（应用数学专业论文）双曲等距群的离散性.pdf

双曲等距群的离散件 摘要 双曲几何与离散群是现代复分析几何理论中的一个重要研究方向，其研究成 果和研究方法在很多方面有着重要的应用正如实双曲几何与m s b i u s 群理论一 样，如何判断一个作用在复双曲空间上的复双曲等距群是离散群是一个很重要的 基本问题j o r g e n s e nt 建立了二维m s b i u s 群的j o r g e n s e n 不等式，从而给出了一 个m i s b i u s 群是离散群的必要条件作为双曲型r i e m a n nf b j 面的高维推广，复双曲 空间及复双曲群的研究一直受到人们的关注本文主要是对p u ( 3 ，1 ) 中含有螺旋抛 物元素的非初等子群建立j o r g e n s e n 不等式的特殊形式一s h i m i z u 引理也就是研 究作用在双曲空间( 实的或复的) 上的等距群的性质得到了p u ( 3 ，1 ) 中一个包含 螺旋抛物元素的非初等子群是离散子群的必要条件；且利用交比和关于双曲元素 的j o r g e n s e n 不等式证明一个关于离散非初等子群中双曲元素的领不等式，给出 了r i e m a n n 曲面上精确不变的测地线的带状邻域的半径公式 关键词：双曲空间；等距群；螺旋抛物元素；非初等子群；离散子群；交比； 精确不变 i l 硕j 尊 位论文 a b s t r a c t h y p e r b o l i cg e o m e t r ya n dd i s c r e t eg r o u pa r ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no f t h em o d e r nc o m p l e xa n a l y s i sg e o m e t r i ct h e o r y , t h er e s u l t so ft h e i rr e s e a r c ha n d r e s e a r c hm e t h o d sh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a n ya s p e c t s a sr e a lh y p e r b o l i c g e o m e t r ya n dm 6 b i u sg r o u pt h e o r y , h o wt oj u d g ea c t i n go nc o m p l e xh y p e r b o l i c i s o m e t r yg r o u po ft h ec o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e i sad i s c r e t e g r o u p i sav e r y i m p o r t a n ta n df u n d a m e n t a lq u e s t i o n s j o r g e n s e nt e s t a b l i s h e daj o r g e n s e ni n e q u a l i t y o ft w o - d i m e n s i o n a lm s b i u sg r o u p ，w h i c hg i v e san e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ram 6 b i u s g r o u pi sd i s c r e t eg r o u p a st h ep r o m o t i o no fh i g h d i m e n s i o n a lo fh y p e r b o l i cr i e m a n n s u r f a c e ，t h er e s e a r c ho fc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c ea n dc o m p l e xh y p e r b o l i cg r o u p s h a sb e e na t t e n t i o n n n e dt om a n yp e o p l e t h i st h e s i si st oe s t a b l i s ht h es p e c i a lf o r mo f j o r g e n s e ni n e q u a l i t y - - s h i m i z ul e m m ao fn o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po