（应用数学专业论文）实零点多项式的若干判别法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 组合序列分布性质的研究是组合数学中最原始最基本的问题之一，其中一类重要的 分布性质是单峰型性质，包括单峰性，对数凹性，对数凸性和p f 性质等它自然的出现 在组合，分析，代数，数论，几何，概率统计等数学分支以及计算科学，经济学等其它 学科中至于实零点多项式的研究，更是数学本身的基本问题之一，n e w t o n 不等式和 a i s s e n - s c h o e n b e r g w h i t n e y 定理建立了实零点多项式与序列单峰型性质之间的联系一 些问题虽然不是直接关于多项式实零点的问题，但可以转化为实零点的问题 本文安排如下： 1 主要介绍了多项式实零点问题的相关背景 2 介绍了实零点多项式相关的基本知识 3 总结了证明多项式只有实零点的几种方法 4 用几种方法证明了n a r a y a n a 多项式是实零点多项式 关键词：实零点多项式；m 1 t i p l i e r 序列；n a r a y a n a 多项式 实零点多项式的若干别法 c e r t a i nc r i t e r i o n so fp o l y n o m i a l sw i t ho n l yr e a lz e r o s a b s t r a c t i h ed i s t r i b u t i o no fc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e si sab a s i cp r o b l e mi nc o m b i n a t o r i c s o n eo f t h em o s ti m p o r t a n tp r o p e r t i e si st h eu n i m o d a l i t yp r o p e r t y ，w h i c hi n c l u d e st h eu n i m o d a l i t y ，t h e l o g - c o n c a v i t y ，t h el o g - c o n v e x i t ya n d t h ep fp r o p e r t y n e w t o ni n e q u a l i t ya n da i s s e n s c h o e n b e r g w h i t n e yt h e o r e mp r o v i d et h eb a s i cl i n kb e t w e e nt h eu n i m o d a l i t yp r o p e r t ya n d p o l y n o r m i a l sw i t ho n l yr e a lz e r o s o nt h eo t h e rh a n d ，a l t h o u g hs o m ep r o b l e m sa l en o td i r e c t l y a b o u tp o l y n o m i a l s 谢t l lo n l yr e a lz e r o s ，t h e yc a l lb ei n v e r t e di n t ot h ep r o b l e mw h e t h e ra p o l y n o m i a lh a so n l yr e a lz e r o s t h eo r g a n i z a t i o no ft h i st h e s i si sa sf i l l o w s ： 1 1 1 圮c o r r e l a t i v eb a c k g r o u n do ft h er e a l i t yo fz e r o so fp o l y n o m i a l sw e r ei n t r o d u c e d 2 1 1 1 eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hi sr e l a t e dt ot h er e a l i t yo fz e r o so fp o l y n o m i a l sw e r e i n t r o d u c e d 3 w es u m m e d u ps e v e r a lm e t h o d s w h i c ha l eu s e dt os h o wt h a tap o l y n o m i a lh a so n l yr e a l z e r o s 4 ，ep r o v e dt h