（应用数学专业论文）区间值模糊近似空间上的粗糙集理论.pdf

宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊近似空闻上的粗糙集理论 i 摘要 区间值模糊集作为z a d e h 模糊集的一种推广形式，是由d u b o i s 和p r a d e 首先提 出的由于在一些实际问题中，用区间值模糊集表示数据处理的结果更能反映其模糊性 与不确定性，而且，用区间值模糊集表示所要描述的决策属性值可以减少决策信息的丢 失，所以，越来越多的学者开始关注区间值模糊集，并展开了对它的理论和应用研究 粗糙集理论是一种处理不确定性信息的数学理论其基本思想是在保持分类能力 不变的前提下，通过属性约简，导出概念的分类规则本文将区间值模糊集与粗糙集理 论相结合，做了下面的工作： 首先，本文给出了论域u 上的区间值模糊关系与区间值模糊等价关系的定义，据 此给出了区间值模糊近似空间的定义，并讨论了经典集合与区间值模糊集合在区间值 模糊近似空间上的粗糙近似理论得出结论：区间值模糊集在区间值模糊近似空间上 的区间值模糊下、上近似集是各种特殊情况的一般性表示此外，定义了区间值模糊等 价关系近似空间与区间值模糊关系近似空间，并给出其上的知识发现方法，实例表明本 文所提方法是可行的 其次，在目标信息系统的基础上定义了区间值模糊目标信息系统，以及其上的5 种 协调集，分别是下近似协调集、上近似协调集、最大下近似协调集、非负上近似协调集 和分布协调集研究了区间值模糊目标信息系统的属性约简，给出了判定定理，并用实 例验证了属性约简方法的有效性 本文的研究结果拓广了经典的粗糙集理论，并为区间值模糊目标信息系统的属性 约简提供了可行的方法 关键词：区间值模糊集，区间值模糊等价关系，区间值模糊近似空间，区间值模糊目标信 息系统，属性约简 宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 i i a b s t r a c t a st h ee x t e n s i o no fz a d e h sf u z z ys e t s ，t h ec o n c e p to fi n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s w a sp r o p o s e df i r s t l yb yd u b o i sa n dp r a d e r e c e n t l y ，m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r st a k e u pr e s e a r c h i n gi n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s ，b e c a u s et h ed a t ap r o c e s s i n gr e s u l t sw h i c h w a sr e f l e c t e db yt h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t sc a nb e t t e rr e f l e c ti t sf u z z i n e s sa n du n - c e r t a i n t y , a sw e l la su s i n gt h ei n t e r v a l v a l u e df u z z y s e t sc a nr e d u c et h el o s so fd e c i s i o n i n f o r m a t i o ni nt h ep r o c e s so fd e s c r i b i n gd e c i s i o na t t r i b u t ev a l u e s t h ec l a s s i cr o u g hs e tt h e o r yi sam a t h e m a t i c a lt o o lo fd e a l i n gw i t hu n c e r t a i n t y i nd a t a b a s e t h eb a s i ci d e ai st od e r i v ec l a s s i f i c a t i o nr u l e so fc o n c e p t i o nt h r o u g h a t t r i b u t er e d u c t i o nw i t h o u tc h a n g i n gc l a s s i f i c a t i o na b i l i t y 1w o r k e do nt h ef o l l o w i n g j o b st h r o u g hc o m b i n i n gt h et h e o r yo fi