fp u ( 3 ，1 ) w i t h s c r e wp a r a b o l i ce l e m e n t w h i c hi sa l s ot oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h ei s o m e t r i c g r o u p sa c t i n go nr e a lh y p e r b o l i cs p a c eo rc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e w eo b t a i n e da n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ed i s c r e t e n e s so fn o n - e l e m e n t a r ys u b g r o u po fp u ( 3 ，1 ) w i t h s c r e wp a r a b o l i ce l e m e n t a n dm a k eu s eo fc r o s sr a t i o sa n dj o r g e n s e ni n e q u a l i t yo f h y p e r b o l i ce l e m e n t st op r o v et h ec o l l a ri n e q u a l i t ya b o u tah y p e r b o l i ce l e m e n to f d i s c r e t en o n e l e m e n t a r ys u b g r o u p a n de d u c et h er a d i u sf o r m u l a ro fap r e c i s e l y i n v a r i a n ts t r i pn e i g h b o r h o o da b o u tg e o d e s i c k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs p a c e ；i s o m e t r i cg r o u p s ；s c r e wp a r a b o l i ce l e m e n t ； n o n - e l e m e n t a r ys u b g r o u p ；d i s c r e t es u b g r o u p ；c r o s sr a t i o s ； p r e c i s e l yi n v a r i a n t i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 箍镪霞日期：2 。d 罗年占月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：2 d d 7 年月岁日 日期：哆年6 月厂日 硕f 。学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 双曲几何与离散群是现代复分析几何理论中的一个重要研究方向，其研究成 果和研究方法在r i e m a n n 曲面，低维拓扑，复动力系统，t e i c h m 硼e r 空间等方面 有着重要的应用由于a h l f o r sl v ，t h u r s t o nw ，m o s t o wg d 等人的工作，双 曲几何与离散群在上个世纪得到了很大的发展，并得到了许多标志性的研究成 果例如：a h l f o r sl v “j 在上世纪七十年代仔细研究了有限生成的k l e i n 群； t h u r s t o nw 【2 】则利用双曲几何与离散群理论研究了三维双曲流形的拓扑性质，并 因此得到了f i e l d s 奖；m o s t o wg d ，f 3 】则在上世纪八十年代证明了著名的剐性定 理，m o s t o w 刚性定理表明作用于高维双曲空间且具有有限上体积的k l e i n 群的 t e i c h m i l l e r 空间是平凡的：t u k i ap 1 4 5 j 则在19 8 5 年讨论了高维m s b i u s 群在极限点 的微分与刚性等问题；p a t t e r s o ns j 【6 7 1 和s u l l i v a nd 【8 ，9 等人研究了离散群的极限 集，讨论离散群的遍历理论，得到了许多深刻的定理 如何判断一个作用在双曲空间上的等距群是一个离散子群是一个基本而又很 重要的问题，1 9 7 6 年，j o r g e n s e nt 1 1 0 1 建立了二维m s b i u