（应用数学专业论文）基于egarch模型的汇率波动分析.pdf

摘要 2 0 0 5 年7 月2 1 日人民币汇率形成机制改革以后，人民币汇率及其波动特性 受到广泛关注，研究人民币汇率的变化特征及波动规律对金融政策和投资决策的 制定有着重要的意义 近些年，很多学者在研究股票市场的波动特性时，发现股票市场具有波动聚 集性和不对称性。基于此本文试图使用e g a r c h 模型分析中国的外汇市场，探讨 外汇市场是否具有同样的性质。本文首先回顾了a r c h 族模型在理论研究和实际 应用中的成果，然后针对e g a r c h 模型的理论性质以及在人民币汇率波动研究中 的应用做了以下工作： 在第二章中，证明了e g a r c h 模型具有唯一的平稳遍历解，并讨论了模型的 参数估计问题，在此基础上，本文首次对e g a r c h 模型的极大似然估计量的渐近 正态性和相合性给予了证明 第三章实证分析的主要目的是分析中国的外汇市场是否具有异方差性和不 对称性，首先分析了澳元、欧元、英镑、美元对人民币外汇收益序列的统计性质， 并对其进行正态性、平稳性、相关性等检验；在此基础上建立了相应的均值方程 并检验了模型残差的a r c h 效应；最后对条件方差建立e g a r c h 模型，利用得到的 估计模型进行预测和评估。 关键词：波动性，人民币汇率，e g a r c h 模型，渐近理论 a b s t r a c t n 圮f l u c t u a t i n gc h a n c t 耐s d c so fr m be x c h a n g er a t eb e o o m et h e f o c u so f p e o p l e sa t t e n t i o na f t e rt h er e f o r mo fr m be x c h a n g er a t eg e n e s i s0 1 1j u l y2 1 , 2 0 0 5 。 t h ev a r i a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f e x c h a n g er a t eh a v es i g n i f i c a n ti n f l u e n c e s0 1 1f i n a n c i a l p o l i c y - m a k i n ga n di n v e s t m e n td e c i s i o n - m a k i n g i nl a s ts e v e r a l y e a r s ，e m p i r i c a ls t u d i e si n d i c a t e dt h a tt h e r e w e a ev o l a t i l i t y c l u s t e r i n ga n da s y m m e t r i cc h a r a c t e r i s t i c si ns t o c km a r k e t h o w e v e r , w h e t h e rt h e s e c h a r a c t e r i s t i c se x i s ti nc h i n af o r e i g ne x c h a n g em a r l m ti st h ei s s u et h i sp a p e rs t u d i e d f i r s tw er e v i e w e dt h ef i - u i to fo v b 既 t e ny e a r s r e s e a r c hi nt h e o r i e so fa r c hm o d e l s a n di t sa p p l i c a t i o n s 也e nd i s c u s s e dt h et h e o r yp r o p e r t yo fe g a r c hm o d e l sa n d a n a l y z et h ef l u c t u a t i n gc h a r a c t e r i s t i c so fr m be x c h a n g er a t e n ct h e s i si sd i v i d e d 劬t w o p a r t s ： c h a p t e r2p r o v e dt h eo n l ys o l u t i o nw h i c hh a ss t r i c ts t a t i o n a r yp r o p e r t ya n dt h e c r g o d i c i t y o fe g a r c h ( e x p o n e n t i a l g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a l h e t c r o s c e d a s t i c i t y ) m o d e l ，a n dd i s