（应用数学专业论文）加权a调和方程.pdf

摘要 a 一调和方程和拟正则映射的密切关系使其成为当今的研究热点之一这篇文章讨 论形如 d i va ( z ，v u ( z ) ) = 0 的加权a 一调和方程在加权s o b 0 1 e v 空间中的很弱解，这些结果可以看作是a 一调和方 程结果的深入和推广文中主要利用加权索伯列夫中的h o d g e 分解取出适当的检验函 数，并用弱逆h 6 l d e r 不等式、y o u n g 不等式为工具，得到了其很弱解的正则性和极值 原理作为极值原理的一个应用，研究了其相应的狄里克莱问题 关键词加权a 一调和方程；很弱解；h o d g e 分解；弱逆h 6 l d e r 不等式；狄里克莱问题 a b s t r a c t a b s tr a c t a _ h a r m o n i ce q u a t i o ni si m p o r t a n tn o w a d a y sb e c a u s eo fi t sc o n n e c t i o nw i t hq u a u s i r e 分 u l a rm a p p i n g s i nt h i sp a p e r ，r es t u d yt h ev e r y r e a ks o l u t i o n so f 、e i g h t e da h a r m o n i c e q u a t i o n d i v a ( z ，v u ( z ) ) = 0 i n 、e i g h t e ds o b o l e vs p a c e s t h e s er e s u l t 8c a nb ev i e 飘r e da sg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec l a s s i c a l o n e so fa - h a r m o n i ce q u a t i o n w 色c h o o s es u i t a b l et e s tf u n c t i o n sb yh o d g ed e c o m p o s i t i o n ， a n du s ew e a kr e v e r s eh 6 l d e ri n e q u a l i t ya n dy b u n g si n e q u a l i t yt og e tt h er e g u l a r i t ya n d e x t r e m np r i n c i p l ef o rt h ev e r yw e a ks 0 1 u t i o n s w ea l s os t u d yt h ed i r i c h l e tp r o b l e ma s a na p p l i c a t i o no fe x t r e i n u np r i n c i p l e k e y 、o r d sw 色i g h t e da - h a r m o n i ce q u a t i o n ；v e r y r e a ks o l u t i o n ；h o d g ed e c o m p o - 8 i t i o n ；w e a kr e v e r s eh 6 l d e ri n e q u a l i t y ；d i r i c h l e tp r o b l e m i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。枣我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：熬垦日期：2 塑呈年l 月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密以 ( 请在以上相应方格内打“刀) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 由丘权a 一倜粲力被 ) 的学位论文，是我个人在导师渤西指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：丝量日期：2 嫂左年上月止日 作者签名： 