（应用数学专业论文）基于na样本weibull分布族和非指数分布族参数的bayes统计推断问题研究.pdf

基于n a 样本w e i b u l l 分布族和非指数分布族 参数的b a y e s 统计推断问题研究 摘要 经验b a y e s ( e b ) 方法应用在多次相依地面对具有相同结构的b a y e s 决策序 列时的统计推断问题，这一方法在文献中有很多讨论，本文研究了基于n a 样本 下w e i b u l l 布族和非指数分布族参数的经验b a y e s 统计推断问题研究。第一章对 此作了简单的回顾，并给出了本文的主要结果。 第二章分别在“线性损失 和“加权平方损失 下，研究了基于n a 样本情 形下w e i b u l l 分布族刻度参数经验b a y e s ( e b ) 单侧和双侧检验问题，首先利用概 率密度函数的核估计，构造了刻度参数的经验b a y e s 检验函数，在适当的条件下 证明了所提出的经验b a y e s 检验函数的渐近最优( a 0 ) 性，并获得了它的收敛速 度，最后给出一个有关主要结果的例子。 第三章在“平方损失 下，研究了基于n a 样本情形下w e i b u l l 分布族刻度 参数经验b a y e s ( e b ) 估计，在适当的条件下，证明了刻度参数经验b a y e s 估计是 渐近最优( a 0 ) 的并且获得了它的收敛速度，最后给出一个有关本文主要结果 的例子。 第四章在“平方损失”下，研究了基于n a 样本情形下非指数分布族参数秒 的经验b a y e s 估计，首先利用概率密度函数的核估计，构造了位置参数的经验 b a y e s ( e b ) 估计量，在适当的条件下证明了获得的( e b ) 估计是渐近最优的具 有收敛速度阶为o ( n ( ”2 ) 2 + 2 ) ，其中5 2 ，s n ，2 s ， 2 ，s na n d ( 2 s 0 则称目的即估计谚片的收敛速度阶为o ( n 叫) 经验b a y e s 检验函数问题在文献中已有许多研究，对于连续型单参数指数族 参数的e b 检验问题，如j o h n s g v r 1 ，v a nh o u w e l in g e n 2 ，l i a n g 3 4 等对其做了不同程度的工作，但几乎所有这些文献中的e b 方法都是针对独立 同分布样本考虑的然而在可靠性理论，渗透理论和某些多元分析等实际问题 中，遇到的样本多具有相关性，正相关( p a ) ，负相关( n a ) 就为常见的两种因而， 在样本相关的情形下研究e b 检验问题是有意义的魏莉等 5 研究了刻度指数 族参数的经验b a y e s 单侧检验问题，但以上这些文献中都是对指数族中的x 一次 幂条件下讨论参数的检验问题，本文在第二章分别在“线性损失 和“加权平 方损失下，基于n a 样本情形下研究了威布尔( w e i b u l l ) 分布族刻度参数的 经验b a y e s 单侧和双侧检验问题，把含有刻度参数指数族中的x 次幂推广到任 意的1 1 1 次方( m 0 ) 最后给出个有关主要结果的例子。 首先给出n a 样本随机变量( ，以) 序列的定义( 见文献【6 】) ： 定义1 3随机变量x ，x ，x 。称为负相关的( n a ) ，如果对于集合 1 ， 2 ，1 ) 的任何两个不交的非空子集彳与a ，都有 c o v ( f , ( x ，f 4 ) ，正( x ，j a 2 ) ) 0 ， ( 1 5 ) 其中是五和厶任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降( 或同时对每个 变元均非升) 的函数，称随机变量序列 x ，n 是负相关的( n a ) ，如果对任何 自然数n 2 ，x ，x 一，x ，都是负相关的( n a ) w e i b u l l 分布族是威布尔于1 9 3 9 年首次引入的，若形状参数m = l ，便得到通 常的指数分布族它在可靠性理论中有广泛的应用，如可以用它来描绘疲劳失 效，真空失效和轴承失效等寿命分布；它在工程实践中有着广泛的应用，也在 一些生存现象的领域中广泛的应用，它还运用于由某一局部失效引起全部失效 的现象【7 ；同时在气象预测等领域也有广泛的应用另外，研究该分布刻度参数 的e b 检验特别是基于相关样本的e b 检验，据我们所知，文献中还未出现因此 基于n a 样本下研究威布尔分布族刻度参数经验b a y e s 单侧和双侧检验是非常有 意义的。 