（应用数学专业论文）一类非线性粘性色散波方程的最优控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它一直受到控制理论 界的重视而得到不断深入的研究和发展。近几年来，有关b u r g e r s 方程 、k d v 方程、k d v b 方程以及k s 方程的最优控制方面的研究已取得了很 多成果。本文主要研究了一类带粘性项的非线性色散波方程：粘性 f o r n b e r g w h i t h a m 方程和粘性色散波方程。f o r n b e r g w h i t h a m 方程是 不可积的，它的扭波解和反扭波解最近被研究。粘性色散波方程是一 类非线性方程族。 在变分不等式最优控制理论和分布参数系统最优控制理论的基 础上，本文主要研究了上面一类方程的一种很典型的最优控制问题。 首先用g a l e r k i n 方法证明了在一个很短的时间区域内这两个方程弱 解的存在性和唯一性。其次，根据变分不等式最优控制理论和分布参 数系统最优控制理论，证明了在一个特殊的h i l b e r t 空间，这两个方 程解的范数与原方程的控制项和初始值有关。最后，在亭空间中，给 出了在边界条件下这两个方程的最优控制，还证明了最优解的存在性 关键词：粘性f o r n b e r g w h i t h a m 方程，粘性色散波方程，最优控制， 最优解，分布最优控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t o p t i m a lc o n t r o li sa ni m p o r t a n tp a r to fm o d e m c o n t r o lt h e o r y ，w h i c hh a sb e e n e m p h a s i z e d i nt h ec o n t r o lt h e o r yf i e l da n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n d d e v e l o p e d r e c e n t l y ，m a n y r e s e a r c h e sh a v e b e e nd o n eo n b u r g e r se q u a t i o n ，k d v e q u a t i o n ，k d v be q u a t i o na n dk se q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w eh a v es t u d i e dac l a s so f n o n l i n e a rv i s c o u sd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s ：t h ev i s c o u sf o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n a n dt h ev i s c o u sd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o ni sn o t i n t e g r a b l e ，a n di t sk i n k l i k ew a v es o l u t i o n sa n da n t i k i n k l i k ew a v es o l u t i o n sh a v e r e c e n t l yb e e ns t u d i e d t h ed i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o ni s ac l a s so fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n s a c c o r d i n gt o t h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r i e sa b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n d d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，w eh a v es t u d i e dat y p i c a lo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o r a b o v en o n l i n e a rv i s c o u sd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s f i r s t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fw e a ks o l u t i o ni nt h ei n t e r v a lt oa b o v et w oe q u a t i o n sa r ep r o v e du s i n gg a l e r k i n m e t h o d t h e n ，a c c o r d i n gt ot h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r i e sa b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y a n d d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，i ti sp r o v e dt h a ti nt h es p e c i a lh i l b e r ts p a c e ，t h en o r m o fs o l u t i o nt ot h e s et w oe q u a t i o n sa r er e l a t e dt ot h ec o n t r o li t e ma n di n i t i a lv a l u e f i n a l l y ，t h eo p t i m a lc o n t r o lo ft h ef o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o na n dt h ed i s p e r s i v e w a v ee q u a t i o nu n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o na l eg i v e ni nr s p a c e ，a n dt h ee x i s t e n c e so f o p t i m a ls o l u t i o na r ep r o v e di nt h e o r y k e yw o r d s ：t h ev i s c o u sf o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ，t h ev i s c o u sd i s p e r s i v ew a v e e q u a t i o n ，o p t i m a lc o n t r o l ，o p t i m a ls o l u t i o n ，d i s t r i b u t e do p t i m a l c o n t r o l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密影 学位论文作者签名：蒋谚乎 口c 7 年嗍7 日 -p1_、 ? d 乏 胗扣 名l 签亏 币7 j y b 狮咻导年 匕日?， 。 指门，l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：蕊镌辫 日期：2 0 0 9 年12 月f6 7 日 l 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对非线性科学的发展背景和最优控制的发展背景以及目前的进展作 一些简单的介绍。 1 1 研究背景 非线性科学是二十世纪自然科学继量子力学和相对论之后的重大发展，它包 括混沌、分形、孤立子三个基本分支。而孤立子作为非线性科学的一个重要分支， 自二十世纪六十年代以来获得了重大进展，它不仅开拓了数学、物理新的研究领 域，而且在许多高科技领域中有着重要的应用。1 8 4 4 年，英国著名物理学家 s c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的“论波动 一文中，描述了一种奇特的水波现象：他在运河罩发现了一个奇怪的孤立水波， 它以很快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和速度没有明显改变，该水波在 1 - 2 英里之外的转弯处消失了。r u s s e l l 认为这种奇怪的水波是流体力学中的一个 稳定解，并称之为孤立波，但r u s s e l l 的学说未能使物理学家们信服他的论断，在 此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。一是一个完整的孤立波全部在水面 之上，二是传播时振幅并不衰减，三是波速只与波在水面上的高度和水深有关。 当水域沿特征方向的水平尺度比水的深度大得多的时候，可作为浅水环境。1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似，小的但为有限的振幅 的假定下建立了单向运动的浅水波运动方程，即著名的非线性k d v 方程。他们求解 k d v 方程得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变的脉冲状孤立波解，从而在理论上证 实了孤立波的存在。孤立波具有三个性质：一是传播过程保持波形和波速不变， 二是孤波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和波速，三是振幅越高传播速度越 快。近十年来，关于孤立波的研究工作在理论及应用方面均取得突破性成果。讨 论浅水波方程解的相关性质( 特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、 散射理论、反散射理论、解的整体存在性及b l o w u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示 波的传播规律，在很多方面均具有极大的应用价值。 