（应用数学专业论文）几类微分方程边值问题解的存在性及多重性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类微分方程边值问题解的存在性及多重性 摘要 作为现代分析数学的一个重要分支，非线性泛函分析近年来发展迅速，并 广泛应用于物理，生物，化学，计算机信息等诸多领域，受到了越来越多的数 学工作者的关注本文利用s c h a u d e r 不动点定理，k r a s n o s e l s k i i d u o 不动点 定理和l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，研究了几类非线性微分方程边值问题解 的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章： 在第一章中，我们利用s c h a u d e r 不动点定理，研究下面n 阶三点边值问 题 u n ( ) = ，( ，缸( t ) ，t | ( ) ，u n 一1 ( ) ) ，0 e z ( o ，1 ) ，( 1 1 1 ) i “( o ) = u ( o ) = = u ( n - 2 ) ( o ) = 0 ，a u ( u ) = u ( 1 ) 解的存在性，其中0 7 7 1 ，q 矿一1 0 ，1 ，： 0 ，1 】r n _ r 满足l p - c a r a t h 6 0 d o r y 条件，1 p 在第二章中，我们利用k r a s n o s e l s k i i d u o 不动点定理，研究了下列奇异微 分方程无穷边值问题( b v p ) j 丽1 o 净1 ”y w 。o 。”刨0 引针眠 ( 2 1 1 ) i z ( o ) = o ，t + l i + m p ( t ) x i ( t ) = b 正解的存在性，其中a ，b 0 ，妒，是连续函数且在t = 0 处奇异 在第三章中，在c 1 【o ，1 】空间中利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究了下 面方程 i ( 妒( z ) ) + ( ) j r ( 屯z ，z ) = 0 ，0 t 1 ，f c ( 【o ，1 】【0 ，o o ) r ，【0 ，o o ) ) ， h ( t ) g ( ( o ，1 ) ，【0 ，o 。) ) 在t = 0 ，1 处可奇异 关键词：边值问题；奇异微分方程；不动点；锥 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i sm a t h e m a t i c s ，n o n l i n e a rf u n c - 乞i o na l a n a l y s i sa r i s e sq u i t en a t u r a l l ya n dq u i c k l yi n r e c e n ty e a r s ，a n dw h a t7 s m o r ei ta p p l i e de x t e n s i v e l yi nt h ef i e l do fp h y s i c s ，c h e m i s t r ya n di n f o r m a t i o n t e c h n 0 1 0 9 y 。m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t t h e p r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y f i x e dp o i n tt h e o r y ，t o p o l o g i c a ld e g r e e t h e o r va n du p p e r - l o w e rs o l u t i o n sm e t h o da n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo fp o s i t o v es o l u t i o n st ob v po fs o m ek i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e da r ee i t h e rn e wo re s s e n t i a l l yg e n e r a l i z ea n d i m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rn o r d e rt h r e e 。 