（应用数学专业论文）变分原理在椭圆型方程中的应用.pdf

哈尔滨稃人学硕十学竹论文 摘要 目前，物理学、生物化学等学科的实际问题均可以通过方程来研究因此 本文选取了两个具有实际意义的椭圆型方程： j a i v ( i v “r v “) = m ，“) ，x q ( 1 - 1 ) l z f = o ，x a q 与 j d i v ( 口( 刚9 ) m p - 2 v “) = 矽( 训) ，x e q( 1 2 ) 【u = o ，x a q 利用变分原理来研究它们具有无穷多个广义解 对于方程( 卜1 ) 中的函数f ( x ，7 2 ) 不满足p a l a i s s m a l e 条件，因此不能 运用传统的方法证明方程解的存在性本文使其满足较弱的c e r a m i 限制条 件，通过临界点理论中对称形式的山路引理得到了方程具有无穷多个广义解 对于方程( 卜2 ) ，形式更为复杂也更具有研究价值当函数满足经典的 p a l a i s s m a l e 条件时，得到方程同样具有无穷多个广义解本文通过两种不 同方法研究了两个相似的椭圆型方程的多解性，为其它相近学科研究这两类 方程提供了不同的理论依据 最后，本文以非线性量子力学和毛细现象中的两个方程为例，将所研究的 理论应用于实际 关键词：变分原理；广义解；c e r a m i 条件；p a l a i s s m a l e 条件 哈尔滨t 稗人学硕士学付论文 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h ea c t u a lp r o b l e m so fp h y s i c s b i o c h e m i s t r ya n do t h e r s u b j e c t sc a nb es t u d i e db ye q u a t i o n s s ot h i st h e m sc h o o s e st w o e l i i p t i ce q u a t i o n sw i t ha c t u a lm e a n i n g ： j d v ( i v “l 一2 v 甜) = 厂( x ，z ，) ，工q i 甜= 0 ，x 施 a n d j d i , ( a ( v 甜i v 甜i ”2 v u ) = ( 五甜) ，z o i 甜= 0 ，x 魂 u s i n gv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t h ep a p e rh a st h ec o n c l u s i o nt h a tt h e t w oc l a s s e so fe q u a t i o n sh a v ei n f i n i t es o l u t i o n s t h ef u n c t i o n f ( x ，“) o ft h e f i r s te q u a t i o nd o s en o t s a t i e t y p a l a i s - s m a l ec o n d i t i o n ，s ot h i st h e s i sc a n n o tu s et r a d i t i o n a lm e t h o d t op r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s t h i st h e s i sm a k e st h ef u n c t i o n f ( x ，“) s a t i e t yw e a r e rc o n d i t i o n - - c e r e m ic o n d i t i o n ，u s i n gs y m m e t r i c v e r s i o no ft h em o u n t a i np a s st h e o r e m ，a n dt h e nt h i st h e s i sa c q u i r et h e c o n c l u s i o nt h a tt h ef i r s te q u a t i o n sh a v em u l t i p l es o l u t i o n s f o rt h es e c o n de q u a t i o n ，i t sf o r mi sc o m p l e x ：f u r t h e r m o r e 。