（应用数学专业论文）基于不等式的几类神经网络稳定性判据.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 随着神经网络理论的发展，神经网络已经有很多的研究方向。针对 稳定性理论在神经网络中的巨大影响，本文主要探讨了离散神经网络、 随机神经网络、中立型神经网络的稳定性。具体结构如下： 第一章绪论，介绍了神经网络稳定性的研究背景及发展情况，以及 本文主要研究的内容。 第二章预备知识，主要说明了通过相应的变换，把神经网络的平衡 点稳定性转化为特殊神经网络的平凡解稳定性来研究，并给出了各种神 经网络相应的稳定性定义。 第三章微分差分不等式，主要根据目前一些文献的思想给出离散差 分不等式和时滞微分不等式。从而为研究第四章、第五章中的神经网络 相应的稳定性作准备。 第四章滞后型神经网络的稳定性，主要禾i j 用构造的适当l y a p u n o v 函数，应用第三章建立的离散差分不等式和时滞微分不等式来研究离散 神经网络、随机神经网络和细胞神经网络相应的稳定性。 第五章中立型神经网络的稳定性，主要利用构造的适当l y a p u n o v 的函数，应用第三章建立的时滞微分不等式研究有界多时滞和分布时滞 中立型神经网络的指数渐近稳定性，并且应用一些文献中的时滞微分不 等式研究了无界多时滞和分布时滞中立型神经网络的渐近稳定性。 第六章为全文的总结和展望，以概括的语言回顾了本文所做的工作， 并且提出了一些关于差分、微分不等式在神经网络中的发展空间。 内蒙古师范大学硕士学位论文 关键词：不等式，神经网络，时滞，中立型，稳定性 内蒙古师范大学硕士学位论文 a bs t r a c t n e u r a ln e t w o r kh a ss o m es t u d i e dc o n t e n t sw i t hn e u r a ln e t w o r kt h e o r y e v o l u t i o n s i n c es t a b i l i t yt h e o r yh a se n o r m o u si m p a c to nn e u r a ln e t w o r k s ， t h es t a b i l i t yf o rd i s c r e t en e u r a ln e t w o r k 、s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r ka n d n e u t r a ln e u r a ln e t w o r ka r em o s t l yp r o b e di n t oi nt h i sp a p e r t h ep a p e r c o m p r i s e ss i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ei n t r o d u c t i o ng e n e r a l i z e st h eb a c k g r o u n da n de v o l u t i o n o fs t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r ka n dt h es t u d i e dc o n t e n t si nt h i sp a p e r c h a p t e r 2i st h e r e a d yk n o w l e d g e b ym e a n so fc o r r e s p o n d i n g t r a n s f o r m a t i o n ，s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u ms o l u t i o no fg e n e r a ln e u r a ln e t w o r k s i sc o n v e n e di n t os t a b i l i t yo ft r i v a ls o l u t i o no fs p e c i a ln e u r a ln e t w o r k sw h i c h i ss t u d i e di nt h i sp a p e r a n ds o m ed e f i n i t i o n so fs t a b i l i t ya r eg i v e n c h a