p o i n tn o n h o m o g e n e o u s u ( n ) ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，t 1 7 ( t ) ，让( 几一1 ( t ) ) ，o e ( 0 ， u ( o ) = u 7 ( o ) = = u ( n 一2 ( o ) = 0 ，q u ( 叩) = u ( 1 ) ( 1 1 1 ) w h e r e0 7 7 1 ，a t n 一1 0 ，1 ，1 p o o ，：【o ，1 】r n rs a t i s f i e dt h e c o n d i t i o n so fl p - c a r a t h 6 0 d o r y i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ek r a s n o s e l s k i i g u ot h e o r e mo nc o n ee x p a n s i o n ， w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v eu n b o u n d e ds o l u t i o n so fi n f i n i t e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fa c l a s so fs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b v p ) ，高( 她净，( ) ，州。 o ”_ o 0 引 + 阮 ( 2 1 1 ) l - z ( o ) = 口，。旦p ( t ) z 讹) = 6 w h e r ea ，b 0 ，i sc o n t i n u o u s 西m a yb es i n g u l a ra tt = 0 i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo ft h r e es o l u t i o n st h e o r e m f o rt h es i n g u l a rp - l a p l a c i nn o n l i n e rb o n d a r yp r o b l e mb yu s i n g t h el e g g e t t 。 l 曲阜师范大学硕士学位论文 w i l l i a m st h e o r e m i ( 妒( z ) ) + h ( t ) f ( t ，z ，z 7 ) = 0 ，0 t 1 ，c ( 【o ，l 】【0 ，) r ， 0 ，o o ) ) a n dh ( t ) c ( ( o ，1 ) ，【0 ，o o ) ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，1 k e y w o r d s ： b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ； f i x e dp o i n t ；c o n e 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类微分方程边值问题解的存在性及 多重性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的 方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：日期汐毋劣艿 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类微分方程边值问题解的存在性及多重性系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期问，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 储貅旧细咻力学盯 导师签名： 日期： 第一章一类佗阶方程边值问题解的存在性 本文我们研究下面n 阶三点边值问题解的存在性 u 扎( ) = ，( 以乱( ) ，也7 ( ) ，缸n d ( 2 ) ) ，。e ( o ，1 ) ，( 1 1 1 ) iu ( o ) = 让( o ) = = 札( n - 2 ( o ) = 0 ，a u ( n ) = u ( 1 ) ， 、。 其中0 叼 l ，q 矿_ 0 ，1 ，：【0 ，1 1 形_ r 满足l p - c a r a t h 6 0 d o r y 条 件，1 p o o 近年来，大家对边值问题解的存在性问题产生了浓厚的兴趣，并得出了很 多好的结果【1 9 】和【4 0 一4 3 】 在文f 1 】中，作者利用l e r a y s c h a u d e r 连续定理研究了下面三阶边界值问 题解的存在性 u m ( ) = f ( t ，让( ) ，孔7 ( z ) ，u ”( t ) ) ，a e ，t ( 0 ，1 ) ， 边界条件为 弘( 0 ) = 珏( o ) = 珏”( 1 ) = 0 ， 或 锃( o ) = ( 1 ) = 让 ( 1 ) = o ， 