（应用数学专业论文）几类新型投资连接保单定价的进一步探讨.pdf

摘要 对于依赖于随机因素的投资连接保单的定价，传统的精算学方法已难以胜 任，而在金融经济学中，对此类随机因素的问题已有了一套较完整的方法。 本文对可转化为保障型的投资连接型保单作了进一步的深入探讨。在以往的 可转化为保障型投资连接保单定价模型的基础上，考虑了更符合社会大众投资需 求的新型投资连接型保单产品，即保单持有人的期望收益值随着时间而增长，当 具有不确定因素的投资账户值以不同形式达到该期望收益值时，保单持有人将其 投资账户值转化为具有确定因素的期望收益值，从而将此投资连接型保单产品转 化为保障型的保单产品。本文针对下述三类新型投资连接保单展开讨论： 在第一类保单中，保单持有人事先确定一个时刻和与这个时刻相关的期望收 益值，当投资账户运行至该固定时刻时，保单持有人有权选择：如果此时的投资 账户值达到期望收益值，就将投资账户固定为其当时值。否则作为一般的投连保 单继续持有。本节分别运用偏微分方程的方法和期望贴现方法给出保单定价。 在第二类保单中，保单持有人可以选择多个时刻和与这多个时刻相对应的期 望收益值，当投资账户值首次达到其中一个时间点上的期望收益值时，投资账户 值就被固定为其当时值，保单转化为保障型保单，如果直到最后一个时刻投资账 户值还未达到相应时间点上的期望收益值，保单仍作为般的投连保单持有。本 节采用偏微分方程和随机过程相结合的方法讨论了保单的定价问题。 第三类保单则是考虑任意时间点上保单的可转化性，即在保单有效期内任意 时刻一旦投资账户值达到相应时刻的期望收益值，在此后的时刻内投资账户价值 由期望收益函数值代替，从而使投连保单转化为具有确定收益的保障型保单。本 节运用带有复杂边界条件的偏微分方程对保单定价予以求解。 关键词：期望收益函数，投资账户，保障型保单，偏微分方程，风险中性概 率测度。 l a b s t r a c t t h e p a p e rf u r t h e rd i s c u s s e dt h ep r i c i n go ft h r e en e wk i n do f u n i tl i n k e dp o l i c i e s t h em a i nd i f f e r e n c ef r o mt h ep r e v i o u so n e si st h a tt h e p o l i c yc o n c e r n e d i nt h i s p a p e rg i v et h eh o l d e r sm o r er i g h t st h a nb e f o r e ，a n de n t i t l et h eh o l d e r st oe n t e ri n t o t h ei n v e s t m e n ta sp o s s i b l ea st h e yc a n ，s ot h a ti t i s t h em o s tf a v o r a b l ep o l i c vt o m a n yp e r s o n s t i nc o n c e r n e dt h a tt h et r a n s f e r a b i l i t yo ft h ep o l i c yw a sh i g h l yr e l a t e dt ot i m e ， t h ep r o b l e mw a sr e l a t i v e l ym o r ec o m p l e x 。i nt h ec o u r s eo f p u r s u i n gt h er e s u l t w e a d o p tt h em e t h o d so fp d e a n ds t o c h a s t i cp r o c e s sg o tt h e w a y t om a k et h ep r i c eo f t h e s ep o l i c i e s k e y w o r d s ：e x p e c t e di n c o m ef u n c t i o n ；i n v e s ta c c o u n tc u r r e n t ；g u a r a n t e e p o l i c y ；p d em e t h o d 2 第一章绪论 1 1投资连接保险的介绍与历史回顾 在上世纪中期，一些发达国家的各大寿险公司由于受到通货膨胀的影响而纷 纷开发了投资连接型保单，8 0 年代中期投连保单在美国开始盛行，并迅速传到世 界很多国家。