c u s s e d 缸p a r a m e t e l se s t i m a t i o n o nt h eb a s i so f 砘 w ef o c u s e do np r o v i n ga s y m p t o t i cn o r m a l i t ya n dc o n s i s t e n c yo f m a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t o r sf o re g a r c hm o d e l c h a p t e r3a n a l y z e dt h es t a t i s t i c a lp r o p c r t i 铭o fd a i l yl o g a r i t h mr e t u r ns e r i e so f a u d ，e u r , g b pa n dj p ya g a i l l s tr m be x c h a n g er a t o $ , a n de x a m i n e ds t a t i o n a r y , s e r i a la u t o c o r r e l a t i o na n ds oo n t h e nw ee s t a b l i s h e dt h ea 剐am o d e l sa n d e x a l n i l 扯dt h ea r c he f f e c t so ft h er e s i d u a ls e r i a l s f i n a l l y , w o 髓协b l i s h c dt h e e g a r c hm o d e l sa n df o r e c a s t e df o r e i g nm a r k e tv o l a t i l i t y k e yw o r d s ：r m be x c h a n g er a t e ，v o l a t i l i t y , e g a r c hm o d e l s ， a s y m p t o t i ct h e o r y n 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 硬士论文基于 麟模型的虻奉波动分析 绪论 一、研究背景及其意义 自1 9 7 3 年布雷顿森林体系崩溃以后，国际货币体系进入了一个新的阶段牙 买加体系。在牙买加体系下，浮动汇率制度成为世界上主要的汇率制度，大多数发达 国家如美国、德国、日本等都选择了浮动汇率制度，国际外汇市场汇率变动反复无常， 汇率波动的频率和幅度也越来越大汇率波动的加剧增加了从事国际业务的企业和机 构的外汇风险管理的难度，许多从事跨国经营的企业和机构因汇率的波动屡遭损失 近些年国际金融市场一体化速度里现加快趋势，尤其是在我国加入w t o 后，更多的企 业采用了多元化的投资结构，开发了更多的国际资金来源，同时也有很多企业到国外 投资，实行跨国经营。这给企业提供了更多的机会，但同时也增加了经营的复杂性， 大量外币资金的交易产生了外汇风险。在2 0 0 5 年7 月以前人民币实行的是有管理的、 单一的、盯住美元的汇率制度，对美元的汇率表现出了较强的稳定性，但同时由于美 元对欧元、日元、英镑等其它主要国际货币的汇率是完全浮动的，使得人民币对这些 货币的汇率波动的幅度更大尤其2 0 0 5 年7 月2 1 日人民币汇率制度改革以后，人民 币汇率的变动幅度进一步加大，汇率波动更加剧烈，因此研究人民币汇率的波动性问 题具有现实意义 汇率作为国际金融关系乃至经济关系正常发展的纽带，已几乎渗透到经济生活的 一切领域，并发挥着日益重要的作用。汇率波动的特征，对研究许多问题，如外汇期 权定价问题、外汇市场有效性检验、国际资产组合管理问题等有重要含义。为研究汇 率对宏观经济变量冲击的一些政策问题，同样也要求认识汇率波动特性。同时为了开 发人民币对外汇的远期外汇交易、期货、期权等衍生金融工具，也需要理解汇率的波 动特性因此正确分析和预测汇率及其波动对于金融政策与投资决策的制定等都无疑 有着至关重要的意义 二、汇率及其波动分析的理论和方法 目前国内外对汇率行为的理论及其实证研究主要是从两个方面来进行的：一方面 是从影响汇率的各种因素出发，寻找汇率与这些因素之间所存在的某种关系，也称为 基础因素分析法；另一方面则是从汇率运动的本身出发，研究其作为一个时间序列的 概率或随机性质，可以称为时间序列分析法。前者按影响汇率的因素的不同可被划分 为汇率宏观结构模型和汇率微观结构模型，后者则是用高级计量经济学的分析方法对 自回归时间序列模型进行估计来拟合汇率的运动，发现汇率运动的本质规律。 