（信号与信息处理专业论文）子空间分解类算法在参数估计中的应用.pdf

汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 摘要 子空间分解类算法是2 0 世纪7 0 年代发展起来的一种超( 高) 分辨率 方法，它能精确地估测出信号的参数( 频率、方位等) ，其性能理想、分 辨能力和估测精度均比传统方法高。其特点是通过适当的数学变换，把接 收数据分成两大独立且正交的子空间部分，再利用它们各自的特性来估测 参数。故而它又分为信号和噪声两类子空间算法，其中前者是以旋转不变 子空间( e s t i m a t i o no fs i g n a lp a r a m e t e r sv i ar o t a t i o n a li n v a r i a n c e t e c h n i q u e s ，简称为e s p r i t ) 为代表，如e s p r i t 法、l s e s p r i t 法、 t l s e s p r i t 法、t o e p l i t z 近似法等等；后者是以多重信号分类( m u l t i p l e s i g n a l sc l a s s i f i c a t i o n ，简称为m u s i c ) 为代表，如m u s i c 法、r o o t - m u s i c 法、t o e p l i t z 优化法、多维m u s i c 法、m n m 法等等。此类算法因其良好 的特性，已被广大科研人员接受。 频率估计是信号处理技术的重要内容，对噪声背景下频率估测技术的 研究已成为一个科研课题，被应用于众多行业，探索高精准度的频率估测 技术具有重大的科研应用价值。空间谱估计是阵列信号处理技术的科研内 容，它打破了r a y l e i g h 限的制约，能同时精准地估测多个信源的方位信息。 d o a 技术正是该领域的热门方向，有较好的发展前景，但经典d o a 技术 的分辨能力不够强，常会出现无法估测或性能恶化等现象，故探索性能优 良、具有更高精度的测向算法是很有必要的。 本文主要讲述子空间分解类算法在参数估计中的应用，特别是在频率 估计和空间谱技术领域的应用。首先绪论部分介绍了频率估计和空间谱技 术的背景意义、科研历程、今后的发展趋势。接着第2 、3 、4 章分别以e s p r i t 算法、m u s i c 算法为代表，讲述它们在频率估计、一维d o a 估计、二维 d o a 估计领域中的应用，从理论和仿真两角度来表明这类算法的可行性及 其仿真性能；同时根据m u s i c 算法的原理，还提出了它的推广形式，即 t o e p l i t z 优化法和二维m n m 算法，并借用流程图及m a t l a b 软件来表明 该些方案的可行性和仿真性能；每章的末尾部分还对e s p r i t 算法与 扬州大学硕士学位论文 m u s i c 算法的参数估测性能作了全面的比较。分析研究表明：在不同的参 数估计领域中，e s p r i t 算法的运算量均较小，m u s i c 算法的精准度均较 高，且二者的估测性能受不同的参数影响，这说明它们适用于不同的范围 和场所。最后第5 章总结了全文的研究工作，并指出子空间类算法的未来 科研方向。 本文的创新点有以下几点： 1 把e s p r i t 算法和m u s i c 算法同时应用于频率估计领域，并借助 流程图及m a t l a b 软件来表明它们的可行性和仿真性能，还对e s p r i t 算 法和m u s i c 算法的频率估计性能作了全面的比较。 2 提出了1d m u s i c 算法的改进算法，即t o e p l i t z 优化法，还借用 流程图及m a t l a b 软件来表明该方案的可行性和仿真性能，并从理论和 实验两方面对1 d e s p r i t 算法和i d m u s i c 算法的性能作了全面的比较。 3 提出了2 d m u s i c 算法的推广算法，即二维m n m 算法，还借用 流程图及m a t l a b 软件来表明该方案的可行性和仿真性能，并从理论和 实验两方面对2 d e s p r i t 算法和2 d m u s i c 算法的性能作了全面的比较。 关键字：e s p r i t 算法；m u s i c 算法；d o a 估计；频率估计 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用i i i a b s t r a c t s u b s p a c ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mi sah i g hr e s o l u t i o nm e t h o da f t e rt h e 19 7 0 s i tc a na c c u r a t e l ye s t i m a t es i g n a lp a r a m e t e r s ( f r e q u e n c y ，o r i e n t a t i o n ， e t c ) i t sp e r f o r m a n c e i si d e a l i t s d i s t i n g u i s h i n ga