s 群的j o r g e n s e n 不等式， 从而给出了一个m 6 b i u s 群是离散群的必要条件 j o r g e n s e n 不等式设由m s b i u s 变换厂和g 生成的群是离散且非初等的，那么 下列不等式成立： 仃2 ( 厂) 一4 i + l t r ( 叫g ) - 2 1 1 利用上面的不等式，j o r g e n s e nt i i a 2 】讨论了离散m s b i u s 群的代数收敛性等问 题，并建立了离散准则 由于j o r g e n s e n 不等式的重要性，如何推广此不等式，给出高维m s b i u s 群是 离散群的必要条件成为一个倍受人们关注的问题m a r t i ng j 【1 3 1 在1 9 8 9 年利用 l i e 群的z e s s h a u s s 邻域，建立了第一个高维m 6 b i u s 群的j o r g e n s e n 型不等式，并 证明了有限生成的高维非初等m s b i u s 群的离散准则；蒋月评在文 1 4 中利用高维 m 6 b i u s 群c l i f f o r d 代数表示和m 6 b i u s 变换的共轭不变量，建立了高维m 6 b i u s 群的 几何形式的j o r g e n s e n 型不等式，且这种j o r g e n s e n 型不等式是共轭不变的；利用 高维j o r g e n s e n 型不等式，陈敏f 1 5 和蒋月评分别建立了任意高维非初等m s b i u s 群 的离散准则 作为双曲型r i e m a n n 曲面的高维推广，复双曲空间及复双曲群的研究一直受 双曲等距群的离散十牛 到人们的关注特别是上世纪八十年代以来，复双曲几何与复双曲群理论在 r i e m a n n 几何，复分析，辛几何，相切几何等多个数学领域的影响下不断丰富， 并得到很多重要的研究结果例如：g o l d m a nw m b 6 在19 9 9 年出版了第一本复 双曲几何的专著，对这一领域的研究成果进行了全面的总结；m o s t o wg d 【3 证明 复双曲空间中的p o i n c a r e 多面体定理；k o r a n y ia 和r e i m a n nh m 作用在复双曲 空间的边界- - h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射，建立了h e i s e n b e r g 群上的拟共形映 射的基本定理；1 9 9 6 年，g o l d m a nw m 和p a r k e rj r 在【l7 中第一次讨论了复双 曲三角群，并提出了关于复双曲三角群是离散群的著名猜想- - g o l d m a n p a r k e r 猜 想；通过建立基本域，并利用数值分析的方法，s c h w a r t zr e 在文 1 8 中证明了 g o l d m a n p a r k e r 猜想，并发展了一系列研究复双曲几何的新方法，由于s c h w a r t z r e 在复双曲几何领域的创新性工作，他应邀在2 0 0 2 年举办的世界数学家大会上 做了题为“c o m p l e xt r i a n g l eh y p e r b o l i cg r o u p s ”的4 5 分钟报告9 1 ，在此报告中，他 介绍了复双曲三角群的最新研究进展，并提出了一系列关于复双曲三角群的猜想 正如实双曲几何与m 6 b i u s 群理论一样，如何判断一个作用在复双曲空间上的 复双曲等距群是离散群是一个很重要的基本问题k a m i y as 首先讨论了这一问 题，并在 2 0 】中分别建立一些特殊形式的j o r g e n s e n 不等式；p a r k e rj r 在文 2 1 分别讨论了包含垂直h e i s e n b e r g 平移和一般h e i s e n b e r g 平移的j o r g e n s e n 不等式； 利用稳定盆定理，b a s m a j i a na 和m i n e rr 在文 2 2 中证明了包含斜驶元素和椭圆 元素的j o r g e n s e n 不等式；j i a n gy p ，k a m i y as 和p a r k e rj r 则在文 2 3 中给出了 用交比刻画的j o r g e n s e n 不等式；j i a n gy p 和p a r k e rj r 在文 2 4 给出了包含螺旋 抛物元素的二维复双曲群的j o r g e n s e n 不等式 1 2 主要研究结果 s h i m i z uh 在文 2 5 】中证明如下的s h i m i z u 引理： s h i m i z u 引理若g 是p s l ( 2 ，r ) 