a tn a r a y a n ap o l y n o m i a l sh a v eo n l yr e a lz e r o si ns e v e r a ld i f f e r e n tw a y s k e yw o r d s ：p o t y n o m i a t sw i t ho n l yr e a lz e r o s ；m u l t i p l i e rs e q u e n c e s ；n a r a y a n a p o t y n o m i a t s i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：塞鐾点垒亟盛鲍羞王判别洼 作者签名：二乙二乏包l 一日期：兰u 月么 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：塞鐾。基垒亟式鲍羞王判剔法 作者签名： 互互翟k日期：丝2 年z - 月 日 导师签名： 垒数。日期：丝生宰年j | _ 月j 上日 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 组合序列分布性质的研究是组合数学中最原始最基本的问题之一，其中一类重要的 分布性质是单峰型性质，包括单峰性、对数凹性、对数凸性和p f 性质等它经常会出现 在组合、分布、代数、数论、几何、概率统计等数学分支以及计算机科学、经济学等其 它学科中实际上，单峰型问题的研究最早出现在概率统计学科中，后来才发展到其它领 域组合序列的单峰型问题一直为人们所关注，至于实零点多项式的研究，更是数学本身 的基本问题之n e w t o n 不等式和a i s s e n - - s c h o e n b e r g - - w h i t n e y 定理建立了实零点多项 式与序列单峰型性质之间的联系。 对于组合序列的正态分布性质一直以来也引起了众多人的兴趣例如：在1 9 6 7 年， h a r p e r 4 就证明了第二类s t i r t i n g 数的渐进分布是正态分布正态分布是概率论和数理统 计中最常用也是最重要的一种概率分布它在解决实际问题中有着广泛的应用，序列的正 态分布通过下面结论与只有实零点的多项式联系起来 命题1 1 4 】：对于一个非负的实数序列，如果它的发生函数只有实零点，那么它所 对应的分布是正态分布 根据这个命题我们可以利用多项式实零点的理论来解决概率统计中有关正态分布 的问题。 多项式的零点与方程的根实际上是同一个数学对象的两种不同的表述方式，在代数 学中，对方程的根的研究有着非常悠久的历史，早在1 7 9 9 年g a u s s 就在其博士论文中 给出了代数学基本定理的第一个实质性的证明，不同的是在代数学中通常都是解一个给 定的具体方程的根，但是在组合学中出现的多项式往往很难给出显式表达式，一般只能 得到其满足的性质，如满足某些递归关系等此外，有时即使有显式表达式，但当讨论其 零点的性质时也不如用递归关系方便因此希望能借助多项式所满足的组合性质来研究 实零点性问题。 本文主要工作有：一是给出s h a p i r o 1 6 在2 0 0 1 年提出的关于n a r a y a n a 矩阵的行的 极限分布的公开问题的证明二是对r w m c n a n a m 1 4 提出的猜想“令( 吼) 为一个正实 数有限序列，若研吼】彪则p l ( a 七) 】r z 其中l ( a ) = ( b k ) ，b k = 何2 - a a 川”提供一 个例子支持。 实零点多项式的若干别法 2 基本概念 如果一个实多项式恒等于0 或者其首项系数是正的，则称这个多项式是标准的用 r z 表示零点均为实数的实多项式的集合特别的，用胛表示r z 中系数非负的多项式的 集合。显然，集合即中的多项式只具有非正的实零点 假设多项式厂，g r z ，并且厂和g 的零点按非增的顺序排列分别为 ，； 和 墨 ，如 果 d e g f = d e g g = 疗， 并且 8 n 厶8 n - l s 2 r 2 8 1 ，i ， 则记为g 础f ，如果 d e g f = d e g g + 1 = 刀， 并且 厶晶1 0 1 s 2 r 2 函五， 则记为g 硫f 用g 厂表示“g 础f 或g 衄f ”此时称多项式厂和g 是交替( 交 错) 的特别地，若 8 n 1s sr 2 岛，i 或 ，：，1 一l 8 2 吒岛，i 中等号没有出现，则称厂和g 是严格交替( 交错) 的 假设a o ，q ，g 2 ，是非负实数序列如果存在所0 使得 口0 o q a m 口肘“， 则称该序列是单峰的，并且称下标m 为峰点，称口肼为峰值；如果对于任意f 0 ，都有 2 a , 口卜l + q + l ( 