（应用数学专业论文）圆纹曲面的几何特征.pdf

大连璎工大学硕士学位论文 擒要 直纹溪帮童豢线懿鞔透掰构残豹藏匿，窀楚一类琵较夔要鹣瀚面。它酌参数方程洚： ：r = 刷以力= 唯) 十f 氏蹦) ，其中，。舷) 称为直纹面的准线，= ， ) 为直纹面的姆 线的方向矢量。 圆纹曲面即怒由圆的运动轶迹所生成的曲面，象也是一类比较重要的曲藤。例如， 参数方程为：r ( s ，力= r ( s ) + 五( s ) i n ( s ) c o s t + 烈s ) s i n t 】的曲面就是一类特殊的圊缎 热瓣，其中r = 獭) 为圆心的运动轨迹，盖s ) 为国鲍半径，0 ) 羁b ( s ) 分别为，= r s 瓣 主法向量和副法向量。嘲纹曲衡的母线为圆周或圆弧。 好熬轹袈豹选取嚣鼍：蘧瑟蛙凌静辩究至关重要，嚣琵我嚣】慧逶蓬选取舍适豹活动椽 架来简化其运动方程，避 而研究圆纹曲面的性质。通过在巍纹面的腰线上选取自然标架 建赢了箕活动标粲微分运算静f r e n e t 公式。本文蓿釜了壹纹蟊标絮选取静过翟，绘出了 圆纹曲面的一种活动标架的取法。针对圆纹曲面的特殊性质之处，首先，在圆纹曲面上 取自然标架 窀岛，吃，岛 。接着，弓l 迸两个旋转参数掰= 窿( 以力，= p ( s ，f ) 它们都是关 于s 和f 盼对微函数。邋过砖驻彝然标架进行耀次旋转变换，缛到了一个激的邋动标絮， 记为饵；f ，i ，i 卜在新的活动标架下，当搿，满足条件 曩= f s i n a + k s i n t c o s 群，曩= s i n a ，哎= 湖 一s i n t t t a n c e ， 时，其运动方程得到简化。这熙t f 分别为潮心生成曲线r ；r ( s ) 的曲率和挠率。从而得 到了圆绞黼面的潘动标槊微分运算酌f r e n e t 公式。 关镶蠲，赢纹面；圈纹髓面；运动方程；活动标絮 大连理工大学硕士学位论文 t h eg e o m e t r yc h a r a c t e r i s t i c so fc y c t i es u r f a c e a b s t r a c t t h er u l e ds u r f a c ei se o m t i t u t e db yaf a m i l yo ft h es t r a i g h tl i n e s i ti sak i n do fq u i t e i m p o r t a n ts u r f a c e s i th a st h ep a r a m e t e re q u a t i o n ：e ：r = r ( u ， ) = r 国) + f z ( 豁) ，w h e r e r 兰r ( 球) i st h ed i r c c l 五xo f t l 址n d e d 瓯球住c c ，z z ( ) i st h ed i r e 州o nv e c t o ro f t h eg e | a e r a t r i x l i n e 。 t h ec y c l i cs m f a c ei se o 璐t i t u t e db yaf a m i l yo fc i r c l e s i ti sa l s oak i n do f 础 迦擎。芏拯珏t 翱矗矗e e f o re x a m p l e , t h ep a r a m e t e re g 攫陋雠： ：r ( s ，f ) = ，( j ) + 五o ) 【0 ) e 1 3 s t + b ( s ) s m t 】， 锄强妇sal c 艇o f c y c l i cs f a e e , w h e r e s ) i st h ec e n t e ro f 氆eg e n e r a t i n gc i r e t e ，童转 i st h er a d i u so ft h ee i t c l e ，n ( s ) a n db ( s ) a r et h e 州n e i p a ln o r m a lv e , 呦ra n db i - n o r m a l v e c t o ro f t h e 耗嚼捧o f t l 地g e n e r a t i n gc i r c l e sr r ( s ) t h eg e n e r a t r i xo f t h ec y e t i cs 1 赶 f a c ei s e i d e rac i r c l eo rap a r to f n l ec i r c l e i nt i f f sp a p e r ，w ep r e s e n t e da 豇幽o da l e u th o wt os e l e c tam o v i n gf r a m e 仃嗽t h e c y c l i cs u r f e aw e l t c h o s e nf r a m e i sv e d , i m p o r t a n tt os t u d yt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fa 翻蟥融。