p t e r3i st h ed i f f e r e n t i a ld i f f e r e n c ei n e q u a l i t y b ym e a n so ft h ei d e a o ft h ek n o w np a p e r , t h ed i f f e r e n c ei n e q u a l i t yw i t hd i s c r e t et i m e - d e l a ya n d d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yw i t hc o n t i n u o u st i m e d e l a ya r eo b t a i n e dt oc o n s i d e r t h es t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r ki nt h i sp a p e r c h a p t e r4i st h es t a b i l i t yo fd e l a yn e u r a ln e t w o r k b ym e a n so fs t r u c t u r a l a d e q u a t el y a p u n o vf u n c t i o na n ds t r u c t u r a ld i s c r e t ed i f f e r e n c ei n e q u a l i t ya n d t i m e d e l a y d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t y o ft h e c h a p t e r3 ，t h ec o r r e s p o n d i n g s t a b i l i t yo fd i s c r e t en e u r a ln e t w o r k 、s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r ka n dc e l l u l e r n e u r a jn e t w o r ki sc o n s i d e r e d 内蒙古师范大学硕士学位论文 c h a p t e r 5i st h e s t a b i l i t yo fn e u t r a l n e u r a l n e t w o r k b ym e a n so f s t r u c t u r a la d e q u a t el y a p u n o vf u n c t i o na n ds t r u c t u r a lt i m e d e l a yd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yo ft h ec h a p t e r3a n dk n o w np a p e r s ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f n e u t r a ln e u r a ln e t w o r kw i t hb o u n d e dt i m e d e l a ya n dd i s t r i b u t e dt i m e d e l a y a n dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn e u t r a ln e u r a ln e t w o r kw i t hu n b o u n d e d t i m e d e l a yi sc o n s i d e r e d i nl a s tc h a p t e r ，t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri ss u m m a r i z e d ，a n de x p e c t i n g d i s c u s s i o ni sg o n ea l o n g k e y w o r d s ：i n e q u a l i t y ，n e u r a ln e t w o r k ，t i m e - d e l a y , n e u t r a l ，s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：往盍红羔 日期：z 口口吕年6 月，f 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也 签名：经占组。 