（应用数学专业论文）四阶半线性抛物型方程组的混合体积元方法及其数值模拟.pdf

一一 些奎堕薹奎兰堕主堂垡堡塞 一 _-_-_-_-_-_-，_一一一 四阶半线性抛物型方程( 组) 的混合体积元方法 及其数值模拟 纪维强 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 本文我们采用混合体积元方法求解四阶半线性抛物型方程( 组) 的初边值问 题，得到了该类问题在半离散和全离散下的误差估计 第一章考虑四阶半线性抛物型方程 a ) b ) c ) 饥+ a 2 u = l u l p ， u ( x ，0 ) = u o ) ， 仳= 0 ，翥= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，卅 z q ( z ，t ) a q 【0 ，卵 在矩形网格剖分下的混合体积元方法本章中我们给出四阶半线性抛物型方程的混 合体积元格式，借助于构造椭圆投影，得到了未知函数的最优日1 模误差估计，并 得到了其涡度的l 2 模误差估计结果 第二章我们考虑四阶半线性抛物型方程组 a ) 4 - a 2 让= i u i p ， ( z ，) q ( 0 ，刁 b ) 仇4 - a 2 口= l l p ， ( z ，亡) q ( 0 ，刁 c ) u ( z ，0 ) = 牡o ( z ) ，v ( z ，0 ) = v o ( x ) ， z q d ) u = 舞= 0 ，u = 赛= 0 ， ( z ，t ) a q 【o ，卵 针对上述两个方程的耦合，我们讨论了其半离散和全离散混合体积元格式，得到了 两个未知函数的最优日模误差估计，并得到了各自涡度的l 2 模误差估计结果 1 山东师范大学硕士学位论文 2 第三章我们给出数值算例，说明了混合体积元方法的有效性 关键词：半线性抛物型方程，混合体积元方法，椭圆投影，误差估计，数值模拟 分类号：0 2 4 1 8 、 m i x e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d f o r4 一o r d e r s e m i l i n e a rp a r a bo l i ce q u a t i o n s a n di t sn u m e r i c a l s i m u l a t i o n j i w e i q i a n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c ，s h a n d o n gn o r m a l u n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 14 ，p r c h i n a a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h em i x e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rt h e4 o r d e rs e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t ht h ei n i t i a l - v a l u ep r o b l e m s ，a n do b t a i n e d t h ee r r o re s t i m a t e so fs e m i d i s c r e t ea n d f u l l yd i s c r e t es 0 i u t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w ec o n s i d e rt h em i x e dc o v o l u m em e t h o df o rt h ef o u a w i n g 4 - o r d e rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n 饥+ 2 u = l 牡l p ，( z ，t ) q ( o ，刃 乱( z ，0 ) = 咖( 2 ) ， u = 0 ， 8 0 _ u n u = 0 ， z q ( z ，亡) a q 0 ，邪 w e g i v et h em i x e df i n i t ec o v o l u m ee l e m e n ts c h e m ef o rt h e4 o r d e rs e m i 1 i n e