（应用数学专业论文）可交换债券的定价模型及其分析.pdf

煳嬲 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o t o n 西iu n i v e r s i 够i 1 1c o n f o m i 够w i t l lt h er e q u i r e m e n t sf o r io n 圈lu m v e r s l 付mc o n 士o m l t 、，w l t t lt h er e a u i r e m e n t sf o r n l ed e g r e eo fd o c t o ro f p h i l o s 叩h y t h ep r i c i n ga n da n a l y z i n go fe x c h a n g e a b i eb o n d s c a n d i d a t e ：w e nj i ey a i l s t u d e n tn u m b e r ：0 7 2 0 1 0 2 0 18 s c h o o ) e p a r t i i l e n t ： d i s c i p l i n e ： m a j o r ： 一 s u p e r v l s o r ： d 印a r t i n e n to fm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c s a p p l i e dm a t l l e m a t i c s s h a oh u al i ，b a oj u i lb i a i l m a r c h ，2 0 l o 学 大胯冈 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 如卢年乡月矽日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 莎。声年乡月如日 同济大学硕士学位论文摘要 摘要 可交换债券也称为可换股债券，是我国准备试推出的新型复合型债券。发 行可交换债券是非上市公司融资的有效手段，而可交换债券所具有的风险分散 化的特点，也会对投资者产生一定的吸引力。 本文利用b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型研究了可交换债券的定价问题。通 过一对冲原理及i t 6 公式，我们建立了可交换债券的定价模型。根据可交换债 券的条款，本文主要做了三方面的工作： 首先，我们假定有第三方对债券的发行公司进行担保，即债券发行公司不 会发生违约的情况下，我们对含有可赎回、可回售条款的可交换债券进行定价， 利用偏微分方程方法求出了它们的闭合解。 其次，我们考虑债券发行公司可能发生违约的情况，文章在结构化模型的 框架下对不含可赎回、可回售条款的可交换债券和含有可赎回、可回售条款的 可交换债券进行定价。 最后，本文利用h o p s c o t c h 有限差分方法对考虑债券发行公司可能发生违 约的定价模型求出数值解。针对考虑债券发行公司可能违约的定价模型中几个 重要的参数进行讨论，并对于讨论的结果给于了金融意义的解释。 关键词：可交换债券，可赎回，可回售，偏微分方程，h o p s c o t c h 有限差分 1 o n 自iu n l v e 巧i t ym a s t e ro fs c i e n c ea b s t 怕c t ab s t r a c t e x c h a l l g e a b l eb o n di sa1 1 e wd e r i v a t i v eb o n dw 量l i c hi sg o i i l gt 0b ei s s u e di no u r c o 啷i s s u i n ge x c h a n g e a b l eb o n d si s a9 0 0 d r a yt 0f i n a l l c ef o ra脚a t e c o m p 缸l yw h i l eb e c a = 啊ee m a n g e a b l eb o n dc a 玎i e st l l ef e a = t l l 佗o ft l l ed e c e n t r a l i z e d r i s k ，s ，i ta l s oh a sa t 仃a c t i o nt oi n v e s t o r s i nt l l i s p a p w ed i s c u s s 也e 研c i i l g o fe x c h a i l g e a b l eb o n dn l r o u g l l b 1 a c k s c h o l e sm o d e l u s i n g 一h e d g i n g 趾di t 6f o 舢l a ，w em a n a g e t 0c 伽l s t r u c t m em o d e lo f 埘c i n go