本文在第三章继续讨论了w e i b u l l 分布族在“平方损失”下，研究了基于n a 样本情形下w e i b u l l 分布族刻度参数经验b a y e s ( e b ) 估计，在适当的条件下，证 明了的刻度参数经验b a y e s 估计是渐近最优( a o ) 性并且获得了它的收敛速度， 最后给出一个有关本文主要结果的例子。 自r o b b i n s 8 1 引入经验b a y e s ( e b ) 方法以来，文献中对指数族及单边截 断分布族中，未知参数的e b 估计及e b 检验问题已有许多研究，如基于独立同 分布( i i d ) 样本，s i n g h 9 】讨论了连续型单参数指数族e b 估计问题，s i n ga n d w e i 【l0 】研究了刻度指数族刻度参数e b 估计问题在近期文献中，l ia n dg u p t a 【11 】 基于独立同分布( i i d ) 样本下研究了一类单边截断分布族参数的e b 检验问题， c h e n 【1 2 】在独立同分布( i i d ) 样本下研究了另一类非指数族参数的e b 检验问 题，然而在可靠性理论，渗透理论和某些多元分析等实际问题中，遇到的样本 多非独立而具有相关性，正相关( p a ) ，负相关( n a ) 就为常见的两种因而，在 样本相关的情形下研究e b 估计问题是有意义的第四章在“平方损失”下，基于 同分布弱平稳n a 样本进一步研究了文献【12 】给出非指数分布族参数的经验 b a y e s ( e b ) 估计问题，构造一渐近最优e b 估计函数，在一定条件下，获得e b 估计渐近最优性且其收敛速度的阶为o ( n 一( 肿2 v 2 “+ 2 ) ，其中珂 2 为任意确定的自 然数，2 s 0 ，参数空间为q ； o l o 0 设参数秒的先验分布为g ( o ) ，本文首先考虑分布族( 1 6 ) 中参数秒的如 下e b 单侧检验问题： h o ：0 0 0 付h l ：0 0 为己知常数 三，( 口，t ) = ( 1 一j ) a ( o o o ) 4 口一6 ：。o 】+ j a ( o o o ) 4 口一觑卸】，( ，= o ，1 ) ( 1 8 ) 此处a 是正常数，d = d o ，z ) 是行动空间，d o 表示接受h o ，d l 表示否定乩， 一】 表示集合a 的示性函数，设 5 ( x ) = p ( 接受且) | x = x ) ，( 1 9 ) 为随机化判别函数，则在先验分布g ( o ) 下8 ( x ) 的风险函数为 r ( 8 ，g ) = 瓯( 口，d o ) f ( x 1 秒) 万( x ) + 厶( 口，西) 厂( x i 口) ( 1 一万( x ) ) 】姗( 臼) = l 厶( 秒，d o ) 一厶( 目，4 ) 】厂( x 眇( x ) a x a g ( o ) + “( p ，4 ) 厂( x l p 煳( 9 ) = 口j z 口( x 矽( z ) 出+ c g ， ( 1 1 0 ) 此处 e j = l 厶( 秒，西) 施( 乡) ，口( x ) = 互, t o o 一例厂( xo ) a g ( o ) ， ( 1 11 ) 其中 厂( x ) = 厂( xo ) a g ( o ) = m x - ie x p ( _ x m o 矽g ( o ) = “( x ) p ( x ) ，( 1 1 2 ) 为r v x 的边缘分布，而甜( x ) = # 1 i x m - i p ( x ) = 互a o - e x p ( - - x m l o ) a g ( o ) 由于 秒厂( xo ) d g ( o ) = “( x ) l e x p ( 一x m o ) a g ( o ) = “( x ) 伊( x ) ， 伊( x ) = 