其中，：【0 ，l 】r 3 _ r 满足l p - c a r a t h 6 0 d o r y 条件， 1 p 0 ( 3 在文【4 】中，作者利用k r a s n o s e l k i i g u o 不动点定理研究了下面n 阶边界 值问题正解的存在性 l ( t ) + a c t ) fc u ( t ) ) = 0 ，t ( o ，1 ) ， l 缸( o ) = ( o ) = = 珏( n - 2 ( o ) = 0 ，a u ( o ) = 珏( 1 ) ， 其中0 叼 1 ，0 q 矿“ 1 ，f ：f 0 ，0 0 ) 一f 0 ，c x ) ) 连续， a ：【0 ，l 】_ f o ，c x z ) ) 连续 受以上文章的启发，本文利用l e r a y s c h a u d e r 连续定理研究了边值问题 ( 1 1 1 ) 解的存在性 第一章一类n 阶方程边值问题解的存在性 1 2 预备知识 定义1 2 1 【1 】如果，： 0 ，1 】r n 斗r ，( t ，z ) f ( t ，z ) ，1 p 0 都存在q ，l “o ，1 】，使得对于几乎所有t 【0 ，1 】和 任意的吲7 ，i ，( t ，z ) l o t ，( z ) 成立 ， 为了方便，我们定义 a c o ，1 】= u ：【o ，1 】_ ri u 是绝对连续函数) 定义空间 z = l p o ，1 】= “：【o ，1 】一r li 乱( z ) i 是l e b e g u s 可积函数) ， 其中范数定义为 峙= ( f oi 心胪以) i 对于1sp ，我们引入s o b o l e v 空间w m p o ，1 】= u ：【0 ，1 】_ ru ， u ( 铲1 ) a c o ，l 】，u 满足( 1 1 1 ) 的边值条件，u ( n ) z ，令x = c 俨1 【o ，1 】， 范数定义为 i l u i l = m a x i i u i l ，i l u i i 。，i l u ( n - 1 ) i i ) ， 其中l i t , 1 1 。= s u pi u ( t ) 1 【0 ，1 】 定义1 2 2 若u w 仉p o ，1 】且满足问题( 1 1 1 ) ，则称乱为边值问题 ( 1 1 1 ) 的解 引理1 2 1 1 1 0 l 令x 是b a n a c h 空间，t ：x _ x 是全连续算子如果 集合 i l x l ll z e ，z = a a x ，0 a 1 ) 是有界的，则a 在e 中的闭球丁中 2 曲阜师范大学硕士学位论文 必有不动点，这里 t = h z e ，i l x l l 冬r ) ， 兄= i l x l lx e ，z = a a z ，0 入 1 ) 引理1 2 2 令 刚和，= 孽笋 0 t s 冬1 ， ，0 8 t 1 ， 其中 响s ) = 一筹， 叩 s ( 1 2 1 ) 柏；s ) = 一生竿竽， s 鲰( 1 2 2 ) 则边界值问题 锃唧( ) 一危( t ) = o ，。，e t 。e 、( o ，1 ) ( 1 2 。3 ) iu ( o ) = 4 ( 0 ) = = 札( n 一2 ( o ) = 0 ，q 札( 7 7 ) = 乱( 1 ) ， 、 有唯一的解 让( ) = g o ( t ，s ) h ( s ) d s ， 其中h ( t ) l p f o ，l 】，0 叩 1 ，并且存在函数q i ，卢l p ( o ，1 】( i = 0 ，1 ，佗一1 ) ，使得 和 其中 a i = n 一1 m ，劲，钆，址1 ) i ( ) + 卢( t ) ，n e t m 】， i = 0 t l l a t 蚓l p 1 ， i = 0 ( 1 一s ) + j 1 - o n 7 n - x ”s ) 州一 6 如) 宁 ( n i 一1 ) 1 1 1 一口7 7 n 一1 则边界值问题( 1 1 1 ) 至少有一个解 证明由引理1 2 2 ，我们得出 让( t ) = o 1 g o ( ，s ) u ( ，l ( s ) d s 我们对于i = 1 ，2 ，礼一1 ，令 g i ( t ，s ) = o ( 7 7 ；s ) t n 一一1 ( n i 一1 ) ! o ( 7 7 ；s ) t 肛+ ( t s ) n 一 ( n i 一1 ) ! ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ，i = 0 ，1 ，n 一1 0 t s 1 ， ，0 8 t 1 由引理1 2 2 和( 1 3 4 ) 式，我们得到下面的关系式 u = z 1 g 以，s ) u ( s ) d s 4 t 【0 ，1 1 ，i = 0 ，1 ，n 一1 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 利用h 5 1 d e r 不等式，对于i = 0 ，1 ，佗一1 ，我们可以得出 i i g f ( ，) 1 1 。