（应用数学专业论文）基于相协样本下刻度指数族和单边截断型分布族参数的bayes统计推断理论.pdf

基于相协样本下刻度指数族和单边截断型分布族 参数的b a y e s 统计推断理论 摘要 经验b a y e s ( e b ) 方法应用在多次面对具有相同结构的b a y e s 决策序列时的 统计推断问题，这一方法在文献中有很多讨论，本文第一章对此作了简单的回 顾，并给出了本文的主要结果 本文第二章，第三章基于同分布弱平稳正相协( p a ) 样本，在加权平方损失下 获得了刻度指数族参数的b a y e s 估计，并构造了相应的经验b a y e s ( e b ) 估计，证 明了所提出的e b 估计是渐近最优的，并且获得了渐近最优e b 估计的收敛速度 最后，给出了满足主要结果的例子 本文第四章在平方损失下对单边截断型分布族基于同分布弱平稳正相协 ( p a ) 样本，构造了位置参数函数的经验b a y e s ( e b ) 估计，在适当的条件下，证 明了位置参数函数的经验b a y e s ( e b ) 估计是渐进最优的并获得了其收敛速度 第五章，基于同分布弱平稳正相协( p a ) 样本，对一类单边截断型分布族在 l i n e x 损失下获得了参数的b a y e s 估计，并构造了相应的经验b a y e s ( e b ) 估计 证明了该估计是渐近最优的并且获得了它的收敛速度，最后给出适合定理条件 的一个例子， 最后在第六章，给出总结及展望。 关键词：p a 样本；刻度指数族；单边截断型分布族；经验b a y e s 估计；渐近最 优性；l i n e x 损失：平方损失：加权平方损失；收敛速度 t h ee m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o no fp a r a m e t e r f o rs c a i e - e x p o e n t i a lf a m i l ya n dt h eo n e - s i d et r u n c a t e d d i s t r i b u t i o nf a m i l yu n d e ra s s o c i a t e ds a m p l e s a b s t r a c t t h ee m p i r i c a lb a y e s ( e b ) a p p r o a c hi sa p p l i c a b l et os t a t i s t i c a li n f e r e n c ep r o b l e m s w h e no n ei se x p e r i e n c e dw i t ha l ls e q u e n c eo fb a y e sd e c i s i o np r o b l e m se a c hh a v i n g s i m i l a rs t r u c t u r e t h em e t h o dh a sb e e nw i d e l yd i s c u s s e di nag r e a to fl i t e r a t u r e w h i c hi si n t r o d u c e di nc h a p t e ro n e a l s ow eg i v et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ri n t h i sc h a p t e r i nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r ，t h eb a y e se s t i m a t o ro ft h ep a r a m e t e ri so b t a i n e d f o rt h es c a l ee x p o n e n t i a lf a m i l yi nt h ec a s eo fp o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) a n d w e a k l y s t a t i o n a r ys a m p l ew i t hi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t a t i o nu n d e rw e i g h t e ds q u a r el o s sf u n c t i o n w ep r o v et h a tt h ee s t i m a t o ri sn o to n l ya na s y m p t o t i c a l l yo p t i m