时，定理2 成立 口刈口- - 1 1 设n = k 时，定理结论也成立，即l i 啦h ( r ) = e ，( 丑) ，i = o 1 ，k 则 a 一+ u 对0 1 ) 为n 次h b a l l 基函数： e 。( f ) = 2 + 2 日2 m ( f ) ( i 0 ( 3 1 6 ) 或。 - t ) ( i k ) 其中t = 卧m ：舞 为方便起见，把集合 b 。o ) j ：= 。记为b 。( t ) n b 。根据h - b 6 z i e r 基函数对称 性，以及系数丑。的对称性容易得到 皿。= 凡：风，：( f ) ， ，。q ，。( f ) ，如 ：女h “m ( f ) ， m 也( f ) ， “2 女h k + l , 2 k ( f ) ，如，4 h ( f ) ，如2 h 2 ，2 ( f ) ( 3 1 7 ) 岛m = 2 h 雌( r ) ， ，。h l ，4 ( f ) ，五吐2 h ，2 a t ) ，五础+ 1 日啦( ) ， 五+ l ：。h m 。( r ) ，丑“：。峨“：t ( f ) ， ，n 马，一( f ) ，如，z h z ，2 ( r ) ( 3 1 8 ) 显然，( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 的差别只在于最中间的一二项，只要将( 3 1 7 ) 最中间项 五：。h k m ( f ) 换成 m + 。玩m + 。( r ) 和 + l , 2 k + l 风+ l , 2 k + l ( ，) 贝j b 2 t 成了b 2 w - 同样，只要 将b 2 h 中间两项以吐2 h 片础一1 ( r ) 和五甜一1 h k m 一1 ( f ) 换成三项五吐2 女峨吐2 ( f ) - h b a l l 曲线 五：。风2 。( r ) 和五+ l , 2 k h k + t , 2 k ( f ) 则b 2 就成了b 2 t 3 2h b a l l 基函数的性质 接下来我们介绍h b a l l 基函数的性质，这部分可以与w a n g - b a l l 基函数性 质进行平行比较首先，我们证明下面这个重要的引理： 性质3 2 1 ( 对称性) e 。( f ) = b 。 一f ) ，v0 f a ( 3 2 1 ) 证明：事实上，根据h b a l l 基函数的定义即可得到这一性质，它类似于 w a n g - b a l l 基的对称性 性质3 2 2 占。是线性无关组 证明：我们仅对”= 2 k 的情况进行证明，r l 为奇数的情况也是同样的证明 设 一1t 一】 f ( f ) = g g i b i , 2 k ( f ) + 岛岛h m ( ，) + y b k m ( ) = o ，= 0 j = o 根据h - b 6 z i e r 基的对称性以及( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 和( 3 2 1 ) ，可得 k - ik - i f ( f ) = q b , , 2 k ( r ) + 岛q m ( 5 - t ) + r b k , 2 k ( r ) = ( 口，五，2 + ：h j 翔+ ：( r ) + 崩五+ ：h i , 2 i + 2 ( a - t ) ) + r b k m o ) i = o k - 1 = ( q 丑 2 + ：h i 2 j + ：( f ) + 届丑幔：。h 。2 j + ：o ) ) + 玩m h 啦。o ) 根据h - b 6 z i e r 基的零点性质，容易得到h 恐( o ) = 0 ( f 七) 且碰：( o ) 0 同样哦： ) = 0 ( f 0 ，v0 1 ( 3 3 1 ) 为”次h b a l l 曲线点列f p 一。称为它的控制多边形 根据h b a l l 基函数性质，我们可以比较容易得到h b a l l 曲线的一些非常重 要的几何性质，如端点插值，凸包性质，升降阶性质等这些性质也与 w a n g b a l l 曲线的几何性质类似 性质3 3 1 ( 端点插值) h - b a l l 曲线( 3 3 1 ) 插值控制多边形两端点，并与端边相切 ( 如图1 ) 即 p ( o ) = p o ，p ( a ) = 只 ( 3 3 2 ) 且p 7 ( o ) ，( 弓一异) ，p ( a ) ( e o 一只一。) ( 3 3 3 ) 证明：根据h b a l l 基函数的定义和h ，b e z i e r 基函数性质即可知道h - b a i l 曲 线插值于端氘而p ( o ) = 儡z ( 。域+ 钆吼( 0 环扎2 老钆2 鼍亳屯2 象 日? 。( o ) = h o ，( o ) = 氏，所以p ( 0 ) = 一岛，晶+ 磊，# 因此p ( 0 ) ( 弓一r ) 同理 可以得到p ) 0 一只一，) 性质3 3 2 ( 凸包性) 曲线( 3 3 1 ) 位于它的控制多边形尸0 只只的凸包之内( k n 图2 1 证明：根据h b a l l 基函数的正性( 3 2 3 ) 和正规性( 3 2 8 ) 即可得到曲线的凸 包性成立 h b a l l 曲线 鼻b 庐影 图1 三次h - b a l l 曲线( a = 8 )图2 四次h b a l l 曲线( = 8 ) 性质3 3 3 ( 升阶性质) 设h - b a l l 曲线p ( r ) = e ，。