t h e r e f o r e ，靴w i s ht os e l e c ts t a t a b l ef r a m et os i m p 醢f yt h e i rm o v i n ge q 痢。豇，a n d t h e ns t u d yi t sg e o m e 仃：i ec 1 1 a r a c t e r 毡v i e wo ft h e 筚e c i 8 姆o fc y e t i cs u r f a c e s ，w ef i r s te h o o s et h e 瑚础f 畦趣鼢e 纽t h e c y c l i cs u r f a c e ，s a y 聃，岛，e 3 t h e n 、摊i m r o d u c et w or o t a t i o n a lp 出m e t e r s 口= 口0 ，t ) a n d 声厌s ，f ) t h a ta 糟矗f f e t e n t i s l 蠢m c t i o 郴a b o u t sa n dt a f t e rt w ot i i l $ r o t a t i o n so ft h e 删舳黼，w e o b t a i n e dan e w f r a m e ，船y 匙f ，i ， w h e nd ，声髓t i s f i e s 屈= f s i n a 十k - s i n t c o $ o r ，届= s i n a ，q = c o s t s i n t 乜n 盘q ， w h e r e 款f 愆辫跫g 畦v e l ya l - et h ec l 牲谨e 氛辩a n dm r s i o no f t h el o f t h e c e d a ro f t h ec i r c l e s , w e 啪s i m p f i f i e dt h em o v i n ge q 嘶0 n ，a n d s e tu pt h ef r e e rf o r m u l ao f t h ec y c l i cs m f a c e k e yw o r d o lr u l e ds 1 哺糙e ：c y c l i cs t u 埔a c e m o , a n gf _ x i l l a ：t i o mm o v i n gf r a m e i i i 独创性说明 诈孝郑重声明：本硕士学饺论文是我令人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特剐加以标注和致谢的地方外， 论文中糸包舍其他人已经发表或撰写的研究成果，也幂包含为获得大连理 工欠学或者其他单绞的学位或| i 蕺书所使用过的材稀。与我一黼工棒的两忿 对本霹究绣歙的贡献均已农论文申载了臻确的说锈并表示了臻意。 一 作者签名：誊妞日斓：幺怄 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名 导师签名 j 盒避壁 址年月塔日 大连理：e 大学硕士学位论文 缝论 活动标絮背景介绍 活动标架的概念起源予力学，例_ 鲤在磺究剐体运动时，我嚣】在刚体上联系一个椽 架，刚体运动时标架随着运动，这样得到了一依赖于时间参数t 的一族标架，刚体的 遮动就霹以曩禽 佟必参数的这一族羲漂袋表示。c o t t o n 、d a r b o u x 等熬标檠概念接广 刹与多个变量肖关的情形。襁力学瑕论的推动下，d a r b o u x 首先创造了以活动标架法 荧基麓麴渡形疆论。e c a r t a n , 将这令理论发扬必穴，链将活霹振絮致运魂群推广裂经 意李群，建立超李群与微分几何的联系，并引进外微分形式直接研究几何。外微分姆 活魂标檠法籀绪合，傻得整体微分悲褥有了突飞猛透蠡毫笈震。豫省麦穗e ，c a r t a n 豹方 法发扬光大，他关于纤维丛和示性类的理论，建崴了微分几何与拓扑的联系，是一个 光辉静疆程碎。 l 。2 露纹基垂背景贪缨 作为类重要的曲丽，圆纹曲筒是由圆的运动轨迹生成的曲面，圆纹曲蛳的母线 为圆周藏圆孤，球面、圆柱掰、圆环面等都是三维欧氏空闻中圈纹酋蕊的例子。 