n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sw i t hr o u g h s e t f i r s t l y , t h ep a p e rp r o v i d e st h ec o n c e p to fi n t e r v a l v a l u e df u z z yr e l a t i o na n dt h e i n t e r v a l - v a l u e df u z z ye q u i v a l e n c er e l a t i o ni nu n i v e r s eu o nt h i sb a s i s ，t h ec o n c e p t o fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c ew a sp r o v i d e d ，a n dt h et h e o r yo fr o u g h a p p r o x i m a t i o nw a sd i s c u s s e da b o u to r d i n a r ys e t sa n di n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t s i n i n t e r v a l - v a l u e df u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e i naw o r d ，t h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z yl o w e r a n du p p e ra p p r o x i m a t i o no fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t si ni n t e r v a l - v a l u e df u z z ya p p r o x - i m a t i o ns p a c ei st h ep o p u l a r i t yo fa l lk i n d so fs i t u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h ep a p e rd e f t n i t e st h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ye q u i v a l e n c er e l a t i o na p p r o x i m a t i o ns p a c ea n di n t e r v a l v a l u e df u z z yr e l a t i o na p p r o x i m a t i o ns p a c e ，a sw e l la sp r o v i d e sk n o w l e d g ed i s c o v e r y a p p r o a c hi na b o v e m e n t i o n e da r e a s ，a n dt h e n ，t h ei n s t a n t i a t i o np r o v e sf e a s i b i l i t yo f t h ea p p r o a c h e sw h i c ha r em e n t i o n e di nt h ep a p e r s e c o n d l y , t h ep a p e rp r o v i d e st h ec o n c e p to fi n t e r v a l - v a l u e df u z z yo b j e c t i v ei n f o r m a t i o ns y s t e mo nt h eb a s i so fo b je c t i v ei n f o r m a t i o ns y s t e m ，a n dt h ec o n c e p to ff i v e c o n s i s t e n ts e t so ni t ，t h e r ea r el o w e ra p p r o x i m a t i o nc o n s i s t e n ts e t ，u p p e ra p p r o x i m a t i o n c o n s i s t e n ts e t ，m a x i m a ll o w e ra p p r o x i m a t i o nc o n s i s t e n ts e t ，p l u su p p e ra p p r o x i m a t i o n c o n s i s t e n ts e ta n dd i s t r i b u t i o nc o n s i