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 江苏大学硕士学位论文 化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时间区间、初始值和终 点值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值。这是控 制理论中的一个古典问题。现代控制理论研究的问题主要包括以下几个方面：( 1 ) 最优控制规律的寻求。如何根据给定的目标函数和约束条件，寻求最优的控制规 律的问题，即最优控制问题在解决最优控制问题的方法中，庞特罩亚金的“最大 值原理”和贝尔曼的“动态规划法 得到了较为广泛的应用；( 2 ) 系统数学模型 的确定如何根据系统的输入和输出确定系统的数学模型，即系统辨识问题；( 3 ) 状态向量的求得在系统数学模型已经建立的基础上，如何根据受随机干扰的输 出来求状态向量，即最优估计问题；( 4 ) 最优控制和自适应控制的实现。如何用辨 识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控制，即自适应控制的问 题。从理论上讲，施加于系统的控制作用，在于影响系统的行为，以达到某种预定 的目标当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小( 或最大) 时，就是最 优控制问题。显然，人们设计控制系统总希望他达到某种最优的性能。例如我们 从事某项工作时，总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益。采 取何种手段来达到这样的目的就是我们要研究的最优控制问题也就是现代控制 理论研究的第一个方面。 最优控制的思想很早就在人们的认识中产生过，它是研究和解决如何从一切 可能的方案中寻找一个最优的方案。但如何将这个思想用数学语言来描述，如何 用数学方法来论证它，从而形成一套理论体系来指导我们的工作，这些问题直到 二十世纪四十年代才引起人们的注意。1 9 4 8 年，维纳等人发表控制论关于 动物和机器中控制与通信的科学论文，引进信息、反馈和控制等概念，为最优 控制理论诞生和发展奠定了基础。1 9 5 0 年，米顿纳( m e d o n a l ) 在4 0 年代首先将这 个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的过度过程时间最短的最优控制 问题。1 9 5 4 年，我国著名学者钱学森编著的工程控制论直接促进了最优控制 理论的发展与形成。到了五十年代术，特别是六十年代初，在空间技术发展和数字 计算机实用化的推动下，动态系统的优化理论得到了迅速的发展。1 9 6 0 年，国际自 动控制联合会( i f a c ) 第一届世界大会在莫斯科举行，贝尔曼、卡尔曼、庞特罩亚 金等在大会上报告了他们的各自工作，引起了人们极大的重视，逐渐形成了一个 重要的学科分支一一最优控制。 2 江苏大学硕士学位论文 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂在控制领域也是这样。最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技术 的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都是 非线性的非线性是本质、普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件下 的种特殊的表现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门方向【2 】 【3 】 0 因此在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性两大类。线性 系统我们用常微分方程来描述，称为集中参数系统，具有有穷多个自由度。非线性 系统我们用偏微分方程来描述，称为分布参数系统，具有无穷多个自由度。古典控 制论主要研究集中参数控制，现实世界中所发生的各种现象，从数学角度来讲，大 部分是非线性分布的，如物体温度变化、地下水渗流、汽油形成以及生物种群演 化等都是通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在传递函数 基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统发 展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制、反馈控制 发展到最优控制，对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在满足 一定条件下，使实现准则达到最优的控制方案，就是最优控制研究的课题，最优控 制理论己成为现代控制理论的重要组成部分。 几十年来，最优控制理论不仅有了许多成功的应用，而且已经越过了自动控 制的传统界限，它在系统工程，经济管理与决策，特别是空间技术等众多领域都有 其广泛的应用，收到了非常显著的效果。