b i l i t y a n de s t i m a t i n g p r e c i s i o na r eh i g h e rt h a nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d i th a sb e e np o p u l a r i z e dt ot h e m o s tt e c h n i c a lf i e l d s i t sc h a r a c t e r i s t i ci st h a td i v i d et h er e c e i v i n gd a t ai n t o t w o i n d e p e n d e n ta n do r t h o g o n a ls u b s p a c ep a r t st h r o u g hm a t h e m a t i c a l t r a n s f o r m a t i o na n du s ei t sc h a r a c t e r i s t i ct oa s s e s sp a r a m e t e r s s oi tc a nb e d i v i d e di n t ot w ot y p e so fa l g o r i t h m s ，s i g n a ls u b s p a c ea l g o r i t h ma n dn o i s e s u b s p a c ea l g o r i t h m t h ef o r m e ri sr e p r e s e n t e db yr o t a t i o ni n v a r i a n ts u b s p a c e a l g o r i t h m ，a sf o l l o w se s p r i t ，l s e s p r i t ，t l s e s p r i t ，t a m ，e t c t h e l a t t e ri sr e p r e s e n t e db ym u i t i p l es i g n a lc l a s s i 6 c a t i o na l g o r i t h m ，a sf o l l o w s m u s i c ，r o o t - m u s i c ，i m p r o v e dt o e p l i t za l g o r i t h m ，m d m u s i c ，t h em n m a l g o r i t h m ，e t c s u b s p a c ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m h a sb e e n a c c e p t e db y s c i e n t i s t sf o ri t sg o o dp r o p e r t i e s f r e q u e n c ye s t i m a t i o ni sa ni m p o r t a n tc o n t e n to ft h es i g n a lp r o c e s s i n g t e c h n o l o g y f r e q u e n c ye s t i m a t i o nt e c h n o l o g yr e s e a r c hu n d e rt h eb a c k g r o u n d o fn o i s eh a sb e c o m eas c i e n t i f i cr e s e a r c ha n di sa p p l i e di nm a n yi n d u s t r i e s e x p l o r i n gh i g h e ra c c u r a t ef r e q u e n c yt e c h n o l o g yh a s as i g n i f i c a n ts c i e n t i f i c r e s e a r c ha n da p p l i c a t i o nv a l u e s p a c es p e c t r u me s t i m a t i o ni sa ni m p o r t a n t c o n t e n to fa r r a ys i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g yr e s e a r c h i tb r o k et h er a y l e i g h r e s t r i c t i o na n dc a na c c u r a t e l ya s s e s sm u l t i p l es o u r c el o c a t i o na tt h es a m et i m e d o at e c h n o l o g yi sh o td i r e c t i o ni nt h i sf i e l da n dh a sg o o d p r o s p e c t ，b u t c l a s s i cd o at e c h n o l o