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分支井井筒与油藏耦合理论研究 曾晓晶( 应用数学) 指导教师：同登科( 教授) 摘要 分支井井简与油藏耦合理论的研究对于了解分支井的生产动态以及 高效开采油藏有着重要的意义。目前这方面的研究还不够全面，尤其是 对分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型的研究，都是针对分支在同一平 面上对称分布的分支井而进行的，因而有所限制。因此全面系统地对任 意结构分支井中流体的渗流规律及其在油藏工程中的应用进行研究十分 必要。本文分别对分支井的流动与油藏的稳态和非稳态渗流进行了研究， 建立了井筒流动与油藏渗流耦合的数学模型，给出了模型的数值解法， 并且编制了相应的计算程序，进行了实例计算与分析。其中，稳态渗流 耦合模型计算了井筒内的压力及流量变化，比较了两种井筒压降算法， 分析了影响分支井产量的因素；非稳态渗流耦合模型研究了在不同产量 条件下，分支井在任意时刻的生产动态。两个模型都考虑了不同完井方 式对生产的影响。与此同时，由于分支井是水平井的集成与发展，本文 还给出了水平井的稳态与非稳态渗流耦合模型，并进行了实例计算和分 析，以便和分支井的模型结果作比较。最后，给出了计算水平井水平段 最优长度的传统方法与新方法，并且使用实用性更强的新方法，用遗传 算法实现了分支井的分支井段优化。 关键词：分支井，稳态，非稳态，压降，耦合 t h e o r yo fc o u p l i n gw e l l b o r ef l o wa n dr e s e r v o i ri n f l o w f o rm n r b l a t e r a lw e l l s z e n g x i a o - j i n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rt o n g d e n g - k e a b s t r a c t t h et h e o r yo f c o u p l i n g w e l l b o r ef l o wa n dr e s e r v o i ri n f l o wf o r m u l t i l a t e r a lw e l l si so fg r e a ts i g n i f i c a n c et ok n o w i n gt h ep e r f o r m a n c eo f m u l t i l a t e r a lw e l l sa n de x p l o i t i n gr e s e r v o i r sw i t hh i g he f f i c i e n c y h o w e v e r , r e s e a r c h e si nt h i sf i e l da r en o tc o m p r e h e n s i v e b e c a u s et h er e s e a r c ho n s t e a d y s t a t e c o u p l i n gm o d e lo n l yc o n s i d e r s m u i t i l a t e r a lw e l l sw i t h s y m m e t r i c a lb r a n c h e si no n el a y e r , i ti se s p e c i a l l yl i m i t e d s oi t sn e c e s s a r yt o d oc o m p r e h e n s i v er e s e a r c ho nt h er u l eo ff l u i df l o wi nm u l t i l a t e r a lw e l l s w i t ha r b i t r a r yc o n f i g u r a t i o n sa n di t sa p p l i c a t i o ni nr e s e r v o i re n g i n e e r i n g 啊1 e f l o wi nm u l t i l a t e r a lw e l l sa n ds t e a d ys t a t ea n dt r a n s i e n tf l o wi nr e s e r v o i ra r e s t u d i e di nt h i sp a p e r t h em a t h e m a t i c a lc o u p l i n gm o d e l so fr e s e r v o i ri n f l o w a n dw e l l b o r ef l o wi nw e l l sa r eb u i l t a n dt 1 1 e nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n m e t h o d st ot h e s em o d e l sa r cs t u d i e d b e s i d e st