（应用数学专业论文）基于投资组合信用衍生产品的定价计算及分析.pdf

摘要 摘要 对基于投资组合信用衍生产品定价的问题，公司间违约依赖性的介入为定价 的准确性带来了难题，也是当前信用风险研究的热点问题。 本文在约化法的框架下假设组合内公司违约强度过程符合单因子v a s i c e k 模 型，引入通过p d e 方法得到的违约时间联合分布的封闭解模型，应用于一篮子信 用违约互换、信用违约互换指数及担保债务契约等产品的定价，并结合计算结果 进行分析。 根据产品不同的架构和设计条款，每种产品对违约强度、违约相关性等变量 的敏感性是不尽相同的。而通过本文定价模型所得到的性质与通过相应的单因子 c o p u l a 模型所得到结论基本相符，且比较准确地反应了产品的特征，一定程度上 说明了封闭形式定价模型对基于投资组合信用衍生产品定价的准确性和高效性。 然而，由于v a s i c e k 模型假设的局限，本模型只适用于篮子里相关公司较少 的情形，而不适用于对标的组合规模较大的产品如c d x n a i g 和i t r a x x 进行准确 的定价。本文对所适用的范围做了估计分析，说明在小规模投资组合产品的计算 上有着一定的可行性。 关键字：违约时间联合分布v a s i c e k 模型信用违约互换担保债务契约违约强 度相关性 a b s t r a c t t h ed e f a u l td e p e n d e n c eb e t w e e nc o m p a n i e sm a k e si th a r dt oa c c u r a t e l yv a l u et h e c r e d i td e r i v a t i v e sb a s e do np o r t f o l i o ，w h i c hi sa l s oah o tt o p i co fc r e d i tr i s kr e s e a r c h e s n o w a d a y s i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w ea s s u m et h ed e f a u l ti n t e n s i t yp r o c e s so fc o m p a n i e si nt h e p o r t f o l i oc o n f o r m st oo n ef a c t o rv a s i c e km o d e lu n d e rt h ef l a m eo fr e d u c e df o r m w e i n t r o d u c et h ec l o s e d - f o r ms o l u t i o nm o d e lo f j o i n ts u r v i v a lt i m ed i s t r i b u t i o nt oa p p l yt o t h ev a l u a t i o no fb a s k e tc r e d i td e f a u l ts w a p s ，c r e d i td e f a u l ts w a pi n d e xa n dc o l l a t e r a l i z e d d e b to b l i g a t i o n , a n da n a l y z et h er e s u l t s a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n ts t r u c t u r e sa n dd e s i g n ，e a c hp r o d u c th a si t su n i q u e s e n s i t i v i t yt ot h ef a c t o r sl i k ed e f a u l ti n t e n s i t ya n dd e f a u l tc o r r e l a t i o n c o m p a r e dt ot h e c o n c l u s i o no fc o r r e s p o n d e n tc o p u l am o d e l ，w eg e ta l m o s tt h es a m ep r o p o s i t i o n sw h i c h r e f l e c t st h ef e a t u r e so ft h ep r o d u c t s a c c u r a t e l y i tp r o v e st h ea c c u r a c ya n d h i g h - e f f i c i e n c yo fo u rm o d e la b o u tt h ev a l u a t i o no fc r e d i