第一章绪论 第一章绪论 1 1 神经网络稳定性的研究背景及发展 人工神经网络是从人脑的生理结构出发去探讨人类智能活动的机理，从生理结构 上模拟大脑功能，把对人脑的微观结构及其智能行为的研究结合起来的一种人工智能 的科学。神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，神经网络既是 高度非线性动力学系统，又是自适应组织系统，可用束描述认知、决策及控制的智能行 为。它的中心问题是智能的认知和模拟。 神经网络模型从数学形式上看就是一类特殊的泛函微分方程u 叫，可以将其看作 是以权重，外部输入作为参数的关于内部状态变化的动力系统。在神经网络的实际应 用中，权的学习是一个非常重要的步骤，所以也可以将神经网络看作关于权学习的非 线性动力系统。在神经网络研究领域中，关于网络的非线性动力学的研究，即关于网络 平衡解的存在和稳定性的研究是其中的一个重要组成部分。对网络解得研究有助于理 解神经网络数学理论的依据和背景，而且为神经网络的应用提供了基本思想和可能的 途径。 早在2 0 世纪4 0 年代初，m c c u l l o c h 与青年数学家p i t t s 合作【4 1 ，从人脑信息处理 观点出发，提出了第一个神经计算模型，即神经元的阈值元什模型，简称m p 模型，他 们认识到了模拟大脑可用于逻辑运行的网络有一些结点，及结点与结点之间相互联系 构成一个简单神经网络模型。从而开创了神经网络的研究。1 9 6 0 年h o l l a n d 利用基因 遗传算法及选择问题的数学方法分析和基本理论建立了遗传算法理论 5 - 6 1 ，遗传算法 是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应搜索算法，从 而丌拓了神经网络理论的一个新的研究方向。 一一1 9 7 4 年s t e i n 、l e n n g 、m a n g e r o n 和o g u z t o r e l i 提出了一种连续的神经元模型i 7 1 ， 采用泛函微分方程来描述各种普通类型的神经元的基本特征。1 9 8 2 年生物物理学家 h o p f i e l d 8 j 详细阐述了它的特性，他对网络存储器描述得更加精细，他认识到这种算法 是将联想存储器问题归结为求某个评价函数极小值的问题，适合于递归过程求解，并 引入l y a p u n o v 函数进行分析。在网络中，节点间以一种随机异步处理方式相互访问， 并修j 下自身输出值，可用神经网络来实现，从而这类网络的稳定性有了判据，其模式具 内蒙古师范大学硕士学位论文 有联想记忆和优化计算的功能。并给出系统运动方程，即h o p f i e l d 神经网络的神经元 模型是一组非线性微分方程。证明了网络在平衡点附近的稳定性，对这种模型以电子 电路来实现。这样，研究取得了重大的突破，对神经网络理论的发展产生了深远的影 响。1 9 8 2 年h o p f i e l d 向美国科学院提交了关于神经网络的报告，其主要内容是，建议 收集和重视以前对神经网络所做的许多研究工作，他指出了各种模型的实用性。从此 新高潮的序幕拉丌了。 1 9 8 3 年k i r k p a t r i c k 等人1 9 1 首先认识到模拟退火算法可应用于n p 完全组合优化问 题的求解。1 9 8 4 年h i n t o n 等人【1 0 l 提出了b o l t z m a n n 机模型，借用统计物理学中的概 念和方法，引入了模拟退火方法，并首次表明它是一种神经网络连接模型。 s e j n o w s k i t j 于1 9 8 6 年对它进行了改进，提出了高阶b o l t z m a n n 机和快速退火等。这 些成为随机神经网络的基本理论。 1 9 8 8 年c h u a 和y a n g 提出了细胞神经网络( c n n ) 模型1 1 2 - t 3 1 ，它是一个大规模非线 性计算机仿真系统，具有细胞自动机的动力学特征。它的出现对神经网络理论的发展 产生了很大的影响。另外，k o s k o 建立了双向联想存储模型( b a m ) f 1 , 1 - 1 6 1 ，它具有非监督 学习能力，是一种实时学习和回忆模式，并建立了它的全局稳定性的动力学系统。 