1 9 9 9 年中国第一个投连险产品问世，很快受到普遍关注，在现今的 寿险市场上，投连险作为最年轻的一类寿险产品，以其独有的特点已成为寿险市 场中的主流产品。投连险在保险市场上如此受顾客欢迎，主要原因在于中国资本 市场的日趋规范和成熟，及快速增长的经济使得投资理财成为个人经济增长的最 佳选择，而顾客需求则从以往单一的保障型保险提升为兼具保障和理财双重功能 的投连产品。 从精算学的角度来看，投连险相对于传统寿险产品不同之处在于风险的承担 和保单定价的不确定性。传统的寿险产品都拥有固定的收益和相对稳定的利率和 风险；而投连险产品为每一份保单设立一个独立的投资账户，并且被保险人的收 益均依赖于账户的资产价值：对每一份保单，其持有人完全承担风险。由于市场 上的众多不确定因素，其投资账户价值为随机值，在这些复杂因素的影响下，投 连产品的定价已经超出了传统的精算学保单定价的范畴，而更类似于金融经济学 中的期权定价。 对于这些随机因素的影响，在金融经济学的期权定价中已有了一套比较完整 的理论，菇且早在1 9 7 6 年，b o y l e 和s c h w a r z 就将期权定价的方法运用于保单的定 价。且对于投连保单的定价问题，运用期权定价方法也已经有了较成熟的模型。 本文将在此基本模型的基础上进一步探讨几类新型投连保单的定价问题。 3 1 2 内容简介 当前保险市场上流行的投连产品多数都强调保险公司在投资方面的主导地 位，针对这一问题文献3 提出了一类新型的投资连接保单，其给保单持有人一定 的选择权，即保单持有人事先选定一个账户值，当投资账户值在给定时刻或任意 时刻达到这个值时，就将投资账户固定，从而使投连保单转化为保障型保单。 本文在以上问题的基础上进一步假设：投保人选定的期望收益值不是一个定 值，而是一个关于时间t 的递增函数值。当投资账户价值达到这个随着时间而增 加的期望收益值时，就将投资账户值固定为其当时值，从而投资连接型保单转化 为保障型保单。由于预期的收益值是一个关于时间变化的函数值，此时相应模型 的求解比以往增加了不少困难。本文将运用期权定价的方法，结合偏微分方程和 随机过程的理论进一步讨论三类新型投资连接型保单的定价。 在第一类保单中，保单持有人事先确定一个时刻和与这个时刻相关的期望收 益值，当投资账户运行至该固定时刻时，保单持有人有权选择；如果此时的投资 账户值达到期望收益值，就将账户固定为当时值。否则仍作为一般的投连保单继 续持有。本节将分别运用偏微分方程的方法和期望贴现方法给出保单定价。 在第二类保单中，保单持有人可以选择多个时刻和与这多个时刻相对应的期 望收益值，当投资账户值首次达到其中一个期望收益值时账户值就被固定为其当 时值，保单转化为保障型保单，如果直到最后一个时刻投资账户值还未达到相应 时间点上的期望收益值，保单仍作为一般的投连保单持有。本节拟采用偏微分方 程和随机过程相结合的方法讨论保单的定价问题。 第三类保单讨论任意时间点上保单的可转化性，即在保单有效期内任意时刻 一旦投资账户值达到相应时刻的期望收益值，此后投资账户价值即由期望收益函 数值代替，从而投连保单转化为保障型保单。本节运用偏微分方程对保单定价予 以求解 4 第二章一般的投资连接保单的定价模型 2 1 符号的相关假设和定义 本节在给出一般的投资连接保单的定价模型之前，首先给出以下的符号定义 和假设： ( 1 ) t 为保单期限，。为被保险人的参保年龄，t 为被保险人参保开始的时间，显然 有t f 0 ，t 1 ( 2 ) r 为无风险利率，( t ) 为。岁参加保险的被保险人在z + t 岁时的死亡效力，假定r 和“都为常数 ( 3 ) 假设t 时刻投资账户的市场值a 满足以下随机微分方程： d a t = o ( t ，a ) d t + a ( t ，a ) d w t ， 其e o a ( t ，a ) 为资产价值的增长率，a ( t ，a ) 为随机波动率， 1 1 3 。为布朗运动，同时假 设a o 为投资账户的初始值 ( 4 ) 投资账户的期望收益函数为：a l ( t ) 一a o e “，其中o r ，为常数 ( 5 ) 保单有效期内的保险责任为： ( a ) 生存保险金：如果被保险人在保单有效期满时仍生存，则可以得到一次 性支付的生存保险金s ( t ，a ) ，保单效力终止。 ( b ) 身故保险金；若被保险人在保单有效期内的某个时刻身故，则可以得到 一次性支付的身故保险金b ( t ，a ) ，保单效力终止 5 2 2 模型的建立 记t 时刻的保单价值为y ( t ，a ) ，为了将随机过程a 调整为“风险中性”的状 态，我们引入以下资产的风险价格a ( ，a ) ，并作如下定义： 口( t ，a ) = o ( t ，a ) 一a ( ，a ) a ( t ，a ) ， 则根据假设( 3 ) 有： d a = o ( t ，a ) d t + o ( t ，a ) ( d w e + a ( t ，a ) d t ) ， ( 2 1 ) 即：d a = a ( t ，a ) d t + 盯( t ，a ) d w ；，其中d ，嵋= d w t + a ( ，a ) d t ， 假设市场是在一个均衡无套利的环境下，则存在一个风险中性的概率测度q ，使得 叫在此概率测度下为标准的布朗运动，即有下式成立： e q d w ；1 = 0 ( 2 2 ) 由金融经济学的理论【4 】可知，在风险中性的状态下，【t ，t + 出】时间段内，保 单价值变化的期望值等于该时间段内由无风险利率r 所产生的增值r v d t ，减去此时 间段内由死亡引起的期望风险净值肛( 6 ( ，a ) 一v ) d t ，即： e q d v = r v d t p ( 6 ( t ，a ) 一v ) d t ， ( 2 , 3 ) 另一方面，由( 2 1 ) 式及伊藤引理可得： d v = ( 鲁+ o ( t ，a ) 器+ 盯2 ( t ，a ) 骞) d 亡+ 盯( t ，a ) 数d 叫； 综合以上各式，两边消去出可得： 鲁+ o ( t ，a ) 器+ i 1 盯2 ( t ，a ) 篙号一( r + 肛) + p 6 ( t ，a ) = o 而生存受益s ( t ，a t ) 则决定了该模型的终值条件： t = t ，口= s 亿a r ) 这样我们就得到了如下一般的投资连接保单的基本模型： ( 2 4 ) ( 2 5 ) a vo ( t ，a ) 骺+ j 矿( t , a 、8 2 v 一( r + 肛) y + 脚( t , a ) = m ( 2 ，6 ) t = t ，v = s ( t ，a t ) 6 第三章在某一固定时刻可转化为保障型保单的定价 3 1引言 本保单的特点：保单持有人事先选定一个固定时刻o o 及相应的期望收益 值a ，( 如) ，如果投资账户值在如时刻大于或等于预期的收益值a s ( t o ) 时，就将投资账 户在t t o 时的值固定为常值a 此时保单转化为保障型保单，否则就仍作为一般 投连保单继续持有。 在上一章般模型假设的基础上，本节进一步假设： ( 1 ) 资产的市场价值服从几何布朗运动，即： d a = r a d t + a a d w 这里r 和盯均为常数砒服从标准布朗运动。 ( 2 ) 投资账户在t o 时刻被固定时的市场价值记为a 如 ( 3 ) 此时在保险合同有效期限内本保单的保险责任为： r ( a ) 生存受益：s ( l a ) ： a a 如 a 。8 “。 la 幻a 如a o e “o ； r i k a t o ，t o ，( 0 k 1 ) ( b ) 死亡受益：b ( t ，a ) = k a t 【ot 】且a 如 a o e a h ， i i a t 0t 【t ot l 且a t 。a o e “d 7 3 2 模型的偏微分方程方法求解 由上述一般模型的假设及本节的引言可知，此时对( 2 6 ) 的求解可以分解 成在 o ，t o j - 与 t o ，t 】两个时间段上的求解：而在忙0 ，t 】上又分为a t 0 a o e 嘶与a 抽 a o e “o 两种情形的讨论。 首先讨论在i t o ，刀时间段上求解： ( 1 ) 当a t o a o e 耐。时，投资帐户值固定为a 妒此时模型( 2 6 ) 式退化为如下常微分方 程f 5 j ： 喾_ ( r + 肚a 。= 0 ， ( 如gg ) ( 3 1 ) l 忙t ，h = a ” 求解( 3 1 ) 可以得到： u ( t ，a ) = a e 一7 + ”t 。