（应用数学专业论文）双曲空间上等距群的离散性及其相关问题.pdf

上海交通大学博士学位论文 双曲空间上等距群的离散t 陛及其相关问题 摘要 我们利用双曲多边形，如l a m b e r t 四边形和s a c c h e r i 四边形等刻画了m s b i u s 变 换的新特征；利用离散群、稠密群和开集的关系以及c l i f f o r d 代数，在l ( i ) 有限的条 件下得到了i s o m ( h n ) 中的六条离散准则；刻画了h e i s e n b e r g 空间中链的关系等特 征，并利用之在复双曲等距群中建立了相应的离散准则、代数收敛定理；将几何有限 的实双曲等距群的一条有限性性质推广到了复双曲等距群中，并通过构造出的例子给 出了实、复双曲几何的一个不同之处全文共分如下五章 第章是本文的概述叙述了离散群理论发展的历史过程、背景以及现状并着 重介绍了本文研究的四个问题和相关结果，以及遇到的主要困难和所用的方法。 在第二章中，我们讨论如何利用双曲多边形给出m s b i u s 变换的新特征我们利 用几何的方法证明了保持l a m b e r t 四边形或s a c c h e r i 四边形的单射必定是m s b i u s 变 换；同时利用此结果。我们还得到了同样可以作为m s b i u s 变换特征的一类双曲n 边 形 本文的第三章讨论高维双曲等距群的离散准则我们主要是从拓扑的角度来讨论离 散性问题即从i s o m ( h n ) 中的离散子群和稠密子群的关系入手，并且给出l s o m ( h n ) 中的一些特殊的开子集我们的主要工具包括w a t e r m a n 等利用c l i 肋r d 代数得到的 j o r g e n s e n 不等式的推广、c h e n 和g r e e n b e r g 关于离散子群和稠密子群关系的定理 等同时，我们还讨论了佗d i m e n s i o n a l 、一致有界挠、条件a 等各种条件问的关系， 并在l ( r ) 有限的条件下得到了六条关于任意维数的双曲等距群i s o m ( h n ) 的离散准 则 在第四章中，我们讨论了复双曲等距群p u ( 2 ，1 ) 中的离散准则和代数收敛定理 我们通过在复双曲几何以及h e i s e n b e r g 几何中的计算，给出了两个边界椭圆元素在边 j 中文摘要 界上的不动点集连接的一个充分条件，进而利用b a s m a j i a n m i n e r 不等式，在p u ( 2 ，1 ) 中建立了相应的离散准则和代数收敛定理 本文的第五章讨论如何将几何有限的实双曲等距群的一条有限性性质推广到复双 曲等距群p u ( n ，1 ) 中利用的主要工具包括：r a t c l i f f e 关于正规化子离散性的讨论， b o w d i t c h 关于负曲率流形中几何有限概念的等价定义，以及m a r t i n 关于负曲率流形 上j o r g e n s e n 不等式的推广等同时，我们构造了一个反例，表明r a t c l i f f e 的有限性 定理中m o ) 上的双曲等距因此，平面m s b i u s 群就可以视 作作用在双曲空间日3 上的等距群一般而言，虎铲1 上的m s b i u s 群也可延拓为h n 上的等距群i s o m ( h n ) ，我们称之为n 维( 实) 双曲等距群 离散的双曲等距群与黎曼曲面和双曲流形理论有着紧密的联系1 8 8 3 年，k l e i n 5 8 】 提出了著名的单值化定理：单连通的黎曼曲面解析同构于扩充复平面c 、复平面c 和 双曲平面h 2 1 9 0 7 年，p o i n c a r 6 和k o e b e 分别独立地给出了单值化定理的证明根 据单值化定理可知：除了少数几种情形以外，大多数黎曼曲面是双曲曲面日2 g ，其中 g 为无挠的f u c h s 群( 即i s o m ( h 2 ) 中的离散子群) 这一漂亮的结果揭示了几何与复 分析间的深刻联系1 9 2 6 年，h o p f 在文【4 8 】中证明了：任意完备的双曲流形m 都可 以表示成商空间h n a 的形式，其中g 为i s o m ( h n ) 中无挠的离散子群，且g 同构 于m 的基本群进一步，若g 离散但含挠元素，则日n g 为双曲轨形( o r b i f o l d ) 因此，确定所有完备的双曲轨形，就等价于确定所有离散的双曲等距群二十世纪五 十年代，a h l f o r s 在离散群理论及相关领域作了深入广泛的讨论，包括a h l f o r s 有限性 定理，以及关于有限生成k l e i n 群( 即i s o m ( h 3 ) 中不连续域非空的离散子群) 极限集 的零测度猜想，掀起了一股研究热潮七十年代末，t h u r s t o n 综合了黎曼面的想法、 h a k e n 关于三维流形的工作、m o s t o w 刚性定理以及离散群理论，建立了t h u r s t o n 几 何化纲领他的革命性工作引领了这三十年来三维双曲流形及k l e i n 群理论的长足发 展 与低维相比，高维双曲流形及等距群理论有着本质的区别二维时f r i c k e 和k l e i n 证明了：亏格夕大于1 的可定向闭曲面上的双曲结构组成的( t e i c h m i i l l e r ) 空间的 第一章 绪 论 维数是6 9 6 ；而高维时著名的m o s t o w p r a s a d 刚性定理 7 4 ，8 5 】则表明体积有限的 双曲流形上的双曲结构是唯一的具体来讲，n 3 时，若g l ，g 2 是i s o m ( h 珏) 中同 构的离散子群，且日几a l 是具有有限体积的死维双醢流形，则丑竹a - 和日n g 2 等 距。