正是上述原因，人们对最优控制的研究日 趋深入，如今对分布参数系统的最优控制研究已成为学术界非常活跃的一门学 科。特别是对非线性孤立波方程的最优控制正处于数学、工程学和计算机科学交 叉发展的前沿。 1 2 国内外研究现状和进展 二十世纪六十年代初期，由于科学技术的发展和实际工程控制系统设计的需 要，以及集中参数系统最优控制发展的影响，现代控制理论的一个新的分支 分布参数系统的控制理论迅速发展起来。同时，布特可夫斯基在讨论炉温控制时， 把热传导方程的某种最优控制问题转化为p o n t r y a g a i n 讨论过的问题；王耿介联 江苏大学硕士学位论文 系航天技术中的控制问题，在1 9 6 4 年系统的讨论了分布参数系统最优控制理论； 1 9 6 8 年，l i o n s 与m a g e n s 对描述分布参数系统的偏微分方程( 椭圆型，抛物型和双 曲型) 的定解理论作了深入研究【4 】【5 】；1 9 7 1 年，通过引入变分不等式等工具，探讨 了各类典型二阶性能指标的最优控制问题【6 1 。分布参数系统主要向最优解的存在 性、最优性条件、系统的可控性、稳定性和最优控制问题的求解等方向发展。在 最优解的存在性及最优性条件方面，人们根据不同系统做了大量工作。由于分布 参数本身的复杂性，早期的研究工作主要集中在线性、半线性且不考虑对状念和 控制约束的情形。1 9 8 2 年a h m e d 矛i t e o 的工作最具代表性【_ 7 1 。以1 9 6 8 年l a d y z e n s k y a 关于线性与拟线性抛物方程的定解理论为基础，将l i o n s 的结论进行了较为全面 推广【8 1 。1 9 8 2 年，a h m e d 给出了一类二阶双曲分布参数系统最优控制存在的必要 条件，这是研究双曲系统最优控制方面较早的研究之一 9 1 ；1 9 8 9 年a h m e d 又利用算 子半群、伴随系统及变分不等式等工具，把分布参数系统最优控制理论引入到参 数识别之中，在b a n a c h 空间中，给出了该领域的一抽象理论体系【1 0 1 。f a t t o r i n i 系 统讨论了b a n a c h 空i 日j 中，由发展方程描述的最优控制问题最优解的存在性及其最 优性条件。在1 9 8 5 年给出了具有非线性边界条件分布参数系统的非凸最优控制的 最大值原理【l i 】。在1 9 9 1 年和1 9 9 3 年中对具有状态约束最优控制问题的p o n t r a g i n 进行了深入研究【眨】【1 3 】。在1 9 9 4 年研究了抛物型分布参数系统边界控制问题，得 到了关于d i r i c h l e t 、n e u m a n n 和r o b i n 边界最优控制问题的p o n t r a g i n 原理【1 4 】【1 5 】。 同时在1 9 9 9 年对最优控制理论( 主要是关于最优解的存在性及其必要条件) 及所 作的工作进行了全面的概括和总纠1 6 】。1 9 9 9 年，r a y m o n d 与z i d a n i 在f a t t o r i n i 等人工作基础上，着重研究了半线性抛物系统的最优控制问题，在边界条件的非 线性项既不单调又非l i p s c h i t z 连续及分布，边界控制没有有界性约束的条件下， 利用一种新的正则性结果，获得了关于分布、边界及初值控制的三个分离形式的 p o n t r y a g i n 原理，并且该结果可以应用于具有状态约束的最优控制问题之中【r 7 1 。 m o s s i n o 是最早研究具有状态约束分布参数系统最优控制的学者之一【l 引。 m a c k e n r o t h 在1 9 8 2 年研究一具有逐点控制约束的抛物型最优控制问题，通过选取 适当的泛函空间，证明了问题最优控制的存在性【l9 1 。在此基础上，c a s e s 于1 9 8 6 年 研究了具有逐点状态约束的线性椭圆方程最优控制问题，并证明了最优控制的存 在性，给出了最优性条件及最优解的正则性结论【2 0 】；此后在1 9 9 3 年，c a s a s 研究了 4 江苏大学硕士学位论文 具有状态约束的半线性椭圆边界控制问题【2 1 1 。在1 9 9 6 年中c a s a s 又利用峰值摄动 法，给出了拟线性椭圆方程边界最优控制的p o n t r y a g i n 原理【2 2 1 ；此后结合李训经 等人的工作，c a s a s 对具有逐点状念与控制约束的半线性抛物型边界最优控制进 行了研究，得到了问题最优控制存在的p o n t r y a g i n 原理，给出了最优控制的正则 性条件，进一步通过引入扩散摄动、s o b o l v e 嵌入定理及偏微分方程解的正则性理 论为该类问题的研究建立了统一的抽象理论框架1 2 3 1 2 4 】。c a s a s ( 2 0 0 1 ) 研究了具有 梯度形式状念约束的半线性抛物型最优控制的p o n t r y a g i n 原理【2 5 1 。此外，c a s a s 和t r o l t z s c h 等还就分布参数系统最优控制最优解存在条件进行了研究，论证了 同时具有逐点状态与控制约束，且具有半线性边界条件的半线性椭圆型方程描述 的边界最优控制局部最优控制存在的二阶充分条件【2 6 】。