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一类碰攘撮子的周期解及稳定性 中文摘要 一类碰撞振子的周期解及稳定性 中文摘要 本文研究一类带阻尼的碰撞振子的周期解及其稳定性首先基于相平面分析，对无外 力无阻尼情形的碰撞振子的周期解作了详细的刻画；由此得到了小外力、小阻尼情 形下周期解不存在的一些条件基于打靶法，我们在效值上考察了碰撞振子周期解的 存在区域稳定性及其行为 关键词t 碰擅振子i 周期勰l 楣平面分析，稳定性 作者；王晓春 指导老师- 黄欣、钱定边 一类碰撞摄子的周期解及稳定性 a b s t r a c t t h ep e r i o d i cs o l u t i o na n di t ss t a b i l i t yf o ra n i m p a c to s c i l l a t o r a b s t r a c t t h ep e r i o d i cm o t i o ni sc o n s i d e r e df o ra ni m p a c to s c i l l a t o rw i t hd a m p i n g b a s e do nt h ep h a s ep l a n ea n a l y s i s ，t h eb e h a v i o ro ft h ep e r i o d i cm o t i o n i sc l e a rf o ra ni m p a c to s c i l l a t o rw i t h o u td a m p i n ga n de x t e r n a lf o r c i n g t h e nb yt h em e t h o do fd i s t u r b a t i o n ，w ep r e s e n ts o m er e s u l t so nt h e n o n e x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rs m a l lf o r c i n ga n dd a m p i n g f i n a l l y , b yas h o o t i n gm e t o d ，w es t u d yn u m e r i c a l l yt h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yf o rt h et h ep e r i o d i cs o l u t i o n k e y w o r d s ：i m p a c to s c i l l a t o r ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，s t a b i l i t y ，p h a s ep l a n e w r i t t e nb yw a n gx i a o c h u n s u p e r v i s e db yh u a n gx i n & q i a nd i n g b i a n i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：至! 盏2 蕴 日 期：i ：墨q 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 期：! ：殳 期：2 ：3 1 类碰撞振子的周期解及稳定性 第一节前言 第节前言 本文讨论如下的碰撞振动问题的周期解 + + b x = 1 + e p ( t + t o ) ，z o ； 如果童( 习= 0 则z c e + ) 一一一( i 一) ； ( 1 ) iz ( 印2o ， 其中z = z ( 幻是振子的位移，p c t ) 是个新周期的连续函数b ，6 o 分别为弹性 系数和阻尼系数 碰撞振子是物理，力学中个非常重要的模型，它的行为与许多重要问题。如u l e m - f e r m i 加速器问题啊，对偶弹球问飚1 2 】，天体力学问题【3 i 相关连在k u n 的专著 【5 】和k i i p p e r 的综述报告【6 j 中，把其归为非光滑动力系统的两大模型之一，另类 是带干摩擦的振子正是由于碰撞撮子与许多实际问题相关联，所以研究它具有广泛 的实际意义同时，也为检验研究非光滑动力系统的一些数学方法提供一个很好的模 型对于碰撞振子的数值、力学分析，已经有大量的结果。