i ti s w e l lw o r t ht ob es t u d i e d t h i st h e s i sm a k e st h es e c o n df u n c t i o n f ( x ，u ) s a t i e t yp a l a i s - s m a l ec o n d i t i o n ，u s i n gt h em o u n t a i np a s st h e o r e m ，a n d t h e nt h i st h e s i sa c q u i r et h ec o n c l u s i o nt h a tt h es e c o n de q u a t i o n sh a v e i n f i n i t en u m b e ro fs o l u t i o n s t h r o u g ht w od i f f e r e n tr e s e a r c hm e t h o d s o fi n f i n i t es o l u t i o n st ot h es i m i l a re l l i p t i ce q u a t i o n st h i s t h e s i s p r o v i d e sd if f e r e n tt h e o r yb a s i cf o rt h es i m il a rs u b j e c tr e s e a r c h e so n t h e s et w oc l a s s e so fe l l i p t i ce q u a t i o n s f i n a l l y ，t h i st h e s i se n u m e r a t e st w oe 1 1 i p t i ce q u a t i o n sa b o u t 哈尔演i 稃人学硕十学付论文 n o n l i n e a rq u a n t u mm e c h a n i c sa n dc a p i l l a r i t y ，a n dt h e n t h i st h e m s a p p li e st h ec o n c l u s i o nt op r a c t i c e k e y l r o r d s ：v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ：g e n e r a l i z e ds o l u t i o n s ：c e r a m i s c o n d i t i o n ：p a l a i s s m a l e sc o n d i t i o n ： 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) 磋丕塾芝 日期：加- 年垆月口日 哈尔演t 程大学硕卜学位论文 第1 章绪论 1 1 泛函分析中变分方法简介 非线性泛函分析综合地运用分析、代数和几何的观点和方法，研究分析 数学、现代物理和现代工程技术提出的许多问题非线性泛函分析的根本任 务，是解决具有分析学结构的无穷维空间之间各种算予( 映象) 方程的求解 问题，。包括存在性、唯一性、连续依赖性以及构造性和计算性等问题自然科 学和工程中提出的许多实际问题的数学模型大都可以用各类方程来描述，所 以对各类方程高度概括为抽象方程的研究更具有一般性在对各类抽象方程 的研究中，非线性泛函分析是有力的数学工具，在非线性泛函分析中研究的 非线性算予方程解般在大范围内并非唯一，因此处理这样的多解问题，用 非线性泛函分析作为理论工具最为合适，它能够发挥其它方法不能替代的作 用 变分原理是非线性泛函分析中重要的分支变分问题有着极为丰富的源 泉，从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的运动规律都遵从“变分原 理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的e u l e r 方程因此，求 这些e u l e