（应用数学专业论文）两类动力方程解的振动性与渐近性.pdf

摘要 本文研究了一类二阶拟线性时标动力方程的解的振动性质、非振动性质以及一类三 阶时标动力方程的解的渐近性质，所得结果推广和改进现有文献的相关结论，全文共分 三童： 第一章为绪论，介绍了时标动力方程的研究背景、发展概况，基本概念理论以及本文 的主要工作 第二章运用s c h a u d e r - b 曲o n o e 不动点，给出了一类二阶拟线性时标动力方程 ( r ) i 可 ) i a 一1 可 ) ) + 厂 ，可矿( ) ) = o 的非振动解的存在性的充要条件；运用广义磁c c a t i 变换和h 6 l d e r 不等式，得到该方程 的振动准则，所得结果丰富了该研究领域的结论 第三章运用广义礅c c a t i 变换及不等式技巧，研究了一类三阶时标动力方程 ( r z ) ( ( r 1 ( t ) z ( t ) ) ) 7 ) + g ) 厂( z ( t ) ) = o 的解的渐近性质，建立了一系列新的振动准则，所得结果推广和补充了相关文献的结论 关键词：二阶；三阶；拟线性；时标动力方程；s c h a u d e r _ 町c h o n o 行不动点定理；r i c c a t i 变换；振动；非振动；渐近性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yo s c i l l a t i o n 观dn o n o s c i u a t i o no fs o l u t i o i l so fc e r t a i ns e c o n d o r d e rq u a s i h n e a rd y n 锄i ce q u a t i 0 璐a n da s y l p t o t i cp r o p e r t 斌o fs o l u t i o 璐o fc e r t a i n t l l i r do r d e rd y n a l i ce q u a t i o n s t h er e s u l t sg i v e ni n t h i st h e s i se 妣e n da n di m p r a v et h e c o r r e s p o i l d i n go i 瑚i nt h eh t e r a t u r 髑t h i st h e s i si 8c o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ： i nt h e 矗r s td h 印t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h eg e n e r a l8 i t u a t i o na n dt h e f h d a m e n t a lc o n c e p t sa n dt h e o 珂o fd y n a l i ce q u a t i o 璐o nt i l n es c a l e sa n dt h em a i nw o r k o f t h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n gt h es c h a u d e r - t y c h o n o 行缸e dp o i n tt h e o r e m ，w e 西v e s o m es u 伍c i e n ta n dn e c 髑s 跗yc o n 出t i o 瑚w b j c hg u a r a n t e et h a tt h ee 菇s t e n c eo fn o n o s c i l - l a t o 可8 0 l u t i o n so ft h es e c o n do r d e rq u a s i h n e a rd y n 删ce q u a t i o n ( r ( ) i 可( t ) i a 一1 1 ， ) ) + ，( t ，可盯( 亡) ) = o a n d 丘n dc r i t e r i ao s c i u a t i o no fe v e 叼7s o l u t i o no ft h ee q u a t i o nb ym e a 璐o fg e n e r a l i z e d f u c c a t it e 吐m i q u ea n dh 6 l d e r si n e q u a l i t 弘 o u rr e s u l t so b t a l i n e dh e r e e n r i c ht h o s eo f o