a le be s t i m a t o r b u ta l s ot h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ep r o p o s e de be s t i m a t o ri sa l s oo b t a i n e d f i n a l l y , t w oe x a m p l e sh a v eb e e ng i v e nt h a ts a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so ft h em a i n r e s u l t s 一 i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ec o n s t r u c tt h ee be s t i m a t o rf o rp a r a m e t e rf u n c t i o no f o n e - s i d et r u n c a t e dd i s t r i b u t i o nu n d e ri d e n t i c a l l yd i s t r i b u t i o n ，p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) a n dw e a k l ys t a t i o n a r yd a t a a l s o ，w eo b t a i n e di t sc o n v e r g e n c er a t e i nt h ef i f t hc h a p t e r , u n d e ri d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) a n d w e a k l ys t a t i o n a r ys a m p l e s ，t h eb a y e se s t i m a t o ri sa l s od e r i v e du n d e rl i n e xl o s s f u n c t i o na n de m p i r i c a lb a y e s ( e 。b ) e s t i m a t o ro fp a r a m e t e ra r ec o n s t r u c t e df o rt h e o n e s i d et r u n c a t e df a m i l i e s i ti ss h o w nt h a tt h ep r o p o s e de be s t i m a t o ri s a s y m p t o t i c a l l yo p t i m a l i t ya n dw ea l s oo b t a i ni t sc o n v e r g e n c er a t e a tl a s t ，w eg i v e a ne x a m p l et h a ts a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m f i n a l l y , i nt h es i x t hc h a p t e r ，w em a k eas u m m a r ya n dg i v ee x p e c t i o n s k e y w o r d s ：p as a m p l e s ：s c a l ee x p o n e n t i a lf a m i l y ：o n e - s i d et r u n c a t e dd i s t r i b u t i o n f a m i l y ：e m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o n ；a s y m p t o t i c a l l yo p t i m a l i t y ：l i n e x l o s s ；s q u a r el o s s ，w e i g h t e ds q u a r el o s s ：c o n v e r g e n c er a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王丝太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字：苑l 刃良 签字日期：2 0 - 7 莎月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金世王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 盒世王些塞堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：先l 习良 签字日期：知年6 月歹e t 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲缓多矸 签字日期：叼年朔f 日 电话： 邮编： 致谢 本文是在导师凌能祥教授精心指导和大力支持下完成的。