r 方程的解便化归为寻求对应泛函的临界点，我们把这一方法称为 “变分方法”值得注意的是，有时由于实际需要必须将所讨论的区域扩大， 从而得到的解不一定在古典意义下满足方程，即我们只能得到边值问题的弱 解不过，通过细致的分析，往往可以得到弱解的光滑性，甚至就是古典解 确定泛函l 临界点的方法有多种，极小极大原理便是其中的基本手段之一，而 山路引理和它的各种推广是一类极小极大定理，也是极小极大原理的一种具 体化这种具体形式在应用中比较方便，所以近年来在微分方程的研究中起了 重要的作用 近年来，由于非量子力学、非n e w t o n 流体力学、人口动态学、多空媒 质中的气体渗流和晶体的形成等方面出现的一些问题，可以用具有变分结构 的拟线性椭圆方程进行描述因此本文选取了两个椭圆方程，利用非线性泛函 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 分析中的理论研究这两个方程在有界域中解的存在性和多重性 1 2 问题的研究现状 ， 本文研冤如f 椭圆方程( 卜1 ) 的多解性及拟线性椭圆方程( 卜2 ) 的解的 存在性及多重性 一讲v ( 刚”2 v 甜) = 厂( 圳) ，x q ( 1 - 1 ) 【u = o ，x 孢 与 一d i v ( 口( i v ! l ) l v “i - 2 v u ) = 矽( x ，“) ，x q ( 1 - 2 ) 【u = o ，x e 试2 此类方程的研究已经有很多结果，下面简单介绍一下其发展情况 一 文献 1 是非线性泛函分析的经典书籍，其中郭大钧研究了二阶半线性椭 圆型算子的d i r i c h l e t 问题： 。”，竺，x q ( 1 - 3 ) l u = 0 x 铀 其中q 是r ”( 2 ) 中有界锥形区域如果满足下列条件： f ：f ( x ，“) q ， u 0 ，2 ：存在0 口 o ，使 f ( x ，“) = ff ( x ，) d r o u f ( x ，“) ，v i “i m f ( xf ( xv ) d vo u f ( x m ，x q ，“) 2j ： ， ，“) ，v ，x q 只：下面两个极限式成立： 哈尔演t 程大学硕十学位论文 l i m ! 幽；o ，对x q 一致 l i m ! 型! ：佃，对x e q 一致 那么，o i r i c h l e t 问题( 卜3 ) 在空间联( q ) 中必有非零( 即不是零元素) 的广义解 若上述的只、疋、e 满足，并且满足 e ：f ( x ，u ) 是“的奇函数，即 f ( x ，叫) = 一f ( x ，) ，v x q ， 0 i l 并且存在厶 o ，使得 其中 如舒r + 蜀乳1 + x ：吖 j ；l j = l k ( x ) 厶( q ) ，k i ，局0 , 0 f l z ” q ，l 一一 ，( x ) ，t 1j - l 其中 o ，m ( x ) 厶( q ) e ：存在， o ，鳓 p ，胁 p + ，其中p = 鹎妤 只 i s i h 使得 其中口2 0 ，口l ，口3 ，口4 0 并且 4 g、jg 甜 x ，l c 。一 v i ) x ( k一 目 j g 。一 4 盯+ ， “ 3 盯+ 2 盯一 “ 上鳓 一 、， p ， g 。一 ( 盯v i )g 甜x (巴 哈尔演t 程大学硕卜学位论文 口：( 工) = o ，9 k ( x ) d x + m ( 工) d xs o ，p p 那么，问题( 1 - 5 ) 存在非平凡解 在文献 3 中杨海欧，罗跃生对文献 1 中的方程进行了适当变形并且变 换了空间，研究了二阶偏微分方程 卜喜丢e 矧”2 菪+ 甜+ c 圳= o ，q 。嘞 i “= 0 ，x m 在吲，( q ) 空间中的解的存在性以及多重性其中q c r ”( j v 22 ) 是一个具 将文献 1 中的假设条件五交为：存在o s 口 0 ，使 f ( 工，“) = r f c x ，) 咖o u fx , u ) ，v m ，z q 同样证明了问题( 卜4 ) 在空间w ( q ) 中具有无穷多个广义解 i a p u = 兄e ( z ，v ) ，x q 一q 甜= x v , ( x , u ，力，x q ( 1 - f i ) l “= v = 0 ，x a q 哈尔演t 程人学硕 一学位论文 和v 是定义在6 