i l u ( n l | 其中；1 + 百1 = 1 由( 1 3 5 ) 式，得 令 t 0 ，1 】， 胪m a x 。ji g 加) 删l p ，江0 1 1 i ，n 一1 a ( s ) = ( 1 1 一 由( 1 2 1 ) 式和( 1 2 2 ) 式，则易知 s l n 一1 q 7 7 n 一1 ，8 【0 ，1 1 、。f 芒嵩， s igi(如胚tni ，葚 l ( 一 一1 ) ! 。二。_ 二。 对于i = 0 ，1 ，n 一1 ，令 衅，m a x o 业蔷与掣 下面计算a i ( i = 0 ，1 ，n 一1 ) 由( 1 3 6 ) 1 ， 1 卜+ 川黼 4 式知 署剖g 加) 炉。m a x 0 1 i g t ( t ，s ) i q d s f o rt n 一1 【i + i l a 矿一1 i ! u ( ，l ( s ) l d s + ( 礼一i 1 ) ! l l 一叼n t n - i - 1i 灶( n ) ( s ) | d s =坠尝挈掣，1扩l，i ( n i 一1 ) ! lq 叼n 一1l 。 1 ” f l 让l i 。8 , 1 1 u f n ) | | l ，i = 0 ，l ，佗一l ，( 1 3 1 5 ) 对予缸w n , l 【o ，1 1 ，由( 1 3 1 4 ) 式和( 1 3 1 5 ) 式，利用( 1 3 1 2 ) 式同样的方 法，得 8 p a ：i 正一q 廖+ 蛙 & 玩 州伽 一 鞋 煞阜耀范大学硕士学位论文 由条件( 1 3 1 3 ) 式，得 又因为 | 嚣) | | l 归l | t n 一1 l 一b i | l l t i = 0 l m a x b o ，b - ，b 魏一l 毯n ， 所以由引理l 。2 1 知r 有一个不动点，从而易知边界值问题( 1 ，1 1 ) 在w n , 1 ，l 】 中有一个解 盼惹罢磊i - t , , 黧1 2 嘲，+ m 删m 引6 ， l 爹( 。) = 爹7 ( 。) = 爹”( 。) = 。，兰爹( 三) = 爹( t ) ， 。7 其中f ( t ，如，z l ，z 2 ，铂) = 鼍糌一c o s 2z l 十 e 一。现一；t 2s i n 2z 3 十t ( 王+ ) ，椎= 4 ，露= ；。捌 i i f ( t , z o , z l , z 2 , z s ) l l 了每l 劲i + z f z i + 西1 e 一。i 勿l + 虿1 亡2 i 铂l + t ( 1 + z ) 。我们取p 拦2 ，则 a o 0 。1 5 8 7 5 ，a 1 0 5 6 1 8 9 ， a 2 1 2 1 0 2 8 ，a 3 l 。5 3 7 1 6 ， | | & 。| | 2 0 5 8 8 7 1 ，| l 疆l | | 2 0 5 7 7 6 3 ， l | 貔2 1 1 2 o ，1 9 2 5 5 ，l | 8 3 1 1 2 o 1 4 9 0 8 。 因此 a o i i 貔o l l 2 + a 1 1 1 貔1 1 1 2 十a 2 h q 2 2 + a 2 1 1 a 3 2 o 8 8 0 2 3 1 易知，满足c a r a t h 6 0 d o r y 条件，根据定理1 3 1 知边界值问题( 1 3 1 6 ) 至少 有一个解 9 第一章一类雏阶方程边值闻题解的存在性 例1 3 2 考察下面遥阶三点边值闻题 2 筹制t 3s i 汁赫1 - 3 t t 一丢t 5 c o s 2 y m + t 2 ”囝，( 1 3 肼) l 移( 。) = 爹( 。) = 影撑( 。) = 。，兰爹( 善) = 秒( 王) ， l 。1 。 其中( t ，z 0 ，z l ，钇，z 3 ) = 鼍钙孚一t 3s i n 2z l 十 e - 3 t z 2 一；t 5 c o s 2z 3 + t 2 ( 1 + z 2 ) ， 嚣= 莲，蟹一詈。涮 | i ( t ，z 0 ，名“z 2 ，z 3 ) l | 我们取p = 1 ，则 硒| + 3 + 者e q 倒 1 + 却z s l 卯( 1 “) b o o 4 6 6 6 7 ，b 1 1 4 ，b 2 2 8 ，b 3 2 8 ， 1 1 4 0 1 1 , o 。3 4 6 5 8 ，l l q l l h o 2 5 ，1 1 q 2 1 1 1 o 0 7 9 1 9 ，1 1 3 1 1 , 0 0 8 3 3 4 因此 b o i t0 f o l l l + b , i i q l l1 + b 2 i l a 2 f l l + b 3 1 1 3 1 1 1 o 9 6 6 8 3 0 ，t ( 0 ，十) ，并 且f c ( o ，+ 。o ) ( 0 ，+ 。) 本文考虑下列奇异微分方程无穷边值闻题( b v p ) 善丽1 。