导师签名： 狄星 日期：垫璺塞年上月止日 日期：麴呈年厶一月垒一日 1 引言及预备知识 设n 2 是正整数，q 是舻中的有界区域口( q ) ( o g o o ) 是q 上满足 舻( 小训口如) v 口 on e ，那么我们称加是 权函数如果我们用如表示n 维l e b e s g u e 测度，则通常的戤以o n 测度和权函数有如 下的关系 p ( e ) = 训( z ) 如， 因此有舡= 伽( z ) 如 定义1 1 【4 】给定个非负局部可积函数叫，我们称t l ，是属于如类的m u c k e n h o u p t 权函数，1 0 使得 p ( 2 q ) c p ( q ) 这里qc2 q 是舻中的同心体，其中2 q 表示边长为q 两倍的方体对于舻中给定 的可测子集e ，我们用驴( e ，叫) ，1 p o o 表示所有在集合e 上的可测函数，组成 的b a n a c h 空间，其范数定义为 i i 厂l i 工p ( e ， ) = ( i ，( z ) i p 伽( z ) 如) 叫p 函数，本身及其一阶导数属于口( e ，t t ，) 的所有函数组成的空间我们称之为加权 s o b o l e v 类，记作1 p ( e ，t t ，) 记号巩( q ，t t ，) 和w 2 ( q ，t t ，) 不言自明 我们研究下面的加权小调和方程 出v a ( z ，v u ( z ) ) = o ，( 1 2 ) 其中算子a ：q 舻_ 舻满足如下条件；对于正常数0 q 卢 ，有 ( i ) ia ( z ，) i 触( z ) i i p 一； ( i i ) ( a ( z ，) ，荨) 0 ：叫( z ) l 毒i p ；这里z qn e ，月：，l 和入r 注1 2 满足上述条件方程的一个重要的特殊情形为如下的p 调和方程 d i v ( u ( z ) lv 札( z ) i p _ 2v u ( z ) ) = o 定义1 2 【5 】函数u 咄( q ) ，m a x 1 ，p 一1 ) r p ，称为( 1 2 ) 的很弱解，如果 对任意蟛埽一州( q ) ，且u 三1 有 ， ( a ( z ，v t l ) ，v ) 如= o ( 1 3 ) ，n 成立 这里“很弱”是指u 的可积指数可以小于自然指数p 当u 兰1 时，( 1 2 ) 的很弱 解的许多性质已经被建立但u 为一函数时，在这方面鲜有结果，因此我们有下面的 定义1 3 【4 】函数t 上咄( q ，u ) ，m a x 1 ，p 一1 ) ， p ，称为( 1 2 ) 的很弱解，如 果对任意咖咏埽一什1 ( q ，u ) ，( 1 3 ) 式成立 注1 3 若在定义1 3 中r = p ，则称u 彤翟( q ，u ) 为( 1 2 ) 的弱解 小调和映射概念自由o m a r t i o 提出后，其性质得到了广泛的研究并由一系列的结 论，见降1 0 】与a 调和方程( 1 2 ) 密切相关的一个重要情况是拟正则映射( b e l t r a m i 方程的解和有界伸张映射) 假定，( z ) 嵋2 ( q ，酽) 是b e l t r 锄i 方程组 ，( z ) d ，( z ) = 1 7 n ( z ) g ( z ) ( 1 4 ) 的广义解( 称之为拟正则映射) ，这里g ( z ) s ( n ) 为一个对称、正定且行列式为1 的 钆阶实矩阵，并且存在正常数0 入1s 入2 o o 。使得 a 1i 1 2 g ( z ) ， ) 入2l 1 2口e q ，v 危月：，1 文 1 l ，1 2 1 证明，的每一个分量函数t = ，( z ) ( 蕾= 1 ，2 ，n ) 是小调和方程( 1 2 ) 的弱解，其中 4 ( z ，v u ( z ) ) = ( g 一1 ( z ) v u ( z ) ，v 乱( z ) ) rg 一1 ( z ) v u ( z ) n z 若，吩i ( q ，彤) ( 1 p o 。) 为b e l t r 锄i 方程组的广义解( 称之为弱拟正则映射) ， 则，的每一个分量函数u = ，( z ) ( t = 1 ，2 ，几) 为a 调和方程( 1 2 ) 的很弱解，其 中a ( z ，v 乱( z ) ) 如上所述 文 1 3 】中研究了对应于拟正则映射的双特征的b e l t r a n l i 方程， d 。