( 1 一p _ e + l k + 蔷e 件“) t 。) ( 2 ) 当a 幻 a o e a t o 时，由本节假设可知，保单服从一般的投连保单，此时一般模 型( 2 6 ) 式就简化为： _ 十a v - - r - - 丽0 v 砖2 黯_ ( r + 肚拈o ( 3 j 2 ) 【t = t ，y = a t 直接求解( 3 2 ) 式得： k ( t ，a ) = a e 一“( t - t + k a ( 1 一e m t - t ) ) 其次讨论在【o ，t o 】时间段上的解： 为了在i o ，t o 上求解( 2 6 ) 式，其相应的终值条件v ( t o ，a ) 由下述数学期望值给 出： v ( t o ，a ) = p r ( a t 。a o e “o ) k ( t o ，a ) + p r ( a t 。 a o e “o ) v 2 ( t o ，a ) ( 3 3 ) 下面分别计算p r ( a 幻三a o e “o ) - 与p r ( a t 。 。【未来收益在t 时刻的贴现值 | a d 未来收益分为生存收益和死亡收益两部分，其中死亡收益又分为( o ，t o j 与，卅两 个时间段：因此： v ( t ，a t ) = e q e r ( 。) ) a t e 一7 ( t - t 】+ e t a t e 一( r 一f 如 。f a r e r t t ) i i a = ( 1 一西( d ) ) r a 。e 一( t - t ) p e u 5 d s + 圣( d ) a t e r ( r t p e ”d s = ( 1 一垂( d ) ) a e ( t o - * ) e 一( 7 + p ) ( t - t ) + 壬( d ) a t e p ( t - t ) ，( 3 1 3 ) ( 2 ) 再计算剩余寿命在i t ，t 0 】时间段上的死亡收益部分： 因为e q 例= 蕊栖璧执一帮咖= 1 e q 旧t ( 。) 幻 k a t e y + r ( r ( 2 ) 一。) e 一7 ( r ( 。) 一。】h 】 = e 。t ( 咏2 0 k a e q e f l 】 = r 。k a 牲d s = k a t ( 1 一e - p ( t o - o ) f 3 ，1 4 ) ( 3 ) lj 舌 = t 算剩余寿命在邪时间段上的死亡收益部分： e q 旧t o t ( 水r k a e 一( r ( 。) 】 = e o f e 抓t ( 。) “ k a t 。e 一( ? ( 。) 一l a t 。a o e a t o i a 】 + e 口f e 如 t ( 。) t k a t e y + ( t ( 。卜) e 一( t ( 。) ) i a 。 a o e 。幻 i a t 】 = ( 1 一西( d ) ) e t 0 t ( 。) t k a t 。e 一( t ( 。) 一。1 + 圣( d ) e t o t ( 。) t k a t e q e y 】 = ( 1 一蛋( d ) ) 者苦a t e r ( t o - 0 ( e p + p ) ( t o - t ) 一e - ( 7 + p ) ( ? 一。) + 圣( d ) 七a t ( e p ( 如“) 一e - p ( ? 一) f 3 1 5 1 综合上述各式，可以得到本节结果： v ( t ，a ) = ( 1 一西( d ) ) a e ( t o 一) e 一( + p ) ( t - t ) + ( b ( d ) a e u ( t t + k a ( 1 一e - r ( t o - t ) ) + ( 1 一西( d ) ) 馨a e 7 恤一。( e 一( + p ) ( t o - t ) 一e - ( + p ) 口一) + 圣( d ) 七a ( e t ( t o - t ) 一e - p ( t 一。) f 3 1 6 ) 整理( 3 1 6 ) 式可得： y ( t ，a ) = a e 一弘( 幻叫( 1 一西( d ) ) ( e 一+ p 仃一。+ 当鬟( 1 一e - ( 件卢) ( t 。) ) + a e 一”( 如一。) 圣( d ) ( e 一“( r 一幻) + k ( 1 一e - p ( r 一如) ) ) + k a ( 1 一e - # ( t 。