一臼m x - ie x p ( - - x m o ) d g ( o ) = - f ( x ) ， ( 1 13 ) 缈( x ) = f m 协= 圳) ( 1 1 4 ) 故由( 1 1 1 ) 可知 a ( x ) = - u ( x ) c , ( x ) + o o f ( x ) ，( 1 1 5 ) 由( 1 1 9 ) 和( 1 1 1 ) 式易见b a y e s 判决函数为 删= ：；，黧嚣 m 旧 其b a y e s 风险为 尺( g ) = i n 占fr ( a ，g ) = r ( 反j ，g ) = 口口( x ) 玩j ( x ) d x + c “， 上述风险当先验分布g ( 秒) 已知，且万( x ) = 4 j ( x ) 是可以达到的，但此处g ( 口) 未知，因而成j ( x ) 无使用价值，于是考虑引) k e b 方法。 首先要构造口( x ) 的估计量。 4 令k ，( x ) ( ，= o ，1 ，s - 1 ) 是b o r e l 可测的有界函数，在区间( 0 ，1 ) 之外零， 且满足下列的条件( c ) ： ，1 f y k r ( y ) 方= 怯雹乩2 ，卜。 ( c 2 ) k ，( x ) 在r 上除有限点集e 。，外是可微的，且s v pi k ， ) 卜c o o 本文对n a 序列的协方差结构作如下假定： ( d ) ：i c o v ( 一，川 c o 则称e b 检验函数 6 0 ( x ) 的收敛速度阶为o ( n v ) 为导出皖的口0 性和收敛速度， 给出下述定理。 本文中令c ，c o ，c 。，q 表示常数，即使在同一表达式中它们也可取不同的值 定理1 1 设瓯( x ) 由( 1 2 0 ) 式给出，其中x 。，x 2 ，为同分布的弱平稳n a 样 本序列假定( c ) 和( d ) 成立，若e ( o ) o o r f ( x ) 连续， 则当! i 里门吃4 = 0 0 时，有l i m 尺。( 皖，g ) = l i r ar 。= 尺( g ) 月i t - - + ， 定理1 2 设皖( x ) 由( 1 2 0 ) 式定义，其中x ，x 2 ，以为同分布的弱平稳得 n a 样本序列且假定( c ) ，( d ) 成立，若0 旯1 ，有 ( 1 ) ( x ) c s 口，( 2 ) i 口( x ) r 1 甜矗( x ) d x ， ( 1 2 3 ) 对假砹检验i 叫越( 1 2 3 ) ，砹琐失函数为 l j ( 8 , 州h m ( 0 0 0 。) 2 - 2 惭圳州1 0 2 - ( 竽门饵川 ( 1 2 4 ) 此处a 是正常数，j 2 1 , 2 ，d = d o ，d ) 是行动空间，d o 表示接受风+ ，4 表示否定风， i t 。】表示集合a 的示性函数 设万( x ) = e ( 接e - o l x = x ) ， ( 1 2 5 ) 为随机化判别函数，则在先验分布g ( 9 ) 下万( x ) 的b a y e s 风险函数为 r ( 6 ，g ) = i ai , l 。( 0 ，d o ) f ( zi 护) 万( x ) + 厶( 口，d ) ( 石i 目) ( 1 一万( x ) ) 】厦溺( 乡) = l ( 口，d o ) 一厶( p ，碣) 】厂( x 眇o ) a x a g ( o ) + 厶( 口，4 ) 厂( x o ) d x d g ( 8 ) = 口l 口( x 眵( x ) d x + c g ， ( 1 2 6 ) 此处 c ( j2 上厶( p ，d 一) 犯( 目) ， 吣) = l 【( 孚) 2 - 们m o ) d g ( o ) ， ( 1 2 7 ) 其中 m ) = 上m i o ) d g ( o ) = 吉嬲肛k 百扣( 以 ( 1 2 8 ) 为r v x 的边缘分布，故由( 1 2 7 ) 经计算n - - i 得 6 口( z ) = a ( x ) f 2 ( 石) + 召( x ) 厂( x ) + c ( z ) 厂( x ) ( i 2 9 ) 其中( x ) ，厂2 ( x ) 分别表示厂( 石) 的一阶，二阶导数，且爿( x ) 2 v o - x 2 2 卅， b ( x ) ：一3 ( m - 了1 一) o ox 1 - 2 m 1 2 0 0z i m ， m 。 