，( z ) 日( z ) d ，( z ) = ，( z ，) 熹g ( z ) ，( 1 5 ) 其中h ( x ) ，g ( x ) 是对称的，正定的且行列式为1 的n 阶方阵设 口- l 1 2 ( g ( z ) ，荨) 历i 引2 ， q 2 l 叩1 2 ( 日( z ) 叩，7 ) 尾l 1 2 并得出了其相应的拟线性方程 疵口以( z ，d ，) = b ( z ，d ，) ，( 1 6 ) 一；0 其中a ( z ，v u ) = ( 铲) 孚g 一1 v 牡，b ( z ，d ，) = ( ，( z ，) d 一1 ，e 。，v ( e 1 ) 。( 日一1 ( z ) 一 日_ 1 ( z o ) ) e 】) 并且分别满足下面的条件： 去( 爰) 孚n ( a ( z 去( 鲁) 孚蚓n ，比彤，。， 愀邶川m ( 鲁闱酬铲1 在文 1 4 】中t 1 w a l i l i e c 证明，若，嘧1 一e ( q ，册) 是单特征的b e l t r a i i l i 方程组的 广义解，则缸j = ，旬巧n 八可：八八彤白，= ( t 1 ，蕾2 ，由) ，1 z n ，1 t l ，主2 由 n 是p 调和方程 d a ( z ，砒j ) = o ( 1 7 ) 的很弱解 文 1 5 】中将双特征的b e l t r a m i 方程提高到外代数的水平，并且得出了下列结果s 令，川2 ( q ，舻) 是满足条件的广义解，则砒= 彤n 八八彤“，( 1 冬1 1 2 1 秒i 对于函数，p ( 舻) 和1 p ，令 ，i t ，( z ) = p t ，k ( z 一可) ， ) 匆 ，r ，i 上面定义的算子t 被称为c a l d e r o n - z y g m n d ( c z ) 奇异积分算子众所周知，当汐空 间的权函数为a 1 类时，c z 奇异积分算子是有界的，见 3 0 ，3 1 】 引理2 1 若叫满足a 1 权函数且t 是一个c z 奇异积分算子则存在一个常数c ， 使得对驴( 舻，伽) 中任意函数，有， 吖i i p ( 舻，伽) c 如( 叫) 咖州p ( 舻， ) ， ( 2 1 ) 其中= p ( p 一1 ) 我们将要用到的下面的加权形式的h o d g e 分解亦源自于【3 1 】 引理2 2 设q 是舻中的正则区域( 所谓正则区域指满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的任意 有限可测区域例如，一个却s c 玩t z 区域是正则的) 且叫( z ) 是一个a 1 权函数若 让眦p 一( q ，伽) ，1 p o o ，一1 p 一1 ，则存在妒蝣一m 一( q ，伽) 和一个 散度自由量日己( p e ) ( 1 一( q ，伽) 使得 vu i - evu = v 妒+ e 一6 - ( 2 2 ) 和 0v 妒i k ( p 一。) ( 。一。) ( q ，伽) c a p ( 加y0v 牡l i 努。( n ，伽) ， ( 2 3 ) 0 日0 l ( p 一。) ( ，一。) ( n ，伽) 已4 p ( 伽) l l i l9 t 1 l 汐一c ( q ，t t ，) 1 一e ， ( 2 4 ) 成立这里，y 依赖于p 在定理的证明中我们同样需要下面的 引理2 3 f 3 2 l 若一双权函数伽和二乙( q ，叫) ，1 1 - 1 和u c 1 ( 虿) 则存在大 于零的常数c ，矿，使得对所有满足1 k k 。= 格+ 扩的k ，我们有 ( 志肛酬广鲫( 志z l v 盯d p ) v 7 ， 协5 ， 这里u q = 如u 批 由逼近理论( 2 5 ) 显然能推广到函数u 彬1 ，k r ( 虿) 引理2 5 【9 】设，( t ) 是定义在o t 噩的非负有界函数若蜀亡 s 矗 时有 ，( ) a ( s t ) 一a + b + p ，( s ) ， 其中的a ，b ，q 和口 1 是非负常数则存在与q 和p 有关的常数c 。