凌老师以其严谨 求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创 新的进取精神对我产生重要影响。刚进入研一，凌老师就给我制定了一系列短 期和长期的任务，并时刻督促我认真完成。两年多来，从我开始看论文到我的 论文被录用，从我开始准备考博到我被录取为同济大学梁汉营教授的博士生都 时刻离不开凌老师的指导与关心! 凌老师不仅在学业上给我以精心指导，同时 还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，这些都将使我终身受益。在此谨向 凌老师致以诚挚的谢意! 除了感激之外，我还有丝许的惭愧，因为我与导师所 要求的还相差甚远。希望在以后的人生道路上继续得到他的指导和帮助。 另外，我还要特别感谢杜雪樵教授和惠军副教授等对我的教育培养。他们 细心指导我的学习与研究，在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬。还要感谢 我身边许多同学对我的无私帮助，使我得以顺利完成论文。最后，再次对关心、 帮助我的老师和同学表示衷心的感谢! 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利 完成，有多少可敬的师长、同学、朋友、家人给了我无言的帮助，在这里请接 受我诚挚的谢意! 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙中给予的批评指正。 作者：范国良 年月 日 第一章综述 1 1 绪言 b a y e s 统计起源于1 7 6 3 年，在上世纪二、三十年代对b a y e s 观点的讨论空 前激烈，自1 9 5 0 年a w a l d 统计判决理论产生后，b a y e s 方法成为统计判决理 论的重要工具。到上世纪六、七十年代产生了经验b a y e s ( e m p i r i c a lb a y e s ，简 称为e b ) 方法。经验b a y e s 方法认为对一个实验问题采取什么样的行动不仅依 赖于现有的样本信息( 不在乎样本容量的大小) ，而且还应当考虑样本中参数的 某些先验信息以及采取行动所带来的损失大小。经验b a y e s 方法用于估计问题 产生了经验b a y e s 估计，经验b a y e s 方法用于检验问题则产生了经验b a y e s 检 验。e b 估计是r o b b i n s 在1 9 5 5 年提出的，以试图解决在使用b a y e s 方法时， 因不知道先验分布而产生的困难。b a y e s 分析是现代统计推断的一个重要方法， 它渗透到了统计研究的几乎所有重要领域。b a y e s 分析与经典统计方法的主要 不同之处是在于进行统计推断时除了利用样本提供的信息外，还要利用参数的 先验信息，传统的b a y e s 方法的一个重要问题是如何确定先验分布。当参数的 先验信息积累不是足够多时，若对先验分布作了与实际情况不相符的人为假定 时，所得到的b a y e s 解的性质会很差。经验b a y e s 方法就是针对这一问题而提 出的。它的实质是利用历史样本对先验分布或其重要特征作出估计。 自从r o b b i n s 提出e b 方法以来，e b 估计和e b 检验问题在各种文献中研 究的已相当多了。但很多都是针对独立同分布( i i d ) 样本来讨论的。然而在可 靠性理论、渗透理论和某些多元分析问题中随机样本常常不是独立同分布( i i d ) 的而是具有一定的相关性。负相协( n a ) 和正相协( p a ) 样本就是常见的两种。因 此基于正相协( p a ) 样本研究刻度指数族和单边截断型分布族参数的经验b a y e s 估计问题有一定的理论意义和应用价值。先给出p a 的定义( 见文献【9 】) ： 定义1 1 r m x ，x ，x 。称为p a 的，如果对于集合 l ，2 ，o9 ) 的任何 两个不交的非空子集4 与a ，都有下式成立，即 c o y ( f , ( 蜀，i 4 ) 石( x ，j 4 ) ) 0 ( 1 1 ) 其中，：和疋是任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降或非升的函数。 