这一深刻的结果表明代数、拓扑与几何间具有紧密的联系正如1 9 7 8 年t h u r s t o n 在h e l s i n k i 举行的国际数学家大会的讲演中所指出的：“一个紧流形几乎可被它的基 本群确定我们基本上可以等同流形上的几何研究和有限表示群的代数研究” 遵循这些思想，本文的主题即为研究双曲等距群中的离散性及其相关问题 本文所讨论的双曲等距群不仅是实的双曲等距群i s o m ( h n ) ，也包括了复双曲等 距群p u ( n ，1 ) ，即复双曲空间娜上关于常全纯截面曲率一1 的b e r g m a n 度量的双 全纯等距群类似实的情形，任意完备的复双曲流形都可以表示成毋g ，其中g 为 p u ( n ，1 ) 中无挠的离散群由于p u ( 1 ，1 ) = i s o m ( h 2 ) 。复双曲流形可以看作是双曲 黎曼面的一个自然的延伸正如1 9 9 8 年b a s m a j i a n 和m i n e r 发表在i n v e n t m a t h 上的文 1 0 1 中所指出的：尽管复双曲几何与实双曲几何有着很多相似之处，但是由于 复双曲空间上具有更丰富的结构( 如复结构、辛结构、球面c r 结构、h e i s e n b e r g 结 构等) ，复双曲流形比之实双曲流形研究的内容更加复杂同时，作为最简单的具有负 的可变截面曲率的k i i h l e r 流形，复双曲流形为复几何以及代数几何的研究提供了重 要的例子 根据m o s t o w 的刚性定理【7 4 】，紧的复双曲流形具有刚性，即紧的复双曲流形的 基本群在等距的意义下唯一决定了流形本身但和实的情形不同的是，具有有限体积 的复双曲流形不再具有刚性比如g o l d m a n 和p a r k e r 在【4 0 】中指出：理想三角群在 p u ( n ，1 ) 中具有离散形变这里形变指的是：给定一个有限生成群r ，李群g 1cg 2 ， 以及离散表示p o ：r - - + g 1 ( 即p 0 ( r ) 是g 1 中的离散子群) ，问d q 是否位于一个离散 表示的族风：r g 2 中? 2 0 0 2 年北京国际数学家大会上，s c h w a r z 关于复双曲三角 群的形变作了详细的报告f 9 1 】。表明复双曲几何是一个非常活跃和重要的研究领域 2 上海交通大学博士学位论文 1 2 研究现状和问题 双曲空间h n = z r n ：z n o ) 上的等距可以延拓为边界静1 上的m s b i u s 变换反之，r 肛1 上的m s b i u s 变换可通过p o i n c a r 6 延拓成为h n 上的双曲等距 因此，我们在下面的讨论中将不区分( 实) 双曲等距和m s b i u s 变换同时，本文所讨 论的双曲等距( 群) 指的都是保持定向的双曲等距( 群) 酽上的m s b i u s 变换可以定义为有限次关于球面反射的复合它具有很多优美的 性质，比如：m s b i u s 变换保持交比不变；m s b i u s 变换保持球面；m s b i u s 变换保持 球面的对称点 近年来，又有许多关于m s b i u s 变换新特征的讨论参见文献【1 3 ，1 4 ，2 1 ，2 5 ，3 7 ，4 3 4 6 ，7 6 ，8 7 】这也正是本文所讨论的第一个问题 1 9 9 8 年，h a r u k i 和r a s s i a s 利用a p p o l l o n i u s 四边形作为一个新的特征来刻画 m s b i u s 变换这里，a p p o l l o n i u s 四边形指两组对边长度之积相等的四边形h a r u k i 和r a s s i a s 在【4 5 】中证明了：若复平面上的解析函数，将a p p o l l o n i u s 四边形映为 a p p o l l o n i u s 四边形，则厂是m s b i u s 变换h a r u k i 和r a s s i a s 使用解析的条件是因为 他们的证明利用了s c h w a r t z 导数的性质，即m s b i u s 变换的s c h w a r t z 导数为0 之 后，在这一结果的基础上，h a r u k i 、r a s s i a s 、b u l u t 、o z g f i r 等在【2 1 ，4 4 ，4 6 ，7 6 ，8 7 】 中讨论了哪些n 