a l e k s a n d e r t l 7 i 提出了概率逻辑基于m a r k o v c h a i n 理论，对其收敛性、结构以及记忆容 量等研究，为概率逻辑神经元网络的发展提供了新的方法和途径。1 9 9 4 年廖晓听1 1 - 2 1 对细胞神经网络建立了新的数学理论与基础，得出了耗散性、平衡位置的数目及表示， 平衡态的全局稳定性、区域稳定性、周期解的存在性和吸引性等。 目前，神经网络已经取得了蓬勃的发展，从神经网络模型的类型上总体经历了从 定常神经网络到时变神经网络，从离散神经网络到连续神经网络，从确定神经网络到 不确定神经网络，从有界时滞神经网络到无界时滞神经网络，从滞后型神经网络到中 立型神经网络的发展历程。对于滞后型神经网络的研究还不完善，对于中立型神经网 络的研究也还不成熟。于是对于神经网络的研究还有很广阔的空间。 1 2 本文主要研究内容 神经网络在理论及实际应用方面展示了广阔的前景，在模式识别、信号处理、知 识工程、专家系统、联想记忆，优化组合、振荡、混沌、机器人控制等方面都有很多 的应用空间。在神经网络的线路实现中，由于运算放大器的有限切换速度，时间延迟是 2 第一章绪论 不可避免的，并且网络时滞的存在是导致网络不稳定的关键因素之一。又由于神经网 络具有时i 日j 特性，每个传输通道中的时滞是不同的，进而采用多时滞模型来描述神经 网络更具有一般性【1 8 l 。由于神经网络具有大量的并行通道，进而具有空间特性，过去 的神经元状态对当前的状态将会产生影响，从而用分布时滞描述是比较合理的f 1 9 l 。基 于无穷时滞神经网络能够模拟生物神经系统的联想和最优化计算等功能，因而它的动 力学行为和渐近性态正受到很多研究者重视啪i 。对现代化大规模集成电路研究发现： 大规模集成电路中存在中立行为现象，其中立行为的存在很大程度上影响了系统的性 能，而且也存在模块功能补偿问题及非常严重的滞后串绕现象，适合描述该现象的恰 是中立型神经网络，于是必然导致对中立型神经网络的研究f 2 l 。2 i 。而随机微分能更好 地刻画电子系统中许多重要噪声的实际过程。这样，研究多时滞神经网络、分布时滞 神经网络、无穷时滞神经网络、中立型神经网络、随机神经网络等都具有重要意义。 本文综合目前的神经网络模型，主要研究以下更广泛的神经网络： “，( 以+ 1 ) = c r ( 甩) g ；”( “j ( 咒) ) + 再口盯( n ) g ；2 ( 比，( ，z ) ) + 善( 以) g ；3 ( 薹七扩( p ) “( ，z p ) j + d o ) 七；2 ) g ；4 1u ，o p ) ) + ，q ) u ( 1 ，历) ，以e n + o 。) ) ( 1 1 ) j 。ip 一 也，o ) ；【一c r ( f ) g j l r ( f ) ) + 口盯( f 涫；2 ，( f ) ) + b 矿o ) g pu ，( f 一，( f ) ) ) + 再d 。( f 征。( f s ) g ；4 ( “( s ) ) 凼冲+ 荟盯让o ，“( f ) “a ( r ) ) d 吼( f ) ( f t oi - 1 , 2 ，1 ) ( 1 2 ) 正r ( f ) _ 川r o 如，o ) + 善口盯。涫；u ，( f ) ) + 三o 涫；2 ( f 一，o ) ) ) + 善c 盯。涫；3 ，o 一，o ) ) ) + 再d f o 埴。o s ) g ；4 ，o ) ) 出+ i i o ) ( f 苫t o , i l 2 ，刀) ( 1 3 ) 具体满足条件见第四章和第五章，以( 1 1 ) 进行说明： c o ) 一d i a g ( c 。o ) ，c ：o ) ，c 。o ) ) 是外部输入向量，4 0 ) - 0 。q ) ) 。是状态反馈 矩阵，口o ) 一p 盯o ) ) 。d o ) 一似盯o ) ) 。是状态时滞反馈矩阵，o ) 一( ，。o ) ，：o ) ， ，。o ) ) r 为外部输入向量。若存在“tm ，比：，“。) r 满足 内蒙古师范大学硕士学位论文 比：，= c r ( 以) g f l ( “? ) + 薹口玎( 以) g ；2 ( “：) + 薹( 玎) g ；3 ( 兰p - i 足；1 ( p ) “；) + 再d f ( 聆) 荟七；( p ) g ；4 ( h ；) + j ，( ，z ) ( f ( 1 ，刀) ，z + ( ，l 。) ) 则称u 为神经网络( 1 1 ) 的平衡点。全篇总假设所讨论的神经网络都有平衡点。 