td e r i v a t i v e sb a s e do np o r t f o l i o t os o m ee x t e n t h o w e v e r , u n d e rt h el i m i t a t i o no fv a s i c e km o d e la s s u m p t i o n ，o u rm o d e lp r o v e so n l y u s e f u lt ot h eb a s k e tw i t has m a l ln u m b e ro fc o r r e l a t e dc o m p a n i e s ，b u tn o tt ot h e l a r g e - s c a l ec r e d i tp r o d u c t sl i k ec d x n a i ga n di t r a x xc o r r e c t l y b u tw e v ed o n e c e r t a i ne s t i m a t ea n a l y s i sa b o u tt h es u i t a b l en u m b e ro u rm o d e lf i t sa n de x p l a i n e dt h e f e a s i b i l i t yo fo u rm o d e lo ns m a l ls c a l ev a l u a t i o n a f t e ra l l ，o u rm o d e li san e w a t t e m p t t ov a l u et h ec r e d i td e r i v a t i v e sb a s e do np o r t f o l i o ， k e yw o r d s ：d e f a u l tt i m ej o i n td i s t r i b u t i o n , v a s i c e km o d e l ，c r e d i td e f a u l ts w a p s ， c o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n , d e f a u l ti n t e n s i t yc o r r e l a t i o n 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：孑心交 1 内它年弓月协e l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文储躲嘶 _ 哟笛年了月日 第1 章引言 1 1 信用风险 第1 章引言 现代经济从本质上而言就是信用经济，信用在现代社会生活、生产的各个方 面扮演着越来越重要的作用。特别在金融市场中，信用风险广泛地存在。它可以 定义为受信方拒绝或无力按时、全额支付所欠债务时，给信用提供方带来的潜在 损失，也就是说信用风险是交易对手违约风险的一种。简单地说，信用风险就是 指交易对手未能履行约定契约中的义务而造成经济损失的风险。从个人到企业， 甚至到国家，每个个体都是信用风险市场的一部分。 就个人来讲，随着商业贷款、信用卡等预支消费形式的激增，个人破产的信 用风险在当代空前膨胀。例如，1 9 8 0 至1 9 9 9 年间，美国国内受理的个人破产案 件从3 3 万件每年巨增到每年接近1 4 0 万件，而成年人中每1 0 万个人中申请破产 的人从2 0 1 个增加到6 5 0 个。 对于企业来讲，其信用风险包括很多形式，如公司资不抵债而申请破产，或 因某些因素被调低评级等。而衡量企业信用风险最直接的指标就是权威评级机构 对其发行债券所做出的信用评级。然而2 0 0 7 年所爆发的次贷危机却悍动了几大 评级机构的权威性。美国的公司破产名单表明投资评级仅比投资等级低一级的高 息债券的违约率在其发行后的五年里可达2 8 。而最低一等评级的债券的违约率 竟达4 7 ，这表明在公司得到廉价融资，贷款人能支付借款人，且期望能保持乐 观的过程中，信用风险这个雪球就在越滚越大。 1 9 9 4 年到1 9 9 5 年的墨西哥危机，1 9 9 8 年的俄罗斯危机等等，都让市场投资 者们看到了政府债券的风险。 而世界金融市场对信用风险的防范和管理主要经历了以下几个阶段：( 1 ) 巴 塞尔协议对风险资产和最低资本限额的规定；( 2 ) 测量信用风险的内部方法和 模型，如j p 摩根的c r e d i tm e t r i c s 及r i s k m e t r i c s 的c r e d i t g r a d s 等信用风 险管理系统；( 3 ) 全面风险管理；( 4 ) 信用衍生产品。 第一个阶段是由于银行受2 0 世纪8 0 年代初债务危机的影响，开始关注信用 风险的管理问题，所产生的巴塞尔协议通过对不同形式的资产以不同的系数 来量化风险，是比较笼统的一种量化方式。 