m c ( x ) ：! 垄! 二二掣x - 2 , 2 ( m - 1 ) 0 0 x 一册+ l 一z ， m m 。 由( 1 2 6 ) 式易见b a y e s 笋0 决函数为 删= 悟黑嚣 3 。， 其b a y e s 风险为 r ( g ) = i n j fr ( 8 ，g ) = r ( 4 j ，g ) = 口口( x 域j ( x ) d r + c ：j ( 1 3 1 ) a ( x ) 的估计量由下式给出： “ 口。( x ) = 彳( x ) 六位( x ) + b ( x ) l ( x ) + c ( z ) z ( x ) ( 1 3 2 ) 故e b 检验函数定义为 僻性豢嚣 3 3 ， 本文中令e 表示对r v 墨，x ：，爿。的联合分布求均值，则最( 工) 的全面b a y e s 风险为 r = r ( 玩，g ) = al r a ( x ) e 峨( x ) 出+ g j ( 1 3 4 ) 我们得出n a 样本e b 检验函数 瓯( z ) 的渐近最优性，给出下述定理。 定理1 3 设5 0 ( x ) f h ( 1 3 3 ) 式给出，其中x 。，x ：以为同分布的弱平稳n a 样 本序列假定( c ) 和( d ) 成立，若 ( 1 ) 正数序列，r l i m k = 0 ，l i m n h 8 - 0 0 ， ( 2 ) l 秒d g ( o ) 0 0 ， t ( 3 )f 2 ) 为x 的连续函数，则有l i r ar 。( 瓯，g ) = l i mr 。= 尺( g ) ， 本文第三章我们继续研究第二章中的w e i b u l l 分布族给出参数0 的经验e b 估计，证明了其渐近最优性并获得了收敛速度。 p j ! i ，：的b a y e s 风险为 r ( g ) = r j = 尺( 9 一，i ，g ) = 巨_ 日) ( 秒片，一臼) 2 ( 1 3 5 ) 则可定义0 的经验b a y e s ( e b ) 估计 既吲加吣4 鬻l 3 6 ， 此处o v 1 为任意确定的自然数，1 s r 1 且条件( c ) 和( d ) 成立，且 ( 1 ) f ( x ) c s 口，( 2 ) i 、0 “d g ( o ) 2 为任意确定的自然数，2 s ， 1 且条件( c ) 和 ( d ) 成立，且 ( 1 ) 土矿粥( p ) 0 ) ，且本文假定r n 为已知常 数，样本空间为z2 x i x o ，参数空间为q2 o l o o w e i b u l l 分布是威布尔于 19 3 9 年首次引入的，若形状参数m = l ，便得到通常的指数分布族它在可靠性 理论中有广泛的应用，如可以用它来描绘疲劳失效，真空失效和轴承失效等寿 命分布；它在工程实践中有着广泛的应用，也在一些生存现象的领域中广泛的 应用，它还运用于由某一局部失效引起全部失效的现象【7 】；同时在气象预测等领 域也有广泛的应用另外，研究该分布刻度参数的e b 检验特别是基于相关样本 的e b 检验，据我们所知，文献中还未出现因此基于n a 样本下研究威布尔分布 族刻度参数经验b a y e s 检验是非常有意义的 设参数秒的先验分布为g ( o ) ，本文首先考虑分布族( 2 1 ) 中参数目的如下 e b 单侧检验问题： h o ：0 0 0h l ：0 0 为已知常数 三，( 秒，乃) = ( 1 一j ) a ( o o 目) 口一靠。o 】+ j a ( o o o ) i , 口一晶加】，( ，= o ，1 ) ( 2 3 ) 此处a 是正常数，d = d o ，4 是行动空间，d o 表示接受h o ，d l 表示否定风，。】