（应用数学专业论文）均匀cantor集在拟对称映射下的鲁棒性质.pdf

摘要 本文主要研究了一类特殊的拟对称映射，给出了在这类拟对称映射下，集 合结构相对稳定的充分条件，证明了如下两个结论：( 1 ) 设e = e ( ) ， 龟) ) c 【0 ，1 】是均匀c a n t o r 集，f ：【0 ，1 】_ 0 ，1 】是拟对称映射，若f ( e ) 是近似均匀 c a n t o r 集，则l ，( e ) i 0 当且仅当i e i 0 ( 2 ) 设e = e ( 啦) ， g ，) c 【0 ，1 】 是均匀康托集，且l e l 0 ，f ：【0 ，1 】一【0 ，1 】是拟对称映射，且满足对任意的 n ，i ，( j n j ) ixi ，( 厶，z ) i ，其中1 j ，f 兀笥( m + 1 ) n k ，贝0l ，( e ) i 0 全文主要分为四个部分：在第一部分，介绍了本文研究的背景和意义以及 本文的主要结论；在第二部分，介绍了拟对称映射的相关知识；在第三部分， 我们证明了一个引理和本文的两个主要结论；在第四部分，提出了两个可进一 步考虑的与本文密切相关问题 关键词 均匀c a n t o r 集；拟对称映射；近似均匀c a n t o r 集 a b s t r a c t w es t u d yak i n do fs p e c i a lq u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g ，g i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no f af a i r l ys t e a d ys e t s ，w ep r o v e ：( 1 ) l e te = e ( ( 佗i ，_ ( q ，) c 0 ，1 jb eau n i f o r mc a n t o r s e t ，：【0 ，1 】_ 0 ，1 】i sq u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g ，i ff ( e ) i sa p p r o x i m a t e l yu n i f o r m c a n t o rs e t ，w eh a v el ，( e ) l 0i fa n do n l yi fl e i 0 ( 2 ) l e te = e ( m ) ， q ) ) c 【0 ，1 】b eau n i f o r mc a n t o rs e t ，a n di e i 0 ，：【0 ，1 】_ 【o ，1 i sq u a s i s y m m e t r i c m a p p i n g ，w h i c hs a t i s f i e sj ，( 厶，歹) ixi ，( 厶，f ) f ，f o ra l l 死，j ，a n dzw i t h1 j ，z 兀譬( + 1 ) n 知，t h e ni ，( e ) i 0 i tc o n t a i n sf o u rp a r t s i np a r to n e ，w eg i v et h es e t t i n ga n d m e a n i n go ft h e p r o b l e ma l s oo u rc o n c l u s i o n s ；i np a r tt w o ，w eg i v es o m ek n o w l e d g er e g a r d i n gq u a - s i s y m m e t r i cm a p p i n g ；i np a r tt h r e e ，w ep r o v eal e m m aa n dt w oc o n c l u s i o n so ft h i s p a p e r ；i np a r tf o u r ，w eg i v et w oq u e s t i o n sw h i c hc a nb ed i s c u s s e df u r t h e r k e yw o r d s u n i f o r mc a n t o rs e t ；q u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g ；a p p r o x i m a t e l yu n i f o r mc a n t o rs e t 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：王交 签名日期。州7 年9 月2 7 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：王之 签名日期5 弘呵年亭月善7 日 导师签名： 鼽凡珀虬 侈9l 第一章引言 第一章引言 1 1研究的意义及现状 对于分形集，我们常用维数来刻画它的复杂程度，但是维数并不能很好的 反映分形集的结构特点如康托尘【l 】，它的豪斯道夫维数为1 ，它与 0 ，1 】区间 具有相同的豪斯道夫维数，但是它们的结构却存在很大的差异也就是说维数 不能充分反映一个分形集的复杂程度，因此，我们需要更加精细的研究方法 拟对称映射源自著名数学家b e u r l i n g 和a h l f o r s 于1 9 5 6 年发表在a c t am a t h 上的一篇文章【2 】该文章表明，直线上的拟对称自同胚正好是上半平面到自身 的拟共形映射的边界映射( 见【2 ) 而术语拟对称是k e l i n g s 3 于1 9 6 6 年首次提 出来的 我们知道一个双李卜希兹映射一定是一个拟对称映射，而反之不然豪斯 道夫维数是双李卜希兹下的不变量【1 】即集合的豪斯道夫维数在双李卜希兹映 射下是保持不变的那么豪斯道夫维数与拟对称映射是否有类似的关系呢? 