s t e n ts e t a sw e l la sr e s e a r c h e st h ej u d g e m e n t t h e o r e m so fa t t r i b u t er e d u c t i o nf o ri n t e r v a l - v a l u e df u z z yo b j e c t i v ei n f o r m a t i o ns y s t e m ， a n dt h ei n s t a n c ep r o v e st h a tt h i sa p p r o a c hi sv a l i d t h er e s e a r c hr e s u l t so ft h i sp a p e rh a v ee x t e n d e dp a r l a k sc l a s s i cr o u g hs e t st h e o r y , a sw e l la sh a v ep r o v i d e daf e a s i b l ea p p r o a c ho ft h ej u d g e m e n tt h e o r e m so fa t t r i b u t e r e d u c t i o n k e yw o r d s ：i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s ，i n t e r v a l v a l u e df u z z ye q u i v a l e n c er e l a t i o n ， i n t e r v a l - v a l u e df u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e ，i n t e r v a l v a l u e df u z z yo b j e c t i o ni n f o r m a t i o n s y s t e m s ，a t t r i b u t er e d u c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：时间： y 睁；月 。曰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 讧磁 孰云呐 时间：川年：汨；j 日 第一章引言 1 1 研究目的与意义 1 9 6 5 年，美国著名控制论专家z a d e h 教授发表了关于模糊集的第一篇开创性论文【1 】，从此建 立了模糊集理论模糊数学突破了经典数学的限制，使过去与数学毫不相关或关系不大的学科都可 以用模糊数学加以描述，从而使数学的应用范围得以扩大特别是在计算机科学与技术飞速发展的 今天，其应用范围更为广泛，其中模糊聚类，模糊模式识别，模糊综合评判【2 l 被广泛地应用于经济 管理、环境科学、医学、农学等各个领域，并取得了显著的效果但是在实际问题中，尤其是在决策 评价过程中，人们往往很难确定元素的隶属度，此时，传统的模糊集理论就无法处理这种不确定性， 因此，人们通常用一个区间数而非精确的数字来表示所要描述的决策属性，借以描述决策信息的不 确定性为此，d u b o i sd 和p r a d eh i 3 j 在z a d e hla 模糊集的基础上提出了区间值模糊集的概念， 区间值模糊集是z a d e h 模糊集的一种推广形式近些年来，人们对区间值模糊集的研究兴趣与日俱 增，主要是由于在实际应用中，区间值隶属度比点值隶属度容易确定，信息处理的结果用区间值模 糊集表示更能反映其模糊性和不确定性而且，基于区间值模糊集的信息处理过程可以有效地减少 模糊信息的丢失目前，国内外一些学者对区间值模糊集的基础理论已作了较深入的研究，并取得 了一定的研究成果【1 一m 在应用方面，区间值模糊集已经渗透于人工智能、决策分析、模式识别及 智能信息等领域1 1 0 卜【l l 】1 1 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初是由波兰数学家 p a w l a kz 于1 9 8 2 年提出的【1 2 3 训随着社会各行业所拥有数据的急剧增加，分析这些数据，发 现隐藏在其中的知识就显得尤为重要，这就迫切地需要开发有用的数据分析技术粗糙集理论就是 种有效的数据处理和知识挖掘的工具，它不仅在理论上，而且在诸如决策分析、机器学习、知识 发现、市场研究、冲突分析等领域也得到了广泛的研究和应用经典的粗糙集理论是建立在等价关 系之上的，由于等价关系的要求很严格，这就限制了其应用范围，从而许多学者基于实际问题的需 要，将论域上的等价关系进行改进，得到了各种推广模型【1 3 】一f 2 0 1 然两由于各种原因，现实中人们所 碰到的、需要处理的信息大部分是不精确的、甚至是被污染的，数据集中的属性值往往就存在着不 精确或不确定性比如说数据不一致或者数据缺失，或者原始数据本身就用一种语言值的模糊概念 