h e s em e n t i o n e da b o v e ，a c o m p u t a t i o n a lp r o g r a mi sd e v e l o p e d s o m ea c t u a le x a m p l e sa r ec a l c u l a t e d a n da n a l y z e d t h ec h a n g i n gl a wo f p r e s s u r ea n df l u xd u r i n gt h ee x p l o i t a t i o n i sa n a l y z e db yu s i n gt h es t e a d ys t a t ec o u p l i n gm o d e l a tt h e $ a n l et i m e ，t w o m e t h o d so fc a l c u i a t i n gp r e s s u r ed r o pi nw e l l b o r ea r ec o m p a r e da n dt h o s e f a c t o r sw h i c hi n f l u e n c et h ep r o d u c t i v i t i e so fm u l t i l a t e r a lw e l l sa r ea n a l y z e d h e r e t h ep e r f o r m a n c eo fm u l t i l a t e r a lw e l l sa ta n yt i m ei nt h ec a s eo f j j j d i f f e r e n tp r o d u c t i v i t i e si ss t u d i e db y u s i n gt h et r a n s i e n tc o u p l i n gm o d e l b o t h m o d e l sc o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo fd i f f e r e n tw e l l b o r ep e r f o r a t i o np a t t e r n sa n d w e l lc o m p l e t i o n s m e a n w h i l e ，t h es t e a d ys t a t ea n dt r a n s i e n tc o u p l i n gm o d e l s o fh o r i z o n t a lw e l l sa l ep r o p o s e df o rc o m p a r i n gw i t ht h em o d e l so f m u l t i 1 a t e r a lw e l l sb e c a u s et h em u l t i 1 a t e r a lw e l l sa 托r e s u l t e df r o mh o r i z o n t a l w e l l s a tl a s t ，b o t ht r a d i t i o n a la n dm o d e mm e t h o d so f c a l c u l a t i n gt h eo p t i m a l h o r i z o n t a l w e l ll e n g t ha r ep r o p o s e d a n dt h eo p t i m a lb r a n c h e sl e n g t ho f m u l t i l a t e r a lw e l li sc a l c u l a t e dw i t hg e n e t i ca l g o r i t h mb yu s i n gt h em o d e m m e t h o dw h i c hi sm o r ea v a i l a b l e k e y w o r d s ：m u l t i l a t e r a lw e l l ，s t e a d ys t a t e ，t r a n s i e n t ，p r e s s u r ed r o p ，c o u p l i n g 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：望垫矗矽7 年厂月肜日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 弦- 7 年，月， 日 砷年厂月，b 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题来源、提出背景及其研究意义 本课题来源于项目“复杂结构井的优化设计”。 随着世界经济的高速发展，整个社会对能源的需求量逐年上升，传 统的直井采油方式己不能满足需要。对于常规垂直油井，由于原油向井 中心的聚集作用，使得大部分压力都消耗在井筒周围，为获得更高的采 油速度，必须降低流动阻力，尤其是近井地带的流动阻力，其中有一个 办法就是使井以水平的方式与油藏接触。