（应用数学专业论文）加权bergman空间上的加权复合算子.pdf

加权b e r g m a n 空间上的加权复合算子 摘要 本篇硕士论文主要研究单位圆盘d 上i 拘b e r g m a n 空间上和单位球上的加 权b e r g m a n 空间上的加权复合算子的有界性、紧性、本性模、模等问题 第一章对加权复合算子的相关研究背景进行了概述，并阐述了研究意义 第二章研究了单位圆盘d 上的b e r g m a n _ 空间上的加权复合算子的有界性和紧 性，并且用这些性质来刻画了单连通域的b e r g m a n _ 空间a 2 ( g ) 上的复合算子的有 界性和紧性 第三章利用加权回拉测度的边界性质，给出了单位球上的加权b e r g m a n 空 间的加权复合算子的本性模的表示 第四章得到了单位球上的日o 。( b ) 与加权b e r g m a n 空n 之间的加权复合算子 是有界算子或是紧算子的充要条件，同时表示出了加权复合算子的模 关键词：加权b e r g m a n 空间；加权复合算子；角导数；本性模；模 w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h e w e l g h t e db e r g m a ns p a c e a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yt h eb a s i cp r o b l e m so fw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，w h i c ha r eb o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，e s s e n t i a ln o r ma n dn o r r ne t c ，o nt h e b e r g m a ns p a c e so nt h eo p e nu n i td i s ka n dw e i g h t e db e r g m a ns p a c e so nt h eu n i tb a l l i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ed i s c u s ss o m er e l a t e dr e s e a r c hg r o u n do fw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，a n ds h o wt h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c e i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d yt h eb a s i cp r o p e r t i e so fb o u n d e da n dc o m p a c t w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c e so nt h eo p e nu n i td i s ka n du s e t h ea b o v ep r o p e r t i e st oc h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o n o p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c ea 2 ( g ) ，w h i c hg i sas i m p l yc o n n e c t e dd o m a i n i nt h et h i r dc h a p t e r w ee x p r e s st h ee s s e n t i a ln o r l no faw e i g h t e dc o m p o s i t i o n o p e r a t o ro nw e i g h t e db e r g m a ns p a c e so ft h eu n i tb a l lu s i n gb o u n d a r yp r o p e r t i e so f w e i g h t e dp u l l b a c km e a s u r e i nt h ef o u r t hc h a p t e lt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s ，w h i c h ，妒i sa b o u n d e do rc o m p a c t o p e r a t o rb e t w e e nh 。