来表示因此，有必要将传统的粗糙集理论自然有效地扩展到模糊领域，将模糊集和粗糙集理论有 机地融合在一起泌，3 s 1 9 9 0 年，d u b o i sd 和p r a d eh ( 2 1 l 将模糊集与粗糙集结合起来，基于等价关系和模糊关系讨论 了论域上任意模糊集的粗糙近似同题，首次提出了粗糙模糊集和模糊粗糙集1 2 1 1 的概念，并予 1 9 9 2 年在文献【3 4 】中指出模糊粗糙集主要是为了解决粗糙集离散化过程中的信息损失问题，同时 说明粗糙模糊集是模糊粗糙集的一种特殊情况后来，许多学者对它们做了深入地研究一f 2 6 j ，【3 l j 从d u b o i sd 和p r a d eh 提出模糊粗糙集理论到后来的各种广义模糊粗糙集理论、公理化的模糊粗 糙集理论【2 3 ，3 引，其中g r e c os ，m a t a r a z z ob 和s l o w i n s k ir 的模型( 3 6 l ，特别是r a d z i k o w s k aam 的 模型，可以说在一个论域的框架下，已经使该理论的发展达到了一个相对完善的状态此外，吴 伟志、米据生和张文修在两个论域的情况下进行了探索3 7 1 模糊粗糙集可以用来解决很多实际 l 宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 2 问题，比如数据库分类1 3 8 1 一1 4 0 1 ，神经计算；i l l ，工程应用h ，股票价格预测【4 2 j 等等 文献【2 7 】在经典的p a w l a k 近似空间上研究了区间值模糊集的粗糙近似理论本文在此基础 上，首先定义了区间值模糊关系和区间值模糊等价关系，并据此定义了区间值模糊近似空间和区间 值模糊等价关系近似空间，它们是p a w l a k 近似空间的推广然后在区间值模糊近似空间中定义了 经典集合和区间值模糊集合的下、上区间值模糊近似集，并讨论了近似算子的性质最后通过将近 似空间中的关系和集合特殊化，得知区间值模糊近似空间上的区间值模糊集的粗糙近似理论是各 种特殊情况的合理推广，这就为集合的粗糙近似理论给出了统一的描述形式，并通过实例给出了区 间值模糊等价关系近似空间上的知识发现方法此外，本文针对区间值模糊目标信息系统，给出了 属性约简的判定定理以及决策规则的提取方法 1 2 预备知识 1 2 1 粗糙集理论的基本概念 本节主要介绍粗糙集理论的基本概念和粗糙集理论中的知识表示 设【，是非空有限论域，r 是移上的等价关系，即冗满足自反性、对称性和传递性序对a = ( 阢r ) 称为近似空间如果对比，耖u ，有( z ，y ) r ，则称对象z 与在近似空间4 中是不可分 辨的关系月在u 上生成的等价类全体记为：v r ，它构成了u 的一个划分叫r 中的集合称为基 本集若将u 中的集合称为概念或知识，则a = ( u ，旯) 称为知识库，基本集表示基本概念或知识模 块任意有限的基本集的并和空集称为可定义集或精确集，否则称为不可定义集或粗糙集可定义 集在知识库中可以被精确地定义或描述，用来表示已知的知识 设a = ( 玩r ) 是一个知识库，对于论域u 上的任意一个子集x ，叉不一定能用知识库中 的知识来精确地表述，即x 可能为粗糙集此时，就可以用x 关于a 的一对下近似( 1 0 w e r a p p r o x i m a t i o n ) r ( x ) 和上近似( u p p e ra p p r o x i m a t i o n ) r ( x ) 来近似描述x ，其定义如下： 定义1 1 1 3 2 】 a = ( 阢r ) 是一个知识库，对于v x u ，定义两个集合： 8 ( x ) = z u ：吲r 冬x = u 化】r ：纠兄x ) ， 瓦( x ) = z u ：【z 】rnx 谚) = u 扛】_ r ：【z 】rnx o ) ， 它们分别称为x 的r 下近似集和r 上近似集，其中扛】 是2 所在的冗等价类 集合p o s r ( x ) 垒r ( x ) 称为x 的冗正域；n e g n ( x ) 会u 一再( x ) 称为x 的r 负域；b n n ( x ) 垒 夏( x ) 一a ( x ) 称为x 的r 边界域显然，页( x ) = p o s r ( x ) u b n a ( x ) 显( x ) 或p o s r ( x ) 是由那些根据现有的知识r 判断出肯定属于x 的u 中对象所组成的最 大集合；再( x ) 是由那些根据现有的知识冗判断出可能属于x 的u 中对象所组成的最小集合； n e g r ( x ) 是由那些根据现有的知识r 判断出肯定不属于x 的矿中对象所组成的集合；b n r ( x ) 是由那些根据现有的知识r 判断出可能属于x 但又不能完全肯定是否定属于x 的u 中对象 宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 3 所组成的集合由此可以看出，显( x ) 是a 中包含在x 中的最大可定义集，而元( x ) 是4 中包含x 的最小可定义集 定理1 1 s 2 l设( 职r ) 是p a w | a k 近似空间，x ，y u ，则下近似和上近似有以下性质： ( 1 ) x 是可定义集( 精确集) 当且仅当显( x ) = 瓦( x ) ，x 是不可定义集( 粗糙集) 当且仅当 显( x ) 五( x ) ； ( 2 ) 星( x ) x r ( x ) ； ( 3 ) 若x y ，则显( x ) 丑( y ) ，蠢( x ) 5 页( y ) ； ( 4 ) 联x n y ) = r ( x ) n 显( y ) ，r ( x u y ) = 月( x ) u r ( y ) ； ( 5 ) 耳x u y ) 2 旦( x ) u 显( y ) ，r ( x n y ) r ( x ) nr ( y ) ； ( 6 ) r ( 一x ) = 一_ r c x ) ，盈( 一x ) = 一r ( x ) ； ( 7 ) 夏( 鸯( x ) ) = 星( 显( x ) ) = 显( x ) ，页( 瓦( x ) ) = g 瓦( x ) ) = 再( x ) 1 2 2 模糊集 作为预备知识，本节只简单介绍模糊集的定义、表示方法及模糊集合间的运算有关模糊集的 更多内容可以查阅文献【2 ，4 4 】 定义1 2 i 司设u 是论域，则u 上的一个模糊集a 由u 上的一个实值函数 m ：u - 【0 ，1 】 。卜i a ( z 1 来表示对于z u ，函数值i l l a ( z ) 称为z 对于a 的隶属度，而函数弘 称为a 的隶属函数 m ( z ) 的数值的大小反映了u 中的元素z 对模糊集a 的隶属程度，m ( z ) 的值越接近1 ，表示 z 隶属于a 的程度越高；p a ( x ) 的值越接近0 ，表示z 隶属于a 的程度越低 论域u 上的模糊集的全体叫做模糊幂集，记作夕( u ) u 上的模糊集a 表示为： a ： 等+ 掣+ ，+ 掣，u 却舻z ，m i 兄a c z ) x ， u 是无限集 式中符号掣不表示。分数”，而是表示黝隶属于a 的程度是a ( ) ；“+ ”也不是普通的加号，只 是一种联系符号同样地，“，”也是元素与隶属度对应关系的一个总括 下面引入模糊集合的各种运算如下： 定义1 3 n设移为论域，a 和君是矽上的两个模糊集合， ( 1 ) 如果对协u ，有a ( z ) 丑( z ) ，则弥a 包含于b ，或称b 包含a ，记作a 曰，即 a b 争a ( z ) 口( z ) ，( v z u ) ， ( 2 ) 如果a 冬b 且b a ，则称a 与日相等，记作a = b ，即 a = b 净a ( z ) = b 0 ) ，( v z u ) ， 宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 4 ( 3 ) a 与b 的并记作aub ，其隶属函数为 ( aub ) p ) = 4 ) vb ( z ) ，( v 。u ) ， ( 4 ) a 与b 的交记作anb ，其隶属函数为 ( a n b ) ( z ) = a ( z ) ab ( z ) ，( v z ，) ， ( 一a ) ( z ) = 1 一a ( z ) ，( v z u ) 定义1 4 m 设a 矿缈) ，任取入【0 ，1 1 ，记 a a = z u ：a ( z ) a ， 。a = z u ：a ( 嚣) a 则分别称如，a 入为a 的a 截集( 水平集) 和a 强截集( 水平集) ，其中，a 称为阈值或置信水平 有关a 截集和a 强截集的性质可参阅文献【2 ，4 4 1 定义1 5 n设a 穸( u ) ，任取a 【o ，1 】，则a 与a 的截积( 记作a a ) 定义为： 入 a e 2 ，= ：z l 三茎三兰；： 定理1 2 【2 】( 分解定理) 设a 夕( u ) ，则 a = ua a , = ua a a 定义1 6 嘲 设以y 是两个论域，若只夕( u y ) ，则称r 为u 到y 的一个模糊关系。对 ( t ，鬈) u v ，称r ，) 为牡对l ，有关系r 的相关程度特别地，称r 罗u ) 为u 上的模 由定义1 6 可知，u 到y 的模糊关系实际上就是u y 中的一个模糊集合，因此有关模糊集合 的一切性质对模糊关系来说都成立 定义1 7 【2 1设r ，s 为u 到y 的模糊关系，则 ( 1 ) 称r us 为r 与s 的并，其相关函数为 ( 冗us ) ( “，t ，) = 冗( t ，t ，) vs ( u ，d ) ，( t ，t ，) u 矿 室翼盔堂塑圭兰焦逾塞 一 一亢婷? 