称r v 序列 x ，n 是p a 的，如果对任何自然数，2 ，x l ，x 2 ，z 。都是p a 的。 本质上说，经验b a y e s 方法就是通过历史资料对先验分布的重要特征作出 估计，从而渴望得到具有良好性质的e b 解。这个方法使用的前提是：参数目确 是通常意义下的随机变量，其分布g 在历史资料积累的过程中保持不变。设随 机变量( r v ) x 的概率空间为( z ，e ，马，口0 ) ，行动空间和损失函数分别为( d ，岛) 和l ( o ，d ) ，假定在过去已面对过这个统计判决问题。现在再一次面对上述统计 问题，得到当前样本是z ，真参数值为0 。在求口的b a y e s 解时，可以通过历 史样本墨，五，以对先验分布g 作出估计，不妨记为a o ( o x , ，x 。) 。在这个 先验分布下当模型在第n + l 此使用样本x 皇瓦时，我们自然就使用基于先验分 布a a c a l x l ，工。) 的b a y e s 解皖( 墨，鼍；工) ，这记号表示所有判决函数最与历 史资料墨，k 有关。当在第n + 1 次问题中使用这个判决函数时，其b a y e s 风 险将是与墨，五和最有关，可记其b a y e s 风险为： ( 疋；墨，以) = 臣。一) 【三( 只蛾( 墨，以；肖) ) 】 2 j l 。e 工( 只哦( 墨，以；并) ) 卯+ ( x ，曰) = 量三( 只皖( 五，以；x ) ) 讲；( x ，d p ( d 其中置舢) 表示关于( x ，口) 的联合分布求期望，p + 为( ，口) 的联合分布，p a x ) 表 示当给定0 时，x 的条件分布。由于墨，互，以也是随机的，所以在评价 最( 五，以；z ) 时不能看恐( 皖；五，咒) ，而要看这个量对x i ，以的平均值，这 样得到的判决函数玩的全面b a y e s 风险为： 足2 见( g ，玩) 2 州如( 皖；五，以) 】。k 。( 磊；而，x d a e ( x , ) a p ( x d ( 1 2 ) 其中蜀表示关于( 五，以) 的联合分布求均值。记名为扩的b a y e s 解，其b a y e s 风险为： 如= ( 晚) 2 唾n ( j ) 2 臣删) 【三( 疗，) 】 ( 1 3 ) 由于对任何，以有 ；五，咒) 恐( 磊) ，必有 民 也就是说，任何经验b a y e s 判决函数磊的全面b a y e s 风险墨，都不会低于b a y e s 解晚的b a y e s 风险，我们的目的是希望当露充分大时，蜀可任意接近尼，这 引出如下定义： 定义1 2 任何同时依赖于历史样本耳，x ：，和当前样本，的判决函数 瓯= 民( 畸，；x ) 称为经验b a y e s 判决函数，如果有： 熙r = 如 ( 1 4 ) 则称瓦为渐近最优( 简记为a 0 ) 的经验b a y e s 判决函数。如果对某个q 0 有 r 一民= o ( n 1 ) ， ( 1 5 ) 则称蛾的收敛速度的阶为o ( n 1 ) 文献【3 】在独立同分布( i i d ) 样本下研究了刻度指数族参数的渐进最优的经 2 验b a y e s 估计。然而在可靠性理论、渗透理论和某些多元分析问题中随机样本 常常不是独立同分布( i i d ) 的而是具有一定的相关性。负相协( n a ) 和正相协( p a ) 样本就是常见的两种。因此基于正相协( p a ) 样本研究刻度指数族参数的经验 b a y e s 估计及经验b a y e s 估计的收敛速度有一定的理论意义和应用价值。 对于单边截断型分布族参数的e b 问题的研究也有不少，文献【3 】在n a 样 本下研究了单边截断型分布族参数的经验b a y e s 检验，文献【4 】在n a 样本下研 究了一类单边截断型分布族位置参数函数的e b 估计的收敛速度，因此基于正 相协( p a ) 样本下研究单边截断型分布族位置参数函数的e b 问题，具有一定理 论意义和应用价值。本文则在正相协( p a ) 样本下研究单边截断型分布族位置参 数函数的e b 估计的收敛速度，获得了类似于文献 5 】中的结论。 另外，通常的e b 问题常采用平方损失及加权平方损失。对于在l i n e x 损 失下的e b 问题的研究相对较少。然而l i n e x 损失应用非常广泛，它可应用于 预测问题的b a y e s 分析，寿命试验和可靠性估计问题，也可应用于多维正态分 布的广义b a y e s 估计，见【6 】及所引参考文献；又基于l i n e x 损失下的e b 问题绝 大多数是基于独立同分布( i i d ) 样本来进行研究，最近文献【7 】在独立同分布 ( i i d ) 下讨论了二维单边截断型分布族参数的e b 估计，文献【6 】在独立同分布 ( i i d ) 下研究了一类单边截断型分布族参数的e b 估计问题。