( b n ) a n dw e i g h t e db e r g m a ns p a c e sa 暑( b ) ， c a nb eo b t a i n e da n dm e a n w h i l et h en o r n li se x p r e s s e d k e yw o r d s ：w e i g h t e db e r g m a ns p a c e ；w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a 一 t o r ；a n g u l a rd e r i v a t i v e ；e s s e n t i a ln o r m ；n o r m i 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 作者签名：蹦。、浇 日期：，2 7 年钿 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容 保密的学位论文在解密后遵守此协议 储雠：咕目l j 、泌导师警轹于垮嘲 6 其| 日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：卅阚c 、i 艮 一礼寸膨 1 1 研究背景 1绪论 解析函数空间上的复合算子的研究是非常重要的，近年来发展迅速，成果 丰硕，成为算子理论中的研究热点解析函数空间上的算子理论之所以受到普 遍的重视，不仅因其丰富而深入的理论，而且由于它的广泛而有成效的应用 如文献【l 】中所描述的：它在解析动力系统理论中起到重要作用；d eb r a n g e s 关 于b i e b e r b a c h 猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算子；遍历变换有时 可以看为导致复合算子做为复合算子的推广而来的加权复合算子，自然也成为 了人们研究的热点如今，加权复合算子在不同解析函数空间上得到了广泛的研 究，如文献【2 - “】研究了h a r d y 、p - b l o c h 、o r l i c z 、l o r e n t z 等空间上的加权复合 算子对加权复合算子的研究正日趋深入接下来，介绍人们研究加权复合算子的 成果 研究算子的本性模和模是算子理论中的基本问题，许多算子性质的探讨，如 谱、本质谱、紧性、f r e d h o l m 理论，都以此为基础，同时在各种应用中，本性模和 模也往往起到非常关键的作用如j h s h a p i r o 1 2 】利用n e v a n l i n n a 计数函数给出 了在h a r d y 空间上的复合算子的本性模公式： 伽= l i ms u p n 妒( w 两) l o gl u 卜，l 一一 p l 从而证明。在h 2 ( d ) 上是紧算子的充要条件为l i r a i 。i 。l 一业- - l o g i 。1 = 0 ，使得表 述巳的紧性特征的问题得到较为理想的结果，同时利用广义计数函数估计了复 合算子在加权b e 培m a i l 空间上的本性模之后，许多数学工作者对加权复合算子 的本性模进行了广泛研究h t a k a g i ，t m i u r a 和s e 。t a k a h a s i 在 1 3 1 q b 给出了在 c ( x ) 上的加权复算子的本性模公式： w 0 ，妒l l ：= i n f r 0 ：妒( z x ：l 妒( z ) l r ) ) o o ) 1 l 绪论 李颂孝和朱香玲 1 4 1 研究了多圆柱上的口一b l o c h 空间与口一b l o c h 空间之问的加 权复合算子的本性模唐笑敏给出了单位圆盘上的日( d ) 与加权b e r g m a n 空 间织( d ) 之间的加权复合算子的模 目前加权复合算子的有界性和紧性被广泛的研究如文献【1 6 】，之e u 芒k o v i 6 