表 1 0 不集合a 日可不性函数，设 艿( x ) = p ( 接舀h ox = x ) ，( 2 4 ) 为随机化判别函数，则在先验分布g ( p ) 下万( z ) 的风险函数为 r ( 8 ，g ) = ( 秒，d o ) f ( x l e ) 8 ( x ) + 厶( 秒，d ) 厂( x 愀1 一占( x ) ) 枷( p ) = l ( 口，吨) 一厶( 只z ) 】厂( x i p ) 6 ( x ) d x d g ( o ) + l 厶( 口，碣) 厂( xo ) d x d g ( o ) = 口l 口。矽( 州r + c o ， ( 2 5 ) 此处 c j = 厶( p ，西矽g ( 乡) ，a ( x ) = 皖一o l f ( x i p g ( 秒) ， ( 2 6 ) 其中 厂( x ) = l ( 石i o ) a c ( o ) = m x m - ie x p ( - - x m o ) d c ( o ) = “( x ) p ( x ) ， ( 2 7 ) 为r v x 的边缘分布，而甜( x ) = m x m - i p ( x ) = l o - ie x p ( - - x m o ) d 6 ( o ) 由于 6 丁 1 秒) d r g ( 乡) = “( x ) e x p ( _ x i n 0 ) d g ( 0 ) = “o ) 妒( x ) ， ( x ) = 一l 目。| 懈”1e x p ( 一x ”o ) d g ( o ) = 一厂( 石) ， ( 2 8 ) 缈( 石) - f f ( y ) a y = e ，- r 1 ) ( 2 9 ) 故由( 2 6 ) 可知 口( x ) = 一“( x ) 妒( 工) + o o f ( x ) ， ( 2 。10 ) 由( 2 5 ) 和( 2 5 ) 式易见b a y e s 笋0 决函数为 删= 怯翟凳 亿 其b a y e s 风险为 尺( g ) 一n 占fr ( 万，g ) = 尺( 坑i ，g ) = 口口( x ) 4 如) 出+ ( 2 1 2 ) 上述风险当先验分布g ( 口) 已知，且万( x ) = 瞑j ( x ) 是可以达到的，但此处g ( 汐) 未知，因而毒j ( x ) 无使用价值，于是考虑引入e b b 法 2 2e b 检验函数的构造 设置，t ，以和是同分布弱平稳m 样本，它们具有共同的边缘密度函 数如( 2 7 ) 式所示，通常称x 。，x ，以为历史样本，称x 为当前样本，令f ( x ) 为五的概率密度函数，本文假定，此处c 。，表示足1 中一族概率密度函数，其s 阶导数存在，连续且绝对值不超过口，s l 为正整数，首先要构造a ( x ) 的估计量。 令k ，( x ) o = o ，l ，j - 1 ) 是b o r e l 可测的有界函数，在区间( 0 ，1 ) 之外为零， 且满足下列的条件( c ) ： ，五1 肌方= 长已乩2 舻。 ( c 2 ) k ，( x ) 在r 1 上除有限点集e 。) 夕 、是可微的，且s u pl k ，1 ( z ) i c 0 0 x e 一， 本文对n a 序列的协方差结构作如下假定： ( d ) ：i c o v ( x ，) | c o 则称胎检验函数 瓯( x ) ) 的收敛速度阶为o ( n 一9 ) 为导出瓯的口0 性和收敛速度， 我们给出下述引理 本文中令g c o ，q ，表示常数，即使在同一表达式中它们也可取不同的值 引理2 1 令x ，l ，是n a 变量，皆有有限方差，则对任何两个可微函数，9 1 g ：有 l c o v ( g 。( y ) ，9 2 ( y ) ) l s u p l g ( x ) s u p l 9 2 ( ，) i 卜c o v ( x ，y ) i ， ( 2 1 8 ) 当分别在有限或可列点集耳和霹上不可微时有 i c o v ( g ( x ) ，g ：( 圳s u p i g ( ) is u p ，1 9 2 ( 跏一c o v ( x ，吼 ( 2 1 9 ) 证明见文【1 5 】引理1 引理2 2设z ( 工) 由( 2 13 ) 式定义，其中x 。，置，以为同分布弱平 稳n a 样本序列，若条件( c ) 和( d ) 成立且f ( x ) 连续，对v x z ( 1 ) 若7 ( 工) 关于x 连续，则当l i r a = 0 且胛吃2 “4 专时，有 鸣防一n 叫。