fe x c h 锄g e a b l eb o n d a c c o r d i i 培t 0t l l ea r t i c l e so fi s s u i n g e x c h a n g e a _ b l eb o n d s ，w ed i v i d en l i sp a p e r 硫ot l l r e ep a n s ： f i r s t ，w e 嬲s 眦en l a tb o n di s s u i n gc o 瑚p 锄yi s 目埝r 锄【t e e db y 廿l et l l i r dp a n y ，廿l a t i st 0s a y ，t 1 1 eb o n di s s u i i l gc o m p a i l yw i l ln o tg ok i i l ：k 1 1 j p t 0 | i ln l eb 硒i so f 廿l a t ，w e p f i c e 也ee x c h 觚g e a b l e 姗w h i c hi sr e d c e m a b l e0 r 舭l e w r e c a ng e tn l ec 1 0 d f o l ms o l 谢o n sb yp d e a p p r o a c h s e c o n d ，w et a | 【eb 锄k n l p t 舢c o n s i d e r a t i o n w r eb u i l d 圮i n o d e lo f 舭 e x c l l a n g e a b l e b o n dw h i c hi sr e d e e m a b l e 髓dp u 诎l l ei nm es t r u c t l l r em o d e l 丘锄e w o i k l a s t ，m el 嬲tt 、om o d e l sf 1 0 rv a l u i i 培e x c h a n g e a b l eb o n da r c l v e d 伽m e r i c a l l y t 1 1 r o u g l lt h eh 0 p s c o t c hf i i l i t ed i 仃e r e n c em e t h o d s e v e r a l i m p ( 吡i n tp a r 锄e t e r sa 陀 d i s c u s d 觚d 锄a j y z c d t h e i rf i n 锄c i a lm e a i l i n g sa r ea l g i v e ni nt l l i sp a p 瓯 k e yw o r d s ：e x c h 锄g e a b l eb o n d ，e d e e m a b l e ，p u t a b l e ，p d em e l o d ，t 1 1 eh o p s c o t c h 矗i l i t ed i 虢r e l l c em e m o d 同济大学硕士学位论文目录 目录 第1 章引言1 1 1 公司债券概述1 1 1 1 可转换公司债券2 1 1 2 可交换债券3 1 1 3 可交换债券和可转换债券的比较4 1 1 4 我国目前推出可交换债券的现实意义4 1 2 定价与分析方法6 1 2 1 研究现状6 1 2 2b _ s 模型在资产定价中的发展与应用6 1 2 3 本文的工作7 1 3 本文的具体工作及结构8 第2 章不考虑债券发行公司发生违约情况下可交换债券的定价9 2 1 基本假设9 2 1 1 市场假设9 2 1 2 本文中关于可交换公司债券的条款说明9 2 2 不考虑债券发行公司违约的欧式可交换债券的定价1 0 2 3 可回售的欧式可交换债券的定价l l 2 4 含有可赎回条款的欧式可交换债券的定价1 4 2 5 含有可赎回和可回售条款的欧式可交换债券的定价1 6 2 6 本章小结1 8 第3 章债券发行公司可能发生违约情况下的可交换债券定价2 1 3 1债券发行公司可能发生违约情况下的条款假设2 l 3 2 含有公司违约边界的欧式可交换债券的定价2 2 3 3 含有违约边界的可赎回可回售的欧式可交换债券的定价2 3 3 4 本章小结2 4 第4 章数值计算与参数分析2 5 4 1含有违约边界的欧式可交换债券的数值计算2 5 4 1 1方程离散化2 5 4 1 2 数值计算结果2 6 4 1 3 参数分析2 7 4 2 含有违约边界的可赎回可回售的欧式可交换债券的数值计算3 1 4 3 本章小结3 2 第5 章结论与展望3 3 5 1 结论3 3 5 2 进一步工作的方向3 3 致谢3 4 i 同济大学硕士学位论文目录 参考文献3 5 附录3 6 个人简历在读期间发表的学术论文与研究成果4 4 i v 第1 章引言 1 1 公司债券概述 第1 章引言 公司债券( c o 平0 r a t eb o n d s ) 是指公司依照法定程序发行的，约定在一定期 限还本付息的有价证券。