西班牙人r 。l o p c z 研究了三维欧氏空间中g a u s s 曲率与平均曲率满足：a k + 6 h = # ( 其中a , b ，c 为常数) 的w e i l l g a r t e n 酾面中禽圆纹曲面的情形，并对其进行了分类，取 褥了缀好豹结粱，熙文献f l 槐。 h o p f 3 a g y 等人例举了其落空间中关于网纹曲面的实例，见文献【l o 】- 【1 2 】。由于嘲 绞趋覆熬特殊燃震之娥，星绞篷匿在规槭设诗援受中具鸯重大躯意义。基于皴分足鳄 学的空间机构运动中较多的用到凰纹曲面的例子，例如在机构运动学中关于轮轴的逡 动等，其体冤文献【2 4 】。 1 。3 本文内容分绍 本文主要以圆纹曲面为研究对象，绘出了圆纹曲面的种新的活动标架的取法，并 在新的标絮下研究了圆绞曲面的性质。 第一耄善先奔绍了本文所嚣论话趱约历史发震，一些美予该学涤领域戆国逡矮学豢 所取得的成果，并在最厨介绍了本文的主要工作。 第二章主要奔绍了美于活动标粲及乡 微分法的一些预备知识，瑷及美于歪交活动标 架的运动方程及其所对臌曲面的结构方程。 圆纹曲面的几何特征 第三章介绍了直纹面上腰线的定义及其在直纹面的腰线上建立了标架微分运算 的f r c n c c 公式( f 瑚e t 标架的运动方程) ，最后计算了直纹面上的一些基本量。 第四章介绍了圆纹曲面的定义及其在圆纹曲面上活动标架的取法，并在新取的活动 标架下，通过对运动方程的简化，进一步研究了圆纹曲面的性质。并列举了一个特殊的 圆纹曲面，环面。 最后的结论系统的概述了本文所取得的一些结果。 y s 勰- _ _ t - 大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 活动标架 首先我们简要介绍曲面上的活动标架的概念。设的曲面s 的参数表示为 r = r ( u ，订，参数曲面s 上的( 光滑) 向量场x ( u ，v ) 是指对于s 上的任意一点r ( u ，v ) ， x ( u ，v ) 是从点r c u ，v ) 出发的一个向量，并且x ( “，v ) 光滑地依赖于参数( “，v ) 。对于任何 的( “，v ) ，当x ( u ，v ) 是曲面s 在点r ( u ，v ) 的切向量时，x ( u ，v ) 称为曲面s 的切向量场。 当x ( u ，v ) 是曲面s 在点r ( u ，v ) 的法向量时，x ( u ，v ) 称为曲面s 的法向量场。 给定矿的曲面s 以及s 的一个参数表示，= r ( u ，v ) ，在s 各点的切平面上取向量 岛，e 2 使得 q ，q ) = 岛，岛) - - 1 ， = 0 j 箍r e , ，岛关于( “，v ) 是光滑的，取岛= q 。吃为曲面的单位法向量场，则 r ；与，e 2 ，e 3 ) 构 成沿曲面的一个正交标架。曲面s 上的活动标架是指以曲面上的点为原点的三维欧氏 空间的坐标系 r “，v ) ；口似，v ) ，b ( u ，v ) ，c ( u ，v ) ，其中a , b ，c 是曲面s 上的处处线性无关的 向量场。特别，如果 口，b ，c ) 为单位正交标架，则称 ，( “，v ) ；4 ( “，v ) ，6 ( “，v ) ，c ( u ，力 为曲 面s 的正交( 活动) 标架。 设的曲面s 的参数表示为，= r ( u ，v ) ，吒和是曲面s 上切向量场的两个自然的 例子，n = i t 导是曲面s 上的( 单位) 法向量场。显然，月相互线性无关，因 l 0 l j l j ： r ( u ，v ) ；，月 构成了 r ( u ，d 为原点的的一个标架，这些标架的全体称为参数 曲面s 的自然标架( 场) 。 ( 正交标架的存在性) 设曲面s 的参数表示为r = r ( u ，v ) ，对自然标架饥，) 施行 s c h = ic l t 正交化，有 铲赢2 老 q l ” 吃= 融踽= 疆e 丽r l , - f r u 岛，e 2 是曲面切平面的单位正交基。令 ( 2 1 2 ) 圆纹曲面的几何特征 肾南跏 眩， 容易验证，e l , e 2 ，岛满足 q ，e 1 ) = 岛，岛) = l ， q ，巳) = o ，岛= e l 。岛，则 r ；弓，e 2 ，e 3 ) 是s 的一 个( 正定向) 正交标架。如果 彳乏盟暑乏受瑚 c ：一， 是定义在参数区域d 上的正交矩阵且d c t a = 1 ，令 m 习 眩， 那么i ，五，弓= 岛) 也是s 的一个( 正定向) 正交标架。显然 i ，弓) 是s 的切平面的正 交基 q ，乞 经过正交变换a 得到的 通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质，是微分几何学的一 个基本方法。 