边形也可作为m s b i u s 变换的特征这一问题他们的这些想法正是本 文中我们讨论m s b i u s 变换新特征问题的出发点 2 0 0 2 年，b e a r d o n 和m i n d a 在【1 4 】中指出：a p p o l l o n i u s 四边形的四个顶点的交 比的绝对值等于1 并利用之去掉了h a r u k i 和r a s s i a s 结果中解析的条件，同时对任 意维数证明了保持交比1 的映射必是m s b i u s 变换b e a r d o n 和m i n d a 首先在1 维时 利用求解两个函数方程得到了证明，再通过数学归纳法得到一般维数时的结果我们 注意到，在b e a r d o n 和m i n d a 的结果中没有任何正则性( 如可微性、连续性等) 的限 制尽可能减弱正则性的限制而仅是利用几何条件来刻画几何映射的特征，正是当代几 何学的个新分支( 即c h a r a c t e r i z a t i o n so fg e o m e t r i cm a p p i n g su n d e rm i l dh y p o t h e s i s 3 第一章绪论 【4 8 】) 的要旨；同时，这些也是我们讨论m s b i u s 变换新特征问题时所遵循的准则 事实上，若增加解析的条件，b e a r d o n 和m i n d a 在 1 4 】中还证明了解析函数，若 将某一圆盘映为圆盘，则必定是m s b i u s 变换此外，c h u a q u i 、d u r e n 及o s g o o d 在 2 5 1 中得到：将圆映为椭圆的解析函数是m s b i u s 变换对于椭圆，我们知道m 6 b i u s 变换不保持椭圆比如，若考虑以原点为中心的椭圆s 及m s b i u s 变换f ( z ) = l 乏， 则像l ( s ) 不是椭圆在【2 6 】中，c o f f m a n 和f r a n t z 的结果表明在某种意义下，椭圆 的离心率是m s b i u s 变换的又一个不变量 注意到h a r u k i 、r a s s i a s 等都是用欧氏几何中的多边形来给出m s b i u s 变换的特 征，而m s b i u s 变换和双曲几何又有着紧密的联系，很自然的，我们的第一个问题就是 1 。能否利用双曲多边形给出m s b i u s 变换的新特征? 由于任意完备的双曲轨形( h y p e r b o l i co r b i f o l d s ) 都可以用离散的双曲等距群( 即 m s b i u s 群) 表出，因此讨论双曲等距群的离散准则，一直被本学科的众多学者所关 注参见文献【2 4 ，3 1 3 4 ，3 8 ，4 8 ，5 1 ，6 7 ，1 0 0 ，1 0 1 ，1 0 3 1 0 6 】其中最著名的结果当属1 9 7 6 年 j c r g e n s e n 利用j o r g e n s e n 不等式给出的如下判别法则 5 2 】：设g 是i s o m ( h 3 ) 中的 非初等子群则g 离散当且仅当g 中任意二元子群( ，9 ) 离散 这一结果的重要性在于它表明：非初等双曲等距群的离散性取决于其所有二元生 成子群的离散性遵循j o r g e n s e n 的这一思想，此后的三十年中不断有学者试图进一 步的减弱j o r g e n s e n 离散准则中判别条件特别是g i l m a n 、i s o c h e n k o 、t u k i a 和王 仙桃等先后证明：只需验证非初等双曲等距群g 中一类二元生成子群的离散性，就可 保证g 的离散性例如，在【1 0 0 中，t u k i a 和王仙桃得到：若g 是i s o m ( h 3 ) 中的 非初等子群，且g 中存在阶数大于2 的椭圆元素则g 离散当且仅当对g 中任意椭 圆元，夕，子群( ，9 ) 离散 当然，关于离散准则也遗留下了很多问题比如t u k i a 和王仙桃在f 1 0 0 】中给出 4 上海交通大学博士学位论文 了如下猜测：设g 是i s o m ( h 3 ) 中的非初等子群，且g 中存在抛物和椭圆元素则 g 离散当且仅当对g 中任意椭圆元，和抛物元夕，子群( ，g ) 离散在 1 0 8 】中我们 对此猜测给出了肯定的回答 我们已经知道，j c r g e n s e n 离散准则对高维的双曲等距群不再成立比如，a b i k o f f 和h a s s 在【1 】1 中构造了一个反例表明：在n 4 时，i s o m ( h n ) 中存在一个非初等、 非离散的子群，使得其任意的有限生成子群是离散的 同时，在【1 】中，a b i k o f f 和h a s s 给出了礼d i m e n s i o n a l 的条件，并且在此条件下 证明了：设g 是i s o m ( h n ) 中的子群，且g 是n d i m e n s i o n a l 的则g 离散当且仅 当对g 中任意二元子群( f ，g ) 离散 但是，使用n d i m e n s