（应用数学专业论文）几类非线性微分系统的定性分析.pdf

摘要 严3 1 8 8 9 本论文分为前言，正文，参考文献和致谢四个部分。正文包括四章，分别 诗论了下面四类韭缝蛙丝坌丕红解的定性性质： 拿：h ( y ) 一f ( x ) ， d t ( i ) d 2 = 一g ( x ) d t 崇- h ( y ) 也x ) ， 警一g ( x ) q ( y ) 一d x ：y m ( x ) ， 一d t 2 y 一中【。) d y ：一f ( x ) y - g ( x ) d t 、 、。 ( i i i ) ( i v ) p 在第一章我们建立了系统( i ) 的零解全局半稳定的充要条件，并给出一 个系统( i ) 存在同宿轨线的判定定理。在第二章我们获得了系统( i i ) 的零 。- 。- - 。_ - 一 解全局渐近稳定的几组充分条件，推广并改进了文 2 、 5 一 6 、 1 2 一 1 5 的主要结果。在第三章我们首次建立了系统( i i i ) 的所有非零解振动的充分 条件，并给出一个系统( i i i ) 存在极限环的定理，在第四章我们着重讨论系 统( i v ) 解的型和堡堡至的存在性，所得结果推广并改进了文 3 、 2 6 一 2 8 的一些结果。 对吖 、j j 对 伍 甙 h 一 = = 奴一m吾lm a b s t r a c t 胁h ( y ) _ f ( x ) ，( i ) 陪d y 一_ g ( x ) “。 j 警曲叫n 陪d y g ( x ) q ( y ) f i d x = y - y 中( x ) ， i 面 。( x j ， 瞎一f ( x 驴g ( x ) ( h ) ( 1 1 1 ) ( i v ) i nc h a p t e rlw ee s t a b l i s hs u f f m i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l s e m i s t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no fs y s t e m ( i ) f u r t h e r m o r e ，at h e o r e mo nt h e e x i s t e n c eo f h o m o c l i n i co r b i t so f s y s t e m0 1 ) i sa l s og i v e n i nc h a p t e r2 ，w bo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h e z e r os o l u t i o no f s y s t e m ( i t ) ，w h i c hg e n e r a l i z ea n di m p r o v e t h em a i nr e s u l t so f 2 、f 5 】5 一【6 】、【1 2 卜【1 5 】 i nc h a p t e r3w ee s t a b l i s hs o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no fa l lt h e n o n - z e r os o l u t i o n so fs y s t e m ( 1 1 1 ) ，a n d g i v e ac r i t e r i o nw h i c h g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c eo f l i m i tc y c l e sf o rs y s t e m ( 1 1 1 ) i nc h a p t e r4 。w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sa n de x i s t e n c eo f l i m i tc y c l e sf o rs y s t e m ( i v ) ，s o m er e s u l t so ff 3 】、【2 6 - - 2 8 a r ee x t e n d e da n d i m p r o v e d 柚k、， 曲 心 甙 h l j = 血一m 酊一m rj，1l 刖茜 微分方程的定性研究是现代数学研究的一个重要分支，在众多科学技术领 域中有着非常广泛的应用。由常微分方程来直接研究和判断解的性质是常微分 方程定性理论的基本思想。定性理论在常微分方程的研究中有其独到的功能和 地位。