豪斯道夫维数是不是在拟对称映射下也保持不变呢? b i s h o p 4 证明了：若紧集ec 舯满足0 n e 另一方面，根据k o v a l e v 最近的 著名结果 5 1 ，当0 d i m he 0 ，存在礼维拟对称映射， 使得d i m hf ( e ) 0 拟对称厚集是一类较拟对称极小集来说，在拟对称映射下，结 构更加稳定的集合显然，拟对称厚集一定是拟对称极小集那么什么样的集 合是拟对称厚集呢? q 。卜厚集：给定序列 q 。】，0 0 都有。i i p 0 ，则e 是拟对称厚 集( 2 ) e 是 q n ) 一厚集，且对所有的p 0 都有p 砖 o o ，则e 是拟对称 厚集 拟对称零集： ecr 是拟对称零集，如果对r 上的任一拟对称同胚，都 有i ，( e ) l = 0 拟对称零集是和拟对称厚集相对应的一类集合拟对称厚集描 2 第一章引言 述的是一类在拟对称映射下，1 维豪斯道夫测度在某种程度上不会减少的集 合，而拟对称零集描述的是一类在拟对称映射下，1 维豪斯道夫测度不会增 加的集合，它们都在一定程度上刻画了集合在拟对称映射下结构的稳定性 q 。) 一有孔集：给定序列 q n ) ，0 q n 1 ，ecr 称为 q n ) 一有孔集， 如果存在e 的覆盖序列晶= 晶，j ，当n _ 时，s u p jl e n ，j i 一0 其中，对 任意的n ，晶j 是内部不交的区间，且对每个晶j e 包含一个长度o t 。i 晶j i 的区间 ue k + 1 ，七cu ( e k j 厶j ) e n - f ls “ w uj a n g - m e i 1 2 】证明了如下事实：0 q 竹 1 ， e 是t a n ) 有孔集，且对所 有的k 1 都有产n 纂= o 。， 则e 是拟对称零集 b u c k l e y , h a n s o n 和m a u c m a n u s 【1 3 】证明了对于中间区间c a n t o r 集而言，s t a - p l e s 和w a r d 【1 1 】给出的 q 。) 厚集是拟对称厚集的条件，不但是充分的，而且是 必要的也即，中间区间康托集e ( g 】1 ) 是拟对称厚集，当且仅当 a ) n o ，f r h a nd a n ，w a n gl i s h a 和w e ns h e n g y o u 【1 4 】进一步推广了b u c k l e y , h a n s o n 和 m a u c m a n u s 【1 3 】的结论，证明了如下两个结果：( 1 ) e = e ( 啦) ， c d ) c 【0 ，1 】是均匀 c a n t o r 集，e 是拟对称厚集，当且仅当对所有的0 p 0 ，i ：【0 ，1 】_ 【0 ，1 】是拟对称映射，且满足对任意的佗，i ，( 厶j ) i i ，( 厶，1 ) i ， 则l ，( e ) i 0 也就是说一个正测度的中间区间c a n t o r 集和一个零测度的 c a n t o r 集之间不存在拟对称映射 本文进一步讨论了更一般的均匀c a n t o r 集，证明了如下结论： 定理1 设e = e ( ) ， q ) ) c 【0 ，1 】是均匀c a n t o r 集，是拟对称映射 若i ( e ) 是近似均匀c a n t o r 集，则i ，( e ) i 0 当且仅当l e i 0 定理2 设e = e ( m ) ， q ) ) c 【0 ，1 是均匀康托集，且i e i 0 ，：【0 ，1 】_ 0 ，1 】是拟对称映射，且满足对任意的佗，l ，( 厶，j ) i i ，( 厶，f ) i ，则i ，( e ) i 0 注：符号”zxy ”表示存在常数a ，满足：知y a x 其中a 不依赖于 z ，y 的选择 3 湖北大学硕士学位论文 第二章拟对称映射 2 1拟对称映射的定义及性质 定义2 1 1 ( 拟对称映射的定义) 设7 7 ：【0 ，+ ) 一【0 ，+ 。) 是一个同胚，是度量 空间( x ，d x ) 到度量空间( k d y ) 上的一个同胚，称，为矿拟对称的，如果对任意 z ，可，z x 及任意t 0 ，当奴( z ，y ) t d x ( 耖，z ) 时，有 d y ( y ( x ) ，( 秒) ) 叩( ) d y ( ，( 可) ，( z ) ) 从定义可以看出，拟对称映射可以改变相对距离，并且，这种改变可以被一个有 界的量所控制。比如我们所熟知的双李卜希兹映射就是拟对称映射，在这里只需取 7 7 ( ) = l 2 t 即可但是拟对称映射不一定是双李卜希兹映射 例：对任意度量空间( x ，i z y 1 ) ，v ( 0 ，1 ) ，一一映射( x ，i z 一钞i ) _ ( x ，l z 一外) 是拟对称映射，但不是双李卜希兹映射 性质2 1 1 若f ：x y 是俨拟对称映射，则f _ 1 ：，) _ x 是矿拟对称映 射，其中，? 