，( 幻y 州 卜“陬 ( 2 ) 【z ( o ) = mm l i m p ( t ) x 卜b 正解的存在性，其中a ，b 芝0 ，谚，f 是连续函数且咖在t = 0 处奇异 本文及【2 5 】中无界解的含义是指解z ( t ) 在f 0 ，+ o 。) 上满足( 2 1 1 ) 且 。一l i + m x ( t ) = + 。，并不是指解在有限时刻爆破，它刻画了解( 系统酶轨线) 按 第二章一类奇异微分方程无穷边值问题的正无界解 确定的渐进速度随时间t 的无限增加而无限远离原点，即变化呈稳定状态，这 种解无论在理论上还是在实际上都有重要意义 2 2 预备知识 本章中，我们假设 p c ( 【o ，+ o 。) ，r ) nc 1 ( o ，+ ) ，p ( t ) 0 ，t ( 0 ，+ ) ， 1 p a ( - ( - 两d t + o o ，0 。丽1 d f _ 令 g ( t ，s ) ： 丁0 0 功o l o ss 。 + ( 2 2 1 ) 【( t ) p ( s ) ，0 t s c 一【0 】) 可以看出p 为b a n a e h 空间( 【o ，+ ) ，r ) 中的一个锥 本文作者在氏( 【o ，+ o o ) ，冗) 中研究了b v p ( 2 1 1 ) 正解的存在性若z c 2 ( o ，+ ) ，冗) 且满足( 2 1 1 ) ，则称z 为b v p ( 2 1 1 ) 的解若还满足当t 0 时x ( t ) 0 ，则称z 为b v p ( 2 1 i ) 的正解特别地，当b 0 时，其正解一定 为正无界解 类似于文【2 5 】，我们可以得到下面的引理： 引理2 2 1 设朋为( f 0 ，+ o 。) ，r ) 中的有界集，且1 存在z 0 ，使得对 任意z 气( 【o ，+ ) ，r ) ，都有i i x l l 0 ，存在n 0 ，当t l ，t 2 n 时， 对一切z m 有l 寄一番i ，则m 为巳( 【o ，+ ) ，r ) 中的相对 紧集 引理2 2 2 【2 4 】设e 为一个b a n a c h 空间，pce 为e 的一个锥，q l ， q 2 为e 中的有界开集，0 q 1 ，豆lcq 2 ，a ：pn 孬2 q l - - 4p 为全连续算 子，并有 i i a x l l i i x l l ，v z pn0 9 t 1 ；i t a x i i l i x l l ，比p i 10 9 t 2 或 l i a x l l l i x l l ，v z p i 1a q l ； l i a x l l l i x l l ，v x pi - 1a q 2 成立，则a 在pi - 1 ( 豆2 q 1 ) 中至少有一个不动点 2 3 主要结果 1 3 第二章一类奇异微分方程无穷边值问题的正无界解 下面列出本文需要的条件： ( h 1 ) f ( t ，u ) c ( o ，+ o 。) 【0 ，+ ) ，【0 ，+ ) ) ，西c ( ( o ，+ o 。) ，【0 ，+ 。o ) ) ， 且存在常数a x ，p 1 ( 1 a l p l + ) 满足 矿1 ，( 屯让) f ( t ，c u ) c h ，( ，u ) ，v c ( o 1 】， 一1 ，( ，u ) s ( t ，c u ) c p l ，( z ，u ) ，v c f 1 ，+ ) ( 凰) 存在常数a 2 ，肛2 ( o a 2 p 2 1 ) 满足 c i l 2 ，( z ，u ) f ( t ，c u ) c 沁，( t ，u ) ，v c 【o 1 】， c 沁，( ，u ) f ( t ，c l t ) c p 2 ，( t ，牡) ，v c 【1 ，+ o 。) ( 凰) 0 0 使c 忙i l 1 ，i 1 1 ，则由( h 1 ) 知 巾州枷= 心，禹掣) 刮禹m z ，掣) c 入1 一p 1i l z l | 籼( 1 + 伯( ) ) mf ( t ，1 ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 因而对任意t 【0 ，+ ) ，有 踹= o 端班郇油+ 羔 ， 步p 斑| | 茹i i j z 如磁欢h 娟) ) 斑，1 ) d s( 2 3 1 )j oi 厶o 。工j 所以 敖 + m a x a ，矗 1 为常数，使当t ! a + ，b + j 时，有 c l c 。1 ， 必幽l ， c lc l 剥当。p ，且| i x l t 1 时，对任意t p ，州，有 e t 高c i c * 一t t z 独e ， l 。e 1 南2 c z 三郴。” ，( t ，z ( t ) ) 蠢1 一p 1l i _ 车； ； 两l a l ( 1 + r 0 ( ) ) 弘1 ，( t ，1 ) ，考f 秘，务+ 】，l | 茹l l 。 盖 从而，当z p ，陋f f o 。 1 时，对任意t 【a ，州，有 享笔墨兰噪：兰壁羔丽+厂黑西(s)，-(s，搿(s)dsl 一= 一十o 巾l 冀i is t lsil n s 1 + ( )+ 7 - o ( t ) j o1 + 1 - o ( t ) y r 川r “r 川”。 