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随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 摘要 本文主要应用鞅方法对欧式期权定价的两个方面的闯题进行了研究： 一，在经典b l a c k - s e h o l e s 欧式期权定价模型的标的股价格的变动过程中，标的股价 格的波动率仃是常数。本文主要考虑了1 7 为随机变量的情况，其中口为满足 捌f ) = 8 ( o - l n a ( t ) ) r ( t ) d t + 七) 招( f ) 的随机变量。本文应用随机微分方程的知识 给出了1 7 的具体表达形式，并应用鞅方法给出了该模型中标的股衍生性商品价格函 数g 。o - , t ) 所满足的微分方程式。 二，对可追加的欧式期权的定价问题进行研究。本文建立了一种期权购买模型：期 权买者可在期权合约到期前时刻瓦，0 露 t ，以期始时刻0 的价格在正时刻的 折现价格，追加购买此期权。本文应用鞅方法并借鉴b l a c k s e h o l e s 欧式期权模型中 的定价过程给出了此期权的定价公式。 本文第一章介绍了马尔可夫随机过程，g e n e r a l i z e dw i e n e r 过程，且6 过程，并 以此为基础讲解了股价变动过程。第二章描述了期权市场的数学模型，介绍了市场， 投资组合，套利，市场的可达和完备性的数学表示形式。第三章介绍了经典的b s 欧式期权定价模型。第四章介绍了随机漂移的欧式期权定价模型和可追加的期权定 价模型，并给出两种模型的定价公式。 关键词：欧式期权；b - s 模型：随机过程 大连理工大学硕士学位论文 e u r o p e a no p t i o nw i t hs t o c kp r i c ed i s t r i b u t i o n sw i t hs t o c h a s t i c v o l a t i l i t ya n dp r i c i n gm o d e lf o r t h eb u y - a g a i no p t i o n a b s t r a c t w ec o m i d e re u r o p e a no p t i o nm o d e ii nt w oc a s e sa sf o l l o w 1 w es t u d yt h es t o c kp f i c ed i s t r i b u t i o n st h a ta r i s ew h e np r i c e sf o l l o wad i f f u s i o np r o c e s s w i t ha s t o c h a s t i c a l l yv a r y i n gv o l a t i l i t yp a r a m e t e r t h i sp a p e rg i v e sad i f f u s i o nw h i c hc a n s h o wt h ep r i c i n gf u n c t i o n g ( s 1 ，t r , t ) f o rt h i sm o d e l 2 t h i sp a p e rp r e s e n t sa n dg i v e st h ep r i c i r f u n c t i o nf o rt h i so p t i o np r i c i n gm o d e l ：t h e b u y e r o f t h i se l l r q 瑚no p t i o n 啪b u yt h i so p t i o n 锄a t 磊，o 五 t ，w i t ht h es a m e p r i c ea sb e f o r e t h i sp a p e ri n t r o d u c e ss e v c r a is t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，m a t h e m a t i c a lm o d e lf o ro p t i o n m a r k e ta n db so p t i o np r i c i n gm o d e lr e s p e c t i v e l yi nc h a p t e r1 , 2 a n d3 a no p t i o np r i e i n g m o d e lw i t has t o c h a s t i c a l l yv a