随着生产力的发展和微积分学的丰富完善，它已成为一个富有强大生命 力的数学分支，成为人们解决其他科学技术问题的重要数学工具之一，它不仅 在几何学、力学、天文学、物理学及其他技术科学中，例如核物理、电子技术、 自动控制、星际航行等许多尖端科学技术领域内，已成为强有力的杠杆，推动 着这些学科的发展。就是在现代的生物学。人工神经网络动力学和经济学的研 究领域内，它的理论和方法也是不可缺少的。 近几十年来，常微定性思想和技巧已逐渐渗透到其他数学分支，特别是泛 函微分方程和差分方程领域内。常微分方程理论的完善和发展推动着人们对泛 函微分方程和差分方程的研究，为泛函微分方程和差分方程理论的建立和完善 提供了许多方法，技巧和思想工具。 本论文主要讨论几类非线性微分系统解的定性性质，获得了一些重要的， 有实际价值和意义的结果，推广和改进了以往的些结果。 窿喾x 姥d x 烹 ( i ) ( i i ) 隆y 加，皿。， i 警t y = - f ( x ) 卅( x ) u “ 隆d 吣一 。v ， i - d 。- y = - g ( x ) u 第一章讨论系统( i ) 的全局半稳定性和同宿轨线的存在性，建立了系统( i ) 零解全局半稳定的充要条件，并给出了系统( i ) 存在同宿轨线的一个判定定理。 在第二章，我们主要讨论系统( i i ) 零解的全局渐近稳定性。建立了系统( i i ) 零解全局渐近稳定的几组充分条件。 第三章讨论系统( i i i ) 的振动性。系统( 1 1 1 ) 可以看作l i 6 n a r d 系统形式的推广 ( 当o ( x ) so ，或f ( x ) s0 时，系统o i l ) 就是众所周知的l i e n a r d 系统) 。我们建立 了系统( i i i ) 所有解振动的充分条件；在一定条件限制下，还给出了系统( i ) 至少 存在一个极限环的存在性定理。 第四章着重讨论系统( ) 解的有界性及极限环的存在性，并改进了文【3 】中 的一个定理。 为叙述方便，本文将用到如下的概念和规定： 系统( i i i ) 的解( x ( 1 ) ，y ( t ) ) 振动是指x ( t ) 有任意大的零点，反之称为不振动。并 总设系统( i ) ( i v ) 的解( x ( t ) ，y ( t ) ) 的存在区间是可向左向右无限延拓的。 我们记相平面上当t - - o 时从点p 出发的轨线，正半轨和负半轨分别为 l p ，k 和k 。全文总假设系统( i h i v ) 关于初始值问题解存在唯一。 i i 第一章广义l i 6 n a r d 系统的全局半稳定性和 同宿轨线的存在性 臆叫加附i l - 票= - g 第一节引言及引理 首先，我们给出系统全局半稳定和同宿轨线的定义。 设函数x ( x ，y ) ，y ( x ，y ) 在平面r 2 上连续，且微分方程组 对初值问题的解存在唯一。如果q 为( 1 1 ) 的不稳定奇点，且每条轨线l p 都正向进入q ，那么称系统( 1 1 ) 为全局半稳定。由定义可知全局半稳定的系统 ( 1 1 ) 无异于q 的奇点与闭轨线。 我们称两端都进入奇点q 的轨线l p 为同宿轨线。由定义知，若l p 为同 宿轨线。则o ( l p ) = a ( l p ) = q 。其中q ( l 与a ( l p ) 分别为l p 的极限集与 伐极限集。 在本章中，我们假设原点o 是( i ) 的唯一奇点，h ( y ) ，f ( x ) 和g ( x ) c 。，并满 d0 珐 d 取 = = 奴一m苦-一m 足： ( c o ) y h ( y ) 0 ( y o ) ，l a c y ) 是严格递增的。且h ( i - o o ) = + a o 。 用h 1 ( ) 表示h ( y ) 的反函数。为简便，文中采用下列符号。 f ( x ) = j o f ( s ) d s ，g ( x ) = r g ( s ) d s ， d l = ( x ，y ) i x 0 ，h ( y ) f ( x ) ) ，d 2 = ( x ，y ) ix 0 ，h ( y ) f ( x ) ， d j = ( x ，y ) ix 0 ，h ( y ) 0 ，a ( y ) 一f ( x ) ) ，c 一； ( x ，y ) l x 0 ( x 0 ) ，则( i ) 1 ) 从c + ( c 一) 出发的正半轨或与负( i e ) y 轴相交，或趋于原点。 2 ) 从c + ( c ) 出发的负半轨或与正( 负) y 轴相交，或趋于原点。 证明请参见文【3 】中的引理】2 ，此略。 引理2 1 1 全局半稳定系统( 1 1 ) 必存在同宿轨线。 引理3 假设( c 。) 