人们对此早有认识并曾付诸实 践，但由于受钻井技术及成本的限制，直到1 9 2 8 年才提出水平井技术， 于4 0 年代付诸实践。水平井与直井相比，增加了泻油面积，提高了原油 产量，一提出就成为一项非常有前途的油气田开发、提高采收率的重要 技术。随着工业技术的发展、钻井技术的完善、钻井经验的积累以及人 们对水平井开采技术认识的逐渐提高，八十年代以来用水平井开发油田 受到日益重视，钻井数量高速增长，据统计，到1 9 9 6 年6 月3 0 日为止， 全世界己钻水平井1 5 0 0 0 多口。其中美国共占7 8 0 0 口，加拿大4 5 0 0 口， 到9 9 年底，全世界的水平井井数超过了两万口，这其中绝大多数都属于 美国和加拿大两国。 随着水平井技术由单口水平井向整体井组开发、多底井、多分支水 平井的转变，产生了多分支井这一概念。多分支井的概念起源于2 0 世纪 3 0 年俐”，到2 0 世纪5 0 年代，前苏联首先在世界上开展多分支井技术 的研究和实践。多分支井技术是水平井技术的集成和发展，指的是在一 口主井眼( 直井、定向井、水平井) 中钻出若干进入油( 气) 藏的分支 井眼，其主要优点是增大油气藏的泄油气面积、提高油气井产量、节省 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 油气田开发成本口1 。从工程方面讲，分支井可以节省井场占地、钻机搬 迁安装、主井眼的重复钻进和下套管、废弃钻井液及岩屑处理等费用， 还可降低地面采油和集输设备、海上钻井平台隔水管、井口等材料成本 以及减少钻井和采油平台的费用。它的应用和发展将给油气田的开发带 来显著的经济效益和社会效益。 多分支井是2 1 世纪钻井领域的新兴技术。第一批多分支井开始于前 苏联的俄罗斯和乌克兰地区，第二批多分支井于1 9 6 8 年开钻于前苏联的 东西伯利亚地区。直到1 9 9 5 年以后，随着水平井完井技术的发展和三维 地震技术的普及，多分支井技术得到了迅速的发展。该项技术与钻丛式 井和单一的水平井相比，在某些条件下，多分支井采用水平完井可以节 约成本和时间，此项技术目前成为热门技术，引起了世界的关注。由于 近十年来钻井和完井技术的发展，使得钻多分支井成为可能。另外，使 用多分支井开发油田可大幅度提高单井控制储量，减少开发井数，降低 开发成本，提高油田最终采收率和开发效果。因此，目前全世界钻多分 支井井数逐渐上升，已钻成上千口，最多的有十个分支。该技术作为有 效增产、提高最终采收率的开采方式将是未来油气藏开发的主要发展方 向。 虽然分支井已经在世界和我国得到应用，但分支井开采油藏的问题 属于复杂系统工程，它涉及到设计地质、渗流力学、油藏工程及采油等 许多方面，而其中分支井的渗流力学问题是开采油藏的基本理论问题， 目前这方面的研究尤其是分支井的稳态渗流理论研究还不够全面，因此 全面系统地研究分支井的渗流力学理论及其在油藏工程中的应用，对于 高效开采油藏具有重要的理论和实际意义。本课题正是在这种背景下提 出，希望通过建立比较全面的多分支井渗流理论数学模型并为其编制相 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 应的应用软件系统，对我国分支井渗流研究和资源开发起到一定的促进 作用。 1 2 国内外研究现状分析 从分支井的渗流理论分析来看，主要有两大方面的研究，其一是分 支井稳态渗流理论及应用研究，包括：1 多井底水平井渗流问题的研究 【3 】【4 】，运用拟三维方法进行分析，得出了在平面上和剖面上的解析解，再 运用等值渗流阻力法得出了含三维空间的解和二维空问中的流场变化； 2 分支水平井产能的研慰3 川，综合运用数学分析方法( 保角变换、镜像 反映、叠加原理、等值渗流阻力) 和物理模拟方法( 电解模型) 对分支 水平井稳态渗流进行了较系统的研究，推得了分支水平井的产能计算公 式，并对影响分支水平井产能的因素进行了分析和研究：同时，研究了 分支水平井与直井混合井网条件下的产能公式【羽，建立了面积井网意义 上的水平井及分支水平井与直井混合面积井网的产能预测方法；3 鱼骨 型多分支井向井流动态关系 9 1 ，针对鱼骨型多分支井，在充分考虑油藏 内三维稳态渗流及多分支井井筒内流动特点的基础上，导出了鱼骨型多 分支井生产时油层内三维压力分布，提出了多分支井筒内有会合流和无 会合流的井筒内压降计算模型，从而建立了考虑多分支井筒内压降影响 的向井流动态关系数学模型，为产能计算、适用性筛选等提供了方法和 手段。 其二是分支井非稳态渗流理论及应用研究，包括：1 分支水平井三 维不定常渗流研究1 0 1 ，描述了垂向有弱渗透补给的等强度持续点汇三维 不定常渗流数学模型，用汇源积分等方法导出了平面上均匀分布的分支 水平井g r e e n 函数型压力分布通式，计算并分析了其中主要参数影响特 征，结合叠加原理给出了井壁压力计算方法和实际应用方法：2 分支井 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 的不稳定压力和产量的计算【1 1 】，给出了均质各向异性油藏中任意分支水 平井的三维不定常渗流数学模型，用汇源积分方法导出了平面上均匀分 布的任意分支水平井的压力分布通式，利用d u h a m e l 褶积及l a p l a c e 数 值正、反变换方法获得分支水平井产量和累计产量弹性特征曲线，分析 了数学模型中主要控制参数对分支水平井的产量和累计产量的影响。