区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 ( 2 ) 称rns 为r 与s 的交，其相关函数为 ( r n s ) ( u ，1 j ) = r ( u ，u ) as ( u ，u ) ，( t i ，可) u 矿 ( 3 ) 称一r 为r 的补，其相关函数为 ( 4 ) 称r 冬s ，如果 ( 5 ) 称冠= s ，如果 ( 6 ) 对v a 【0 ，1 】，称 ( r ) ( t ，笞) = 1 冗( 钍，钍) ，( t ，t ，) u 矿 r ( u ， ) s ( u ，t ，) ，( t i ，秒) u e r ( u ，t ，) = s ( u ，t ，) ，( t ，u ) 6u 仉 取= ( 牡，秒) u v ：r ( u ，t ，) 入) ， r a = ( t i ， ) u v ：r ( u ，t ，) a ) ， 分别为r 的入截关系和入强截关系 1 2 3 区问值模糊集 5 设j 是单位闭区间，即j = 【o ，1 】 令嘲= 【n ，6 】：o b ，口，b j ) 对v a j ，定义a = 【0 ，口】，则 显然有a 【刀 定义1 1 t s 如果毗，i a , j = l ，2 ，扎，则我们定义 v 口i = s u p a i ：i j ) ； t ， v k 以1 = m ，v 州b i ； i j 特别地，对v a i ，b i 】i s ，我们定义 以= i n f a i ：i 了，； j 八陋i ，饥j = ( a i ，0 i ，a i ，以 ， 【n l ，b l 】= 【0 2 ，6 2 】当且仅当d l = 口2 且6 l = b 2 ； 陋l ，b l 】k 2 ，蚴当且仅当a l 8 2 且b i b 2 ； 陋l ，b l 】 a 1 , a + ( z ) a 2 ) ， 分别叫做a 的d l ，a 2 1 截集( 水平集) 和队，a 2 1 强截集( 水平集) 显然，z 4 n 。a 。l 当且仅当a ( x ) 【a 1 ，入2 】 定义1 1 2 对a 玩o r ) ，天= n 1 ，a 2 】m ，我们定义 ( x l ，入2 】) a ( z ) = p 1 1 ，入2 】a 【a 一( z ) ，a + ( ) 】 为区间数胁1 ，九】与区间值模糊集a 的截积 定理1 3 1 5 川 ( 区间值模糊集的分解定理) 对a 岁( u ) ，有 a = u 沁la i h 糊 p l ，j 1 2 1 f 司 = 协，g 【，】p h a 2 1 a p 。- ：入：】 宁夏大学硕士学位论文 亢婷：区问值模糊堑篁空塑土的粗糙集墼一7 证明 我们只需证明等式a ( z ) = ( u t 。m 】i 明【入1 ，x 2 1 a i x ，入。】) ( z ) 对v x u 成立 ( u 阢入。九】) ( z ) = 。p 、l ，a 2 l 【，1 v( 【入，a z 。，糊( 。) ) 【 1 ， 2 】卜q a 阢入：】( z ) ，a 2aa x 。入：l ( z ) ( a _ lna + 1 ) ( z ) ，入2a ( a ln a + 2 ) ( z ) 】 a - l ) a + 2 ( 互) ，入。aa 1 ( z ) aa + 2 ( z ) 】 a i ( z ) a + 2 ( z ) ) ，v ( 入。 a - l ( z ) a + 2 ( z ) ) i a l ，a 2 】【刀 首先证明v n ，沁】o - a - l ( z ) a + 2 ( z ) ) = a 一( z ) ，这是由于 v ( 入- a a z ( 2 ) 4 + 2 ( z ) ) = f l ， 2 】【j 】 v v ( a t 氙( z ) a a + 2 ( z ) ) l 【o 。l 】a 2 【 l ，i 】 = v ( a t a i ) 入1 【0 ，1 l v a 2 【 1 ，1 1a l ( 。) ) = v ( a z a i ) a 丈 ) ) ， m e o ，1 l 由于对v 入l 【0 ，1 1 ，有a 一 ) a + ) 号a 聂a t , 净a i 0 ) a + l ) ，所以，a i ) aa + l ) = a i ( z ) 于是有 类似地有 同理可证 v ( 丸 a i ) a + 2 0 ) ) = 【 1 ，a 2 】i 力 v ( a t a a l ( z ) a + 1 ( z ) ) le o ，1 】 = v ( a t a a l ( z ) ) a le o ，l j = a 一 ) v ( a z a - l ( 。) a 走o ) ) = a + ( z ) ( a 1 ，a 2 l 【，】 肚u a ：h a 。，埘 队l ，, x 2 l e l s l 。 