i o n a l 的条件有着明显的不足，因为i s o m ( h n ) 中存在很多 不满足礼d i m e n s i o n a l 条件的子群比如：每个f u c h s 群，即任意p s l ( 2 ，r ) 中的离散 子群，在i s o m ( h 3 ) = p s l ( 2 ，c ) 中都不满足3 - d i m e n s i o n a l 条件因此，很自然的， 我们需要更弱的条件来代替佗d i m e n s i o n a l 条件 1 9 8 9 年，m a r t i n 在【6 7 】中指出：高维双曲等距群离散性的判别和3 维时的差别 主要在于椭圆元素，即高维时，椭圆元的不动点集可能随着幂次的增加而扩大为 此，m a r t i n 引入了。一致有界挠”的条件2 0 0 0 年，方爱农和乃兵在文 3 3 】中将一 致有界挠减弱为条件a 进一步的，陈敏在【2 4 】中给出了一个更弱的条件，相当于 只是在群g 内椭圆元素集合的一个真子集l ( i ) = ，a l f ( x ) = z ，v z l ( g ) ) 上作 出了限制，即要求l ( i ) 是有限集( 其中l ( g ) 表示群g 的极限集) 自然的，我们的第二个问题就是s 2 。如何在l ( i ) 有限的限制条件下将上述l s o m ( h 3 ) 中的结果推广到任意维数的 双曲等距群i s a m ( h n ) 中? 复双曲等距群p u ( n ，1 ) ( 特别是p u ( 2 ，1 ) ) 中非初等子群的离散性是近年来的 5 第一章 绪论 又一个被广泛研究的热点问题可参考文献【1 0 ，2 3 ，2 8 3 0 ，3 9 4 2 ，4 9 ，5 0 ，6 0 一6 3 ，7 5 ，7 8 - 8 2 ，8 8 9 3 】 由于p u ( 1 ，1 ) = i s o m ( h 2 ) ，复双曲等距群p u ( n ，1 ) 可以看作是平面m s b i u s 群 的一种推广关于平面m s b i u s 群的离散性问题主要分为两类： ( i ) 充分条件，如p o i n c a r 4 多面体定理； ( i i ) 必要条件，如著名的j c r g e n s e n 不等式( 并且由之可得非初等群离散的一些充 要条件，如：群g 离散当且仅当g 的任意二元子群离散) 上述两方面在p u ( n ，1 ) 中的推广均吸引了众多数学家的研究兴趣，但两者都有 着很大的困难对p o i n c a r 6 多面体定理推广的难度在于复双曲空间磁中没有余维数 为1 的全测地子流形而对j o r g e n s e n 不等式的推广的困难在于：j o r g e n s e n 5 2 】的证 明是代数的方法，即通过交换子构造出一个迭代的收敛到恒等元素的等距元素序列 但是，仅在p u ( 2 ，1 ) 的情形，就需要在3 3 阶复矩阵中进行大量复杂的计算而对 n 3 的情形，目前尚无任何公开发表的结果参见蒋月平、k a m i y a 、p a r k e r 等的 文章f 4 9 ，5 0 ，8 0 ，8 l 】 1 9 9 8 年，b a s m a j i a n 和m i n e r 在【1 0 】中对j o r g e n s e n 不等式在p u ( 2 ，1 ) 中的推 广作出了重要的突破，他们的证明不同于经典的代数方法，而是采用几何的方法，考 虑了群在复双曲平面码的边界( 即h e i s e n b e r g 几何) 上的作用同时，在 1 0 】中 b a s m a j i a n 和m i n e r 利用稳定盆的想法给出了多个不等式类似j o r g e n s e n 不等式， b a s m a j i a n 和m i n e r 给出的不等式同样有许多重要的应用作为其应用的一个例子， 我们讨论的第三个问题是 3 。如何在p u ( 2 ，1 ) 中建立相应的离散准则和代数收敛定理? 双曲流形上的等距群是否有限是又一个受到广泛关注的问题1 8 8 5 年，p o i n c a r 6 在f 8 4 】中得到；闭双曲曲面上的等距群有限这一结果首先在1 9 3 0 年被l s b e l l 在文 6 上海交通大学博士学位论文 6 6 】中推广为：完备的几何有限的双曲曲面上的等距群有限对于高维的情形，1 9 7 2 年，l a w s o n 和丘成桐在【6 5 】中证明了：紧双曲n 维流形上的等距群有限之后， a v 6 r o u s 和k o b a y a s h i 在1 9 7 6 年文【8 】中将其推广为：具有限体积的双曲n 维流形上 的等距群有限直到1 9 9 4 年，r a t c l i f f e 在 8 6 】中用完全不同的方法重新考虑了这一 问题，即利用了非初等离散群的正规化子的离散性，以及双曲流形上的等距群和正规 化子间的紧密联系。