7 ，( ) = 南若，：x _ y 是w 一拟对称映射，若g ：y z 是一拟 对称映射，则go ，：x z 是( 哟ow ) 一拟对称映射 性质2 1 2 一个叩拟对称映射在其子集上的限制还是俨拟对称映射 性质2 1 3 拟对称映射把有界集映成有界集，并且，若f ：x y 是咿拟对称映 射，acbcx ，0sd i a m a d i a m b 0 0 ，则d i a m f ( b ) 是有限的且 孺1 d i a 画m b 塑d i a m 趔f ( b ) 叼( 型d i a m b ) 2 叼( 而丽) 。 一八 7 此性质表明，有界性是拟对称映射下的不变量 性质2 1 4 拟对称映射把c a u c h y 列映成c a u c h y 列特别的，完备空间在拟对称 映射下的像是完备的 该性质的证明虽然简单，但它却表明了完备性是拟对称映射下的不变量 在拟对称映射的定义中，控制函数7 7 ( t ) 只要求是同胚，而没有具体的形式，在 具体的研究中不方便验证，且没有较好的直观下面我们研究在何种情况下，叼( t ) 能给出具体的形式 4 2 2 弱拟对称映射 第二章拟对称映射 定义2 2 1 ( 弱拟对称映射的定义) 度量空间( x ，奴) 到度量空间( y d y ) 上的一 个嵌入，是h 一弱拟对称的，如果存在h 1 ，使得对任意a ，b ，z x ，当d x ( x ，口) 奴( z ，b ) 时，有 d y ( f c z ) ，( n ) ) 日d y ( ，( z ) ，( 6 ) ) 由拟对称映射的定义，易知，任一7 卜拟对称映射，必然是h 一弱拟对称的其 中，只需取h = r ( 1 ) 即可而弱拟对称映射却不一定是拟对称映射 例：令x = n _ o ，一 ) cr 2 定义x r 2 的嵌入，：，( 礼，0 ) = ( n ，o ) ，( 礼，一 ) = ( n ，一去) ，可验证，是弱拟对称映射而不是拟对称映射 下面的引理将表明，实直线r 上弱拟对称映射也是拟对称映射从而实直线r 上弱拟对称映射与拟对称映射等价先给出一个相关的定义 定义2 2 2 ( 加倍空间) 一个度量空间称为加倍的如果存在常数c l 1 对每个直 径为d 的集都可以被a 个直径不超过萼的集覆盖从加倍空间的定义我们可以看 出，加倍空间具有遗传陛质，也即，加倍空间的子空间也是加倍的 ，： 关于加倍空间有如下性质： 性质2 2 1 一个加倍空间在拟对称映射下的像仍是加倍的也就是说一个空间的 加倍性质是拟对称不变的 引理2 2 1 【1 5 】度量空间( x ，奴) 是连通加倍空间，度量空间( rd y ) 是加倍空间， 则( x ，奴) 到( ed y ) 上的任一h - 弱拟对称映射，是俨拟对称的 因此，一个连通加倍空间空间到一个加倍空间的弱拟对称嵌入a 与拟对称映射 可以不加区别而实直线r 既是道路连通空间又是加倍空间，从而实直线r 上弱 拟对称映射和拟对称映射是等价的 下面我们简单证明实直线r 上日一弱拟对称映射和m 拟对称的等价性 命题2 2 1 实直线r 上h 弱拟对称映射是i 扛拟对称的 证明：设，：r r 是h 一弱拟对称映射，则对任意z r ，t 0 ，因为i ( z + ) 一z i = i z 一 一) i ，从而由弱拟对称映射的定义，有 取m = h ，则 ，( z + t ) 一，( 。) i h i f ( x ) 一，( z t ) 黔矧姐 5 湖北大学硕士学位论文 命题2 2 2 实直线r 上m 拟对称映射是h 弱拟对称的 证明：设f ：r r 是m 一拟对称映射，对任意a ，b ，x r ，当l z a i i x b l 时， 若a ，b 在z 的同侧， i f ( x ) 一厂( o ) l ，i f ( x ) 一，( b ) l， 顶万而质万厕刮 若a ，b 在z 的异侧， f(x措f ( x 耥f ( 2 x 蛳 ) 一，( 6 ) i 1 ) 一一o ) i 综上所述，取h = m 则，是h 弱拟对称的 由上面所证得的事实可知，在实直线上考虑拟对称映射时只需用以下定义即可 定义2 2 3 ( 实直线r 上拟对称映射的定义) r 上单增同胚，称为拟对称映射，如 果存在k 1 ，对任意的z r ，t 0 ，都有 一1 k 黔f ( x 劣f ( x 矧k1) 一一t ) i _ ： 定义2 2 4r 上的b o r e l 测度p 是加倍的，如果存在常数a 1 使得 p ( j ) p ( ，) a l z ( j ) 其中j ，是两个相邻等长的区间有时我们也称p 是 0 ，1 】上的a 一加倍测度，称a 为p 的加倍常数 性质2 2 2 实直线r 上拟对称映射与加倍测度是等价的 设p 是r 上加倍常数为a 一的加倍测度，记为p d ( 入) 则对任意两相邻等长的 区间j ，j 都有 p ( j ) s 肛( f ) a p ( ，) 定义函数 f ( x ) = f ( o ) + 札 则易知，是a 一拟对称映射 反之，设，是k 一拟对称映射，定义 p ：p o ，b 】= f ( b ) 一，( o ) 贝肛是k 一加倍的 另外一种与拟对称映射密切相关的定义是幂拟对称映射，我们看在何种情况下 它和拟对称映射是等价的 6 2 3 幂拟对称映射 第二章拟对称映射 定义2 3 1 ( 幂拟对称映射的定义) 称x _ y 的嵌入，为幂拟对称映射，如果存 在常数c 0 ，q 0 ，满足对任意 0 ，任意的a ，x ，y x ，若i x a i 0 ，可以推出tn i c i 0 ，故l - 1n k c k 。