成立，若( i ) 为全局半稳定的，则 1 ) x g ( x ) 0 ( x o ) ； 2 ) f ( x ) 聿o ，x ( - r ，r ) ，其中r 为任一正数。 证 由假设知原点o ( o ，0 ) 为系统( i ) 的唯一奇点，g ( o ) = f ( 0 ) = 0 ， g ( x ) o ( x 0 ) 。故g ( x ) 必属于下列情形之一： l o 增 ) 0 ，或g 0 ( x 0 ) 。 假设1 0 发生，令( x ( t ) ，“c ) ) 是( i ) 的一个解p = ( x 。，y 。) = ( x ( t 。) ，y ( t 。) ) 。且 x o 0 ，h ( y o ) f ( x 。) 。则k 不与c + 相交。事实上，假若q 与c + 交于某点 只= ( 墨，y i ) = ( x ( t 1 ) 。y ( f i ) ) 毛 t o ，那么有 2 t d x ( t t ) = h ( y j ) _ f ( x 1 ) _ o ，掣_ _ g ( 柚 o 。 这说明k 在点p 处是垂直向上的，因此k 不能与c + 相交而只能在c + 的 上方，从而垦掣：h ( y ( t ) ) 一f ( x ( t ) ) o ，对于7 t t 。所以l i mx ( t ) o ，这与 a t i - b + m ( i ) 是全局半稳定相矛盾。放1 0 不能成立。 假若2 0 发生。则( i ) 的轨线在相平面上都往下跑，或都朝上跑，这也与0 ) 全局半稳定的假设矛盾。故2 0 不能成立。 所以只有3 0 成立。 下证2 ) 成立。假若f ( x ) s 0 ，x ( - r o ，t o ) ，其中r o 为某正常数。令( t ) ，“t ) ) 为( i ) 的一个非平凡解，注意到l i mx ( t ) = 0 ，故存在某个t o ，使当t t 时有 x ( t ) ( - r o ，t o ) ，并且f ( x ( t ) ) i 0 。所以当t t 时，( x ( t ) ，y ( t ) ) 满足 蓑2 吣， ：， 警一g ( 蝴 u 考察( 1 2 ) 的积分曲线t r g ( s ) d s + f ：h ( s ) d s = c 2 ( c 为任一常数) 。故存在 c o o ，使当t t 时有 j i 。o x ( t ) g ( s ) d s + h ( s ) d s = c 0 显然有熙( ( x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ) o - 这与( i ) 是全局半稳定的假设矛盾。故2 ) 成 立。证毕。 第二节预备定理及证明 本节主要讨论系统( i ) 的轨线在原点附近的走向，建立轨线趋于原点的充要 条件。 定理1 设( c o ) 及x g ( x ) 0 ( x o ) 成立，且( d 满足： v ( x ) e c o ，使当o x d l 时有o c v ( x ) h - ( f ( x ) ) 且 ：志蛐( s ) ， ( h 1 ) 存在0 d s 佃。 ( 1 3 ) 则( i ) 对任一点p q i = ( x ，y ) 1 0 x d ，v ( s ) y h 1 ( f ( x ) ) ，e 经过区 域q = ( x ，y ) 1 0 x d l ，0 y s h - ( f ( x ) ) ) 趋于原点； ( i i ) 从点p o ( o y o ) ( y 口 o ) 出发的负半轨h 在( o ，d i ) 上不与曲线y = v ( x ) 相交。 证反证- 假若存在一点p q i ，l + 经过q 但不趋于原点。设k 对应的 解为y = y ( x ) ，则y = y ( x ) 满足方程耋= 揣，由弓f 理l 知k 必与负y a xp ( x l h f v l 。 轴相交，设交点为c ( o ，站，故k 必穿过y = 、i ，( x ) ，令x l = i n f x 1 0 x v ( x ) ，则0 x i d i ，y ( x i ) = v ( x i ) ，r y ( x ) 、l ，( x ) ，当xe ( o ，x 。) 。 故由( 1 3 ) 可得 、i ，( x - ) 0 和任意的 t l ，( x ) e c o ，满足0 0 。由假设， 存在x e ( 0 ，x 。) ，使得 4 y ( i ) y ( 元) 一y ( ) = 。，g ( s 、) ，、。，( i s = r 。，g ( s 、) ，、。，d s 在上式中，令斗0 ，由( 1 4 ) 得到 y g ) 由c f ( s ) 乩g ( s ( ) 而 v ( - ) 2 y ( x ) ， 这是一个矛盾。