而作为群最基本的代数扩张，正规化子的离散性一直是非常重要 的一个问题比如，m a s k i t 在 7 2 】中证明了i s o m ( h 3 ) 中k l e i n 群的正规化子的离 散性在高维的情形，r a t c l i f f e 给出了两个必要的附加条件，来讨论离散群的正规化 子的离散性进而得到了如下的有限性定理： 设m = h 几a 为几何有限的双曲流形若对任意m n 一1 ，都不存在g 不变 的双曲m 维子流形，则m 上的等距群i s o m ( m ) 有限 注意到“几何有限”是三维双曲流形中一个非常重要的基本概念具有几何有限 的基本群的三维双曲流形是最早被完全理解的同时，三维双曲流形中一些著名的猜 想都与这一概念有关在 1 9 】中，b o w d i t c h 详细讨论了“几何有限”在h a d a m a r d 流 形中的四个等价定义，以及和双曲流形的不同之处 本文讨论的第四个问题就是 4 。如何判定复双曲流形上的等距群是有限的? 7 第一章 绪论 1 3 主要结果 在本文中，我们主要考虑上节提出的四个问题，得到了下面的一些结果 在第二章中，我们讨论了如何利用双曲几何中的多边形，来给出双曲等距( 即 m s b i u s 变换) 的新特征利用几何的方法，我们证明了下列结果： 定理1 3 1 设歹：b 2 _ b 2 为连续单射则，是m s b i u s 变换当且仅当f 保持 l a m b e r t 四边形 推论1 3 2 设，：b 2 斗b 2 为连续单射则下列等价： 叫，是m s b i u s 变换； 6 ) ，保持具有两个相邻直角的双曲四边形； c ) 保持s a c c h e r i 四边贯， 事实上，上述的结果中连续性的条件是不必要的我们证明了： 定理1 3 3 设，：b 2 _ b 2 为单射则，是m s b i u s 变换当且仅当对某一 0 p 3 ，保持k 类的n 边形，其中0 k 2 在第三章中，我们研究了实双曲等距群i s o m ( h n ) 中的离散准则，得到了如下结 果： 定理1 3 5 设g 是i s o m ( h 靠) 中的非初等子群则g 离散当且仅当 俐l ( i ) 有限； 一砂对g 中任意斜驶元，g ，子群( 只g ) 离散 r 上海交通大学博士学位论文 定理1 3 6 设g 是i s o m ( h n ) 中的非初等子群，且g 中含有抛物元则g 离 散当且仅当 俐l ( i ) 有限； 一秒对g 中任意抛物元，夕，子群( - 厂，9 ) 离散 定理1 3 7 设g 是i s o m ( h n ) 中的非初等子群，且g 中含有阶数大于2 的椭 圆元则g 离散当且仅当 例l ( i ) 有限； 以砂对g 中任意椭圆元，9 ，子群( ，g ) 离散 定理1 3 8 设g 是 s o m ( h n ) 中的非初等予群，且g 中含有抛物( 或椭圆) 元则g 离散当且仅当 何l ( i ) 有限； 一砂对g 中任意斜驶元，和抛物( 或椭圆) 元夕，子群( ，9 ) 离散 定理1 3 9 设g 是l s o m ( h n ) 中的非初等子群，且g 中含有抛物和椭圆元则 g 离散当且仅当 例l ( i ) 有限； 矗砂对g 中任意抛物元，和椭圆元夕，子群六g ) 离散 在第四章中，我们在复双曲等距群p u ( 2 ，1 ) 中建立了如下的离散准则以及代数收 敛定理： 定理1 3 1 0 设g 是p u ( 2 ，1 ) 中的2 - d i m e n s i o n a l 子群，且g 中含有椭圆元 则g 离散当且仅当对g 中任意椭圆元，夕，子群( ，夕) 离散 定理1 3 1 1 设g 是p u ( 2 ，1 ) 中的2 一d i m e n s i o n a l 子群1 1 , jg 离散当且仅当对 g 中任意椭圆元，子群( ，) 离散 定理1 3 1 2 。设g o 是p u ( 2 ，1 ) 中的非初等离散子群对任意的自然数恐，风 9 第一章绪论 是g o 到离散群g 几cp u ( 2 ，1 ) 的同构假设 当佗_ 时，有砌( 夕) _ p ( g ) p u ( 2 ，1 ) ，v g g o ， 则群g 兰( p ( g ) ：g g o ) 离散且p ：g o _ g 是同构 在第五章中，我们得到了几何有限的复双曲等距群的如下有限性性质： 定理1 3 1 3 设m = 哟g 为几何有限的复双曲流形若对任意m n ，都不 例1 3 1 5 设g 是p u ( 2 ，1 ) 中的子群，g 中任意元素g 在s u ( 2 ，1 ) 中的提升形 10 ) 9 = a g 兰 + b g 卅吲 是几何有限群，则i s o m ( h 吾g ) 不是有限群，且镌中存在g 不变的复测地线 1 0 上海交通大学博士学位论文 1 4 主要困难和方法 我们利用双曲多边形给出了m s b i u s 变换的新特征；利用拓扑的观点和c l i f f o r d 代数讨论了实双曲等距群中的离散准则；刻画了h e i s e n b e r g 空问中链的关系等特征， 并利用之在复双曲等距群中建立了相应的离散准则、代数收敛定理；将实双曲几何有 限群的一条有限性性质推广到了复双曲等距群中，并通过构造出的例子给出了实、复 双曲几何的一个不同之处 1 4 1 m i i b i u s 变换的新特征 