上的属于某一函数空间的实函数，f 是定义在文r r 的实 函数，e 记为c 1 泛函，对甜的偏导数，是j p 一厶搬算子，定义为 一，村= 硪v d v “r v ”) 文中假设a ( x ) l i ( q ) ，正常数批，c 为正常数，而且 ， o 1 3 本文的主要工作 1 3 1 本文的思路 本文研究如下椭圆型方程( 1 - 1 ) 的多解性及拟线性椭圆方程( 卜2 ) 的 解的存在性及多重性 j 一咖( i v “r v 甜) = ，( 训) ，x eq (1-1) i “= 0 ，x a q 与 j d i v ( 口( 刚9 ) l v u i v 甜) = g f ( x , u ) ，x q( 1 - 2 ) i u = 0 ，x 讹 对于方程( 卜1 ) ，q 是r n ( n 2 ) 中的光滑有界区域，p = n p p 表示 空间嘲，9 ( q ) 嵌入到空间r ( q ) 的肋6 d 拓v 临界指数如果p n ，则令p = 记f ( j ，f ) = r 厂( z ，j ) a s ，善( x ，f ) = 厂( x , t ) t p f ( x , t ) ，关于非线性项 f ( x ，) 本文假设： e ：厂c ( n x r r ) 。 e ：”l i r a 。f 旷( x ，, t f ) = 。，对于x e i ) - - 致成立： 或者 使得 e 、l 。i m 。趔：，( o ，佃) 川t t i p - 2 ， 一7 忡l i r a f 旷( x , z t f ) = 佃，了q 帅m c 2 。 l f ( x ，f ) lsq + c ：旷1 只：f ( x ，- t ) = - f ( x ，f ) ，v ( x ，t ) q r5 e 。1 l i m 。f ( x ，) = + ，对于x e q 一致成立； e ：3 8 0 ，x 寸v ( x ，d f 2 x r ，j 【o ，1 】，有管o ，f ) 手( 墨肼) 那么，方程( 卜1 ) 存在无穷多解 众所周知，寻找方程( 1 1 ) 的弱解可以归结为求定义在w ，( q ) 上的泛 函 ，( “) = 吉量i v 材1 9 疵一上f ( z ，却) 斑 的临界点 由e 、最可知f ( x ，0 ) s 0 ，因此u = 0 是方程( 卜1 ) 的一个平凡解在 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 的著作中，对于p = 2 的情形，他在， ，r ) 满足超线性、 次艋界增长以及口固条件下得到方程( 1 一1 ) 多解的存在性其中，“r ) 条 件的作用是保证方程( 卜1 ) 对应的能量泛函的所有p s 序列都有界，这对于 变分方法是十分重要的 由于本文没有( a r ) 条件，不能像通常那样得到能量泛函i 的( 尸s ) 序列的 有界性，去证明( p s ) 条件，这为运用临界点理论造成了困难。为了减弱条件， 本文证明了能量泛函，满足c e r a m i 条件而c e r a m i 条件同样使得c l a r k 定理 和对称形式的山路引理成立 对于方程( 卜2 ) ，其中qcr ”( 2 ) 是一个具有光滑边界的有界区域， 1 1 ) 上定 义范数k = ( i v “1 9 d x ) i g ( q ) 表示q 上具有紧支集的光滑函数的全 体 令 4 ( r ) = r 口( s ) a s ，f ( 刈) = i ：，( x ，t ) d s 显然，方程( 卜2 ) 的弱解可化归为求下列泛函： ，( “) = 寺l 一( i v “1 9 ) 出一五l f ( x ，“) 出 在s o b o l e v 空间w o ，( q ) 中的i 临界点 本文假设： 只：映射，一口( ，) = a o ，t 0 ，使彳( f ) c o t ，v t o 和口( j ) t ，v s 0 只：存在常数吼6 。，以及l q p ) ，使得加。