证毕。 定理3 设( c 。) 及x g ( x ) 0 ( x o ) 成立，赃对任一点p ( x o ，y o ) e c + ，q 经过区域 ( x ，y ) 1 0 x x 。，0 o ( x o ) 成立，则对任一点p ( x o ，y o ) c ，k 经 过区域 ( x ，y ) l x 。 x 0 ，0 y s h - i ( f ( x ) ) 趋于原点当且仅当 ( h 2 ) 存在0 d 3s ，、l ，( x ) c o ，使当一d 3 x 0 时有 0 、i ，( x ) o ( x o ) 成立，则对任点p ( x o ，y 。) c 一，k 经过区域 ( x ，y ) x o x o ，h - i ( f ( x ) ) s y c o ) 趋予原点当且仅当 3 ) 存在o ( d 4s 佃，v ( x ) e c o ，使当一d 4 x 0 时有 h - t ( f ( x ) ) c 、l ，( x ) o ( x 0 ) 成立， 则对任一点p ( x o ，y o ) c + ， l - 经过区域( ( x ，y ) 1 0 x x 。，h - i ( f ( x ) ) y o 趋于原点当且仅当 ( 1 1 ) 存在o d ，s 佃，y ( x ) ec o ，当0 x d ，时有 h - i ( f ( x ) ) 0 ，使当xe ( - - d 3 ，0 ) 时( h j 成立。 证l o 充分性由( c 0 知定理4 成立，从而有负半轨趋于原点，故原点是 不稳定的。下证( i ) 的任何正半轨都趋于原点。设点p e d ：，由( c ) 知定理1 成 立，结合引理l 知l + p 趋于原点或与负y 轴相交。若k 与负y 轴交于点p l ，则 睇进入d ，中。f f e 自( c t ) 和( c 2 ) 知引理4 成立，故e 。必与c 一交于点p ：。又由 6 引理l 知k ：趋于原点或与正y 轴相交。但由( c 5 ) g t 宅ed 4 中詈 o ，易知k ， 只能与正y 轴交于点p ，再由引理4 知酢，必与c + 相交于点p 4 ，最后由定理1 知e 趋于原点r 所以当t 一佃时e 趋于原点。当点p 在其它区域时，同理 可证k 趋于原点。从而( i ) 是全局半稳定的。 2 0 必要性( c 3 ) 和( c i ) 可由引理3 立得。下证( c 0 成立。由引理2 知o ) 必存 在同宿轨线。设l 是( i ) 的一条同宿轨线，则l 必穿过y 轴，由充分性的证 明知( i ) 的所有正半轨都最后通过区域q = ( x ，y ) ix 0 ，0 o - i 故。1 i r a 。x ( t ) ( x ( t q ) = o ，这与l 是同宿轨线矛盾，故l | 必交c 于某 点r 。 假设( c ，) 不成立，由定理4 知k 不趋于原点而与负y 轴相交于某点m 。由 定理1 知k 不与y = 、i ，( x ) 相交，从而也不与c + 相交。因在c + 下方有案 o ， 故在d 2 中有! 慨x ( ) x ( t m ) = 0 ，这又与l 是同宿轨线矛盾，所以( c s ) 成立。 证毕。 定理8 假设( c o ) 成立，且满足下列条件： ( c ：) 存在t g ( x ) e c 。，使当x l i m 。s u p ( g ( x ) + 8 9 n ( x ) f ( x ) ) = 十。， 则( d 为全局半稳定系统当且仅当 ( c 3 ) x g ( x ) o ( x 0 ) ， ( c ) f ( x ) 0 ，x e ( 一r ，r ) ，r 为任意正数， ( c ：) 存在d j o ，使当xe ( o ，d 5 ) 时( h 4 ) 成立。 定理8 的证明类似于定理7 ，略去。 f 面举例说明我们的结论。 例1 在系统( i ) 中，若f ( x ) = a i x 2 “。 h ( y ) = y ，g ( x ) = c x “1 ， 其中n ，k 为固定的正整数。a i 0 ( f = 2 , 3 ，2 n 一1 ) ，a i 0 ，口2 。 0 ，c 0 。 则当l ( a ? 2 c 时系统( i ) 是全局半稳定的。 证 易见当x 岭4 - 0 0 时，f ( x ) _ ，并且f ( x ) 0 ，对于x 0 。若取 v ( x ) = 圭f ( x ) ，则有 c 燕虻”s o , 阶g ( s 丽) d s _ 2 e 器8 so + f ( s ) 一h ( 、i ，( s ) )。o + f ( s ) 一v ( s )j o + f ( s ) s 2 c 謇d s - 2 。