因此基于正相协 ( p a ) 样本研究l i n e x 损失下单边截断型分布族参数的e b 估计问题是有一定的 理论意义和应用价值。 1 2 综述 设 以，一2 是同分布弱平稳p ar v 序列。 本文对p a 序列的协方差结构作如下假定： ( c ) ：c o v ( x , ，x j ) c o 令t 。( ) ( f = 1 ，2 ) 是b o r e l 可测的有界函数，在区间( o ，1 ) 之外为零，且满足下 列条件( d ) ： ( d 1 ) 抄屯咖= 协置刚，l ，一础 一 ( d 2 ) ( x ) 在r 1 上除有限或可列点集e o 外是可微的，且s u p i u ) l 墨m 0 ) ， ( 1 6 ) 同时令口的未知先验分布g ( p ) 属于分布族矿。= g ：e i c ( 0 ) o o ，研口2 c ( 印】 采用如下的加权平方损失函数：l ( o ，d ) = ( d 一口) 2 0 2 ，此时损失函数在适当的变 换群下具有不变性，且导出的b a y e s 估计易于用非参数方法获得其e b 估计。 我们给出0 的b a y e s 估计： 址器= 篇= 黹 n 7 ， 拶”2 旆2 1 ：i i 丽2 _ 雨 、1 其中p o ) ( x ) = 一p c ( 印e x p ( 一x o ) d g ( # ) ；p 2 ( j ) = p 4 c ( 口) e x p ( - x o ) d g ( 8 ) 口w 的b a y e s 风险为： ， r ( g ) = r ( o b e ，g ) = 日x j ，【( 日一印2 0 2 】 ( 1 8 ) 定义p ( 1 o ) 和p 2 ( 功的核估计如下： ”= 面i 善n 整产汹c = 壶喜丝豸业 此处0 死斗0 ，( 珂一。o ) 令 硝1 力= 矧兰 m 9 ， 此处碱 为一趋于零的正实数列。 由此我们定义分布族( 1 1 ) 式中参数口的e b 估计为： 如，= 一硝( z ) 露( x ) 故屯。的全面b a y e s 风险为： e ：民( 务。，g ) ；丘【( 务。一口) ：知z 】 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 我们得出同分布p a 样本0 的e b 估计的渐进最优( a 0 ) 性。 定理1 1设x 。，x 2 , - - , x 。为同分布弱平稳p a 样本序列，且 e e 4 f ( 矽) 】 o o ，e ( 9 - 2 ) 0 0 。若“( x ) 单调不减，一阶可导且满足： 志鸩 忡，焉肘： 佃，协如 则当= d ( 以) ，吃一0 且，碱。一c o ( n o o ) 有 l i r a r 。= r ( g ) ( 1 1 2 ) 本文第三章我们继续讨论第二章中的分布族，给出了参数目的e b 估计的 另外一种形式，证明了它是渐近最优的并获得了它的收敛速度。 我们定义刻度参数0 的e b 估计为： 珏 鬻l ， ( 1 1 3 ) 此处0 v 。有玄嘉时， 佃，豢暑鸩 o ，a 0 满足“( x ) 胁4 ； ( 3 ) 对0 五 去，给定的整数s 和任意小的正数占，使得下列条件满足 e o 。c ( 口) 】 o o ，e 占2 厶 o o ，e o 1 2 2 1 c ( 6 1 ) 】 0 0 ， 2 ( 1 + f 一l 则当取吃= 聆2 ”4 时，有 r 。一r ( g ) = o ( n 1 ) ， 其中g = 褊 ( 1 1 5 ) 本文第四章中我们对单边截断型分布族位置参数函数的经验b a y e s ( e b ) 估 计进行了研究，证明了其渐近最优性并获得了收敛速度。 若给定口时工的条件分布为单边截断型分布族，其密度函数为： 删= 徊口菇耿6 ( 1 1 6 ) 其中，u ( x ) 是0 ，口) 上的非负可积函数；0 为位置参数；a 为常数，b 可取+ o o ； 且r ( 口) = f “( x ) 出】- j ，咿( 口，6 ) = q ，一o 。口 b 佃，设q = o ，6 ) 上参数日的完 验分布g ( 印，假定密度函数r i g ) = g ( 硼取损失函数为平方损失 三( q ( 口) ，m 。) = ( o g ( x ) 一q ( 护) ) 2 ，得到q ( o ) 的基于样本x 的b a y e s 估计为： m g ( x ) = e ( q ( 回i x ) = j o q ( o ) f o ( x ) d g ( o ) f ( x ) = q ( + v ( x ) ， ( 1 1 7 ) 其中、壬，= 删嘲伽) ；m ) = f 辨( 钆当弛) i o 时中出) 一0 ， 因此 m g ( z ) 的b a y e s 风险为。 