出，y 函 f ( x ，t ) ( xeq ，ter 1 ) 满足i 厂( x ，f ) i 0 ，使得口 o ，导) 其中，t 是( 2 ) 中的常 口 9 数，使，f ( x ，f ) = r 厂( x ，t ) d s o t f ( x ，f ) 当h 肘，x q 时 引鳃铲一o ，咖曲嘲妣 e ：牌铲一，对膳沪黜立 厅：f ( x ，一f ) = 一f ( x ，f ) ，v x q ，t r 1 可以证明方程( 1 - 2 ) 的解存在性以及多重性 1 3 2 本文的创新 本文通过c e r a m i 条件和，s 条件利用对称形式的山路引理研究了两个 椭圆型方程解的存在性以及多重性，最后将定理引用于实际 本文在研究方程( 1 - 1 ) 时，通过c e r a m i 条件对函数f ( x ，t ) 放宽了限制， 使方程更具有广泛性对于形式更为复杂的方程( 卜2 ) 本文通过p s 条件首 先证明了方程的解的存在性，其次证明了方程具有无穷多个广义解，这是本 文的创新之处 t 0 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第2 章吲，( q ) 空间 2 1 列，( q ) 空间与方程的解 2 1 1 纠，( q ) 空间 设p l ，我们用( q ) 表示经典的b a n a c h 空间，它是由q 上所有p 次 幂可积函数的全体所组成，其范数定义为 ， i ，= ( 拈1 9 a x ) i 当p = 0 0 时，用r ( q ) 表示q 上本性有界可测函数的全体这里，本性有 界函数是指和一个有界函数几乎处处相等r ( q ) 是b a n a c h 空间，其范数定 义为 帅，2 。n ，蕊。) i 设以v 是q 上的l e b e s g u e 删，口= ( ，口2 ，口。) 是重指数如果 对任何伊c 掣( q ) ，有 v c d x = ( 一1 ) 忙il 伊出 则称v 是u 的第1 次弱导数，记v = a 4 ”如果对所有的重指数 a , l a l k , a “存在，则称“在q 中是七次弱可微的q 中所有膏次弱可微函数 的全体记为( q ) 让 w k p ( q ) = 0 w ( q ) p 甜l p ( q ) ，i c t l 0 ，s o ) 设，g ，f = 1 , 2 ，甩是q 上的可积函数，我们说q 上的弱可微函数“是 l u = g + d , f z - i 的弱解，是指对任何v = q ( q ) ，有 1 ) 是自反的b a n a c h 空间，并且c ”n ( q ) 在 w k , 9 ( q ) 中稠密，其中c 。( q ) 表示q 中无穷次可微函数的全体 s o b o l e v 嵌入定理“】 引理2 3 设q 是r ”中的有界区域，则 ( 1 ) 如果勋 n ，则 j l 附9 ( q ) cl u - * ( q ) ( 2 ) 如果0 s 肌 七一生，贝0 p 略9 ( q ) cc “( q ) 进一步，存在常数c = c ( n ，p ，t a ) 使得对任何“吲9 ( q ) ，有 ( 1 ) 当印 n 时，有 声- c u u l l 砂懈， ( 2 ) 当o 坍 | i 一生时，有 p i 卜8 。j ，c l ul i ，。， 引理2 4 设q 是r ”中的有界区域，则嵌入映射i ： ( 1 ) 如果印 ，g 尚则 附9 ( q ) 口( q ) ( 2 ) 如果0 s m 露一丛，则 p 时9 ( q ) _ c ”( q ) 是全连续线性算子 引理2 5 ( w “，( q ) 的紧嵌入) 设q 是r “中的一个区域，q 。是q 的有界予区域，是q 与r ”中的一 个k 维超平面的交，所是整数且_ ，芝o ，m 1 ，p 是实数，1 p - i - 0 0 ，则 ( 1 ) 如果q 具有锥性质且m p n ，则下列嵌入是紧的，记为c c ： w + m ，9 ( q ) c c 矿柙( q ：) ，o n m p 七s ，l g n w j + m p ( q ) c c c y a ( 砜m p ( 所一1 ) p , o 0 h 4 ”i t p - 2 t 使得 i 厂( x ，f ) i c l + c 2 i 1 州 只：f ( x ，- t ) = 一f ( x ，f ) ，v ( x ，t ) q r ； e ：, l i m e 0 ，v ( x ，t ) q r ，s 【0 , 1 】，有鳄( x ，t ) f ( x ，s t ) 众所周知，寻找方程( 卜1 ) 的弱解可以归结为求定义在列，( q ) 上的泛 的临界点 3 1 1c e r a m i 条件 ， ) = 刍l v “i 出一f ( x ，“) 出 定义3 1 设e 是b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r ) ，如果存在c e r ，对任意的 缸。 