近年来，m s b i u s 变换( 即实双曲等距) 的新特征问题受到了较大的关注，并且 在多个方面取得了一些成果参见文献【1 3 ，1 4 ，2 1 ，2 5 ，3 7 ，4 3 4 6 ，7 6 ，8 7 】在本文的第二章 中，我们同样考虑了如何给出m s b i u s 变换的新特征这一问题我们的想法主要借鉴了 h a r u k i 、r a s s i a s 、s a m a r i s 、b u l u t 、n i a m s u p 等的一系列文章【2 1 ，4 4 4 6 ，7 6 ，8 7 】文 4 5 】中提出的新特征利用了熟知的a p p o l l o n i u s 四边形；之后，文【2 1 ，4 4 ，4 6 ，8 7 】等中又 找到了一般性的规律，从而将利用a p p o l l o n i u s 四边形推广为利用一类n 边形来作为 m s b i u s 变换的特征注意到h a r u k i 、r a s s i a s 等的这些结果都是利用欧氏几何中的 多边形来给出m s b i u s 变换的新特征，而m s b i u s 变换和双曲几何又有着紧密的联系， 我们考虑能否利用双曲多边形来给出m s b i u s 变换的新特征我们遇到的主要困难在 于：由于已知文献中没有类似的利用双曲多边形来刻画m s b i u s 变换的讨论，我们首 先需要在大量的双曲多边形中找到合适的一类多边形，并利用双曲几何中的某些特有 性质，来构思出一个新的方法事实上，我们注意到双曲几何中经典的l a m b e r t 四边 形，它具有很多良好的性质，如它是仅有的具有三个直角的四边形，它的唯一非直角 内角和边长间的关系可表达为较简单的( 双曲) 公式我们的第一个主要结果就是： 保持l a m b e r t 四边形的连续单射必定是m s b i u s 变换证明的方法是：通过规范化我 们只需考虑保持原点的连续单射，这样我们就可以得到，保持特殊的一类l a m b e r t 四边形c ，即非直角顶点为原点且两条非直角边边长相等的l a m b e r t 四边形；进一 第一章绪论 步，我们构造出一列c 中的l a m b e r t 四边形，利用，保持以及，连续，可以得到， 保持任意测地线在原点处的夹角，最后我们就可以证明厂是正交变换( 即m 6 b i u s 变 换) 在此基础上，利用几何的方法并通过构造辅助函数等，我们去掉了，连续的要求 并且得到：若单位圆盘上的单射，保持有一个内角为0 的三角形，其中0 p 丌为 常数，则，是m 6 b i u s 变换最后，我们找到了一条一般性的规律，类似【2 1 ，8 7 】等， 同样得到了可以作为m s b i u s 变换特征的一类双曲r , 边形 1 4 2 实双曲等距群的离散准则 本文的第三章讨论高维双曲等距群的离散性问题离散准则的讨论有着很长的 历史，特别是1 9 7 6 年j c r g e n s e n 利用j 0 r g e n s e n 不等式得到的一条离散准则表明： i s o m ( h 3 ) 中非初等群g 中的所有二元子群若离散。则g 也离散之后，如何减弱 j 0 r g e n s e n 离散准则中的条件就成为被广泛研究的问题具体来说，考虑g 中的一类二 元生成子群组成的族厂，问：对哪些厂，由厂中群的离散性可以得到g 的离散性? g i l m a n 、i s a c h e n k o 、r o s e n b e r g e r 、t u k i a 和王仙桃等先后讨论了这一问题并得到 一些重要进展( 参见文献 1 ，6 ，2 2 ，2 3 ，6 7 ，6 8 ，1 0 0 ，1 0 1 ，1 0 4 ，1 0 6 】等) ，但同样也遗留下一些 问题比如2 0 0 2 年t u k i a 和王仙桃在 1 0 0 中提出的一条猜测：设g 是i s o m ( h 3 ) 中的非初等子群，且g 中存在抛物和椭圆元素则g 离散当且仅当对g 中任意椭圆 元，和抛物元夕，子群( ，9 ) 离散已知离散准则的证明都使用了相同的方法，即： 首先反证假设群g 的非离散性在已知户中的群离散的前提下，构造出厂中的一 个初等群序列，然后利用如j c r g e n s e n 不等式等工具，得到该离散初等群序列中生成 元的不动点集间的关系，最后从中找出矛盾因此，在证明离散准则时遇到的主要困 难就是：如何在芦中构造出满足一定要求的离散初等群序列比如对t u k i a 和王仙 桃的猜测而言，厂是由一个抛物和一个椭圆元生成的群组成的族，但是根据已有的 方法我们很难找到符合要求的厂中离散初等群序列2 0 0 6 年，我们在【1 0 8 】中肯定 地回答了t u k i a 和王仙桃的这个问题我们的方法是利用拓扑的观点来讨论离散性问 题，即从i s o m ( h 3 ) 中的离散子群和稠密子群的关系入手，并且找出i s o m ( h 3 ) 中的 1 2 上海交通大学博士学位论文 一些特殊开子集这样在较为简单的i s o m ( h 2 ) 情形，就容易利用稠密和开集的关系 