使得对任意满足 死p o ) ， 这就使我们有可能研究其在较弱条件下的可积性关于a 调和方程很弱解的定义是由 i 栅r i 8 ，i a n i e c 和s b o r d o n e 引进的，他们放松了解的可积性假设但正是由于d u 和 u 不具有适当的可积性，这样做可能会破坏解的性质，因此如何得到其解的高阶可积性 就成为个很重要的课题在文献【3 4 】中得到了研究，他们使用的是h o d g e 分解的方 法而j l l e w i s 在 5 】使用另个方法得到了相似的结果 虽然对加权s o b o l e v 空间早就有了研究并有一系列结论f 4 ，约一，但对于在加权 s o b o l e v 空间中相应很弱解的结果却极少， h y j i a ，l y j i a n g 在【3 1 】做了一些先驱 性的理论工作，使我们有可能考虑加权a 调和方程很弱解的性质 本节，我们讨论加权a 调和方程的解的正则性问题，结果为下面的定理： 定理3 1 若u 是m u c l 汜n h o u p t 类a 1 双权函数，则存在满足，- 1 ，l p 的 r 1 = r 1 ( 入，n ，p ) p 使得每一个很弱解u 彤( q ，t t ，) 都属于嵋翟( q ，伽) 也就是说珏 是加权意义下( 1 2 ) 的弱解 证明设u 是m u d 【e n h o u p t 类a 1 双权函数并设“= ( q ，叫) ，m a x 1 ，p 一1 ) r p ，是( 1 2 ) 的很弱解对任意满足2 qc cq 的方体，取截断函数叩舔。( 2 q ) ， 使得叩满足o ，7 1 。iv7 7 i 掣且在q 中叩三l ，其中r 是q 的边长考虑 iv ( 叩( u c ) ) i r - pv ( 叩( u c ) ) 口( r - 舛1 ) ( 2 q ，叫) 的h o d g e 分解，其中c 是待定常数 由引理2 2 得 iv ( 叩( u c ) ) i 卜pv ( 叩( u c ) ) = v 妒+ 日， ( 3 1 ) 这里日是散度自由量且下面的估计 i lv 妒i i 驴( r 一升t ) ( 2 q ，埘) 以p ( 叫) 7 i lv ( 叩( 乱一c ) ) i i ；隧删) ，( 3 2 ) i | 日i i l r ( ，一p + ，) ( 幻， ) c 如( t l ，) 7 i p r 川v ( 7 7 ( t 一c ) ) i i ；瞄 ) ( 3 3 ) 成立 如果我们令 e ( 叩，t ) = iv ( 叩( u c ) ) i r - pv ( 叼( t i c ) ) 一l ，7vu l r p 叩vt i ， 由 8 】的一个初等不等式 忧r x i y i 叶y i 竿掣l x y 1 1 - g ，o l ，五y 舻， 我们有 阮训帮c ) v 科1 由定义1 2 和公式( 3 1 ) 得 ( a ( z ，v u ) ，iv 向( u c ) ) l r _ pv ( ，7 ( t 上一c ) ) ) d z = ( a ( z ，v t ) ，日) 如 ，n- ，n 结合e ( 刀，t ) 的定义我们可推出 厂( a ( z ，v u ) ，l 叩vu i r p 叼vu ) 出 ：7 ( a ( z ，v t i ) ，e ，u ) ) 出一 ( a ( z ，v u ) ，日) d z ( 3 4 ) 2 上( a ( z ，v t i ) ，e ( 叩，u ) ) 出一上( a ( z ，v u ) ，日) 如 4 = j 1 2 + 下面我们用条件( i i ) 估计上述不等式的左侧， 上似( z ，v u ) ，l 叩vu l r - 彻v 牡) 出q 么lv u 1 7 咖( 3 5 ) 右侧的l 五i 用条件( i ) 、h 6 l d e r 不等式以及( 3 3 ) 和y o u n g 不等式得 川= 睁删i p ，、lv u l p _ 1 1 日i 咖p ovu l i 瑞q ，叫) 1 1 日i l l r ( r - p + - ) ( 2 q ，坩) - ，2 q c 4 ( 加) 7 卢旧一r 川vu i i 务己q ，伽) i iv ( 叩( u c ) ) i l ；乐h 埘) c 4 ( 伽) 7 卢一r ) c ( ) i ivu i l 2 ，( 2 q ， ) + i iv ( 叩( 仳一c ) ) 1 1 2 ，( 2 q ，叫) 】 取c = t 2 q ，k = 者和r = 景= 照竽再次使用y 1 0 衄g 不等式并由引理2 4 得 0v0 ( t ， 2 r _ 1 ，2 q 1f 2 r 1 ，2 q - c ) ) 1 1 2 r ( 2 钿) _ 厶i v ( 咖一c ) ) | r 舡 ( 1 7 7vu l r + l ( t 一c ) v ，7 l ) d p ( 3 6 ) l v 批+ 高嘉( 厶iv 讣“w ) 叫协。 