公司债券是公司债的表现形式，基于公司债券的发行， 在债券的持有人和发行人之间形成了以还本付息为内容的债权债务法律关系。 因此，公司债券是公司向债券持有人出具的债务凭证。 公司债券具有以下特点： 1 、风险性较大，公司债券的还款来源是公司的经营利润，但是任何一家公 司的未来经营都存在很大的不确定性，因此公司债券持有人承担着损失利息甚 至本金的风险。 2 、收益率较高，按风险与收益成正比的原则，通常公司债券相对于国债而 言其票面回报率较高。 3 、对于某些债券而言，发行者与持有者之间可以相互给予一定的选择权。 4 、因其反映的是债权关系，故不拥有对公司的经营权，但是可以拥有比股 东优先享有索取利息和优先要求补偿和分配剩余资产的权利。 公司债券按是否可提前赎回公司债券可分为：可提前赎回债券和不可提前 赎回债券。可提前赎回公司债券，即发行者在债券到期前购回其发行的全部或 部分债券。不可提前赎回公司债券，即只能一次到期还本付息的公司债券。按 发行人是否给予持有人选择权分为：附有选择权的公司债券和未附有选择权的 公司债券。附有选择权的公司债券，指在一些公司债券的发行中，发行人给予 持有人一定的选择权，如可转换公司债券( 附有可转换为普通股的选择权) 、 有认股权证的公司债券、可退还公司债券( 附有持有人在债券到期前可将其回 售给发行人的选择权) 、可交换债券。未附选择权的公司债券，即债券发行人 未给予持有人上述选择权的公司债券。 可交换债券的条款设计和可转换债券极其类似，发行要素都有票面的价格、 利率、换股比例、发行期限、可回售条款及可赎回条款。不同之处在于，可交 l 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 换债券的转换标的为其他上市公司的股票，而可转换债券的转换标的是发行债 券的本公司的股票。以下我们对这两种公司债券进行详细的介绍和区分： 1 1 1 可转换公司债券 可转换公司债券( c o n v e r t i b l eb o n d s ) 是一种可以在特定时间、按特定条 件转换为普通股票的特殊企业债券。可转换公司债券兼具债券和股票的特征。 可转换债券兼有债券和股票的特征，具有以下三个特点： 一、债权性。与其他债券一样，可转换债券也有规定的利率和期限，投资 者可以选择持有债券到期，收取本息。 二、股权性。可转换债券在转换成股票之前是纯粹的债券，但在转换成股 票之后，原债券持有人就由债券人变成了公司的股东，可参与企业的经营决策 和红利分配，这也在一定程度上会影响公司的股本结构。 三、可转换性。可转换性是可转换债券的重要标志，债券持有人可以按约 定的条件将债券转换成股票。转股权是投资者享有的、一般债券所没有的选择 权。可转换债券在发行时就明确约定，债券持有人可按照发行时约定的价格将 债券转换成公司的普通股票。如果债券持有人不想转换，则可以继续持有债券， 直到偿还期满时收取本金和利息，或者在流通市场出售变现。如果持有人看好 发债公司股票增值潜力，在宽限期之后可以行使转换权，按照预定转换价格将 债券转换成为股票，发债公司不得拒绝。正因为具有可转换性，可转换债券利 率一般低于普通公司债券利率，企业发行可转换债券可以降低筹资成本。 可转换债券持有人还享有在一定条件下将债券回售给发行人的权利，发行 人在一定条件下拥有强制赎回债券的权利。 可转换债券兼有债券和股票双重特点，对企业和投资者都具有吸引力。1 9 9 6 年我国政府决定选择有条件的公司进行可转换债券的试点，1 9 9 7 年颁布了 可 转换公司债券管理暂行办法，2 0 0 1 年4 月中国证监会发布了上市公司发行 可转换公司债券实施办法，极大地规范、促进了可转换债券的发展。 可转换债券具有双重选择权的特征。一方面，投资者可自行选择是否转股， 并为此承担转债利率较低的机会成本；另一方面，转债发行人拥有是否实施赎 回条款的选择权，并为此要支付比没有赎回条款的转债更高的利率。双重选择 权是可转换公司债券最主要的金融特征，它的存在使投资者和发行人的风险、 2 第1 章引言 收益限定在一定的范围以内，并可以利用这一特点对股票进行套期保值，获得 更加确定的收益。 1 1 2 可交换债券 可交换公司债券( e x c h 锄g e a b l eb o n d s ) 是存在于成熟市场的固定收益类证 券品种之一，债券发行人通过抵押其持有的其他上市公司的股票给托管机构而 发行的债券。债券持有人在一定期限内有权按照事先约定的条件将债券转换成 发行人所持有的股票，或是当作纯债券处理。可交换债券一般发生在母公司与 控股子公司之间，即由母公司发行债券，债券到期时可以转换成其上市子公司 的股票。 因为债券和股票分别属于不同的发行人，发行可交换债券不会增加上市公 司的总股本，但降低了债券发行人的持股比例。 由于债券持有人有权将债券转换成其他上市公司的股票，因此可交换债券 赋予债券持有人更多的选择权，其利率水平与同期限、同等信用评级的一般债 券相比要低，即使到期限转换不成功，发行人的还债成本也不高，这对于债券 发行人来说是一种低利率融资的方式。 发行可交换债券的意义归结起来有三个方面： l 、融资。