1 3 本文工作重点与结构安排 第二章将区间值模糊集理论与p a w l a k 粗糙集理论相结合，给出了p a w l a k 近似空间上区间值 模糊集的粗糙近似理论，并讨论了信息系统上任意区间值模糊集的区间值模糊约简理论 人 八 h l l 1 ， 、 墨墨墨0日 q 川 川 科 一2 v州v州v榭v洲 ： = h n 协 1 l i i | | i j 宁夏大学硕士学位论文 亢婷：区问值模糊近似空间上的粗糙集理论 8 第三章首先给出了区间值模糊关系和区间值模糊等价关系的概念，据此给出了区间值模糊近 似空间的定义其次，分别讨论了区间值模糊近似空间上经典集合和区间值模糊集的粗糙近似理论 最后，给出了区间值模糊等价关系近似空间和区间值模糊关系近似空间上的知识发现方法，并通过 具体例子说明该方法是可行的 第四章首先定义了区间值模糊目标信息系统其次，研究了其上的属性约简的判定定理和规则 提取方法，并给出具体的例子验证所提方法的有效性 第五章是全文工作的总结和进一步研究工作的展望 第二章区间值模糊集合的粗糙近似 区间值模糊集( i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s ) 是d u b o i sd 和p r a d eh 在z a d e hla 模糊集的基础 上提出的本章在文献【2 7 】的基础上将区间值模糊集理论与经典的p a w l a k 粗糙集理论相结合，给 出了p a w l a k 近似空间上任意区间值模糊集的粗糙近似以及其上的区间值模糊约简 2 1p a w l a k 近似空间上区间值模糊集的粗糙近似 定义2 1 m设( 阢r ) 是p a w l a k 近似空间，即r 是u 上的等价关系，m r 表示包含z 的等 价类，对于u 上的任意区间值模糊集a 和u ，记 显( a ) 0 ) = r a i n a ( 秒) ：y 【司r ) ：= 【m i n a 一( 可) ：y 【z 】冗) ，m i n a + ( 3 ) ：y i x r 】， ( 2 1 1 ) 瓦( a ) ( z ) = i l l a x a ( ! ，) ：y m r ) = m a x a 一( 可) ：y 嘲r ) ，m a x a + ( y ) ：yef 司r ) ， ( 2 1 2 ) 则r ( a ) 和赢( a ) 分别称为区间值模糊集a 关于近似空间( u ，r ) 的下近似和上近似而且，j 5 i ： 。致u ) _ 。致矿) 和再：氟矿) 。苏矿) 分别称为下近似算子和上近似算子 如果，对协阢显似) ( z ) = 瓦( a ) ( z ) ，则区间值模糊集a 关于近似空间( 配r ) 是可定义的，否 则，它关于近似空间( 矾r ) 是粗糙的，此时，a 叫做区间值粗糙模糊集 我们指出，当a 是经典集合，即a 一= a 十时，鸯( a ) ( z ) = 1 当且仅当m r a ，夏( a ) ( z ) = 1 当 且仅当嘲rna 谚，此时有： 显( a ) = u ：显( a ) ( z ) = 1 ) ， 夏( a ) = z u ：夏( a ) ( z ) = 1 ) 也就是，显( a ) ( z ) 和再似) ( z ) 分别为显( a ) 和夏) 的特征函数 对于u 上的区间值模糊集a ：u _ + 【刀，可以定义a 的【0 l ，a 2 】 l ，a 2 o ，1 1 ，q l q 2 ) 水平集 关于近似空间( 配r ) 的下近似和上近似为： g ( a t 。，。】) = ze ，：【司r a 陋，口。】) = l j 【朝兄：m 月a 【。，口。】，z u ) ， ( 2 1 3 ) 瓦( a h 。，口：1 ) = 2 u ：【司置n a f 。l d ) = u 陋】r ：p 】r o a 。，a ：1 o ，。u ( 2 1 4 ) 而且对v a l ，口2 】，眵l ，仍】【力，当f a l ，q 2 】 汐1 ，励】时，有 r ( a i z 。，触】) r ( a t 口。，a ：】) ，赢( a 汐。，如】) 页( a 陋。，口：】) 9 宁夏大学硕士学位论文 亢婷：区间值模糊近似空间上的粗糙集理论 1 0 因此， r ( a i 。：1 ) ：f q l ，a 2 x 1 ) 和 充( a l 口，n ：1 ) ：陋1 ，a 2 1 嘲) 都是u 上的二元集合套，从而分 别对应u 上的区间值模糊集g ( a ) 和万( a ) ，其隶属函数分别为： 星( a ) ( z ) = v 陋，a 2 】嘲：z 显( a 【。一。】) ) = v 陋t ，a 2 】【司：【z 】rsa l 口。，。：】) ， - ，( a ) ( z ) 二v 【a 1 ，a 2 嘲：z 夏( a 陋。，口：】) ) = v 陋l ，q 2 】【刀：i 胡r i - ia 陋，。，】o ) 定理2 1 1 2 7 】设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间，a 是u 上的区间值模糊集，则有 星( a ) = g ( a ) ，夏( a ) = 霄c a ) 证明参见文献【2 7 】 定理2 2设( 以r ) 是p a w l a k 近似空间，a ，召是扩上的区间值模糊集，则关于( 玑r ) 的区间 值模糊下近似算子和上近似算子有以下性质： ( 1 ) 若a b ，则显( a ) _ r c b ) ，蕊( a ) 冬夏( b ) ； ( 2 ) 显( a ) c ac r ( a ) ； ( 3 ) r ( a n b ) = 显( a ) n 显( b ) ，蓖u b ) = 瓦( a ) u 页( b ) ； ( 4 ) a ( aub ) 三旦( a ) u 显( b ) ，页( anb ) 瓦( a ) n 页( 刀) ； ( 5 ) n ( a ) = 一星( 一a ) ，r ( a ) = 一r ( a ) ； ( 6 ) 夏( 显( a ) ) = 显( 显( a ) ) = 显( a ) ，再( 夏( a ) ) = 显( 磊( a ) ) = 瓦( a ) 证明( 1 ) 因为a b ，所以对u ，有a ( z ) b ( z ) ，即【a 一( z ) ，a + ( z ) 】【b 一( z ) ，b + ( 。) 