( r ) # f q 。2 e ， 若 = 2 k ，取 q 。= p k l q ，2 p i m 若 = 2 k 一1 ，取 ( 0 s i t ) ，( i = 女)( 3 3 4 ) q ，= p ：，( 0 i k ) q k = 互1p b l + 互1p 。, ，( f _ 女) ( 3 3 5 ) q 。毫( k i n + 1 ) 则点列 q f ) ，n = o + i 满足p ( f ) = e ，。( f ) # = e ，。( f ) q f ， ( 3 3 6 ) i = 0拉o 证明：根据( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 可看出n 次h b a l l 基与月+ 1 次h b a l l 基除了中间 两三项外的其他项都是一样的再根据h b a l l 基函数的升阶性质( 3 2 3 ) 一( 3 2 6 ) 可以知道只要点列 q f = 满足( 3 3 4 ) 或( 3 3 5 ) 则n 次h b a l l 曲线可以表示成 ”+ 1 次h b a l l 曲线形式( 3 3 6 ) 下面图3 中三次h 。b a l l 曲线和它升阶后的四阶曲 线是完全重合的、 性质3 3 4 ( 降阶性质) 由h b a l l 曲线的升阶性质我们可以得到h b a l l 曲线能够精确降阶的充分必 要条件即有： m 次h b a l l 曲线( 3 - 3 1 ) 可以精确降阶为”一1 次h b a l l 曲线的 充分必要条件是控制多边形顶点满足： 若h 为奇数2 女+ 1 时，只= 最。；若n 为偶数2 女时，只= ( 最一+ 气) 2 如果这个条件不满足，我们可以用一条 一1 次h - b a l l 曲线g ( f ) = b 。一，( f ) q j 去 j = 0 逼近原曲线 h b a l l 曲线 图3 三次i t - b a l l 曲线( o = 5 ) 的升阶图4 形状因子对h - b a l l 曲线的影响 在c a d 系统中用b e z i e r 或者b 一样条曲线建模时，往往通过调整控制多边形 顶点来调整曲线形状h b a l l 曲线也可以调整控制多边形来调整曲线，而且还可 以调整形状因子口来调整曲线对控制多边形的逼近程度我们在实验中发现， 对于同一个控制多边形形状因子口越大，h b a l l 曲线越靠近控制多边形，具有更 好的形状保持性质如图4 所示 3 4 应用和讨论 经过上面讨论，h b a l l 曲线表现了非常好的几何性质，包括端点插值，凸包 性质，升阶和降阶性质等我们可以通过控制多边形调整曲线的形状，通过形 状因子来调整曲线对控制多边形的逼近程度因此h ，b a l l 曲线非常适用于 c a d c a m 系统中曲线的设计和建模，而且在曲线的升阶和降阶上还比 h b 6 z i e r 曲线更加方便和快速g o o d m a n 和s a i d 3 0 ，3 1 】建议c a d c a m 设计者 在曲线升阶和降阶比较频繁和更重要的情况下应该选择b a l l 形式的曲线而不是 其他形式的曲线譬如在系统和其他c a d 系统需要频繁传输数据的时候， h b a l l 曲线就是很好的选择 我们知道有两种多项式形式的b a l l 曲线，w a n g b a l l 曲线 2 5 ，3 2 年ns a i d b a l l 曲线 2 9 3 1 】h b a l l 曲线是对前一种b a l l 曲线在空间k 。，中的推广用类似的方 法我们也可阻构造空间k 。中的另外一种b a l l 曲线 我们将所有h b 6 z i e r 基函数日。( t ) 按照下面规则( 如图5 ) 放在一起： 1 ) 同次基函数放在同一行，按下标i 从d , n 大，从左到右放置； 2 ) 高次基函数放在低一次的基函数下一行 h - b a l i 曲线 h 0 ，2日l ，2h 2 ，2 h 。3h 1 3h 2 3 h 3 3 风，4h 1 ，4 马，4h 3 ，4 风，4 曰o ，5片l ，5h 2 ，5h 3 ，5日4 ，5日5 ，5 风，6 旦，6h 2 ，8h 3 ，6h 4 ，6h 5 ，6h 6 ，6 图5h - b 6 z e 基函数构成会字塔形状 这样这些函数可以排列成金字塔的形状同样的把b e m s t e i n 基函数也可以 按照相同规则排列形成另外的一个金字塔注意到如果忽略系数，h b a l l 基和 w a n g b a l l 基分别在两个金字塔中的位置是一致的，都是从最中间的三列中选 取的再注意到s a i d b a l l 基在忽略系数情况下在b e m s t e a i n 基函数组成的金字 塔中的位置，只要我们也从h b z i e r 基函数组成的金字塔中从相同位置中选取 基函数并配以适当的系数，我们也可以构造出空间“一中的另外一组类似于 s a i d 、b a l l 形式的新的b a l l 基，从而也得到一类新的b a l l 曲线 结论 结论 1 本文用多项式混合双曲形式定义了h b 6 z i e r 基函数以及h b a l l 基 函数这两组基函数都具有很好的几何性质，如端点性质，正规性质，对 称性等 2 h b e z i e r 基函数是通过积分递归方式定义，这种方法具有一般性 这样定义的基函数构成混合系统( 满足