1 ) 汇率决定因素分析 西方汇率决定理论种类繁多，他们从不同的角度阐述了汇率的决定和变动，其中 最具有代表性的是国际借贷说、资产市场说和购买力平价说三种 碗士论文 基于f ! g a r c g 模型的， 事波动分析 国际借贷说由英国经济学家g o s c h e n l 8 6 1 年“t h et h e o r yo fe x c h a n g er a t e ” 中提出该理论认为汇率决定于外汇的供给与需求，而外汇的供求又是由国际借贷所 引起的当一国的外汇收入大于支出，即国际收支顺差时，外汇的供大于求，汇率下 降；反之汇率上升将国际收支说作为确定两国汇率的依据会受到一些条件的限制如 两国都必须具有发达的外汇市场、国际收支处于均衡状态等，否则该理论无法确定汇 率的实际水平 资产市场说又称为资产平衡论，是2 0 世纪7 0 年代中后期美国经济学家b r a n s o n ， d o m b u s c h 和f r a n c e l 等人提出资产市场说认为各国货币的比价决定于各种外币资 产的增减，各种外币资产的增减是由于投资者调整其外币资产的比例关系造成的，这 种调整往往引起资金在国际间的大量流动，对汇率发生很大影响资产市场说为汇率 普遍浮动时期的汇率波动异常现象提供了一个新的解释，但将此作为确定两国汇率的 依据，其限制条件更加严格，它要求金融市场发达，短期资本移动对利差变动敏感等。 购买力平价理论由瑞典经济学家古斯塔夫卡塞尔( 1 9 2 2 ) 提出，该理论认为一 国货币对外汇率主要由两国货币在其本国所具有的购买力决定的，即两种货币购买力 之比决定两国货币的交换比率实证研究表明，购买力平价说作为长期汇率决定理论 是能够成立的。但是作为确定汇率的依据同样受到一些限制如两国的生产结构和消费 结构大体相同，价格体系相当接近，否则两国货币购买力就失去了可比性 由此可见，三种理论都有不可克服的局限性，因此必须结合起来，并进一步分析 影响汇率变动的其它因素，才能作出正确的判断。 2 ) 时间序列分析法 时间序列分析法包括传统的随机游走( r a n d o m 1 k ) 模型，自回归积整移动平均 ( a r i l a ) 模型和自回归条件异方差( a r c h ) 模型。 随机游走( r a n d o mw 8 l k ) 方法是英国统计学家k e n d a l l 创立的。b a c h e l i e r ，f a m a 和s a m u e l s o n 在他们的研究中提出随机游走的假设已经在描述金融价格序列的研究 中扮演很重要的角色。在这个模型中每一个点都会随机地游离现在的位置，产生一个 模型： 】：= 鬈_ t + 巳t = 1 ，2 ，r 其中，z 为t 时刻的预测值，z - 为t - 1 时刻的预测值，岛为预测误差 a r i m a 方法又称为博克斯一詹金斯法或b - j 方法，其基本思想是对一随时间 磺士论文 基于e g 卿模型的，亡宰被动分析 变化而又相互关联的序列进行分析研究，认识这些动态数据的内在结构和复杂特 征。模型可表示为： 形= 仍形i + 仍f l - 2 + + 矿p 形p + q 一岛? h 一岛口r - 2 一一岛岛叶 其中形为经过d 阶差分后的平稳时间序列，上述模型记为a r i m a ( p ，d ，q ) a r c h 模型是e n g l e ( 1 9 8 2 ) 为了解决金融时间序列中常会出现的波动聚集性现象 即存在随时问变化的方差而提出的a r c h 模型是对预测误差部分的波动性建模，以 充分提取残留信息使得金融价格或收益率的估计和预测更为准确b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 在a r c h 模型基础上提出了广义自回归条件异方差( g r c 哪模型，解决了a r c h 模型滞后阶数过大的问题，并允许条件方差依赖于自身的前期值，是对a r c h 模型 的重要扩展。在此之后出现了一系列a r c h 模型的扩展，并运用于实际的汇率、股 价等金融价格的波动分析中，取得了较好的结果 g a r c h 类模型是目前分析金融时间序列波动性的主流方法，本文将讨论g a r c h 模型的一种重要的推广形式指数g a r c h 模型的理论性质，并将它应用于人民币 汇率波动分析中。 三、本文主要工作 本文在第一章中简要的介绍了a r c h 类模型在理论和实际应用中的研究现状， 针对a r c h 模型在理论研究中的不完善以及在汇率波动性实证分析中模棱两可的结 论，本文做了以下工作： 第二章是对a r c h 类模型的理论体系进行补充，首先讨论了e g a r c h 模型的统计 特性包括高阶矩的存在性和平稳遍历性，并证明了模型具有唯一的平稳遍历解；然 后进一步讨论了模型的参数估计问题；在此基础上对模型的极大似然估计量的渐近 性质包括渐近正态性和相合性给予了证明。 第三章主要分析中国外汇市场的异方差性和不对称性，首先分析了四种外汇 ( 澳元、欧元、荚镑和日元对人民币的汇率) 收益率序列的统计性质，并对其进行 平稳性和自相关性等检验；在此基础上建立了相应的均值方程并检验了模型残差的 a r c h 效应；最后对条件方差建立e g a r c h 模型，利用得到的估计模型进行预测和评 估。 