s c i u a t i o ns t u d y 御e ao fd y l l a 1 i ce q u a t i o n s i nt h et h i r dc h 印t e r ，b yu s i n gg e n e r a h z e d 瞰c c a t it r a i l s f o m a t i o na n di n e q u a l i t 妇 t e c h n i q u e ，w ec o n s i d e r 岬p t o t i cp r o p e r t i e so ft h i r do r d e rn o n l i n e a rd y n 锄i ce q u a t i o n o ft h ef o r m ( t ) ( ( r - ( ) 户( t ) ) ) 7 ) + q ( t ) ，( z ( t ) ) = o ， a n de 8 t a b l i s has e r i e so fn e wo s c i u a t i o nc r i t e r i a o u rr e s m t so b t a i n e dh e r ee 赋e n da n d c o m p l e m e n tt h er e l a t e dr e 8 u l t si nt h el i t e r a t u r e 8 k e y w o r d s ：s e c o n do r d e r ；t h i r do r d e r ；q u a s i l i n e a r ；d y n a 而ce q u a t i o no n t i m es c 出； s c h a u d e 卜耐出o n 硼缸e dp o i n tt h e o r e m ；m c c a t it r a n 8 f o r 谢i o n ；o s c i u a t i o n ；n o n o s c i u a - t o r y ；a s y m p t o t i cp r o p e r t i e 8 2 第一章绪论 1 1引言 微分方程经过差分后引出差分方程，微分方程经差分后许多性质保留下来，这体 现在差分方程和微分方程这两个领域里许多经典定理的结论和证明方法非常类似，比 如，s t u r m 比较定理、p i c o n e 恒等式、f i t e 和w a l t m a n 振动定理、h i l l e 和n e h a r i 振动 和非振动定理、g r o i l w 赳l ( b e u m a n ) 不等式、c a u c h y s c l l w a r z 不等式、二阶微分方程和 二阶差分方程两点边值问题的非平凡解的存在性等等但是，也有许多例子表明微分方程 与相应的差分方程会有不同的性质，例如单个种群的生态数学模型的l o g i s t i c 方程 a ， 茜2 。z ( 1 一老) ，口 o ，忌 o 的每个解都是单调增长的但与相应的差分方程 z n = n z n ( 1 6 z n ) 有可能出现混沌解，这就有了本质区别由于差异性，微分方程理论和差分方程理论 多年来一直作为两个独立的分支研究1 9 9 0 年德国数学家s t e f a nh i l g e r 发表了测度链 ( m e a u r ec 1 1 a i n s ) 分析一个连续与离散分析统一的方法通过测度链这种工具，微分方 程理论和差分方程统一为时标动力方程，而且通过对时标的不同选取，所得的结果比微 分方程和差分方程理论更为广泛 时标动力方程在应用上有巨大的潜力自然界中有一些过程有时依赖于连续变量，有 时依赖于离散变量用时间测度上的动力方程就可恰当的给出这些现象的数学模型美国 彼得森和托马斯用时间测度动力方程弥合了西尼罗河病毒传播的离散方面和联系方面之 间的空隙托马斯认为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效工具除了生物学 的应用，这种数学工具也已用来改进股票市场的计算模式正因为此，近二十年来，时标 ( t i m es c a l e s ) 动力方程理论迅猛发展，并受到数学家的广泛关注l a l ( s h m i l ( a n t h 锄等在 出版的著作 9 建立了测度链上动力方程的李雅普诺夫稳定性理论b o h n e r 和p e t e r s o n 系统分析了时间测度链上的动力方程e r b e 、g r a c e 、h a u s s a n 等人得到了一系列时标动力 方程振动理论，可参见 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 