o 不妨设对所有的七，n k c k ；，此时，对任意的k ，都 有 土斟=丽1-n而kak8nkck n k1 ) c k 土n k c k ( 7 ) 一i 以i( + 一 、7 由f ( e ) 是均匀c a n t o r 集可知，对任意的k 都有 ，( 厶，j ) i = i ，( 厶，z ) i ， ，( 以，j ) i = i ，( 以，z ) i ， 1 j ，1 ( h i + 1 ) i = 1 七一l 1 歹，l ( h i + 1 ) n k 对任意的以cg k ，存在s k ，使得以下三条之一成立 1 ) i 以l i i s i 2 1 以| 2 )i 以i i i s + l i + i 以+ 1 l 2 1 以i 3 ) 存在最小的整数7 - 使得( 7 - 一1 ) ( 1 i s + 1 l + l 五+ 1 i ) i 以i e i 一 以i 。1 8 i i ( 1 一佗t 臼) i = k - 4 - 1 翮i f ( k ) l 土2 k 锚i ei ，( 以) l j 以j 严 咏f e i 情形2 ：存在s k ，便得i jj i 厶+ 1 i + i 以+ 1 i 一 一 + n 州卅 湖北大学硕士学位论文 综上，无论何种情形总有 旦1 6 k n k c k 黜高瓮d k 上n k d k ，一l ，( 以) i 一( 礼七+ 1 ) 一 也即 州t 酱帆， 故i e l 0 ，当且仅当i ，( e ) i 0 定理2 的证明：我们使用反证法若1 厂( e ) l = 0 ，则有 j f ( x k ，川= j 瓯n 厶，引 n = k + 1 而对任意的n ， i ，( 厶j ) ixi ，( 厶，z ) i 故对任意的n 均有 i ，( 死，j ) i l ，( 厶，z ) i ， 所以f ( e ) 是近似均匀c a n t o r 集由定理1 的结论可知：i ，( e ) i 0 ，这与假设矛 盾! 从而结论成立 1 4 第四章有待进一步研究的问题 第四章有待进一步研究的问题 4 1可以进一步考虑的问题 在本文的写作过程中，我们遇到了很多问题，其中一些已经得到了解决，但还有 一部分尚未考虑清楚在这一节中，我们把尚未解决的问题一一列出，以便进一步 地深入研究 问题1 ： 在文中所讨论的特殊的拟对称映射下，零测度的均匀c a n t o r 集的像是否仍是零 测度的? 问题2 ： 在文中所讨论的特殊的拟对称映射下，1 维均匀c a n t o r 集的像是否仍是1 维 的7 ， 1 5 湖北大学硕士学位论文 参考文献 f 1 f a l c o n e rk f r a c t a lg e o m e t r ym a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o n s m ， j o h nw i l e y , 1 9 9 0 【2 b e u r l i n ga ，a h l f o r sl t h eb o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eu n d e rq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g j a c t am a t h ，1 9 5 6 ，9 6 ：1 2 5 - 1 4 2 【3 k e l i n g sj a b o u d a r yc o r r e s p o n d e n c eu n d e rq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g j m i t h m a t h j ，1 9 6 6 ，1 3 ：2 3 5 - 2 4 9 4 】b i s h o pc j q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sw h i c hi n c r e a s ed i m e n s i o n j a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 9 ，2 4 ：3 9 7 - 4 0 7 【5 】k o v a l e vl v c o n f o r m a ld i m e n s i o nd o e sn o ta s s u m ev a l u e sb e t w e e n0a n d1 【j 】 d u k em a t h j 1 3 4 ，2 0 0 6 ，n o 1 ，l 一1 3 6 】g e h r i n gf w ，v h i s 5 1 5j h a n s d o r f fd i m e n s i o na n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s j 】 j l o n d o nm a t h s o c ，1 9 7 3 ，6 ：5 0 4 - 5 1 2 【7 】t y s o nj t s e t so fm i n i m a lh a u s d o r