和赵如汉通过考虑本性模来研究加权b e r g m a n 空间上的加权复合算子的紧性v m a t a c h e 1 7 1 研究- j h a r d y 空l n q h 2 ( d ) _ l ：的f l 权复合算子的有界性和紧性，并利用上 述性质来刻画t h a r d y s m i m o v 空间的复合算子的有界性和紧性2 0 0 3 年，王茂发 和刘培德【1 8 】研究了复平面中的单位圆盘d 上的不同h a r d y 空间之间的加权复合 算子，并利用c a r l e s o n 测度的概念分别给出了有界的或紧的加权复合算子的充 分必要条件，在文中也用角导数给出了紧加权复合算子的一个必要条件李颂 孝f 1 9 】刻画了单位圆盘上的不同加权b e r g m a n 空间之间的加权复合算子有界性和 紧性2 0 0 5 年，李颂孝【2 0 】考虑了单位球上的不同h a r d y 空间之间的加权复合算子 利用c a r l e s o n 测度分别给出了有界的或紧的加权复合算子的充分必要条件 对加权复合算子的谱和拓扑结构也被广泛的研究2 0 0 7 年，g g a j a t h 【2 1 】研究 了单位圆盘d 上的加权h a r d y 空间上的紧加权复合算子的谱后来，文章【2 2 】的作 者推广到单位球上的加权h a r d y 空间上来刻画紧加权复合算子的谱在1 9 9 0 年， c s u n d e r g 和j h s h a p i r o 2 3 l 提出了复合算子集c ( 日2 ) 的拓扑结构，并且寻找条 件来刻划c ( n 2 ) 中的连通区和孤立元素这是比较难的问题在 2 4 ，2 5 中，( 日) 中的道路连通区和孤立点被完整刻划t h o s o k a w a 和s o h n o1 2 6 研究了作用 在b l o c h 空间b 与小b l o c h 空间8o 上的两个复合算子的差的性质，在此基础上， 他i t e 2 7 研究了c ( 8 ) 和c ( 召o ) 的拓扑结构目前这方面的专著有 2 8 1 随着加权复合算子研究的发展，单位圆盘d 的h a r d y 空间日2 ( d ) 上的加权复 合算子的研究已被众多作者推广至l j b e r g m a n 空间，d i r i c h l e t 空间及各种加权的函 数h i l b e r t 空间；单位圆盘d 也被更一般的区域，如复平面中的上半面、有界多连 通区域，c 中的单位球或有界对称域等所代替，并得到了许多相应的结果目前， 在单复变中对加权复合算子研究的一些结果是比较理想的，有些可以用积分形式 具体的表示出来，而在多复变中对加权复合算子研究就不是那么容易很多空间 的维数从一维变为高维，很多基本性质已不能保证，例如复平面上的任意域都是 全纯域，但当维数大于一时就不存在这个性质，再加上多复变函数中域的构成很 复杂仍然有许多基本问题有待解决 2 l 绪论 1 2 研究意义 诸多学者对加权复合算子进行了研究之芒u 芒k o v i 6 和赵如汉【1 6 】利用推广 的b e r e z i n 变换刻画了有界的、紧的、s c h a t t e n 类加权复合算子刘永民和于 燕燕例研究了单位球上的b e r g m a n 空间上的s c h a t t e n 类的加权复合算子m d c o n t r e r a s 和a g h e m f i n d e z d f a z 2 】用c a r l e s o n 钡, o 度来考虑t h a r d y 空间上的加权复 合算子的有界性和紧性最近，vm a t a c h e ”l 研究- t h a r d y 空l h 2 ( d ) 上的加权复 合算子的有界性和紧性，并利用上述性质来刻画 h a r d y s m i r n o v 空l h - h p ( g ) _ h 的复合算子的有界性和紧性本文中，我们在b e r g m a n 空间上考虑了类似问题，得 到主要结论如下： 定理2 3 令妒是有限b l a s c h k e 乘积，则下列命题等价： ( a ) 可，妒是a 2 ( d ) 上的有界加权复合算子； ( b ) 唧 獬：z 6d 悯 ” ( c ) 矽日o o ( d ) 。 