构造出符合要求的离散初等群序列；不同的是，在相对复杂的i s o m ( h 3 ) 情形，我们 是利用稠密和离散的关系构造出一个离散但非初等的群列，再通过具体的计算找到矛 盾此外，利用这一拓扑的方法，还可以简化一些已有离散准则的证明但是，只利用 这一拓扑的方法，要把i s o m ( h 3 ) 中的离散准则推广到i s o m ( h n ) 中去，仍具有相当 的难度原因主要有三点：第一，i s o m ( h n ) 中等距变换的性质比之低维时发生了重 要的变化比如高维时椭圆元的不动点集可能随着幂次的增加而扩大，并且不动点的 个数多为无穷多个，而三维时椭圆元素在边界上只有两个不动点，因此在处理含椭圆 元素时低维的证明办法一般不再适用；再如，在处理抛物元素时，i s o m ( h 3 ) 中我们 的证明使用了著名的清水引理但是由于高维时抛物元素类型更加复杂，清水引理在 i s o m ( h n ) 中的推广在性质上发生了本质的变化比如，o h t a k e 在f 7 7 】中证明了：对 i s o m ( h n ) 中含( 固定无穷远点的) 抛物元素的离散子群，其元素的极限球的半径不 再具有一致上界这主要是因为i s o m ( h n ) 中含可共轭为f ( x ) = a x + a 的螺旋抛物 元，特别是其旋转部分a o ( n ) 可为无理旋转因此，我们只能利用w a t e r m a n 等在 【2 2 ，1 0 1 】中利用c l i f f o r d 代数得到的一些较弱的推广( 其表达形式相当复杂) 。分三种 不同的情况来加以不同的处理；第二，对于有些情形( 如厂是由两个椭圆元生成的子 群族时) ，只利用三维时我们已经使用的这些方法仍然很难在厂中构造出满足要求的 离散非初等群序列经过仔细的研究，最后我们发现，我们需要在c l i f f o r d 代数中进行 大量复杂的计算。来“量化”我们前面提到的拓扑的方法具体来说，我们不仅仅是需 要知道有一列收敛到恒等元素的斜驶元素序列，还要根据不同的情况构造出满足一定 要求的具有具体表达式的斜驶元素序列；第三，由于高维时讨论离散子群和稠密子群 的关系必须利用n - d i m e n s i o n a l 的条件，而此条件又有着明显的不足，因为i s o m ( h n ) 中存在很多不满足犯d i m e n s i o n a l 条件的子群那么，很自然的，我们需要考虑如何 从死d i m e n s i o n a l 条件过渡到更弱的条件我们在第三章中讨论了n - d i m e n s i o n a l 、 一致有界挠、条件a 等各种条件间的关系，特别是几d i m e n s i o n a l 和l ( i ) 有限条件 1 3 第一章 绪论 的关系，并在此基础上在l ( i ) 有限的条件下证明了六条关于任意维数的双曲等距群 i s o m ( h n ) 的离散准则 1 4 3复双曲等距群的离散准则和代数收敛定理 复双曲等距群中的离散性及其相关问题是近年来被广泛研究的又一热点参见文 献 1 0 ，4 9 ，5 0 ，8 0 ，8 1 】类似实的情形，讨论离散性的一个重要工具是j o r g e n s e n 不等式 在p u ( n ，1 ) 中的推广形式但是由于计算的复杂性，对这一问题的讨论直到目前为止 仅在复二维，即p u ( 2 ，1 ) 中有相当进展1 9 9 8 年，b a s m a j i a n 和m i n e r 在【1 0 】中 利用几何的方法，即考虑群在a 瑶( 即h e i s e n b e r g 几何) 上的作用，给出了多个利用 h e i s e n b e r g 几何表示的不等式它们在诸如估计带c u s p 的复双曲流形的最小体积等问 题中有着重要的应用而本文中则是第一次利用了其中一个关于含椭圆元素的离散群 的不等式来给出p u ( 2 ，1 ) 中的离散准则和代数收敛定理我们克服的主要困难是：复 双曲几何中如果选取不同形式的h e r m i t i a n 内积，那么根据不同的情况，计算的复杂 性往往差别很大这就需要我们进行大量复杂和仔细的计算比如运用b a s m a j i a n 和 m i n e r 的不等式的一个前提条件是需要验证两个边界椭圆元素在边界上的不动点集是 连接( 1 i n k ) 的，而根据已知条件只能简化为两个边界椭圆元素在内部的不动点集间 的几何关系这样我们就需要在复双曲几何以及过渡到其边界的h e i s e n b e r g 几何中进 行大量的计算，包括h e i s e n b e r g 球极投影、极限球坐标等 1 4 4 复双曲等距群的有限性定理 在第四章中，我们考虑的问题是如何将几何有限的实双曲等距群的一条有限性质 推广到复双曲等距群p u ( n ，1 ) 中参见文献【8 ，6 5 ，6 6 ，8 4 ，8 6 】等在实的情形，r a t c l i f f e 在p o i n c a r 6 、丘成桐、k o b a y a s h i 等人工作的基础上证明了几何有限群的一条有限性 定理：设m = h n