2 q t j _ l + 口i + 1 ) ， 则称该序列是凹的( 凸的) ；如果对于任意的i 0 ，都有 口，2 g i _ l 口“1 ( 口f 2 g i _ l 口f + 1 ) ， 则称该序列是对数凹的( 对数凸的) 例如，对于固定的阼，二项式系数 m ， 大连理t 大学硕士学位论文 是对数凹的，单峰的进一步的，当刀是偶数时，有唯一的峰点罢；当以是奇数时有两个 峰点_ n + - 1 而中心二项式系数 ( ： ，( ) ，( ：) ， 是对数凸的 假设彳= ( 口：f ，) u 卸是无穷实矩阵，如果其所有子式都是非负的，则称么是 t o t a l l yp o s i t i v e 矩阵( 简称t p 矩阵) 假设 哆 渤是无穷非负实序列，如果其对应的 t o e p l i t z 矩阵 cq一，x，卸=la曼。童aa至a2； 是t p 的，则称该序列为p 6 1 y af r e q u e n c y 序列( 简称p f 序y d ) 如果对于任意的，1 ，矩 阵( q 一，) u 卸的所有阶数小于等于，的子式都是非负的，则称该序列为p f ，序列由定义可 知序列p f ：是对数凹的对于有限实序列 口o ，口l ，a n ) ，如果其扩充后的无穷序列 a 0 ，q ，a n ，0 ，0 是p f 的，我们也称该有限序列为p f 的 有限序列的单峰型，对数凹性和p f 性质与其对应的发生函数的零点之间的关系可由 下面两个定理看出 a i s s e n - s c h o e n b e r g - w h i t n e y 定理：【1 】有限非负序列 a o ，口l ，一，a n 是p f 的当且仅当 其发生函数罗瓯r z 。 篇 n e w t o n 不等式：【3 】假设多项式a i x 。勉则对于任意1 f 刀一1 ，有 _ f - - - 0 彳q 一，q + 。( 1 + ) ( 1 + ) 如果q 0 ，则序列 口o ，口l 一，a n 是对数凹的，单峰的 1仃一l 从上述两个定理可以看出虽然p f 性质是比单峰性和对数凹性更强的性质，但是通过 讨论所对应的发生函数的实零点性来证明序列的p f 性质却更为灵活，可以借用分析和代 数中强有力的方法和技巧来进行此外对于具有单峰性的序列，要具体确定其峰点的个数 和位置是一件困难的事情但是对于p f 序列来说情况却有很大的不同，d a r r o c h 2 指出如 实零点多项式的若干别法 果正系数多项式尸 ) = a i x 勉，则序列 口o ，a j9 j 9 是单峰的另一方面，组合学中出 i = o 现的单峰或对数凹的序列往往也是p f 的因此使得有限p f 序列和多项式实零点性的研 究特别吸引组合学家的注意 大连理工大学硕士学位论文 3 证明多项式只有实零点的一些方法 很多经典的多项式都是只有实零点的多项式，例如，e u l e r i a n 多项式【1 8 】，正交多项式 【1 7 ，s t i f l i n g 多项式 4 】和匹配多项式【1 9 】等证明多项式只有实零点的方法也有很多种本 章将介绍其中一些重要的方法。 3 。1s t u r m 序列 证明多项式只具有实零点的一个基本方法是应用数学归纳法证明多项式序列构成 s t u r m 序列，即零点交替的序列 定义3 1 ：设 岛( z ) ) 。卸是标准多项式序列，j 果：d e g p n ( x ) = n 并且对于任意刀l 当 岛( ，) = 0 时有见一，( 厂) 见+ l ( ，) 0 成立，则称 见( x ) ) 是s t u r m 序列如果以勉且 p o p t 则称 磊( 工) 是广义的s t u r m 序列 由定义可知 死( 力) 。卸是s t u r m 序列当且仅当d e g p , , ( x ) = n ，且对任意刀1 有岛忽 及见 n - 1 命题3 1 ：假设 办( 功 是系数非负的多项式序列并且d e g 以= d e g p , , q + 1 如果 以( x ) = ( a 。x + 既) 见一l ( x ) 一( 厶z + 以) 2 p 。一2 ( x ) 这里，厶，吃r , i u p a x ) 构成s m r m 序列 命题3 2 ：假设 岛( x ) 是系数非负的多项式序列并且d e g 岛= d e g p 一l + 1 ，如果 p a x ) = ( 菇+ 吒) 以一l ( 功+ x 纯x + 以) 兢- l ( 功 这里q ，吃r 且q o ，吃0 则 以( x ) ) 构成广义的s t u r m 序列 命题3 3 ：假设 磊( 功 是标准的多项式序列并且满足递归关系 p a x ) = ( x ) 靠一l ( x ) + ( x ) 成- 1 ( x ) + c n ( x ) p n 一2 ( x ) ， 这里( x ) ，吃( 力，c a x ) 是使得d e g p n = d e g p 。