= o ( 2 )若( x ) c 当取吃= 玎4 + 2 时，对0 五l ，有 邑妒( x ) 一f ( 石) r 如刀一百 证明类似文献 16 】引理3 证明： 引理2 3 令尺( g ) 和r 分别由( 2 1 2 ) 和( 2 1 7 ) 式给出，则 o r o 一足( g ) a l 口( z ) p ( i ( x ) 一口( 刮l 口( x ) 1 ) 出 证见文【1 】引理1 引理2 4 设烈x ) 和识( x ) 分别由( 2 9 ) 和( 2 1 4 ) 式定义，其慨，置，以为同分布 的弱平稳n a 样本，则对0 x l - - 缈( 纠 2 = 砉喜v a 帆一+ 吾五，州k 圳 ，) ：ag + 0 2 ( 2 2 1 ) 由于p ，】为z 的非降函数，故知伊( z ) = 扣叫为z 的非降函数，f - l ，2 ， 由于z ，五，以为n a r v 故由定义( 1 5 ) 可知， c o v ( i i ，一j ，k ，】) 0 ， 对一切i ，= 1 ，2 行成立，故由( 2 21 ) 可知 v a ，j ( x ) ：q l + q q ：三阮，j ( 缈( x ) ) ! e 【伊( x 。) 】： ”刀 2 3 髓检验函数的渐近最优性及其收敛速度 定理2 1 设瓯( x ) 1 主t ( 2 16 ) 式给出，其中x 。，x ：，以为同分布的弱平稳n a 样 本序列假定( c ) 和( d ) 成立，若e ( 秒) 且( x ) 连续， 则当l i mn h 4 = 0 0 时，有l i mr 。( 皖，g ) = l i mr 。= 月( g ) 证明由引理2 3 可知 o _ r o 一月( g ) 口工i 口( 工) p ( 1 ( 石) 一口( x ) i l 口( 石) 1 ) 出 ( 2 2 3 ) 记色( x ) = i 口( x ) i 尸( 1 ( x ) 一口( x ) l l 口( x ) i ) ，显见e ( x ) l 口( x ) | 由( 2 1 0 ) 式可知 妒( x ) 陋“( x 砌( z ) d x + l o o lfx ( x ) 出= l ( xo ) d g ( o ) d x + o o l = 秒n 厂( xo ) d x d g ( o ) + e o l = e ( p ) + 川 。o ( 2 “) 由控制收敛定理，可知 0 l i m ( r , ，一r ( g ) ) 口l ( 1 i m 或( x ) ) 出 ( 2 2 5 ) 故要使定理成立要证明l i m 色( 工) = 0 对a s x 成立即可，由m a r k o v 不等式和j e n s e n 不等式知 玩( x ) ga ( x ) - a ( x ) l 甜( 工) e i 纸( x ) 一9 ( z ) i + l 皖l e l z ( 戈) 一厂( x ) l “( x ) 巨，i ( x ) 一矽( x ) 1 2 2 + o o gl ( x ) 一( x ) 1 2 2 ， 再由引理2 2 ( 1 ) ( ，= 0 ) 和引理( 2 2 ) 可知，对任何固定的x z 有 0 。l i m 。t 1 ( x ) ! 受刀卜2 甜( x ) + o o l b - - m ，q o ei 六( 石) 一厂( x ) 1 2 j = o ( 2 2 6 ) 月 ， i l 将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 5 ) 定理得证 定理2 2 设瓯( x ) 由( 2 16 ) 式定义，其中x ，x ：，以为同分布的弱平稳得 n a 样本序列且假定( c ) ，( d ) 成立，若0 旯1 ，有 1 4 222k 一刀 一咖y ， r l 一门 证 = 得 理 j 了式 021 、|入 代 1 、|22 将 ( 1 ) m ) c s ( 2 ) 肛x ) i l - 且甜五( x ) 出 ，( 3 ) 肛x ) r 出 l 为给定的个正整数， 证由引理2 3 和m a r k o v 不等式，可知 o ( b r ( g ) ) 口肛( 刮| 。