a 为几何有限的双曲流形若对任意m n l ，都不存在g 不 变的双曲m 维子流形，则m 上的等距群i s o m ( m ) 有限我们推广时遇到的主要问 题是：p u ( n ，1 ) 中以一个复超平面为不动点集的等距群的阶数必定是无穷，而在实的 1 4 上海交通大学博士学位论文 情形该等距群的阶数是2 同时，我们构造了一个反例，表明r a t c l i f f e 的有限性定理 中m n l 的条件在复的情形不真，这说明了实、复双曲几何的一个不同之处 1 5 第二章m 5 b i u s 变换的新特征 2 1 引言 早在1 8 8 5 年，m s b i u s 首先引入了平面m s b i u s 变换的概念m s b i u s 变换具有 很多优美的几何性质1 9 3 7 年，c a r a t h 6 d o r y 在 2 2 】中证明： 定理2 1 1 给定单射，：c - c 若复平面上任意圆周在f 下的象也是圆周， 则，是m s b i u s 变换 近年来，又有许多关于m s b i u s 变换新特征的讨论1 9 9 8 年，h a r u k i 和r a s s i a s 利用a p p o l l o n i u s 四边形给出了如下结果【4 5 】： 定义2 1 2 若四边形q 的四个顶点a ，b ，c ，d c 满足 a b l i c d l = f b c l i a d i ， 其中i i 表示e u c l i d e a n 距离，则称q 是a p p o l l o n i u s 四边形 定理2 1 3 设，：c 。c 是解析函数若复平面上任意a p p o l l o n i u s 四边形在， 下的象也是a p p o l l o n i u s 四边形，则，是m s b i u s 变换 2 0 0 2 年，b e a r d o n 和m i n d a 在【1 4 】中指出za p p o l l o n i u s 四边形的四个顶点的 交比的绝对值等于1 ，并利用之将定理2 1 3 改进为t 定理2 1 4 设厂：c - a tc 是单射若复平面上任意a p p o l l o n i u s 四边形在，下 的象也是a p p o u o n i u s 四边形，则，是m s b i u s 变换 2 0 0 2 年，s a m a r i s 在【8 7 】中定义了a p p o l l o n i u s - 2 n 边形，从而将定理2 1 3 推广 定义2 1 5 若2 n 边形q 的( 有序) 顶点名l ，z 2 ，z 2 n c 满足 a ( z l ，z 2 ，z 2 n ) = 1 ， 1 6 上海交通大学博士学位论文 其中 a ( z l ，z 2 ，z 2 n ) = ( z 1 一z 2 ) ( z 3 一铂) ( z 2 几一1 一z 2 n ) ( z 2 一z 3 ) ( 铂一z 5 ) ( z 2 n 一2 一z 2 n 1 ) ( z 2 n z 1 ) i 则称q 是a p p o l l o n i u s 2 n 边形 定理2 1 6 设，：c - c 是解析函数若复平面上任意a p p o l l o n i u s 一2 n 边形在 ，下的象也是a p p o l l o n i u s 一2 n 边形，则，是m s b i u s 变换 另一方面，对于具有奇数边的多边形，1 9 9 6 年，h a r u k i 和r a s s i a s 首先在【4 4 】 中定义了三角形的a p p o l l o n i u s 点，并得到了如下结果： 定义2 1 7 若三角形q 的三个顶点a ，b ，c c 和复平面上的另一点d 满足 b c i i a d i = i c a l i b d i = l a b i i c d l ， 则称d 是三角形q 的a p p o l l o n i u s 点 定理2 1 8 设f ：c _ c 是解析函数给定复平面上任意三角形q 及其a p p o l - l o n i u s 点d ，若，( d ) 仍是三角形i ( q ) 的a p p o l l o n i u s 点，则，是m s b i u s 变换 2 0 0 0 年，n i a m s u p 在【7 6 】中定义了三角形的( k ，f ) - a p p o l l o n i u s 点如下，并且得 定义2 1 9 若三角形q 的三个顶点a ，b ，c c 和复平面上的另一点d 满足 b c i i a d i = k i c a l i b d i = z l a b i i c d l ， 则称d 是三角形q 的( k ，f ) 一a p p o l l o n i u s 点 定理2 1 1 0 设，：c c 是解析函数给定复平面上任意三角形q 及其( 后，f ) a p p o l l o n i u s 点d ，若f ( d ) 仍是三角形( q ) 的( k ，1 ) 一a p p o l l o n i u s 点，则，是m s b i u s 变换