比2 互x ( 中g ( 善) 一q ( 印) 2 用e ( 力估计f ( ，即 e ( 功= 三f 1 - 17 ( 置功， 其中，i ( a ) 是a 的示性函数。 用z ( x ) 估计f ( x ) ，即 z ( 功= 石1 n i t tlk ( 争， 珂一以 其中，h = 一0 寸) 核函数k ( ) 满足下列条件： ( 1 ) k ( 奶= 0 ，y 正( o 1 ) ( 2 ) 足 ) 咖= 1 ，s u p l k ( y ) m ( 3 ) k ( ) 可微，且s u p k x ) l - c c o 用) 估计f ( 班鸭( 力= r 等识 用甲。c x ，估计甲c z ，即l c x ，= 丛羔朵爿，c 。 2 ，使得 f i q ( p 5 d g ( o ) ， f 摩( 工m 5 v ( x ) 出 o o ，f 罴( q ( 砌2 出 o o ， e 闳5 0 ) 阶l i p s e h i t z 条件，且 s u p f ( x 1 “j 曲 于是对任意的五， o 丑 # 1 ，如果v = 瓦2 c t 警4 丽， 则有 + d (十) d r 。一r g = o ( n 叫) ( 1 2 1 ) 其中，g = 筹黑； 本文第五章中我们在l i n e x 损失下对单边截断型分布族参数的经验 b a y e s ( e b ) 估计进行了研究，证明了其渐近最优性并获得了的收敛速度。 若给定口时x 的条件分布为单边截断型分布族，其密度函数为： 胁，= 髀烈d 0 口 口 x 0 的情形。如果v ( x ) 呻o 专a ) ，则当g i o ) 已知时，由【6 1 失1 1 ，在l i n e x 损失下，0 的基于样本x 的b a y e s 估计为； 口，g ( x ) = 一三l n e ( e ”9 l x ) = l l n r o ( x ) ( 1 2 3 ) 其中拍) = 万卷，) 钏o ) f c e - c t u - i ( t ) f ( t ) d t a ( x ) x q ，o ( x ) 的b a y e s 风险为。 r g = e ( 。口) e x p p ( 口( 石) 一口) 卜c ( 9 七( x ) 一目) 一1 ( 1 2 4 ) 密度函数，( x ) 核估计定义为：六( x ) = 面1 善n 足f ) ，此处。 吃j 。_ 嘲 月。百疗。 令d n ( x ) = “( x ) f 旷“f 。( t ) u q ( t ) d t ， i 五! 生 ， 当1 厶! 生 ( 善) = p ” ( 工) + 见( x ) 7e - c x 六o ) + d 。( x ) 【1 ， 其他 0 v 1 待定。用见( 功与厶( 功分别作为d ( 力与t o ( x ) 的估计。最终定义 7 口k ( x ) = c 一1l n r 。( 并) ( 1 2 5 ) 作为0 的经验b a y e s 估计。 我们可以获得同分布p a 样本0 的e b 估计的收敛速度。 定理1 4 设纯( 力由( 2 5 ) 式给出，其中墨，k ，以为同分布弱平稳p a 样 本序列，条件( c ) 、( d ) 成立。对0 a 口 x 6 ，若下列条件满足： ( 1 ) ( x ) e 。，s 为大于1 的自然数； ( 2 ) u ( x ) 是( 口，6 ) 上的非负可积函数，s u p u o ) 0 ) ( 2 1 ) 此处“( x ) 0 ，x ( o ，佃) o = 口 o l o i _ “( x ) e x p ( - x # ) a b c o o 为参数空间。 l _ 我们采用如下的加权平方损失函数： l ( o ，d ) = ( d p ) 2 0 2 ( 2 2 ) 设g ( 回为0 的先验分布，但未知且属于下列先验分布族： l 矿= g ：e k ( 占) 】 0 ( 2 4 ) 当g f 时，用口表示关于g 的b a y e s 估计，由b a y e s 估计的公式得： 台。：竺挚：坦型竺竺竺：塑 ( 2 5 ) e ( o i x ) c 。曰4 厂( z l 口) 粥( 口) ( z ) 其中( x ) = 一b 0 ( 0 ) e x p ( - x o ) d g ( o ) ；p ( z ) ( x ) = - 2 c ( 口) e x p ( - x o ) a o ( e ) 。( 2 6 ) 一的b a y e s 风险为： 尺( g ) = r ( 一a e ，g ) = 巨x j l 【( 口b e d 2 0 2 】 ( 2 7 ) 由于g ( 口) 是未知的，因此口”无实用价值，故此导致我们采用e b 方法。 2 1 经验b a y e s 估计 设 以，”2 是同分布弱平稳p ar v 序列。 