2 2 外微分法介绍 平面参数区域d = ( “，) 上的一阶( 外) 微分形式形如厂d u + g d r ，它可以看成独 立参数变量u ，v 的微分d u ，d r 张成的线性空间里的元素，以函数f ，g 为系数。记为 e = f d u + g d r 类似向量的外积，可以定义两个一阶外微分形式的外积x ，它满足 ( 1 ) 线性性：( 五瞑+ t 一岛) 矿= 2 - ( 岛。妒) + ( 岛尹) ， ， ( 2 ) 反交换律：o x f = 呻争 由条件( 2 ) 知道，e x o = o 对于口= z 出+ 五d r , 9 = g i d u + 9 2 d r , 由条件( 1 ) 有 占p = “d u + 五d r ) x ( g , d u + 9 2 d r ) = 9 2 一五- g o d u x d r 所以口舻是d u x d l ，的倍数。d u x d v 可以看成由d u 和咖生成的平行四边形的有向面积微 无，因此自然有d u x d v = 一d r x d u 大连理工大学硕士学位论文 我们把形如厂d u x d v 的微分形式称为二阶外微分形式，并把函数称为零阶外微分形 式。 微分形式间有外微分运算d ，它定义为 ( 1 ) 对于零次外微分形式，a f ：o n f d u + o f d r ， ( 2 ) 对一阶外微分形式o = f 幽+ g 咖， d 8 = 矿d u + 电咖= 善咖d u + 襄出d v = ( - 学+ d u d r , o v 咖甜 ( 3 ) 对二阶外微分形式尹= 厂d u x d v ， d e - - - 。d u 。d v ：洋d u + 箬d u 。d r ：0 鳓钾 以下性质是容易验证的： 性质2 1 设f ，g 是函数，矿是一阶微分形式， ( 1 ) d ( f g ) = ( a f ) g + ，( d g ) ； ( 2 ) d ( f 妒) = a t x p + f d 妒，d ( 口，厂) = d 9 矿一矿x ； ( 3 ) d ( ) = 0 2 。3 基于正交活动标架的运动方程 给定e 3 的曲面s 以及s 的一个参数表示，= r ( u ，v ) ，在s 的各点的切平面上取向量 q ，岛使得 ( 弓，e j ) = 吃，乞) - - 1 ，( 岛，e 2 ) - - 0 ， ( 2 3 1 ) 而且e ，e 2 关于 ，v ) 是光滑的。e ，, e z 的选取不惟一，例如，可以取 q 2 南，乞2 徽 取岛= 与。乞为曲面的单位法向量场，刚 r ；与，巳，巳) 构成了沿曲面的一个正交标架，或称 规范标架。 由于饥， 和编，吃 都是切平面的基，因此有 圆纹曲面的几何特征 l = a j l 。岛+ 口1 2 巳， 【= a z l 与+ 口2 2 乞， 其中 ：l 口，2 ) 均为曲面上的函数，a = ( ) 是基变矩阵 为 盼匿 ( 2 3 2 ) ( 2 3 2 ) 式也可以记 ( 2 3 3 ) 利片j ( 2 3 2 ) 式，有 d r = d u + r ，d v = ( q i d u + a 2 l 咖) 岛+ ( q 2 d u + 口2 2 d v ) e ： ( 2 3 4 ) 记 q 硇i 协+ a ：i - d v ( = | ( ，d r 玛0 ， ( 2 3 5 ) q = 口1 2 d u + a z 2 d v e ( 办，乞) ) ， 那么啦，哆是定义在( 地v ) 参数区域上的一阶微分形式，而且 d r = 0 6 ，岛+ 咤乞， ( 2 3 6 ) 因此利用微分形式q ，哆，曲面s 的第一基本形式可以表示为 i = ( d r ，d r ) = 0 4 q + 吐鲍 ( 2 3 7 ) 对正交标架e l ，岛，岛求微分，由于如( f = l 2 ，3 ) 是向量值的一阶微分形式，它可以表为 k ，乞，岛) 以一阶微分形式为系数的线性组合，令 如= 嘭l q + q 2 乞+ q 3 岛，i = l 2 ，3 ， ( 2 3 8 ) 其中每个q = ( 如，勺) ( f ，j = l 2 ，3 ) 均是一阶微分形式。