目前关于神经网络的稳定性一些充分条件的研究结果已经比较多。因为它能与常 微分方程中可分离变量系统的稳定性研究有很大联系，于是研究其稳定性所使用的工 具与方法是很多的。对于滞后型神经网络，利用构造适当的l y a p u n o v 函数或 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函来研究其稳定性的居多0 9 , 2 3 1 ，也有用其它方法的，如用 h a l a n a y 不等式给出其神经网络稳定性判据1 2 4 - - , 6 1 ，用矩阵不等式( l m i ) 给出其神经 网络稳定性判据 2 7 1 ，用m 矩阵给出其神经网络稳定性判据 - s l 。对于中立型神经网络 主要用用矩阵不等式( l m i ) 和l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函来研究其稳定性 _ , 9 - a 0 1 。但 用时滞微分不等式来研究神经网络稳定性的文献尚少。对于研究神经网络特别是中立 型神经网络的稳定性，其时滞微分不等式是一个有力的数学工具，也是比较简便的数 学工具。目f i i 随着滞后型神经网络稳定性理论的发展，中立型神经网络稳定性已经是 一种发展趋势，也已经是研究者们所关注的热点之一。所以本文主要用微分差分不等 式来研究神经网络的稳定性。 4 第二章预备知识 第二章预备知识 本章主要说明一般通过相应的变换，把神经网络的平衡点稳定性问题转化为特殊 神经网络的平j 、l 解稳定性问题来研究，并给出了各种神经网络相应的稳定性定义。 特别指出在全篇中皆有： i i 工( t ) lp ；【l 工j ( f ) l p 】p ( p = 1 , 2 ，) ，删指的是石的任意范数 6 盯； 三髫二；，6 ；= ：g ：；o ，z 1 ，2 ，刀， 2 1 神经网络的转化 为了对神经网络( 1 1 ) ( 1 3 ) 的研究简单化，将讨论神经网络( 1 1 ) ( 1 3 ) 的平衡点稳 定性问题转化为讨论如下神经网络( 2 1 ) ( 2 3 ) 的平凡解稳定性问题。故本文主要讨论 如下神经网络的平儿解稳定性。 一o + 1 ) - - - - c i 伽) 五o ，) ) + 乏口l ，伽) 2 o ( 甩) ) + b o ) 3 ( 三七；d ( p p o p ) ) + 荟d 盯( 以) 荟足；2 ( p ) 4 似，( ，l p ) ) ( i ( 1 ，玎) ，n + 儿。 2 1 出j ( f ) = 【_ c ro ) 1 r o ) ) + 善口f o ) ，j ：o ，( f ) ) + 再o ) ( 工，o 一，( f ) ) ) + 套d “o l c 。七“o _ s ) 4 o ，o ) ) d s d t + 薹仃膳( r ，x o ) ，工( r ) y 魄o ) ( f t o , i = 1 , 2 ，z ) 戈。o ) = 一口以) z 心) + 善口驴o ) 厂j ! 【1 o ，o ) ) + 善o ) 吖2 ( x j ( f 一( f ) ) ) j 。1j + c 玎( f ) 3 ( 戈( f 一，o ) ) ) + d f o 埴。七 o s ) 4 1x ( s ) ) 出 o 苫1 0 i = 1 , 2 ，厅) 这咀需要满足的条件在第四章和第五章罩给出 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 = = 二= = = = _ 一一 首先说明将神经网络( 1 1 ) 的平衡点稳定性问题转化为神经网络( 2 1 ) 平凡解稳定 性问题： 设“； ：，“：，h 二) r 是神经网络( 1 1 ) 的平衡点，于是有 陋ro + 1 ) 一口1 = c r o ) k j d r ) ) 一g ：1 ；_ ) 】+ 艺口玎o ) 【g ：2 o ) ) 一g ；2 ? ) 】 + 荟6 盯( 玎) 【g ；3 ( 荟r l ! 七( p ) “，( ，z p ) ) 一g j 3 ( 薹七；。( p ) “；) 】 + 荟d ( ，z ) 荟七；2 ( p ) t 9 5 4 ( “，o p ) ) 一g ； ；) 】( f ( 1 ，耽) ，以+ ( 矗。) ) ， 紊j - t - i ，j ( 1 ，m ) ，s = l 2 ，4 ，令 t 0 ) l u i 0 ) 一“- ”0 ，q ) ) ；g o ) ) 一g ；) 一升( 薹七；。