r y i n gv o l a t i l i t yp a r a m e t e ra n dt h eb u y - a g a i n o p t i o np r i c i n g a r es t u d i e di nc h a p t e r 4 k e yw o r d s ：e u r o p e a no p t i o n ；b - sm o d e l ；s t o c h a s t i cp r o c e s s i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文申不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 5 - 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：立曼日期：12 ：! ! ：兰 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：互兰 导师签名：够纭匆 导师签名i 垣丝塑 口 年l 月盟日 随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 引言 期权是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具又称金融衍生品或金融证券，是一 种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格。这 就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生而得到的。其中，用来作为标的资产 的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生 品本身。 价格是市场经济的核心内容，反映了市场上的供求关系。资产定价( a s s e t v a l u a t i o n ) 是现代财务学的一个基本问题。 1 9 7 3 年，芝加哥大学教授b l a c k 和m i t 教授s c h o l e s 在美国“政治经济学报” ( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”( t h e p r i c i n go fo r i t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) 的论文；同年，哈佛大学教授m e r t o n 在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”( t h e o r yo f r a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ) ，奠定了期权定价的理论性基础，为财务金融学开创了一 个崭新的领域，也拉开了1 0 0 万亿美元庞大市场的序幕。s c h o l e s 和m e r t o n 由于在期权 定价方面的开拓性贡献，被授予1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖。现在，期权理论与应用研究 已经成为财务金融学领域最为活跃的分支，本文的研究就是以著名的b 1 a c k s c h o l e s 模 型展开的。 1 股价变动过程及肺定理 1 1 马尔可夫随机过程 由实证得知，股价利率及汇率变动过程呈现随机行为丽无法预测。它的变动过程可 以用某一种随机过程来形容，其中之一是布朗运动( b m w n i a nm o t i o n ) ，它是马尔可夫 随机过程( m a r k o vs t o c h a s t i cp r o c e s s ) 的一种。一个随机变量z 是布朗运动必须具备下 列两个条件【l 】： 1 在某- - d 时段岔内，它的变动是与时段由及纯随机变动占( w h i t en o i s e ) 相关， 并可用下列公式表示： 止= 占石 ( 1 1 1 ) 此处a w t = 弓一z t j 占口n ( o ，1 ) ，占是正态分布，零期望及方差等于l 。 2 在两个不重叠时段及厶，：的增量a z , 及缸是独立的： c o v ( a z , ，z 。) = 0 ( 1 i 2 ) 此处 毛= z t 一乞1 a 乙= 乙一z s - l ，z l 一1 刁 z , - i z s a 根据上述两个条件，随机增量a z 的概率分布性质如下： 1 它的期望为零：e ( 纰) = 0 2 其方差砌，( & ，) = 跆，p 、正孬) = a t ，其标准差是：i 夏五历= 瓦。 