如可参见 4 1 ， 9 】及其相关 参考文献与此相比，数学理论的工作不是很多主要的困难有两点个是由于系 统的非光滑性。研究的教学工具比较缺乏i 另个是由于碰撞解的全体并不封闭。从 而缺乏适当的泛函框架 应用保面积映射的p o i n c a r & b i r k h o f f 扭转定理，对不带阻尼的碰撞撮子的非平凡 的周期解的存在性，近期有些有意思的研究成果，如【1 1 ，【1 1 1 和 12 1 但对带阻尼的 碰撞振子的非平凡的周期解的存在性，其研究要困难些带阻尼的碰撞振子的p o i n c a r d 映射不是保面积的，如果振子是耗散的，可能不存在非平凡的周期解在一些小阻尼 和小外力的线性振子的情形，用细致的相平面分析方法，可以得到周期解的存在性， 近期的戏果有l a z e r 和m c k e n n a 8 及钱定边f l o 】 本文也将着重讨论小阻尼和小外力的线性振子的情形，此时模型可以表示为( 1 ) 的形式我们提出一种基于打靶法的数值研究框架这种框架既可以用于非平凡的周 期解的存在性和稳定性数值分析，同时结合不动点定理也可用于理论讨论。可以比较 明确地给出小阻尼和小外力的上界( 我们将迸一步研究) ，并且可用于讨论非线性的 碰撞振子我们注意到c z o l c z y n s k i 在f 4 】和其他文章中也用了类似的想法但我们的 做法更多地用到相平面分析，并且我们在数值上更加关注内力与外力的相互竞争的机 制及结果 一类碰撞振子的周期解及稳定性第二节 无外力，无阻尼情形下的碰撞振子 第二节无外力无阻尼情形下的碰撞振子 首先考虑如下的模垄问题的钉周期解 矿x ( o 寿竺0 芑稿：) 箍扣训。州 【) = = 茹( 2 丌) ，一( 2 丌一) = 一一( 2 r + ) 7 在6 ，6 较小时。原同题( 1 ) 可以看成是此问题的一个扰动将( 2 ) 中的方程稍作改写 + “g 一 ) = 0 ，这是个弹性系数为6 ，平衡位置为茁= ，碰潼点为= 0 的弹 簧振子在无外力、无阻尼情形下的自由碰撞问题在任何两次碰撞之问，总机械能一 直守恒，因而在相平面上，首次积分曲线为 ；铲+ ；一i 1 ) 2 = 岛， ( 3 ) 其中 = 一为速度，不同的岛 0 代表不同的能量轨道( 见f i g u r e i ) 且外层是能 量大的轨遭，内层是能量小的轨道 i奢。 0 。 、j 恤 jl 曩 、 _ | 、， f i g u r e l ：相图 由于椭圆中心在( ，o ) ，且6 0 因而 任何两次碰撞之问，轨线至少包含右半个椭圆 如不考虑碰撞。振子绕行椭圆轨道一周的总时间为t z 等纠喾南2 瓷 2 ( 5 ) 一类碰撞振子的周期解及稳定性第二节无外力无阻尼情形下的碰撞振子 注意总时问t 与能量o o 无关两次碰撞之问的时间问隔为( 碰撞发生条件为一岛 刍能量太小时，轨道与轴无交点。碰撞不会发生) l 扯2 厂h 孕j 2 c 丝一= 磊+ 磊喊志(6)o-b(x-_)2job ( x - b 帕、6、2 6 若记周期为2 1 r 且每个周期内恰有m 次碰撞的周期解为您。蚺则综合( 4 ) - ( 6 ) 可得， 命翅2 1 当m = 1 时，对问题( 2 ) 1 当b i 时，不存在恳，i 周期解 2 当 1 时，不存在岛，1 周期解 事实上，当b 时，不存在b ，l 周期解是因为此时绕行右半椭圆轨道就衙时闻 出= 去2 霄当b 1 时，不存在岛。l 周期解是因为此时绕行整个椭圆轨道仅需 时问r ；瓷 2 霄 由对称性。问题( 2 ) 的周期解恳，。必为仇个勉，l 周期解的组合p 2 t ，l 周期 解即周期为鍪。且每个周期内只有一次碰撞一般地，我们有如下的结论 命题2 2 对于任意的正整数m 1 ， 1 当b 譬时。问题( 2 ) 不存在加周期解 2 当譬 m 2 时，问题( 2 ) 不存在b ，仇周期解 注记2 3 ， 所有的周期解均不稳定，因为能量扰动后，振子跑到男g 的能量轨道后， 永远不会回来，但误差不会被放大( 见f i g u r e1 ) 4 一类碰撞振子的周期解及稳定性第三节周期解 第三节 周期群 本节考虑如下同题的周期解t ，矿+ 6 x + b = 1 + + + p c t - i - t o ) ，x ( t ) 0 ，7 、 lx ( o ) = 0 = ( 2 7 r ) 。