( p 净，( n p ) ) ) 。g ；3 ( 耄足；。( p ) 比，( 咒一p ) ) ) 一g ；3 ( 耄七j ”( p j ) ， 于是可得到神经网络( 2 1 ) ，从而便可以讨论神经网络( 2 1 ) 平凡解稳定性问题 类似可以把神经网络( 1 3 ) 的平衡点稳定性问题转化为神经网络( 2 3 ) 的平凡解稳 常件问颢 2 2 稳定性定义 ) bt 觯i g l ，x 寸- - t - i , , _ e - - k n 络( 2 1 ) ，记： e 2 一o 。) ( 有时有e 。i 【一k , n o + ( 1 ) ) ) ，捌| a s u p m +，m_0 ( 口，6 ) = a ，口+ 1 ，6 1 ，6 ，n + q o ) = 伽o ，拧o + l n o + 2 ， n 一( 疗o ) = 以o ，l o - l , n o 一2 ， ； 对于其余神经网络，记： ，i 【f 0 ，+ ) ，巨。；( 一，f 0 】( 有时= p 。一，f 。】( 为某萨常数) ) ，f 刎a ；s u p m 定义2 2 1 称神经网络( 2 1 ) 的平凡解是全局指数渐近稳定的，如果v 以。j v + 0 。) 刍a o ，j ，7 ( o 固，v a 0 确- k ( a ) 0 ，使得当恻j a 0 ， v a o 有k ) 0 使得当俐1 6 0 ，3 j ( t o ，f ) 0 ，使得当+ 1 1 驴1 l o 有k ) 0 使得当a * 1 1 驴1 1 a 0 ，j 6 ( f 。，f ) 0 ，使得当剜l 0 有k ( a ) 0 使得当恻l oo = 1 ，2 ，刀) ； 5 ) 存在正常数7 ( _ = 1 ，2 ，刀) ，使得善，7 尸 0 ( f = l 2 ，z ) ； 6 ) a 可以表示岁a s e b ，b 芑0 ，且p ( b ) 0 ，e 为单位矩阵 8 第三章微分差分不等式 第三章微分差分不等式 为了研究各种神经网络相应的稳定性，本章主要根据文献【3 2 】的思想给出离散差 分不等式和时滞微分不等式 3 1 离散差分不等式 为了简单起见，记n ( a ，b ) = 口，a + 1 ，6 1 ，6 ， n + ( ，z o ) = 以o ，咒o + 1 , n o + 2 ， ，一( ，z o ) = 甩o ，n o 一1 ，门。一2 ， 定理3 1 设t q ) ( f e n ( 1 ，肌) ) 非负，n _ x c t ：n e n + ( n 。) 满足： z 一( 以+ 1 ) s 荟口 ( ，1 ) x ( ，1 ) + 荟6 f ( ，1 ) 荟七 p ) 石，( 尼一p ) “( l 所) ) ( 3 1 ) 其中口 ( 刀) q ) 于+ ( o ) 非负；尼f 佃) 于+ ( 1 ) 非负且不全为零，级数荟。) ，p ( f ，_ e n ( l m ) ) 的收敛半径大于l ，刀。e n + ( o ) ，若对于，l e n + o 。) 有 口 ( 以) + b ( 力) b ( p ) s ( f ，j e n ( 1 , m ) ) 且q = ( ( 1 3 ，) 。的谱半径p ( q ) 1 则存在常数m 之1 及，7 ( o ，1 ) 使得对于ne n + 0 。) 有z jo ) sm 【s u px j ( s ) 】，7 ”o v q 胁) ) ，其中罗s u p 工f ( s ) 1 使得当l r l s ，1 时， p 】 有荟庀( p ) ，p “，( 1 ，小) ) 收敛为简便起见，令x 川k u ( p ) r p 2 k ( ，) 酬s 厂1 ) ，且 “j ( ，- ) = 【，k 彳1 ( 1 ) k 盯( ，) 一6 盯】口，a j l ( ie n ( 1 ，川) ) 由“，( ，) 的连续性及“) o 有：存 7 - i 9 一 内蒙古师范大学硕士学位论文 i 二二二二= 二= 一一 在，：1 ，sr l ，使得“，( r ) 0 ( i e n ( 1 ，_ ，1 ) ) 注意到k 彳1 ( 1 ) k i i ( r ) 1 有 a o ( n ) + b o ( 咒) ( ，) s 口可m ) k i l ( 1 ) ( ，) + ( ，1 ) 巧1 ( 1 ) ( 1 ) ( ，) s a q ( n ) + b i i ( n ) k 盯( 1 ) 】巧1 ( 1 ) ( ，) sw u k i 1 ( 1 ) k o ( r ) 从而有：k ( r ，以) = 【口f o ) + b 盯o ) k 口( ，) j r a i a j l 1 s 善，k 加) ( ，) 一屯】口，口j 1 = “) 0 ，故由( 3 6 ) 式有y f ( ，l l + 1 ) z ( n l + 1 ) ae n 0 ，m ) )( 3 9 ) 又由于必存在f le n ( 1 , m ) ，使i f 寻z ( n 。