9 ，3 8 ，3 7 ，3 9 ，4 0 ，4 2 1 微积分学的迅速发展使得二阶常微分方程的基本理论基本趋于完善，但是二阶差分 方程理论的研究还远不及二阶常微分方程完善例如：二阶常微分方程中的一些经典定理 ( 如：k 培u r a d z e 定理，b e l o h o r e c 定理、w i l l e t t 和j a m e sw b n g 关于方程的振动和非振动 定理) ，对相应的差分方程是否也有相应的定理成立，我们并不知道我们的基本研究思 想是将常微分方程中的一些经典定理推广到时标动力方程上，然后将得到的结果应用于 差分方程，从而完善差分方程的基本理论本文将体现这一思想：第二章把j w a n gf 3 5 3 关于二阶拟线性方程的结论推广到相应的时标动力方程，第三章把d r a n d e r s o n 3 6 】 二维系统时标动态方程的h i l l e 和n e h a r i 振动准则推广到三阶时标动力方程，并用实例 阐述相应的差分方程的相似结论 1 2 时标动力方程的基础知识 定义1 2 1 设t 为时标( t i m es c a l e ) ，对亡- ，定义前跳算子仃：t _ t ，矿( t ) ：= i n f s t ：s t ) ，后跳算子p ：一t ，p ( t ) ：= s u p s t ：s t ，t t ，称t 是右离散的( r i g h t s c a t t e r e d ) 而如果p ( t ) o ， 存在t 的一个邻域矿( 即矿= ( t 一6 ，t + 6 ) nt ，其中6 0 ) 使得对所有s u ，有 | ，( 仃( t ) ) 一，( s ) 】一，( t ) p ( 亡) 一s 】i e i 矿( t ) 一sj ，则称厂( t ) 为，在亡点的导数我们 说，如果对所有t 畔，产( t ) 存在，则称厂在俨上是可导的( 简称可导) ，且有如下公式 ，( 盯 ) ) = ，( 亡) + p ( t ) ， ) 特别地， ( 1 ) 当j - = r 时，产= 厂7 为普通的导数； ( 2 ) 当 = z 时，厂= ，为普通的向前差分算子 如，在k6 】t 上可微，且对任意t n ，6 】t 有， o ，产 o ； ( a 4 ) 对固定t 亡o ，。) t ，厂( ，y ) 对第二个变量y 非减； 7 ( a 5 ) 对固定亡【t o ，) t ，( 亡，) 对第二个变量秒非增 方程( 1 3 1 ) 的原型为 ( ( 秒) ”) 7 + g ( 亡) 犷= o ，( 1 3 2 ) 其中，乱k = l 乱l 入s 夕住u ( 1 3 1 ) 的定性性质也被很多学者研究，包括e 1 b e r 【1 8 】_ 【2 1 】，i z j u m o v a 和m i r z o v 3 0 】e l b e r 和k u s a n o 推广到更一般的拟线性微分方程 p ( t ) 妒( 可7 ) ) + ，( t ，秒) = o ，( 1 3 3 ) 其中，妒严格递增，且s 夕几妒( u ) = 8 9 佗t j w a n g 研究 ( 1 秒( 亡) i a 一1 3 ，( t ) ) + ，( 亡，( t ) ) = 0( 1 3 4 ) 的非振动性和振动性受 3 5 的启发，我们推广到广义时标拟线性动力方程( 1 3 1 ) ，这 里，( t ，y ) 中舌和未必独立 定义 冗( t ) = r - 1 加( s ) s t ，亡0 在条件( a 1 ) - ( a 4 ) 得到以下非振动结果： 定理1 3 1 假设( a 1 ) 一( a 4 ) 都满足则方程( 1 3 1 ) 存在非振动解满足 规器= 咖蟛o ( 1 3 5 ) 的充分必要条件是存在c 0 ，使得 i ，( t ，c 彤( 洲t 0 ，使得 厂( 高i 邝棚i s ) 1 肛扯o o 3 加， 在( a 1 ) - ( a 5 ) 的一些条件下，我们得到方程( 1 3 1 ) 的振动定理： 定理1 3 4 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 都满足如果对所有的6 0 ， 逛氍i m ，剪) 阻= 。o ， ( 1 3 1 1 ) 则方程( 1 3 1 ) 振动 定理1 3 5 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 都满足如果存在入 o 厂；融掣址o 。， ( 1 3 m ) 则方程( 1 3 1 ) 振动 定理1 3 6 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 都满足如果对所有的6 7 6 0 ， 6 l 邢，秒) 恤= o 。 ( 1 3 1 3 ) 成立，且存在函数妒：，o o ) 一酞+ ，珈 o 和t 2 o ，对于t 陋2 ，o 。) t ，有 i 感。粼 r _ 枷 ( 1 3 m ) 及 妒( y ) = 。，( 1 3 1 5 ) ，! ，o 则方程( 1 3 1 ) 振动 定理1 - 3 7 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 和( a 5 ) 都满足如果对所有的6 7 j o 和c o ， 6 巢r i 雕，可) i t = o o( 1 矗1 6 ) 和 i ，( 亡，c r 盯( 洲= o 。， ( 1 3 1 7 ) 则方程( 1 3 1 ) 振动 下面给出方程( 1 3 1 ) 振动的充分必要条件的定理 定理1 3 8 假设( a 1 ) 一( a 4 ) 都满足另外存在连续非减函数妒：r r 具有以下性 质： 踟出) = s 舢，i 蛔篙 o ，可1 o 和粤0 ，s 夕竹宅= s 夕礼可， ，( t ，可) i 尼i ，( t ，2 ) i i 妒( 秒) i a ，t 陋1 ，。) t ，l3 j 秒1 ( 1 3 1 9 ) 则方程( 1 3 1 ) 振动的充分必要条件是 厂( 高( ，。0i ，( s ，c ) i s ) ) v a 扯o o ，v c 0 ( 1 3 伪) 定理1 3 9 假设( a 1 ) - ( a 4 ) 都满足另外存在连续非减函数矽： 一m ，m 一r 和 m o 使得： s 9 死矽( u ) = s 夕礼u ， z 士m 及对某个常数忌 0 ，u 1 o ， ( 1 3 2 1 ) ， ，u u ) l 后，( 亡，就) l | 妒( t ，) j ，t 陋1 ，o 。) t ，乱o ，o o0 o ) 的连续函数，且存在正数m 使得 掣m ，z o ( 1 3 2 6 ) z 7 一 、7 对二阶线性微分方程 z ( t ) + p ( ) z ( ) = o ，p c ( 陋o ，o 。，r + )( 1 3 2 7 ) 1 0 的振动性质，一直都是学者们关心的问题在1 9 1 8 年，f i t e 【4 1 】研究了方程( 1 3 2 7 ) 并 证明如果 p ( s ) d s = o 。，( 1 3 2 8 ) 则方程( 1 3 2 7 ) 是振动的在1 9 4 8 年，h i l l e 【4 3 】改进了条件( 1 3 2 8 ) ，证明如果 罂掣p ( s 冲 丢 则方程( 1 3 2 7 ) 是振动的在1 9 5 7 年，n e h 撕 4 4 】用不同的方法得出以下结果：如果 t 罂掣 州幻扣亡儿 “7 4 则方程( 1 3 2 7 ) 是振动的 最近，e r b e ，h a s s a n ，p e t e r s o n 和s a k e r 3 7 】将h i l l e 和n e h a r i 振动定理推广到二阶 半线性时滞动力方程 ( ( z ) ) 7 ) + p ) z 7 ( 7 ) ) = o ， t 【t 。，。) 冒 此外，a n d e r s o n 推广上述的h i l l e 和n e h a r i 振动定理到二维非线性系统 近年来，三阶动力方程的渐近性质也备受关注，这领域一系列进展参考 3 8 ，3 9 ，4 0 ， 4 5 特别地，在【4 0 ，e r b e ，p e r t e r s o n ，s a k e r 进一步推广h i l l e 和n e h a r i 振动定理到 叫札，= r 赤洲“- ，= 帮缸 p ( ) 2 南讹1 ) 霹1 ( “1 ) ，尸( 亡) 2 ，p ( s ) 缸 ， ，1 鲍：= = 霉竺羔冀 定理1 3 1 0 假设 g ( s ) s = o 。 - ，t o 成立方程( 1 3 2 4 ) 每个解z ( 亡) 振动或者j i mz ( t ) = o 由定理1 3 1 0 ，我们可以假设 明显地，这里存在两种情况：或者 或者 f g ( s ) s 。 f g ( s ) s o o 且 ， g ( s ) s o 。且 ，t o ( 1 3 2 9 ) ，- p ( s ) s = ， ( 1 3 3 0 ) ，幻 f p ( s ) s 。 ( 1 3 3 1 ) 本文我们只考虑在条件( 1 3 3 0 ) 时方程( 1 3 2 4 ) 的振动性质并假设时标- 满足 熙帮= 。( 等价地熙鬻= 1 ) ( 1 3 勉) 定理1 3 1 1 假设( 1 3 3 0 ) 和( 1 3 3 2 ) 成立如果存在某常数入 1 使得 ， g ( 8 ) p ( s ) s = o 。，亡2 盯( ) ，。