定理2 6 设在a 2 ( d ) 上是紧算子 则i 罂哔冁铲0 再设妒在 点u a d 非零有非零的径向极限，则妒在u 处不存在角导数进而可知妒在o d 上几 乎处处不存在角导数再设存在常数0 6 0 使得当1 一 m ，则妒不存在角导数且妒在d 内有一个不动点 定理2 9 设妒a 2 ( d ) ，妒是d 内的全纯自映射，若当6 _ 0 + 时， e s ss u p i 妒( z ) 1 2 ：名d ，i 妒( z ) i 1 6 ，0 ， 则巧，妒是紧算子 定理2 1 5 设妒是半平面g = 7 ( d ) 的全纯自映射，u o d 满足，y 0 ) = 0 0 若妒= 7 10 咖0 ，y ，复合算子。在a 2 ( g ) _ h 是有界的，则u 是妒的边界不动点且角导 数妒7 ) 存在 定理2 2 3 设是g 的全纯自映射，复合算子c 名在a 2 ( g ) 上是紧的，妒= ，y _ 1o 咖o 则 ，、 l i m i z l - + ij 瑞| = 1 1 三兴l ：1 i1 一乏( z ) l 若妒有边界不动点，则妒在这个不动点的角导数不存在 之亡u 芒k o v i 6 和赵如汉1 1 6 1 币0 用推广的b e r e z i n 变换给出了加权复合算子在 3 1 绪论 单位圆盘上的加权b e r g m a n 空间上的本性模的估计在2 0 0 4 年，罗列删利用单 位球b n 的全纯自映射妒导出的拉回测度p = vo 妒_ 1 给出了加权b e r g m a n 空 间a 2 ( b ) 上的复合算子的本性模的估计【2 3 】，后来他在文献1 3 1 中利用全纯映 射矿：o b n _ 爵导出的拉叫测度p = 仃o ( 矿) 一1 给出了单位球上的h a r d y 空 间h p ( 鼬) 上的复合算子的本性模的估计我们利用单位球b 的全纯自映 射妒导出的加权拉回测度脚= ( i 妒1 2 ) o 妒一1 来研究单位球上的加权b e r g m a n 空 间a 2 ( b ) 上的加权复合算子的本性模，得到主要结论如下： 定理3 6 设妒是b 的全纯自映射，一l o l o 是固定的，则存在常数 a ，q ，有 ( i ) c a l i ms u pp 妒i ( 乜e i ( 。a ，, 7 r 萨) )慨妒雌例i ms u p # 妒l ( 廿e l ( 。a ，, r r 矿) ) 其中。b ； ( i i ) ( 矗1 1 = ：￥p 。s a u b p 掣i i w 妒，妒l | ：s ( 之l i m 。s 。+ u p 。s a u b p 掣； ( i i i ) l i m s u pf s l 妒( 名) 1 2 ( 1 _ 端) + 1 + a d 口( z ) 剑幢q l a m l - - s * l 蚍j b 1 2 ( 蒜) 1 + q 州巩其机风 一 、i 上一、石，u ，i 一， 张学军和肖建斌【3 2 】考虑了单位球上的口一b l o c h 空间与v - b l o c h 空间之间的 加权复合算子是有界算子或是紧算子时的充要条件罗罗和s u e k i 3 3 亥0 画了 单位球_ _ = h a r d y 空f 司h v ( 风) 与h a r d y 空问h q ( b n ) 之间的加权复合算子的有界性 和紧性，( 0 q p ) 唐笑敏在文献 1 5 1 q b 研究了单位圆盘上的日( d ) 与加 权b e r g m a n 空问a 笔( d ) 之问的加权复合算子的有界性和紧性，同时给出了加权复 合算子的两个模的估计： 矿1 s 舢u p 器剑驯到s 舢u p 器， c 1 1 砂1 1 p ，a i i 吼，妒| i c i l 妒1 1 p 我们讨论单位球上的日。o ( b ) 与加权b e r g m a n 空i n - 之间的加权复合算子的有界 性、紧性和模，得到主要结论如下： 定理4 2 设矽是b 的全纯函数，妒是b r 的全纯自映射，0 p o 。，一1 o l 4 1 绪论 则，妒：兜( b n ) _ h o 。( b n ) 是有界的当且仅当 裟雨黔 2 b r 1 一l ， ，、1 2 、工i 一 蚴h 丧雌撒胜删| | _ z s u p e b n 雨精2 f 1 一l f ，、i 、产 定理4 4 设矽是风的全纯函数，妒是b 的全纯自映射，0 p ，一1 q 0 0 ，吼，i p ：织( b n ) 一h 。( b ) 是有界的贝0 吼，妒：织( b n ) _ h ( b n ) 是紧的 当且仅当砂h ”( b n ) r m l 圳i m 。，两辫净一o i p ( 2 ) i 。