3 分支井的压力计算及试井分析【1 2 1 ，对于各向异性地层的情形，用源函数 方法首先给出任意多个分支水平井情形地层中压力分布的线形解析解， 并在拉氏空间给出考虑井储和表皮效应的井底压力严格解析表达式。然 后用拉氏数值反演方法【1 3 】【1 4 1 计算出样板曲线，包括压力曲线和导数曲 线。介绍了分支水平井进行现代试井分析的方法和步骤。4 分支井的非 稳态产能预测理论【7 】，建立了储层与井筒流动的非稳态流动耦合模型， 并提出了求解方法。均质油藏非常规井半解析模型及多层非均质油藏多 分支井半解析产能预测模型【1 5 】【1 6 】，这也是考虑油藏渗流与井筒流动的耦 合的模型，建立了非常规井综合半解析模型，并应用该模型分析了鱼骨 井及双分支井产能影响因素，提出了鱼骨井及双分支井设计原则。 1 3 主要研究内容和目标及技术关键 本文主要研究分支井的单相稳态渗流和非稳态渗流问题，研究应用 分支井开采油藏时的压力分析、井筒内流量分布、产能计算以及影响因 素及最优井长等问题，通过深入研究认识分支井的渗流特征、压力动态 特征，为分支井开采油藏的油藏工程、采油工程研究提供基础理论和基 础方法。具体如下： ( 1 ) 建立分支井并筒流动与油藏稳态渗流耦合模型，给出数值解法； ( 2 ) 建立分支井井筒流动与油藏非稳态渗流耦合模型，给出数值解法： ( 3 ) 建立水平井井筒流动与油藏渗流耦合的模型，并提出求解方法， 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章绪论 以便与分支井的耦合模型结果作比较； ( 4 ) 建立求解分支井水平分支段最优长度的模型，并给出算法； ( 5 ) 编制相应的计算软件，进行模型求解，分析相应结果； ( 6 ) 针对实例进行计算分析与验证。 在本文整个研究过程中，数学模型的建立、迭代法的思想、遗传算 法的提出和选择适当的数学方法对数值模型进行求解是本文的技术关 键。 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 分支水平井的每个分支都是水平井，所以要首先研究水平井的流动 形态。水平井生产时，流体在油层中作三维流动，流入水平井筒后，沿 井筒流向跟端。这两个流动过程既相互联系又相互影响。准确描述这两 个流动过程对理解水平井生产本质具有重要意义。有些研究者已在有关 方面做了大量工作，由于问题的复杂性，大部分研究者都针对某一特定 油藏类型，把流体在油层中的三维渗流问题简化为二维渗流问题来研究 【】。少数研究者在不考虑水平井筒内压降的情况下，研究了某些特定油 藏内三维渗流的势分布【1 8 1 。几位研究者研究了水平井筒内压降对生产动 态的影响”9 ) l z 们。关于水平井筒内压降的计算，几乎都沿用常规水平管道 中的压降计算公式，且一般只考虑摩擦压降。这些与水平井筒中的真实 流动状况差别较大。为了正确反映水平井生产动态，刘想平等人【2 1 】将水 平井看成由沿其长度方向的许多段微线汇组成，针对几种常见油藏类型， 导出了油层内三维稳态渗流的压力分布，并根据质量守恒原理及动量定 理，导出了水平井筒内变质量流动的压降计算新公式，建立了把油层中 的渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模型。 本章使用这种思想，将分支井的每个水平分支都看作由沿其长度方 向的许多段微线汇组成，建立了分支井井筒流动与油藏稳态渗流耦合的 模型，并且在计算分支井筒内的压降时，使用了两种方法，比较了这两 种方法的结果。该模型可用于研究分支井筒内压降大小及其对生产动态 的影响，研究分支井筒内的压力分布情况，研究分支井筒内流量分布情 况，研究分支井产能及有关因素对产能大小的影响程度，还可用于分支 井水平分支长度的优化等。 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 2 1 地层中的势分布 2 1 1 水平分支在无界地层中势分布 ，0 ，孑。) x 图2 1 无界地层中水平分支示意图 我们首先考虑分支井的一个分支在无界地层中的势分布。根据渗流 力学，对于均质、各向同性的无界地层，流动服从达西定律的单相不可 压缩液体的水平分支稳态渗流方程为： ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 式中各物理量的单位都采用达西混合单位，o 一势函数，1 0 m p a ： p 一压力，1 0 。1 m p a ；k 一渗透率，t m 2 ；风一原油粘度，m p a s o 在实 际计算中要注意单位的换算。 如图2 1 所示，假设一个长为三的水平分支位于无界地层中，设水平 分支为均匀线汇，产量为g ，则单位长度上的产量为q l ，在水平分支 上而处取一微元段d b ，可将其看成空间点汇。