由此可知，标架 q ，岛，岛 的微分 由一阶微分形式矩阵( q ) ( 1 f ，3 ) 确定，而且，x c ( e , ，巳) = 磊微分可得 ( 幽，巳) + ( 岛，呜) = o ， ( 2 3 9 ) 将( 2 3 8 ) 代入( 2 3 9 ) 式，就有 q + - 0 ( 2 3 1 0 ) 特别，我们有 0 4 1 = = 鸭3 = 0 ( 2 3 1 1 ) 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 曲面s 的第二基本形式也可以由这些微分形式表示为 i i = - ( d r ，如) = 一( q 与+ 哆e - 2 ，鸭1 与+ 吗2 e 2 ) = o h + 吨 ( 2 3 1 2 ) 综合以上讨论，我们有 命题2 3 1 设s 是的曲面， r ；e a ，e 2 ，吃) 是s 的正交标架，则 1 d r = q q + 鸱岛， ? 2 q 2 乞+ q 3 岛 ( 2 3 1 3 ) 鸭2 q t 巳+ 岛， 如= 皑1 岛+ 妈2 e 2 ， 其中+ 哆= o ，( 1 s f ，3 ) 5 2 曲面s 的第一基本形式和第二基本形式分别为 1 2 q q + 呸。哆， ( 2 3 1 4 ) i i = 嵋q 3 + 哆 ( 2 3 1 3 ) 式称为曲面正交标架的运动方程。从( 2 3 1 4 ) 式可以看出，曲面的第一、 第二基本形式由正交标架运动方程的系数确定。事实上我们还有 命题2 3 2 曲面的第一基本形式与正交标架的选取无关；曲面的第二基本形式与同 法向的正交标架的选取无关。 证明设 一i ， 是曲面的另一组正交标架，其中西= 岛设q 与i 的夹角为口，其 中一= o ( u ，v ) ，则 2 c 。s 口岛+ s i n 护e e ， ( 2 3 1 5 ) k = - s i n o e l + c o s o e 2 。 设标架 r ；苟，五，) 运动方程的系数为 磷：f ，j - - - l 2 ，3 ) ，那么 研= ( 毋，i ) = c o s 口q + s i n o 哆， 西2 ( ，五) ? 痂矽q + c o s o - w z ，( 2 ) = ( 蜮，苟) = c o s 鸭l + s i n o ， = ( 蹦，) s i n o 毡。+ c o s o 吗： 圆纹曲面的几何特征 由以上各式容易验证 q 嵋+ 吼q2 q q + 咤哆， q 坞i + 哆鸭2 2 q 。鸭i + q 坞2 ， 命题得证。 2 ，4 基于正交活动标架的曲面的结构方程 取曲面s 的正交标架 r ；q ，e 2 ，岛) ，由上一节的讨论正交标架的运动方程为 d r = q q + 伤e 2 ， 3 幽= q 勺，坳= o ，i = i ，2 ，3 产l 对( 2 4 1 ) 式求外微分，左边= d ( d r ) = 0 ，将运动方程代入右边可得 22 o = d ( 吼- 气) = ( 蛾气一x a e ) a = l口- l 222 = ( d o h - e “1 ) q + ( r i c 0 2 - “2 ) 乞一( 。屹3 ) 岛 a = l“a = l 由于岛，e 2 ，e 3 线性无关，我们得到如下两个等式： 2 d 唧= 吃，f l = l 2 ； 口。l o = 吼3 但由于吗。= q ：= o ，( 2 4 3 ) 式可简化为 滗嚣乏j ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 同样，对( 2 4 2 ) 式求外微分，由于d ( d 吃) = 0 = l ，2 ) ，将运动方程代入可得 因此我们有 33 o = e ( e 勺) = 吃巳一畋，呜 j - l，i l 3，333 = d 略- e ( o a x 咏气= ( d - e 吃，x d e , ， - 1 1 = 1 k = lk = l l l 大连理工大学硕士学位论文 d t o , n 一，。= o ，a = l ，2 ；k = l ，2 ，3 ( 2 4 6 ) j 司 ( 2 4 6 ) 式虽然形式复杂，但独立的方程只有3 个。这是因为当七= l 或_ i = 2 时，由( ) 的反对称性，非零的只能是鸭，= 1 ：，当七= 3 时，( 2 4 6 ) 式是关于q ，和的外 微分方程。将( 2 4 6 ) 具体写出，就是 d q 2 = q 3 。呜2 ； ( 2 4 7 ) j 硼2 。 ( 2 4 8 4 ) i a a k = n bx q 3 方程( 2 4 5 ) 和( 2 4 7 ) 、( 2 4 8 ) 通称为曲面正交标架的结构方程式，它们是正 交标架运动方程可积性条件。 大连理工大学硕士学位论文 3 直纹面上的f r e n e t 方程 3 1 直纹面上的相关概念 定义3 1 1 由直线的运动轨迹所构成的曲面称为直纹面，它的参数表达式为： ：r ( u ，f ) = r ) + f z ( “) ， ( 3 1 1 ) 其中，m ) 称为直纹面的准线，f m ) 为直母线( 单位矢量) 。 构成直纹面这些直线称为直母线，柱面和锥面都是直纹面的特例， 行，后者的直母线相交于一点( 锥顶点) 。 