当时段的长度放大之至丁时( 即从现在0 至未来t ) ，随机变量锄的概率分布如下： 1 e ( ) = 0 ( 弓= z t 一) 2 v a r ( z r ) = tx v a r ( a z r ) = 丁 证明：可将长时段r ，分成个时段( ) 则 锄：勿一z o ：兰缸：兰t 石：爵窆q ，z ，= 刁一年。= 占石 t - ! 严l严1 对锄取期望及方差得 e ( 屿) = 压芝e ( q ) = o 随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 v a r ( a z r ) = a t v a r 匹e , ) = a t xn = t j e ( f ) = 1 = v a t ( e , ) 在连续时间下，瞬间变量出的性质可由( 1 1 1 ) 及( 1 1 2 ) 分别转化为( 1 1 3 ) 及 ( 1 1 4 ) 如下： d z = e 4 a t ( 1 1 3 ) c o v ( d z , ，血) = o ( 1 1 4 ) 此处：当时段f 趋于零时，其极限为出，且缸一幺。 其概率分布性质如下 如口n o , a t ) ， 是正态分布。 其e ( 匆) = o ，v a r ( d z , ) = 国。在连续时间下，如的瞬间期望值为零，且其瞬间标准差 为西。 前一节疵的变动呈现零期望及方差为l ( 每单位时闻d t ) ，且是标准正态概率分 布。但有些随机变量的增量概率分布并不一定呈现零期望及方差为1 。因此，可修改前 一节的随机过程，使其增量的期望值不是零，且方差不为l 。此种随机过程称为 g e n e r a l i z e dw i e n e r 过程，其数学表示式定义如下【l 】： d 配= a d t + b d z , ( 1 2 1 ) 此处：战代表随机变量x 的瞬间变量； 口代表随机变量x 的瞬间变量期望值； 6 代表石的瞬问( 变量) 标准差。 根据( 1 2 1 ) ，随机变量x 的瞬间变量a x , 概率分布性质为 1 e ( d ) = a d t 2 p 打( 戤：) = 6 2 d t ， 钮( 蟛) = 6 廖 3 a x , 口n ( a d t ，b 2 d t ) ，服从正态分布。 若以间断时间来代表( 1 2 1 ) 则( 1 2 1 ) 及概率分布性质如下： a z = o a t + b a z , 口 程过 renewdezare neg2i 大连理工大学硕士学位论文 e ( a 置) = a a t 胁( 峭) = b 2 a t ，胁( 馘) = b 4 - 石 蝇dn ( a a t ，b 2 a t ) 公式( 1 2 1 ) 所代表的随机过程意义如- f 2 】 随机变量z 的变动过程中，除了随机变动( 幺) 外，尚有另一随时间成长的变动成分， ( 忽略随机项宓) 亦即a x , = o a t - f 戤= i a d s = x , - x o = a ( t - o ) ：x t = x o 七m 所以，随机变量x 从时间t = 0 开始的值墨，以口的比率随时间成长( 即a t ) ，加上 另一项无法预测的随机变7 争j b d z , 。 1 3 肋过程 虽然g e n e r m i z e a w i e n e r 过程( 1 2 1 ) 比( 1 1 1 ) 及( 1 i 3 ) 更能完整代表某些随机 变量的变动过程，但仍不足代表其他随机变量的复杂变动过程。比它更完整的随机过程 称为肋过程，其数学表达式如下： d r , = a ( x t ) d t + b ( x , t ) d z ， ( 1 3 1 ) 此处：a ( x , t ) 代表随机变量墨的瞬间变量期望值，它会随着变量五本身及时间的变动 而变动，也就是a ( x , t ) 不是固定不变；b ( x ，f ) 代表随机变量z 的瞬间变量的标准差，它 也随着变量z 本身及时问的变动而变动。因此， e ( d ) = a ( x ，t ) d t v a r ( a x , ) = 6 2o ，t ) d t 4 v a r ( d x ，) = b ( x ，t ) v d t b l a c k s c h o l e s 期权定价模型是根据肋过程的一种特别模型来代表股价的变动过 程，表示如下 2 】 d s t = p s | d t + o s t d z t ( i 3 2 ) 此处：墨代表时间t 的某种股票的价位，它是一种随机变量( 即置= s ) u s , 代表股价变量6 溉的瞬间期望值，联罐薯) = ，吟廊 d 墨代表股价变量a 峨的瞬间标准差，哳( d s ) = 盯s 出 随机漂移的欧式斯权定价与可追加的期权定价模型 公式( 1 3 2 ) 的股价变动表达式也可以用股票报酬率表示如下： 譬：d t + 掘 ， ( 1 3 3 ) s 。 