由渗流力学知，空间中一 点汇的势分布为m = 兰+ c ，从而，该微元段的流量为由= 等氐，它 q 丌rl 7 卸 塑如 塑咖 甲 靛嵯 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 在无界地层中任一点( 工，y ，z ) 处产生的势为 d o = - d q + c = - q 堕l + c = 旦皇塑+ c 4 n rl4 丌r 4 霄lr 又因为 ，：厄j f 万石习 即：d 中一老 + c 根据势的叠加原理，整根水平井引起的势为： o ：r 一旦 4nl 积分得： 吣拂小一瓦qh 群高+ c ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) + c ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 式中，= 厄j 鬲万百孑，吒= 厄j 鬲石瓦可， c 一任意常数。 ( 2 7 ) 式即为水平分支井眼在无界地层中的势分布公式，下面将其变 形，由、r 2 的定义式可得： 碍= ( 屯一石) 2 + y 2 + ( 乙一z ) 2 ，r t 2 = “一x ) 2 + y 2 + ( 乙一z ) 2 。 两式合并得：芎一( 而一x ) 2 = 2 一“一x ) 2 即：n + 也一x ) n 一( 屯一x ) = ，i + “一x ) m 一( 而一x ) 垒选二生：二鱼二型 + ( 五一工)，2 一( 而一x ) 8 ( 2 _ 8 ) 一 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 式： 将( 2 - 8 ) 式代入( 2 7 ) 式，有： 中( w ，z ) = 一旦4 n lh 丽r l - ( x t - x ) + c 由匕式可知：。警一t i - i ( x , - x ! ) 由上式可知：p 一9 = i = 丽 ( 2 - 9 ) f 2 - 1 0 ) 州确e 掣= 渊 十i z 。一zj f l q ( 2 - 1 0 ) , ( 2 - 11，俩式确e一-q10)1 = 渊 弘1 2 ， i 两式可得：p = 三二上亨兰：乓( 2 ) 因此得出一个水平分支井眼在无界地层中势分布的另一种表达形 中“y 一一彘h 测+ c 因为x 2 - - x i = ，f i 拟( 2 1 3 ) 式可化为： m ( ) = 一矗- n 描+ c 佗一1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 对于一种特殊情况，当j ，= o ，z = 乙，x x 2 ，即y 2 + ( 气一2 ) 2 = o 时 式( 2 _ 7 ) 是l l l 罟型。- - 令a = y 2 + ( z 。一z ) 2 ，则值等于口j o 时的极限： o ：一 h l 晕兰幽+ 。| _ 卫抽ll 曲垫兰三兰兰型+ c l “l 锐j ( 玉一对2 + 口+ ( 玉一习j 锐p 瓜叫2 + 口+ ( 玉一对 由洛必塔法则可得：m = 一需1 1 1 工x 一- - 而x l + c 9 ( 2 1 5 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 因此，如图2 1 所示的水平分支井在无界地层中产生的势为 吣川= 一褫qh 第+ c m ：一j l l l l 兰童+ c 4 7 r l x x 2 一般情况 ( 2 1 6 ) 当y = 0 ，z = 2 w ，x 屯时 可以证明式( 2 - 1 6 ) 也是原问题的解，且比用式( 2 7 ) 和式( 2 9 ) 表示势函 数简单，故本文用式( 2 1 6 ) 表示水平井在无界地层中的势。在式( 2 1 6 ) 中， 若r 2 + r t + l 一：d ( 常数) ，则中就为常数，将该式化简得： 忐瓣+ 尝d ( d 格引 f o 5 ( d + 1 ) ( d 一1 ) _ 1 三 2 一1 ) _ 2r 、 上式为一中心在( ( 薯+ x 2 ) 2 ，0 ，z ，) 的旋转椭球体方程，椭球体焦距 c = 2 o 5 ( d + 1 ) p 一1 ) - 1 三 2 一d ( d 1 ) 。2 p = ，所以在无界地层中，水 平井线汇的等势面为一簇以水平井两端点为焦点的旋转椭球面。 2 ，1 2 几种常见类型油藏中的势分布 由于流体从油层流入水平井两端部与流入其它部分的方式不同，以 及流入井筒后，在流向跟端过程中存在压降等原因，流体从油层沿水平 井筒各处流入其中的流量不同。为此，本文把一1 2 1 分支井的水平分支分 成由沿其长度方向的许多段微线汇组成，由于每段线汇长度很短，可假 设流体从油层沿线汇各处均匀流入。 ( 1 ) 底水驱油藏 底水驱油藏油层上部为封闭边界，下部为恒压边界( 油水界面) ，分 支并在两层之间，其中的一个分支位置如图2 2 。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 封闭边界 x 图2 2 底水驱油藏中水平井示意图 根据镜像反映原理，封闭边界附近一1 3 井的流场相当于无限大地层 中等产量两汇的流场的一半，于是把封闭边界附近一口井看作两汇问题 来解决；而恒压边界附近一口井可以看作是一源一汇问题；为了使反映 后封闭边界仍具有分流线的性质、恒压边界仍具有等势线的性质，该水 平分支必须以封闭边界和恒压边界作为镜面重复连续反映，结果得到一 个无限长的直线井排。 