因此 l 五l 鸣( 叫) 7 ( p r ) c ) iv “1 7 咖 ，加， + c 如( t l ，) 7 2 r _ 1 p r ) s lv 仳i r d 丘( 3 7 ) + 笆秽( 乙lv 炉w n 批) 吖协。 。 p ( 2 q ) 1 ( 竹o )- 2 q 川叫 接下来我们估计i j l 2 1 我们可以取r 充分接近于p 使得竺铲 2 成立因此有 = i 厶( a ( z ，驰) 似叩) l 2 p 厶i v 仳i p _ 1 i ( 一c ) v 计卅1 啦 2 p | iv u i i 筘乞q 一) i i ( u c ) v 叩i i ；忑h 埘) p l lvu | l z r ( 2 q ，伽) + c ( ) i l ( “一c ) v 叩i i z r ( 2 q ，埘) 再次使用引理2 4 我们得到 l i ( u c ) v 训z r ( 2 q ， ) ( 厶iv 州州w ) 吖。 故 洲v 训玩2 咖，+ 茄( 厶lv 讣“w ) 吖n 。 ( 3 8 ) 把( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 7 ) 和( 3 8 ) 联合起来得到 厂iv 训r 批 j q 怖州 妒 珂 妒 w 旧l 咖 小小蒜 。巾叫面 吖 p 五 舡”吩器忡 雄q陟竺砸旧 奶一似厂叼嚣笔私 取t 充分接近p 并且s 足够小，以致于p = 鸥( ) 1 鲁( p 一，) c ( ) + 鸣( 叫) 7 2 r 1 鲁( p 一 7 ) e + 鲁 ，使得ivt l l k ( q ，硼) 因为u 固定，r 1 r ，- ，iv 训确实属于玩( q ，伽) 也就是说，集合 ，即开又闭，因此，j 等于【7 ，纠又由s o b o l e v 嵌入定理知u 嵋2 ( q ，伽) 定理证毕 很弱解的极值原理 这一节我们证明加权小调和方程 d i v a ( z ，v u ) = o 很弱解的极值原理 我们首先给出下面的定义用给定的属于1 ，r ( q ，u ) ，1sr r 1 则相应的m d i r i c h l e t 边值问题( 4 1 ) 仅有0 解 0 i i 孔婶琚 以“出u ，、l 定理4 1 的证明若u ( z ) 是方程( 1 2 ) 的很弱解，则砂( z ) = u ( z ) 一m w 1 r ( q ，加) 同样亦是( 1 2 ) 的很弱解对任意的蝣r ( r 舛1 ( q ，t i ) 中的检验函数妒，有 ( a ( z ，v 口) ，v 矽) 出= o ( 4 2 ) 现令砂= l i n o ，口) 易证略r ( q ，叫) 现在对i v r p v 进行h o d g e 分解得 l v l r p v = v 砂+ i l ， 由引理2 2 我们可有下面的估计 i i 0 ，( r p + t ) ( n ) d ( 叫) 7 i ，- 一p i i l v 咖0 菇：) ( 4 3 ) 选择检验函数矽为孵倚一升1 ( q ，t ) 类函数，积分恒等式( 4 2 ) 变成 z 似( z ，v 吐i v r p v ) 如= 上( a ( z ，v 吐 ) 如 ( 4 4 ) 再设集合 x = z q ：t ，( z ) o ) ， 显然在集合x 上的梯度等于v t ，而在q x 上咖的梯度等于o ，选择这样的时 积分等式( 4 4 ) 等价于 上( 舴，v 吐iv 呻v 秽) 如= 上( ，v 咄九) 如jx jx 和第三节同理，利用条件( i ) 和( i i ) ，上述等式即为 q 上i v ”伽如p 上i v 卵- 1 伽出 由h 6 l d e r 不等式和( 4 3 ) 得 q 上l 吼如酬i 吼i i l 7 卜帅m ( 4 5 ) c p 4 ( 叫) 7 ( p r ) i v i r 训如 取7 1 r 1 ，那么p = 型必笋趔 1 ， 这样由( 4 5 ) 得到i i v u i b ( n ， ) = 0 ，从而推知在q 中( z ) = o 几乎处处成立这就意 味着在q 中m t ( z ) 几乎处处成立 一一 