o ) t ， ( 1 3 3 3 ) ，t 2 则方程( 1 3 2 4 ) 每个解z ( t ) 振动或者熙z ( t ) 存在( 有限) 鉴于定理1 3 1 1 ，我们限制在 ， 口( s ) p a ( s ) s 丢， ( 1 3 3 6 ) 则方程( 1 3 2 4 ) 每个解z ( 亡) 振动或者熙z ( ) 存在( 有限) 定理1 3 1 3 假设( 1 3 3 0 ) ，( 1 3 3 2 ) 和( 1 3 3 4 ) 成立函( 2 ) j ，存在实数a 0 ，1 ) 使得 以杪三( 1 + 万鬲丽) + 杀焉， ( 1 3 3 7 ) 则方程( 1 3 2 4 ) 每个解z ( t ) 振动或者j i mz ( t ) 存在( 有限) 定理1 3 1 4 假设( 1 3 3 0 ) ，( 1 3 3 2 ) 和( 1 3 3 4 ) 成立m 鳙( o ) ，玑( 2 ) ) ，存在实 数入【o ，1 ) 使得 玑( o ) 三a ( 2 一a ) 和 删 三( 厕+ 厕) + 咎， 则方程( 1 3 2 4 ) 每个解z ( 亡) 振动或者恕z ( t ) 存在( 有限) ( 1 3 3 8 ) ( 1 3 3 9 ) 第二章二阶拟线性动力方程解的非振动性、振动性 2 1 研究背景、基本假设和引理 考虑二阶拟线性动力方程 ( r ) i ( ) i 口一1 可( t ) ) + ， ，j ) ) = o 的解的非振动与振动性质，其中亡陋o ，o 。) 翟，是一个无上界的时标 件成立： ( 2 1 1 ) 并且假设下列条 ( a 1 ) q 为正常数； ( a 2 ) r g d ( ，o 。) t ，r + ) 且满足e7 _ 1 口( s ) s = o 。，r + = ( o ，) ； ( a 3 ) 厂c ( 陋o ，o 。) t r ，酞) ，且对任一亡，o 。) t ，o ，都有秒，( t ，可) o ； ( a 4 ) 对固定t ，) t ，( 亡，可) 对第二个变量掣非减； ( a 5 ) 对固定t 陋o ，o 。) t ，( t ，可) 对第二个变量箩非增 由于我们主要关心解在无穷远处的振动性质，我们假设s u p = + o o 并定义时间标 度区间，+ o o ) t 为 t o ，+ o 。) t ：= 陆o ，+ 。) n - 在这篇文章中，我们始终假设t 继承了 实数集合r 上的标准拓扑方程( 2 1 1 ) 的一个解z ( t ) 非最终恒正或者非最终恒负，则称 z ( t ) 为方程( 2 1 1 ) 的振动解否则，称z ( t ) 为方程( 2 1 1 ) 的非振动解若方程( 2 1 1 ) 所有的解振动，则称方程( 2 1 1 ) 是振动的 为了方便，我们定义 r ( t ) = r - 1 a ( s ) s ，t o 为证明我们的结果，需要以下引理 引理2 1 1 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立y ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解，那么存在 充分大的t l ，。) t ，使得 箩 ) y ( 亡) o ，亡陋l ，o 。) t 引理2 1 1 的证明很显然的，我们略去它的证明根据当t - o 。解的渐近陛质，我 们将非振动解分类 引理2 1 2 方程( 2 1 1 ) 任一个非振动解可( ) 必是下面三种类型之一： ( i ) 熙端2 c d 僦o ； 14 ( i i ) 熙器= o ，和舰y ( ) = o 。或一o o ； ( i i i ) 怒船= o ，和规箩( t ) = 僦s t o 证明- 假设可( d 是方程( 2 1 1 ) 个非振动解不妨设剪( t ) 0 ，t ) t 由引理2 1 1 ， 可得俨( 亡) o ，亡陋1 ，o o ) t 由方程( 2 1 1 ) ，( r ( t ) ( 户( t ) ) 口) o ，由l h 6 p i t a l 法则 1 2 】，定理1 1 2 0 】， + o o+ 。o 。 熙器= 舰邓) 户= 僦0 否者 熙器= 熙邓) 可= o 且由于y ( 亡) 递增，当t o 。，y ( t ) 趋近一个正的极限( 有限或无限) 证毕 口 引理2 1 3 假设口( p o ，。) t ，r ) 是二阶动力方程 ( r ) i 钞( t ) i q 一1 口( t ) ) + g ( t ) 1 秒盯( t ) i 口一1 可口 ) = o ，t ，o o ) t ，( 2 1 2 ) 的一个非振动解，这里a 1 ，g ( 亡) g d ( ，o o ) t ，r + ) ，r ( t ) 满足条件( a 2 ) 定义叫( 亡) 为 婶一l 鬻n 等) 那么叫( t ) 满足一阶动力不等式 叫( t ) + 口( t ) + 高帅) i ( 1 + 酬口o ，亡肛。