g yo f t e nd o e s n t d i s t i n g u i s h l o c a t i o no r h a p p e n s p e r f o r m a n c ed e t e r i o r a t i o n s oe x p l o r i n gt h ea l g o r i t h mw h i c hh a se x c e l l e n t p e r f o r m a n c ea n dh i g h e rp r e c i s i o ni sv e r yn e c e s s a r y t h i sp a p e rm a i n l yd e s c r i b e st h ea p p l i c a t i o no fs u b s p a c ed e c o m p o s i t i o n 垫! ：! 奎堂堡主堂垡笙查一一一 ： 一一一一 a i g o r i t h mi np a r a m e t e re s t i m a t i o n ，e s p e c i a l l y i nf r e q u e n c ye s t i m a t i o na n d s p a c es p e c t r u mt e c h o l o g y i n t h ep a e r ，i s a g o g ef i r s t l yi n t r o d u c e st h ef r e q u e n c y e s t i m a t i o na n ds p a c es p e c t r u m t e c h n o l o g y sb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c e ， s c i e n t i f i cr e s e a r c hp r o c e s sa n dd e v e l o p m e n tt r e n d s e c o n d l y ，t h e2 , 3 ，4c h a p t e r t a k ee s p r i ta l g o r i t h ma n dm u s i ca l g o r i t h m a sr e p r e s e n t a t i v ea l g o r i t h ma n d r e s p e c t i v e l yi n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o n o fs u b s p a c ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mm t h ef r e q u e n c ye s t i m a t i o n ，o n e d i m e n s i o n a ld i r e c t i o no fa r r i v a l e s t i m a t i o n ， t w o - d i m e n s i o n a l d i r e c t i o no fa r r i v a l e s t i m a t i o n ，t h ep a p e r i n d i c a t e s a i g o r i t h m sf e a s i b i l i t y a n ds i m u l a t i o np e r f o r m a n c ef r o me x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a lt w oa n g l e s a c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo fm u s i ca l g o r i t h m ，p u t f o r w a r di t sp o p u l a r i z a t i o n ，t o e p l i t zo p t i m i z a t i o nm e t h o da n d t w o d i m e n s i o n a l m n ma l g o r i t h m ，a n ds h o wt h a tt h e i rf e a s i b i l i t ya n ds i m u l a t i o np e r f o r m a n c e b vf l o w c h a r ta n dm a t l a bs o f t w a r e f i n a l l y i tm a k e sac o m p r e h e n s l v e c o m p a r i s i o nf o rt w ok i n d so fs u b s p a c ed e c o m p o s i t i o n a l g o r i t h mi nt h el a s to f e a c h c h a p t e r a n a l y s i s r e s u l t ss h o wt h e y b o t h h a v ea