第二阶段始于1 9 9 7 年j p 摩根和其它一些金融机构共同研究推出的世界上 第一个评估银行信贷风险的证券组合模型c r e d i tm e t r i c s 。该模型以信用评级 为基础，计算某项贷款或某组贷款违约的概率，然后计算上述贷款同时转变为坏 第1 章引言 账的概率。 第三阶段是当金融市场意识到其所面临的是市场和信用的烈重风险时，在信 用风险管理上做出了综合性风险管理的调整，即对整个机构内各个层次的业务单 位，各种类型风险的通盘管理。 第四阶段就是得用信用衍生产品来进行信用风险的对冲交易。最初，信用衍 生产品是由金融机构，大多是由于银行的风险管理需要应运而生的。它被用来对 冲和分散信贷风险，类似用他们在利率和现金m 险上的管理方法。信用衍生品在 保留资产的前提下，将贷款或债券的信用风险从其他风险中剥离出来，在市场上 被定价，并转移给愿意承担风险的投资者，使信用风险管理第一次拥有了和市场 风险管理同样的对冲手段，从根本上改变了信用风险管理的传统机制。 1 2 信用衍生产品 信用衍生品是2 0 世纪g o 年代在美国纽约互换市场推出的。1 9 9 3 年信孚银 行( b a n k e r st r u s t ) 和瑞士信贷银行金融产品部( s c f p ) 为了防i 其向日本金融界 的贷款遭受损失，开始出售一种偿还价值取决于具体违约事件的债券，成为晟早 的信用衍生品。信用衍生品在1 9 9 7 年1 9 9 8 年的金融危机时期后得l 快速发展， 危机证实了它能够在货币危机期间支持债务市场的需求，并使银行等金融机构在 危机中得到保护。 资料显示，1 9 9 5 年全球信用衍生品交易为清偿交易的名义价值仅为1 0 0 亿 美元，2 0 0 4 年已高达4 8 0 0 0 亿美元，而至2 0 0 6 年的仝球存量已达到2 0 万亿。 图1 。l 全球信用衍生品存晕 信用衍生产品不仅使得企业可咀像交易汇率或利率风险那样对冲自己的信 第1 章引言 贷风险，也从另一角度提高了回报率，近年来成为对冲基金等风险偏好型投资者 投资组合中高风险高收益的投资“新宠。 信用衍生产品主要采用远期合约、互换和期权这三种基本构建方法，从分散 信用风险、增强资产流动性、提高资本回报率、扩大金融市场规模与提高金融市 场效率等五个方面吸引了市场上大量投资资本。其市场的参与者非常广泛，从商 业银行、投资银行、固定收益投资者、保险公司、高收益市场基金、新兴市场基 金到一些非金融性的公司，对全球的金融市场产生逐渐深远的影响。 本质上来说，信用衍生产品是一份将各方的信用风险相互转移的协议，它的 价值来自于一个或多个公司或债券的信用表现。但它也因为对于管理信用风险敝 口低成本的需要而有了一定的改进，主要体现在信用从一个曾被认为不适宜进行 交易的非流动性风险逐渐转变成为与其它类型金融风险具有相当交易量的一种 金融风险。信用衍生产品为信用风险管理市场注入了新的活力，令银行等放贷机 构可以主动管理自己的信贷风险组合以及进一步发展多元化的信贷产品。 全球信用衍生产品规模迅速增长，这其中的大部分信用衍生产品都是信用违 约互换( c r e d i td e f a u l ts w a p ，简称c d s ) 形式，它是将一个或多个投资标的 的违约风险从一方转移到另外一方的合约式协议。信用违约互换是将参照资产的 信用风险从信用保障买方转移给信用卖方的交易。信用保障的买方向愿意承担风 险保护的保障卖方在合同期限内支付一笔固定的费用信用保障卖方在接受费用 的同时，则承诺在合同期限内，当对应信用违约时，向信用保障的买方赔付违约 的损失。 c d s 合约在市场上的流动性要远远地高于大多数公司债，这其中有两个主要 原因，首先它们是标准化的，合约中明确地规定了触发偿付的信用违约事件( 由 国际掉期与衍生产品协会( i s d a ) 进行详细的标准化定义) ，其中也规定了清算 的方法。其次，c d s 合约对于市场参与者的门槛比公司债券大大地降低，它允许 信用风险做多者无须支付现金，也使得空头做空更加容易，比公司债券相比，成 本相对较低。 其次，c d s 可以用来作为单一信用产品的参考，也可以作为一篮子信用产品 指数的参考，或者作为其他金融技术产品如债务抵押债券( c d o ) 和贷款抵押债 券( c l o ) 的综合风险的参考每一个大类的品种多样，其数量则大致占了已发行 的c d s 全部名义金额的三分之一。 至2 0 0 7 年底，c d s 合约的名义价值总和已经超过了其对应的现金债券一个 数量级，其合同包含了4 5 5 万亿的信用风险，在最近三年就成长了九倍之多， 而这个数字差不多是美国国内债务总量的五倍，比美国g d p 总量的三倍还多。 单名信用违约互换 3 第1 章引言 整个信用衍生品市场上至2 0 0 4 年为止绝大多数的信用违约互换还是单名形 式。