，o o ) t ， ( 2 1 3 ) 证明我们不妨设口( t ) 是最终正解那么，由( 2 1 2 ) ， = 坳盟喘鞴群型 一揶m 群 ( 2 1 4 ) 由引理2 1 1 ，对t 。) t ， ( t ) o ，也即 叮( t ) u ( c ) u ) ，c 陋，盯 ) 再由链式法则窿理1 2 4 ，可得 群= 攀帮= 南叫班( 口口( t ) ) 口( 秽口( t ) ) q u ( )7 1 口( t ) “ r 广 结合( 2 1 4 ) ，可知( 2 1 3 ) 成立证毕 口 引理2 1 4 如果u ( t ) ：t _ r 是恒正或恒负可微函数，则钆( t ) 满足不等式： ( i 叶1 ) 孚( i 缸r 1 酢) ) 叼，a o ( 2 1 - 5 ) 证明如果u ( t ) 恒正，则由p 6 t z s c h e 链式法则 定理1 2 5 】，有 ( ( 仳 ) ) 口+ 1 ) = ( a + 1 ) ( 九u 口 ) + ( 1 一九) 乱o ) ) a 乱( t ) d 危 ，o 和 ( ( 删口) 叼( 归q z 1 ( 弛叩) + ( 1 叫删乱( t ) 州执 那么， 南( ( 乱( 亡) ) 州) 一( ( u ( 亡) ) a ) u 矿( t ) = a ( 1 一九) ( u ( 亡) 一乱口( t ) ) ( 九矿( t ) + ( 1 一九) u ( t ) ) a 一1 u ( ) d 九 ，o = 一q z 1 ( 1 一九) ( m ( t ) + ( 1 一九) 缸( 亡) ) q 一1 ( 铲( ) ) 2 p ( 亡) 砒 o ，即可得( 2 1 5 ) 成立证毕 口 引理2 1 5 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立y ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的非振动解，则存在常数后 o 使得y ( t ) 最终满足i ( t ) i 七r ( t ) 证明不失一般性我们假设最终y ( t ) o 则由引理2 1 1 ，存在l p o ，o 。) t 使得 ( t ) o 和y ( t ) o 成立，t 忙1 ，o 。) t 由方程( 2 1 1 ) ，( r ( 亡) 户( t ) ) o 和t 2 陋1 ，o o ) t 使得 r ( t ) ( 户( t ) ) q m n 且r ( 亡) 1 ，t 陋2 ，o o ) t 于是有户( t ) 考对这个不等式从t 2 到积分，我们得到，对t 陋2 ，) t ，对某个尼 o ， 酢) 纠动棚石南纠纠踯) + m 踯) 鲥础) 证毕 口 1 6 2 2 主要结果 2 2 1 方程( 2 1 1 ) 的非振动解的存在性 在引理2 1 1 和引理2 1 2 的基础上，现在我们分别在下列三种情况下建立方程( 2 1 1 ) 的非振动解的存在性的准则 定理2 2 1 假设( a 1 ) - ( a 4 ) 都满足则方程( 2 1 1 ) 存在( i ) 型非振动解的充分必要 条件是存在c 0 ，使得 i ，( 亡，c 彤( 洲t o ，( 亡) o ，z 冗 ) ( t ) 三r ( t )t 肫l ，o o ) t 于是， r 叮( t ) y 口 ) o ，亡陋1 ，) t ，我们得到 ，( s ，可口( s ) ) s o ，可( t ) o ，2 ( 亡) o ，t 陋l ，o 。) t ，我们有 以 ，( r ，旷( r ) ) r = r ( s ) ( 可( s ) ) 口一r ( 亡) ( 广( t ) ) 口 0 使得 厂( 高。i ，( 州) | s ) v 口扯o o 仁2 q 证明我们假设c o 令七( o ，c ) 由( 2 1 1 ) ，t 1 陋o ，o 。) t 足够大可使得 ，( t ，凫( r 口( t ) + 1 ) ) t 七口 考虑集合ycc 陋1 ，。) t 和映射圣：y c 【亡1 ，o 。) t 定义如下 y = 箩c 1 ，。o ) t ：七可( t ) 尼( r 口( ) + 1 ) ，t 陋l ，) 霄) 和 ( 啪+ 石高( 。m 州肛s 蚓“咖 那么，应用s c h a u d e r - t y c h o n o 任不动点定理 定理1 2 6 】，我们得到存在函数可y 使得 y = 西可函数可= 可( t ) 满足 绯+ r ( 高。m m ) v a s ，啡，础 ( 2 2 7 ) 这蕴含可( t ) 方程( 2 1 1 ) 的正解由( 2 2 7 ) ，我们也看到 恕器= 恕叩矿= 恕( m ( 乱) ) u ) 蜘_ 。