f 此处：譬代表股票的瞬间报酬率 代表股票的瞬间报酬率的期望值， 仃代表股票的瞬间报酬率的标准差， e 譬脚防 哳譬即2 摩 公式( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 代表股价( 或报酬率) 的变动，出了呈现随机变动外，仍 有一项代表股价以期望的比率随时问增长( 暂时忽略随机项) ，其证明如下 a s s , = 声西jf 譬= 肛 i n s , 一i n s o = , u t j = s o e “ ( 1 3 4 ) 因此，若f = 0 时刻股价是瓯，则它是以的成长率随时间成长至s = s o e “。因此， 股价除以指数函数上涨# b ( a p 以连续复利成长) ，仍因总体经济因素及个股本身因素的随 机冲击影响，而呈现随机变动。此随机变动是由( 1 3 2 ) 的随机项o r s , a z , 所代表。所以， 公式( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 比( 1 2 1 ) 更能充分代表股价的变动过程。b l a c k s c h o l e s 模型 及其他期权的标的股价变动过程都是以肪过程( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 作为基础。 在离散时间情况下，( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 可改写为： s = 比s , a t + 口墨幺 ( 1 3 5 ) 等= 灿咄 e 粤) ：础 、s 。j 哳等声2 缸 ( 1 3 6 ) 即等口( 雄，盯2 卸，股票报酬率等是正态分布，期望值为( 每单位时间& ) ， 且标准差为o r ( 每单位时间a t ) 。 大连理工大学硕士学位论文 1 4i t & 引理 衍生性商品是由标的物( 股票，利率，汇率或商品) 衍生而出的商品，其价格变动 当然受到标的物价格变动的影响。因标的物价格的变动过程可由i t & 过程( 1 3 2 ) 或 ( 1 3 3 ) 代表，则衍生性商品的价格变动过程应如何表示，可借用l t 6 引理来推导。首 先我们先证明该定理，而后介绍其应用 4 】。 定理1 1 ( 脚引理) 假设某随机变量石的变动过程可由脚过程表示如下： d x = 口( 彳，o a t + 6 ( x ，t ) a w ( 1 4 1 ) 此处：d w 代表布朗运动或可以用出代表。 令f ( x ，f ) 为随机变量工及时间t 的函数，亦& p f ( x ，f ) 代表标的x 的某一种衍生性商 品价格，诸如买权，卖权，期货价格等等。则衍生性商品的价格变动过程可表示如下： 矽= 尝+ 善口+ 三1 豢6 2 ) 西+ 爵a fb d w ( 1 4 2 ) 此处 f = 八x ，0 ，a = a ( x ，f ) rb = b ( x ，r ) 证明 在离散时间情况下，( 1 4 1 ) 成为 鲥= a ( x ，t ) a t + b ( x ，t ) a w ( 1 4 3 ) a w ：占石 利用泰勒展开式，( z f ) 可以展开如下： a f = 善+ 善鳞+ 三1 皋船2 + 嘉一+ 三1 睾+ 4 削 在连续时间下( a t 斗0 ) ， a x a t 一0 ( 者，2 = 0 = d t 2 当垃一0 ) f 2 _ d t 2 = 0 ( 当缸- - y 0 ) 因此，泰勒展开式中的a x a t ，a t 2 及其他高次项，在连续时间下皆可视为零。公式 ( 1 4 4 ) 中，我们只要计算前三项即可2 1 。 首先 缸2 = b 2 6 2 a t + 其他比，高次的项目 ( 即北，2 ，f 3 ，等) 一6 一 堕塑墨堑些坚塑壑塞笙量里垄垫塑塑壑室垒堡型 则 v a r ( 4 0 5 2 ) = ( 6 2 a t ) 2 u z a r ( z 2 ) 斗0 当a t 一0 ) 因此，在连续时间下( & 岭o ) ，船2 的方差收为零( 即不呈现随机变动) 。故 l i i i l x 2 ：b 2 d t ( 即x 2 收敛至6 2 d t ，当一0 ；此外，以x 2 ) = b 2 a t e ( 8 2 ) = 6 2 d t ，当 一o ，e ( c 2 ) = 1 = v a t ( 8 ) ) 。