单名信用违约互换( 即s i n g l e n a m ec d s ) 是一方对具有信用违约风险的单 一标的物提供保护的合约，即合约中的标的组合中只有一家公司或一份债券。当 合约中所涵盖的某一违约事件发生，如宣布破产或另外一种信用事件发生时，保 护购买方可以通过某种特定的清算程序，从提供保护方收到针对其损失的赔偿； 相应的，保护购买方就要在合约的有效期内在固定时刻向提供保护方支付费用。 保护购买方现金流 图1 2 单名c d s 现金流示意图 ( 1 约 一- - - - - - _ t 一篮子信用违约互换 一篮子c d s ，以f i r s t t o d e f a u l tc d s 为例，其合约中所规定的受保护的 具有信用违约风险的标的是公司或债券的组合，而这份合约是针对投资组合中的 第一个发生违约的公司的违约风险进行保护，即当标的组合中的第一个违约事件 发生时，提供保护方即对违约造成的损失进行偿付，然后合约终止，而在合约未 终止的有效期内保护购买方仍在固定时刻向保护出卖方支付费用。而 n t h - t o - d e f a u l tc d s 则是类似的产品，只是当第n 次违约事件发生，偿付损失 且违约终止。 担保债务契约 担保债务契约( c o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n ，简称c d o ) ，是信用衍生 品中流动性很强的一项产品，它将一篮子债券组合中因债券违约造成的损失分摊 到不同的份额里，当违约发生时由对应份额的持有人进行损失的承担。c d o 的标 的资产是质押资产( 公司债务，房屋抵押贷款，不动产投资信托的银行债务等) 。发 行c d o 的目的是将债权( 主要是贷款) 连同其风险从资产负债表中转移出去( 报 表交易) ，以减少经济资本的要求，同时获取质押资产和卖出c d o 产品的收益差 ( 套利交易) 。 按照标的资产的不同，c d o 可以分为现金流量式c d o 及合成式c d o 。现金c d o 的发行人通常为银行，银行将其债权资产包装转移给“特殊目的公司 ( s p e c i a l p u r p o s ev e h i c l e ，专门为完成资产证券化交易而设置的特殊实体，简称s p v ) ， 再由s p v 依不同的信用等级发行不同券种的凭证给投资人，由于s p v 实际买入标 4 第1 章引言 的资产，有实际的现金流出，所以称为现金c d o 。 图1 3 现金c d o 合约基本关系图 假设一份现金c d o 由1 0 0 种票面价值相同的债券组成，则其合约内容的基本 关系如图1 3 所示，份额1 承担整个债券组合中前5 的损失，而份额2 承担组 合中前5 - 1 5 部分的损失，份额3 则承担整个债券组合因违约造成的超过1 5 直至2 5 的损失，而份额4 则承受整个组合中超过2 5 的所有违约损失。 而图1 3 中所示的收益率是指每个份额的持有者因承担份额的违约风险所收 到的利率。支付费用时，这些利率是以份额中支付掉违约造成的损失后所剩余的 有效本金为基础的。以份额1 为例，开始份额持有者以投资于份额1 的全部金额 为基础得到3 5 的收益，然而一旦整个债券组合损失率达到1 ，则份额l 的持有 者已经损失掉2 0 的有效本金，所得到的收益只能建立在余下的8 0 的有效本金 基础之上。 合成c d o 与现金c d o 的区别即是，s p v 并不需要购买债券来发行c d o ，而只 需发售一揽子c d s 即可，它将出售c d s 所获得的收入将分配给各个份额的持有人， 然后根据规则来决定每部分损失由哪个份额承担。 信用违约互换指数 表1 1市场上现有的主要的c i ) si n d i c e s 5 第1 章引言 全球现有信用违约互抉指数 按区域划分 s i a e x d 日舱凹i 陶 h o d ha m e r i c a b d 弦j a p a n a u s 啦a j a j a p a n m a r k e t s m a s t e r c d x n a j g 1 2 5 币锄e 岬 f f r a h 疆凇a s mr r 睹攫c 功l e m 激嗽h y l l 哪 1 2 5 )( 5 0 ( 锄 a m 加a h 0 4 ) r 曙疆c l 琊咄 2 5 ) 回 f f r a x x c t o 岱o v e rf 3 0 ) s t i 扛瓤d i c e s f - m a n c i 如f m a n c i a b ( 1 5 1f i 强鞠曲k o r e a ( 8 ) n o n en o n e c c m u m e r1 3 4 a u r a s ( 1 m1 0 g r e a t e r e 哪0 5 ) c o n s u m e rc 删 c h i n a 渤 轴曲嚣埔泰1 3 0 )q d i c 出 5 g o o d s 钶 r e s t d n 仃 c o n s u m e rr l o n - t e c h ( 1 0 )a s i a t 3 ) 删3 d lc y 雌 砩b i n d t o b e n e 锄( 2 0 b b 螂 i r 咄l s i 嘲be 舶l f i b 3 t m t l 2 0 ) h l d 3 d ) 近年来金融市场上最引人瞩目的发展之一即是允许信用风险相关性进行交 易的流动性工具的创造。