a rd a r a b o l i ce q u a t i o n ，a n do b t a i n e dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o ru n k n 0 v 矿nf u n c t i o n i n 日1 n o r m s ，a n dt h ee r r o re s t i m a t e sf o rv o r t i c i t yi n 三2 一n o r m sb yi n s t r u c t i n gt h e e l l i p t i cp r o j e c t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n g4 - o r d e rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u 舡 t i o ng r o u p 地+ a 2 乱= t ，j p ， ( z ，t ) q ( o ，卵 v t + 2 u = j u p ， ( z ，亡) q ( o ，明 乱( 。，0 ) = 咖( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ， z q 牡= 赛= 0 ，秒= 器= 0 ( z ，亡) a q 1 0 , 刁 w ed i s c u s si t ss e m i d i s c r e t ea n df u l l y - d i s c r e t em i x e d f i n i t ec a i v o l u m ee l e m e i l ts c h e m e f o rt h e c o u p l i n go ft h et u oe q u a t i o n s ，a n do b t a i n e dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o r u n k n o w nf u n c t i o ni n 日1 n o r m s ，a n dt h ee r r o re s t i m a t e sf o rv o r t i c i t yi nl 2 一n o r m s r e s p e c t i v e l y 3 功0，i、，l ，i，、【 彩妨0 印 ，l-illlj li-ilil 山东师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e r t h r e e ，w ep r e s e n tn u m e r i c a lr e s u l t sw h i c hi l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s s o ft h em i x e df i n i t ec o v o l u m ee l e m e n tm e t h o d k e y w o r d s ：s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，m i x e df i n i t ec o v o l u m ee l e m e n t m e t h o d ，e l l i p t i cp r o j e c t i o n ，e r r o re s t i m a t e s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 ， 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位敝作者躲知阱导师粹 孑强 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者鹳：号王御毛 导师签字： 辛鞴i 签字日期：2 。7 年乒月岫 签字日期：2 。9 年尹月 山东师范大学硕士学位论文 第一章四阶半线性抛物型方程的混合体积元方法 及其数值模拟 1 1 引言 g a l a k t i o n v 和p o h o z a e v 等人研究了下述方程的c a u c h y 问题( m 1 ，p 1 ) f ：二i ；善：蕊l 训p ：? 