由于可交换债券的发行公司可以是非上市公司，因而发行可交换 债券是非上市公司融资的有效手段。 2 、收购兼并。当公司在实施收购兼并的过程中遇到资金短缺的问题，可以 在实施收购之前发行专门为收购设计的可交换债券。 3 、股票减持。通过发行可交换债券，发行公司可以有序地减持股票，避免 股票因大量抛售导致股价受到冲击。 可交换债券的优点有： l 、低息融资。由于可交换债券赋予债券持有人股票的选择权，因此相较于 其他同等信用评级的固定收益品种，利率较低。 2 、溢价转股。可交换债券可以让发行公司以高出市场价格的情况下处置普 通股。 3 、风险分散化。由于债券的发行公司和标的可转股票的公司不是同一家， 债券发行公司的财务状况恶化等不会直接导致标的股票价格的恶性下跌。 3 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 同样，我们也可以看到发行可交换债券的不足之处。例如，若大量发行可 交换债券，可能会影响到债券发行人对于上市公司的控股权等。 1 1 3 可交换债券和可转换债券的比较 可交换债券相比于可转换公司债券，有其相同之处： 1 、可交换债券与可转换债券具有类似的要素：票面利率、期限、换股 价格和换股比率、换股时期等。 2 、对于投资者来说，可交换债券和可转换债券相同，投资价值与上市 公司业绩相关，且在约定期限内可以按约定的价格按比例交换为标 的股票。 可交换债券和可转换债券的不同之处在于： l 、发债主体和偿债主体不同。可交换债券是上市公司的股东，可转换 债券是上市公司本身； 2 、所换股份的来源不同。可交换债券是发行人持有的其他上市公司的 股份，可转换债券是发行人本身未来发行的新股。 3 、总股本的变化情况不同。可转换债券转股会造成发行人的总股本扩 大，摊薄每股收益；可交换债券换股不会导致标的公司的总股本发 生变化，也无摊薄收益的影响。 1 1 4 我国目前推出可交换债券的现实意义 我国准备发行可交换债券的目的在于更好地解决“大小非股东的资金困 难，完善资本市场的结构，促进股票市场和债券市场的协调发展。我国证券市 场共经历了两次因非流通股变为流通股后减持造成市场的重挫。两次都造成了 社会公众股股东的投资损失惨重，市场信心受到巨大打击，股市人气长期低迷。 为了利用市场化手段合理分流“大小非”减持，中国证监会发行了上市公司 股东发行可交换公司债券的规定( 征求意见稿) 。可交换债券的上市将缓解 “大小非解禁对于二级市场的冲击，有利于稳定投资者对市场的信心，它的 上市将是证券市场制度建设的一大进步，为资本市场的发展带来深远影响。 有数据显示，截至2 0 0 7 年底，中国债券市场的规模仅为股票市场规模的 2 6 7 ，远远低于美国等成熟市场。可交换债券的上市增加了我国资本市场的投 4 第1 章引言 资品种，弥补了证券市场产品的不足。 以下我们着重从四个方面论述我国推出可交换债券的现实意义： 一是为上市公司股东进行市值管理和债务融资提供了一种可选择的渠道。 由于可交换债券与可转债、分离债相似，可交换债券中含有认股期权，因此其 发行利率一般会大幅低于普通公司债券的利率或者同期银行贷款利率，发行人 可以节约大笔利息支出。在证券市场实现股票全流通的条件下，有利于股东利 用这一金融工具进行股票市值管理，也有利于减少大股东由于缺乏筹资渠道而 占用上市公司资金的情况，更为重要的是，在股指跌破2 2 4 5 点后，上市公司再 融资困难，很多配股和增发出现包销情况，发行可交易债券是另一种融资的渠 道，假定大股东利用可交换债券融资到手，他在二级市场抛出限售股的冲动会 减少，这有利于缓解大小非对二级市场的冲击。 二是为上市公司股东提供了一种新的流动性管理工具。一些上市公司的股 东因经营上出现暂时的资金困难，不得不抛售股票以解燃眉之需。可交换债券 推出后，这类股东可以通过发行可交换债券获得所需资金，而无需抛售股票。 根据发行可交换债的规定，债券投资者将在1 2 个月后分散逐渐交换成其持有的 股票，这样既可以避免直接对二级市场形成冲击，缓解限售股集中大规模上市 对市场价格形成机制的冲击，对发债主体来说也可避免直接抛售大量股票造成 股价下跌带来的损失以及不能变现的风险。 三是可交换债事先锁定了未来的换股价格，该特点决定了其持有者大多数 是长期看好公司、对换股价格较为认同、具有价值判断能力的投资机构，这有 利于稳定市场预期，引导投资理念的长期化和理性化。 四是为机构投资者提供了新的固定收益类投资产品，有利于加强股票市场 和债券市场的连通。可交换债券的特点是，投资人同时获得了按照票面利率享 受利息和按换股价格交换股票的期权，股票价格上涨，可以分享股价上升的收 益，股票价格下跌，投资者则可以当作债券长期持有直至到期。风险分散和平 滑的特点，使可交换债券比较适合追求稳定收益的投资者，特别是证券投资基 金、保险资金、社保基金、养老基金、企业年金等。 5 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 1 2 定价与分析方法 1 2 1 研究现状 由于可交换债券刚刚准备在中国国内发行，因此我国对于可交换债券定价 的研究很少。