其中，一排水平生产井的z 坐标为：4 n h + z 。； 另- - t 4 水平生产井的z 坐标为：4 n h + 2 h z 。； 一排水平注水井的z 坐标为：4 n h - z 。； 另一排水平注水井的z 坐标为：4 n h 一2 h - i - 乙。 并且，n = o ，1 ，垃，3 ，。 设把长为三的水平分支分成段，根据势的叠加原理，应用式( 2 - 1 6 ) 可得底水驱油藏中任意一点的势： 吣辨一彘隹邕徽溯 卜 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 式中，o ，第f 段线汇在油层中任意一点产生的势，1 0 一m p a ；吼一第f 段 线汇的流量，c m 3 i s ；厶一第f 段线汇的长度，c m ；而一含油高度，c m ；乙 一井距油层底部的距离，c m ；q 一常数；毒一下式定义的函数 专( 川乩嚣羞 ( 2 - 1 9 ) 其中。= ( 1 。一x ) 2 + y 2 + ( 巩一z ) 2 ，c m ；：= ( 屯，一x ) 2 + y 2 十( 巩一z ) 2 ， 锄；、x 2 分别为第f 段线汇的起始、终点横坐标；巩为变量。 ( 2 ) 气顶底水驱油藏 把图2 2 中的封闭边界改为恒压边界( 油气界面) ，下边界( 油水界 面) 不变即成为气顶底水驱油藏，则根据镜像反映原理及势的叠加原理， 也得到一个无限长的直线井排。 把长为三的水平井分成段，同理可得： q 弘z ) = 一毫专 互暖( 2 砌+ 乙 弘z ) 一专( 2 砌一乙，五弘z ) + c ，( 2 - 2 0 ) 。r 1 ( 3 ) 边水驱油藏 若图2 2 中上、下边界均为封闭边界，另外加上y = a 平面为油水界 面( 恒压边界) ，即成为边水驱油藏，则有 吣件告馔淼篮纛愁y 刮牾埘， 式中，a 为水平井离油水界面的距离，e m 。 ( 4 ) 上、下均为封闭边界的油藏 若把图2 2 中下边界改为封闭边界，其它不变，则按前述类似方法， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 水平井上第i 段线汇在油层中任意一点产生的势可表示成 一彘渲瞰z 肌”刊吲2 砌一z ) 卜 ( 2 垅) 可看出：上述级数并不收敛，必须对其修改，令 分 系统中的井f 。g ( j ，) r ( r ，船1 强 j - r ( f j ，2 ) p ，2 ，3 ) ( i ，2 ，1 ) i_ii_ f 1 3 ，1 ) j 叩、3 ， 图2 3 系统中的一口分支井 记： n w 一系统中总的井数：啊“) 笫0 口井的分支总数 一( 0 ，) 一系统中井0 在分支的小段数； 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 一系统中井的总小段数；g ( 0 ) 一第0 口井的总产量； q 。瓴，) 一井0 的分支的小段的流量； m “，) 一井0 的分支的小段的中点： 屯( l ，j i ，工) 酗，) 一井l 的工分支的小段工在m ( o ，) 点处井 筒的势； m ( 0 ，) 一在m “，) 点处井筒的势 p “，) 一在m ( 0 ，) 点处井筒的压力； 址( 0 ，；i + 1 ) 一从m 瓴，) 到m “，i | + 1 ) 的距离 m 瓴，) ：兰窆絮，( l ，五，工) 肘( 。，) + cm ( o ，) = ，( l ，五，工) 肘( o ，) + c ：一艺蔓竺簿(l，五，工)m(。，)+c2。砷 对于不同类型的油藏，仍( l ，石，工) m ( o ，) 分别等于式 ( 2 1 8 ) ( 2 2 3 ) q h 大括号内的式子除以厶( 凡， ，。) 。 又由。( o ，) ：艺掣絮o 。( l ，五，工) m ( o ，) + c ( 2 2 5 ) 2 5 ) 又由。( o ，) = o 。( l ，五，工) m ( o ，) + c ( 2 一 - l - l 。l 得到 毗硝吨+ j 艺f f i l 掣剖j , = l 糍：；：煳删， i w j w ，j ， ，l ，l j ，| j 可以证明，对于前三类油藏： 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 ，。( ，肋：) 阻( o ，伽= o 。 ( 2 2 7 ) 根据势函数可得p ( j ，y ，z ) = 苦m ( x ，y ，z ) 一p g z ( 2 2 8 ) 即： 以而沪见+ 妻薹群 糍z 嬲黝+ p g ( z - z ) p z ， 式中，见、t 分别为对应m 。处的压力和z 坐标。 若油层为各向异性，则以上各式中k = 矗k ，用肪、肜分别代 替h 、孑，= 蚝k ，、k v 分别为水平和垂直渗透率。 特别对于前三类油藏： p ( 。，) ：见z 兰芝芝哂( l ，_ ，工) 仍( ，鼻，工) 川，) + 昭亿一刁( 2 3 0 ) p ( 锚，) 2 见去砉蔷否哂( 厶_ ，工) 仍( 厶矗工) 川，) + 昭亿一刁( 2 铷 2 2 分支井筒内流体流动模型 2 2 1 传统水平井筒内压降计算模型【2 2 1 流体从油藏沿水平井井筒长度方向各点流入井筒后，再从流入点流 向井的跟端。