所以，当& 一0 ，( 1 4 4 ) 变为 矿= 玺廊+ 兹砑+ j i 矛0 2 f 凹2 =笪击+af(oat+w形)+一1矛02fot o x2 ( 础+ 嬲矽) 2 。 趔。、 = 擘+ 笪口+ 一1 鬲0 2 f 6 2 ) 出+ o fb dwot o x 2o xo x ， 即( 1 4 1 2 ) 。 、 z 例： 令股价的变动过程如 1 3 2 ) 所示。设= l n s ，它代表一个对数台约( l o g c o n t r a c t ) 该合约的随机变动过程可由彩引理求得。首先计算相关微分如下： 笪一o，善=1s，器一si_lot ： a ssa s ts z 将上面微分代入肋引理( 1 4 2 ) ，即得对数合约l n s 的随机变动过程如下 弛s = ( o + 咕泌+ 三曲) 2 毋+ 咕) ( 哟册 = ( 一- ，r g 。- ) a t + 仃翻矿 ( 1 4 5 ) i n s 的随机表达式( 1 4 5 ) 代表它的瞬间变量d i n s 呈现正态分布，其期望值为 一要) 出，方差与股票报酬率的方差c r 2 西相同。即 d i n s 3 k 一- 譬) a t ，o - ：t ( 1 4 6 ) 在离散时间( n 下， a l n s r 1 3 n i ( i s 一竺- o ) ( t - t ) ，c r 2 ( r r ) 】 此处：时间是从t 至未来时间t 。 因为a h a s t = i n s t - l n s , ，因此 大连理工大学硕士学位论文 l i l 品也s 口 一争确，r = t - t 或 j n 品口m s + ) ，c r 2 f 】 ( 1 4 - 7 ) 也就是股票价格的对数的概率分布是正态分布，其期望值为l n s + 0 _ - 2 弦，方差为 o 2 f 。 公式( 1 4 7 ) 除了代表对数价格变动过程外，它亦隐含股价的动态变动过程。只要 将( 1 4 5 ) 的两边进行积分即可求得： r 拙s = r 似一手胁p 矿 i i l s i j = 一手灯- f ) 州吲 1 n ( 品腐) = 以一手弦+ 以睇，崂= 一彤 岛= s , e x p l # 一了0 , 2 ) f + 0 孵】 ( 1 4 8 ) 公式( 1 4 8 ) 说明：股价从s 开始，将以指数函数的比率成长，其中一部分的成长 随时问而变，但不是随机变动( 以e x p ( 一了0 - 2 声) 代表) ；另一部分的成长是无法预测， 随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 2 期权市场的数学描述 2 1 市场，投资组合和套利 定义2 1 1 a ) 市场可表示为一个e ”适应的q + 1 ) 维脚过程z ( f ) = ( z 。( f ) ，墨 ，以”； 0 t t ，并可用下列公式给出 1 】 d x o ( t ) = p ( t ，) 瓦( t ) d t ；蜀= l ( 2 1 1 ) 和 d 瓦o ) = 一( f ，t o ) d + 气o ，c a ) 哆( f ) ( 2 1 2 ) z l = 鸬o ，c o ) a t + o - , ( t ，彩) 如( f ) ；z ( o ) = 薯， 这里吒为? i x 研矩阵 巳 的行向量；l _ i 0 ， 称p ( n 为可套利的投资组合。 换言之，如果在时间段 o ，刀里，投资组合秒o ) 能使其相应的价值v 9 ( f ) 不下降，且 增长的概率严格大于零，则曰( f ) 为可套利的投资组合。即可套利的投资组合是一个绝不 可能损失资金的投资组合。 定理2 】4 令f 为碍“一可测的随机变量，e q ) 为拼一维布朗运动，则存在矽”使得： f ( 国) 2j ：矿( f ，c o ) r i b ( t ) ( 2 1 1 6 ) 其中西矽”不是唯一的。 从中可以推出，对于任意= r ，存在矿“使得： 大连理工大学硕士学位论文 ，( 国) = z + r ( f ，c o ) r i b ( t ) 因此，如果令卅= 一，令骂) = 五( f ) ，e ( f ) = 五( ，) ，且( t ) - - - i ，则只要能随意 在矽”中选择投资组合庐，即可对任意初始资产z 可以形成任意一个碍”一可测的最终价 值：f = y ( 乃。这也解释了为何要在某些投资组合族中加上限制，如( 2 1 1 5 ) 引理2 1 5 1 1 】 测度q 为碍”上测度p 的等价测度，即q 口p ，若标准化市场价值过程 雪( f ) ，e i 。，】为 q 鞅，则市场 x ( f ) ) , 4 0 , r l 无套利机会。 