例如单叶双曲面 手+ 芳一手= ，d 2 6 2c 2 1 就是一个直纹面，它的一个参数表达式为 前者的直母线平 ( 3 1 2 ) r ( u ，v ) 2 ( a ( c o s u - y s i n “) ，b ( s i n u + ”0 0 8 ) ，。v ) ( 3 1 3 ) = ( 口c o s u ，b s i n u ，o ) + v ( 一a s i n u ，b 。c ，d s u ，c ) 定义3 1 2 设直纹面：尺 ，f ) = r ) + f ，) 两条直母线屯和l + 。的公垂线与屯的交 点为m ，当缸寸o 时，点m 沿l 上所趋近的极限位置m 。称为母线屯上的腰点，直纹 面上腰点的轨迹称为腰曲线。 现在来考察一条直母线z ) 及其邻近的另一条母线z + a u ) 的相互位置关系，即 l ( u ) 和l ( u + a u ) 的最短距离，作二直线的公垂线，在， ) 上的垂足为m ，在， + “) 上 的垂足为肘，当“一0 时，肘和膨+ 趋于直母线z ) 上的一点肘。，称该点为在直 母线，似) 上的腰点。 定义3 1 3 腰点m o 到准线， ) 与直母线，) 交点的距离为岛，称为腰准鼯。 设 m = r ( u ) + f l ( u ) ， m = r ( u + “) + ( f 4 - a t ) j 4 - a u ) 则 瓦矛：a r + t a f + f 1 + a t a ( 3 1 4 ) 由题设知：m m 。g 1 ) ，m m l l ( u + a u ) ，故m m + 上， 将( 3 1 2 ) 式与f 作内积可得 圆纹曲面的几何特征 廿m + t ( 出) 2 + f ，出+ a f ( ) 2 = 0 ( 3 1 5 ) 将( 3 1 3 ) 式除以f a u ) 2 并令斗o 取极限，可得 ，+ t z 2 + ，f = 0( 3 1 6 ) 因为取，为单位矢量，有，z = o ，f l p t = i ： 故其腰准距岛= 二 ，每条直母线，似) 都有一个腰点m ) ，这些腰点的轨迹称为腰线。 由上可知，腰线方程为： p ：r 一三三l ， ( 3 1 。7 一) p 2 r 一f + ， l j j 几何意义是沿着直纹面最细的地方。 定义3 1 4 以腰线为准线的直纹面方程 ：r = p + t d ( 3 1 8 ) 称为直纹面的标准方程。 3 2 正交活动标架的选取 对于直纹面，由于一族参数曲线为直母线，因而有特别之处，在直纹面的腰线p 上 建立直纹面的活动标架 p ；岛，乞，巳 ，其中 f ， 铲l 铲露焉2 可 这样就有直纹面标架微分运算的f r c n e t 公式：( f r e n e t 标架的运动方程) 挈：口 d a 如 d a d e , d a 2 最 亟一 d c r e l十，岛 - p 乞 + 巳 ( 3 2 1 ) 其中： ( 1 ) 仃为直纹面的直母线z ) 的球面像曲线弧长，即把直母线单位矢量，) 映射 到一个单位球面上，矢量的起点为球心，矢量末端便在球面上画出一条曲线c ，仃为c 的弧长。它的参数“的关系由l ( u 1 确定。 大连理工大学硕士学位论文 d 盯= i ，i d u ( 3 2 2 ) ( 2 ) 口为直纹面的腰线切矢与直母线夹角的函数： 舻石d p 印南石d pk 钎 z ( 3 ) 为直纹面直母线z ) 的球厩像曲线c 的测地曲率： 鱼d o - 妒臀 z 舢 ( 4 ) y 为直纹面的分布参数： 产护d p 2 背 2 鼬 上述直纹面的参数口、和y 都是运动不变量，称为直纹面的结构参数，它们完全 决定了直纹面局部的微分结构。 3 3 直纹面上的基本量 对直纹面的标准方程式：r = p + t o l 求偏导( 关于球面像曲线弧长盯和参数t ) 嘭= 岛+ f 。= 口弓+ f 乞+ ，岛， r t = z = 岛， 丑叮= 口。岛+ f ( q + 岛) + ，( - p 乞) + 口q + ，岛 = ( 口一f ) q + ( 口一声，磅+ ( ，+ f ) 岛， 如= 岛，咒= 0 ， 胆黼= 警帮 故有 e = 凡= 口2 + f 2 + ，2 ， f = 巧足- - - - 5 ， g = 墨e = l g = ( e g 一，2 ) 丘= ( f 2 + ，2 ) 片， 三= 8 。 = ( 口一，) ，一t ( ，+ t ) l g ， 肘= 如n = r i g ， 圆纹曲面的几何特征 n = 岛栉= 0 这样就可得到直纹面上的一点p ( a ，f ) 处的高斯曲率k 和平均曲率日， 置=铬笺=-jz=丽-y：e f g ， g 一2 4 驴2 + f 2 ) 2 月一1 l g - 2 m f 。