c e ，当，( “。) 一c ( 行一o 。) ，o + 1 1 舻矿( ) k _ o 斗m ) 时，函。 存 在收敛的子序列，则称，满足( c ) 。条件这里，是e 的对偶空间e + 的范数 令 f = 每er y e t ( q ) 删l - 嘲“忙( l v “1 9 出) i ”。鳞f 1 。，器 睁。 是( 一。，形0 l ( q ) ) 的第一个特征值，仍 o 为其所对应的特征 吼= 以y 纠- ( q ) ，研v , d i m v k 七 1 9 护i n f s u 帅p ，特= 毗i n f 黑，赤z ， 其中， 五是( 一a 。，。( q ) ) 的第七个特征值 引理3 1 如果f ( x ，t ) 满足e f 4 ，那么 ( i ) 若， 佃不是( 一。，w 。( q ) ) 的特征值，则，( 甜) 满足e 条件， c r ( i i ) 若z 0 ，有。8 c o 成立即 ( i ) 若0 ， o ， q o = 土q ：w ( x ) = o ， ( 3 2 8 ) q 一= 缸q ：以x ) 0 ，当l “ - 7 0 ，x q 时， 善( x ，t ) = f ( x ，t ) t p f ( x ，f ) 0 于是3 c = c ( 瓦) 0 ，有+ c 0 ，且 k 【厂( 圳。) “。一p f ( 圳一) 协2 一c ( 3 3 2 ) 当n p 时，令 苎 k = ( p c + c ) ( 2 舔) 9 ( 3 3 3 ) 其中m 是正常数，s 为s o b o l e y 常数，并且满足 ( 川9 出) 7 s l i v “i d x 吲9 ( q ) ( 3 3 4 ) 再由只 3 t = 丁( 足) r o 0 2 4 有 令 f ( x ，t ) t p f ( x ，t ) 2 k ，其中t k ，x q ( 3 3 5 ) 4 ，= & q ：l u 。( x ) l r 玩= 扛q ：l u 。( x h 丁 由( 3 3 ) 、( 3 5 ) 、( 3 - 3 1 ) 、及( 3 - 3 4 ) 有 p c + 。( 1 ) = l t s ( x , u n ) “。一p v ( x , u ) 】出 ( 3 - 3 6 ) l 陟( 圳。) u n - p f ( x ，u n ) 协一c 。 ( 3 3 7 ) k h j _ c 。 另一万皿，由( 3 3 ) 、( 3 5 ) 得 ( 刍一如。1 1 9 一n 即以) 一吾m 心h 协= c + o ( 1 ) 由，的连续性和q 的有界性可知， 3 c = c ( n ，f ，r ) 使得 m ，一号似以，出| c ，v z q 雕- 由( 3 - 3 6 ) 、( 3 3 7 ) 可得 c + d ( 1 ) ( 刍一， - ) i i i i p - - c - m ，一号m 以) 坶 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 哈尔演t 程大学硕十学位论文 ( 古劫 i p - c 一半i i 训i i ( 竿+ d ( 1 ) ) 嚣( 3 - 。) 将公式( 3 - 3 2 ) 代入不等式( 3 3 9 ) 中可得 删) 2 警帆一半忆旷志删) 号 2 铮旷一半9 t 吉钆删 = 筹i l l i p - c 一半1 1 吖i i 【去+ d ( 1 ) 】 = 筹慨l i p - c 一亟亏竽o ( 1 帆1 1 9 即 c + 。( 1 ) r 2 - p ，p 。i “。l i t _ c 一二二j 蓦；丝。( 1 ) 0 。1 1 9 ( 3 4 1 ) 不等式( 3 - 4 1 ) 意味着函。 在w o ，( q ) 中有界 于是，存在c o ，使得慨1 1 o i i l - * 一t l p - 2 t i f ( x ，t ) i - 五时， 哈尔滨t 程大学硕 学位论文 ( i ) 如果，( ，佃) ，且不是( 一a ，w0 1 9 ( q ) ) 的特征值，则 方程( 1 - 1 ) 至少存在k 对非平凡解： ( i i ) 如果， 0 使得 i 厂( x ，t ) i ，则了占 0 ，有 l 一 h 由公式( 3 2 ) 知，存在k 维子空间e k 哌，使得 ( 3 4 5 ) 缸s u 。