_ i 或d e g p = d e gp 。一1 + 1 成立的实系数多 项式同时假设对于每一个力，p n ( x ) 的系数是非负的( 分别的，符号交替的) ，如果当x 0 ( 分 别的x d ) 时，有吃( x ) o 和( 功0 成立则 岛( 功 构成广义的s t u r m 序列特别的，如果 对每一个刀有d e g p 。= 刀成立并且当z 0 ( 分别的z 0 ) 时有吃( 功 0 或者厶( 功 0 成立， 则 p a x ) 构成s t u n n 序列 实零点多项式的若干别法 引理3 1 ：【1l 】令五，z ，z 是一个标准多项式序列，对每一个o f 刀有d e g ( f ) = f ， 则下面两个陈述是等价的： ( i ) 石，石，石是一个s t u r m 序列 ( i i ) f o 彳 一去，有 二 ( 刀+ 1 ) 矗l ( x ) = 2 ( n + 允) x 0 ( x ) - ( n + 2 a 1 ) 1 ( x ) ，彳( x ) = 2 a x ( j a e o b i ) 雅可比：对于口，卢 一1 当刀2 时，有 2 n ( n + a + 卢) ( 2 咒+ 口+ 卢一2 ) p ( x ) = ( 2 n + a + 卢一1 ) ( 2 n + o t + j 6 i ) ( 2 刀+ 口+ 卢一2 ) x + a 2 一卢2 】p ，( x ) - 2 ( n + a - 1 ) ( n + p - 1 ) ( 2 n + a + 卢) 馥夕( x ) 初值为硝口助( x ) = i 1 + 卢+ 2 弦+ 去( 口- p ) 二j0 特别的，当口= p = 0 时钟0 ( x ) 是l e g e n d r e 多项式同时g e g e n b a u e r 多项式和 t c h e b y s h e v 多项式也是j a c o b i 多项式的特殊情况 由于l a g u e r r e 多项式厶( x ) 的首项系数符号为( - 1 ) ”，假设三。( 力= 厶( - x ) ，则三。( x ) 是 标准的，并且满足 大连理工大学硕士学位论文 ( 甩+ 1 ) 三一( x ) = ( 2 n + 1 + x ) 三一( x ) - n l ( x ) ， 因此 一( x ) 构成s t u r m 序列，进而 厶( x ) 也构成s t u r m 序列 s t u r m 定理：令p 是标准的，应用欧几里得算法 p 0 2p ，p 1 2 p p o ( x ) = 吼( x ) a ( x ) 一仍( x ) a ( x ) = q 2 ( x ) p 2 ( x ) 一见( 功 p k 一2 ( x ) = 吼一l ( x ) p i l ( x ) 一p a x ) 体一l ( x ) = q i ( x ) p k ( x ) 则p ( x ) r z p t 是标准的_ l t d e g p _ f = d e g p j 一1 - 1 3 2 保持多项式实零点性的变换 b r e n t i 7 指出对于一个数学研究对象，一个自然的研究途径是考虑它的不变算子在 多项式实零点性的研究过程中，自然地也会考虑保持多项式实零点性的变换，通过这种变 换能由已知的只具有实零点的多项式得到新的只具有实零点的多项式 w a n g 和y e h 给出了下面的结论，它能证明满足某些递归关系的多项式只有实零点 定理3 1 ： 5 】令f ( x ) 和g ( x ) 是两个实系数多项式它们的首系数有相同的符号，令 f ( x ) = ( 缸+ 口) f ( x ) + ( 出+ c ) g ( 曲 设厂( x ) ，g ( x ) r z 且g f 如果a d b c ，贝i jf ( x ) r z 推论3 1 1 5 ：令厂o ) ，g ( x ) r z ，f ( x ) 和g ( x ) 的首项系数有相同的符号且g f 令 ，( x ) = ( 饿+ 6 ) ( x ) + ( c x + d ) g ( x ) 和g o ) = a f ( x ) + c g ( x ) 这里a ，b ，c ，d r ，如果a d b c 则f ，g r z 且g f 引理3 2 1 5 ：设厂( 石) ，g ( x ) r z 且g f 则 ) + g ( x ) r z 此外，如果f ( x ) 和g ( x ) 的 首项系数有相同的符号则g + g 厂 引理3 3 1 5 ：设厂( x ) ，g ( x ) r z 且g f ，若a d 0 则 ( i ) a f + d x g r z 且，g a f + d x g ( i i ) 对任意c ，矿+ ( d x + c ) g r z 引理3 4 ： 5 】设厂 ) ，g ( x ) r z 且g f ，若b c 0 则 ( i ) b x f + c g r z 且厂，x g b x f + c g ( i i ) b x f + ( d x + c ) g r z 实零点多项式的若干别法 ( i i i ) ( b x + a ) f + c g r zr f ( 6 x + 口) 厂+ 馏对每一个a 引理3 5 ：如果g ( z ) r z ，对每一个，r 有( d - r ) g - g ( x ) - r g ( x ) r z h e r m i t e p o u l a i n 定理：如果厂 ) - - a o + a l x + a 2 x 2 + + x ”r z ，则对任意 g ( x ) r z 有f ( d ) g 净a o g ( x ) + a , g 。( x ) + + g ”( x ) r z 还有一些特殊乘积保持多项式的实零点性不变，总结如下： s c h u r 定理：令厂( x ) = a i x r z ，g ( x ) = b j x 7 忽ng ( x ) 的所有零点有相同的符 号，则( 厂o g ) ( x ) ：= k l a k b , x 2 勉 m a l 6 定理：令厂( x ) = a i x 。r z ，g ( x ) = b j x 7 r zi ；i g ( x ) 的零点有相同的符号，则 ( g ) ( x ) ：= a i b k x 七r z s c h u r - s z e 9 6 趣：令m ) = 喜a t x r z 加) = 乳nn p p , z r 如) 的零点有相 同的符号，则( 厂毒g ) ) ：窆f ? 1 q 包x 卜r z i - o l 3 3m s 方法 定义3 2 ：令 二是一个实数序列，如果对任意厂 ) = 口声勉有。 黟( x ) = r ，a , x 灭z ，则称实数序列 ，i ， 为一个m u l t i p l i e r ( 乘数) 序列 这样由已知的m s ，利用m s 的定义及性质可容易证明一些多项式的实零点性 例1 ： 0 , 1 ，2 ，咒，) 是m s ，故如果 ) = a l x 勉，贝, u x f 。 ) = y i a , x 彪 例2 ： ，素，去，击， 是m s ，故如果厂 ) = 善n 口r z ，则鲁x j r z m s 的若干性质： 定理3 2 ：令，i ，；，是一个m u l t i p l i e r 序列，则： ( 1 ) ，咯+ l ，彬仍是一个m u l t i p l i e r 序列 ( 2 ) 对每一个i ，；2 一l + 1 ( 3 ) i l ，：。0 大连理工大学硕士学位论文 ( 4 ) = 0 j r j + l = ，；+ 2 = = 0 由上述性质可知道m u l t i p l i e r 序列与对数凹序列的关系 定理3 3 ：令t = 乙和人= 九) ：。是两个m u l t i p l i e r 序列，则： ( 1 ) t + a = 气+ 一t 。- o 仍是m u l t i p l i e r 序列； ( 2 ) t 人= 吃九 乙也是m u l t i p l i e r 序列； m s 方法是证明多项式只有实零点的一个简单有力的方法，而除了m s 本身以外可由 m s 的性质，由已知的m s 得到新的m s 此外，由m s 的基本性质可看出m s 与一些特殊序列之间的关系 3 4p f 方法 判别一个序列的p f 性质可转化为其发生函数的实零点性问题，同样一个多项式的实 零点性问题可转化为其系数序列的p f 性质问题下面的定理建立了序列的p f 性与多项 式实零点性之间的联系 a i s s e n - s e h o e n b e r g - w h i t n e y 定理 1 】：令q o 贝l j a o ，a l ，口2 ，是p f 营口芦勉 命题3 4 ：令 彳( 刀，七) 是一个三角矩阵且满足二元线性递归关系 a ( n ，七) = ( r n + s k + t ) a ( n - 1 ，k - 1 ) + ( 口咒+ 6 七十c ) a ( n - 1 ，七) 设r b a s 且( ，+ s + f ) 62 ( a + c ) s ，贝0 彳( 以，七) 是p f 的 我们知道，二次式系数，第一类无符号s t i f l i n g 数第二类s t i r l i n g 数经典的 e u l e r i a n 数满足如下递归关系： = 怊) c ( n ，七) = c ( n - 1 ，k 一1 ) + ( 刀一1 ) c ( 万一1 ，七) s ( n ，七) = s ( n - 1 ，k - 1 ) + 缸( 刀- 1 ，七) a ( n ，后) = ( 刀- k + 1 ) 么( 玎一1 ，k - 1 ) + k a ( n - 1 ，后) 故由上述命题知它们都是p f ，故其发生函数都是实零点函数 通过例子来比较几种方法： 例1 ：多项式q ( x ) = 巳，的实零点性证明 证法一： 实零点多项式的若干别法 t h 【1 2 】令厶 ) = 巳，x 。