1 ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 4 号2 定理4 5 设妒是风的全纯函数，妒是风的全纯自映射，0 p 0 0 ，一1 a 则下列命题等价： ( a ) 吼，妒：h ( b n ) _ 佛( 巩) 是有界的； ( b ) w ，妒：h 0 。( b n ) _ 织( b n ) 是紧的； ( c ) 砂兜( b n ) 此外，i i 妒l l p ，n = i i 勺，妒 5 2 单位圆盘上f l , 勺b e r g m a n 空间的加权复合算子及应用 2 1 引言 记c 为复数域，d ，o d 分别为c 中的单位圆盘和单位圆周，d = duo d 日( d ) 表示d 上的全纯函数的全体日o o ( d ) 表示d 上的有界全纯函数的全体 若0 p + ，单位圆盘t - 的b e r g m a n 空l e a p ( d ) 定义为： 钟( 。) ：= ，：，日( 。) - 且i l f l l p = ( 上i ，( 圳p 拟( z ) ) ； + ) ， 其中a 是d 的正规化面积测度，满足a ( d ) = 1 用标准坐标与极坐标表示， 即d a ( 名) ：三d z d 可：三r d r d 曰 当p = 2 时，a 2 ( d ) 是以 ( ，g ) = f ( z ) 一g ( z ) d a ( z ) ，g a 2 ( d ) 为内积的再生h i l b e r t 空间即对每一w d ，a 2 ( d ) 中函数( 名) = _ 二= _ ，有 i 一口， 再生性： ( ，) = ，( 叫) ，a 2 ( d ) 并把这个称为a 2 ( d ) 的再生核它的范数是r 三本把= ( 1 一1 w 1 2 ) 称为 正规化再生核 。 若妒是d 的全纯自映射，日( d ) 上的复合算子q 定义为： c 妒 = f0 妒，l h o d 、) 若妒日( d ) ，妒是d 的全纯自映射，日( d ) 上的加权复合算子舻定义为： w 勺，妒，= 砂，0 妒，h ( d ) 6 2 单位圆盘上的b e 唱m a i l 空间的加权复合算丫及应用 为避免平凡情况，设砂为非零函数 在1 9 世纪3 0 年代，e a n o r d g r e nl a 4 在处理理论力学时引入了复合算子 之后，人们对复合算子的性质进行了研究并取得了一些成果，如文献【3 5 】中 对h a r d y 空问与b e r g m a n 空间上的复合算子的有界性和紧性的研究之c u 6 k o v i 6 和 赵如汉【1 6 】利用推广的b e r e z i n 变换刻画了有界的、紧的、s c h a t t e n 类加权复合算 子刘永民和于燕燕研究了单位球上的b e r g m a n 空间上的s c h a t t e n 类的加权复 合算子m d c o n t r e r a s 和a g h e m z i n d e z d f a z 2 用c a r l e s o n 钡l j 度来考虑t h a r d y 空 间上的加权复合算子的有界性和紧性在2 0 0 8 年，v m a t a c h e l l7 】研究t h a r d y 空 间日2 ( d ) 上的加权复合算子的有界性和紧性，并利用上述性质来刻画了h a r d y s m i m o v 空间俨( g ) 上的复合算子的有界性和紧性本文在b e r g m a n 空间上考虑了 类似问题 2 2 单位圆盘上的b e r g m a n 空间的加权复合算子 且 性质2 1 若v ，妒是a 2 ( d ) 上的有界加权复合算子，则 哪，妒= 妒( 训) k ( 叫) ， w d ( 1 ) 唧 黼：w 6d ) 慨 证明利用空间的b e 唱m a n 再生性，得 ( 哪，妒，) = ( ，妒( f o q d ) ) = 砂( 硼) ，o 妒( 叫) = 妒( 叫) ( 雠( ) ，) ， 结合( 1 ) 式和对每一伽d ，有i i w ；，妒旧i l 肌，垆1 1 2 ，得不等式( 2 ) 圆盘自同构具有下述形式 a ( z ) “羔，z d ， 厂a 2 ( d ) 其中n 是d 内的一个固定点，( ? i 8 0 是单位模的常数 引理2 2 1 r l 若妒= 妒l 妒2 妒是有i 浸b l a s c h k e 乘积，其中仍，j = 1 ，n ，是d 的 7 2 单位圆盘上的b e r g m a n 空间的加权复合算了及应用 全纯自同构，则 样善n z l粥 一。 