砂 1 l u ( z ，o ) = 铷( z ) ， z r p “7 e g o r o v 等人在文【3 1 中，对于适当的p 及初值条件，借助于构造高阶抛物算 子的自相似解，通过对一个自治动力系统的稳定性分析，研究了问题( 1 1 1 ) 的整 体解的渐近性质 我们研究下述四阶半线性抛物型方程的混合体积元方法 佟 饥+ 2 u = l 乱l p ， u ( x ，0 ) = 钍o ( z ) ， u = 0 ，爱= 0 ， ( z ，亡) q ( 0 ，卅 z q ( 1 1 2 ) ( 。，亡) a q 【0 ，邪 其中p 为大于1 的自然数，qc 剧( d = l ，2 ) 为有界区域，为叙述简单起见， 不妨假定q 为二维平面中平行于坐标轴的矩形区域a q 为q 的边界几为a q 的单位外法向量，此类边值问题在弹性力学、水动力学中有着重要的应用，正日益 受到广泛重视 有限元方法是数值求解偏微分方程的一个重要方法，最早是由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出来的，由于有限元方法具有网格剖分灵活，计算精度高，易于编制程序计算 等优点，所以在二十世纪六、七十年代，其在大规模科学工程计算领域开始得到广 泛应用，诸如船舶、巨型建筑的设计，流体力学、电磁学等国内最早是由冯康教 授开始研究有限元方法，他的研究成果 1 】在当时处于世界先进行列，但是，有限 元方法仅能直接得到未知函数的近似解，无法直接得到其梯度、流量函数或通量、 涡度的近似解 5 山东师范大学硕士学位论文 二十世纪七十年代，b u b u s k a 2 和b r e z z i 3 等人在b j e 7 稳定性条件【4 ，【3 7 - 3 8 的基础上，创立了混合有限元方法的一般理论二十世纪八十年代， f a l k 和 o s b o r n 等人提出了改进的混合有限元方法 5 ，扩大了混合有限元方法的适用范 围与传统标准的有限元方法相比，混合元方法能同时高精度逼近未知函数及其流 量，对于处理高阶方程或多个未知函数的方程组更为便利，混合有限元解具有很好 的物理意义和物理性能，但是混合有限元方法对于空间的选取要求必须满足l 男b 相容性条件，限制了空间的自由选取 结合有限差分方法易于计算以及有限元方法高精度的优点，在国内，李荣华教 授于二十世纪八十年代最早提出了广义差分方法的概念，亦称为有限体积元方法， 与其它方法相比，它的显著优点在于能够保持物理量的局部守恒性，根据混合元方 法的一般理论，将混合元方法与有限体积元方法相结合，称之为混合体积元方法 混合体积元方法是r u s s e l l 在文献 4 4 】中首先引入的，后来j o n e s 在文献 1 2 ，4 5 】 中通过数值算例对该方法进行了验证这种方法的主要技巧是通过引入一个将试探 函数空间映射到检验函数空间的迁移算子：，将p e t r o - g a l e r k i n 格式与混合元方 法联系起来该方法的突出优点在于能够保持物理量的局部守恒性，并且能同时高 精度逼近未知函数及其流量或涡度，因而，自从此方法提出以来，已获得了很大发 展例如s o h s i a n gc h o u 和d oy k w a k 在文献【1 3 中针对椭圆问题研究了 基于三角形网格剖分的误差估计，在f 1 4 】中将其推广到矩形网格以及一般的四边 形网格情形；k w a k 在文献f 1 5 中研究了拟线性的椭圆问题；芮洪兴在文献【1 9 ，1 6 】 中分别研究了椭圆、抛物问题在矩形网格下的对称的混合体积元格式并进行了数值 模拟；除此之外，混合体积元方法还被广泛应用于双曲问题f 2 0 、s o b o l e v 方程 【1 7 ，2 1 、积分微分方程【1 8 等 关于四阶微分方程的有限元方法已有不少，一是构造高阶试探函数空间的有限 元方法，二是对方程降阶，利用c i a r l e t r a v i a r t 混合变分原理f 2 4 或其它混合变分 原理来导出计算格式，即所谓的混合有限元方法【2 5 2 7 ，【3 8 4 1 ，且均已有较好的结 果为了进一步减少计算量，吴微在 2 8 中使用三角剖分及外心对偶剖分给出了解 双调和方程的基于c i a r l e t r a v i a r t 变分原理的混合广义差分方法，理论分析部分 采用了 2 4 】中的有关思想李荣华教授，陈仲英教授在 2 9 】中采用 3 0 】中的思想， 对以上证明方法做了修改，通过引入n e u m a n n 投影，得到了一阶收敛阶的误差估 计结果，结合广义差分方法的特点， 【2 8 2 9 中的证明还可以进一步完善本文仍 然基于c i a r l e t r a v i a r t 混合变分原理，给出了高阶抛物问题在矩形网格剖分下的 6 山东师范大学硕士学位论文 