本章对p a 序列的协方差结构作如下假定： ( c ) ：e o v ( x l ，) 0 0 令k l ( - ) ( i = 1 , 2 ) 是b o r e l 可测的有界函数，在区间( 0 ，1 ) 之外为零，且满足下 列条件( d ) ： ( d 1 ) 抄颤嘞= 协瓮例，l p 啦 9 ( d 2 ) t ( x ) 在r 1 上除有限或可列点集昂外是可微的，且s u p i 协) i 茎m o o r 1 - 丘 类似于文献 8 】，定义p 1 ( 膏) 1 ) ( 刁= 面1 善n 掣 此处0 k 专0 ，( 玎寸) 和p 2 ( 工) 的核估计如下： 硝k ) = 面i 善n 警， 令 1 加f i 曼矧三 s ， 此处 吒 为一趋于零的正实数列。 由此我们定义分布族( 2 1 ) 式中参数0 的e b 估计为； 屯= 一p 乳x ) 露( 功 ( 2 9 l 本文用e 。和e 分别表示关于( x l ，x ：，以，( z ，口) ) 和( x i ，x 2 ，以) 的联 合分布求期望， 故站的全面b a y e s 风险为： 民= r 。( o e s ，g ) = e , ( a z b - - p ) 2 e 2 】。 ( 2 。1 0 ) 按定义，对每个g e 苈若有l i m 兄= r 。，这时称吼关于先验分布族矿为渐 近最优( a o ) 的e b 估计。 2 2e b 估计的渐近最优性 引理2 1 设x 和y 是两个p ar v ，皆有有限方差，则对任何两个可微函数 g l 和9 2 有 c o v ( g t ( z ) ，9 2 ( y ) ) s t l g i ( x 3 1 。s ? p l g ；o o l c 。v ( x ，y ) 当g 。和g ：分别在有限或可列点集目和瑶上不可微时有 c o v ( g - ( x ) ，9 2 ( 】，) ) ，嚣k ( x ) 1 。s u 、p g ：( 1 0 。c o “x ，y ) 证明：见 9 】。 引理2 2 对任意估计有 胄( ，g ) 一置( g ) = e 【( 矿一口) 2 0 2 】 其中r ( ，g ) 表示矽的b a y e s 风险。 证明：见【8 】中引理1 。 引理2 3 如果g f 且e 【占4 c ( 口) 】 o o ，i 为非负整数，则 研目叫c ( 口) 0 0 ，s u p l p o ) ( x ) j ( f _ 1 , 2 ，_ j ) i o ( 2 1 1 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 证明：从【8 】中引理2 及注易得。 引理2 4 令j 3 为固定的整数， 若( 曲单调不减，一阶可导且满足： 五，五，以是同分布弱平稳p ar v 序列， 志 佃，鬻射： 。 则当”扫“专甘。o ) ，有 e ( p ) 一p ”0 ) ) 2s q 瑶m = l ，2 ( 2 1 4 ) 证明： i e ，皇e ( j 妒( 砷一p ”( x ) ) 2 2 e ( p ，( x ) 一p ，( x ) ) 2 + 2 ( 印，( 工) 一p ( “1 ( 毒) ) 2 皇2 ( 。+ l 。) ( 2 i s ) 其中小帅= 脚镑1 善n 掣】 5 嘉哳嘻掣， 2 嘉喜脚掣 + 赤荟叫1 以2 嘭“乇毫飞 ! ! 墨二兰2 生! ：! 竺! ! 墨二兰! ! 堡! “( z ) u ( x j ) 兰搿+ 髻 聊= 1 , 2 ( 2 1 6 ) 因为t p ( 刮= i e c ( 口) e x p ( - x o ) d o ( o ) i e p ( p ) 】 0 由引理2 3 ，我们得 础。赤哳警嘉研警，2 = 上n h 2 n + 2 mf c 紫舻嘉f t 筹拙 而1f ：( o a t c - 嘉 ( 2 1 7 ) 记( x ) = 堡掣，根据( c ) 、引理2 1 及弱平稳性质，由于 瓯) 是 “i f ， 一趋于零的正实数列，当栉充分大时， 我们有 船= 矗c o v b 。陋，力，g 。( 一，力) i 自 ，自 毒荟互( s u p 隆以x ，1 ) 2 v c 置，- ， 一焉啪刮吃炉沏c 彬， s 书氍( s u p l 避掣h s u p 意端k ( ( t - x ) 仉) i ) 2 酬， 书荟毛寿。c o v ( 置，_ ) 皋薪。肝喜c o v ( 五，_ ) 面。( 2 - s ) 因为 秽( 功= 古e 【掣】= 古f 掣l f ( 肭 2 专l 啪咖( x + h t 肌 利用t a y l o r 展开，有 p + 吃f ) = p ( 功+ p o ) o ) f + +旦皇塑丝堕：旦 m ! ”1 ( 毋( 。