证明： 设投资组合目( f ) 为市场 j o ) ，| 【。川中的一个可套利投资组合。令尹o ) 为相应的价值 过程，且( o ) = o 。则( f ) 为测度q 下的有界局部鞅，也即为测度q 下的超级鞅。则 有 研矿( 硎s 矿( o ) = o 由于q 口p ，且 y e 叮，c o ) o ，d s i p 则 口，e a ) o ，a s q 同对由于p 口q ，且 珂矿( 乃 o 】 0 则 q 矿( d o 】 0 则 易【矿( 列 0 与研矿( d 】矿( o ) = o 矛盾。则市场 j ( r ) 一。卅中不存在可套利的投资组合，也即是市 场 石( f ) ，巾，】中不存在可套利的投资组合。 定义2 1 6 随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 测度q 为9 4 上测度，的等价测度，即q 口尸，若 牙o ) 一。q 为q 鞅，则称q 为等价鞅 测度。 引理2 1 5 表明如果存在等价鞅测度，则市场无套利机会。 定理2 1 7 假设存在，c o ) v ”( 0 ，乃，使得 a ( t ，c o ) u ( t ，a 0 = t a ( t ，c o ) 一p ( t ，c o ) 2 q ，c o ) ，口4 ( f ，c o ) 且 e 【e x p 弓r “2 0 ，国) 出) 】 a 。 其中 j ( f ，国) = ( k ( f ，) ，咒( f ，脚) ) 则市场 x ( f ) ) e l 】中无套利机会。 证明： 设 x o ) ) ，。【o ，川为标准化市场，显然有p 2 0 。定义q 2 q 如下 d q ( c o ) = e x p ( - r 砸，国) 衄( f ) 一吾r 砸，彩) ) 卯 ) 贝u q t 3p 。由g i r s a n o v 定理知随机过程 口( f ) fj ：材o ，c o ) a s + 曰( f ) 为q 一布朗运动，且有 函o ) = 一面+ q 五日( r ) = t 面( f ) ；l f i t 则z ( f ) 为局部q 鞅。由引理2 1 5 知市场无套利机会。 2 2 可达和完备性 引理2 2 1 假设u ( t ，) ( 0 7 ) 满足： 研畦r 卿，甜) 训 ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 口 ( 2 2 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 足义劂度q = q 如r ： 磅9 ( 脚) = e x p ( 一r 甜( f ，口) 船( f ) 一寻r u ( t , c o ) ) 五p ( 国) ( 2 2 2 ) d 9 ( 脚) 2 e x p ( 一j ：甜( f ，口) 船( f ) 一号j ： ) ) d p ( 国) ( 2 2 ) 则 。 ( j ，c o ) d s + b ( t )(22b(t)- c o ) d s + b ( t ) 2 3 ) j ：( j ， ( 2 3 ) 为q 鞅，且任意f e f ( 巧，占) 有唯一的表达式 f ) = 岛【厂】+ f 口k ( t ，c o ) r i b ( t ) ( 2 2 4 ) 其中q b ( t ，c o ) 为f ”适应的，o ，m ) 可测的r ”维随机过程，且满足 岛 r 2 ( f ，m ) d t d t o o ( 2 2 5 2 ) 令j ( f ) = 善( f ) j ) 为标准化市场，设投资组合口( r ) 为可容许，相应的价值过程为 v 8 ( f ) = 口( f ) x ( f ) 则口o ) 在标准化市场 夏( f ) ，d 。一相应的价值过程为 即 证明：略。 矿8 ( ，) = 口( ，) 牙( f ) = 善o ) 矿8 ( f ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) y 8 ( f ) = 矿8 ( o ) + f 口( j ) d z ( j ) ；o f r ( 2 2 8 ) 善( ，) 矿( f ) = 矿( o ) + f p ( j ) 面( j ) ；o r r ( 2 2 9 ) 引理2 2 3 设u ( t ，c o ) v ”( o 刃满足 盯o ，c o ) u ( t ，c o ) = i g ( t ，o o p ( t ，国) 露( f ，c o ) ，口4 ( f ，) ( 2 2 1 0 ) 其中 且 j ( f ，出) = ( 墨( r ，国) ，k ( f ，m ) ) 