在2 0 0 4 年，市场引入标准化投资组合指数产品，“信用 违约互换指数产品 ( c d si n d e x ) 。c d si n d e x 是在最基本的c d s 上发展起来 的一种标准投资组合信用风险互换，它本质上是针对投资组合中一篮子公司所带 来的违约风险进行全面保护的保险合约。 c d si n d e x 与一般的一篮子c d s 的最大区别就是c d si n d e x 合约对于标的组 合中所有公司债券的违约都进行保护，即从合约生效开始，组合内发生违约保护 提供方便根据合约规定进行偿付，合约继续有效，只是标的组合中受保护的公司 债券数目减少一个，直到合约期满结束或组合中所有的公司全部违约合约结束。 另外，它的标准化之处就在于保护购买方在支付日期对投资组合中的每个 公司以相同的费率向提供保护方支付保费，同时每个公司在投资组合中所占权重 也是相等的。 市场上现已开发出的比较成熟的c d si n d e x 合约主要有c d xi g 和i t r a x x 投 资组合合约。c d x n a i g 投资组合包括北美1 2 5 家发行投资等级债券的公司，而 i t r a x x 投资组合包括欧洲1 2 5 家发行投资等级债券的公司，其中很多公司发行 债券所对应的单名c d s 是市场上流动性最强睁c d s ，而债券则代表了市场上交易 最活跃流动性最强的债券，它们在组合中有着完全相同的权重。 然而，这个组合中的公司并不是一成不变的，当组合中的一家公司违约，如 被调至非投资等级，或者逾期违约，那么就会有另一家投资等级的公司顶替它的 位置，而指数每六个月根据实际情况的变化做一次调整，相应的证券化产品也会 6 第1 章引言 发行。 另外，这种指数还在进行不断的开发，除了上述两种主要的e d si n d e x ，这 两类指数还包含有针对北美非投资等级公司、欧洲由投资等级降级下米的公司， 以及针对日本地区和除几本以外亚洲区等的指数，如表l _ 1 所示， e 1 7 3i n d e x 产品以其鲜明的设计特色，根据地域不同调整投资组合，组合内 公司都具有相对稳定行业版块分类和信用级别，加以它们标准化的条款，灵活的 舍约形式，再加上其拥有全球性的做市商来操作，这类产品在市场上的流动性是 相当高的。 表1 2c d si n d i c e s 投资组台内的版块和信用分布 资料来源：f i t c hr a t l a g s ，b l o c 口b e r g 信用违约互换指数份额 c d si n d e xt r a n c h e s 是建立在d d si n d e x 基础之上的合成担保债务契约 ( s y n t h e t i cc o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n s ，简称合成c d o ) ，是以相应c d s i n d e x 的投资组合定义标准份额，所以它与其它c d o 相比最大的特色即是它的标 准化，这种标准化体现在它投资组合构成标准化及份额结构的标准化卜。标准化 使得其在二缓市场上的具有非常高的流动性。 由于大多数e d 的结构是根据不同的客户要求来专门定制的，因此e d s i n d e xt r a n e h e s 开创了e d o 份额在二级市场交易的高流动性先河。 c d si n d e xt r a n c h e s 投资者，即信用保护的卖方，有机会承担e d si n d e x 中违约损失分布中特定的某一部分风险敞口，相应地承受风险所带来的回报。同 现金c d o 一样，e d si n d e xt r a n c h e s 份额持有者在承担赔偿风险的同时，会定 期收到保护购买方支付的利息，仍是以份额中剩余的有效本金为基础。 第l 章引言 特别地，由于权益份额的持有者所要承担的违约风险是相当大的，所以保护 购买方会提前向这一份额的持有者支付占本金相对较大比例的费用，且每期仍要 向权益份额持有者支付利率为5 0 0 基点的利息。 每一个份额对于投资组合中公司间的信用风险相关性有着不同的敏感度。 这主要是由于份额的标准化条款，但也是由于相应的单名c d s 及c d si n d e x 市场 高度的流动性。与之相反的是，也许是由于公司债券市场有限的流动性，证券化 公司债券指数的交易却并不活跃。 c d si n d e xt r a n c h e s 的标准化见证了向更加完全市场迈进的一大步。