混合体积元格式，理论分析部分仍然采用混合元格式的特点，不再引入n e u m a n n 投影，导出了未知函数的日1 模误差估计结果及其涡度的l 2 模误差估计 本文主要内容是，在1 2 中提出问题( 1 1 2 ) 的连续时间的混合体积元格式， 在1 3 中我们引入一些辅助引理，在1 4 中对连续时间的混合体积元格式进行误 差估计，在1 5 中我们对时间导数进行离散，提出问题( 1 1 2 ) 的全离散混合体积 元格式并进行误差估计 对文中将要出现的一些记号做必要的说明：( ，) s 表示己2 ( s ) 中空间的内 积，其相应的范数为”i l s ，上述定义当s = q 时，在不引起混淆的情况下可将 s 省略另外，我们用i j i i m ，p 表示常用s o b o l e v 空间中w m p ( q ) 的范数，特别当 p = 2 时，”l i m ，2 = ”，”1 1 0 = ”i i ；用c 表示与h 无关的正常数，在不 同地方可代表不同的值 1 2 连续时间的混合体积元格式 我们首先引入中间变量仃= 一u ，称之为涡度，则问题( 1 1 2 ) 可化为 ( z ，亡) q ( o ，卅。 ( 1 2 1 ) ( x ，t ) q ( 0 ，刁 引入空间 l 2 ( q ) = ，l j 开d x 0 ， 使得 i i 矿一i i i l o c h 2 i 仃1 2 1 0 u i l h u l m c h 2 - m l u l 2 ， m = 0 ，1 山东师范大学硕士学位论文 引理1 3 4 1 4 2 若u 瑶( q ) nh 3 ( q ) ，仃h 2 ( q ) ，则存在不依赖于h 的正 常数c ，使得 有 口( u 一，i t 正，盖妒h ) i c h 2 i t 上1 3 i 妒f l l l ，v u h a ( u i i h u ，：妒，1 ) i c h l u l 2 1 妒h l l ， v 垆 v h o ( 仃一i i h a ，五咖h ) i c h l a l 2 1 咖h 1 1 ， v 妒h u o h 引理1 3 5 【4 2 】( 有限元空间的逆性质以及模的关系式) 对h u h ，咻u o h 妒h 1 1 c h 一1 i i 妒h l l o ，i i c h i i o c i 矽 1 1 1 4 连续时间的混合体积元格式的误差估计 为进行格式的误差估计，我们引入原问题的混合体积元椭圆投影，求( 砺，瓦) u o hxu h 满足： v 妒h u o h v 饥u h ( 1 4 1 ) 由文献 4 2 】知，该椭圆投影的解是存在唯一的，且有下述误差估计结果成立 t , 一赢i l4 - - l i o 一瓦i i o c h ( 1 1 u 1 1 34 - l i o - 1 1 2 ) 仳一砺i o c h ( i l u l l 3 + l i o - 1 1 o u h u = ( u h 一面) + ( 丽一u ) = f + 刀 一=(一、+(磊一or)=-i-oh d r a h ) o r p p 一 = i 一十1 一j2 1 1 d 矽 h 盯 一 q 瓯 = = h 厅 盯 u 一 一 瓦面 口 o ，ij l l 山东师范大学硕士学位论文 结合椭圆投影( 1 4 1 ) ，我们可得下述误差方程 口( ，：饥) = ( p ，n t , 饥) ，v 呶u h ( 1 4 2 ) ( 邑，i 妒 ) + a ( p ，1 - i ；, 妒h ) = 一( 仇，盖妒 ) + ( 1 u h l p l u i p ，i 妒_ 1 ) ，v 妒7 l u 0 h ( 1 4 3 ) 定理1 4 2 若( u ，盯) 明( q ) xh 1 ( q ) 是问题( 1 2 3 ) 一( 1 2 4 ) 的解，( u h ，o h ) v o hxu h 是( 1 2 5 ) 的解，且( 让，) 满足所需要的正则性条件，则存在不依赖于剖 分q h 的正常数c 使得 lu u h i i l c h ( 1 u l l 3 + i l 盯l l z + ( i l u 。i i ；+ i i 吼i l ；+ l l u i i ；+ i l 盯1 1 2 2 ，j - ；1 ) l 盯一l l o c 九( 1 i u f l 3 + i 盯1 1 2 + ( 1 1 饥1 1 ；+ l l 吼i i ；+ l u l l ；+ i 仃l l ；) d 7 - ) ) 证明因为7 7 ，p 的估计已知，故只需估计，p 即可 在( 1 4 。