p ；f 严i i 。赤以+ 三 ，一鲁 c 3 4 6 ， 缸n ；丽。j i i 而s 以+ i 扣渺i 州 ( 3 - 4 9 ) 因此，对于甜e k ，= r ，有 m ) = 告r ，一l f ( 圳) 出 p 划 上pr ，一工i 盯f ( x ，“) 出一c ( m ，q ) ( 3 5 0 ) 1 “l 埘 由公式( 3 - 4 8 ) ，不等式( 3 5 0 ) 可以变形为 m ) 三p n 生p m 威- c ( 邶)劓 圳【上p 一生p ( 眇 c ( 岫) 。k 幽p ，一姜m ， 仔。， ，一兰 由公式( 3 5 1 ) 可得，存在足够大的r 0 ，当r r l 时，( “) 0 ，使得 ， l ，( x ，f ) l 2 1 ， p - i v o h 0 ，使得 ( 3 5 5 ) 即出s 专肛1 p + c 4 i i q , v u e 列。q ) 5 6 ) 由公式( 3 4 2 ) 、( 3 5 6 ) 可得 地) 去肛i i p - - c 4 陋i i q , v u 吲1 q ) ( 3 _ 5 7 ) 因为q p ，由公式( 3 5 7 ) 即知存在充分小的p 0 ，使得 疆2 口 o ，即地) l 睥口 3 5 8 其次证明满足引理3 2 中的条件 对e 的任何有限维子空间b ，令x = 砖，则e = e m 。x ，且，0 h 以 o g 所以，引理3 3 中的，。成立 根据( 3 1 ) 中 的定义，v k 1 ，存在七维予空间e k ， 由公式( 3 - 4 6 ) 有 m t 时，有 哗 以+ l 那么，若“色，j r ：足够大时，当1 1 1 j - r r ：，有 即满足引理3 3 中的厶 地) 等”等1 - c ( 忑哪o p + j 综上所述，定理3 1 证明完毕 3 2 本章小结 ( 3 6 0 ) 众多学者在研究相关问题时，使f ( x ，t ) 满i f ：( a r ) 条件，即i z p ，r 0 ， 使得x q ，h r j0 ( x ，j ) ，( x ，s ) s ( 爿r ) 条件的作用就是保证方程 ( 卜1 ) 对应的能量泛函的所有( 尸s ) 序列都有界，从而应用山路引理和极大 极小原理来得到泛函的临界点的存在 由于本文没有( 彳r ) 条件，不能象通常那样得到能量泛函，的( 船) 序列的 哈尔滨t 程人学硕i ：学位论文 有界性，从而去证明( p s ) 条件，这为运用临界点理论来求相应泛函的临界点 造成了困难为了减弱条件，本文证明了能量泛函，满足定义3 1 中的c e r a m i 条件而c e r a m i 条件同样使得c l a r k 定理和对称形式的山路引理成立最后， 本文从特征值入手证明了结论 哈尔滨t 程大学硕i 学位论文 第4 章一类拟线性椭圆方程解的存在性及多重性 4 1 解的存在性与多解性 本章研究一类拟线性椭圆方程解的存在性以及多解性 j 一咖( i v 俐v ”r v “) = ( 础) ，x eq ( 1 2 ) i “= 0 ，x a q 其中q c r ”( 2 ) 是一个具有光滑边界的有界区域，l 1 ) 上定义范数 l = ( l i v 甜l d x ) i ，c 孑( q ) 表示q 上具有紧支集的光滑函数的全体 令 爿( r ) = ra ( s ) d s ，f ( 石，f ) = i ：厂( 工，t ) a s ( 4 1 ) 显然，方程( 卜2 ) 的弱解可化归为求下列泛函： ，( “) = 吉爿( i v “1 9 ) 出一名l f ( x ，) 出 ( 4 2 ) 在s o b o l e v 空间喇( q ) 中的临界点 本文假设： e ：映射，寸b ( r ) = a ( i r l 9 ) 是严格凸的 最：存在常数c o 0 ，t 0 ，使爿( f ) c o f ，v t o 和口( s ) r ，v s 0 e ：存在常数口，6 。，以及l 0 ，使得0 o ，耳) 其中，t 是易中的常数， 口。 f ( x ，f ) = f ( x ，t ) d s o t f ( x , t ) ，当l t l - m ，x q 时 e ：嘞铲一o ，她q 一致成立 e ：姆铲帆q 一致成立 e ：f ( x ，- t ) = 一f ( x ，r ) ，v x q ，t r 1 4 1 1 p a