但是可交换债券从严格意义上来说是可转换债券的一种，而可转 换债券的研究颇为丰富。 国际上可转换债券定价的理论研究最早是由i n g e r s o l l 、b r e i l i m 和s c h 啪r t z 开始。1 9 7 7 年，j e i n g 蹦沁l 在j o 啪a lo f f i l l a n c i a le c o m i c s 杂志上发表了名 为ac 伽恤g e n tc l a i m sv a l u a t i o no f c o n v e r t i b l es e c 耐t i e s 的文章【，对可转债的 未定权益进行定价。m b r e i u m 和e s c h w a n z 也在同年发表了一篇名为v a l u a t i o n a n do p t i m a ls t r a t e 西e s 矗 c a l l 锄dc o n v e r s i o n 的文章【2 j 。在他们的定价模型中， 可转换债券的价格依赖于公司价值。1 9 8 0 年，m b r c l m 锄和e s c h w a 比在他们 原本的模型中加入了随机利率【3 】，得出随机利率期限结构对可转换债券价格的影 响极小，以至于对实证结果可以忽略不计的结论。 m c c 0 m e l l 和s c b 、硼r t z 在1 9 8 6 年提出了以股价作为随机变量的定价模型， 他们把一个固定信用风险价差加到了利率中。随即t s i v 耐以s 和f e m 觚d e s 发展 了m c c o 姗e l l 和s c h v 闻亿的模型，把可转换债券的价值分成股权价值和纯债券 价值两个部分，且这两个部分受到不同的违约风险。股权部分由于发行者一直 能够交易自己的股票，因此，他的违约风险为零；债券部分由于票息支付、本 金偿还取决于发行者能够利用的现金数量，从而导致了信用风险。b u c h 孤扩展 了b r e n n a n 和s c h 戳i n z 的模型，使用了m o n t ec d o 模拟方法求解了定价方程。 1 2 2b s 模型在资产定价中的发展与应用 b l a c k - s c h o l e s 公式在资产定价中是最为基础也是最为重要的公式。从上个 世纪开始，人们就开始对未定权益的定价产生了浓厚的兴趣，着力开始研究。 而这些研究都是始于对期权作为股票的衍生物的研究。 1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 首次提出了股票价格的运行可以通过b r 0 、n 运动 来刻画。而之后，c 弱es p 彻l b l e 和p 锄ls 觚l u e l s o n 相继对股价的模型进行了修正， 以股票的价格的回报代替股价，即假设股价适合几何b r o w n 运动。这克服了 6 第1 章引言 b h e l i e r 模型中股价可能为负的缺点。此后c s p r e n b l e ( 1 9 6 1 ) 、j 锄e sb o 鹏s s ( 1 9 6 4 ) 相继考虑了风险厌恶度和现金贴现率，并假设与股票的回报率相同。 而ps a 姗】e l s 则假定期权与股票有不同的期望回报率，都得到了相应的期权的 解。但是他们的缺陷是根据他们所设定的模型，其解都不是风险中性的，都是 依赖于股票的期望回报与期权的期望回报。直到f i s h e rb l k 、m y 啪s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 和r 0 b e r tm e n o n ( 1 9 7 3 ) 利用无套利原理得到了风险中性下期权的定 价，完全跳出了贴现率的怪圈，使期权定价的发展进入了一个新的时代。 1 9 6 9 年f b l a c k 在假设利率为常数，股票价格适合波动率为常数的几何布 朗运动的假设下得到了期权定价的偏微分方程：b l a c k - s c h o l e s 方程。1 9 7 0 年m s c h o l e s 与f b l a c k 合作，得到了期权定价的b s 公式。而m e r t o n 发现的完全市 场假设下，b l a c k s c h o l e s 公式与无套利原理的等价性使得人们普遍接受b s 期 权定价公式。 从此以后b l a c k s c h o l e s 期权定价模型在资产定价中的显示了其重要的作 用。无论是在各种期权定价中，还是在含未定权益的实物投资中，如赵秀云和 李敏强( 2 0 0 0 ) ，项目投资分析，如l e n o s g e o 玛i s ( 1 9 9 5 ) ，( 1 9 9 6 ) ，d a l en e e g e m l d a s i e s f e l d 和j a c q u e l y nc e f o l ( 1 9 9 8 ) 等，保险产品定价中，如加mr b a c i n e l l o ( 1 9 9 6 ) ，以及股权抵押贷款，如j i a n m i n gx i a ( 2 0 0 7 ) ，基金定价，如任 学敏和李少华( 2 0 0 5 ) ，等等都是应用b 1 a c k s c h o l e s 理论于金融产品分析的实例。 ，本文所考虑的问题也是对未定权益的定价问题，因此也是在b l k - s c h o l e s 期权定价模型基础上对问题进行研究。 1 2 3 本文的工作 可交换债券是国内近期准备发行的新型债券，发行的条款设计和可转换债 券较为类似，但和可转换债券又有不同之处。可转换债券的标的股票是债券发 行公司本公司的股票，而可交换债券的标的股票是债券发行公司持有的其他上 市公司的股票。 目前国内对于可交换债券的定价鲜有研究。因此，本文针对这种新型的债 券，通过无套利及对冲原理建立关于可交换债券的定价模型。在考虑债券发行 公司不会发生违约和可能发生违约两种情况下，并根据我国 上市公司股东发 行可交换公司债券试行规定的条款，对含有可赎回、可回售条款的可交换债 7 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 券定价。利用偏微分方程方法对债券发行公司不会发生违约的情况求出可交换 债券的闭合解。对考虑债券发行公司可能发生违约的情况，利用m a t l a b 编程， 求出数值解。并结合金融意义对定解问题中的重要参数进行讨论。 1 3 本文的具体工作及结构 本文第一章介绍了公司债券的定义及特点，并着重介绍了可转换债券和可 交换债券的特征及发行意义，同时比较了两者的异同点，最后针对推出可交换 债券的现实意义做了较为详细的论述。本文第二章在不考虑债券发行公司发生 违约的前提下对可交换债券进行定价求解。文章在给出有关市场的基本假设和 可交换债券的条款说明后，分别对含有可回售、含有可赎回、含有可赎回可回 售的可交换债券进行定价，利用偏微分方程方法对上述几个定价模型求解，并 得出了闭合解。第三章是在结构化模型下，考虑债券发行公司可能发生违约时 对含有可赎回可回售的可交换债券进行定价。第四章是运用h 0 p s c o t c h 有限差分 的方法对第三章的定解问题求数值解，并结合金融意义对定解问题中几个重要 的参数进行讨论分析。第五章归纳了结论，并总结了进一步工作的方向。 8 其中，在风险中性世界，股票的收益率为无风险利率，。 仃。是股票回报的波动率。 4 发行可交换债券的公司的总资产为矿，不包含上述上市公司股票的资产 为y ，矿= y + s 。 y 满足： d y = ，肋+ 唧蹦 c d v ( d d ) = 触 其中，毛表示债券发行公司资产的波动率。 p 为债券发行公司资产和指定上市公司股票价格随机波动的相关系数。 2 1 2 本文中关于可交换公司债券的条款说明 1 可交换债券的发行公司拥有某家上市公司的股票。 2 可交换债券的持有人在债券持有期间享有债券发行公司给与的息票。 9 。、 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 3 可交换债券的债券持有人在到期日有权将债券按l ：l 的比例转换成指 定上市公司的股票，也可直接拿回债券的票面值f 。 4 可交换债券的发行公司在发行可交换公司债券时可附带可赎回条款。可 赎回是指，当指定的上市公司股票价格上涨至预定值时，债券发行公司 就以这个预定值从债券持有人手上收回可交换公司债券。 5 可交换债券的发行公司在发行可交换公司债券时可附带可回售条款。可 回售是指，当指定的上市公司股票价格下跌到预定值时，为保护债券持 有人的利益，债券持有人以票面值将可交换债券回卖给债券发行公司。 2 2 不考虑债券发行公司违约的欧式可交换债券的定价 所谓欧式可交换债券，是指可交换债券的持有人只可以在到期日丁有权将可 交换公司债券交换成指定上市公司的股票或是拿回债券的票面值。 假设在( f ，+ 衍) 内做一个投资组合n ，使得在( f ，f + 衍) 时段内是无风险的。 由一份可交换债券e 的多头和份可交换债券发行公司所拥有的其他上市公 司股票空头组成。即： ，= 互一s ( 2 1 ) 在( f ，f + 出) 时间段内，由于债券持有人可以得到债券发行公司给与的息票，因 此 兀，柑= 互+ 毋一s 础+ 西诸 ( 2 2 ) 其中，c 为债券持有人每时每刻得到的息票率。 由( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 可得， 棚，= 皿一姆+ 印功 ( 2 3 ) 由肺公式： 棚，= ( 詈+ 心等+ 三一s 2 窘卜+ 慕跗一嬲+ 栅 ( 2 由无套利原理，可知： 。 n ，+ 毋一n ，= ，n ，西 ( 2 5 ) 第2 章不考虑债券发行公司发生违约情况下可交换债券的定价 取= 罢，消去上式的随机项，可得， 丝+ 心堡+ 三蠢s 2 宴一厄+ 印：o ( 2 6 ) 拂铡2 。谢 在到期日r ，根据可交换债券的条款，债券持有人具有选择权，可以按1 ： l 的比例将债券转换成指定上市公司的股票，也可以拿回票面值，即在到期日丁， 可交换债券的价值为指定上市公司的股票价格和可交换债券票面值的较大值。 