t ) ) ( 3 1 7 ) 显然可见( 3 1 0 ) 式与( 31 7 ) 式是一样的。即两种方法的结果是一致的。 第四章n 个时刻可转化为保障型保单的定价 4 1 引言 本节中假设保单持有人事先选定若于个时间点：0 i t 2 ，t 。 岛 l 七a “ 赴t 1 3 4 2 模型的求解 下面采用偏微分方程和随机过程相结合的方法讨论本保单的定价，先引入以 下假设和定义： ( 1 ) k ( t ，a ) 表示在t 如上投资账户值被固定为a “时保单在 o ，t z 上的值 ( 2 ) v ( t ，a ) 表示一般的投连保单的价值。 ( 3 ) 只( 1si 礼) 表示在t 。时刻投资账户值首次达到如时刻所对应的期望收益值的 概率，即： 只：p r ( a t l a o e “1 ，a t 2 a o e “2 a t h a o e o ，a t 。a o e 咄) ( 4 ) p 表示直到期满投资账户均未达到相应时刻期望收益值的概率，即： p = p r ( a t l a o e o “，a t 2 a o e o 虹一a t 。一l a o e o 。n 一1 ，a k a o e o k ) 此时本保单在【o ，t l 】时的价值就表示为： v ( t ，a ) = ：1 只( t ，a ) + p v ( t ，a ) ( 4 1 ) 以下就分别求解( a ) k ( t ，a ) ，( b ) v ( t ，a ) ，( c ) 只，( d ) p ： ( a ) 由( 3 ，1 1 ) 式直接就可以得到k ( t ，a ) 在 o ，t l 】上的值： k ( ，a ) = a e 一“。- 一。( e 一( p 十) ( t 一如+ 若妥( 1 一e 一( p + r ) ( t - t l ) ) + 七a ( 1 一e - , u ( “一。) ( 4 2 ) ( b ) 由定义可知，在本节的假设下y ( t ，a ) 满足一般的投连保单模型： j 喾州舞印12 喾寸刊矿埘a - o ( 4 3 ) i t = t ，v = s ( t ，岛) 求解( 4 3 ) 式可得，在【o ，t t 】上： v ( t ，a ) = a e p p 一) + k a ( 1 一e m t - t ) ) ( 4 4 ) ( c ) 以下依次求解p i ( 1 曼i n ) 由前面的讨论可知：a t = a o e 一”t + ( 7 一譬h 记k = 口蛐t 一哮t ，则m 服从布朗 运动，对于任意的k 。有k 一( 一譬如，a 2 t 。) 所以有：a = a o e m 十“，进一步可 得：k 一。一( 一譬( 血一t i - - ) ，a 2 ( 缸一彘一- ) ) ，从而由第三章内容可以得到如下结 1 4 果 p l = p r ( a 。2a o e n t ) = 1 一圣( d 1 ) ，其中d 1 = 毕 百 岛= p r ( a 。 a o e “1 ，a t 2 a o e o t 2 ) ， = p r ( m 。 ( n r ) t l ，m 。( o r ) t 2 ) ， = p r ( k 。 ( o r ) t 1 ) p r ( y t 。( n r ) t 2 1 y t 。 ( a r ) t 1 ) ， = ( ( d t ) p r ( y t 。一t 。( o r ) ( t 2 一t 1 ) ) ， = 圣( d 。) p r ( z 生二宅矗f 百) ， = 圣( d ，) ( 1 一垂( d 2 ) ) ，其中如= 学、石= 百。 p 3 = p r ( a e l a o e “1 ，a t 2 a o e “2 ，a t 3 a o e a t a ) ， = p r ( a t i a o 铲“，a 比 a o e “2 ) p r ( a t 3 a o e “3 i a t l a o e “1 ，a t 2 a o e a t 2 ) ， = 圣( d 1 ) 西( d 2 ) p r ( a b2a o e 耐3 f a t l a o e 耐1 ，a 幻 a o e 雠2 ) ， = 圣( d 1 ) 垂( d 2 ) p r ( k 。( q r ) t 3 i k ， ( o t r ) t l ， ( 口一r ) t 2 ) ， = 西( d 1 ) 西( d 2 ) p r ( y t 。