硕士论文 基于吼咖模型的， 率波动分析 1a r c i i 类模型的研究现状 e n g l e “( 1 9 8 2 ) 在对英国通货膨胀指数的波动性研究中，首先提出了自回归条 件异方差( a r c h ) 模型在此之后二十多年的时间里，a r c h 模型的各种变化形式及各 方面的应用成果不断涌现，并成为现代经济计量学飞速发展的一个重要领域在 a r c i 模型的基础上，b o l l e r s l e v m 于1 9 8 6 年提出了广义的a r c h 模型即g a r c h 模 型。g a r c h 即广义自回归条件异方差，在一个时间序列中，如果有的时候波动性很 大，而有的时候波动性很小，也就是说波动性具有爆发性和聚集性，这时称该时间 序列存在条件异方差大量实证研究表明，g a r c h 类模型特别适合于对金融时间序 列数据的波动性进行建模、估计或预测。 g a r c h 模型一般由两个方程组成，一个是条件均值方程，另一个是条件方差方 程标准的回归方程。由于g a r c h 模型是用来估计波动性的，它更关注条件方差 方程，所以一般将条件均值方程的形式取得很简单各种g a r c h 模型的区别在于条 件方差方程采取的形式不同或均值预测误差的分布假设不同，a r c l 类模型中应用较 为广泛的是g a r c h 模型、e g a r c h 模型、a g a r c h 模型、g a r c h - m 模型等。 对a r c h 类模型的研究主要分为两个方向：一个是对模型本身的理论性质进行 研究；另一个是模型在股价、汇率或其收益等金融时间序列中的应用研究 1 1a r c h 类模型的理论研究现状 1 1 1a r c h 类模型的发展 1 ) a r c h 模型 、 为了刻画条件方差的波动聚集性，e n g l e ( 1 9 8 2 ) m 提出了自回归条件异方差 ( a r c h ) 模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l ) a r c h 的 主要思想是时刻t 的预测误差p 。的方差依赖于时刻t - l 的平方误差e 五的大小，一个 q 阶的a r c h ( q ) 模型可以表示如下： 1 、 y t 。乙p t y t 1 + e i f i l e l = _ h i 。z i 毛一“ze ( 五) = 0 ，e ( 玄) = l t 昌+ 口i 巧i + 口2 | 2 + + 口g p 三g 其中 o ，o ，f - 1 , 2 q ， = 砰，一是给定信息集合- 时随机误差岛的条件 4 硬士论文基于e g a r c h 模型的汇率波动分析 方差a r c h 模型提供了一个分析和发展波动性时间序列模型的框架，然而，由于其 自身的一些缺陷如实际应用中滞后阶数过大等，使得在过去的二十多年里a r c h 模 型自身很少被运用。 2 ) g a r c h 模型 在a r c h 模型基础上，b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 叫提出了广义自回归条件异方差 ( g a r c h ) 模型g a r c h 模型是为了克服a r c h 模型的某些问题而自然扩展出的模型。它 比a r c h 模型需要更小的滞后阶数，并把时刻t 之前的条件方差作为自变量引入条 件方差方程中，条件方差方程的定义为： 啊= 口。+ 口，吐。+ 只也- ， 其中c b o , o f t o , i = 1 , 2 ，g ；，o , j = 1 , 2 ，p q g a r c h ( p ，d g a r c h 模型具有更强的概括能力，开辟了a r c h 模型族的新篇章，在实际中被广 泛的运用。g a r c h 模型在一定程度上解决了a r c h 模型的一些缺陷，但仍存在一些问 题，如估计模型可能违背参数的非负条件；模型不能解释杠杆效应；模型未考虑条 件方差和条件均值之间的任何直接反馈等，于是又出现了非常多的扩展模型，其中 比较有影响力的模型有指数g a r c h 模型、非对称g a r c h 模型、均值a r c h 模型等。 3 ) e g a r c h 模型 n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 咖提出了指数自回归条件异方差( e x p o n e n t i a lg a r c h ，e g a r c h ) 模 型，其条件方差方程的形式如下： l n ( 啊) = 口o + 口。g ( p ，。) + 艺色l n ( 啊叫) 执盼b 再e t + 虹措以删朋加m m 厉，_ ，= l ，2 ，p 为参数。 