中包含映射g 的离散子群，映射g ：z z + t ， 其中t 0 g 属于g 若h ：z _ 旦三氅是g 中不固定无穷远点的任意元素即 c z 十口 a d b c = 1 且c 0 ，那么下列结果成立： ( 1 ) i t c 1 ； ( 2 ) h 的等距圆的半径至多是t ； ( 3 ) 扩b ，h j 3 ； ( 4 ) 每个高度大于t 的极限圆在h 的作用下和它的象不相交 s h i m i z u 引理是j o r g e n s e n 不等式的特殊形式1 9 8 5 年，o h t a k eh 将此引理推 广到玎维m 6 b i u s 群，其中一个生成元的有限次幂是严格抛物元素；w a t e r m a np l 则在文 2 6 中将此引理推广到包含任意抛物元素的力维m 6 b i u s 群；k a m i y as 和 硕j ：学位论文 p a r k e rj r 则在文 2 7 中将其推广到二维复双曲群本文在第三章将讨论作用在三 维复双曲空间上的包含螺旋抛物元素的复双曲群的离散性，得到如下结论： 定理3 2 1 设a 是三维复双曲群p u ( 3 ，1 ) 中的螺旋抛物元素，且a ，b 具有形 式： a = o0函 已确0c 0p 峨c oo1 若么( ) = ，b ( ) ，如果满足 b = ab ef j k ，2 p cd g h ，m g r ( ，z 0 )( 3 1 ) 4 虹； 一，| 1 2 ( 1 p 调一i + i p 峨t i ) 2 + ，( i ( 1 2 + l 1 2 + 1 p 1 2 + i g l 2 ) ( 1 p 调一，l + i p 哆一，1 ) + l 甩z 1 2 + 2 ( 1 e 吗一1 i + l e 如- 1 1 ) 1 ( 3 2 ) 么= 壹0 0i 0 ，b = 量d 兰e 三 c g 0 ，c 3 3 ，么= l p 御 j ，= j厂j( 2 )( 3 3 ) l - o o jl g j 。卜7 ( p 一1 ) ( e i e - - 1 ) 1 2 + r ( i d l 2 + i j l z l 2 ) e i 8 _ 1 1 + g t2 j + 2 e i e - 1 1 1 则群( 彳，b ) 是不离散的 j o r g e n s e n 不等式的一个重要应用是建立离散群的领不等式，讨论双曲流形或 r i e m a n n 曲面上测地线的管( 带) 状邻域的半径，并由此估计双曲流形的体积k e e n l 在文【2 8 中讨论了r i e m a n n 曲面上的带状邻域的半径；g e h r i n gf w 和m a r t i ng j 在 2 9 】中讨论了二维m 6 b i u s 群的领不等式，并估计了三维双曲流形的体积下界； k e l l e r h a l sr 利用领不等式在文 3 0 】中估计了四维双曲流形的管状邻域的半径等 本文在第四章将利用交比和关于双曲元素的j o r g e n s e n 不等式证明一个关于 离散非初等子群中双曲元素的领不等式，并给出r i e m a n n 曲面上精确不变的测地 线的带状邻域的半径公式 定理4 2 1 若厂cp s l ( 2 ，r ) 是一个离散的非初等子群，如果双曲元素a e 厂， 满足k = l t r 2 ( a ) 一4 2 1 4 ，则围绕a 的轴存在一个精确不变的带状邻域的半径r ， 双曲等距群的离散件 满足 s i 矗：r ：三( 塑丝+ 土一2 ) ， 2 、2 k2 k 7 推论4 2 2 若厂cp s l ( 2 ，r ) 是一个离散的非初等子群，如果双曲元素彳厂具 有传递长度f ， b ( t r ( i 一) ) = t r ( 1 _ ) ， b 0 ，则定义围绕，的半径为，的带 状邻域为c = c ( t ，) = 缸h 2 ：p ( x ，) ，) 2 2 复双曲空间 在本节我们介绍复双曲空间的一些基本概念，更多的概念可以查阅文献 16 】 与 3 3 2 2 1c 上的h e r m i t i a n 形式 若a = ( a 打) 是一个k x l 的复矩阵，则彳的h e r m i t i a n 转置为l xk 的复矩阵，即 a = ( 一a j i ) ，类似于一般的转置，两个矩阵乘积的h e r m i t i a n 转置等于两个逆序矩 阵的h e r m i t i a n 转置的乘积，即( 彳曰) = b + a 显然( ( 彳。) ) = a ，一个kx k 的复矩 阵a 是h e r m i t i a n 矩阵当且仅当a = a 若彳是一个h e r m i t i a n 矩阵，是a 的特 征值，x 是彳的特征向量，则可证是实的，证明如下： + x = x 似) = x 似= x ax = ( m y ) x ：似) x = 趟x ， 因为x x 是实的且非零的，因此可得是实的 对于每个k x k 的h e r m i t i a n 矩阵彳，我们可通过( z ，w ) = w a z 来定义h e r m i t i a n 形式 ，) ：c c 一c ，其中w 和z 是c 中的列向量h e r m i t i a n 矩阵是半双线 性的，即对第一个因子是线性的，对第二个因子是共轭线性的，换句话说，对c 中的列向量z ，z ，z ：，w 及复标量五，有 = w + a ( z 】+ z 2 ) = w a z 】+ w + a z 2 = + ( z 2 ”， ( 名z ，”= w + 彳( 2 z ) = 2 w a z = 2 ( z ，w ) ， ( z ) = z a w = z a + w = ( w 。a z ) 4 = ( z ，” 由以上可得 ( 力z ，力w ) - 1 名1 2 ( z ，w ) 若c m l 是非退化的，具有不定h e r m i t i a n 形式且符号差为( n , 1 ) 的玎+ 1 维复向量 空间，即( ，) 可以表示为一个非奇异的( ，z + 1 ) ( 玎+ 1 ) 的h e r m i t i a n 矩阵，具有，2 个 正的特征值和1 个负的特征值，按照e p s t e i n 3 4 我们定义了两种h e r m i t i a n 形式， 若z ，w 分别是列向量( z 1 ，z 。，z 川) 7 和( w 1 ，w 。，w 州) ， = i 力1 2 ( z ，z ) ，所以允 是负的，零的或正的当且仅当z 是负的，零的或正的 在c 吼1 中我们定义z 川- t t ：0 的点上的一个投影映射如下： 复双曲空间h 兰是复投影空间p c 几1 的子空间，它是由负向量空间k 投影生成 n c 10；j h “ z ；2 ， z z 。，。，。l h 硕百j 学位论文 自i i l m , 一, , = qg l j i j | _ 目| = i i 目_ _ 的，即 日：= z p c 凡1 ：( z ，z ) = o ，并且同胚于s 2 ”1 对于两种h e r m i t i a n 形式我们通过定义z 州= 1 来讨论复双曲空间的两种标准 模型，换句话说，如果取c 州中的列向量三= ( z ，z ：，z 。，i ) 7 ，则讨论 三，三) 是负的情 况 对于三日二，我们介绍具有第一种h e r m i t i a n 形式的复双曲模型如下： ( 三，三) 1 = z l z l + + z 。z 。一1 0 ， 即 lz l ， i = 1 因此z = ( z 1 ，一，z 。) 在c “中的单位球内，这是复双曲空间上的单位球模型的形 式，在球s 2 ”1 上单位球模型的边界为 旧f 2 + + 【z 。f 2 = l ， 我们定义单位球内( 或它的边界上) 的点z = ( z l ，一，z 。) 到c 1 上的标准提升 是c 叫中的列向量三= 0 。，乞，z 。，1 ) ，它的前靠个坐标是z 的坐标，最后一个坐标 是1 因此如果三和谛是点z 和w 的标准提升，则有 三，1 谤! = w + z 一1 = z l w l + + z 。w 。一1 ，z ，叻! = wz l = z l w l + + z 打w 打一l ， 我们介绍具有第二种h e r m i t i a n 形式的复双曲空间模型， 对于三h i ，则 ( 三，三) 2 = z 1 + z 2 2 2 + + z 。2 月+ z l 0 ， 即 2 9 t ( z 1 ) + 2 o ， i = 2 因此z = ( z l 一，z 。) 在c ”中的一个域内，它的边界是一个抛物面 2 9 ( z ，) + iz ，1 2 = 0 ，我们把这个域定义为s i e g e l ，于是得到h c _ h l 拘s i e g e l 域模 i = 2 型： s i e g e l 域： 矿”= z = ( z l ，- - ，z 。) c “：2 吼( z 1 ) + n 盯 ， 双仃n 等趴群日习高教件 s i e g e l 域上的一个点z 到c 州的标准提升为向量三= ( z l ，一，z 。