一( 2 丌+ ) = 一一( 2 丌一) u ， 在毛j 充分小时，已知的周期解存在性结果见i j a ：z e r 和m c k e n n af 8 】及钱f l0 】利 用上一节的结论，我们可以给出如下的一定条件下周期解不存在的结论 命题3 1 ，对任意的正整数仇1 ，当6 m 2 或b 孚时，存在充分小的e o 0 。 使得当0 0 有 l ，5 ( t ) s2 v o 记t ( 毛= ( 幻一知。o ( 0 ，剐当i t r is 舞e d ，对充分小的，6 0 有 i t ( 岛a ) l 警p p o + 2 v o , ) 由( 矗0 = 0 及( 9 ) ， 日i n 瓶矗，一r + ) = 一 1 + 磊b t 百( z , a ) ( 1 4 ) 对充分小的e ，j o 有0 o 有雨1 2 、峙擎因而， i 矗j i - - 酬s2 掣s 警( s 岛+ 2 嘲( 1 8 ) 引理3 2 得证 下面我们以给定的v ( t ) = s i n ( t ) 为例，给出p 2 ，1 周期解的数值算法考虑问题 f 扩+ 6 一+ b x = 1 + e s i n ( t + t o ) ， ( o ) = 0 = 霉( 2 7 r ) ，一( 2 7 r + ) = 一一( 2 丌一) ， ( 1 9 ) lz ( t ) 0 ，t ( o ，2 丌) 求( 1 9 ) 的周期解实际上就是求初始相位t o 及初始速度一( 0 ) = v o 0 ，使得( 1 9 ) 的 解满足， 霉( 2 r ) = 0 ，一( 2 万一) = 一铷，善( ) 0 ，f o r t ( 0 ，2 7 ) 在( 0 ，2 7 r ) 内。( 1 9 ) 的解有表达式 霉( t ) ；e 一| t ( c l c o s 航+ 也s i n 舰) + ；+ 。o + 如) ， 其中七= 、，信环，c l = 一( + z ( t 0 ) ) ，白= ( 一鑫一 。( 幻) 一，( o ) ) ， ；( 0 2 瓦寺( ( 6 1 ) s i n 一6 咖) 因而问题郾为求t o 及伽( 0 ) 使得 蒜筠群麓蠹謦高筌躲0 晚。咖。丌功+ d ( t o ，：- v o ，c 。，、一( 2 神； ( + 孑( 0 ) ) + e 一妇( 一c l 七8 i n 2 7 r 七+ c 2 七咖2 7 r 功+ ) =， p 叫 且满足g ( 幻 0 ，t ( 0 ，2 丌) 化简可碍 ( 爱霉：z + ( t o 侧0 7 ( 2 1 ) 、岛毋一 ) = ， 1 其中风= 2 e 一打越n 2 丌后，岛= 七( e 一瓣一1 ) + , i e 一打s i n 2 ”k ，d = k ( s i n 2 2 z - k + ( e 一打一 c o s 2 | ，r k ) 2 ) 二蔓延堡堡至箜堡塑鳖壅整塞丝 苎三堇旦塑塑 从( 2 1 ) 式中消去v o 得， ( ( 6 一1 ) 屈+ 即1 ) s i n t o + ( ( b 1 ) 风一6 伤) c o s d ：一鱼f 鱼二1 2 ：壁2 即 蝴+ 纠一早鼎- 4 - ， de 疗闩翟 、-， 其中 c o s 妒= 采裂褊闽妒= 而唏 只要( 2 2 ) 式右端项的绝对值不超过1 ，即可由( 2 2 ) 式确定初始相位如。从而由 ( 2 1 ) 确定初速度如注意到j 一0 时，风= 0 ( 1 ) ，岛= 0 ( 6 ) ，只要j e ，( 2 2 ) 的右 端项就有 枷l 一挈揣乳 从而 t o = a r e e i n ( r h s ) 一域t o 。丌一a r c s i n ( r h s ) 一 由( 2 1 ) 式可得。 v o = 一芸( + z ( 如) ) ( 2 3 ) 2 一两( 否+ 。【如) j ( 2 3 ) 下面考虑蜘 o 的条件由于b 1 时，对充分小的，d 0 ，恳。l 周期解 不存在，故下面只考虑 b 1 只要j 西_ = = 了。