f e r n a n d e z 于2 0 0 0 年研究 了一类更具有代表性与普遍性的，具有关于状态变量的梯度形式的等式与不等式 约束的散度形式的拟线性抛物型边界最优控制问题，其中控制变量含在状态方 程的高阶导数项系数中，通过引入适当的函数空问，证明了最优控制的存在性，状 态变量对控制的连续性与可微性，并给出了最优控制的一阶必要条件【2 7 】。1 9 9 5 年 c a s a s 和雍炯敏给出了控制域是有界子集不必凸集，拟线性椭圆方程( a 一调和方 程) 的点态约束问题的强、弱极大值原理。d r o n o u 和k a y m o n d 在2 0 0 0 年研究了含 有测度数据的半线性抛物型方程描述，且具有逐点状态约束的最优控制问题。这 类问题具有广泛的应用背景，通过引入对换法和测度理论，证明了问题最优控制 的存在性及其必要条件【2 引。 在国内，李训经等利用算子半群、粘性解、凸分析、s o b o l e v 空间理论，在分 稚参数系统的时间最优、最大值原理、缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性及可 控制性等诸多方面取得了许多有代表性的成果；1 9 9 4 年李训经和雍炯敏的论著， 对分布参数系统最优控制和无穷维空间最优理论的发展产生了重大的影响，陈任 昭在1 9 9 0 年基于l i o n s 的理论体系，具体应用于人口，生物种群等系统的最优控制 中，取得了许多重要的成剁2 9 】 3 0 1 3 1 】，另外，宋健与陈任昭等利用分布参数系统理 论研究了人口预测与控制问题。高夯在1 9 9 9 年把c l a r k 的非光滑分析理论引入分 布参数系统最优控制之中，证明了一类半线性抛物方程描述的非凸最优控制问题 最优解的存在性及其基于变分不等式的最优性必要条件【3 2 】；并在研究了由椭圆型 方程描述的空间区域最优控制问题，给出了最优控制区域存在的基本条件【3 3 。王 5 江苏大学硕士学位论文 康宁在1 9 8 5 把集中参数系统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中，并 就最优解存在性，可控制性，能达性及可观性进行了深入探讨【3 4 1 ，同时在1 9 9 5 年研 究了具有二次性能指标和具有时间性能指标的线性抛物型分布参数系统最优控 制存在的必要条件，并给出了用算子方程形式的半线性抛物型系统控制存在的最 大值原理【3 5 】。 最优控制的优化算法主要内容是研究这类问题各种数值计算方法，并研究算 法的收敛性和收敛速度等。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划的方法加 以改造，移植和拓展而得到。早在1 9 6 0 年，h o r n 和k e l l e y 就发表了后来在庞特里亚 余最大值原理中利用的伴随方程组的梯度法，b r e a k w e l1 和b r y s o n 等以不同的方 式采用n e w t o n 方法研究了求解最优控制问题，r u e e s 证明另外当系统关于控制为 线性时可用罚函数方法求解约束最优控制问题，b a l a k r i s h n a n 提出 “b a l a k r is h n a n 占一方法”，而且推出了庞特里亚金最大值原理，t e o 在p o l a k 和 m a y n e 关于集中参数系统最优控制优化算法研究的基础上，对分命参数系统最优 控制问题的优化算法进行了深入的研究，在1 9 8 3 年分别就由带有第一类，第二类 边界条件的二阶线性抛物型偏微分方程描述的无约束最优控制和松弛最优控制 问题的优化算法进行了研究，并针对不同的目标泛函提出了强变分法，条件梯度 法和可行方向法，且从理论上证明了各种算法的收敛性，还给出了相应的数值计 算实例【3 6 】。 在我国，宫锡芳对最优控制问题的计算方法做过系统的研究；陈祖浩研究了 约束最优控制问题的罚函数方法，用统一的理论提供了若干充分和充要条件来处 理带罚函数的最优控制问题趋于原最优控制问题，还解决了r u e e s l 提出的困难问 题。由于连续系统最优控制问题是在无限维空问内讨论的，故最优控制的计算方 法远较有限维非线性规划问题的计算方法为复杂，迄今为止，最优控制问题的计 算方法的研究，在深度上和广度方面都远不如非线性规划的最优化计算方法的研 究，一些最优控制问题的计算方法，如最优控制罚函数方法等，其收敛速度等问题 都还没解决。这将是最优控制方向研究的热点之一。二十世纪八十年代后期，出 现了广义分布参数系统。它是比分布参数系统更为广泛的一类系统。近年来，广 义分布参数系统的研究为人们所重视，提出了广义分布参数系统最优控制与参数 识别概念。2 0 0 4 年，朱敏和田立新研究了k d v _ - b u r g e r s 方程的最优控制【3 7 】；2 0 0 5 6 江苏大学硕士学位论文 年赵志峰和田立新研究了充分非线性k d v b u r g e r s 方程的最优控制【3 8 1 ；2 0 0 7 年田 立新和沈春雨研究了粘性c 锄a s s a - h o l m 方程【3 9 1 i l l d e g a s p e r i s - p r o e e s i y l f 程t 4 0 1 的最 优控制等等。由于广义分布参数系统最优控制与参数识别具有广泛应用前景，对 该问题的研究必将对工程系统，经济与社会系统，生命科学与材料科学等产生重 大影响。这也将是今后研究的另一热点。 1 3 最优控制问题的研究方法 最优控制问题从数学上来说，是一个变分学问题。