则对每一个， o ，多项式( x ) 只有实的，单的，非正的根 i = 1 证明：力= l 时c 1 ( x ) = x 结论显然成立； 拧= 2 时c 2 ( x ) = 2 x 2 + x 结论显然成立； 刀3 时由递归关系 巳。，= i c 一l ，l + ( 2 n f ) 巳_ l l _ l ( 3 1 ) 得 巳( x ) = ( x x 2 ) 己一l ( x ) + ( 2 刀一1 ) x c n l ( z )( 3 2 ) 比较两边一的系数，右边项是一个乘积求导所得项，可写为 ( x ) - - x ( 1 一x 2 ”) 兰 ( 1 - 功l - 2 n c n l ( x ) 】 ( 3 3 ) “： 现在假设c n 一( x ) 的根都是实的，单的且非正的显然x - - 0 时乞( 功兰0 进一步由r o l l e 定理和式( 3 3 ) 得“( x ) 在巳一。( x ) 的任意两个相邻根之间有一个根，这样可得巳( x ) 的船一1 个 根，又因为实系数多项式的复根成对出现。所以厶( x ) 的剩下一个根必为实根 下面证乞( 功的这个实根一定在厶一。( x ) 的最大根的右边假设c n 一。 ) 的最大根为，代 a ( 3 2 ) 式得x o 一 x a l 和0 = 乃 y a 一1 则 0 x l y m x 2 y 2 x a l y a l 如果d e g 见( 曲= d + 1 ，d e g q 一。0 ) = d 且它们的根分别 为0 = x o 而 勤和0 = m 虼一l 则 o 五 乃 而 y 2 x a l y d l x a 证明：我们对刀作归纳法来证明定理的结论 ( 1 ) n 4 时定理结论成立； ( 2 ) 假设对n 一1 的情况定理结论成立； ( 3 ) 对疗的情况证明结论令o = y o m y d l 为域一l ( 石) 的根 首先我们证明：如果0 x 乃，则q 一。( 功 0 于。点邻域内从而见一。( x ) 在此邻域内单 调递增又乜一。( o ) = 0 故得证 当x = y t 时考虑式( 2 ) ，在这根上，我们有破( y o o 和q 一：( m ) o 其中见一2 ( 咒) 0 为 归纳假设结论实际上，有归纳假设知，如果毛是见一：的最大根，则毛 乃 0 ，结合前面结论 可知，应用见一2 代替见一可得珐一2 ( x ) 0 于( 而，o ) 所以特别地有见一2 ( m ) 0 ，又因乜( x ) 0 于( m ，0 ) 故见( x ) 在( m ，0 ) 内有一根 更一般的，证或( 功在 + p 乃) 内有根我们只要证明乜) 与q “。) 有相反符号即 可由式( 3 2 ) 我们只需得到 ( i ) 跣) 与破。( 只+ 。) 有相反号； ( i i ) 见一2 ( 乃) 与见一： + 。) 有相反号； ( i i i ) 跣) 与q 一：( 咒) 有相同号 实零点多项式的若干别法 由前面叙述，( i ) 可由r o l l e 定理得，( i i ) 可由归纳假设得对于( i i i ) 由r o l l e 定理d 。( x ) 在 ( 乃，o ) 内改变f 次符号，由归纳假设见一：( x ) 在( 以，0 ) 内改变f 一1 次符号由式( 2 ) 知乜( 乃) 与 乜( 儿。) 有相反号，故见( x ) 在( 以小儿) 内有根 因或( x ) 在( 儿小咒) 的两个端点有相反符号，故瑰( z ) 有奇数次符号变更，故或( x ) 在 ( 只小乃) 内有奇数个根因为或( x ) 的根的总数比玻一。( x ) 的根至多多1 个，故见( x ) 在 小彤) 内恰有一根 上面对刀为奇数情况给出了证明当刀为偶数时d e g 谚( 功= d + l ，d e g 见一， ) = d 这 种情况下，我们有q ( x ) 在( ，坛。) 