随机漂移的欧式期权定价与可追鸯日的期权定价模型 e e x p ( 三r z f 2 ( f ，国) 击) 】 m ( 2 2 1 1 ) 定义测度q = q 如下 a q ( 缈) = e x p ( _ r “( f ，o o d s ( t ) 一吾f u ( t ，脚) ) d p ( ) ( 2 2 1 2 ) 缈) 2e x p ( _ i “( f ， 一音i ： ，脚) ) d p ( ) ( 2 则雪( 力车f “( s ，c o ) d s + b ( t ) 为测度q 上布朗运动，且标准化市场j ( f ) = 善( f ) 石( 力有如 下表达式 撕j ( f ) = o ( 2 2 1 3 ) 西( ，) = ( f ) q ( f ) 面( f ) ；1 f s ” ( 2 2 1 4 ) 特别的，如果r 【善2 ( t ) c r ( t ) d t m ，则测度q 为等价鞅测度。 可容许投资组合口( f ) 相应的标准价值过程( f ) 是局部q 鞅，表达式如下 d 旷9 0 ) = 善o ) q ( f ) 吒o ) 旌( f ) 证明：略。 定义2 2 4 0 a ) 欧式丁一要约为下有界e ( ”】可测随机过程f b ) 若一个要约尸 ) 在市场 x ( f ) ) ，q 。，川中存在一个可容许的投资组合口( f ) 和一个实数孑， 使得 ，( 国) = v , a ( t ) - - - z + r 占( f ) 麟( f ) 口卫 且 矿4 0 ) = 2 + 孝( ，) 窆幺( s ) 吒( j ) 庙o ) ；o f r ， ( 2 2 1 6 ) 为一个q 鞅，则称，( c o ) 为可达的。 定义2 2 5 若市场 x ( f ) ) ，e 【。】中所有的有界丁一要约都是可达的。则称市场 z ( f ) ) ，e 【。订是完备的。 大连理工大学硕士学位论文 2 3 欧式期权定价的数学表达 定义2 3 1 买方价格：期权买方为购买期权合约支付y ，相当于买方在投资期始持有一y ，则在期 权到期时刻f 买方持有的资产为吧( f ，c o ) 与期权收益f ( r o ) 的和。自然的，买方希望此时 持有资产为正，即 吧( 丁，国) + f ( ) 0 口j 。 设买方愿意支付期权合约的最高价格为p = 尸( ，) ，则 p ( ，) = s u p y ：存在一个可容许的投资组合暇得哆( l d ) # y + r 口( s ) z r ( s ) 一f ( o ) a s ( 2 3 1 ) 定义2 3 2 卖方价格：另一方面，期权卖方和约期始得到资金z ，并用这笔资金进行投资，合约 到期时刻，自然希望投资获利哆( 丁，国) 大于支付期权买方的资金，郎 蟛( r ，t o ) f ( a 8 口j 令譬= q ( f ) 为期权卖方愿意接受的最低价格，则 q ( f ) = i n f y ：存在一个可容许的投资组合暇得嘿( l 国) 产z + r 口。皿r o ) f ( 0 0 a a ) ( 2 3 2 ) 定理l ： 若存在糟一维随机过程u ( t ，国) v ”( o ，乃使得 仃( f ，c o ) u ( t ，c o ) = ( f ，t o ) 一p ( t ，r o ) x ( t ，t o ) 其中 x ( t ，c o ) = ( x 1 ( t ，c o ) ，咒( f ，d ) ) 且 e i e x p ( 1f r 扩仅缈) 出) 】 式得解 五( f ) = 五( 。) e x p f 盯( f ，珊) 如( j ) + f 一与2 2 ( f ，国) ) 埘 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 4 1 3 模型的偏微分方程式 以g o ) 表示期权，的到期收益，由于g ( r ) 为五( f ) ，d o ) 的函数，则记 g ( f ) = g ( 墨o ) ，盯o ) ，0 ( 4 1 7 ) 令 甜( f ，c o ) = 盯1 ( f ，c o ) - r ) 由于 e ( e x p ( 华r 一亿啪】 m 由定理1 得 p ( d = g ( f ) = e e 一盯g 】 记 g ) = e - r t g ( 墨( f ) ，d ( f ) ，t ) 则g ( 国) = e - n g ( 五( f ) ，o - ( t ) ，) 为鞅，对g ) = e - n g ( x l o ) ，盯o ) ，f ) 进行微分，其漂移项为零。 即有 町喙础黼 m 一面o g 护毒墨仃“南占p 吨腆k 1e ”鲁啦衙( f ) + 互1 e - n a o z g 万驴盯2 ( f ) + 丽0 2 孑g 丽n ：枷2 p ) 置( o = 。 