但是经典变分理论只能解 决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。而实际 上碰的更多的却是容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这类问题从数学上可 作如下描述，设受控系统的状态方程为生掣：( x ( f ) ，“( f ) ，f ) ，其中x r ”是系统 口f 的状态，“( - ) 是控制作用。由于技术条件等众多因素的限制，控制作用的取值“( f ) 不可能是任意的，而必须是有限制的，在数学上可以把这种限制表示为 u ( t ) u c r 。这旱u 是尺”中的给定集合，称为控制域。当控制“( ) 具有某种可测 性，并且适合于对控制作用的限制时，称“( ) 为容许控制，记为“( ) ，通常 是由逐段常值，逐段连续或可测函数组成。设给定了t o r ，x o r ”，和 lc 尺”，“( ) ，x ( t o ) = x o ，状态方程的解为x ，x = x ( “( ) ，t ) 。如果存在t l t o ，使得 x ( “( ) ，t ) l ，就称甜( ) 把系统从状态迁移到。最优控制问题在数学上可叙述 为：选取“( ) u a a ，使得状态方程以( ，) 为初值的解x ( “( ) ，f ) l ，且性能指标 ， ( ) ) = f f ( x ( u ( ) ，f ) ，“( f ) ，f 渺取最小。 在二十世纪五十年代末六十年代初，对于最优控制理论出现了众多的新方法， 有两种方法最富有成效，它们和变分法奠定了最优控制的理论基础。一种方法是 原苏联数学家庞特罩亚金的“极大值原理珥4 1 】；另一种是美国学者贝尔曼( b e ll m a n ) 的“动态规划” 4 2 】。受分析力学中哈密尔顿原理的启发，庞特里亚金等人把“极 大值原理”作为一种推测首先提出来，随后作了严格的数学证明。“极大值原理 发展了经典变分原理，成为处理闭集性约束变分问题的强有力的工具。“动态舰 7 江苏大学硕士学位论文 划”是贝尔蔓五十年代中期创立的，他依据最优性原理，发展了变分学中哈密尔顿 雅可比理论，构成了“动态规划”，贝尔曼用动念规划方法讨论最优控制问题， 得到了人们所说贝尔曼方程的必要条件。它是一种适用于计算机计算、处理问题 范围更广的方法。到了六十年代，卡尔( k a l m a n ) 等人具体研究了线性二次最优控 制，建立了最优线性反馈调节器设计的理论基础，提出了可控制性及可观测性概 念【4 3 】【删，建立了最优估计理论。最优控制理论中最基础、最成熟的部分是线性控 制系统的理论方法，特别是线性二次( l q ) 控制理论，它是最优控制理论中用的最 广最有成效的部分，是进行系统最优控制研究的基础。另外，一些学者在研究l q 控制的逆问题f 4 5 1 。尽管如此，l q 控制仍有些重要问题末解决好( 如计算机效率和 大系统降价等) 。在以后相当长的时间内，这方面仍将是人们继续研究的对象。 本课题主要研究的是一类色散波方程的最优控制，属于分布参数系统，是由微分 方程( 组) 所描述的系统。为进一步说明怎样对分布参数系统进行最优控制，我 1 i q i j l 用一关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制实例【4 6 1 。设物 体在点石q 和时刻t “o ，t 】的温度用函数o ( x ，t ) 描述，区域q r 3 ， o ，t 为所 研究物体的温度变化时间区间。若物体中不同点的温度存在差异，则将产生热流 q ( x ，f ) ，由f o u r i e r 定律，可表示为 q ( x ，t ) = 一k ( x ，t ) v o ( x ，t )( z ，f ) f 2 o ，t ( 1 3 1 ) 其中，k ( x ，t ) 为物理的热传导系数。在( 1 3 1 ) 中，负号表示热流的方向与温度的 梯度方向相反，因此，热量总是从温度高的地方流向温度低的地方。在任意点 x q 处取一面积微元豳，并设其单位法向量为刀，因此在持续时间以内，通过该 片表 面沿方向n 的总热流量为 d q = q n d s d t = 一( k v o ) d s d t ( 1 3 2 ) 若设区域q 内固有的热容为c ( 石) ，则在q 中任一以x o q 为中点的球b 内的总的 热量为c ( x 矽( x ，t ) d t 。该量是关于时l 、日j 的函数，并且由于通过球b 的边界凹的热 流与球本身所具有的热源变化。这样在曰中，总的热容为 妲= ( 一点b k v 0 疗d s + 胁) 班 r 江苏大学硕士学位论文 式中，刀表示边界船的外法方向。由式( 1 3 2 ) ，热量守恒定理，g r e e n 公式，可 得 c ) o 优o d x = 一阿以搬+ 肚= l v ( k v o ) d x + 肚 由于上式对q 中所有充分小的球召均成立，故可得到下面方程 c ( x ) 掣一v ( k v o ) ：厂，( x ，f ) q ( o ，r ) ， ( 1 3 3 ) o t 当c 三1 ，k 三1 ，f = 0 时即所得到一般的导热方程：q - a o = 0 下面考虑问题的边界条件。若边界孢上的温度给定，则有 = 矽 ( 1 3 4 ) 该边界条件称为d i r i c h l e t 边界条件。