d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e si n d i f f e r e n tp a r a m e t e re s t i m a t e f i e l d s t h ec o m p u t a t i o no f e s p r i ta l g o r i t h mi ss m a l l e r t h ea c c u r a c yo fm u s i c a lg o r i t h mi sb e t t e r t h e i r p e r f b r m a n c er e l a t ew i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r s ，t h e y a r es u i t a b l ef o rd i f f e r e n t p l a c e s t h e5c h a p t e rs u m m a r i z e sr e s e a r c hw o r ko f f u l lt e x ta n dp o i n t so u tt h e f u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o no fs u b s p a c ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m t h ep a p e rh a st h r e ei n n o v a t i o np o i n t s ，a sf o l l o w s ： 1 e s p r i ta l g o r i t h ma n dm u s i ca l g o r i t h m a r ea p p l i e dt of r e q u e n c y e s t i m a t i o n s h o wt h e i rf e a s i b i l i t ya n d s i m u l a t i o np e r f o r m a n c ew i t hf l o wc h a r t a n dm a t l a bs o f t w a r ea n dm a k eac o m p r e h e n s i v ec o m p a r i s o nf o r t h e i r p e r f o r m a n c e 2 t h ei m p r o v e m e n to f 1 d m u s i ca l g o r i t h m t h ei m p r o v e dt o e p l i t z a i g o r i t h m i s p r o p o s e d t h ep a p e r r e v e a l si t sf e a s i b i l i t ya n d s i m u l a t i o n p e r f o r m a n c eb y f l o wc h a r ta n d m a t l a bs o f t w a r e a n dm a k e sa c o m p r e h e n s i v ec o m p a r i s o nf o rt h ep e r f o r m a n c e o f1d e s p r i ta l g o r i t h ma n d 1d m u s i ca l g o r i t h mf r o me x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a lt w oa n g l e s 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 v 3 t h ep o p u l a r i z a t i o no f2 d m u s i ca l g o r i t h m - t h et w od i m e n s i o n a l m n m a l g o r i t h mi sp r o p o s e d t h ep a p e rr e v e a l si t sf e a s i b i l i t ya n ds i m u l a t i o n p e r f o r m a n c eb y f l o wc h a r ta n dm a t l a bs o f t w a r ea n dm a k e sa c o m p r e h e n s i v ec o m p a r i s o nf o rt h ep e r f o r m a n c eo f2 d - e s p r i ta l g o r i t h ma n d 2 d m u s i ca l g o r i t h mf r o me x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a lt w oa n g l e s k e y w o r d s ：e s p r i ta l g o r i t h m ；m u s i c a l g o r i t h m ；d o ae s t i m a t i o n ； f r e q u e n c ye s t i m a t i o n 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 1 绪论 1 1 引言 参数估计是一种分析处理信号的手段，在诸多技术领域都有应用。