1 一i2 一毛j1 一i ( o ) i 一 定理2 3 令妒是有限b l a s c h k e 乘积，则下列命题等价： ( a ) 肌妒是a 2 ( d ) 上的有界加权复合算子； u p 耕：z 6d ) 悯 ( c ) 砂h ( d ) 证明( a ) 号( b ) ：显然 ( b ) 号( c ) ：由于对任意z d ，存在一个正数m ，使得 谢1 2 1 ，( 的非切向逼近区域定义为： r ( ( ，q ) = z d ：i z 一( 1 q ( 1 一h ) 若z 在r ( ( ，a ) 中趋向于( 时，的极限存在则称函数，在( 处有非切向极限对d 的 全纯自映射妒，若存在e a d 满足当z _ ( 时，坠掣有有限非切向极限，则 称妒在e o d 处有有限角导数，记妒( e ) 引理2 4 矧设妒是d 的全纯自映射和( o d ，则下列命题等价： ( 1 ) d ( ( ) = l i mi n ，fj 彳竿 。，此处极限是z 在d 内按任意途径趋向于( 取得； ( 2 ) 妒在( 的角导数妒( ( ) 是有限的 8 2 单位圆盘上的b e 唱m a n 空间的加权复合算j r 及应j j 引理2 5m 设妒是d 的全纯自映射且在d 内没有不动点，则妒在a d 上存在唯 一不动点a j l d ( a ) 1 定理2 6 设吼，i p 在a 2 ( d ) 上是紧算子，则 1wl妇-,1一群1 一o 一 一l 妒( 硼) 1 2 再设砂在点u a d 非零有非零的径向极限，则妒在钆处不存在角导数进而可 知妒在o d 上几乎处处不存在角导数再设存在常数0 6 0 使得 当l 一 m ，则妒不存在角导数且妒在d 内有一个不动点 证明当i 叫i _ 1 一时，正规化核弱收敛于o 由于肌，妒是a 2 ( d ) 的紧算子， 得吩，p 是紧的因此，当l 叫i _ l 一时，1 1 ，p 1 1 2 _ 0 ，即 i 船一错_ 0 w ed ( 3 ) 因为吼，妒1 = 妒，所以砂a 2 ( d ) ，其中1 是常值函数，即对所有名d 满足 l ( z ) = 1 若矽径向极限存在且在点u a d 非零，则 l i m 一点器一o 因此妒在u 处不存在角导数于是廊e o d _ k 几乎处处不存在角导数若存在常 数o 6 o 使得当1 一 m ，则从( 3 ) 式得 i 罂南躲= o 所以妒不存在角导数最后证明妒在d 内有一个不动点假设妒在d 内没有不动点 由引理2 5 ，得妒存在唯一不动点a c g de i d ( a ) 1 利用引理2 4 ，得妒在a 处有有限 角导数，矛盾 对h i l b e r t 空间日，算子a 的h i l b e r t s c h m i d t 范数i i a l l s 定义如下， a 1 1 日s = 9 2 单位圆盘上的b e 唱m a n 空间的加权复合算丫及应加 其巾是日一组正交基( 4 ) q h 的量不依赖于正交基的选择，并且算子l 拘h i l b e r t s c h m i d t 范数大于或等于算子范数复合算子的h i l b e r t s c h m i d t 范数是容易刻画 的，见【3 9 】刻画加权复合算子i 拘h i l b e r t - s c h m i d t 范数也很容易 定理2 7 可，妒是a 2 ( d ) 上的h i l b e r t s c h m i d t 算子当且仅当 慨一i 上龋州水佃 ( 5 ) 证明取a 2 ( d ) 的正规正交基 ) ，其中e nz ) = 彤再了扩，z d ，由吼，妒的h i l b e r t - s c h m i d t 范数的定义，得 吼，妒：i x ) i i ，妒e 。幢 = 一。f o i 矽( z ) 而俐“1 2 蜊 2 小( 圳2 三“) i 以z ) 1 2 刖力 = 五黼蜊2 厶矿可丽阿姒婶卜 推论2 8 设妒a 2 ( d ) ，i i 训o 。 1 ，则 i i w 妒胚i i 撬， 等号成立当且仅当妒是常值函数 证明因为i 妒( z ) i l l o o 在d 上几乎处处成立，所以( 5 ) 式中的被积函数的值 小于或等于焉，从而得 i i w , ，妒i i 0 ，选择充分小o 6 1 ( 6 ) 且 。丘。