+ n 一e 2e g f 2 ：( a - f t y ) y - t ( y + f t t ) - 2 a y 2 矿 一熊繁筠掣 2 驴2 + f 2 ) 一1 4 - 大连理工大学硕士学位论文 4 圆纹曲面上的f r e n e t 方程 4 1 活动标架的选取 定义4 1 1 由圆的逡动轨逃生成的曲面称为圆纹曲面，其参数表达式为： ：r ( s ，) = ，$ + 冀转) 淤( s ) + c o s t + 联s ) + s i n t 】 ( 4 。1 1 ) 其中，( j ) 为圆心嫩成曲线，五( 口) 为圆的半径，n ( s ) 和口( s ) 分别为，( 。) 的藏法向爨和副法 稳爨。蟊绞魏嚣豹母线为强焉藏菡孤，球甏、霾柱箍、溷环覆等都是圈绞曲瑟的弼予。 例如环面的一个参数表达式为： r ( s ，磅= ( c o s s 一五c o s s c o s t ，s i n s - a s i n s ，s i n t ，五，s i n 疗 在4 。3 的实例中衾看到。 设 宾；岛，乞，岛 为最韵一个诞交活动标架，刚此标架酌运动方糨可写为： 降2 鲒岛r e 3 d 屯；哆l q+ 哆b e 3 。冬l 岛j 2 k 岛 其中+ 掰- - 0 ，( 1 f 3 ) 。 我 、强日道在褶差岔静一个潮体运动的意义下，瓣面的第一基本形式和第二基本形式 将究全决定蝮面，即曲嘲的第一、二蒸本形式及其所确定的g a u s s 哇妊率期平均曲率与标 架的选取无关，翻此我们想通过选取禽适的活动标架来简化其运动方程，进而了解圆纹 鳗藤上豹器赞性矮。 首先猩圆纹曲面上取其单位自然标架为活动标架 震；q ，吃，e 3 ， 其审， 岛。一n s i n t + b c o s t ， e z = c o s t + b s i n t 。 e 3 = r 设在就标絮下豹运动方獠为： l 矗一a h 。吃+ q ，岛 如= q l 嘞+ ( 0 2 3 岛 0 坞2 鸭1 。吩+ ( 0 3 2 岛 其中+ = o ，( 1 f ，_ ，3 ) 遥避专 算霹絮： 圆纹曲面的几何特征 q 2 ；f 凼一砒 q 3 = r s i n t d x ， 哆3 = 一r 。c o s t d s r 和f 分别为圆心曲线的曲率和挠率。显然在此标架下，q ：，k 中的任一个为零只 能代表此曲面上的一条特殊曲线，在此曲面上我们为了让其中的一个运动方程系数恒等 于零，下面我们引入一个参数口，其中口= a ( s ，t ) 是关于s 和t 的函数，我们固定一个坐 标不动，通过旋转另两个坐标，即： i - - q ， 艺= e 2 c o s a + e 3 s i n a ， 弓= e 2 s i n a - e 口c o s a 即： z ns i n t + b c o s t = ( n c o s t + b s i n t ) c o s a + t s i n a 西= ( n c o s t + b s i n t ) s i n a - t c o s 口 这样得到一个新的正交活动标架，设在此标架下的运动方程为： i 硝=瓦+ 碗 = 吐。i+ 瓦 i = i + 咤乏 其中西+ = o ，( 1 f ，j - 其中五为一常数。因为圆心曲线，o ) 的益率r = l ，挠率r = 0 。因此由上面得计算公式 胃得餮两个旋转参数豹荧系为； 屈。s i n t c 0 8 啦 ( 4 。3 。3 ) 属= s i n a 菇由可积性条俜疋= 成可褥 搿。= c o s t s i n t - t a n g q ( 4 3 4 ) ( 4 3 ，辱) 残毫无数令释，本文为了磅究熬方便，苓妨取一今最特臻熬辩。这墼设鬈= o ， 这样可得c , o s t z - s i n t - - - - c ，再取常数c - - o ，可得c o s 搿= 0 ，从面可知口= 窿2 ，芦= f + 岛， 其中c l 为任意常数。将五，赫f ，口，夕代入此曲线( 4 2 1 ) d r = 堡塑坠坐幽塑譬笺艘丛生型，d s 一 w s 口 霹褥 d t = 0 。 ( 4 4 5 ) 帮t 隽常数，藏藏线鄯瓣痉环颓上静纬线。 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文赞对强纹鼗甏，绘赉7 一耱豢麴溪动稼繁戆取法，藏甏论是微分a 鳄戆一个重 要分支，而本课题所讨论的圆纹曲黼是一类比较特殊的曲面，即由圆的运动轨迹所生成 的曲磷。我们知道。在相差的个刚体运动的意义下，第一基本形式和第二基本形 式将宠全决定錾蟊，鄂曲嚣豹内藏性矮与标槊黝选取无关，蠢因为盍珏姥，我钓通过选取 适当的标粱，来磺突藩匿的毪震。