用数学形式表达为： e ( s ，= 丁) = m a x ( s ，f ) ( 2 7 ) 综上所述，欧式的可交换债券的满足如下定解问题： j 詈+ 心篆+ 三一s 2 窘一旭+ 印= o f 【o ，味s 【o ，佃】 ( 2 8 ) 西a s2 6 瓠2 7ro 7 1 ( 2 8 ) 【e ( s ，f = r ) = m a x ( s ，) 2 3 含有可回售条款的欧式可交换债券的定价 通过前面的对冲我们得到可回售的欧式可交换债券所满足的偏微分方程 ( 2 6 ) ： 丝+ 心丝+ 三矿：s ：磐一厄+ 印：o 魂懿2 。8 s 。 由可回售条款可知，当指定的上市公司股票价格下跌到预定值时，债券持 有人可以以票面值将可交换债券回卖给债券发行公司。 用数学形式表达即为： e ( s = 墨，f ) = f ( 2 9 ) 其中，露为在可交换公司债券发行时预定的指定上市公司股票所下降到的 股票价格。 综上所述，含有可回售条款的欧式可交换债券的定价方程为： 1 1 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 降心慕+ 扣2 窘一旭+ 印= 。( 。) e ( s = 丑，f ) = f 丁 f ( 2 1 0 ) l e ( s ，= r ) = m a x ( s ，f ) 丁f l 詈+ 心等+ 三一s 2 雾一詹= 一以( 。) 雪( s = 露，f ) = o ，( 丑 s o ) ( 2 1 2 ) ”( o ，f ) = o( o f 丁) 作函数代换 其中， u = e n + 口f w f = 丁一r 一* 一爿忙一虿r 芎j 肛一封一爿 通过函数的代换，矿适合定界问题： 第2 章不考虑债券发行公司发生违约情况下可交换债券的定价 利用镜像法，定义 a 形1 ，形印一 一一暝t 2 一 a f2 。苏2 只 形( x ，o ) = 矿烈( 矿一，) + 形( o ，f ) = o ( 2 1 3 ) 卅，= e 高三 亿 易见，缈( x ) = 一伊( 一x ) ，即伊( x ) 是奇函数。 考虑c a u c h y 问题： ( x r ，o f 丁) ( 2 1 5 ) ( x 天) 一 c a u c h y 问题的解可表示为p o i s s o n 公式： 叫= 去謦一p 筹卜止盯彬一半加 回到函数甜( x ，f ) ，得到： “( 毛f ) = 去 屁( 甘厅 乓1 f f n p2 咖一二- 一 2 万 矿 p2 咖 p 咖一坐丛f 脚爿，+ 爿r ( 2 1 7 ) 写 回到原变量( s ，f ) 以及e ( s ，r ) ，得到： 竿 塑酽枣邓l一2吟 一i 2 删 嗽 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 e ( 蹄) = 删( 4 ) 一丑( 鲁) - ( 畋) 一印p 叫叫( 以) + 印( 署) l i p 叫r - f ) ( 反) 七叫即叫晤严p 爿晰+ f 眩 4 = 一 ，- n 参+ ( ，+ 譬卜，) 么= 些型： 幺= 2 4 含有可赎回条款的欧式可交换债券的定价 由( 2 2 6 ) 可知，可交换债券的价格满足偏微分方程： 詈+ 稻詈+ 丢s 2 警一旭+ 印= o + ，d + 一仃：j 一r e + 竹= u 国嬲2 。瓠2 由关于可赎回条款可知，当指定的上市公司股票价格到达某个预定值时， 债券发行公司就以这个预定值从债券持有人手上收回可交换公司债券。 用数学形式表达即为： e ( s = 只，) = p ( 2 1 9 ) 其中，p 为在可交换公司债券发行时预定的指定上市公司股票所上涨到的 价格。 综上所述，含有可赎回条款的欧式可交换债券满足定解问题： 1 4 其中，q = o s 只o f 丁 ，f 为发生赎回的时刻。 啦) 刮咿p ( 矿m m 叫叫眦p ( 圹p 叫叫眦) + ( f 一尸) p 一，l ( 弓) 一( 吨) 一( f 一尸) p 一，( ( 善) 1 百 ( 吃) 一( 易) 巾螂叫( 护爿帮) + p 亿2 ) 邵，f ) ：脚( 咖p ( 墨户吣) _ ( 印卅( ) ( 暑严p 爿爿+ 尸仫2 2 ) 一一 ，h 参+ 卜刳卜，) 么：婴型： 以：逊掣 d i ：d l 一曩! 矗j 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 以：! = 蛩多型 o q 0 t t 哦= 畋一打j 么：爿二望型 j o s _ t t 哝：越挚 西：避挚 2 5 含有可赎回和可回售条款的欧式可交换债券的定价 通过2 3 和2 4 的讨论易知，同时含有可赎回和可回售条款的欧式可交换 债券满足如下的定解问题： 等+ 心豢+ 丢s z 等一旭+ 卵：o ( b ) 西瓠2 。