i 矽( z ) 1 2 | 厶oq o ( z ) 1 2 d a ( z ) s u p n 时， 丘；m 列2 加比) 1 2 d a ( 水三 ( 7 ) je c 厶 2 单位圆盘上的b e r g m a n 空间的加权复合算了及应j j 结合( 6 ) 式和( 7 ) 式，得f i 瞰d ，妒厶| 1 2 一o 定理2 1 0 设妒是d 的全纯自映射，可连续延拓到d 的边界且m 0 ，存在某个o 以 1 使得m ( 以) 1 6a n d 音s 上一致收 敛因此存在某个0 6 1 ，使得当u ，钉岛，i 以一u i 2 6 时，有i 妒( u ) 一妒( u ) i 诉 由于川 1 6 且击 、 z i b ，可以找n v e 使得i u u i 2 6 因此得i 矽) 1 2 现只须证明存 在以使得 2 万：i 妒( 2 ) i 1 一以 岛反证法，假设反面成立可以找到序 列 锄) 万岛使得i 妒( ) i _ 1 因为面岛是紧的，不失一般性可设锄_ z 面岛由妒的连续性，得i 妒( z ) i = l i r ai 妒( ) i = 1 ，矛盾因为对每个z 万岛， 有i 妒( z ) i 1 2 3 加权复合算子在单连通域上的b e r g m a n 空间的应用 3 1 有界复合算子 复- 7 面内的单连通域gi - 满足- i l y l l p = ( li f ( z ) l p d a ( z ) ) 9 1 ，g 是全纯函数 、 引理2 1 2 【1 7 】设u ，叼o d ，q 1 是固定的，设妒是d 的全纯自映射。若存在某 个j 满足 唧 跨端：z ed , i i 6 ) 0 使得 ? 7 一妒( z ) f 。h 7 。妒( 名) i c i u z l n l 7 7 ( z ) l ，i z u i l ， 设夕是全纯函数且满足 、 l t 霉锗 慨 ( 1 1 ) 则是妒的边界不动点且角导数妒0 ) 存在 1 4 2 单位圆盘上的b e r g m a n 空间的加权复合算j f 及应j j 扯明结符( 力利( 1 坝倚 唧 簪黼 z ed , i i t o 。， 由引理2 1 2 ，得 唧 净端：z ed ) 慨 e h - 3 1 理2 1 3 ，得妒在u 有角导数妒7 ) 和角极限叩 若7 ( 名) = 高缘时，取u = 仉得 u 一妒( 名) i 。1 7 o 妒( z ) ii u 一妒( z ) i 口i 夕。妒( z ) i f u z l a i u z l 口j ，y 7 ( z ) ii u z l 。i u 一9 ( z ) 口i g ( z ) l i g o p ( z ) i l 夕( z ) i 由于l i ms u p 粤三娶掣 + ，得存在一常数c 满足不等式( 1o ) 定理2 1 5 设咖是半平面g = ，y ( d ) 的全纯自映射，u o d 满足7 ) = o 。 若妒= ，y _ 1o 。，y ，复合算子q 在a 2 ( g ) 上是有界的，则u 是妒的边界不动点且角导 数妒) 存在 证明不失一般性，可以只考虑g 为+ ，7 ( z ) = 雩兰孚，于是，y ( 2 ) = 瓦与 和= 1 由于q 是有界的和性质2 1 4 ，得l 是妒的边界不动点且角导数妒7 ( 1 ) 存在 引理2 1 6 3 7 设q 0 是d 的全纯自映射，不是恒等映射也不是椭圆形圆盘自同 构，则存在点u 万使得矿= 妒o 0 妒，m 次) ，在d 内的紧子集上一致收敛h 这点。就称为鳓d e n j o y - w o l f f 点 引理弓1 、7 【17 】对d 的每个全纯自映射妒和每对幺模复数u ，7 7 ，则下列命题等价： ( a ) 生型在u 有有限非切向极限且妒在叫有角导数； = s u p 净嬲：z 6d ) 悯0 2 ) ( c ) l i r a i n 掣 + o o ( 1 3 ) o _ u 上一i z i 。 1 5 2 单位恻盘上的b e 喀m a n 空间的加丰又复全堡垦窒塑 若9 在u 有角导数且在u 的角极限是绉则角导数可以用公式 ) = 叩脑， ( 1 4 ) 来讣算 定理2 1 8 设g = ，y ( d ) 是半平面，设u o ( d ) 满足7 ( w ) = 。，是g 的全纯 自映射，复合算子。在a 2 ( g ) 上是有界的，则i 妒7 0 ) i l i q i i ，其中妒= ，y - 1o 咖o ，y 此外，设q 是压缩算子，则u 是q o l 幂j d e n j o y - w o l f f 点 证明不失一般性，设g 为+ ，u = 1 由性质2 1 ，知对a 2 ( d ) 上的任何有界加 权复合算子肌都有 唧 雠：z ed ) i i w + 。