在有 信用风险的证券投资组合中信用风险的相关一直是关键的风险因子。然而，过去 的市场上不存在用来交易信用风险相关性的标准化产品。因此，指数份额的出现 也填补了这个空白，使某些类型的信用风险得以在个人和机构间进行转移。 除此之外，信用衍生品中还包括总收益互换、信用联系票据和信用利差期权 等四种。 总收益互换( t o t a lr e t u r ns w a p ) 是指信用保障的卖方在协议期间将参照 资产的总收益转移给信用保障的买方，总收益可以包括本金、利息、预付费用以 及因资产价格的有利变化带来的资本利得；作为交换，保障买方则承诺向对方交 付协议资产增殖的特定比例，通常是l i b o r 加一个差额，以及因资产价格不利变 化带来的资本亏损。 信用联系票据( c r e d i t 一1 i n k e dn o t e ) 是普通的固定收益证券与信用违约互 换相结合的信用衍生产品。在信用联系票据的标准合约下，保障买方或由保障买 方设立的特定目的机构根据参照资产发行票据。保障卖方先行以现金支付取得票 据，交换来自有关票据的固定复利率或浮动利率的利息收入流程。假如发生信用 违约事件，即根据双方协议的信用事故赔偿额赎回票据；如不发生信用事故，票 据在合约期满时才赎回。 信用利差期权( c r e d i ts p r e a do p t i o n ) 假定市场利率变动时，信用敏感性 债券与无信用风险债券( 如：国库券等) 的收益率是同向变动的，信用敏感性债 券与无信用风险债券之间的任何利差变动必定是对信用敏感债券信用风险预期 变化的结果。信用保障的买方，即信用利差期权购买者，可以通过购买利差期权 来防范信用敏感性债券由于信用等级下降而造成的损失， 而本文主要针对一篮子c d s ，信用违约互换指数及担保债务契约进行定价。 1 3 互换型产品的定价研究简介 先以单名c d s 的定价为例： 8 第1 章引言 无风险短期利率，墨为违约发生时的回收率，q ( t ) 为r 发生违约的概率密度，s ( o ) = 球一p 1 f 娜( 1 一b ) m = r g ( f ) ( 1 一r , ) e - p d f 巧一( o ) ：e p a t ( e k p j ：or , d a + ( f t l , ) e - h k 村) 】 ：r g ( f ) s f ( 壹p r 砷+ p 一气) p 一铀) 如 + ( 1 一r g ( 彳矽) 础兰p 肛 = s 缸( r g ( f ) s 出( 喜p c 啦+ p 一，) p 一“) d f + ( 1 一r g ( f 功础羹p h 令( o ) = ( 0 ) ，则得到s 的定价公式为 弘丽礤等等一 9 第1 章引言 g e r t o n 于1 9 7 4 年首次使用结构化方法的违约概率模型，但假定债券只能在 到期日违约，不考虑清算，利率是固定，且由于是连续模型，在接近到期日时信 用价差几乎为0 ，与事实不符。 这些缺点促使学者们对m e r t o n 模型进行大力的改进。如b l a c k - c o x ( 1 9 7 6 ) 提出了f i r s tp a s s a g e 模型，即在任何时刻，只要公司价值低于某个特定边界， 就触发了违约事件的发生，之后在f i r s tp a s s a g e 模型下， l o n g s t a f f & s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) ) ，k i m - r a m a s w a m y s u n d a r e s a n ( 1 9 9 3 ) 和b r i y s d e v a r e n n e ( 1 9 9 7 ) 分别对违约边界、回收率和利率模型做出了不同假定而进一步扩 展了f i r s tp a s s a g e 模型。 约化法并不考虑违约的原因，而是把信用事件看成是不可预测，把违约概率 当作外生变量，直接通过违约发生的“频率”( 违约强度) 来刻画，用泊松过程 发生第一次跳来表示违约的发生。 根据约化法的定义，强度为名( ，) 的p o i s s o n 过程在时间间隔【s ，t 】内发生刀次 跳的概率为 尸( m m = 功= 去( f 见( h ) d h ) 一p j ：烈出 假设r = 0 时，0 = 0 ，记f 为发生违约的时间，即第一次跳，那么 f = t i n , = 1 , t o 则公司从0 时刻开始，到t 时刻生存的概率是 尸p f ) ：j p ( m ：o ) ：p 一肛矽 相应地，其违约在t 时刻之前发生违约的概率为 尸p ，) ：1 一尸p f ) ：1 一p 一工a 特别地，当防足够小时， 尸( i + 由一m = 1 ) = 名( r ) d ， 1 4 基于投资组合信用衍生产品研究现状 对于基于投资组合的互换型产品如一篮子c d s ，c d xi n d e x ，特别是c d o 各 个份额进行定价时，公司问违约依赖性的介入为定价的准确性带来了难题。 