若边界讹上的热流量给定，则有 ( 娑) 施：缈 ( 1 3 5 ) 这种边界条件称为n e u m a n n 边界条件。当然可以给出许多更复杂的边界条件。例 如，若边界上热流与局部温度成比例，则有下面的r o b i n 边界条件 ( 掣+ a o ) 施：0 ( 1 3 6 ) 如果进一步给出物体的初始温度皖，即 包；o = o o ( x ) ， x q( 1 3 7 ) 那么在适当的条件下，基于初始条件( 1 3 7 ) 和上面的三种边界条件之一，可以求 得方程( 1 3 3 ) 的解o ( x ，f ) 。 以下考虑基于上面的微分方程的一些控制问题。为了明确起见。首先考虑由 方程( 1 3 3 ) ，边界条件( 1 3 4 ) 及初始条件( 1 3 7 ) 所描述的系统。假设可以改变 方程( 1 3 3 ) 右边的源项厂，显然不同的厂将得出不同的解0 。因此为了得到一所 要求的温度分布- o ( x ，f ) ，可以选取一适当的厂，使得问题的解o ( x ，t ) 在某种意义下， o ( x ，f ) 充分接近于o ( x ，f ) ，直观上讲，这就好比在冬天烧暖气使室内的温度升高， 在夏天开空调使得室内的温度降低。通常把0 称为关于厂的状态，而厂称为控制。 方程( 1 3 3 ) 称为状态方程，在上面的情形中，控制是在状态方程的右边，或者说 控制是作用在区域q 的内部，称这种控制为分布控制，若可以改变区域边界孢 9 江苏大学硕士学位论文 上的温度，即可以改变缈，称缈为边界控制。 显然，方程( 1 3 3 ) 及条件( 1 3 4 ) ，( 1 3 7 ) 给出了一通过厂确定目的独特方 式。把这样一指明状念与控制之间关系的对象称为控制系统。所以，( 1 3 3 ) 、 ( 1 3 4 ) 和( 1 3 7 ) 为一控制系统，而( 1 3 3 ) ，( 1 3 5 ) 和( 1 3 7 ) 为另一控制系 统。有时为了按一最佳的方式实现某种目标，比如，使得花费时间最少，消耗能量 最低等，这就涉及到最优控制问题。因此，为了实现最优控制，必须给出其它的准 则来衡量控制系统的性能。该准则称为效用( 目标) 函数。以上面的控制系统 ( 1 3 3 ) ，( 1 3 4 ) 和( 1 3 7 ) 为例，其中厂为控制。要求系统的解o ( x ，t ) 接近 万( 石，f ) 。 因此，可定义如下目标泛函： ，( 厂) = r 己l 口( x ，f ) 一万( x ，f ) f 2d x d t + j c rl i 厂( x ，f ) 1 2d x d t 我们的目标是通过选取适当的厂使得j ( f ) 最小。在上式中，第一项要求臼接 近目，而要求能量消耗不要太高。当然，可给出其它类型的目标函数。若够为控制， 可添加在r c o ( x , t ) d s d t 目标泛函中。 若在给定时间t 内，使得区域q 的温度o ( x ，t ) 接近日( 曲，则可定义目标泛函 ，( ) = 己1 秒( x ，f ) 一万( x ，f ) 1 2d x + r l l 厂( x ，f ) 1 2d r d t 现在假设物体的初始温度为o o ( x ) ，并要求o ( x ，f ) 尽可能的接近秒( x ，f ) ，在该 情况下，可按下面的方式来定义目标泛函。首先利用e ( n ) 范数来度量温度的接 近程度，设占 0 为给定的精度，记 q = y f ( q ) ，l i y 一万0 f 。，占) 对于任意的控制，假设相应的温度分布为o ( x ，t ；f ) 。因此，目标泛函为： t ( s ) = i n f t 0 ，9 ( ，t ，) q ) 我们的目标是最小化该目标泛函，该问题称为时间最优控制问题。 以上就是引用的关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制 1 0 江苏大学硕士学位论文 实例，这将有助于我们进行进一步的研究。 在某些实际问题中我们关心的不是求出最优控制作为时间的函数，而要把各 时刻的控制表达成当时状态的函数：u ( f ) = d ( 石( f ) ，f ) ，因为这样便于实时地根据 当时状态确定各时刻应施加的控制，这叫最优控制的综合当。然这种表达式不易 找到，只是在很特殊的情况下- a 能求出来，因此在解决实际问题时，要善于简化， 使得模型既能反映实际系统，又能求出上述形式的表达式。例如，对于二次性能指 标的线性系统，综合问题早已解决，最优控制规律是按状态为线性的负反馈控制 律，而反馈增益能通过解r i c c a t i 方程的末值问题算出f 4 7 】f 4 8 】。 最大值原理在最优控制中占有很重要的地位。最优控制的必要条件一最大 值原理，把古典变分学中极值曲线的必要条件，最优开关原理等做为应用实例。但 是，古典变分学不能处理最优开关控制问题。所以人们说最优控制理论是变分学 适应控制过程问题的新发展。然而，美国的伯科维茨( l d b e r k o v i t z ) 在1 9 6 1 年指 出，运用芝加哥( c h i c a g o ) 学派在二十世纪三十年代发展的变分学方法，也可证明 最大值原理。但是，庞特罩亚金关于最优控制问题的叙述和最大值原理是与控制 系统的最优设计问题紧密结合的，所以人们还是愿意把最优控制理论视为变分学 的新发展，而不把它归结为变分学的一部分。 从抽象的观点来看，最大值原理无非是一个极值问题的一阶必要条件。