，1 ) 7 c 1 ，我们通 常加点o o 来使s i e g e l 域是紧的，而点的提升为向量鑫= ( 1 ，o ，o ) 7 c 1 在日二上的投影模型的度量称为b e r g m a n 度量，b e r g m a n 度量的距离函数公式 p ( ，) 定义为： 删s h 2 掣，= 器篙w ， z z ，z k ，w ， 对于球模型和s i e g e l 域模型我们把三，协代入上述公式能够求出z 与w 之间的 距离，显然这个公式与我们选择的z ，w 在c 叫中的提升三，协无关 2 2 3 第二种h e r m i t i a n 形式的酉群 若彳是保持第二种h e r m i t i a n 形式不变的矩阵，对于v ec 几1 ，w ec 1 w + a 4 3 2 a v = ( a v ，a w ) 2 = ， ， s i e g e l 域的边界是由高度t = 0 的极限球面的单点紧化构成的 汨；= z = ( f ，1 ，0 ) ：f c ”1 ，v r ) u ， 若日；上的个子集u 叫做以一为底的子极限球形域，则满足以下三个条件： ( 1 ) 总存在t 0 使得u 包含在u ，内； ( 2 ) 对任意的( f ，v ，f ) 总存在一个u 。使得( f ，v ，u 。) 包含在u 内； ( 3 ) u 不包含所有的极限球 若s i e g e l 域o t r - g 。) 上的点可以表示 硕f ：学位论文 w l = f c 纠， k = 三( f 阱叭 限制在s i e g e l 域上的h e r m i t i a n 形式为 ( ( ，v ，) ，( f ：，v ：) ) = ( ( f ，f ：) ) 一圭( 1 l 螽1 1 2 + 1 1 f ：i i - - i ( v l - - v 2 ) ) ， 通过h e i s e n b e 唱平移作用在自身的h e i s e n b e 娼群见 3 6 】，对任意的( 幺，v 。) 筑，有 乇m ：( f ，v ) h ( f 十厶，v + v o + 2 i m ( ( 彘，f ) ) ) = ( 氩，v 。) ( f ，v ) ， 对于r ，我们定义通过( 0 ，) 的h e i s e n b e r g 平移为垂直平移 双曲等距群的离散十牛 第3 章p u ( 3 ，1 ) 中含有螺旋抛物元素的离散子群 3 1 引言 本章的主要目的是对p u ( 3 ，1 ) 中含有螺旋抛物元素的非初等子群建立 j o r g e n s e n 不等式的特殊形式一s h i m i z u 引理 k a m i y as 在文 3 7 中讨论了p u ( 2 ，1 ) 中包含垂直平移的s h i m i z u 引理，得到如 下结论： 定理3 1 1 若彳是p u ( 2 ，1 ) 中固定o o 的通过( 0 ，t ) 的垂直平移，b 是p u ( 2 ，1 ) 中不 固定o o 的任意其它元素且表示等距球b 的半径，如果满足 三 1 ， r ； 则群( 彳，b ) 是不离散的 p a r k e rr j 讨论了p u ( 2 ，1 ) 中包含h e i s e n b e r g 平移的子群的一致离散性，得到 定理3 1 2 若彳是p u ( 2 ，1 ) 中固定o o 的通过( z ，f ) 的h e i s e n b e r g 平移，b 是 p u ( 2 ，1 ) 中不固定o o 的任意其它元素，且表示等距球b 的半径，如果满足 p o ( b ( o o ) , a b ( o o ) ) p o ( b - ( o o ) , a b - ( o o ) ) + 4 叫2 l ， 则群( 彳，b ) 是不离散的 蒋月评和p a r k e rr j 合作，讨论了p u ( 2 ，1 ) 中包含螺旋抛物元素的子群的一致 离散性，得到 定理3 1 3 若a 是p u ( 2 ，1 ) 中固定o o 的螺旋抛物元素，l 表示a 的轴且 e i e u ( 1 ) 表示彳的旋转部分，假设i p 埘- i i l ，7 表示关于l 的a 的c y g a n 平移长 度，假设g 是p u ( 2 ，1 ) 中包含a 的一个离散子群，b 是g 中不固定的任意其它元 素，表示等距球b 的半径，若 r = m a x p o ( 三一，b ( o o ) ) ，p o ( 一，b 。1 ( ) ) ， 则 ，2 尺2 妙一1 1 f 咯4 螂+ 而 k a m i y as 和p a r k e rr j 讨论了p u ( 2 ，1 ) 中含有正向螺旋抛物元素的子群的离 散性，得到 硕十学位论文 么= 壹0 荨 ，b = 量兰； ， 其中a 是p u ( 2 ，1 ) 中固定的正向螺旋抛物元素，e w u ( 1 ) 表示a 的旋转部分且假 i 没l e g o - 1 i i 1 ，b v u ( 2 ，1 ) 中不固定的任意其它元素且b 表示等距球b 的半径， 丛坠巡型巡芝堕地 ( ! + 4 1 - ，、4 e a - 1 k r ； z 则群 a ，b ) 是不离散的 在本章中，我们将对定理3 1 4 进行推广，得到以下定理 3 2 主要结论 定理3 2 1 设彳是三维复双曲群p u ( 3 ，1 ) 中的螺旋抛物元素，且a ，b 具有形 式： a = 10 0p 码 00 0o 0i t 00 p 峨0 o1 若a ( o o ) = ，b ( o o ) 一，如果满足 b = 口b ef j k 以p cd gh ，m g ，一 ( 玎0 )( 3 1 ) 4 | 孑 一钏2 ( p i 岛一l + l e 峨一- i ) 2 + ，( 1 4 2 + i 卅2 + i p l 2 + t g l 2 ) ( 卜谒一- l + i e f 岛一，i ) + i 咒z 1 2 + 2 ( p - 1 1 + 1 p 岛一1 i ) ，j一2 ， d u 1ij矿 胂 州、一 g + + 厶以 槲 知盯引u b 可一 一 砸 0 一憎 一啦 。 