一t 。( o r ) ( t 3 一t 2 ) ) ， = 圣( d 1 ) 西( d 2 ) ( 1 一圣( d 3 ) ) ，其中如=f 五- t 2 以下令噍= 半 f 百，( 1 i 礼) ，同理可得： 只= p r ( a t l a o e “1 ，a t 2 a o e “2 ，且“一l a o e “，a ，a o e “) ， = 圣( d t ) 垂( d 2 ) 西( d l 1 ) ( 1 一圣( d f ) ) ， = ( 丌；：2 西( 奶一t ) ) ( 1 一西( 喀) ) ，( i 之2 ) ( 4 5 ) 显然由上式可得： ( d ) p = p r ( a t l a o e a “，a t 2 a o e “a k l a ( j e a t n ，a # 。 a o e 。“) = 兀：1 圣( 也) ( 4 6 ) 综合以上( 4 1 ) 一( 4 6 ) 式可得，v ( t ，a ) 在 o ，t 1 】时的值： v ( t ，a ) = 坠1 只k ( t ，a ) + p v ( t ，a ) ， = 皂。( 1 - i i ：。圣( 奶一1 ) ) ( 1 一圣( d f ) ) k ( t ，a ) + ( 羔l 圣( d ) ) y ( t ，a ) ( 4 7 ) 在实际问题中我们更多的是考虑当n 个时闯点均匀分布于f o ，即上的情形 吼t l t 2t l t 3 一t 2 = = t t 。= a t = 南， 令d ：半涵，则置：垂( d ) ；一t ( 1 一西( d ) ) ，声：圣( d ) n 由此( 4 7 ) 式就简记为： v ( t ，a ) = ：l 垂( d ) 一1 ( 1 一圣( d ) ) k ( t ，a ) + 西( d ) “矿( f ，a ) ( 4 8 ) 1 6 第五章任意时刻可转化为保障型保单的定价 5 1 模型的建立 本保单特点为：在任意时刻旦投资账户值达到其相应时刻的期望收益函数 值a d t ) = a o e “，投资账户值即被转化为期望收益函数a ，( ) 的值相应的保单转化 为保障型保单。 本节假设： ( 1 ) d a t = r a d t + a a d w 这里r 和j 均为常数，r 为无风险利率。 ( 2 ) 投资账户在s 时刻被固定时的市场价值记为a 那么由参考文献f 6 1 可知： a s = a t e y + ”其中e 【y 】= 一譬( s t ) ，v a r y = a 2 ( s t ) ( 3 ) 此时本保单的保险责任为： s ( 正a ) ： a a a ，( 。) ， la i ( t ) a a ( t ) b ( t ，a ) ： 七a a a ，o l ik a s ( t ) a a l ( t ) 根据文献 9 】可知此类保险的傈单价值y ( t ，a ) 在区域o t z0 a 。o 上 满足偏微分方程： 箬+ r a 籍+ 盯2 a 2 再0 万2 v 一( r + 卢) i ，+ # k a = o 由于当a a ，( t ) 时投资账户值被转化为a ，( t ) 因此在区域a a j ( # ) 内模 型( 2 6 ) 式的偏微分方程在本节的假设下退化为如下一阶偏微分方程： 1 7 百o v + a a 籍a a _ ( r + 脚肚a ，o ) _ 0 j( 5 1 ) it = 置y 亿a ) = a f ( t ) 求解( 5 1 ) 式可得： v ( t ，a ) = a ( 1 一燕) e - ( p + 一“t 亡+ 4 石芊尝五 而当0 a a ，( t ) 时，v ( t ，a ) 满足一般的偏微分方程： 警+ r a 籍+ 盯2 a 2 等等一( r + p ) y + # k a = 0 当t = t 时，在区域0 a a ，( t ) 内v ( t ，a ) = a 当a = o 时v ( t ，o ) = o 是自动满足的。此时保单定价v ( t ，a ) 的求解归结为： 甓+ r a 丽a v 十 盯2 a 2 箬墨一( r + p ) v + # k a = 0 ， t = lv ( t ，a ) = a ，( o a 0 ) ， ( 5 2 ) a = a l ( t ) ，矿( t ，a ，( t ) ) = a s ( o f f 一石j 譬i ) e 一p + r 一。