2 ) 中对时间亡求导，并取= p ，则有 o ( ，和) = ( 阳1 - i p ) 在( 1 4 3 ) 中取= 已，再由口( ，矗) 的对称性，结合上式可得 ( 已，：) + a ( p ，i 已) = - ( r j t ，：) + ( 1 u h l p i u l p ，：& ) = 一( 仇，：已) + ( ( i u l l u l ) ( 1 u h l p 一1 + + f u l p - i ) ，五) 1 ( 仇，盂已) f + l ( 1 u h t , l ( 1 u h l p 一1 + + f u l p - - b ，盖) i 为了估计上式右端，我们作如下归纳假设 l l 心 ( 。，t ) l l o ，o 。f 砺l l - ( o ，丁；工* ( q ) ) + 1 ，0 t t o z ( 1 4 4 ) 再利用引理( 1 3 3 ) 及一不等式可得 言i l i l ；+ ( p t ，n d ) i l 吼i 1 0 1 1 , 1 1 0 + c l l 引l o l i 已i i o + c l l 7 7 i | o l i i l o 麦惦+ c i l 仇惦+ 刍惦+ c 佬+ g 曙+ 刍幅 从而 ( p t ，1 - i 二p ) c ( 1 l o , 1 1 3 + i l 叩1 1 3 + i i 1 1 0 2 ) 即 羞( j d ，：p ) c ( 1 l o , l t 3 + 1 1 , 7 1 1 2 0 + i i l f i ) 两边关于时间t 从o 到亡积分可得 ( p ，1 - i t 。p ) ( j d ( o ) ，p ( o ) ) + c ( i l 仇1 1 3 + l f 7 7 l l ；+ i i c i l y ) d r 1 2 山东师范大学硬士学位论文 所以 p i ： i i p l l o c ( 1 1 仇1 1 3 - i - 1 1 , 7 1 1 3 - i - | 2 0 ，丁，互1 ( 1 4 5 ) j 0 在( 1 4 2 ) 中取饥= 毒，则有 口( ，麓) = ( p ，i ) 结合引理( 1 3 2 ) 可得 蚓；o l l p l l ； 利用范数等价性可得 曙g 矧；c l l p l l 0 2 将上式代入( 1 4 4 ) ，并利用g r o n w a l l 引理有 m i o c ( 1 1 。1 1 34 - l ：打) j 0 千 c ( 1 1 毗1 1 ；+ l l 吼旧+ i l u 惦+ i i o t l l ；) d t k j0 所以 1 c ( 1 1 毗1 1 ；+ i l 吼惦+ l l u 惦- i - l l 吼1 1 2 2 ，7 一j 吾1 ，0 结合三角不等式，我们有 l u u h l 。c 危 ( 1 1 饥1 1 ；- i - i l 吼旧+ i u 旧- i - f i 吼旧) d 丁) ； 0 一t l i 盯一吼0 c 九 ( 1 l u 。惦+ f i 吼惦+ i l u 恨- i - i l c r t i l 2 2 ，丁，1 ，0 下面我们证明归纳假设 记 k 全l 砺l p ( o ，t ；p ( q ) ) + l 因为 l i u h ( x ，0 1 1 0 ，k ，0 亡 0 使得 l l u ( z ，t ) lj o ，k ， vt 弭( o ，6 ) 因而必有 0 0 ，使得 l l u h ( x ，t 宰+ ) 1 1 0 ，o 。k 与( 1 4 8 ) 矛盾，假设不成立，因而归纳假设成立 定理证毕 山东师范大学硕士学位论文 1 5 全离散的混合体积元格式及误差估计 首先，对空间区域q 作如1 2 中剖分q j l 及对偶剖分q 盂，对时间区间【o ，列 作m 等均匀剖分，令时间步长亡= 磊，并记 矿= n a t ，矿= 妒( 矿) 通过对时间离散，我们可得原问题的混合有限体积元格式为：求 乱嚣，嵋) u o h u h 使得 ( 掣，狲) 州簖，狲) _ ( 1 u p i p ，狲) ，v 妒h ( 1 5 1 ) a ( u 嚣，：咖) = ( 靠，：慨) ，u h ( 1 5 2 ) 由于该问题为线性方程组，易证该问题的解是存在唯一的 引理1 5 1 设q h 为一网格区域，其维数为几，肛( ) = h 1 k 1 ，为 p q h 网格区域的测度，则 ( 1 ) 对任意1 f 虿o o ，如果，口且p ( q ) o o 则，驴且 i i f l l 乒肛( q h ) n 【砉一言) i l f l l 虿 ( 2 ) 对任意1 矽 虿o o ，成立逆估计 i i f l l 虿h n q 一参j i l f l l 歹 证明：分别直接应用h o l d e r 不等式和j e n s e n 不等式可得到结论 下面我们引入原问题的混合体积元椭圆投影( 面，赢) 满足： ! n ( 万一矿，= o ， v 。 ( 1 5 3 ) i口( 砑一矿，矗咖) = ( 万一矿，：蛾) ， v 饥： 由文献【4 2 】，我们可知该问题的误差估计为 i u 一面i z - t - lj o 一瓦i i o c h ( 1 l u l l 3 + i i o 1 1 2 ) i | 钍一面1 1 0 c h ( 1 l u l l 34 - l i o - 1 1 2 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 再令： 仳_ 7 l 一札= ( u h 一面，) + ( 磊一u ) = + 7 7 一盯= ( u h 一雨+ ( 元一盯) = p + 0 a p = ，鼠矿= 百? 7 n - - r n - 1 a p2 等，鼠矿2 百 结合椭圆投影，我们可得下述误差方程为： ( 岛专n ，：妒h ) + o ( 矿，二妒1 ) = 一( 侥矿，；妒 ) l ( a u 仉- u t ( t n ) ，；妒 ) + ( i f l , 一1 i p i 缸礼p ，：妒h ) ， 口( n ，i ) = ( p n ，i 怯) ， v 汐h u o h v 饥u h ( 1 5 4 ) ( 1 5 5 ) 定理1 5 2 设剖分q h 为拟一致正则矩形剖分，( u ，盯) ( 硪( q ) n 日2 ( q ) ) 日2 ( q ) 是问题( 1 1 2 ) 或其等价形式( 1 2 3 ) 一( 1 2 4 ) 的解，则混合有限体积元格式 ( 1 5 1 ) 一( 1 5 2 ) 的解( u ，) u o h 收敛于( ，盯) ，且存在与u 有关的正常数 c ，满足如下估计式 i l 仳h 一钆jj l * ( 日，) c ( a t + h ) fj u h 一盯l l 工* z ) 冬c ( a t + h ) 证明；在误差方程( 1 5 5 ) 中，我们取饥= p ，利用范数等价性可得： 去 礼f ；口 n ，；n ) = ( p n ，i n ) l i p n l l o f l n 【l o c l i p n l l o i 几l - 一 所以 l n 1 1 c l i p n l l o 再由误差方程( 1 5 5 ) 可推知： a ( a d n ，珥饥) = ( 岛矿，：如) 。 取= p n ，则有 口( 侥f n ，n x p n ) = ( 侥p n ，盖p n ) 在误差方程( 1 5 4 ) 中取c p h = 鼠n ，则有 ( b n ，：夙p ) + a ( p n ，矗侥n ) = 一( 岛矿，i i ；, o g n ) 一( 岛u n 一仇( 亡n ) ，r i ：, o g n ) + ( f 让z 一1 l p f 乱np ，n ：, o d n ) ( 1 5 6 ) 1 6 山东师范大学硕士学位论文 由引理( 1 3 2 ) 我们知 a ( p n ，i a n ) = 口( 侥n ，r t ：, p n ) = ( 侥j d n ，r t ：, p n ) 而 ( a 矿，扩) 5 面1 ( 1 0 n p n - 1 r t ；：, p n ) 忐桫，扩) 一( 矿，壳矿- 1 ) ( a n ，：侥n ) 去ll a n 惦 为估计( 1 5 6 ) ，我们作下述归纳假设 。m n a 1 ，对于其性质的研究可见文献【6 1 1 ，【2 2 2 3 等 本文我们研究下述四阶半线性抛物型方程组的混合体积元方法 a ) u t + a 2 u = i u l p ，( z ，t ) q ( 0 ，卵 6 ) 仇+ 2 u = l 钆l p ， ( z ，亡) q ( o ，卵 ( 2 1 2 ) c ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) ，x q d ) 乱= 器= 0 ， = 赛= 0 ( z ，亡) o f t 【o ，刁 ： 其中p 为大于1 的自然数， qc 砰，( d = 1 ，2 ) 为有界区域，a q 为q 的边 界，n 是a q 的单位外法向量 抛物型方程组在工程科学、数理经济学等许多数学物理领域都有着广泛的应 用，具有深刻的物理背景关于方程组问题的讨论正日益受到人们的关注，方程组 中的多个未知函数可以通过各种方式耦合，既可以通过高阶项耦合，也可以通过低 阶项或非线性边界流项耦合，甚至在一个方程组中还可以同时有两种以上的耦合关 