我们偿签了辩纛绞瑟f r e n e t 栋架的建立过程，在圆纹 曲面中，本文在原碱交自然标架的藻础上通过对原标架的两次旋转，得到了个新的活 动标絮+ 在新的活动标架下，圆纹曲面的运动方程得到简化。我们又借签了对直纹面性 爱豹掰突，在薮魏搽絮下，我织浚英在一今坐拣皴上熬分羹为零，这襻裁褥到了在瑟纹 嘧面上的一条特殊魏线，并研究了它的性质。此外，圆绞曲蕊程机械设计加置中具有重 大的现实意义。 一2 3 圆纹曲面的几何特征 参考文献 【1 l 砷s p e c i a l w e i n g a r t e n8 u r n s f o l i a t e d b yc i r c l e s ，b e r l i n j s p r i l l g e r ，1 9 7 3 2 1 1 k p i c y c l i cs u r f a c e so f c o n s t a n tg a u s sc u r v a t u r e ，h o u s t o nm a t h j 2 7 ，2 0 0 1 3 凡l o p c z o nl i n e a rw e i n g a r t e ns u l * f a c 档，m o n a t s h m a t h j 2 6 ，2 0 0 6 4 r i a 3 p c 7 c y c l i ch y p e r s u r f a c e so f c o n f t a n tc u r v a t u r e , a d v a n c e ds t u d i e si np u r e m a t h e m a t i c s 3 4 m i n i m a ls u r f a c e s ，g e o m e t r i ca n a l y s i sa n ds y m p l e c t i c6 e o m o w y2 0 0 2 5 f o r s y t h , a l e c t u r e s0 1 3t h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo f c u r v e sa n ds u r f a c e s , ( = a m b r i d g e 1 9 1 2 6 e c a l a b i a ne s t e n s i o no f e h o p f sm a x i m u mp r i n c i p l ew i t ha na p p l i c a t i o nt or i e m a n n i a ng e o m e t r y d u k em a t h j2 5 1 9 5 8 7 s s c h e r n s o m en o w c h a r a c t e r i z a t i o n so f t h ee u c l i d e a ns p h e r e 。d u k em a t h j 1 2 1 9 4 5 8 3f j i ，z | lh o u ak i n do f h e l i c o i d a ls u r f a c e si n3 - d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e ， j m a t h a n a l a p p l ，2 7 5 ( 2 0 0 5 ) 6 3 2 - 6 4 3 9 f j i ，z h h 毗h e l i c o i d a ls u r f a c e su n d e rt h ec u b i cs c l c h vm o t i o ni n3 - d i m e o s i o n a lm i n k o w s k is p a c e ， j m a t h a n a l a p p l 。3 1 8 ( 2 0 0 6 3 4 - 6 4 7 1 0 w c j a g y m i n i m a lh y p e r s u r f a c e sf o l i a t e db ys p h e r e s 。m i c h i g a nm a t l l j 3 8 ，1 9 9 1 1 1 w c j a g y s p h e r e - f o l i a t e dc o n s t a n tm nc u r v a t u r es u b m a n i f d i d s ，r o c k ym o u n t ，j m a t h 2 8 ， 1