一k一乙丌业 一k 一乙 一厶一岛一 一 二，月一，屯万i 1k以 骺乙p吼 屯 旷u以 y ，扎、 双f 仃等距群的离散住 y 胀廿刚；： 卜加2 日胛 = | - y 乏z yy 羔 c l b 日一】y ( 打) j胛一打 + 矿 e 了p 曼 一， y x 枷譬 l - 惦 枷乏 【b 。 州0 l - y 阿柳圭 l g 。j y 晤弘精 医万】 p 了p 曼 舫p 斗 外j y k 1 8 ， y 陬柳 l 鸟。j 订虱矿 l q 。j 矿 、l，j ， 一 1 j o峨o 、j吖，、jbri， 一” 降1iij y ， 1j 柳 。啦k 嘲 0 p p 矿啦0 万i 万 y e r_，j 一，- ， f 、i， 1，j 0 0 2 。l + 1，j ，一2 豇 k j 巳 以 矿矿 、r，ji ， j 一 llj矿 f 毋厶jg 五以 。旷让b y ，l，、 j i 训一 y r-。j o 慢 e o 最 o p 。l 矿 。l + ，； o 幔 的以 叫 o o 幔 一旧 一 e 7 1 叫 哪 o 1ij已 习邢 一六一氍一。眶e y 、，l，j ，一 1j 0 慢 p o ，厂 打 ，f 1i，j 生吼 。l 矿矿 l l f j 1 2 o 镌 的!哪 ，一，- d f m j 巳几 竹 矿矿j a ， 一一 ，i l j y 邑l j 7 i 一叫 嘲 o 1iiij 碉刊卟 一h 、 r_，j o o眦o 。，。l + 矿 1 j o 幔 p o 1，llll，j 打 k j 巳几 玎 矿矿 、rj，一： ， ， 一 1 i l j y n l毋l j 硕f ：学位论文 定义m 。= - y 乏 lb 。 m 。= 脯p 曼 y 矿卧户 p 讣 p 墨 和y 是对角矩阵，则有 由以上易知 并且 由此得出 之 一，) y i l = | 卜 丢荨 一j e 了 】k 划i p 0 i v ( i t ) j0 ，l | = | l 矿卧，刈 m 删心。l | ， 0 y p 了p 曼 y i l = o y 2 = n m 州阮1 1 2 + 2 1 1 i e o 又有 n 驯l = 司l y ； 一，) 矿1 2 + 9 矿 ； c 豇，1 1 2 + 8 b g ，矿c 豇，吉| 1 2 + i ，z ，1 2 忆 ( 3 5 ) ； 一卅1 2 ( 1 p 限一- l + i p 幌一，i ) 2 + r ( 1 d 2 + i 爿2 + l p l 2 + i g l 2 ) p 眼一t l + l p f 巴一t 1 ) + i 删r 1 2 ) ， 有( 3 2 ) 可知 1 9 力 阳_ 气几 行 矿矿 、，t，j一2 ，a ， 一 似 1l，j矿 h t i 氍l l 7 一 嘶 o 1ij 硼刊卟 一，一六一一。 广l 一口y 肟临e f p 避 o p l 为 因 厶k 仃u 矿 ，一2 、l ， f o 1j 厶 。l 矿 ，一2 、l，j 双f | 1 等距种的离散性 i m i + 2 雌斗卜t ， m n l i e ：二卜卜， l l m 肼l i | ( 1 1 m 。i i + 2 j | 髻p 墨 一刈川m 川尼o m 川后肿1 i i m i i ， 又因为v 是可逆的， 当y 一一时， k 小， 另一方面，我们有 9 m 。l i _ 0 ， 以寸一 则我们有： 羔 _ 习， 2 j 习，刀。一。 【吃+ 。 q 州】y ( 打) - 吉 ( 卅一1 ) 三h 陆。d 矿2 蚤荨 p 了e 曼 + 口。e 习 p 了p 曼 打) 矿c 豇， 叫y 2 肾q 乃 。 = 【吃 q y ( 豇) 乇 吼 y 妻荨 p 了e 曼 y矿 戛 c 打户 e 万】 p 了p 曼 y c 豇声一n n i r = 【吃巳 y ( 豇) 七( 一1 ) + 【o1 】) y 晤刖kp 斗忸毋 万】k 斗们 2 0 1 + f 。 j ( 3 6 ) 硕i 学位论文 = 陋乞) ( 吼一1 ) + 【o1 】 + 陋 y 任刖kp 二 y y 任刖k 列k 习ke 坤毋 p 斗塌 外 巳，矿c 订， c 巳一，li v e p 了。g 三 y 翻 令x 。= 【色巳) ( 一1 ) ， 恸 辫。t i i x 。1 1 l