r 端川叩( s ) 灿 列州v _ 蚓0 1 端帕) ( 1 圳s ) ) 吖删s 强a 1 - - 弘1 * a t 1 。掣：i 1 端f 酬l 州嘲纵馋如 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 因为a l 1 ，令 选取 耻卜幽 则可以得到 船，端小s ) ( - 圳s ) ) 吖( s 叫南 r = ：m a x ( 2 ，r 1 1 ， a x l l 。i l z i l ，比p ，i l z i i 。= r ( 2 3 2 ) 另一方面，取常数c 2 满足0 c 2 1 ，利用( h i ) ，当z p ，忪| i 1 ， t 【0 ，+ o o ) 时，有 故有 取 巾一啪= 心，端 l + ，7 - o ( t 1 c 2 c ；1 一p 1i i z i | a 1 ( 1 + 伯( ) ) 纵f ( t ，1 ) 踹= z 端( s , x t s ) ) a s + 志而一厶而叭s j o十丽 ，o 。 ，p ( s ) 咖( s ) ，( s ，z ( s ) ) d s j 0 + m a x a ，厶) ，o o 毋1 一p 1i i z l 。a 1 p ( s ) 咖( s ) ( 1 + 伯( s ) ) mf ( s ，1 ) d s j 0 一曲p + m a x a ，6 ) ( 2 3 3 ) p m 一郴删吖删s q 利用( 2 3 3 ) 可知当a ，b 充分小，即当 。m a x 札6 ) r - 7 m 矿纵z 0 0 小) ) ( 1 + 娟矿1 m 1 ) d s 1 7 第二章一类奇异微分方程无穷边值问题的正无界解 时有 i i a x l l l i x l l ，v z p ，l l z i 。= r ( 2 3 4 ) 根据( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) 及引理2 1 1 可得当a ，b 充分小时，a 至少有一个不 动点。p 满足r i i x l l o o 0 时，存在属于c 2 ( f o ，+ o 。) ，l o ，+ ) ) 正无界解 注2 3 1 定理2 3 1 中的a ，b 【0 ，+ 。) 要求充分小，而定理2 3 2 中的 a ，b 为任何非负实数即可 注2 3 2 在b v p ( 2 1 1 ) 中，若取p ( t ) 兰1 ，西( ) 兰1 ，可以得到文【2 5 】中 的相关结果，因而本文是文【2 5 】的推广 1 8 第三章一维奇异p - l a p l a c i a n 方程多解的存在性 3 1 引言 本文在c 1 【o ，l 】空间中利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究了下面p l a p l a c i a n 边值问题 f ( 妒( z ，) ) 7 + h ( t ) f ( t ，z ，一) = 0 ，0 t 1 ，f c ( 【o ，1 】【0 ，) x r ，【o ，) ) ， ( t ) c ( ( o ，1 ) ，【o ，) ) 在t = 0 ，1 处可奇异 近年来，关于p - l a p l a c i a n 边值问题正解的存在性问题引起了广大数学研 究者的兴趣并取得了很多研究成果，参见【2 7 - 3 9 】及相关文献研究p - l a p l a c i a n 方程一般是利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，拓扑度理论，s c h a u d e r 不动点理 论，上下解，打靶等方法，利用这些方法所得出的结果一般为一个解或两个解 最近，文献 2 7 】在空间c o ，1 】中探讨了一维奇异p - l a p l a c i a n 方程 ( 妒( z ，) ) + a ( t ) f ( x ) = 0 ，0 t 1 ，a ( t ) 在t = 0 ，1 处奇异，( t ) 在f 0 ，1 】上连续我们可以看出文献【2 7 】未考虑，含z ( ) 的情形，显然本文 是对文献f 2 7 】的一个直接推广 3 2 预备知识 设( e ，i i i i ) 是一个实b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥，且对任意 1 9 第三章一维奇异p - l a p l a c i a n 方程多解的存在性 0 r o o ，令 p r = z pi l i x l l 7 ) ， a 只= z pll i x l l = r ) ， p r = z pll i z i i 7 ) 定义3 2 1 1 3 9 】若函数a ( x ) 满足： a ：pj 【0 ，。