2 巨概( x ) 一口( x ) 陬 q 肛( 石) 卜丑( x ) 巨，i 纯( x ) 一妒( x ) i d x + c 2 妒( x ) re 。i y o ( x ) 一m ) i 五d x 垒石+ 正， ( 2 2 7 ) 由引理2 4 和条件( 2 ) 可知 五 巧叩- - f 2 妒( x ) h 五( x ) 出c l 。刀一， 由引理2 2 ( 2 ) ( ，= 0 ) 和条件( 3 ) 可知 知五。 正 c z n 一丽舭x ) r d x ， 亿3 ， 对假设检验问题( 2 3 1 ) ，设损失函数为 r ，( 口，乃) - ( 1 卅小学) 2 - 2 】i 。o - a o i o l r oi + j a y 0 2 一( 竽) 2 】旧刮幅j 】 ( 2 3 2 ) 之所以取“加权平方损失 函数是考虑到它对刻度参数更为合理，易于构 造其e b 检验函数，此处a 是正常数，j = o ，1 ，d = a o ，d 是行动空间，或表示接 受h o ，4 表示否定h o ，1 表示集合a 的示性函数 设艿+ ( x ) = p ( 接受爿r ol x = x ) ， ( 2 3 3 ) 为随机化判别函数，类似( 2 5 ) 则在先验分布g ( o ) 下( x ) 的b a y e s 风险函数为 此处 r ( 矿，g ) = 口( x 眵+ ( x ) 出+ c 6 ， c ( j = “( 叫膨( 既口b ) = 【( 竽) 2 - 胴m i 护w ( 趴 其中厂( x ) = l 厂( xe ) d o ( a ) = 目m x - ie x p ( _ x m 8 ) d g ( 8 ) ， 为，m x 的边缘分布，故由( 2 3 5 ) 得 口( x ) = a ( x ) f 2 ( x ) + b ( x ) f ”( x ) + c ( x ) ( x ) 其中f 1 ) ，f 2 ( x ) 分别表示( x ) 的一阶，二阶导数，且， 彳( x ) ：- 5 联x 2 2 m ，召( x ) ：一t 3 ( m - 1 ) 0 0 2x i - 2 m + 2 0 0 x l m ， c ( x ) ：( 2 m 2 - 3 m ：+ 1 ) 0 0 2x _ 2 , 一2 ( m - 1 ) 9 0x - m + 1 一2 ， 脚m 。 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 由( 2 3 4 ) 和( 2 3 7 ) 式易见b a y e s 判决函数为 珈，= ：i ，翟嚣 亿3 8 ， 其b a y e s 风险为 尺( g ) = i n 5 f r ( 万，g ) = r ( 皖，g ) = 口p ( 工磁j ( x ) a x + o ( 2 3 9 ) 为了构造e b b - 0 决函数瓯( x ) ，同理由( 2 13 ) 可分别获得2 ( x ) ，f 1 ( x ) 秒( x ) 的核估计为正但( x ) ，z ( x ) 概( x ) 故o r + ( x ) 的估计量为 o r ( x ) = a ( x ) l 2 ( z ) + b ( x ) z ( 石) + c ( z ) 厶( x ) ( 2 4 0 ) 故e b 检验函数定义为 = 怯黧凳 亿4 ， 则瓯( x ) 的全面b a y e s 风险为 r = b ( 瓯+ ，g ) = 口【口( z ) e 峨 ) l a x + g j 。， ( 2 4 2 ) 皖( x ) 的渐近最优性可由下面的定理给出 定理2 3 设瓯( x ) 由( 2 4 1 ) 式给出，其中，x 2 ，l 为同分布的弱平稳n a 样 本序列假定( c ) 和( d ) 成立，若 ( 1 ) 吃 正数序列，1 f 1 1 i m 饥= o ，l i m n h 8 = ， - n ( 2 ) 上矿d g ( o ) k ( x ) i ) 出， ( 2 4 3 ) 记 色( x ) = l 口( x ) i 尸( i ( x ) - a + ( x ) l l 口( x ) i ) ，显见最+ ( x ) l 口+ ( x ) i 由( 2 3 5 ) 式和f u b i n i 定理得 k x ) 陋l , - y 0 2 l i ( x 边+ ( 箬+ 2 i - 譬f ( x 粥( 出 = 1 - 7 0 2 1 + ( 箬+ 2 掣) 出( x i 护) 粥( 功 = 1 1 一2 i + 0 0 2 口。