随 着信息处理技术的发展，人类会对该技术提出越来越高的要求，科研人员 对该课题的研究热度将持续升温。参数在不同的应用范围有着不一样的内 涵，各种各样的参数为学者提供了多样的信息，但参数的估测技术存在共 性。即在假定的条件下，不同的参数具有类似的观测模型，故而它们可用 类似或相同的技术来估测。例如，时域信号的频率；空域信号的d o a 。在 线谱假定的情况下，这两参数( 频率和d o a ) 可用相同的技术进行估测。 频率和d o a 均是识别、处理信号的参数，本文将重点探讨它们的估测技 术。 1 2 频率估计 幅度、频率、相位是时域信号的三要素，其中频率常常是关注的热点。 频率估计技术 1 - 2 】是频谱分析的内容，它是指通过变换采样数据来估测目 标频率的过程。高精度的频率估计技术已应用于众多领域，具有较高的科 研应用价值。目前科研人员已提出诸多估测方法，大体可分为时域、时频 分析、频域三类。随着科技的发展，信号形式日趋多样化，应用环境日益 复杂化，对频率估测技术的进一步探究是很有必要的。 战争的需求使得科研人员开始注重测频技术。rb l a c k m a n 与jw t u r k e y 在19 5 8 年提出b t 法，其性能与所选用的窗函数有关。jwc o o l e y 与jwt u r k e y 于1 9 6 5 年提出( t h ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ) f f t 法【引，它 的诞生再次引发了科研人员对周期图法( 由l8 9 9 年s c h u s t e r 首次提出) 的兴趣。jpb u r g 于1 9 6 7 年在第3 7 届s o c i e t ye x p l o r a t i o ng e o p h y s i c s 会上 提出m a x i m u ne n t r o ym e t h o d( 简称为m e m ) 法1 4 】。jc a p o n 于19 6 9 年 提出m l 法【5 1 ，但该法计算量过大甚至最值无解【“7 】。之后诞生了众多优良 的算法。如p i s a r e n k o 于19 7 3 年提出的p i s a r e n k o 谐波法( p i s a r e n k o 扬州大学硕士学位论文 h a r m o n i cd e c o m p o s i t i o n ，简称为p h d ) 【8 j ；s c h m i d tro 提出的m u s i c 法【9 1 ，被认为是信息处理技术发展史上的里程碑；r o y 和k a i l a t h 提出的 e s p r i t 法【1 0 。2 1 ，它避免了m u s i c 法的搜索过程。m u s i c 法与e s p r i t 法共同构成了子空间类算法，目前它有两大科研方向：( 1 ) 算法的实现、 改进及其推广；( 2 ) 不同算法的性能比较。 目前测频技术已发展成熟，但其理论大多是以理想化模型为前提，这 会导致算法在实际推广中出现性能恶化等现象，怎样保持算法的稳定性和 探索高精准度的频率估计技术【l3 1 4 】是当今的前沿课题。 1 3 空间谱估计 阵列信号处理作为信号处理技术的一个科研分支，其应用面涉及众多 领域。它是采用传感器阵列来处理信号，以获取所需的多维信息1 1 5 - 1 6 】。换 句话说，它是运用信源的空域特性来增强所需信号的强度或抑制噪声等多 余的信息，以获取所需的信号参数。阵列信号处理技术包含空间谱估计和 自适应空域滤波两大分支。相比于后者，前者( 空间谱估计) 的诞生要晚 些，它偏重于对所需信号参数的估测能力，但其理论发展较快，已是阵列 信号处理技术的主要科研方向。因通常运用“空间谱”来获取信源的波达 方向( d i r e c t i o no fa r r i v a l ，简称为d o a ) ，故空间谱估计又被科研人员称 作d o a 估计。 d o a 估测技术在众多领域内都有应用。在民用领域，d o a 是判断通 信系统性能好坏的关键指标之一；在军事领域，d o a 可作为定位目标的关 键因数之一，通过与其它参数相结合就能精确地锁定敌( 我) 方的目标， 以便实施打击或监控。d o a 技术近年来飞速发展，已是当前科研的热点， 探索低复杂度、高精准度的d o a 估测技术一直是科研人员努力的目标。 早在19 6 5 年b a r t l e t 就提出c b f 法【l7 。，但它易受r a y l e i g h 限的制约。 之后该技术进入了现代谱估计阶段，期间经典方法有：m e m 法、基于 a r m a ( a r ，m a ) 模型参数法【18 - 2 1 1 、m v m 法【2 2 1 、p i s a r e n k o 的谐波法， 它们均打破了r a y l e i g h 限的束缚，可都有局限性。