f 。xs 2 k _ l d s _ 覃c x 2 k s 等x 2 。 0 ，使对于c 上任意一点 p ( x o ，y o ) ( 一6 0 。使得 f ( x ) a 。x z t + b x ：t “，当x ( 一6 。，o ) ，记b ：墨；尝( b o ) ，取m 2 k ， 6 2 = 曲 8 , , 1 k p ( m + 1 ) ) 和v ( x ) = 丢a i x 一m b x 2 = j 1a x 能m k f a , 3 轳“， 那么当x e ( - 8 2 , 0 ) 时，有 0 v ( x ) 心( x ) ，并且蔷 g ( x ) i i + 而鬲。 令h ( x ) = 、i ，( x ) 一r f ( s ) - n h _ ，c s ) d s ，则当x e ( 一6 ：，。) 时，我们可得 h ( x ) = 、i ，7 ( x ) 一揣s k a - x 2 k 一! 掣x 2 k 2 c 苎! 0 ，并且有 h ( x ) s 0 ，对于x ( 一8 ，0 】， 这说明j ：；燕d s = j ：i i ；d s o ( x o ) ， ( h ) 和( h 。) ( i 4 ) 之一成立， 则( i ) 必存在同宿轨线 证不妨假设( h 1 ) 成。设点p 仨f 2 i = f ( x ，y ) 1 0 0 y h ( y ) 0 ( y o ) ，h ( y ) 严格递增， ( h 2 ) 当x d 时，f ( x ) h ( ) ：x 佣寸f ( x ) 0 ，c 一= ( x ，y ) l h ( y ) = f ( x ) ，x 。 当q ( y ) ；1 时，( i i ) 就是r - 5 ( l i 6 n a r d 系统 i d k 五一- - l a k ， 3 、 一f ( x ) ， 戡- g ( x ) “ ( 2 1 ) 【d t 詹y - f ( x ) ， 睽删 u 一 第二节引理及其证明 在本章中，设k = s ，u 。p f ( x ) ，p 2 。1 i m 。r - ( x ) ，k i n f f ( x ) ，p 。1 + i m x h - 1 ( k ) 时e ( y ) 严格递增，当y h ( 嘲) ，l i m i n ff ( x ) e “( p ) ，k - q c + 相交当且仅当 l i r a s u p f ( x ) + r _ ( x ) 】= q - c o ，( 2 5 ) ( b ) 对任一点q ( x o ，y o ) x 。 0 ，y o k r ( x o ) 。当 x x 0 , h ( y ) f ( x ) 时，k 的斜率塞一赢( 0 ；另方面，f ( x ) 对 一切x x o 无上界，故l 乞必与c + 相交。 若发生，且l 乞不与c + 相交，设k 对应的解为( x ( t ) ，y ( t ) ) ， x ( 0 ) = x 。，y ( o ) = y 。因t 增加时x ( o 单增，y ( o 单减，故存在 o 0 ，令m = 粤i n 。q ( ”，则m o 。沿l 毛从0 到t 积 y q n j i 分譬= 一g ( x ) q ( y ) ，得 y ( t ) = y 。一g ( x ( s ) ) q ( y ( s ) ) d s 嘲一c 恶糟黜c 蜩s 钒一r 揣d s - - - a o ( t 啼删 这与y 一q 的假设矛盾，故y + = - - o o 。但由( i ) 知存在某常数c 0 ，序列 x 。) ，x 。 - - c ，= 1 ，2 ，a 故当t 一佃时k 必 将与c + 相交，这和l 毛与c + 不相交的假设矛盾。故充分性得证。 2 0 必要性假若l i m s u p f ( x ) + l ( x ) 】+ 。则存在常数，k 0 p 0 ，使 f ( x ) s k + 0 0 ，r - ( x ) o ) 由( 2 4 ) 知，e ( 佃) = + ，故这些曲线中与正y 轴交点的纵坐标y e 。( p ) 的瞌线不与直线y = h “( k ) 相交。 崇| ( 1 1 ) = g ( x ) ( 1 + f - ( x ) ) ( h ( y ) 一f ( x ) ) 一( h ( y ) 一j c ) g ( x ) = g ( x ) ( 1 + f 二( x ) ) - ( h ( y ) 一f ( x ) 一( h ( y ) 一k ) ( 1 + f ：( x ) ) ) = g ( x ) - ( 1 + f 二( x ) ) 一( k f ( x ) 一( h ( y ) 一k ) f ( x ) ) = g ( x ) ( 1 + f ：( x ”( k f + ( x ) + e ( x ) ( 1 一h ( y ) + k ) ) ， 考察曲线r ：v ( x ，y ) = p 。