t 卅+ a ，( t ) 五辛生i 5 2 模型的求解 i g ( t ，a ) ：a ( i 一燕) e 山忙州t 叫+ a 鼎 ( 5 - 3 ) 令u ( t ，a ) = v ( t ，a ) 一皿( t ，a ) ，则( 5 2 ) 式简化为： i 筹+ r a 器+ 盯2 a 2 砰0 2 u 一( r + p ) c ，= ( o r ) 皿( 。，a ) ， 江t ，u ( t ，a ) ：o ， ( 5 4 ) la = a f ( t ) ，u ( t ，a l ( t ) ) = 0 现在求解( 5 4 ) 式，作如下变量代换： i i n - 鼻n f t ；) ， | l 薯翥三 再令仃：e 。i 舳z 仉，其中：= 一( 一学) 2 ， b = i 1 + 学 f 喾一磐：掣a 扩卜羚卅啦( ( 1 一燕妒+ 忐e 警2 ) ， i ：o ，叫吣) ：o ， ( o i 譬t ，一o o 茁 0 ) ， ( 5 5 ) i 茁= 0 ，u 1 ( i ，0 ) = 0 苗齐次化原理：若彬( i ，z ，f ) 满足如下方程： l 面o w 一辔= o ，( 丁 i 譬t ，一o 。 o ) ， 衙，t , x ，t ) ；掣缸妒一2 - ) e - a r + ( 1 m ( ( 1 一忐) e 钆燕e 警飞( 5 。 i 。：。，w ( _ ，。，r ) ：。 则仉( _ ，z ) = e ( ，。，下) d r 是方程( 5 5 ) 的解。 下面求解方程( 5 6 ) ，为简便计，令m = 型号芦a o e “， f ( r ) ；。- ( d + 渺( ( 卜t t + r - - a ) e 爷7 + 燕e 擎7 ) 1 9 i 百o w 一矿0 2 w = o ( r i 譬t ，o o z o ) ， b 篙誉卜咖竹) ， i 丽o w 一辔= 0 ， ( 丁 于 譬t ，一。 。 + 。o ) ， 卜嘶，忙馁_ m e 卅- o 如- 所b ) 。f ) i ( n 戮 ( 5 7 ) ( 5 8 ) 延用裥曲i 司趣的p o i s s o n 公式司以得到： ( 焉丁) = i z l ( h ) m f ( 丁) ( 。e ( ) f e 簧焉蜓一口。e ( ) e 袅器d ) ， = m f ( _ r ) ( 6 ( 1 - b ) 2 ( t - r ) - ( 1 - b ) x ( 亚( 专糖驴) e 1 一2 5 一r 十1 一。圣( ! 二若 i ；! ；产) ) ， 以下令：d - ( r ) = 专紫产，d 2 ( r ) = 帮 容易验证上式在区域( r 譬正一。 z o ) 内满足方程( 5 5 ) ，及其初始 条件和边界条件。所以( 5 5 ) 式的解为： 叽( i ，z ) = j ：m f ( t ) e ( 1 山) 2 ( 7 7 ( e ( 6 1 净西( d 1 ( 7 - ) ) 一e ( 1 6 ) 。西( d 2 ( 7 ) ) ) d 下 逐步代换回去得： u ( t ，a ) = e - ( 7 + “) ( t - t ) e o + 6 。以( i ，。) ， ：e 呻刊( ) e 蚰m ( 确产挚m f ( r ) e ( 1 叫。( 驾业- r ) ( e ( 6 - u | n ( l 研西( d l ( r ) ) 一e 1 山1 “毒b 西( d 2 ( 丁) ) ) d = 船( 赤) 6 e 盘2 乒地廿堋) f 掣f ( 7 - ) e _ ( 1 叫2 r ( ( 丽a ) 6 1 西( d 1 ( r ) ) 一( j 南) ( 1 - b ) 垂( d 2 ( 7 - ) ) ) 打 ( 5 9 ) 其帆= 苎窃擎，d 2 ( 扣竖蔫磐 上式中的u ( t ，a ) 就是模型( 5 4 ) 式的解，最后综合( 5 9 ) 式与( 5 3 ) 式可得： y ( t ，a ) = u ( t ，a ) + 皿( t ，a ) ， = 盯( 万耘) 6 e ( 也学业一( 忡) ) ( t o 2 0 学f ( 丁) e - ( 1 叫2 r ( ( 南) ) 圣( d 。( 丁) ) 一( 百知) ( t 叫垂( d 。( r ) ) ) 打 + a ( 1 一_ _ a k - 一) e - ( “十r 一