就有反= 2 e 一打8 i n 2 础 o ，由( 2 3 ) ，只要1 2 ) l 由于z ( 如) =s i n ( o 一妒) ，其中 咖1 ；f i = 了；= 专界，嘲妒= 了石b 布- 1因而只要7 而 ，即f 堡业b 综上，当i b 0 ) 的一个充分条件为 j e ，j 0 才是真正的b ，l 周 洼- i g3 3 不满足( 2 4 ) 的条件，也可能有周期解，较大时。可能由外力诱导出b 砒 周期解，这时的周期解不再是模型问题( 2 ) 的周期解的扰动( 见f i g u r e7 ) 8 一类碰撞扳子的周期解及稳定性 第三节周期解 数值结果t 我们只考虑m = 1 的情形，即2 7 r 周期内只有一次碰撞由命题2 1 和 命题3 , 1 ，我们计算三类典型的情况，b 1 4 ，1 4 b 1 和b 1 注意到b 是振 子的弹性系敷，e 是振子所受外力的振幅。因而通过考虑不同的b 和。可以看出 内力与外力的竞争关系 在f i g u r e s2 ，3 和4 中，分别给出了b = 0 2 ，b = 0 9 和b = 2 + 0 时，岛。l 周期解 在一6 平面上的部分存在区域深颜色部分) 对6 专0 2 和6 = 2 0 的情形，当较 小时不存在恳，1 周期解( 见命题3 1 ) ，但当较大时，恳，1 周期解出现，这是由外 力诱导面引起不再是模型问题( 2 ) 的恳。l 周期解的扰动b = 0 2 时的周期解主要 由外力主导见f i g u r e5 ) b = 2 ，0 时的周期解是内力与外力竞争的结果。从f i g u r e 7 可见其行为也大不相同f i g u r e6 给出的是b = 0 , 8 时p 2 。1 周期解的典型行为，这 可看作是模型闻题( 2 ) 的最，1 周期解的扰动 f i g u r e2 ：周期解存在区域( 深颜色部分) 。b = 0 2 9 一类碰撞振子的周期解及稳定性第三节周期解 f i g u r e3 ：周期解存在区域( 深颜色部分) ，b = 0 9 f i g u r e4 ：周期解存在区域( 深颜色部分) ，b = 2 0 f i g u r e5 ：典型周期解b = 0 2 一类碰撞振子的周期解及稳定性 第三节周期解 f i g u r e6 ：典型周期解b = 0 9 f i g u r e7 f 典型周期解6 = 2 o 1 1 一类碰撞振子的周期解及稳定性第四节周期解的稳定性 第四节周期解的稳定性 为t 考虑同题( 1 9 ) 的周期解的稳定悭，我1 仃引入p o i n c a r e 映射，周期解即为p o i n c a r e 映射的不动点，只要讨论不动点的稳定性即可，见罗谢 9 1 定义如下的p o i n c a r e 映射p ：s x r + 一s x r + ，商空问s = r 2 7 r 为一维环面。 r + = z e r , z o 给定弱= ( 篡) s r + ，x - = p ( ) = ( 。t l ，) s 时 定义为以幻为初始相位，初始位移为x ( o ) 一0 。初始速度为一( o ) = 弼的振子发生第 一次碰撞后在p o i n c a r e 截面上的位置亦即先求解问题 i 矽+ 6 叠+ h = 1 + e s i n ( t + t o ) 。 三0 。饿幕卅h ( 2 5 ) 1 霉( d = = 一( 评) = 一( i 二) ， 、。 【z ( t ) 0 设第一次碰撞时刻为- ，则 鬻三蒜譬篇嚣雾( - “c 1 k 耙s i n g k t 伯+ 白净k c 0 0 s 硒州) ( 2 6 )1 一( 磅= l ( + 名( f + 幻) ) + e 一 5 硒+ 一( f + 如) p 。 置= p ( x o ) 定义为t l = ( f + t o ) ( m o d2 ，r ) ，t ，l 一一一( 习 显觅3 中定义的马，z 周期解是p o i n c a r e 映射p 的不动点，p ( x 。) = x 若 x ；f t 0 1 ，则p o i n c 蛳映射在x 点的j a c b i 矩阵为 枷，= ( 萎l | | ) 经计算可得 簧= 去( t r 打阳。帆轰s i a 2 z k ) ) z ( t o ) 一杀枇砌砒 姜；譬枷础， 筹；一嘉( t + 嘲如+ 知叫纠( ；水一七一；咖z 删e 嘲) 一2 ( t 0 ) ( e 打c o s 2 ，t k 1 ) ， o v _ a = 一- 象( 1 + z s i n 幻+ ；加) - - e - b 。