f fd i m e n s i o nf o rq u a s i c o n f o r m a lm a p - p i n g s i j p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 ，1 2 8 ：3 3 6 1 3 3 6 7 【8 h a k o b y a nh a c a n t o rs e t sm i n i m a lf o rq u a s i s y m m e t r i cm a p s 【j 】j o u r n a lo f c o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，4 1 ，2 0 0 6 ，4 1 ：5 - 1 3 【9 h um e i d a na n dw e ns h e n g y o u q u a s i s y m m e t r i c a l l ym i n i m a lu n i f o r mc a n t o r s e t s j t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 7 ，1 5 5 ：5 1 5 5 2 1 参考文献 【1 0 w e nz h i - y i n g m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n so ff r a c t a lg e o m e t r y m c h i n a s c i t e c e d u p u b s h a n g h a i ，2 0 0 0 【1 1 s t a p l e ss ，w a r dl ，q u a s i s y m m e t r i c a l l yt h i c ks e t s j a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 8 ，2 3 ：1 5 1 - 1 6 8 【1 2 w uj a n g - m e i n u l ls e t sf o rd o u b l i n ga n dd y a d i cd o u b l i n gm e a s u r e s j 】a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 3 ，1 8 ：7 7 - 9 1 【1 3 b u c k l e ys ，h a n s o nb ，m a n u sp m d o u b l i n gf o rg e n e r a ls e t s j m a t h s c a n d ，2 0 0 1 ，8 8 ：2 2 9 - 2 4 5 1 4 h a nd a n ，w a n gl i s h a ，w e ns h e n g y o u t h i c k n e s sa n dt h i n n e s so fu n i f o r mc a n f o rs e t sf o rd o u b l i n gm e a s u r e s j n o n l i n e a r i t y , 2 0 0 9 ，2 2 ：5 4 5 5 5 1 1 5 v s i s s l 5j 1 e c t u r e so nn d i m e n s i o n a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s j ，v o l u m e2 2 9 o fl e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c ss p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 1 1 6 l o um a n l i ，w e ns h e n g y o u ，w um i n t w oe x a m p l e so na t o m i cd o u b l i n gm e a - s u r e s j j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 7 ，3 3 3 ：1 1 1 1 1 1 1 8 1 7 f a l c o n e rk ， 【m 】曾文瞌，王向阳，陆夷译东北 大学出版社，1 9 9 9 1 8 f e n gd ，r a oh ，w uj t h en e tm e a s u r ep r o p e r t i e sf o rs y m m e t r i cc a n t o r s e t sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j p r o g r e s si nn a t u r a ls c i e n c e ，1 9 9 7 ，7 ：1 7 2 1 7 8 1 9 t u k i ap ，v i i i s s l 5j ，q u a s i s y m m e t r i c a le m b e d d i n g so fm e t r i cs p a c e s j a n n a c a d s c i