目前e g a r c h 模型有多种表达条件方差方程的方法，本文考虑一种较为常用的 形式： 蚍，2 + 委嘶万e t - i + 喜一酬嘻岛峨- ，) e g a r c h 模型与g a r c h 模型相比，关于条件方差的假设有两个优点：第一个优点是条 件方差鬼由指数形式表示，所以无论方程中的参数取什么实数，条件方差啊总是正 的因此在对模型作参数估计时，不需要人为地对模型参数施加非负约束，从而可 硕士论文 基于e g a r c h 模型的忙辜被动分析 以减少数值计算的计算工作量；第二个优点是鬼在随机干扰q 取正、负值时有不同 程度的变化，从而能更好的体现金融产品价格波动的情况，例如在股票市场中，利 空消息( 股价的负干扰) 往往比同样程度的利好消息( 股价的正干扰) 导致的股价 波动更大，所以e g a r c b 模型能解释这种正负干扰反应的不对称性 4 ) 其它a r c i 类模型 s c h w e r t ( 1 9 9 0 ) 砌提出的非对称g a r c h ( a s y m m e t r i cg a r c h 。a g a r c h ) 模型是另一 种被广泛应用的解决非对称性的模型，其条件方差函数为： = + a - l + q _ l + 力2 与e g a r c h 模型相比，该模型具有更好的解析性质，但模型的初估较为困难。 e n g l e 、l i l i e n 和r o b i n s ( 1 9 8 7 ) 嘲提出的a r c h - m 模型则考虑了风险与收益的 关系，将条件方差作为度量风险的一个指标加入到条件均值方程中，则条件均值方 程设定为： 上 一 y l = p j y t q + 艿啊i - i - p t i - i a r c h - m 模型可以很好的反映股市中风险越大收益越大的特征，并且很容易扩展到 g a r c h - m 类模型形式，因此也被较为广泛的应用于股市研究中 除此以外还有许多g a r c h 模型的扩展形式以及多维情形下的g a r c h 类模型，本 文不将对这些模型进行详细的介绍 1 1 2a r c h 类模型的理论研究现状 对a r c h 类模型的理论研究主要是讨论模型的平稳性和高阶矩的存在性以及模 型的参数估计和估计量的渐近性质等问题展开的 参看文献 1 卜 2 。 6 一【1 6 e n g l e “给出了a r c h ( 1 ) 过程的高阶矩存在性定理以及a r c h ( q ) 的二阶平稳性定 理。 引理1 1 对a r c h ( 1 ) 过程，e ( 。) 存在的充要条件是 吖n ( 2 j - 1 ) l 产i 引理1 2a r c h ( q ) 二阶平稳的充要条件是相应的特征方程的根都大于1 ，且此 时平稳方差为 6 硕士论文基于f , 6 a 胁i 模型的j 辜波动分析 娴= 睢q 。 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 蜘给出了g a r c h 模型的平稳性和偶数阶矩存在性的定理： 引理1 3 g a r c h ( p ，q ) 模型有平稳解矗) ，且e ( e ) ，当且仅当 吒+ + + 届+ + 岛 l ，且这个平稳解是唯一的 推论i i a r c h ( q ) 模型有唯一平稳解，且e ( 露) ，当且仅当q + + l 引理1 4g a r c h ( i ，1 ) 过程的2 m 阶矩存在的充要条件为 k ，届，埘) = c ：q 酬 o ，存在岛 。满足e ( 彳“i ) 品 o o 口j ； 4 ) s u p ，e o n ( 展+ 彳) i 一一) o ，存在& 满足e ( z ? “l 一i ) s & 口j ： 7 碗士论文 基于e 6 a r c h 模型的i 亡奉波动分析 4 ) s u p 。占怔魄+ o f l 2 7 m 鬈1 ) 0 她； 5 ) e 0 一一- 1 ) r 0 ，只0 ，_ ，= 1 ，2 ，p ，并假设心南= e ( 聋j 孝i ) 存在，其中岛，屯为正整 数，模型简记为a g a r c h ( p ，q ) 吴硕思和方兆本( 2 0 0 0 ) 证明了该模型在一定约束条件下的宽平稳性及 a g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的偶数阶矩存在性刘继春( 2 0 0 3 ) n 町在此基础上讨论了模型的严 平稳性及遍历性，并给出了该模型存在高阶矩的条件。关于参数估计量的渐近性质， 张蕾( 2 0 0 4 ) “”证明了a g a r c h ( p ，q ) 模型的极大似然估计量的渐近正态性和相合性 对于多维情形下g a r c h 模型的理论研究参考文献 2 0 - 2 4 本文将在前人的基础上，试图讨论一类较为重要的g a r c h 模型指数g a r c h 模型的平稳性以及该类模型的参数估计问题和估计量的渐近性质。 1 2a r c h 类模型的应用研究现状 在过去的二十年里，模拟和预测金融市场的波动性已经成为众多理论和实证研 究的一个课题。对波动性的研究有各种动机值得探究，可以说，波动性是整个金融 中最重要的概念之一a r c h 类模型在描述金融市场的波动性方面的诸多优越性使其 在过去二十多年里被广泛应用。 