】，所 以 【m i n a 一( 2 ) ：。u ) ，m i n a + ( z ) ：正eu m i n b 一( z ) ：zeu ，m i n b + ( z ) ：z u ) 】， 即 所以，由定义2 1 知 m i n a ( z ) ：2 u ) r a i n b ( = ) ：z v ) ， 显( a ) ( z ) 显( b ) ( 2 ) ，( v z u ) ， 即盈( a ) 显( b ) 同理可证夏( a ) 夏( 口) ( 2 ) ( 6 ) 的证明可参见文献【2 7 】 定义2 2 1 2 7 1 设( 玩劢是p a w l a k 近似空间，a ，b 是矿上的区间值模糊集，则 ( 1 ) 若显( a ) = 显( b ) ，则称a 与b 是下粗相等的，记作：a b ； ( 2 ) 若夏( a ) = 夏( 8 ) ，则称a 与8 是上粗相等的，记作：a 8 ； 宁夏大学硕士学位论文亢婷：区间值模糊望堡童盟圭竣塑焦塞堡l 1 1 ( 3 ) 若显( a ) = 显( b ) ，且r ( a ) = 面( b ) ，则称a 与b 是粗相等的，记作：a b 显然，如上定义的“”，“2 ”，。”满足自反性、对称性和传递性，所以，它们都是岁( 【，) 上的 等价关系 定理2 驴7 l设( 阢冗) 是p a w l a k 近似空间，对v a l ，b 1 ，a 2 和b 2 岁( u ) ，成立下列性质： ( 1 ) a l b i 当且仅当( a 1nb i ) a i 且( a 1nb 1 ) b i ； ( 2 ) a 1 竺b i 当且仅当( a 1ub 1 ) 2a i 且( a 1ub i ) 2b 1 ； ( 3 ) 若a l 疋a 2 且b 1 b 2 ，则( a lnb 1 ) ( a 2 n b 2 ) ； ( 4 ) 若a 1 竺a 2 且b 12b 2 ，则( a lub 1 ) 2 ( a 2ub 2 ) ； ( 5 ) 若a 1 d 或b i 口，贝0 ( a 1nb 1 ) 谚； ( 6 ) 若a i 型矿或b 1 竺u ，则( a lub 1 ) = u ； ( 7 ) 若a i 丑l 且b 1 0 ，则a 1 谚； ( 8 ) 若a 1 b 1 且a 12u ，则b i2u ； ( 9 ) a 1 习u 铮a 1 = u ； ( 1 0 ) a 12 易营a 1 = 毋 证明由定义直接可证 定理2 4 【：力设( 以冗) 是p a w l a k 近似空间，a 是u 上的区间值模糊集，则有： 显( 4 ) = n b 。甄) ：b a ) ， 瓦( a ) = u b ；氟u ) ：b 2 a ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 也就是说，区间值模糊集a 的下近似是。承u ) 中所有与a 下粗相等的最小的区间值模糊集，a 的上近似是。甄u ) 中所有与a 上粗相等的最大的区间值模糊集 定义2 3 【2 7 】设( 以冗) 是p a w l a k 近似空间，a 氡扩) 对v 【d l ，口2 】，p l ，色1 ，a 的下近似 星( a ) 和a 的上近似瓦( a ) 的陋l ，q 2 1 ，汐l ，屁】水平集定义为： 星( a ) l 。，a ：】= z u ：旦( a ) 0 ) 陋l ，a 2 1 ) = z u ：盆一( a ) ( z ) 0 l l ，矿( a ) ( z ) a 2 ) ， 瓦( a ) 咿。，如1 = z u ：篦( a ) ) 眵l ，阮】) = z u ：页一( a ) ( z ) 尻，矿( a ) ( z ) 如) 由定义2 3 可得如下结论 定理2 5设( 阢冗) 是p a w l a k 近似空间，a 夕( u ) ，则有以下性质成立： ( 1 ) - - r ( a ) t 。，口。】= u 【z 】r ：显( a ) ( z ) 【o ：1 ，a 2 l 显( a 【a 。，口。】) ； ( 2 ) 再( a ) 归，如】= u p 】r ：夏( a ) p ) 咿1 ，岛】) 2 再( a 归，口。j ) ； ( 3 ) 【q l ，a 2 】够1 ，卢2 】= r c a ) 。，口。】冬r ( a ) 归。，口：】； ( 4 ) 显( a ) h ，幻】a 【口。，口：】r ( a ) 【口。