要使井筒内的流动保持这种流动，井筒的指端到跟端必然 有一定的压力降，以前有关以水平井为代表的大位移井的油藏工程方面 的大多数研究，都把井筒看成具有无限导流能力即忽略不计井筒内的压 力降，认为沿井筒具有均匀压力，对于油藏渗透率较低，井筒内为单相 层流，其压降比从油藏至井筒的压力降小得多的井，这种近似处理较合 理。但当渗透率较高、大位移井井筒较长且井筒内为单相紊流或油、气 两相流时，压力损失较大，与从油藏至井筒的压力损失相比，此时就不 1 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 能忽略井筒内的压力降。 油藏中的流体沿井筒不同位置流入井筒，即井筒内除了沿井筒长度 方向的流动外，还有流体沿径向的流入，从指端到跟端，井筒内质量不 断增加，这两种流动既互相联系，又互相影响，因此，水平井井筒内的 流动不同于普通管道内的流动，其压降也比普通管道复杂。 自从d i k k e n 开始研究水平井井筒压力降对生产动态的影响后，一些 研究者【1 9 】【2 3 - 3 0 1 在有关计算中已考虑井筒内的压降影响，但关于压降的计 算，大多采用普通水平圆管中的压降计算公式，没有充分考虑水平并简 的流动特点。 ( 1 ) d i k k e n 方法 d i k k e n 于1 9 8 9 年【1 卅第一次提出了水平井筒内不能忽略压降。在一 个等温、稳态油藏中假定有一口水平井，从油藏到水平段有一个确定的 采油指数，水平段中为单相紊流，其压降由摩阻损失产生，得到如下压 力梯度方程 丢乞( z ) 。g 吼( 矿1 ( 2 - 3 1 ) c ，= 0 3 1 6 ( 警厂筹 p ，2 ， 式中，己( x ) 一沿井筒x 点处的压力；q w ( x ) 一井筒上点x 处的流量( 累 计流量) ；g 一流动阻力；d 水平段内径；一流体粘度；p 一流体 密度：口- - d i k k e n 采用的b l 鹊i u s 方程中的指数。 当井筒中为单相层流时，口= l ；当井筒中为单相紊流时，对于光滑 管壁，口= o 2 5 ；对于粗糙管，取a = 0 。当考虑径向流入时，盯取值更 接近于零。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 d i k k e n 把井筒中点x 处流量吼( x ) 和从油藏到井筒每单位井筒长度 的流入量联系起来，假定水平井有一个确定的采油指数。 d i k k e n 方法考虑了井筒和油藏之间的相互作用，但只考虑由管壁摩 擦造成的压降，忽略了从油藏进入井筒的流体和主流流体混合而造成的 压力损失，这样就为压降的计算带来一定的误差。 ( 2 ) o z k a n 方法 假定井筒中为单相等温液流，在均匀介质中有一口水平段长为三的 水平井，流体以每单位井筒长度的流量吼( x , t ) 通过井壁进入井筒，且以 恒定流量q 自x = 0 的井的生产端( 跟端) 离开井筒。假定在水平段上游 指端( 即x = l 端) 没有流体流入，井筒中为一维流动，则有 只( 蹦) 一= 聊2 h e 0 j o j ( g 未尝一2 觑吼卜w ( 2 - 3 ，) + + 蹦帕界条慨( 警卜驹2 ( 2 - 3 4 ) 式中，( f ) 一水平井跟端( 生产端) 压力最( o + ，f ) ；最( x ，r ) 一水平段 上工处的压力；( 工，f ) 一水平段上x 处的流量；厂一范宁摩阻系数； e = ( 。) ，o 一水平段半径；4 一水平段截面面积。 x v j - ( 2 - 3 3 ) 式右边积分，利用插值求数值积分就可以求出沿水平段的压 降。 o z k a n 公式中没有包括具体的摩阻系数关系式，而由于水平段流动 的复杂性，现有的摩阻系数关系式对水平井的使用性是可疑的，所以 o z k a n 方法是一个改进。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 ( 3 ) l a n d m a n 方法 l a n d m a n 假设在水平井水平段上有个孔眼。假设每个孔眼相当于 一个小的t 型短管，第i 个孔眼处径向流入量为q ，则在第i 个孔眼处累 计流入量为q = q j ，在第f 、i + 1 两个孔眼之间的压降为 纰= ，+ 叱， ( 2 3 5 ) 式中，叱。一在第i 、i + 1 两个孔眼之间管壁摩擦造成的压降， = 圭簪卜小f , - - 一, f , = 0 2 5 1 9 ( 盎+ 嚣) 4 ； r e ，第f 、f + 1 两个孔眼之间流体流动时的雷诺数，r e ，- p 2 d 彳q , ；吾一 管壁相对粗糙度；出一第i 、i + 1 两个孔眼之间加速度造成的压降， 屹= 寺( q j 2 一醵) 。 n - i 整根水平段压降为：p = 鹋 ( 2 3 6 ) l a n d m a n 方法考虑水平段压降由管壁粗糙和加速造成，没有包括径 向流入的流体和主流流体混合产生的压力损失。 