4 猩塑堡的极值原理 同理，用相同的方法得，在q 中u ( z ) m 几乎处处成立定理4 1 证毕 定理4 2 的证明由定理4 1 ，我们有t ( z ) 0 和t t ( z ) so 在q 中几乎处处成立 这就意味着t ( z ) = 0 在q 中几乎处处成立这就完成了定理4 2 的证明 结论与展望 a 调和方程和拟正则映射有密切而深刻关系，他们之间的性质可以通过其方程之间 的互相转化而得到，从而对小调和方程弱解的研究可以参透拟正则映射的某些性质， 因此使其成为当今的研究热点之一这篇文章继续讨论形如 d i v a ( z ，v u ( z ) ) = 0 的加权小调和方程在加权s o b o l e v 空间中的很弱解，这些结果可以看作是a 调和方 程的深入和推广由于文章考虑的是小调和方程的很弱解，其可积性条件有所减弱， 为克服证明中的问题，我们主要利用加权索伯列夫中的h o d g e 分解的一部作为检验函 数解决了其正则性不足的问题，同时使用弱逆h 6 1 d e r 不等式、y o u n g 不等式为工具， 得到了其很弱解的正则性和极值原理这些方法已经成为一个经典方法最后，作为极 值原理的一个简单应用解决了其相应的狄里克莱问题 值得注意的是，由于我们考虑的是其在加权s o b o l e v 空间中的情形，因此，包括 h o d g e 分解在内的许多经典结果不能直接使用，需把他们作相应的修改和调整，但这往 往都不是容易的，故此我们仅仅证明了a 1 权的函数的情形，其余情形有待进一步证明 和发现，很多经典结论也有待推导到加权空间 参考文献 【1 】m g i 瓤l u i n t a m u l t i p l ei n t e 留a 1 8i n t h ec a l c l l l 璐0 fv 撕a t i o i l 8a n dn o n l i n e a re u i p t i c s y s t e 瑚p r i n c e t o n ：p r i n c e t o nu n i v p r e s s ，1 9 8 3 【2 】d g i l b a r g ，n s n u d i n g e r e l l i p t i cp 龇t i a ld i 妇f e r e n t i a le q u a t i o 璐o fs e c o n do r d e r 3 r d e d i t i o n b e r l i n ：s p m g e r - v e r l a g ，1 9 9 8 【3 】t 1 w a n i e c ，g m a r t i n g e 燃n e t r i cn m c t i o n 皿蛾) r ya n d n l i n e 盯a n 8 l y 8 i s o ) 面r d ： c 1 a r e n d o np r e 略2 0 0 1 【4 】j h e i n o n e n ，t k i l p e l a i n 阻觚do m a r t i o n 0 n h e 村p o t e n t i a lt h e 0 盯0 fd e g e n e r a t e e l h p t i ce q u a t i o 璐o x f o r d ：c l a r e n d o n ，1 9 9 3 【5 】j l l 朗穗o nt h ev e 可，e a k8 0 l u t i o n s0 fc e r t a i n 出p t i cs ”t e i 璐c o m m p a r t d 赶 e q u ，1 9 9 3 ，1 8 ：1 5 1 5 - 1 5 3 7 【6 】h y g a 0 ，y y y ea n ds y x i e o nv e 盯w e a l 【s o l u t i o i l 80 fa h a r m o n i ce q u a t i o nw i t h v 唧w e a kb o u n d a r y 砌u 隗a c t a m a t h s c i 2 0 0 2 ，2 2 b ( 1 ) ：4 1 4 6 【7 】郑神州止调和方程组的部分正则性和拟正则映射数学年刊，1 9 9 8 ，1 9 a ( 1 ) ：6 3 - 7 2 【8 】t 1 w 锄i e c ，l m i 曲a c c i 0 ，l n a m a ，e ta 1 i n t e 铲a b i l i 锣a n dr e m 谳i l i t ) rr 器1 1 l t s 五d rq u a s i - r e g u l a u rm 印p i n g si nh i g hd i m e 瑚i o 璐m a t h s c 锄d ，1 9 9 4 ，7 5 ：2 6 孓2 7 9 9 】m g i a q l l i n t a ，e g i u s t i o nt h er e g l l l 撕匆0 ft h em i n i i n a0 f 啪i r i a t i o n 8 li n t e 口a l s a e t a m a t h ，1 9 8 2 ，1 4 8 ：3 1 4 6 【1 0 】n m e y e r s ，a e l c r a t s o m er 骼u l t 8o nr e g u l 撕锣f o rs o l u t i o n s0 fn o n n n e 壮e l l i p t i cs y s t 咖 a n dq u a s i - r e g u l a u r 劬c t i o 璐d u k em a t h j ，1 9 7 5 ，4 2 ：1 2 1 - 1 3 6 【1 1 】y g 胝h e t n y a k s p a c em 印p i n 黟w i t hb o u n d e dd i 8 t o r t i o n n a n s m a t h m o n f 印h s ， a m e r m a t h s o c ，7 3 ，1 9 8 9 1 2 】t 1 w a n i e c ，c s b o r d o n e q u a s i r e g u l a rm 印p i n gi ne v e nd i m e n s i o n s a c t a m a t h ，1 9 9 3 ， 1 7 0 ：2 9 - 8 1 1 3 】郑神州双特征的b e l t r a i n j 方程和拟正则映射数学学报，1 9 9 7 ，4 0 ( 5 ) ：7 4 5 - 7 5 0 【1 4 】t 1 w a i l i e c p h a r m o i l i ct e 璐o r sa n dq u a u s i r e g m a rm a p p i n 伊f j 】，a n n 0 fm a t h ，1 9 9 2 ，1 3 6 ： 5 8 9 - 6 2 4 17 1 5 】高红亚，吴泽民关于双特征b e l t r a 血方程数学物理学报，2 0 0 2 ，2 2 a ( 4 ) ：4 强4 4 0 【16 】m a b r a k a l o 、，a ，j a j e n l 【i 璐o n8 0 l u t i o 璐0 ft h eb e l t r a 血e q u a t i o n j a n a l m a t h ， 1 9 9 8 7 6 ：6 7 - 9 2 【1 7 】h y g ，y m c h u 觚dl x s 蚰i 1 1 r c h a r a c t e r i s t i cb e l t r a m i8 y s t 锄i ne v 吼 d i m e 璐i o 璐( i ) ：p h a r m o i l i ce q u a t i o n k y u n g p o o km a t h j 2 0 0 7 ，4 7 ：3 1 l 一3 2 2 【1 8 】h y g a 0 o nw e a l 【l yq u 嬲i r e g i l l a rm 印p i n 铲i nh i g hd i m e n s i o n r a d 硎m a t e m a t i 亡瓯 2 0 0 2 1 1 ：2 9 - 3 5 【1 9 】o m a r t i o p 盯t i a ld i 脑e n t i a le q u a t i o 璐柚dq u 鹪i r e g l l l a rm 印p i n 铲l e c t u r en o t 船i n m a t h e m a t i ，s p r i n g e 睁、研l a g ，1 5 0 8 ，1 9 9 2 【2 0 】高红亚弱拟正则映射的若干性质数学学报，2 0 