c o s 2 砘 如果j ( t o ，如) 的两个特征值的棋均小于1 。则认为由( t o ，如) 确定的周期解恳稳 定的( 见罗，谢 9 1 ) 一类碰撞振子的周期解及稳定性 第四节用期解的稳定性 数值结果 在f i g u r 田8 ，9 和1 0 中，分别给出了b = 0 2 ，b = 0 9 和b = 2 , 0 时，稳 定的，k ，l 周期解在e d 平面上的部分存在区域( 深颜色部分) f i g u r e8 ：稳定周期解存在区域( 深颜色部分) ，b = 0 2 一类碰撞振子的周期解及稳定性第四节周期解的稳定性 b 譬0 9 f i g u r e9 ：稳定周期解存在区域( 深颜色部分) ，6 = 0 9 b = 2 0 f i g u r e1 0 ：稳定周期解存在区域( 深颜色部分) ，b = 2 0 1 4 类碰撞振子的周期勰及稳定性 参考文献 r e f e r e n c e s 【1 1 1 d b o n h e u n ea n dc f a b r y , p e r i o d i cm o t i o n s 瓴i m p a c to s c i l l a t o r sw i t hp e r f e c t l y e l a s t i cb o u n c i n g ，n o n l i n e a r i t y , 1 5 ( 2 0 0 2 ) ，1 2 8 1 1 2 9 8 ， f 2 】p b o y l a n d ，d u a lb i l l a r d s , t w i s tm a p sa n di m p a c to s c i l l a t o r s , n o n l i n e a r i t y , 9 ( 1 9 9 6 ) 1 4 1 1 1 4 3 8 【3 】m c o r b e r a 矗dj l l i b r e ，p e r i o d i co r b i t 溶o fac o l l i n c a rr e s t r i c t e dt h r e eb o d yp r a b l e r a 。c e l e s t i a lm e c h d ，8 m a s t r o n o m ，8 6 ( 2 0 0 3 ) ，1 6 3 - 1 8 3 【4 1k c z o l c z y n s l d ，o nt h ee z 妇t e n c e0 ，口s t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o no ，i m p a c t i n g o s e i l l a t o 谳娜t 哪c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s1 9 ( 2 0 0 4 ) 1 2 9 1 - 1 3 1 1 【5 jm k u n z e ，n o n s m o o t hd a n a m i c a l8 y s t e r a s , l e c t u r en o t e si nm a t h 1 7 4 4 ，s p r i n g - v e r l a g ，n e wy o r k ，2 0 0 0 【6 lm k u n z ea n dt k i i p p e r ，n o n s m o o t hd y n a m i c a l 跏t 刚ja no v e r v e w , i n ： e r g o d i ct h e o r y , a n a l y s i s ，m a de f f i c i e n ts i m u l a t i o no fd y n a m i c a ls y s t e m s ( e d i t e d b yb f i d d l e r ) ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k ，2 0 0 1 ，4 3 1 4 5 2 【7 】h l a m b a ，c h a o t i c ，r e g u l a ra n d 私n b o u n d e db e h a v i