2 d g ( o ) + 20 0 伊一d g ( 8 ) o ，b 1 所以有 侧= 八叫嗍仞= 器f ) 等分州c 爿+ 力，噼，= 若等， 同理贴) = e x p ( - x ”0 艄) d p = 若与， 口( x ) = 一甜( z ) 伊( x ) + 岛( x ) = 一i m i x 可m - l b a , + 岛i m ；i x 研r - i b a h ， 郴南c 材+ 华陋高， ( 1 )易见( x ) 为x 任意阶可导函数，导函数连续，一致有界，即厂( 工) c s 妒删卜篱f 志c 扩p 勃c 扣竽 l ，这一积分为第一类广义积分， 当聊圳一五) 一( 1 一兄) ( 所一1 ) l 即， o 力 l 时， 即0 o ， 参数空间为q = o l o o 。 取通常的损失函数为： l ( o ，d ) = ( p d ) 2 ( 3 2 ) 在平方损失( 3 2 ) 下，目的b a y e s 估计为其后验均值，即 既叫9 协o f 矿( x p ) d g ( o ) = u ( x ) i _ a e x p ( r - x m o ) d g ( o ) = 等垒舭) ( 3 3 ) 其中“( x ) = m x ”。，缈( x ) 2 量e x p ( 一o ) d g ( o ) ( 3 4 ) p 删的b a y e s 风险为 r ( g ) = r j = r ( o m ，g ) = 巨_ 口1 ( 秒剧! 一乡) 2 ( 3 5 ) 由于先验分布g ( o ) 的未知，故0 肌不能确定，因此无使用价值从而导致考虑该 参数的经验b a y e s ( e b ) 估计。 3 1 经验b a y e s ( e b ) 估计 设x ，置，k 和是同分布弱平稳n a 样本，它们具有共同的边缘密度函 数如( 2 7 ) 式所示，通常称x ，x ，一，以为历史样本，称x 为当前样本，令f ( x ) 为的概率密度函数本文假定，此处c 。，表示尺1 中一族概率密度函数，其s 阶导数存在，连续且绝对值不超过口，s l 为正整数。 为了估计f ( x ) ，引入核函数令k ( x ) ( 厂= 0 ，1 ，s 1 ) 是b o r e l 可测的有界函数 区间( 0 ，1 ) 之外为零，且满足下列的条件( c ) ： c c l ，万1f k c y ，方= t = 0 ， t 0 ，= 1 ，2 ，s l ，s 2 ( c 2 ) 对z z - - - ( o ，) ，i k ( x ) i c ( c 3 )k ( x ) 在r 1 上除有限点集厶是可微的，且s v pi k ( x ) 旧c x e k 。一“。 本文对n a 序列的协方差结构作如下假定： ( d ) 。c o ，( x i ，一) 降 j = l 1 9 ( 3 6 ) 则用 l ( x ) = 瓦1 喜k ( 等) ， ( 3 7 ) 来作为厂( x ) 的核估计，其中 吃) 为正数序列，且! 氅= 0 ，k ( z ) 是满足条件( c ) 的核函数 由于 缈( x ) = f 厂( y 协= e 。l 因此9 ( x ) 的估计量定义为 咖) = 去喜，) 8 ， 则可定义9 的经验b a y e s ( e b ) 估计 屯刮x ， 糕l n 9 ， 此处o 删待定，吼= b 枞l o 则称9 的脚估计谚：片的收敛速度阶为o ( n 一。) 本章中令c ，q ，表示与n 无关的正常数，即使在同一表达式中它们也可取 不同的佰 3 2 若干引理及主要结果 引理3 1 令x ，y 是n a 变量，皆有有限方差，则对任何两个可微函数g ，9 2 有 i c o v ( g 。( x ) ，g ：( y ) ) l s u pg l ( x ) l s u p 9 2 ( y ) l 一c 。v ( x ，】，) 】