， 且，由( 2 2 6 ) ， 熙) 熙( 七+ r ( 高m 叫1 口s ) = o 。 因此可( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的( i i ) 型解证毕 口 2 2 2 方程( 2 1 - 1 ) 的振动性 在这一节我们建立方程( 2 1 1 ) 的新的振动准则 定理2 2 4 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立如果对所有的6 o ， 畦椠。i m ，y ) 阻= o o ， ( 2 2 8 ) 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明假设方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解y ( t ) ，不失一般性( t ) o ，t 陋1 ，o o ) t ，因为 秒( 亡) o ，p 1 ，o o ) t 从1 到古对方程( 2 1 1 ) 积分， 我们有 l m ，旷( s ) ) | s o ， t 1 ，o 。) t ，我们可知o 旷( 舌1 ) 旷( 亡) ，t 陋l ，o 。) t ，且定 义6 = 旷( 1 ) ，由( 2 2 8 ) ，我们得 ( 。旷( 8 ) ) l 8 ，蚓可精i o ，t 陋1 ，。o ) t ，那么， 由弓理2 。1 。1 ，( t ) o ，舌陋l ，o 。) t 设 邮一( 鬻) q 由方程( 2 1 1 ) ，则我们得到 ( i y ( t ) l 口一1 ( t ) ) + 考： ； 嘉挲i 可口( t ) l 口一1 y 4 ( t ) = 。，t 陋- ，。) t 应用引理2 1 3 ，则有 州+ 南+ 雠 0 ，铘础 ( 2 2 1 1 ) 这里p = 警( 2 2 1 1 ) 两端同乘以舻( t ) ( a o 是一常数注意到a 1 ，由链式法则 定理1 2 4 】，我们得到 则 ( r ( s ) ) = a 冗a 一1 ( c ) j 护( s ) a r a 一1 ( s ) j 护( s ) ，c s ，盯( s ) 】 ，t 舻( t ) ( t ) 一a 舻- 1 ( s ) 庐( s ) 叫口( s ) s ，t l + a p ( s ) 州蚺p ( s ) 铬铲岖 由( 2 1 3 ) ，叫( t ) 是递减函数，叫矿( s ) 伽( s ) ，于是 ， r a ( t ) 叫( t ) 一a r - 1 ( s ) r ( s ) 叫( s ) s ，1 + o ! p ( s ) 蚺p ( s ) 铬掣岖 ( 2 2 m ) 首先假设 r 矿l ( s ) 硝s ) ) s o ) ， 6 篡i 馋，箩) 阻= o o ， ( 2 2 1 9 ) 且存在连续函数妒：，。) _ r + ，跏 o ，和常数t 2 o 使得当t 陋2 ，o 。) t ，川 珈，o o ) ， l 憨渊犷蜘 ( 2 2 2 0 ) 和 妒( y ) 可= o 。，( 2 2 2 1 ) ，珈 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明假设方程( 2 1 1 ) 一个非振动解可( t ) ，不妨设可( 亡) o ，亡陋1 ，o 。) t ，那么由引理 2 1 1 可得可( t ) o ，t o 。) t 解( t ) 或者有界或者无界 若可( ) 有界存在正的常数6 和6 7 使得当t 肛l ，o 。) t ，占箩( t ) 6 ，由( 2 2 1 9 ) ， 我们得到 ，( t ，y 口( t ) ) t i n f ，i ，( t ，可口( ) i t = 。 t ，t 】t ，】 6 s ”口( t ) i 这与( 2 2 9 ) 矛盾 若可( t ) 无界因为u ( t ) = r 1 加( t ) 户( t ) o ，由引理2 1 4 ，我们有 熹( ( r 1 户( t ) ) 州) ( ( r 1 户( t ) ) 口) ( 俐) 1 a ( 圹( 亡) ) ， 也即， 南( ( r l q ( ) 可( t ) ) 州) ( 咧可( 亡) ) d ) ( ，( ) ) 1 a ( 圹( t ) ) 方程( 2 1 1 ) 两端同乘以( r 矿( 亡) ) 1 口( 箩矿( ) ) 且在区间陋1 ，叫积分，我们得到 熹 ( ( 州t ) 户( t ) ) 蚪1 ) 一( ( 州亡) 户( 坩+ 1 ) + ( ，( s ) ) 1 n ，( 8 ，旷( 8 ) ) ( 旷