2 由于。在a 2 ( g ) 上是有界的，对加权复合算子w 乒，p ，可得7 1o 妒 由引理2 1 6 ，得 唧 肄黼 z 6d ) l l c 妒1 1 2 妒，( 1 ) j = 唧 精黼：z 6d ) 从而得( 1 ) i l i c 川 若q 是压缩算子，即l l o l i l ，则妒7 ( 1 ) 1 i 主t w o l f f s 引理【3 7 ，p 5 6 1 ，得1 是 妒的d e n j o y w o l f f 点 引理2 1 9 俐设g 是复平面中的单连通域，0 p 0 ，则妒有不动点p 再设q 是有界的，则印( g ) 上存在 紧复合算子，序列 四) 范数有界且 四) 弱收敛于复合算子q 证明由于d ( 西( g ) ，o g ) o 等价于1 1 妒1 1 1 ，其中妒= ，y o 矽o - r ，得妒在o d 上 没有d e n j o y w o l f f 点，于是妒在d 内有不动点又由于妒在d 内有不动点等价 于在g 内有不动点，得痧有不动点p ， 由于q 是有界的，得士a 2 ( d ) 又由于1 1 妒1 1 l 和，y 7 的连续性，得7 o 远离0 点时是有界的从而得1 a 2 ( d ) 由此得a 2 ( g ) 上存在紧复合算子 由对每一个，a 2 ( d ) ，有 得对每一个，a 2 ( d ) ，有 f ( z ) l = i ( ，k j i 埤， l f o 妒 q 雌当糖 于是，对每一个，a 2 ( d ) ，有 l i 沙礼= l l 南圳o ( p l q 。i l 南抑m 7 1 1 2 揣 2 单位圆盘上的b e 唱m a n 空问的加权复合算予及应j j 这就证明序列 四) 是范数有界的 ， 由d e n j o y 。w b l f f 定理，得序列 w 囊知州，) 在紧集上一致收敛于7 南，( q ) ， 此处q 与上个定理中的一样，即g = 7 - 1 ) 在a 2 ( d ) 中，范数有界且紧集上一致收 敛等价于弱收敛由此得 w # 知，p ) 弱收敛于( w 禹，。) 又由于 w 矗知，妒) 酉等价于。和 2 ，。) 酉等价于g ，得 叼) 弱收敛于复合算子q ，7 ( q ) 何 我们用文献【3 9 】中的下述结论来结束复合算子的有界性的讨论 定理2 2 2 a 9 1 设是g 的全纯自映射，复合算子q 在a 2 ( g ) 上是有界的当且仅当 1 7 和之在d 上都是有界的 ，y 3 2 紧复合算子 定理2 2 3 设咖是g 的全纯白映射，复合算子q 在a 2 ( g ) 上是紧的，q o = 1 - 1o 加则 i 蚓端| = 1 若妒有边界不动点，则妒在这个不动点的角导数不存在 证明由文献【3 9 】中i 拘k o e b e 定理，得 1 1 制- i z l 、2 紫艇。 ( 1 5 ) 因为上述不等式对d 的单叶伞纯映射都成立，所以对，yoo t n 也成立，其中q nz ) = 三丢且。是d 内的任意固定点于是 直接计算得 f ，型1 + i z l 、2 ：- 嗡辫艇。 ( 1 6 ) 辫= 哗觥肆萨， ，-一= il - i o q o ) 7 ( o ) ll ，y ，( n ) i ( 1 一i o l 2 ) r 吖 其上述计算过程用到了1 一i a n ( z ) 1 2 = 堡二告学 1 8 2 单位圆盘上的b e r g m a n 窄l b - 的加权复合算r 及应j f 】 ( 1 7 ) 中z 用q 。( 2 ) 代替并结合( 1 6 ) 得 ( 1 8 ) 把( 1 8 ) a i x ) t j l ，o ( z ) 并同时令i z l _ 1 一，由定理2 6 ，得( 1 5 ) 成立 反证法，假设u a d 是妒的边g f - ；g 动点且角导数妒) 存在令z = r w ， 0 l 使得对某点u o d ，等式( 1 9 ) 不成立，则存在常 数c ，6 0 ，当i z w i 0 ，条件( 1 0 ) 成立，其巾u = r ，得u 是的边界不动点且在彬的角 导数存在，由定理2 2 3 得矛盾 性质2 2 6 设是g 的全纯自映射，妒= ，y “o 妒o7 ，其中7 ( z ) = z 一去z 2 ， 设 不是砂( g ) 的聚点，则。在a 2 ( g ) 上是有界的此外，若在a 2 ( d ) 上是紧的则 q 在a 2