与正y 轴的交点为( o ，e 。( p ) ) ，现沿r 估算，得到 詈) = g ( x ) ( 1 + f - ( x ) ) ( k - f + ( x ) ( 1 一h ( e - 。( p r - ( x ) ) ) + k ) 由于r - ( x ) 单增( x o ) ，故存在x 0 。使当x 又时有0 s p r - ( x ) o 。这说明对r 上任一点m ( x ，y ) ，x 苫叉，l + m 从左向 右穿过曲线r 特别地取r 上一点p ( - ，e 。( p r - ( i ) ) ) ，设l i 交y 轴于点 p l ( o ，y 1 ) y l = e 。( p ) h “( k ) ，因此对任意点n ( 0 ，y o ) y o y i 则碥必位于 y = h 。( k ) 的上方。从而将不与c + 相交必要性得证。 推论1 设( h 1 ) 一( h 3 ) 和( 2 4 ) 1 i e 立- 且满足 l i ，m i 。n f f ( x ) h l i m s 。u p f ( x ) e “( p ) ，k 与c + 相交当且仅当 l i m s u p o ( x ) + f ( x ) 】- 佃；( 2 8 ) ( b ) 对任一点q ( x o ，y o ) ，x o 0 ，y h ( y ) 0 ( y 0 ) ： f j ( z ) e ( z ) ，或b ( z ) f j ( z ) ，z 0 - 那么( i i ) 不存在闭鞔线 引理4 i 埘设( 1 1 ) 满足下列条件 ( c ) y h ( y ) o ( y o ) ，h ( y ) 严格递增，且h ( ) = 。o l ( 岛) q ( y ) 。，且r 粉d y = 柚： ( c ：) 存在一个常数a o ，使得o ( a ) = g ( _ a ) ，当x a 时g ( x ) = 一g ( - x ) 0 ， f ( x ) f ( 一x ) ；当x ( - a ，a 埘g ( x ) f ( x ) d x o ； ( c ) l i m i n f f ( x ) 埘，l i m s u p f ( x ) o ”。 第三节主要结果 本节建立系统( i i ) 的零解全局渐近稳定的充要条 牛主要归结为一f 面三个定理。 定理1 设( h 1 ) 一( h 3 ) ，( 2 3 ) 和( 2 4 ) 成立，且 ( i ) f l ( z ) f 2 ( z ) ，z ( o ，m i n ( g ( 枷) ，g ( + ) ) ；( 2 1 3 ) ( i i ) 存在常数6 0 使当0 qx f 0( 2 1 4 ) j j i ) i l h i 劬mq ( ( y y ) i 。o ( 2 1 5 ) 则( 1 1 ) 的零解全局渐近稳定当且仅当( 2 5 ) 和( 2 6 ) 成立。 证i o 充分性 由( 2 1 3 ) 结合引理3 ，知( i i ) 无闭轨。令九( x ，y ) = l y h 。( 。s ，) d s + g ( x ) ，贝r j x ( x ，y ) = c ( o ) 表示一簇包围原点。的单闭曲线，且 等) = 一g ( x ) f ( x ) ，由x g ( x ) o ( x o ) 和( 2 1 4 ) 推出在原点的充分小邻域内 警| t 1 1 ) r ( x 。) ，由引理1 充分性的证明知i 毛必与c + 相交。由( 2 1 5 ) 可知 ( i i ) 没有垂直渐近线，故k 穿过c + 后趋于原点0 或与负y 轴相交于点p ， y c o 。由引理i 知k 必与c 一相交，然后随y 的增加趋于原点或与正y 轴相 交于点p 2 ，y o 设k 与正y 轴交于点p o y h o 则必有y 考k ，当o z ( y ) k 1 1 ) 故点p o 在p 2 上方，从雨吣有界，且当 t 一+ 时k 趋于原点- 当点q 在其它区域时，同理可证得k 趋于原点。再 由引理2 知系统( 1 1 ) 的零解全局渐近稳定。 1 6 2 0 必要性反证。假设( i i ) 的零解全局渐近稳定，但( 2 5 ) 和( 2 6 ) 之一不成立。 不妨设l i m s u p r _ ( x ) + f ( x ) 】 o ，p o ，使f “) s k ，p a x ) e “( p ) ，使k 不与c + 相 交。设k 对应的解为( x ( t ) ，y ( t ) ) ，x ( o ) = x 。