公司间的违约依赖性既有宏观因素也有微观因素，由于企业在相同的宏观经 济背景下运营，如市场利率、通货膨胀或紧缩、g d p 的变化以及资源价格等共同 l o 第l 章引言 因素所导致的依赖性称为违约相关性；而由于两个公司直接的上下游关系如供需 关系所导致的依赖性称为违约传染性。 违约传染性是由d a v i s l o ( 1 9 9 9 ) 和j a r r o w y u ( 2 0 0 1 ) 提出的，它的思想即是 当一个公司违约时，与它相关的公司的违约强度将发生向上的跳跃，即违约强度 变大。本文中的模型是在不考虑传染性而只考虑违约相关性的框架下建立的，因 此在此不做详细叙述。 目前，对于c d o 进行定价的研究主流方法主要有c o p u l a 模型、结构化模型 和损失过程模型。 目前最受欢迎用来估计公司间依赖性结构的方法是使用c o p u l a 函数，它最 初是应用于精算学的。c o p u l a 函数的多样性也体现在用c o p u l a 模型对c d o 进行 定价中，l i ( 2 0 0 0 ) 引入单因子g a u s s i a nc o p u l a 模型，而h u l 卜w h i t e ( 2 0 0 4 ) 引入单因子双f 一分布c o p u l a 模型以及k a l e m a n o v a - s c h m i d w e r n e r ( 2 0 0 5 ) 引入 的单因子正态反转g a u s s i a nc o p u l a 模型等。其中，单因子g a u s s i a nc o p u l a 由于其简化性的假设，如公司间固定相等的常数回收率、相关性及违约强度等， 使得其在定价计算上相对容易，被称作市场标准化模型。 h u l l - p r e d e s c u - w h i t e ( 2 0 0 5 ) 引入结构化模型为c d o 及指数互换等产品定 价。这种方法是建立在m e r t o n 模型( 1 9 7 4 ) 和b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 6 ) 期权定价 理论之上的动态模型，主要是通过公司资产的相关性来研究违约相关性的。这种 方法中，公司间的相关性体现在其资产随机模型中的随机项间，定价结果通过蒙 特卡罗模拟得到。w a n g r a c h e v - f a b o z z i ( 2 0 0 6 ) 将这种方法和单因子g a u s s i a n c o p u l a 进行比较，当结构法中取常数相关性和回收率的条件时，两种方法在计 算联合生存概率和i t r a x xe u r o p e 指数份额的价格时，结果非常接近。 s c h o n b u c h e r ( 2 0 0 5 ) 弓l k 损失过程模型对相关性风险定价。这种方法下损失过 程被定义为有上界且取整的非递减的马尔柯夫链，损失的转移率是模型的关键， 分为动态和静态两种模型。 虽然单因子c o p u l a 模型是市场标准化模型，然而在h u l l w h i t e ( 2 0 0 4 ) 中 却证明了它并未很好地反映市场价格，通过模型及市场数据所推出的隐含违约相 关性出现了在份额间出现了明显的“微笑曲线”。而单因子双f 一分布c o p u l a 模型 以及单因子正态反转g a u s s i a nc o p u l a 模型相比之下与市场数据更加吻合。 自从c d si n d e xt r a n c h e s 的出现，人们试图找到一种方法来描述相应c d s i n d e x 内资产的市场隐含相关性。目前，比较受到认可的主要有两种一复合相关 性和基础相关性。复合相关性就是计算使得每个份额分别符合市场价格的相关 性，然后对其进行了一定的复合从而反应市场内的相关性。而目前较受推崇的是 基础相关性，其将所有份额组合起来成为一个特殊的“权益份额”，而能过几个 第1 章引言 份额市场报价的和来反求这个“权益份额”的隐含相关性。0 k a n e - l i v e s e y ( 2 0 0 4 ) 计算证明通过g a u s s i a nc o p u l a 得到的c d si n d e xt r a n c h e s 的复合相关 性和基础相关性分别符合“微笑曲线”和“倾斜曲线”。 下面是计算违约时间联合分布的常用方法： 利用蒙特卡罗模拟的0 0 p u i a 方法 l i ( 2 0 0 0 ) 开创性地利用连接分布函数即c o p u l a 函数来推导多个公司的违约 时间联合分布。对于所个同分布的随机变量u ，c o p u l a 函数定义为 c ( ，1 2 ，1 m ，力= p r u l 1 1 ，u s 材2 ，u 二】 对于给定的单变量公司违约时间分布函数f 。