+ 1 ) 一s u py f io )( 3 1 0 ) ，e w 一( 凡+ 1 ) 由( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 式有y j ( ，l l + 1 ) s u py o ) ，而s u py ( s ) = m a x y ( n 1 + 1 ) ， s u py ( s ) 】，故有s u p y o ) = s u py 0 ) sz 0 1 ) ，由( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 式有y “o l + 1 ) ，e 。一1 ) ，一( 一i + 1 ) j e v 一( ) ” s u py j i o ) s z ( n ，) ，此与( 3 8 ) 式矛盾故有( 3 7 ) 式成立，利用定理3 1 中的证明即 ，e 一( n l + n 可得证 注释3 1 1 对于定理3 1 中的( 3 1 ) 式及推论3 l 中的( 3 5 ) 式，其中的a i jo 弦，o ) 中 的z ，o ) 替换为霉o ) ，其定理及推论结论仍然成立其中i o ) - s u pz ，( s ) ， k n + ( 1 ) 其证明类似定理3 1 及推论3 1 的证明即可得证 注释3 1 2 定理3 1 中的( 3 1 ) 式是 删s 再a 0 ，) + 再( f 垢。七盯。扛，m ) a s ( tz t o , 2 ，历) ( 3 1 1 ) 的一个特殊离散形式，而( 3 1 1 ) 式( o ) 恒为不为零的常数) 是后面定理3 2 中( 3 1 2 ) 式( k 。曩0 ) 的一个特殊形式 3 2 时滞微分不等式 定理3 2 设而p ) 是【r o - a ，+ ) 上的非负连续函数，且在，+ ) 上满足： 小弘似川+ 薹慨川) + 蓦“附一s 灿 上塑堑望里堇塑主兰垡笙壅 o = l 2 , - - , m ) ( 3 1 2 ) 其中：o s ，( f ) s ( _ = 1 ，2 ，臃) ，为币常数；k j o 为常数；若o ) 0 ，( f ) 2 0 ( f _ _ 囊- 1 2 ，朋) ，( f ) o 均在阮，+ ) 上连续，勺( f ，s ) 芑o 宅e t 。，+ ) 【o ，+ ) 上连 续，且c 可q , s ) sk ( f ) f c o ) ，勺( s ) o 连续，对于某j 下数a ，r 。勺( s ) e 知a so & 敛，使得于 t t o 有 臀+fo*”c，j(s)e如出so，：1，2，靠)， 且q = ( ) 胛一的谱半径p ( q ) 0 使得 荆s 萋唑伽) - i , , a ( r ) d r 。) 其中丢渺) l 蠛工( f ) ao ，m ：m 槲 湖锄) 2 莆咆= 篙啾一= 黼，蚴2 脚 她吣m ) | 【薹瓦m 薹瓦( f - a j + 妻n 吣肛渊 o = 1 州2 一，聊) ( 3 1 3 ) 由p ( q ) o “= 】，2 ，肼) 使得 艺( 咆) 叩j o ( i ，垅，m ) ， 片r 。) = 放r 口r + 善【( 一f o * * c o ( s ) d s ) a _ e - 6 , , o j + x - c o 妞，e “出】( f = 1 ，2 ，珑) 注意到题设，c “( s ) o 连续且f ”c 口o ) e ”d s 对于某正数a 收敛，故h io ) 在f o ，a ) 上连续，又片r ( 0 ) 0 由连续函数的性质，存在充分小的b0 ( f z ) y 吏得h ) 0 ( i = 1 , 2 , - - , m ) ，又于f2 t o 有 1 2 一篁三垩丝坌薹坌至竺垄 一 碱+ 瓦( t ) a j e j a 错咆卜畿吖地 s 臀a e t ：- 6 0 a j t 可一 * c o ( s ) e a d s ，a ，e ，a 一6 。