，y ( 0 ) = y 。，故k 永远停留在区域 q = ( x ，y ) | x 0 ，h ( y ) f ( x ) 之中，从而笔铲= h ( y ( t ) ) 一f ( x ( t ) ) 0 ，对于 t 0 。故l i r a x ( t ) x ( o ) = x o 0 。这说明l 乞不可能随t 叶伸而趋于原点，这 与( i i ) 的零解全局渐近稳定矛盾。故( 2 5 ) 成立。同理可i t ( 2 6 ) 成立。证毕。 推论2 设( h i ) 一( h 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 7 ) 和( 2 1 3 ) - - ( 2 1 5 ) 成立，则( i i ) 的零解全局 渐近稳定当且仅当 l i m s u p g ( x ) + s g n ( x ) f ( x ) l = b o o 。( 2 1 6 ) f x l + 4 证由推论1 和定理l 立得。 定理2 设系统( i d 满足引理4 中的条件。且( h 。) ，( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 成立，则( i i ) 的零解全局渐近稳定当且仅当( 2 1 2 ) 成立。 证l o 充分性由( 2 1 3 ) 知( i i ) 无闭轨，m ( 2 1 4 ) 知( i i ) 无奇异闭轨。再由( 2 1 2 ) 知引理4 成立，故( i i ) 的所有正半轨有界，所以0 i ) 的任一正半轨都趋于原点0 。 再结合引理2 知( i i ) 的零解全局渐近稳定。 2 0 必要性反证。假设( i i ) 的零解全局渐近稳定，但l i r a s u p g ( x ) + f ( x ) | o h o ，使g ( x ) h 。(217)0 o q ( y ) 。 、7 由g ( x ) 20 ，故有 v ( x ，y o ) h x 0 a ( 2 1 8 ) 7 取x 。 0 ，记从点a ( x 。，y o ) 出发的正半轨为k ，设k 对应的解为 ( x ( t ) ，y ( t ) ) ，x ( o ) = x o ，y ( o ) = yo ，由( c 2 ) 知存在y 0 ，使h c y ) = m ，0 h ( y ) m ， y ( 0 ，亨) ，故得 i ? h ( y ) - m d y 0 。 ( 2 1 9 ) 一 毗7 ， 、 比较( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) ，易见萝 o ，x o 。从而v ( 夏，亨) v ( x 。，y 。) 。 这与( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 矛盾，所以e 永不与y = y 相交而位于c + 的上方，故 d x - ( t ) ：h ( y ( t ) ) 一f ( x ( t ) ) 0 ，t o ，从而l i mx ( t ) 0 。这与( i i ) 的零解全局渐近 稳定矛盾，l i m s u p g ( x ) + i f ( x ) = + 。同理可证l i m s u “g ( x ) + l f ( x ) 】= 十 证毕。 定理3 设( 2 1 5 ) 和( c 2 ) 成立，且满足 ( i ) x g ( x ) ( x o ) ，y h ( y ) 0 ( y o ) ，h ( ) = 如： ( i i ) x f ( x ) 0 且f ( x ) 在x 的任何有限区间上不恒为零， 则( i i ) 的零解全局渐近稳定当且仅当( 2 16 ) 成立。 证1 0 充分性由( 2 1 5 ) 知( 1 1 ) 没有垂直渐近线，取 v ( x ，y 卜y h 玳( s 。) ，d s + o ( x ) ，则v ( x ，y ) 正定，且盟d ti ( 1 1 ) = 噌( x ) ，f ( x ) 。，余 下的过程可参看【2 】中定理2 。 2 0 必要性反证假设( i i ) 的零解全局渐近稳定但 l i m s u p g ( x ) + f ( x ) 】 o ，对一切x 0 有0 s f ( x ) o ，e o ，使h ( y o ) 4 m ，且当x 0 ，y ( y o 一，y o + 8 ) 时有 h ( y ) 一f ( x ) 3 m 。记m = m a x q ( y ) ，则m 0 。由g ( + ) 0 ， y l y n e y o + e j 使c 。g ( x ) d x ( _ 2 3m m 8 。