0 2 ，第4 5 卷，第1 期t 9 l 一1 【2 1 】高红亚弱( j h ，j 幻) - 拟正则映射的正则性中国科学( a 辑) ，2 0 0 3 ，第3 3 卷，第1 期t 8 3 8 8 【2 2 】t 1 w 强i e c ，p k o s k e l a 姐dj o n n i n 钮m a p p i n g so f 丘n i t ed i s t o r t i o n ：m o n 砒o i l i c i 蚵a n d c o n t i n u i 够i n v e n t m a t h ，2 0 0 1 ，1 4 4 ：5 0 7 - 5 3 1 【2 3 】j k a u h a n e n ，p k 0 s k e l aa n dj m a l y m 印p i n g so f6 n i t ed i s t o r t i o n ：抵c r e t e n e 鹃觚d o p e n n e s s a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，2 0 0 l1 6 0 ：1 3 5 - 1 5 1 【2 4 】s h e n d ，j m a l y m a p p i n 9 8o f6 n i t ed i s t o r t i o n ：h a u s d o r f fm e a s u r eo f 舱r os e t s m a t h a n n ， 2 0 0 2 3 2 4 ：4 5 1 4 6 4 【2 5 】t 1 w a n i e c ，p k 0 s k e l a 衄dg m 盯t i n m a p p i n 铲o fb m 0 - d i s t o r t i o n 肌db e l t r 鼬i 毋p e o p e r a t o r s j a n a l m a t h ，2 0 0 2 ，8 8 ：3 3 7 3 8 1 【2 6 】p k o s k e l a ，j m a l y m 印p i n 铲o f 丘n i t ed i s t o r t i o n ：t h e 跹r os e t0 ft h ej a c o b i 锄j e u r m a t h s c 0 ，2 0 0 3 ，5 ：9 5 1 0 5 【2 7 】j k a u h a n e n ，p k o s k e l a ，j m a l y e ta 1 m 印p i n 9 8o f 丘n i t ed i 8 t o r t i o n ： s h a u r p0 r l i c z - c o n d i t i o n s r e v m a t i b e r o 锄e r i c 衄a ，2 0 0 3 ，4 9 ：8 5 7 - 8 7 2 【2 8 】t 1 w a n i e c ，p k o s k e l a ，g m a r t i n ，e ta 1 m 印p i n 鄂o fe x p o n e n t i a l l y 砒e 铲a b l e 幽t o r t i o n ： l nl i 昭n 厶i n t e g r a b i h 够j l 0 n d o nm a t h s c 0 2 0 0 3 ，( 2 ) 6 7 ( 1 ) ：1 2 孓1 3 6 【2 9 】d f a r a ，p k o s k e l aa n dx z h o n g m 印p i i l g so f 丑n i t ed i s t o r t i o n ：t h ed e g r o fr e g m 撕够 a d v a n c e si nm a t h 2 0 0 5 ，1 9 0 ：3 0 m 3 1 8 【3 0 】e m s t e i n h a r m o n i ca n a l y s i s ：r e d 、，a 丽a b l em e t h o d s ，o r t h 0 9 0 n a j j 够趿d0 8 c i l l a t o 呵 i n t e g r a l 8 p r i n c e t o n ：p r i n c e t o nu n i v p r e 鼹，1 9 9 3 【3 1 】h y j i a ，l y j i a