a ， 故由h ，( ，) o 使得k 口， 1o ；1 , 2 ，肌) ，令y 恐) = 弛缁小m r ，其中旷薹渺) h 显然在( 一 】上啪) y 艇) ( f 川， 川) ，为了方便起觅令i o ) = 旧s u p 圳x j tp ) ，罗，o ) = t h ! e f t 、墨l y ，( 口) ，由己知条件知o s 旧一，i 一4 ，j 毛o ，s ) 艺【z i io ) c z ，+ b o ( t ) a j e f n + + ”c o ( s ) a y d s 】j r 孽，。i 口。( f ) l p i 矗a 7 d 7 苫i 口。o ) l 艺【：i j ( f ) ) ，p ) + 瓦( t ) k a j v , e - l | = 【( r ) d f + “+ f 。云： ( f ，s ) j ( c z ，9 ，e i f 0 7 。7 + b c 括】。 | 口甜( f ) i 差【瓦( f ) y ，( ) + 毛( t ) k a j c p , e 一仁支l r ) 打+ 鼍弓，s ) k a ，驴。p 一位h 州7 玉】 2 a i i ( f ) i 羔【瓦o ) y o ) + 写( f 猡( f ) + 。c o ( t ，s ) y ( f s ) 出】( 3 1 5 ) 下面证于f 乏t o 有五o ) f 。使得x i o ( t 。) ；y 如( f 。) ，x ( f ) y “( f ) ( f ( 一，f 1 ) ) 且 z ( f ) sy ( f ) ( f ( 一，f 。】，j 一1 , 2 ，肌) 显然i ，o ) s 歹( f ) o ( 一，f j 】， ，= 1 ，2 ，聊) 且 气( f 。) 2 夕“( f ，) ，故由瓦( f ) 之0 ( j - ) ，瓦( f ) 0 ，c - o ( t ，5 ) o 根据( 3 1 3 ) 蛹- k 屯( f l 冲i “川【缸吣心i ) + 弘+ 耵拍州州f l - 5 灿j 屯如( f j ) 嚼川y f ( f 1 ) + 弘喊+ 薹n 舻m ”洲 内蒙古师范大学硕士学位论文 一。一 从而由( 3 1 5 ) 式有七j 口戈k ( f 1 ) 0 时有屯o 。) 夕k o t ) 此办产生矛盾，于是令 e 一。乱吣阻薹【毋- 4 r i i a ( r ) d r ( fat o , i = 1 , 2 , - - , m ) 记卢= k ( a 。，a ：，口。) r ，即得本定理结论 推论3 2 若定理3 2 中口打( f ) 0 ，a i ( f ) tg io ) 口盯， ( f ) = g ，( t ) b i j ，c i ( f ，s ) = g ，( f ) c 盯o ) ，则此时的定理3 2 为文献【3 2 】中的定理7 3 2 1 4 第四章滞后型神经网络的稳定性 第四章滞后型神经网络的稳定性 本章主要构造适当的l y a p u n o v 函数，应用第三章建立的离散差分不等式和时滞 微分不等式来研究比较广泛的离散神经网络、随机神经网络和细胞神经网络相应的稳 定性 4 1 离散神经网络 为了简单起见，记( 口，b ) 一 a , a + 1 ，6 一l 6 ， n + ( n o ) = ，z o ，疗o + 1 , n o + 2 ，( ，l o ) tn o ，n o - 1 , n o 一2 ， 离散神经网络是有广泛应用的神经网络之一，如内容存储记忆，模式识别和组合 优化，这样的应用主要依赖于神经网络的动态行为，因而对神经网络的稳定性问题进 行研究对神经网络设计是重要的一步，离散神经网络的稳定性不仅是神经网络应用的 基础，而且是最基础最重要的问题，对离散神经网络的稳定性研究已经吸引了许多学 者相当的兴趣。时滞离散神经网络是离散神经网络的拓广，它的稳定性也是一个重要 的问题。 在2 0 0 6 年，夏飞等1 3 3 1 综合了前人讨论的离散神经网络模型，考虑了如下的离散 神经网络： z ；( _ ，z + 1 ) = ，f 1 。；( 门) ) + 善口帮2 j ( 以) ) + 荟6 u 吖3 ( 善足牙( p 弦，( ，l - p ) ) ( f e n ( l m ) ，l e n + q 。) ) 的指数稳定性问题，利用l y a p u n o v 函数法，得到了判断此神经网络全局指数稳定性 的一个充分条件。本节在此神经网络的基础上，考虑如下的更广泛的具有多时滞和分 布时滞的离散神经网络： 而o + 1 ) 一c r o ) f 1 o ，o ) ) + 乏a q o ) ：o ，o ) ) + 乏q ) 3 ( 芝七：1 ( p 沙，o p ) ) j 。lj 。lp i i + d 盯o ) 七；：( p ) 4 o o