考虑( i i ) 从点p ( n ，y 。+ j 1 ) 出发的正半轨q ，其对应 的解为( x ( t ) y ( t ) ) ，x ( o ) = n ，y ( o ) = y 。+ 三1 ，因x ( t ) o ，y ( t ) ( y 。一8 ，y 。十) 时氅盟 3 m o 鱼盟 n ，y b 2 y o 一。 设k 在某时刻t 。 0 交y = y 。一于点 从。到t b 沿k 积分警= g ( x ) q ( y ) ，得 y b y p = 一r 8 g ( x ( t ) ) q ( y ( t ) ) d t ：一产霉盟逖x t ( t ) d t 1 0 h ( y ( t ) ) 一f ( x ( t ) ) 一 ：一p 盟尘蚴d x o n h ( y ( x ) ) 一f ( x ) 一f x - 幽d x o n 3 m 一c 4 旦g ( x ) d x j “3 m 。、 2 一桊- j 3 丽m 一一j 1 e 3 m2m 2 另一方面y b y p = y o 一一( y o + ) = 一詈8 ，得矛盾。故蚌不与 y ：y 。一8 相交丽位于它的上方，于是对一切t 2 0 有璺掣3 m 0 ，从而 l i r a x ( t ) = 佃。这与系统( i i ) 的零解全局渐近稳定矛盾。故 l i m s u p g ( x ) + f ( x ) 】= + 。类似可证得l i m s u p g ( x ) 一f ( x ) 】= + _ o o 。证毕。 注3 定理3 是 2 】中定理2 的推广。莫愈仁在文 1 4 q h 给出了系统( ) 的零 解全局渐近稳定的一个充分条件。但有较强的限制条件，即要求 0 o 。 9 第三章一类非线性系统解的振动性和极限环的存在性 在这一章中。我们讨论系统 一d x = y - m ( x ) ， d t 、7 票一f ( x ) y g ( x ) 解的振动性和极限环的存在性，得到了该系统的解振动和极限环存在的充分条 件。 蓬 或等价系统 第一节引言 d n a r d 系统 = y f ( x ) ， = - g ( x ) ， 解的振动性和极限环的存在性，已有大量的研究，见【3 】，【2 0 】，【2 5 】等。 g v i l l a r i 在文【1 7 】中给f l i t 下面的定理 定理a t ”i 对于系统( 3 o ) ，假设下列条件成立 ( i ) x g ( x ) o ( x o ) g ( x ) = r g ( s ) d s ， ( i i ) 存在常数c 0 ，使得f ( x ) - c ，当x 0 ；f ( x ) 中( x ) ) d 2 = ( x ，y _ x 0 ，y ( x ) 。 d 3 = ( x ，y m x 6 ； ( b ) g ( 0 ) = o ( 0 ) = 0 ，x ( g ( x ) + f ( x ) m ( x ) ) 0 ( x 0 ) ： ( c ) 存在b o ，使当o i x i 时有x ( f ( x ) + 中( x ) ) 0 ，其中f ( x 卜i ：【f ( s ) d s ： ( d ) l i m s u p o ( x ) = - - o o l i m i n f 中( x ) = - - 0 0 ， x _ 则( 3 2 ) 的所有非零解振动。 证由( b ) 可知原点0 是( 3 2 ) 刚t - - 奇点。现令v ( x ，y ) = 2 c ( g ( s ) + f ( s ) 2 1 中( s ) ) d s + ( y + f ( x ) ) 2 ，故v ( x ，y ) 是正定的，结合( c ) 知，当o l x i o ，因当 o c 0 。 若情形( i ) 发生。设y = 一譬娶在区间( 屯o ) 和( o ，佃) 上的图象分别为r l 和 l i x ) 。 r 2 ，由( b ) 可知r 1 在c 的上方，r 2 在c + 的下方( 图1 ) 。设p 为d 中任一点， 因在d i 中有堕d t = y - o ( x ) o ，d d y t = 一f ( x ) y g ( x ) o ，故砩向右下斜降，根 据( d ) 中的l i m s u p o ( x ) = + 知砩与c + 必定相交，设交点为q ，则酢进入d ： 中，因在d ：中等= y - o ( x ) 0 故k 向左滑行，当k 位于r 2 上方时， 警= 一f ( x ) y g ( x ) o ，因此k 必将与r 2 相 交。x d d _ _ x y = j 币l - 万o i ( x 丽) y ，可见( 3 2 ) 的轨线没有垂直渐近线。但k 在穿