上世纪7 0 年代后期产 生了众多有关空间谱技术的科研成果，如s c h m i d tro 等学者提出的 m u s i c 法，其推广形式有r o o t - m u s i c 2 3 。3 0 j 、最小范数法( m n m ) 3 1 1 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 等等；r o y 和k a i l a t h 在19 8 5 年继而又提出了e s p r i t 法，其推广形式有 l s e s p r i t 、t l s e s p r i t 1 0 - 12 1 、t o e p l i t z 近似法( t a m ) 3 2 - 3 5 】等等；这两 者是在不同的理论基础上发展起来的，有着不同的约束条件和适用范围， 但其共同点是性能优良。8 0 年代后期又诞生了子空间拟合类法，如m l 法 3 6 - 3 7 】、w s f 法【3 8 39 1 、m d m u s i c 法f 4 0 1 。近来有学者将d o a 技术与信息 理论相结合，提出了矩阵束【4 1 1 、传播因子【4 2 】等方法，使得d o a 技术朝着 高阶性、复杂性的方向演变。在特定条件下，有时会通过数据的高阶矩来 获取相关的信息，这就体现出了高阶性。复杂性是指提出消除理想假定条 件的算法，以满足实际工程的需求。 随着电子技术和阵列技术的革新，使得超宽带信号处理成为了可能， 超宽带技术被视为新一代无线通信必需的关键技术【4 3 45 1 。同时m i m o 技术 是智能天线研究方向的一重大突破。未来的d o a 技术研究将与超宽带技 术、m i m o 技术 4 6 - 4 8 】相结合。 1 4 本文的主要工作与内容安排 本文选用e s p r i t 法和m u s i c 法作为子空间类算法的典型代表，主要 讨论此类算法在参数估计中的应用。本文先对频率估计和空间谱技术作了 粗略地介绍，重点研究子空间类算法在频率估计、一维d o a 估计、二维 d o a 估计领域中应用性能，并对e s p r i t 法和m u s i c 法的估测性能进行 分析比较。本文大体结构如下： 第1 章绪论介绍了频率估计和d o a 估计的背景意义、科研历程及其 当前发展方向。 第2 章以e s p r i t 法和m u s i c 法为代表，阐述子空间类算法的频率估 计性能。先分别介绍e s p r i t 法和m u s i c 法的频率估测理论并画出相应的 流程图，还借助m a t l a b 软件展示其仿真性能，从理论和仿真两方面阐 述子空间类算法进行频率估计的可行性，最后还对它们的频率估计性能进 行了综合性比较。 第3 章仍以e s p r i t 法和m u s i c 法为代表，阐述子空间类算法的一维 d o a 估计的性能。即先简述一维数学模型，接着分别介绍1d e s p r i t 法 和1d m u s i c 的估测理论并画出相应的流程图，还借助m a t l a b 软件展 4扬州大学硕士学位论文 示其仿真性能，从理论和仿真两方面阐述子空间类算法实现一维d o a 估 计的可行性。并针对m u s i c 法不能处理相干信源的缺点，提出其改进方 法一t o e p l i t z 优化法，仍然从理论和仿真两方面对该方案进行分析，最后 对1d e s p r i t 法和1d m u s i c 法的性能作了较为全面的比较。 第4 章仍以e s p r i t 法和m u s i c 法为代表，叙述子空间类算法的二维 d o a 估计性能。即先简述二维数学模型，接着分别介绍2 d - e s p r i t 法和 2 d m u s i c 法的估测理论并画出相应的流程图，并借助m a t l a b 软件展示 其仿真性能，从理论和仿真两方面阐述子空间类算法实现二维d o a 估计 的可行性。还提出了2 d m u s i c 法的推广方法一二维m n m 算法，仍然从 理论和仿真两方面对该方案进行分析，并对2 d e s p r i t 法和2 d m u s i c 法的性能作了较为全面的比较。 第5 章总结及其展望。 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 2 子空间分解类算法在频率估计中的应用 2 1 引言 频率估计是信息处理技术中的热门课题。最早科研人员是用周期图作 为频率估计器的，而f f t 法【3 】的诞生再次引发了科研人员对它的兴趣，其 缺点是存在局限性。本章讲述一种新的算法，即子空间( 分解) 类算法， 此类方法精准度高、性能优良，接下来就以e s p r i t 法和m u s i c 法为代表， 详细地阐述此类算法在频率估计中的应用，并对这两者的频率估计性能进 行了综合性比较。 2 2e s p r i t 算法 2 2 1 理论阐述 假定如下信号模型，其表达式为： y ( ，) = 以( f ) + 力( ，) t = l ，2 ，n ( 2 1 ) k - - i 其中y ( f ) 代表输出信号，工( f ) 代表输入信号，第k 次输入正弦波 x k ( t ) = a 七p 7 州协j ，其幅度 口。) 是正实数，频率 ( - o k ) 互不相同， 即 q ，k 歹 。