系 纵观已有的工作，对于低阶半线性方程组的性质讨论比较多，且理论分析都得 到了比较好的结果但是，到目前为止，对于高阶半线性抛物型方程组，尤其是结 合混合体积元方法所做的研究还不多 本文研究了问题( 2 1 2 ) 在矩形网格剖分下的混合体积元格式，并对该方法进 行了误差估计，得到了未知函数也和v 的最优日1 模误差估计，并得到涡度u 和 u 的l 2 模误差估计结果 1 9 山东师范大学硕士学位论文 本文主要内容是，在2 2 中对区域q 进行矩形剖分及相应的对偶剖分，我们 提出问题( 2 1 2 ) 的混合体积元格式，通过引入原问题的椭圆投影，采用【2 4 中的 有关思想，通过严格的理论分析导出误差估计结果，在2 3 中通过对时间进行离 散，我们提出问题( 2 1 2 ) 的全离散混合体积元格式，并给出误差估计 2 2 方程组的半离散混合体积元格式及误差估计 为导出问题( 2 1 2 ) 的混合体积元格式，我们引入两个中间变量仃= - a u ，6 = 一u ，称之为涡度，则方程( 2 1 2 ) 的等价弱形式为：求( u ，盯，口，占) 嘲( q ) 日1 ( q ) 础( q ) xh 1 ( q ) 使得 a ) b ) c ) d ) 毗一盯= f 钉i p ， 口= 一钍 仇一j = i u l ， j = 一a v ( x ，t ) q ( 0 ，刁 ( z ，亡) q ( o ，卵 ( 2 2 1 ) ( z ，t ) q ( 0 ，卵 ( z ，t ) q ( o ，刁i 为了定义有限元空间，首先对区域q 剖分q ，单元可以是三角形或矩形单 元，本文以矩形为例单元记为e ，j = k 一1 ，x i 协1 ，耽 ( i ，j = 1 ，2 ，) ，其步 长分别为h i = 玩- - x i 一1 ，向= 缈一协一l ，设矩形单元的节点为= p ( x i ，蚴) ( i ，j = 0 ，1 ，) ，所有单元的内部节点集合记为q ，包含边界的节点集合记为q 其次，设单元e l j 的中一5 - 点为( 一；，协一；) ( 瓦歹= l ，2 ，n 1 ) ，则j = k 一，$ 件； 一，彩+ 构成节点p ( 甄，协) 的控制体积或对偶单元，对于边界节 点，其控制体积应作相应修改，如对于左边界节点p ，嵋= 【z o ，。】【一；，协+ ， 所有的对偶单元构成区域q 的对偶剖分q ： 定义插值投影算子 ：h i 妒九= ：妒h ( p ) x p ， v 妒知 p 蕴h 山东师范大学硕士学位论文 定义下述双线性形式 。( 硼，：妒h ) = 一妒h ( 尸) p q h z 咋鬻妣v 伽倒( 吼昕玩 ( 叫，) = 蒹州p ) 厶础， p q ， vw h 1 ( q ) ，妒h u h 将( 2 2 1 ) 中的四个方程在对偶单元昨上积分，利用g r e e n 公式，我们可得 原问题的积分守恒形式为 f v p u td x z 场丽o a 如= f , , l ld x z 嵋赛如= 厶仃如 上v p v td x - z 场鼢= f , l u p l 如 一z 唯豪如= 厶胁 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 从而我们得到问题( 2 2 1 ) 的半离散混合体积元格式为：求( u h ，o r h ，v h ，如) h 巩u o l i l u h 使得 ) ， ) ， 邯l i u o h 巩。 ( 2 2 6 ) v w h u o h ， v 九u h 椭圆投影：求( 砺，瓦，厩，如) 坳h u o h ( 2 2 7 ) v w h u o h 巩 2 1 呲一 扎一扎一 一一一一一一 一一一一 枞蚍黜吣 蛎蝻地蝻 山东师范大学硕士学位论文 已知椭圆投影的误差估计为 l u 一面l - + l l 口一瓦l l o c h ( 1 u i l 3 + f l 盯1 1 2 ) ： l u 一磊i l + l l 艿如li o c h ( i i u l l 3 + l i 艿1 1 2 ) 令： u h u = ( u 一u h ) + ( 砺一u ) = + 7 7 ，一u = 【u 一) + ( u 一u ) = 专十7 7 ， 一盯= ( a h 一磊) + ( 石一盯) = p + p ，一盯= (一“) + 【一盯j = 十， 一移= ( 一磊) + ( 磊一秒) = ( + ， 既一6 = ( 以一如) + ( 如一万) = a + ，y 结合椭圆投影，我们可得下述误差方程 口( ，：机) = ( p ，：机) ，v 如u h ( 2 2 8 ) ( 邑，：妒h ) + 口( j 口，：妒h ) = 一( 仇，盖妒h ) + ( i u h i p l u l p ，：妒h ) ，v 妒h 【，赢 f 2 2 9 ) 、， o ( e ，n * h 矽h ) = ( o z ，n * h h ) ，v 九( 2 , 2 1 0 ) ( 靠，1 - i ：w h ) + 口( 口，1 - i ：w h ) = - ( 屈，n 盖伽 ) + ( i u h l p l u l p ，：叫h ) ，vw h u 如 ( 2 2 1 1 ) 在( 2 2 8 ) 中先对t 求导，然后取= p ，在( 2 2 9 ) 中取= ，在( 2 2 1 0 ) 中先对t 求导，再取九= 口，在( 2 2 1 1 ) 中取w h = ，则有 、 口( ，n ：p ) = ( 肌，：p ) ( 2 2 1 2 ) ( ，：) + 口( p ，i ) = 一( 仇，之已) + ( 1 u h i p i u i 尹，盖已) ( 2 2 1 3 ) 口( ，：口) = ( a t ，：口) ( 2 2 1 4 ) ( 6 ，：已) + d ( q ，盂已) = 一( 屈，：) + ( 1 u l p i 让i p ，：q ) ( 2 2 1 5 ) 为进行误差估计，我们作如下归纳假设 i i u _ l ( z ，t ) l l o ，k ，j 1 ( z ，t ) i l o ，k ，0 亡 t o ( 2 2 1 6 ) 2 2 山东师范大学硕士学位论文 由口( ，：) 的对称性，利用归纳假设及引理( 1 3 3 ) ，有 丢i f 已i | ：+ 五d ，：p ) i ( 1 1 p l u f p ，：) f + i ( 仇，i ) i c ( 1 l e l l 1 1 6 i l + i i p l f i & | l - t - f i 仇i | i k t l | ) 利用一不等式，从而原式可化为 丢ij 已j 1 3 + 五d ( p ，三p ) 砑1 f f 州。2 + cj e lj 2 + 去j l jj 3 + cjj j 1 2 + 甄1l f g 圳。2 + cj i 仇jj 2 即 差( p ，聪p ) c ( 1 l ( 1 1 2 + 俐2 + 1 1 2 ) 两边关于时间t 从0 到t 积分，则有 ( j d ( t ) ，i i * h p ( t ) ) ( p ( o ) ，：p ( o ) ) + c ( i l ( 1 1 2 + l l 1 1 2 + l i 仇1 1 2 ) 班 讲而 可得 同理可以证明 扣胚c z 。( 1 1 1 1 2 + 1 1 p 1 1 2 + i i 仇1 1 2 ) 诎 ( 2 舢) 丢i l q l l 3 g z 2 ( 1 1 1 1 2 + i i 叼1 1 2 + 1 1 屈1 1 2 ) 如 ( 2 2 1 8 ) 在( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 中分别取呶= ，= ( ，结合有限元空间中的范数等价性， 石l 1 ) 对时间区间【o ，卸作m 等均匀剖分，令时间步长a t = 丽t ，并记 俨= n a t ，矿= 妒( 矿) ( 2 3 1 ) 则我们可得问题( 2 3 1 ) 的混合有限体积元格式为：求( u 嚣，畎，嚷，醒) h xu o hx 巩使得 邯h u o h v w h u o h 由于该问题为线性问题，容易证明该格式的解是存在唯一的 ( 2 3 2 ) 为进行误差估计，我们引入原问题的混合体积元椭圆投影：求( 赢，瓦，访，元) x 巩xu o hx 使得 且有下述误差估计， 坳毳九 w h 巩 v w h u o h 呦。 乱n 一画了1 1 + i i 盯一芴了i i o c h ( 1 l u l l 3 + i i o l l 2 ) n 一说n l - + i i 巧一反他i i o c h ( 1 l v l l 3 + 1 1 6 1 1 2 ) ( 2 3 3 ) 卵刁q 耳泛州刈z “ q c ： q a d 力 卅 、力( z ，f p | j h h 腆丑 叱姒归 = i | q 让 u = = 虢晌归簪 + + = 蚶时毗一 九 妒 h h 啦 聪 p 1 l 一 一 皖喀k絮拦 触州驰械螂刚嘏晰+ 簖+ h h = | | 协蜘m 舻一乱碰龀e “p “ h、， 饥 神 觯 妣 皿 聪 盯 渺 “ q 簖q 簖 = = = = 、，、j 狲触淞珥珥啦啦 n n 0 ， 蕾， 鲫 ” 鼽 班 一 一 一 一 n 礼 ， 噜 硭醒铲铲 令 一珏=(uhuhu