所谓 极值问题的一阶必要条件，粗糙的说，是指：对于一个定义在某个带线性结构的集 合上的函数，如果它在该集合的某点上达到极小值，那么函数在该点上对于任何 “容许方向”上的“方向导数”都不小于零。如果集合很正规，例如，m 维空间( 对 应m 个变量的无约束最优化问题) ，由多变量光滑函数的等式确定的流形( 对应带 等式约束的最优化问题) ，而被求极值的函数又是光滑的，那么我们立即导得熟知 的f e r m a t 定理和l a g r a n g e 乘子定理。最优控制问题的困难恰恰在于它所涉及的极 值问题中，自变量变化的集合不太正规；这里被求极值的函数是控制问题的目标 函数，其白变量是状态和控制，而它们的变化范围由状态方程和容许控制集等来 决定。即使目标函数对状态与控制来说都很正规，但状态方程与容许控制集合会 使这个函数在一个古怪的集合上求极值：或者把控制也用状态来隐含表示时，目 标函数会变成状态的古怪的函数。这样一来，要弄清集合在一个点上的“容许方 向”和函数的“方向导数 都变的不太容易。这就引起后来的最大值原理的非光 江苏大学硕士学位论文 滑分析。 微分方程是描述控制系统的数学工具，所以微分方程理论成为最优控制系统 设计理论的基础和工具。 1 4 本文研究的主要内容 在上述研究的基础上，本文主要研究粘性f o r n b e r g w h it h a m 方程、粘性一般 色散波方程的最优控制问题，主要用g a l e r k i n 方法证明了这几类粘性尖峰孤立波 方程弱解的存在性，给出了这两个方程的分布最优控制，证明了最优解的存在性 等。 本文的结构安排如下： 第一章：绪论。主要介绍了本课题的研究背景、国内外研究现状和研究意义。 第二章：预备知识。介绍了一些常用的基本概念和一些不等式。 第三章：粘性f o r n b e r g w h it h a m 方程的最优控制。目前有关粘性f o r n b e r g w h i t h a m 方程的研究比较少，我们首先用g a l e r k i n 方法证明了方程在特殊的 h i i b e r t 空间上的弱解的存在性，其中用了一系列的数学估计和分部积分理论。 然后，根据变分不等式和分布参数系统的最优控制理论，运用第二章的知识，并 选择了合适的性能指标j ( y ，万) ，证明了在该空间上解的范数与原方程的控制项 和初始值有关；并且在r 空间中给出了粘性f o r n b e r g w h it h a m 方程在一定边界 条件下的最优控制。最后证明了粘性f o r n b e r g w h i t h a m 方程的最优解的存在性。 第四章：深入研究粘性色散波方程的最优控制问题。把第三章研究f o r n b e r g w h i t h a m 方程的方法推广运用到粘性色散波方程方程上来，得到了我们想要的结 果。 1 5 本文研究的意义 最优控制问题在水利、电磁学、热学、国防等方面都有很重要的作用，特别 是水利方面。因此，最优控制理论不仅在理论上还是在应用方面都有极大的价值， 所以对此类方程的最优控制问题进行研究意义重大。由于庞大的计算量以及模型 可能产生的困难，解决非线性偏微分方程的最优控制问题意味着要面临巨大的数 1 2 江苏大学硕士学位论文 值挑战。这一类粘性色散波方程都足重要的数学物理方程，他们具有很多实际意 义。但是由于这一类方程非线性项比较复杂，他们的最优控制问题研究的比较少。 本文我们使用一些数学估计研究了这一类粘性色散波方程的最优控制问题。我们 的研究是得到了对b u r g e r s 、c a m a s s a h o m 和d e g a s p e r is p r o c e s i 方程最优控制 问题的研究和分布参数系统最优控制的存在性理论的启发。从理论上，我们证明 了这一类方程最优解的存在性。 江苏大学硕士学位论文 2 1 函数空间 第二章预备知识 下面介绍一下函数空间，这在后面需要用到： 2 1 1 线性空间以及b a n a c h 空间 我们取( y ，| | i | y ) 是一个普通的线性空间。集合曰( v ；厂) = 缈v ：l l v - 攻, l l 矿 ，) 是 一个中心为v 半径为，的丌球。 如果( y ，i i 1 i 矿) 和( 形，l j | l ) 是普通的线性空间，我们定义一般的线性空间为 l ( v ，w ) = a ：v w ，彳是线性连续的) 对所有的彳三( 矿，) ，模为i j 彳k r 朋2 批s u p ：。l l 彳v 忆。记集合( 功= ( 矿，矿) 。如果矽 是完备的，则空间l ( v ，) 是一个b a n a c h 空间。 2 1 2h i i b e r t 空间以及它的对偶空间 设x 是一个h i l b e r t 空问，定义它的内积为( ，) ，它的模叫f = ( x ，x ) x ( v x x ) ，m 是x 中的一个闭集，m 上为x 中的一向量集并且它和m 是正交的， 所以m 上称为m 的标准正交。 定义2 1 ：设y 是一个实线性空间，空间l ( v ，r ) 称为空间y 的( 拓扑) 对偶空 间，可以表示为矿。矿中的元素为连续线性泛函，对于厂矿+ ，v 我们用 ( f ，v ) 旷矿表示对偶对。 定理2 1 ：( x ，( ，) ) 是一个实的h i l b e r t 空间，它的对偶空间为x 。对每个 f e x ，存在唯一的- x ，使得对所有的x x 并且i m = h j 有结论 ( 厂，x ) t x = ( o ，x ) x 成立 1 4 江