f ) ”1 ( 聊+ 1 ) ! x 善 x + h , t 由( d 1 ) 及引理2 3 ，有 j 印( 工) - p t ) ( x ) l 意可职缈“p 1 ) ( f ) 阿c 5 因此1 2 。c 6 磁 ( 2 1 9 ) 最后， 由( 2 1 5 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) ， 得 卜2 “m 峨) ( 础州弘1 2 ) u 蚰如赤+ 毒+ 气霹) 弛毒托毒+ c 嬲 故当硝“”专0 寸c o ) ，j s q 群 引理2 4 得证。 由以上几条引理，我们得出同分布p a l 样本e b 估计量的渐进最优( a o ) 性。 定理2 1 设x 。，x 2 ，x 。为同分布弱平稳p a 样本序列，且e o 。c ( 口) 】 。o ， e ( o - 2 ) o 。若“o ) 单调不减，一阶可导且满足： 三s 佃，掣鸩 0 甜( x ) “2 ( x ) 则当= o ( a o ) ，圾寸0 且碱。专o o ( n 一呦有 l i mr 。= r ( g ) ( 2 2 0 ) 归 夯 证明：证明思路与【8 】中定理1 的证明相似。 焉一胄( g ) = e e ( b 。一谷。) 2 0 2 】= 臣r ，) 【口一2 五( 台”一刍“) 2 】 从而由控制收敛定理可知，为证定理只需证明： 口- 2 e ( p 口一p ) 2 m ( x ，9 ) ， 对充分大的拧，且量x ，) m ( x ，p ) l i m o _ 2 e ( 目e b - - 口) 2 = 0 ，对任意固定的x 和0 由【8 】中定理1 我们有 晚一o b s ) 2 = e ( - 器+ 瓮 2 z 攻警 2 栩孟e ( 一器 2 训州2 饥亿z ， 由 8 】中定理1 及引理2 4 ，得 ，1 占，e ( p ，( x ) 一p 1 ( j ) ) 2 c l 靠2 群。 严( 紫卜b 圳+ e ( 笸糍挚 2 。 皇，( 2 1 ) + ，( 2 根据 8 】中定理1 及引理2 。4 ，得 ，2 1 靠2 e 【p ：2 ( x ) 一p 2 ( x ) 】2s c 2 巧群 由【8 】中定理1 得 严- 4 1 ( 川，) 珥) 由( 2 2 1 ) 一( 2 2 5 ) ，对充分大的胆，有 口一2 e ( 谷口一各) 2 2 c 8 h 2 0 。2 + 2 c ：晷玉- 2 2 口。2 + 8 扫磊臼2 ，。( ，) 。以) 进一步由= d ( 玩) 得：对任意固定的x 和0 ，当n 卵一，有 l i r a 0 2 e 旧e b - - 口口) 2 = 0 故得证。 由( 2 2 5 ) ，得 p 一：e ( 各。一各。) z c 3 0 。+ c 。矽玉0 。2 - m ( x ，口) 根据j e n s e n 不等式有 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 z s ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 昭铲m 1 即e ：c o _ 2 l - , l x 萨) 2 ( 铲i z ) 卜 ( 2 2 8 ) 由( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 乏条件e ( o 。2 ) 得 e ( 椰) m ( x ，0 ) o 为已知常数。 易证定理2 1 的条件满足： ( 1 ) n + 1 ) e - i 拈f ”瓦南( h 啪巧出 = 志卜屯小；十； ( 2 ) “o ) 可微， 单调不减且满足 志= 击1 虬鬻u 蔓南1 o ； 甜( x ) 工+ 2 ( 石) x + ( 3 ) 由 8 】中例子， 我们得e o _ 3 c ( 护) 】 0 ，x ( o ，佃) o = 口 0 l o 7 u ( x ) e x p ( 一x o ) 出 ) 为参数空间。 一 我们采用如下的加权平方损失函数： r ( o ，d ) = ( d p ) 2 0 2 ( 3 2 ) 设g ( 印为0 的先验分布，但未知且属于下列先验分布族： 固矿= g ：研c ( 目) 】 0 ( 3 4 ) 当g f 时，用臼表示关于g 的b a y e s 估计，由b a y e s 估计的公式得； 址端= 麓= 鬻。 5 ， 其中p m o ) = - - ? - 1 c ( 8 ) e x p ( 一x o ) d g ( o ) ；p ( j ) = p 。“口) e x p ( 一x o ) d g ( o ) ( 3 6 ) o s e 的b a y e s 风险为 r ( g ) = r ( o s e ，g ) = 量t ( 口口一目) 2 e 2 】 ( 3 7 ) 由于g ( o ) 是未知的，因此口脏无