内有根由前面证明可知见( x ) 的最大根劫必为负的， 且不在( 乃小以) 内 证法二： 由命题3 3 或( x ) 构成s t u r m 序列，从而或o ) 彪 大连理工大学硕士学位论文 4 n a r a y a n a 多项式的实零点性证明 组合数的渐进分布问题一直以来就引起了很多人的兴趣，在1 9 6 7 年，h a r p e r 4 证 明了第二类s t i f l i n g 数的渐进分布是正态分布 h a r p e r 根据第二类s t i f l i n g 数的递归关系应用数学归纳法首先证明了s t i f l i n g 数的发 生函数最( x ) = s ( n ，后) 矿只有实的，单的，非正的零点，然后才得出其渐进分布是正 态分布的结论 在2 0 0 1 年，s h a p i r o 的文章 s o m eo p e nq u e s t i o na b o u tr a n d o mw a l k s ， i n v o l u t i o n , l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n s ，a n dg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ) ) 中提出了1 2 个公开问题， 其中有一个问题是这样的： 问题3 1 1 1 6 ，q u e s t i o r t 3 2 n a r a y a n a 矩阵n 的行的极限分布是不是正态分布? n a r a y a n a 数有显式形式 c 五，尼? = 丢( ： ( 七n 一。) n a r a y a n a 数对应的矩阵为： n = ( ( 以，后) ) 础o = 10o 11o l 3 1 l6 6 11 02 0 0 o oo 0o 10 1 0l 我们称为n a r a y a n a 矩阵 定义：n a r a y a n a 多项式为虬 ) = n ( n ，七) 矿，则n a r a y a n a 多项式为n a r a y a n a 矩阵 k f f i l 的行的发生函数 根据命题1 1 ，回答问题3 1 1 1 6 q u e s t i o n 3 2 r 需解决矩阵n 的行的极限的发生函数， 即n a r a y a n a 多项式只有实零点即可 4 1 n a r a y a n a 多项式的实零点性证明 下面用几种方法证明n a r a y a n a 多项式只有实零点，从而说明n a r a y a n a 矩阵的行的极 限分布是正态分布 实零点多项式的若干别法 4 1 i 用m s 万活让n a r a y a n a 多工贝式只有买零点 证明：设 e 萎a i x ，e 勉一喜云a i x e 忽j 委若x ，贮 喜石笔而x f er z j 喜石墨两x f 忽j 羔i = 0 石芝晶a 。x ie l-, 肱( 聍i ) ，：o ( 胛一f ) ! i !智( 刀一f ) ! f ! 一z 一( 疗一f ) ! f ! l j m s , f h m s 的性质( ，一n 。) 也是m s 又因 扣= 剿 彪j 三7 童k = 0 n r z 4 1 2 利用s t u r m 序列证明n a r a y a n a 多项式只有实零点 证明：n a r a y a n a 多项式满足递归关系式 其中 令 ( 刀+ 1 ) m ( x ) = ( 2 靠一1 ) ( 1 + z ) 虬一l ( x ) - ( n - 2 ) ( i - x ) 2 虬一2 ( x ) 1 ( x ) = x ， ( x ) = x + x 2 ( 刀+ 1 ) 虬( x ) = 【( 2 玎一1 ) ( 1 + x ) 】虬一l ( x ) + o “一1 ( x ) + ( 刀一2 ) ( 1 一x ) 2 】虬一2 ( x ) 吒( 功2 ( 2 刀一1 ) ( 1 + 功，吒( x ) = 0 ，巳( x ) = - - ( n 一2 ) ( 1 一x ) 。 则对每一个挖有虬( x ) 次数为嚣且x o 时( x ) - l 时j a e o b i 多项式( x ) 是正交的，故m + l ( x ) = 呢+ 1 1 ( x ) 只有实 零点 4 2 对r w m c n a m a r a ，b r u c ee s a g a n 在文 1 4 中提出的猜想给予例子支持 猜想 1 4 】：令( 晖) 为一个正实数有限序列，如果烈吒】只有实零点，贝j j p l ( a 。) 】也只有实 零点其中 三( q ) = ( 吮) ，钆= 彳- a k 一。唧+ 。 例：令q = , k = 0 , 1 , - - - , n , 我们知删r z ， 玩= 嘎2 一咏一，q 引= ( ：) 2 一( 七n 一。) ( 后n + 。) 七! ( 刀一后) ! 七! ( 刀一七) ! ( 七一1 ) ! ( 力一| i + 1 ) ! ( 七+ 1 ) t ( n 一后一1 ) ! ：(k+1)(n-k+1)-k(n-k)聆!刀! ( 七+ 1 ) l k ! ( n k ) t ( n k + 1 ) ! ：旦盟一玎! 拧! = = 一玎! 规! 