瓠2 、纠 e ( s = 丑，r ) = ， r m i l l ( 丁，f ) ( 2 2 3 ) e ( s = 只f 7 ) = 尸 f ， m i n ( 丁，f ) e ( s ，= 丁) = m a x ( s ，f )r m i n ( r ，r ) 其中，。为发生回售的时刻，r 为发生赎回的时刻，岛= 丑 s r 、”7 e ( 圪，s ，) = m a x ( 足屯) 乙s 丁 其中，乞表示债券发行公司的公司资产到达违约边界的时刻。 3 3 含有违约边界的可赎回可回售的欧式可交换债券的定价 如果在考虑发债公司可能破产的同时，加入可赎回和可回售条款，这相当 于在原有基础上了设置了敲出的上下限，即当股票价格分别降到露和升到p 时， 债券价格分别为： e ( y ，s = 丑，f ) = f ( 回售) e ( y ，s = p ，r ) = p ( 赎回) 因而我们得到了含有违约边界的可赎回可回售的欧式可交换债券的定价方 程为： 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 詈+ 心詈+ ( ，卅y 箬弓书2 窘+ 眠s 唧y 翥专刃y 2 等一旭+ 印= 。 j 6 7 ( y ，s ? = = 号，f ) = ：。 7 m l n l 2 i ，一) ( 3 1 2 ) e ( 矿，s = 只f ) = 尸， m i n ( 丁，r ，乙) e ( 圪，s ，乞) = m a x ( 尺，蜕) o m i n ( l f ，) e ( y ，墨，= 丁) = m a x ( s ，)r m i n ( r ，乙) 其中，毛表示债券发行公司的公司资产到达违约边界的时刻，f 为发生回售 的时刻，为发生赎回的时刻。 3 4 本章小结 本章在考虑债券发行公司可能发生违约的情况下，对可交换债券进行定价 分析。我们假定当债券发行公司用于支付全部款项的资金不足以支付可交换债 券的利息时，债券发行公司即为破产，此时债券持有人将面临债券发行公司的 违约风险。本章给出考虑公司可能发生违约情况下的不含可回售可赎回条款的 可交换债券和含有可回售可赎回条款的可交换债券的定价模型，这两个定价模 型将在下章进行数值求解。 第4 章数值计算与参数分析 第4 章数值计算与参数分析 4 1 含有违约边界的欧式可交换债券的数值计算 本文用h o p s c o t c h 有限差分的方法对方程进行求解。 4 1 1 方程离散化 假设f ，歹，七为整数。令砖表示方程关于e ( 矿，s ，f ) 的近似解。 令y = f d 矿，s = j 舔，| l = r 一肋，则 吃兰e ( 耐y ，重掇，丁一砒) 其中，k f ，0 歹，o 七k ，j y k = 圪 首先，对于 f ，0 j f j ，0 七 k 这些内点，对七+ j f 是偶数的点 用显示格式进行差分，则方程差分结果为： 华= 三( 舰) 2 警+ 如计警 + ( 慨) ( 耐吲p 血型挚+ ( ，叫册笋 + 倘导喊 再将七+ 歹是奇数的内点用隐式格式。则方程的差分结果为： 华= 圭( 蒯2 一+ 扣“一 同济大学硕士学位论文堕垫堡鲞箜室笪堡型垄基坌堑 一一一 + ( 觑朐) 盟型瘸竽盟+ ( ，叫耐y 警 + 椰氅笋一耐 h o p s c o t c h 格式的边界条件，可以方便地近似于： e ：= 2 e ：竺。j e ：曼。j 吃= 吃 彩1 = 2 吃以一砖一z e ：蔷= 2 e 一e ：3 其中，= i i l i n ( d 矿k ( 1 一口) ，f ) 取网格的参数为：肌孚，豳= 吾，川。，川。，k = 嘉，出= 击 4 1 2 数值计算结果 利用m a t l a b 编程，我们得到在初始时刻可交换公司债券在网格点上的值。 图4 1 为，当口= o 5 ，6 = 0 0 5 ，f = l ，c = o 0 5 ，唧= o 2 ，= o 3 ，= o 0 4 ， p ：o ，r ：5 ，松弛因子国= 1 1 下，可交换公司债券在初始时刻r = o 时，与债券 发行公司资产和指定上市公司股票价格的关系。程序见附录a 第4 章数值计算与参数分析 山 难 s 簸 暴 躲 氅 鞲 俄 曰 2 5 2 1 0 5 5 2 债券发行公司资产v 1 0 指定上市公司股票价格s 图4 1 含有违约边界的欧式可交换公司债券在初始时刻关于债券发行公司资产和指定上市 公司股票价格的关系 4 1 3 参数分析 图4 2 为对于不同的公司资产y ，可交换债券价格e 与指定上市公司股票 价格s 的关系比较图。由图2 可知，债券发行公司的资产y 越高，可交换债券的 价格e 也越高。从金融意义上看，当债券发行公司资产越高，其发生破产的可 能也越低，因此可交换债券的价格就越高。 同济大学硕士学位论文可交换债券的定价模型及其分析 山 辖 $ 彀 屦 非 氅 鞲 似 f 指定上市公司股票价格s 图4 2 不同的公司资产y ，可交换债券价格e 与指定上市公司股票价格s 的关系比较图 图4 3 为对于不同的指定上市公司的股票价格s ，可交换债券价格e 与债 券发行公司资产y 的关系比较图。由图3 可知，指定上市公司的股票价格s 越高， 可交换