o ) 连续且任意z ，y p 0 t 1 ，满足 a ( t z + ( 1 一t ) y ) t a x + ( 1 一t ) q ( y ) ， 则称a ( x ) 为非负连续凹泛函 设 p ( a ，a ，b ) = zix p ；a q ( z ) ，i i x l i 6 ，0 a b ， 易知p ( a ，a ，b ) 是有界凸闭集 引理3 2 1 ( l e g g e t t w i l l i a m s 定理【7 】) 设a ：夏_ 夏全连续，且存在非负 连续凹泛函q ( z ) ，满足q ( z ) i z l l ( 任意x p c ) ，又设存在0 d q ； ( 2 ) 当z 艿时，有i l a x l b 时，有a ( a x ) o ； 则a 在瓦中至少有三个不动点u 1 ，u 2 和u 3 ，且满足 l l 缸l i l 8 ，i 钍3 i l d 且a ( u a ) a 很容易知道空间c 1 【o ，1 】在范数 l i x l l l = m a x l l x l l ，l i x ，1 1 ) 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 下是b a n a c h 空闻，其中 i l x l l2 m m a x 。ji 鬈t t x l l = 焉躏雠) | i 令 p = 。( ) c 1 【o ，l 】，x ( t ) o ， 显然p 是c 1 【o ，1 】中的一个锥。 本文要用到以下假设条件： ( 磊h ) 厂g ( 【o ，1 】【0 ，0 0 ) r ，( 0 ，o o ) ) ( 飓) h ( t ) c ( ( o ，1 ) ，【0 ，0 0 ) ) 且0 詹h ( s ) d s 0 0 记z ( t ) = 帮l ( ) ，髫7 ( ) 拦阮( t ) ，f ( t ，z ，鬈) = g ( t ，y l ，v 2 ) ，g ( x ) = | 。l 爹墨s 9 摊茹 是妒的反函数 ( 点b ) g ( t ，y l ，y 2 ) q ( ) 多( 挈l ，笋2 ) ，q ( t ) c ( 【o ，1 】，【0 ，o 。) ) ，多c ( 【o ，。o ) r ，【0 ，。o ) ) 且 f oh ( s ) 口( s ) d s 。，j g ( z 。 ( r ) 口( r ) d r ) d s 。 ( 五醒) g ( t ，y l ，y 2 ) g ( ) ( 彭1 ，抛) ，q ( t ) c ( 【o ，1 】，【0 ，o o ) ) ，咖c ( 【o ，。o ) r ，f 0 ，。o ) ) 且 z 1 c s ，口c s ，d s 。，z 1g ( 1 e r ，g c r ，d r ) d s 。 我船首先来考虑以下情形： | ( 妒( ) ) + h ( t ) f ( t ，茁，。7 ) = 0 ，0 t 0 有| i 茁n i i , 冬m ，由( 日1 ) 可得 又因为 y ( s ，。n ( s ) ，z ：( s ) ) _ i ( s ，z o ( s ) ，z ；( s ) ) ，( 札_ ) z 1g ( z 3 九( r ) ，( r ，z ( r ) ，。( r ) ) d r ) d s g ( 嘞，揣y 2 1 _ m m z 1 一 0 53 l s m ，l”一7 o 0 0 由l e b e s g e t 控制收敛定理知 i t a z n a 。l l = 啪m & x 1 】 0 使i i z | l l m ，任意2 q ，当z q 时 l i a z l i 并且，有 l 。 2 吲m 0 1 a x 】j 2 f m a x ， 一t 【o ，1 】j z 1g ( c o ， l l a x l l = 1 g ( 8 愚( r ) ，( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) d r ) d s 1 g ( 岣。册青。m 地- ，蚴z 5m ) 口( r ) d r ) d s 。蛳掰青。刚帕，) g ( j o sh 咖，d r ) d s 。m 【o a ，x 。】g ( o 。 ( r ) ，( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) c f r ) g ( 哟。攒青。m 地，现，) g ( 0 1 ) m ，打) o 。 从而a ( q ) 在【0 ，1 】上一致有界 g 觚叫m 吲 i j 第三章一维奇异p - l a p l a c i a n 方程多解的存在性 使得 另一方面，由( 日1 ) ，( 日1 ) 和p ( z ) g ( z ) 的可积性知存在0 m 1 ，m 2 0 ，对t l ，t 2 【o ，1 】，( 不妨设t l t 2 ) 当 i t l 一t 2 l 6 1 时，任意z q ，有 ( a x ) ( t 1 ) 一( a x ) ( t 2 ) l = l 么1g ( 5 ( r ) ，( r ，z ( r ) ，z ( r ) ) d r ) d s rg ( 小町嘶加v 舢r ) d s g ( 。蛳跚m 她t m ，) g ( o h 口c