七! ( 七十1 ) ! ( ，z k ) t ( n k + 1 ) ! ( ”+ 1 ) ! ( 刀+ 1 ) ! n + 1k t ( k + 1 ) i ( n 一七) ! ( 丹一k + 1 ) ! = 嘉h ) = ( 刀+ 1 ，k + 1 ) 故p b k 】为n a r a y a n a 多项式，只有实零点 实零点多项式的若干别法 结论 本文所做的主要工作总结如下： 1 用几种方法证明了n a r a y a n a 多项式是只有实零点的多项式( 给出s h a p i r o 在2 0 0 1 年 提出的关于n a m y a n a 矩阵的行的极限分布的公开问题的证明) 2 对r w m c n 猢 1 4 】提出的猜想“令( 嚷) 为一个正实数有限序列，若尸【吼】咫则 研三( q ) 】r z 其中l ( a o = 瓴) ，钆= 一吼一。吼+ 。”提供一个例子支持 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 m h i s s e n ，i j s c h o e n b e r g ，a w h i t n e y o nt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n g so ft o t a l l y p o s i t i v es e q u e n c e s i j a n a l m a t h ，1 9 5 2 ，2 ：1 5 8 1 6 1 2 j n d a r r o c h ，o nt h ed i s t r i b u t i o no f t h en u m b e ro fs u c c e s s e si ni n d e p e n d e n t t r i a l s j a n n m a t h s t a t i s ，1 9 6 4 ，3 5 ：1 3 1 7 1 3 2 1 3 j cm o n t g o m e r y t h er o o t so fap o l y n o m i a la n di t sd e r i v a t i v e j b u l l a m e r m a t h s o c 4 7 ，( 1 9 4 1 ) ，6 2 1 6 2 4 4 l h h a r b e r s t i r li n gb e h a v i o ri sa s y m p t o t i c a l l y n o r m a l j a n n m a t h s t a t 1 9 6 7 ，3 8 ：4 0 1 - 4 1 4 5 y w a n g ，y n y e h ，p o l y n o m i a l sw i t hr e a lz e r o sa n dp o l y af r e q u e n c ys e q u e n c e ，j o u r n a l o fc o m b i n a t o r i a lt h e o r y j ，s e r i e sa2 0 0 5 ，1 0 9 ：6 3 7 4 6 l i l yl l i u ，y iw a n g au n i f i e da p p r o a c ht op o l y n o m i a ls e q u e n c e sw i t ho n l yr e a l z e r o s j a d r a n c e si na p p li e dm a t h e m a t i c s 2 0 0 7 。3 8 ：5 4 2 - 5 6 0 7 f b r e n t i ，u n i m o d a l 1 0 9 c o n c a v e ，a n dp 6 1 y af r e q u e n c ys e q u e n c e si n 。c o m b i n a t o r i c s j m e m a m e r m a t h s o c 1 9 8 9 ，4 1 3 ： + 8 e j f a r r e l l a ni n t r o d u c t i o nt om a t c h i n gp o l y n o m i a l s j c o m b i n t h e o r y s e r b 1 9 7 9 ，2 7 ：7 5 8 6 9 0 j h e il m a n na n de h l i e b t h e o r yo fm o n o m e r d i m e rs y s t e m s j c o m m m a t h p h y s 1 9 7 2 ，2 5 ：1 9 嗍3 2 1 0 g 波利亚，g 舍贵数学分析中的问题和定理