初始相位 纯) 为在0 到2 7 r 上均匀分布的独立随机变量，7 ( r ) 代表均值是0 ，方差是仃2 的加性高斯白噪声，信号x ( r ) 与噪声力( f ) 是相互独 立的，n 表示采样数据的长度，以下推导中用 】片表示共轭转置， t 表示 转置，令m = n m + 1 ；，2 朋 盯2 ，k = 1 ，2 ，n ，记作尸= 弓) 。 有一非奇异矩阵d ，满足如下条件： p = a d ( 2 9 ) 故： d = 觑p 。1 ( 2 1o ) 式( 2 1o ) 中，代表维数为胛咒的对角矩阵，。= z d 2 ，则d _ 1 - - p a 。 令 4 = 【l 一。o a ( 2 1 1 ) 4 = 【ol 一，】彳 ( 2 12 ) l 一。表示维数为( m - 1 ) x ( m - 1 ) 的单位矩阵。故： 4 = 4 击昭( p 问 e 7 叼 e ) = 4 z ( 2 13 ) 同理，有： 互= 【l 一，o p ( 2 1 4 ) 昱- - ol 一】尸 ( 2 15 ) 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用7 则： 故其频率估计值为： 2 2 2 流程图 罡= a 2 d = a i z d = 互d z d = 丑 中= ( 罡只) - 1 墨片曼 e s p r i t 算法的频率估计流程图如下： 建立信号模型，并求其协方差矩阵尺 上 对只进行特征分解，获得其正交矢量尸 1lr 构造两正交矢量五和忍，令日= 【，麓_ lo p ，弓= o m - 1 p j 求解弓= 五圣，获得信号的频率 图2 1e s p r i t 算法的频率估计流程图 2 2 3 实验及分析 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 以下两个m a t l a b 实验展示了e s p r i t 算法的频率估计性能，每幅图中 均包含5 个估测点，且都是在复平面上显示的，其横坐标为r e a l ( z ) ，其纵 坐标为i m a g ( z ) 。 实验1 ：假定有如下随机过程： 一卜一l 一|-t|一f l - - i y ( f ) = e 。3 + 1 0 e 。6 + 2 0 + e 。4 + p 。3 + n ( t )( 2 18 ) n ( t ) 的噪声方差仃2 = l ，10 0 次独立m o n t e c a r l o 实验，采样数为5 l2 ，改变信 噪比s n r 。 8扬州大学硕士学位论文 e s p r i t 5 算法的频率估计 r e a l ( z ) 图2 2s n r = 2 0 d b 时的e s p r i t 频率谱 e s p r l t 算法的频率估计 r e a l ( z ) 图2 3s n r = 4 0 d b 时的e s p r i t 频率谱 一z)口e一 一z)西西e一 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用9 ， 8 口 e e s p r i t 算法的频率估计 图2 4s n r = 6 0 d b 时的e s p r i t 频率谱 图2 2 至图2 4 显示：e s p r i t 算法的频率估计性能优良，且 m o n t e c a r l o 仿真特征值的聚集度与s n r 有关，当s n r = 2 0 d b 时，其聚集 度不是很高；随着s n r 变大，频率谱就越密集，估测结果更精准。 实验2 ：假定有如下随机过程： 一f 三，一f 三r，苎r，三， y ( t ) = e 。3 + 1 0 e 。6 + 2 0 + e 。4 + p 。3 + ，? o ) 玎( f ) 的噪声方差口2 = 1 ，10 0 次独立m o n t e c a r l o 实验，s n r = 4 0 d b ，改变采 样数。 下图2 5 至下图2 7 显示：当采样数为3 2 时，特征值在单位圆上分 布得很散；随着采样数变大，频率谱就越密集，估测结果更精准。 实验1 和实验2 综合说明：e s p r i t 算法的频率估计性能优良，且 m o n t e c a r l o 仿真的特征值在单位圆上紧密的聚集起来，且其聚集度不仅 与s n r 有关，还受采样数影响。若s n r 、采样数越大，频率谱就越密集， 估测结果更精准。 1 0扬州大学硕士学位论文 ，、 n a 门 e e s p r i t 算法的频率估计 r e a l ( z ) 图2 5采样数为3 2 时的e s p r i t 频率谱 e s p r i t 算法的频率估计 r e a l ( z ) 图2 6采样数为12 8 时的e s p r i t 频率谱 一z)岛山l 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 ，、 岜 a 帕 e e s p r i t - 算- 法的频率估计 r e a l ( z ) 图2 7采样数为5 1 2 时的e s p r i t 频率谱 2 3m u s i c 算法 2 3 1 理论阐述 参照以上信号模型，根据式( 2 5 ) - - 式( 2 8 ) ，有： y ( t ) = 倒( r ) + ( f ) r = e 卧) p ( f ) = e r x ( t ) x k ex ( t ) x ( r ) = 爿( r ) l r = a k a + 盯2 i r 的特征值满足如下关系： , t l 攻以 ，其中r 的非正交矢量和 吒+ 1 叱 有关，且有以+ ，= = 丸= 仃2 ，记作q - q , q m 一一) ，则： q q 月= ，一a ( a 片么) 一1 a h a h ( 0 3 k ) q q a ( r o k ) = 0 k = 1 ，2 ，聍 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 1 2扬州大学硕士学位论文 式( 2 2 0 ) 中，a ( , o k ) 为矩阵a 的第k 列向量，m u s i c 算法的频率估测原理就 是基于式( 2 2 0 ) 提出的，因现实中的数据是有限长的，故r 的估计值为： 孟= 吉】，( f ) ( f ) ( 2 2 1 ) m 智 、7 类似地，估计值素的特征值记作 蟊五 ，其非正交矢量记为参= 磊磊一，) 。 故待测频率为n 个 ) 函数中的最小值所对应的，f ( c o ) 的表达式如下： 厂( ) = 口胃( ) 亘互口( )( 2 2 2 ) 2 3 2 流程图 m u s i c 算法的频率估计流程图如下： 建立信号模型，并求其协方差矩阵尺 上 对尺进行特征分解，获得其非正交矢量q 上 根据参数幽的范围，按式，( = 4 目( 盆直( 四进行谱峰搜索 。上 ，( 神最小值对应的盈值就是待测频率值 图2 8m u s i c 算法的频率估计流程图 2 3 3 实验及分析 实验3 ：设单频正弦信号 y ( ，) = 4 e 。r + ，2 ( ，)( 2 2 3 ) ，z ( f ) 的噪声方差仃2 = 1 ，采样数为10 0 ，s n r = 4 0 d b ，改变数据长度n 。 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用1 3 8 0 0 7 0 0 6 0 0 5 0 0 篷4 0 0 号 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 蜊 馨 m u s i c 算法的频率估计 一 _ _ 一 一 一 一 - 一 _ jl 0 p i 4p i 23 p i 4p i5 p i 43 p i 27 p i l 4 2 p i 角频率 图2 9数据长度n = 3 2 时的m u s i c 单信号频率谱 m u s i c 算法的频率估计 图2 1o数据长度n = i2 8 时的m u s i c 单信号频率谱 1 4 扬，i i 大学硕士学位论文 越 馨 图2 1 1数据长度n = 5 1 2 时的m u s i c 单信号频率谱 单个正弦信号时，噪声功率s 的变化趋势见表2 1 ： 表2 1单信号时的噪声功率变化表 数据长度n 3 2 12 8512 噪声功率s 1 6 8 0 5 0 8 8 4 60 4 0 13 图2 9 至图2 1 1 表明：在待估频率等处存在峰值，而在其它频率处 斗 相对平坦。表2 1 显示：当数据长度n = 3 2 时，加窗效应明显；但随着n 增大，估测误差会变小。 实验4 ：设多频正弦信号 ，一f，一f ，一， y o ) = 4 e 。4 + p 。3 + p 。4 + ，2 0 )( 2 2 4 ) 栉( f ) 的噪声方差仃2 = l ，采样数为10 0 ，s n r = 4 0 d b ，改变数据长度n 。 下图2 12 至下图2 1 4 表明：在三、三3 、丝4 三个待估频率处均有较为 明显的峰值，而在其它频率处相对平坦。 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用1 5 型： l 垤 詈 世 孽 m u s i c 算法的频率估计 图2 1 2采样长度n = 3 2 时的m u s i c 多信号频率谱图 m u s i c 算法的频率估计 图2 13采样长度n = 6 4 时的m u s i c 多信号频率谱图 1 6扬少i 1 大学硕士学位论文 艇 馨 m u s i c 算法的频率估计 图2 1 4采样长度n = 1 2 8 时的m u s i c 多信号频率谱图 多个正弦信号时，噪声功率s 的变化趋势见表2 2 ： 表2 2多信号时的噪声功率变化表 数据长度n 3 2 6 412 8 噪声功率s 4 4 2 8 02 7 1 8 41 5 0 0 6 表2 2 显示：当数据长度n = 3 2 时，加窗效应明显；但随着n 增大， 估测误差会变小。 实验3 和实验4 综合说明：无论是单信号还是多信号，m u s i c 算法 都能精准地估测出其待估频率，这说明其频率估计性能优良。只是当数据 长度n 较短时，估测误差较大；但随着n 增大，误差逐步变小，精准度有 所提高。 2 4e s p r i t 算法与m u s i c 算法的频率估计性能比较 e s p r i t 算法与m u s i c 算法的频率估计性能差异如下： 1 从运算量和实时性上讲，e s p r i t 算法无需谱峰搜索，运算量较小， 故e s p r i t 算法更优。 汪琼：子空间分解类算法在参数估计中的应用 2 从精准度上讲，之前的仿真结果均表明e s p r i t 算法和m u s i c 算 法都能精确地辨别出待估频率，只是m u s i c 算法采用谱