硕士论文基于e g 硎模型的， 率被动分析 a r c h 类模型是为了分析宏观经济中的波动特性而产生的，但却被更广泛的应用 于金融时间序列的波动性分析中，其中对证券实证的研究最为集中 1 ) 国外的研究现状 国外关于a r c h 类模型的应用研究比较多，就汇率波动性的研究主要有t o r b e n 瞄j 等人基于德国马克和日元对美元的每日汇率的波动分布和相关性，完善了g a r c h 模 型使用过程中对样本分布的限制条件；a g u i l a r 和n y d a h l m 使用g a r c h 模型来对汇 率的波动性进行建模；b r o o k s 和s i m o n 嘲按照一定的标准选用特定的g a r c h 模型来 预测美元汇率的收益波动情况，等等许多文献都体现了6 a r c h 模型在汇率研究和 预测方面的有效性 对e g a r c h 模型的研究主要应用在股票市场( 见文献e 2 8 ) ，如f r i e m a n n 和 s a n d d o r f - k o h l ( 2 0 0 2 ) 用e g a r c h 和g j r _ g a r c h 模型与每天的股指数据，在几个中 国股指序列中发现了杠杆效应，表明中国股市波动性有非对称效应。而相反，l e e 、 c h e n 和r u i ( 2 0 0 1 ) 用e g a r c h 模型和每天收益数据，发现中国股市没有杠杆效应， y u a n l e i ( 2 0 0 4 ) 用g a r c h 、e g a r c h 、g j r 弋a r c h 模型和每天股指收益数据，也发现中 国股指没有杠杆效应 目前国外已有不少学者开始尝试使用高频数据分析证券、外汇等金融市场的波 动特性并取得了一定的研究成果。 2 ) 国内的研究现状 在国内，关于g a r c h 类模型的应用研究也有一些，例如，刘国旗嘲应用g a r c h 模型及其两种非线性修正模型( q g a r c i 模型和g j r 模型) 预测中国股票市场的波动； 陈泽中等对上海证券交易所综合指数和深圳证券交易所指数进行了a r c h 检验； 叶青眦1 则利用基于g a r c i l ( 1 ，1 ) - m 模型来计算我国股市的风险。 然而国内对于g a r c h 类模型的应用仍主要集中在对证券实证的研究上，对汇率 波动的研究比较少，近几年也有一些学者尝试用g a r c h 类模型研究汇率的波动特征， 如惠晓峰、柳鸿生等人( 2 0 0 3 ) 运用g a r c h 模型对汇率体制改革后的人民币美元 汇率建模并进行预测，得到了令人满意的预测效果；任兆璋( 2 0 0 4 ) 嘲使用人民币 n d f 汇率作为人民币汇率的代理变量，使用a r c h 族模型研究其波动特征，结果表明 人民币汇率预期存在a r c h 效应，具有尖峰、厚尾、波动群集性和非对称性等特征； 戴晓枫和肖庆宪( 2 0 0 5 ) 使用人民币美元的日汇率进行实证研究，建立相应的 a r i i a 模型和e g a r c h 模型并进行预测和评价，研究结果表明，e g a r c h 模型的预测 结果较a r i m a 模型理想，适合描述人民币美元汇率的变动趋势；李凯和张稳瑜 ( 2 0 0 5 ) 嘲通过美元日元的高频日汇率数据的实证研究，检验了金融时间序列的“尖 峰厚尾性”特征，并且通过对g a r c h 、t g a r c h 和e g a r c h 的模型估计，验证了汇率 市场在信息不对称条件下，对好消息和坏消息有不同程度的波动反应，金融市场的 9 硕士论文基于瞄从明模型的， 率波动分析 杠杆作用是明显的但也有学者得出了不一致的结论，如王佳妮和李文浩( 2 0 0 5 ) 嘲 运用g a r c h 类模型分析了1 9 9 9 - - 2 0 0 4 年欧元、日元、英镑，澳元等四种外币对美 元汇率的波动率并进行预测，结果表明e g a r c h 模型不适合对汇率数列的拟合 就目前为止，e g a r c h 模型所得到的实证证据是模棱两可的，对于过去结果的不 清晰性，就需要更多的研究来阐述这个问题；另一方面，根据过去国际上的运用经 验，e g a r c h 模型比较适合于描述金融市场的投机价格，但是否适合于描述人民币汇 率的波动性，则有待于研究本文正是基于这两方面的考虑希望能够探究一下该类 模型对刻画人民币汇率的适合性 硕士论文基于b g a r u d 模型的汇奉波动分析 2 指数广义自回归条件异方差( f g 舢r c h ) 模型的性质 2 1 引言 本章将主要讨论e g a r c h 模型的理论性质，包括模型的平稳遍历性、参数估计 问题以及参数估计量的渐近性质等，只有在模型具有比较好的理论性质时，应用该 模型才具有参考价值。 在第一章中，已经给出了e g a r c h 模型的表达形式： 巳- - - - - - z t 舻 ( 2 i 1 ) 乃一“彳e ( z ，) = o ，e ( 彳) = 1 ( 2 i 2 ) l n 以：口。+ 妻口，：。+ 圭扎i z 。i + 圭岛l n 吼一， ( 2 1 3 ) j - !柚 j - i 其中岛表示均值模型的预测误差，是实值时间序列记w 为截止到时刻t 的所有信 息的集合，j ： 是给定信息集合一。时岛的条件方差。 