整理得 鲁+ 蠹蜀+ 南占( o - h a g ( r 垆( ，) + 三警c r 2 ( f 腭( f ) + j 1 否而0 2 9 后铲= 曙( 4 s ) 则( 4 1 8 ) 为该模型的偏微分方程式。 4 2 可在写时刻追加期权的定价问题 4 2 1 模型假设 该模型有以下8 条假设： 建立模型时做以下8 条假设： 1 无风险利率r 已知，且为常数，不随时间变化。 2 有两种长期存在的证券，一种是股票( 标的资产) ，其价格s 的变化为几何布朗运动， 即 随机漂移的欧式期权定价与可追加的期权定价模型 a s , = u s , d r + a r s , d b ( t ) 一2 或者说，墨服从对数正态分布，s = s oe x p ( - ) f + 盯口( f ) z 另一种是无风险证券三r ，它的价格过程为娓皮= 喝。 3 期权买者有在乃时刻0 瓯为期权买家再买期权的条件，有 e ( g ) = e - ”e ( ( 墨一k ) + + ( 曲一芷) + ，岛 ) 由于氏和墨的联合密度对& 进行积分所得为昌的密度函数，则 一2 7 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中 由于 于是有 e ( ( s ；一k ) + + ( 昌一k ) + ，岛，) ( 4 ：3 ) = e ( ( s 一足) + ) + e “品一芷) + 与沪岛1 ) e “爵一置) + ，品 ) “( 唼“圳 ( 4 2 4 ) 岛；s 喇一争岫 ( 4 2 5 ) 黾= s o c ) 【p ( c a _ 了0 , - 2 ) 瓦+ 仃气 孚= e x p ( ( 一譬耵一t o ) 圳岛一氏) ) ( 4 2 6 ) 由于岛一龟= 艮坛，则妻岛与昌喝的密度函数相同且独立。令r = 丁一瓦，= 蚤， 根据概率知识可得s 7 的密度函数为 邢) = 歹1 赤去唧芦嚆芳泄) z 的密度函数为 蛾) = 毒丽1 忑1 唧( 堂舞型) ： 卑于2 毒与独立，则和氏的联合密度2 厂( ) g ( 屯) e “妾黾) 、一 = f 囊( s 一k ) f ( s ) g ( 瓯) 豳蛾 2 e 磊s s r , f ( s ，) g ( 瓯) 豳砚一k ( 瑗f ( s ) g ( s o d s d s , ( 4 2 9 ) 一2 8 堕竖整堕塑塑壑塞笪墨里丝垫塑塑壑塞丝堡型 弟一坝 厶= e 囊s s z o f ( s ) g ( s b ) d s d s , o = f 跗) 磊 市两1 丽1 砺1e 啾型嘎芳遂脚觋 ( 4 2 1 0 ) 令i = 蜀，则蚕与品喝同分布，则 五寺f 跗& ) 囊 两i 1 1v 荔1 唰紫) 趣 2 妄f 黾g ( 瓯戍( d 1 ( ) ) 峨 “2 。1 1 = e f 黾g ( 瓯) ( d 1 ( ) ) 哦 第二项 其中 整理得 其中 衄黾k ) + ( r + 等) r d 1 ( 黾) 2 i 矛一 i l2 k 毫墨f ( s ) g ( s , o ) a s a s = x f g ( 毛) 瑗f ( s 涔氇 p 哪 = 足kg ( s ) n ( d 2 ( s r o ) ) d s r 1 i l ( s o k s 矗) + ( ，一要) r d 2 ( & ) 2 i 万一 ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 1 4 ) 尸( g ( m ) ) = p ”( e “昌一k ) + ) + 一厶) = s o n ( 4 ) - k e - ”( 攻) ( 4 - 2 1 5 ) + e g ( 瓯) ( d l ( ) ) d 一k e 一” g ( s , o ) n ( d 2 ( s r o ) ) d s r , 大连理工大学硕士学位论文 d 2 2 一a 1 + 洲 m ( s 。o k ) + ( r + 譬) r q 瓯2 _ 产 ( 4 2 “) 、：堕兰堡鲨二芝2 竺 d 2 蛾) 2 丐万上 该期权的定价模型即为( 4 2 1 5 ) 学 = 盔 一堕竖堑堕堕塑壑塞笪兰亘望垫盟塑壑塞尘堡型 结论 ，在标的股价格波动仃为满足拈( f ) - - - t s ( o - l n 仃( t ) ) c r ( t ) d t + k c r ( t ) 猫( f ) 的随机变量 时，欧式期权中代表衍生性商品价格的函数g ( s t ，q ，f ) 满足微分方程 警+ 亳五+ 南万( o - l nc r ( 归( f ) 哇鲁