( x 0 ，五( 而) ，( ) ， c ( f l l ( ) ，最( ，2 ) ，吒( 0 ) ，p ) = p r u l 互( ) ，u s e ( 乞) 9 , - - ，u 埘巴( 乙) 】 = p r 【巧。1 ( u ) f l ，e 。1 ( u s ) 乞，c _ ( 玑) i 二】 = p r e x l ，l ，五乞，爿乙乙】 = f ( ，l ，乞，0 ) 采用多变量正态c o p u l a 函数，就得到 ，( ，l ，2 ，0 ) = 。( - 1 ( 互( ”，o - 1 ( e ( 乞) ) ，- 1 ( e ( 乞) ) ) 其中，是具有相关性系数矩阵的拼维正态累积函数。 引入另一组随机向量k ，k ，】二l 来模拟相关的违约时间，使得 x = - 1 ( 巧( ，l ”，k = m - 1 ( e 心) ) ，匕- 1 ( 吒吒” ( 1 1 ) 因而，在y 和丁之间就存在着1 对l 的映射。接着利用蒙特卡罗模拟方法从 具有相关系数矩阵的的所维正态分布中模拟出k ，艺，匕，再利用 霉= e 。1 ( m ( z ) ) ，i = 1 ，2 ，聊 便可以得到五，互，乙，在这种模型下可以对任何基于投资组合的信用衍生 品结构进行定价。 单因子g a u s s ；a l l0 0 p u l 8 方法 单因子g a u s s i a nc o p u l a 方法是基于l i ( 2 0 0 0 ) 中的正态c o p u l a 方法，但由 1 2 第1 章引言 于冥假设z 服从模型 y | = a i m + j 两z l i = l ，。，m 其中m 和互是独立的标准正态分布变量，r - 1 q 1 。上式显示z 间的相 关性依赖于一个单独的共同因素m ，而z 和间的相关性即是q 乃。以日记为 互，则有， p r ( y t y l 肘) 叫再y - a i m 再由公式( 1 1 ) ，得到 眺刮蛉日糌 这样就得到了每个公司违约时间分布的条件概率，因此，对于，f 2 ，0 ，有 p r ( t l 丁，2 r ，乙 r ，气 丁，气 丁) + o + + o 故我们所要求的违约时间联合分布概率就有如下封闭形式表达， 尸( 气 丁，气 丁，气 丁) = c ( ，丑，如，厶；，t ) id ( t ；r ，d ( 2 3 ) 2 e x p 似t ；r , t ) 一蔷呐丁) 气+ ，( h ) 2 2 本章小结 在对基于大规模投资组合的信用衍生产品进行定价时，公司间的违约相关性 是不可忽视的重要因素。c o p u l a , 模型是当前市场上主要采用的一种较为可行和 1 6 第2 章违约时间联合分布的p d e 模型 有效的模型。 而本章引入在违约强度满足v a s i c e k 模型的条件下违约时间联合分布的p d e 模型。由其封闭形式表达公式( 2 3 ) ，确定各个公司违约强度随机模型中的参数， 给出t 时刻的违约强度值，便可以得到从初始时刻点t 时刻观察，在丁时刻任意 n 个公司的联合生存概率。因此，理论上利用此模型可以有效地为包含投资组合 的任何信用衍生产品进行定价 然而，需要注意的是，由于此模型所推导出的联合生存概率是建立在一个“假 设一的由投资组合内公司联合发行的“联合债券”定价基础之上的。因此，接下 来本文将创新性地利用这一模型为一篮子c d s 、c d si n d e x 及c d o 产品进行定价 计算，来验证应用此模型进行投资组合信用风险产品定价的准确性和可行性。 1 7 第3 章v a s i c e k 违约强度模型下违约时间联合分布封闭解的局限性 第3 章v a s ic e k 违约强度模型下违约时间联合分布 3 1 关于v a sic e k 模型 封闭解的局限性 第2 章中我们引入具有违约相关性的任意刀个公司生存时间的联合分布概率 封闭形式解，这也将是本文基于具有违约相关性投资组合的信用衍生产品定价模 型的基础。然而，单因子v a s i c e k 形式的违约强度模型是得到这一封闭形式解的 关键假设，即组合内每个公司的违约强度服从 d a ( ，) = a ( b 一名o ) ) 西+ t r d w ( t ) 这一模型是由y a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 提出的利率期限结构模型，这一连续时间模型 在实践上比较客观地反映了利率波动性的市场化程度。其解可以写成随机积分形 式： 五o ) = 6 + ( 五( o ) 一6 ) e x p ( - a t ) + a 【e x p ( - a ( t - s ) ) d w ( s ) 可以观察到，当这个模型用于描述公司的违约强度时，名( r ) 可能取到负值， 不符合违约强度的非负性，相应会造成由其所推导出的生存概率出现大于l 的情 况，这就是采用v a s i c e k 模型来描述违约强度的主要局限性。为克服v a s i c e k 模型的