2 2 2 本文使用的水平井筒内压降计算模型 ( 1 ) 水平井简压降计算新方法 水平井和分支井井筒内的流动特性 对于普通等直径圆管内的流动，若用z 表示水平流动方向的坐标， 其压力降可根据质量、动量和能量守恒定律推得3 1 1 ： 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 毫= ( 塞) ，+ ( 妻) 肚+ ( 塞) 。 ( 2 - 3 7 ) 式中，尘d x 一沿流动方向的压力梯度；( 去) ，一举升压降梯度；式中， 积” ( 罢l - 摩阻械( 刳t 。c - - 加速度压降橇良 对于单相液流的普通水平管，则有( 塞) 。= 。且( 去l = 。，那么 式( 2 - 3 7 ) 可以写成： 生：f 尘 d x l 出j 肚 ( 2 - 3 8 ) 根据流体力学管流计算公式，可得到普通水平管单相液流压力梯度 的公式： 尘：，丝 d x。2 d ( 2 - 3 9 ) 式中，口一流体密度：y 一管中流体的流速；d 一管径；f 一摩阻 系数。 对于普通水平管，在水平管横截面上的速度分布不均匀，壁面上的 流体速度为零，管轴线上速度最大，并且速度剖面的形状与管内流动的 雷诺数有关。当雷诺数小于2 0 0 0 时，水平管横截面上的速度分布呈抛物 线形；当雷诺数大于1 0 0 0 0 时，速度分布不再呈抛物线形【3 2 1 。 然而，对于水平井和分支井井筒内的单相液流，除了沿井筒长度方 向有流动( 称为主流，以下同) 外，沿程各处还有从油藏的径向流入， 1 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 因此井简内的流动具有以下与普通水平管流动不相同的特性： ( i ) 变质量流 由于流体从油藏的径向流入，从指端到跟端，井筒内流体质量流量 逐渐增加，其流动为变质量流。 ( i i ) 加速度压降不等于零 在井筒变质量流动的这种情况下，质量流量逐渐增加，流速也逐渐 增加，加速度压降不等于零，其影响可能交得相当重要，不能忽略。 ( h i ) 主流速度剖面变形 由于流体从油藏的径向流入，主流速度剖面会受到影响，与普通水 平管流相比形状会改变；径向流入干扰了管壁边界层，从而改变由速度 分布决定的壁面摩擦阻力。 从上述井筒流动特性分析可知：从油藏的径向流入的流量大小会影 响水平井和分支井井筒内的压力分布及压降大小，而井筒内压力分布会 反过来影响从油藏的径向流入的流量大小，因此油藏内的渗流和井简内 的流动是相互联系又相互影响的两个流动过程，即是相互耦合在一起的， 所以水平井和分支井井筒内的流动特性比普通水平管内的流动复杂得 多，压降计算公式也应根据水平井和分支井井筒内的流动特性而重新建 立。 考虑井壁流入的单相液流压降计算模型7 】【3 3 】 根据上面分析的水平井井筒内的流动特性，下面将按照质量守恒、 动量守恒建立反映这些特性的压降计算模型。 对于倾角为0 的井筒，设其长度为三，假设井筒内为单相不可压缩 液体做等温流动，在距指端( x = 0 ) 距离为x 处取出一长度为缸的控制体 进行分析，如图2 4 所示。 2 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 图2 4 倾角为0 的水平井筒及微元段放大示意图 假设界面半径为r ，沿单位井筒的生产指数以为常数，并假设： ( i ) 井筒内为不可压缩单相流，不考虑过渡区； ( ) 绝热流动； ( ) 流体与周围环境没有热交换； ( ) 流体在流过井筒时没有机械功。 根据上述假设，可以对所取微元段应用质量守恒和动量守恒方程， 在如图所示的井筒微元段中，控制体受到表面力和质量力的作用，表面 力为：微元段上游端压力肌( 工) ，下游端压力p ( x + a x ) ，管壁摩擦应力 f ，微元段上游端截面流量为q 。( x ) ，下游端截面流量为q w ( x + a x ) ， 从油藏中流入井筒的单位长度产量为( x ) ，则从油藏中流入微元段的 ( 微元段长度出可充分小) 流量可表示为q 。( x ) 缸 裸眼完井 ( i ) 质量平衡 质量平衡方程可表示成： 2 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章分支井流动与油藏稳态渗流耦合模型 皿p ( m 脚+ 妄l 础= o ( 2 - 4 0 ) 对于如图2 4 所示的微元段，上式可以写成： 朋。o + 缸) 一用。( z ) 一尸o ) a x + 昙( ) = o ( 2 - 4 1 ) 对于稳定流：盖( p 彳) = o ( 2 - 4 2 ) 因此，式( 2 - 4 1 ) 变为：q w ( x + a x ) = q 。( x ) + q j n ( x ) a x 。( 2 - 4 3 ) ( i i ) 动量平衡 动量平衡方程可表示为： 作用在控制体上力的总和= 流出控制体的动量一流入控制体的动量+ 控制体动量的改变量，即： 户= 皿( 撕) 姒+ 昙l 融( 2 - 4 4 ) 对于如图所示的微元段，考虑沿井筒轴向上的动量平衡： 瓴( x ) 一觎( x + x ) 一尸g s i n6 1 a 】翻一f 2 万r x = d ( m v ) ( 2 - 4 5 ) 剐咖删卅= 掣h 掣 ： 协衅册t r 2 n r x + p 降丁平册昭如触 对于普通管流：f = 譬。记蛾= 九o + 缸) 一所( x ) ，考虑径 向流入，引入一系数c ，