为简化起见，令z = l n 曩，则条件方差函数变为： z = + 艺q 钆+ 玄j t tj z t - i i + 岛正。 ( 2 1 4 ) i i ll 吐 j - t 本章的结构安排如下：第2 2 节介绍了严平稳遍历性和渐近性质的一些理论基 础知识第2 3 、2 4 和2 5 节为本章的重点，讨论了e g a r c h 模型的理论性质，首 先讨论了e g a r c h 模型的平稳遍历性，并证明了模型具有唯一的平稳遍历解；然后 讨论了模型的参数估计问题；最后着重证明了e g a r c h 模型的极大似然估计量( 札e ) 的渐近正态性和相合性 2 2 预备知识 2 2 1 严平稳遍历性的介绍 定义2 1 嘲( 保测映射) 设有概率空间( g p ) 及q 专q 的映射，使得对任 何彳e q ，都有妒。1 彳e 、壬，而且保持测度相等：p 。1 句= p ) ，则称是一个 1 1 硕士论文基于e g a r c h 模型的汇率波动分析 心，、l ，p ) 上的保测映射 引理2 1 咖( b i r k h o f f 遍历定理) 设是概率空间( q 甲，) 上的一个保测映射， 9 0 ) 是 q s ，p ) 上一个具有有限数学期望的随机变量，则 1 ) 极限 1 一i m - ：喜g ) = 蚕( 以概率为l 地成立5 2 ) 季( 国) = 蚕( ) 以概率为1 地成立； 3 ) 点窖( 国) = 点季( 国) 引理2 2 嘲在引理2 1 中，要使对于任意有有限数学期望的随机变量g 都以概 率为1 地有季( 国) = 点奢( 国) 当且仅当矿是p 遍历的这时 撕丢喜咖姆( 奶 这意味着沿轨道的时间平均等于空间的概率平均值 2 2 2 渐近定理的介绍 b a s a w a ，f e i g i n 和h e y d e ( 1 9 7 6 ) 给出了对于一般随机过程的札e 的渐近正态 性和相合性的充分条件。 设口是参数向量，( 口) 是口的对数似然函数 引理2 3 假设0 是开区间，口e 0 满足 1 ) 在参数真值吼处， 一；喜訾一 其中c l 是非随机正定矩阵； 2 ) 在参数真值岛处， 一去至掣 ( o ，c o ) ，r 啼 _ t 乞8 9 一 j 1 2 硕士论文基于8 g a r ( t d 模型的汇率波动分析 其中c o 是非随机矩阵； 3 ) 存在常数m o o ，使得对所有的h j , k ，对所有的一eo 记岛为似然方程垦曼2 ：o 的解，则 口伊 f ( 岛一啪。( o c o c 1 ) t - - o o 引理2 4 假设o 是开区间，9 满足 1 ) 在参数真值懈一；粪警山啦蛔 1t - lv v 2 ) 存在常数阵m ( o o ) ，使得对任意的s 0 ，对任意的f ，_ ，七，有 p _ 亍1 台r 丽a 2 l , ( o o ) 2 盯慨) ) ，t 一譬； 3 ) 存在常数m ，使得对所有的f ，_ ，七，对所有的口0 ， 则岛山岛，r 啼 2 3e 嗍模型的统计特性 肘 m 一般讨论a r c h 类模型的概率统计特性时首先讨论模型的宽平稳性和高阶矩的 存在性，它们是模型应用的前提，分别用于模型初估和实证样本的母体是否高峰厚 f 尾的检验。n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 已经证明了在0 罗。 1 的条件下e g a r c h 模型的宽平 石。 稳性和偶数阶矩的存在性。 宽平稳性和高阶矩的存在性是模型应用最基本的前提，而我们感兴趣的是模型 是否具有严平稳遍历性，严平稳遍历解是否唯一。在本节中，主要证明了e g a r c h ( p ，q ) 模型具有唯一的严平稳遍历解。 记。g ( z , - i ，毛- 2 ) ；嘞+ 童q = ，。+ 羔以k - ，l v f ，l l肛i 下面讨论由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) 式定义的e g a r c h ( p ，q ) 模型的严平稳遍历解的 唯一性 1 3 硕士论文 基于e 6 a i 船i 模型的汇率波动分析 定理2 i 假设o 岛 o , j - - i ，2 只，则e g a r c h ( p ，q ) 模型具有唯一 j - i 严平稳遍历解。 证明：n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 吲已经证明了在o 艺岛 z i ) ，v a n b ，则 防 ) 一z ，( 叫= 陲j - i 乃叫一_ ，乙( 国叫ii 圭岛h ( 彩) 一z o ( 1 设氟( 国) = z ( 国) 一z i 国) ，则 阮( m s 芝只陋叫 ) b 芝岛店陋州( m i t - ij p 屈岛展陋。+ 。 ) l l j 因为z 和z 是严平稳遍历过程，因此z 和有界n 且，即存在m ( 正常数) ， 一m z ( 口) m ，一肘 炽功 m ，甜v t 因此l z ( 国) 一z i 国1 2 m ，a j v t 硕士论文基于e g r 翻模型的茫率波动分析 从而l 矿i 细) 1 s 2 ( 羔岛) - m - 0 , 埘专 j - l 则v 国e 彳n b ，z ( 珊) = z x 国) x p ( 4 n 刃= i ，从而z ) = z i ) ，口矗 所以z 唯一，即，= 是唯一的严平稳遍历解 由于曩是z 的严格单调函数，因此噍也是唯一的严平稳遍历解，即由( 2 1 1 ) 、 ( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 式定义的e g a r c h 模型有唯一的严平稳遍历解 2 4e g a r c h 模型的参数估计 对于g a r c h 族模型的参数估计通常采用极大似然估计( m a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o n ，m l e ) 方法 下面考虑由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式定义的e g a r c h 模型的极大似然估计。 设q ，8 2 ，e _ i ，e l ，为一+ g 个平稳随机样本序列，信息集雹表示t 时 刻之前的所有信息组成的集合。显然，在z f i i d n ( o ，1 ) 条件下，e t 关于一。的条件 密度为 你州= 南唧 - 矧， 其中口为参数向量。 e l ，p 2 ，关于的联合条件密度为 胁_ ；棚= 。密一c 叫- 剖， 对数条件似然函数( 常数省略) 为 ( d = 三( ，q ，n ，届，以) = 去伊) ， 其中 = - i n 曩m 赢 硕士论文基于 唧模型的汇事波动分析 参数向量p 的最大似然估计万为似然方程警= 。的解 令z = l n 岛，则 i , ( 6 q = “( d 一彳p 一毋 对工( 国求关于目的一阶和二阶偏导，得 警2 喜c 一警硝“警 a 9 智、 a 口 a 口 黟- - 1 喜( ( e f e - * - 1 ) 粤每哳警等 相应于参数口得信息矩阵为 仁；馏陬 且 馏h 卜三2 智业a 7 业a o r 由此，可取迭代式估计参数占： 鲫毋b 喜( 著) 刎。( 榉儿t 岛) 极大似然估计方法是一个优化问题，即求万使得 三。舻) = 呼l 够) = 呼一l ( 但一般的数值优化方法收敛性较差。b e r n d t ( 1 9 7 4 ) 等人嗍提出一种改进算法，称为 b h 咖算法，它是目前g a r c h 族模型参数估计的主流算法。b h h h 算法优点是比较简 便，计算程序相对简单，其主要计算步骤叫为： 步骤1 对待估参数引喊予初值日( ”，令k = o ； 步骤2 由第k 步所得值口( n ，计算k + l 步的值口( “) ： 纠五( 喜鲁甜喜嚣 1 6 硕士论文 基于酷 咧模型的i 率波动分析 其中五脚步的搜索步长，是对数似然嘁陲等参) 一粪嚣是最锕行方 向5 步骤3 重复步骤2 ，直至算法满足终止条件 b e r n d t ( 1 9 7 4 ) 等证明，b i i h h 算法所得到的参数估计具有较好的性质如一致性和 渐近正态性等 2 5e g a r c i t 模型的m l e 的渐近性质 2 5 1e g a r c h 模型的m l e 的渐近正态性 为了简单起见，首先考虑e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的m l e 的渐近正态性 e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型表示如下： e t = z 一 z t u a w ( o ，1 ) l n l = + q 五_ i + i z ，_ tj + 局l n - i 其中五和啊相互独立， 是给定信息集合一- 时q 的条件方差 模型b g a r c h ( 1 ，1 ) 的平均对数似然函数( 省略常数) 为： 厶( d = 去喜，其中( d = 柏啊+ 南 设z = l n 危，则条件方差方程和似然函数分别为： z = + 毛- l + 7 l l z ，_ 1 l + 届z 1 ( 回= - , 一e ? e - z , 定理2 2 对于e g a r c h ( 1 。1 ) 模型，假设： ( 1 ) 9 为参数空间， 口= ( a o ，嘶，乃，届) 为参数，歹o 是参数真值； ( 2 ) 0 届 0 ； ( 4 ) e ( 0 ) ； 则- ( 反一面。( o ，c 1 c o g ) ，打一 硕士论文 基于i r 翻模型的汇率波动j 于堑 证明：根据b a s a w a ，f e i g i n 和h e y d e ( 1 9 7 6 ) 给出的一般随机过程的m l e 的渐近正 态性的三个充分条件对此定理进行证明 ( i ) 由假设( 2 ) 知，z 是严平黼历过程，由于喾是z 的可钡| i 函数，因此等 是遍历的当e 蟹存在时，由b i r k h 。f f 遍历定理可知， ；喜等山e 絮，r j ja 6 d 矽 、a a 多口 下面证明一占絮) =