（应用数学专业论文）几类非线性算子的不动点理论及其应用研究.pdf

摘要 本文主要是利用半序方法来研究了几类算子的不动点存在性问题，建立了 若干的新不动点定理，全文共分六章 第一章我们介绍了一些文中用到最基本的定义和引理，第二章引入序非扩 张算子的概念，并研究了这种算子不动点的存在问题，得到了几个新的不动点定 理第三章研究了在四种不同条件下非紧减算子的不动点的存在性，得到了几个 新的不动点定理第五章定义了实h i l b e r t 空问的一种新的半序( t 半序) ，讨论 了在这种半序意义下锥的一些性质和几类算子的不动点定理第六章讨论了t 半 序在序列密码设计中的应用问题，并将泛函理论应用到密码算法的设计中去 关键词：半序：序非扩张算子：锥：不动点：减算予：混合单调算子：密码系统 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ff i x c dp o i n t so fs e v e r a lc l a 8 8 0 so f o p e r a t o r sb ym a k i n gi mo f p a r t i a lo r d e rm e t h o d ，a n ds e t 叩s e v e r a ln e w t h e o r e m so f 叙e d i n t t h ef i l l lt h e s i sd i v i d e si n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es o n i cb a s i ci m p o r t a n tk n o w l e d g ew h i c hw i l lb e u s e di nt h el a t t e rc h 棚螂o ft h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w ed e f i n et h ec o n c e p to fo r d e r n o n - e x p a n s i v eo p e r a t o r , a n di n v e s f g a t et h ef i x e d - p o i n te x i s t e n c ep r o b l e m , o b t a i n e d $ 啪ef i x e d - p o i n tt h e o r e m s i nc h a p t e rt h r e e ，t h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n tf o rs o m e c l a s so f n o n - c o m p a c td e c r e a s i n go p e r a t o r si ss t u d i e d ，s o m ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s t h e o r e m sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , w eg i v e 柚e x a m p l eo fa p p l i c a t i o n i nc h a p t e rf o u r , w e d i s c u s sm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o ra n dg e ts e v e r a ld m 加f 黜u n d e rn o n - c o m p a c t c o n t i n u e i nc h a p t e rf i v e ，w cd e f i n ean e wp a r t i a lo r d e r ( t - p a r t i a lo r d e r ) i nh i i b e r t s p a c e b yt h en e wp a r t i a lo r d e rw ec o n s t r u c ts e v e r a lc o r l 嚣a n dd i s c u s sp r o p e r t i e so f t h ec o n e ，f i n a l l y , w eg e ts o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e rs i x , w ea p p l yt - p a r t i a l o r d e ri n t od e s i g n i n gan e wk i n do fs e q u e n c ec r y p t o g r a p h y k e yw o r d s ：p a r t i a lo r d e r ；o r d e rn o n - e x p a n s i v eo p e r a t o r ；, c o n e ；f i x e d 溅d e c r e a s i n g o p e r a t o r , m i x e dm o n o l o n eo p e r a t o r ；c r y p t o g r a p h y ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：左壤嘎签字日期：扪7 年月；f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：左锯谓 签字b 期：伽7 年皇月；f 日 导师签名：却僻 导师签名：御q l 签字日期：加7 年f 月；日 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 1 1 引言及基础知识 第一章引言与基础知识 半序实b a n a c h 空间是非线性泛函研究的一类非常重要的对象，利用半序方 法结合各种不同的非线性算子特性可以得到许多非常有用的不动点定理，这些 结果又被广泛地应用于非线性积分方程和非线性微分方程中利用半序方法研 究的主要有三类算子：( 1 ) 增算子：( 2 ) 减算子：( 3 ) 混和单调算子本文在前人工 作的基础上，利用半序方法得到了几类典型算子的新的不动点定理，将在第二 章到第五章给出这些结果另外，在本文第六章中，我们还将半序方法首次应 用到序列密码设计中去为了以后各章推导的需要，我们首先介绍一些最基础 的概念 定义1 1 1 ( 锥) ”1 设是实b a n a c h 空问，如果p 是e 中某非空凸闭集，并且满 足下面两个条件： ( 1 ) 工p a 2 0 j , i x e p ： ( 2 ) j p ，q e p j x = 0 ，0 表中零元素；则称p 是e 中一个锥 用，o 表示p 的内点集；如果p o ，则称p 是中一个体锥 定义1 1 2 ( 半序) ”1 设x 是一个非空集合，如果在x 的某些元素对工，y 之间定义 了一种序关系“s ”满足条件： ( a ) 工s y y z j x z ( b ) 一x x , v x x ： ( c ) x y y j j z = y 则称x 是一个半序集 定义1 1 3 1 设p 是中一个锥，如果存在常数n o 满足 0 s z y j n n ， 。 ( 1 1 1 ) 则称j p 是正规的满足( 1 1 1 ) 的正数中的最小者叫做p 的正规常数 定义1 1 4 1 , 1 设p 是b a n a c h 空间e 中一个锥设算f a ：d e ，其中d 为中的 某子集 ( 1 ) 如果而，j 2 d ，j i x 2j a x i 4 x 2 ，则称a 是d 上的增算子： ( 2 ) 如果z ，x 2 d ，x 1 屯ja x 2 a x 2 ，则称4 是d 上的减算子 后面几章中，我们要经常使用下面一个引理： 引理1 1 1 ( z o r n 引理) l 如果半序集x 的每个全序子集都有上界( 下界) ，则x 必 至少有一个极大元( 极小元) 2 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 第二章一类序非扩张算子的不动点定理 2 1 引言、定义与预备知识 m i l m a n 和b r o d s k i ，b r o w d e r ，p e t r y s h i n ，k i r k 等人深入地研究了非扩张算子 得到了许多著名的不动点定理和深刻结果“，例如w “l i a m0 r a y 得到的一个非 常著名的结果：设d 是实h i l b e r t 空间中的一个闭凸集，则d 对于非扩张算子有 不动点的充要条件是d 有界目前仍有许多学者在研究非扩张算子的更深一步 结果和非扩张算子的不动点应用问题，国内的张宪“、董祥南1 、张庆政“”等 人对l i p s c h i t z 压缩算子做过一些研究传统意义上的非扩张算子和l i p s c h i t z 压缩算子定义如下： 定义2 1 1 设e 为b a n a c h 空间，d 是e 中的子集算子a ：d 寸e 称为非扩张 的如果h ，y d ，有8 血一纠s 忙一卅 定义2 1 2 设为b a n a c h 空间，d 是e 中的子集算子a ? d 寸e 称为 l i p s c h i t z 类的，如果存在一个常数足 0 ，垤，y e d ，血一纠r g x - 卅，如果 0 k 0 ，v x ，y d x y j 砂一血r ( y 一一，如果0 k 1 ，称a 为序压缩算子：如果k = 1 称a 为序非扩张算子 显然序非扩张算子与非扩张算子有本质的区别，如p 是e 中正规锥，若其 正规常数为n ，由j y j a y 一血y - j 。有0 砂一血0 陟一硼当0 n l 时，a 就是一般的非扩张算子或者l i p s c h i t z 压缩算子，故与此相关的所有结论 都是成立的：当l 0 缸s 砂： ( 3 ) x 。儿，_ 工，y _ y j 工y 2 2 主要结果和证明 文献“”均在正规锥条件下，对序压缩算子进行了讨论，这里我们用与文献 “不同的方法得到了一个序压缩算子不动点定理 定理2 2 1 设e 为实b a n a c h 空间，d 为中闭集，一：d 斗d 是增的序压缩算 子，p 是e 中的正规锥，且存在e d ，osa u o ，则彳在d 中有不动点 证明：因为p 是e 中的正规锥，由引理2 1 1 。存在e 上等价范数i i | | 。，满足： 占z _ ) ，j l 卅l ( 2 2 1 ) 因为4 为d 上增的序压缩算子，故vz s y j p a y - 血墨k o 一砂，其中 0 k 1 所以由( 2 1 1 ) 式有： i 砂酬蔓忙( y - x ) i = 叫y 一跏 ( 2 2 2 ) 显然a 在范数i | | | 。意义下为l i p s c h i t z 压缩算子令= a u ，。显然有i 。， 即： u o ”is 蔓“ 一 任给g l , p n ，有： 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 弘。+ ，一l 。羔忱。叫一：。+ 川0 。( k ，i 十+ 置+ 1 ) 牡。一i ， 羔。i 。1 一k “。 ”1 当月 m 时，弘，- - u i 。寸o 故 ) 为闭集d 中c a u c h y 列故存在i d ，使得 卜一硼。专。加寸m ) ，颤= i ，由于酬和等价，所以同时也有 恕怯。一捌= 0 ，i 证毕! 实际上条件“”。a u 。”可换成。和a u 。可比较条件，定理仍然成立关于 可比较的一些相关性质见文献 1 0 显然该证明比文献 1 0 1 1 中类似定理的 证明要简洁的多下面我们讨论的是序非扩张算子的不动点 定理2 2 2 设d 为e 中星形的闭集，a ：d 寸d 是增的序非扩张算子，p 是e 中 的正规锥，存在“oc d ，o u o 彳( u o ) ，并且( 一一) ( d ) 为中闭子集。则彳在 d 中有不动点 证明：= 三其中n = 1 ，2 , 3 易知去s l ，一1 ( n - - o o ) ，考虑映射族： 肝+ l二 a h x = r a x ， 易知a 是d j d 增的序压缩算子注意到： ，圭，一 - j ；”。“。“。j 彳睦，_ c ，一， 又因为占o 彳( 妻u o ) ，所以p a ( r u o ) o u 。蔓a ( r 。u 。) j 目 - r 。u 。r a ( r u 。) ，令“；2 。，故有： 0 s u o 4 u o 根据定理2 2 1 ，对所有同定的n 存在唯一的z d _ 。= j 。 ( ，一a x x 。) = 工。一a x = j 。一血。+ r a x 。一a x 。 = x 。一a + ( 一1 ) 血。= ( r 1 ) 血 当”斗m 时，一l ，( ，一爿) ( ) 呻0 ，注意到( ，一a x d ) 为e 中闭子集，所以 0 ( i 一爿) ( d ) ，故存在x 0ed ，( ，一a x x o ) = 0 ，所以有a x 。= h 因此a 在d 中有 z i 动点证毕! 定理2 2 3 设e 为实b a n a c h 空间，d 为e 中一个星形的闭集且按序有上界， a ：d d 是增的序非扩张算子，p 是e 中正则锥， 存在 “o d 。p s “o 彳“o ) ，则a 在d 中有不动点 二 证明：取= j l _ 其中n = 1 2 3 显然 ，：- ( 1 ，一l ，o 斗) 对于每个月 仃1 - 1 二 定义算子a ：d 斗d 如下： a 茗= r a x ( 2 2 3 ) 易验证4 为增的序压缩算子 圭兰 ，j 扣s u o s u oj _ ( 扣) s 讹蚶 又因为口4 ( u o ) 。所以口a ( r u o ) 固定一，口s ”o a ( r , u o ) j p r u osr , a ( r , u o ) 取“：= r u o ，有口“：4 “； 定义迭代序列：“：= 4 “：一= r , a u ：- 由定理2 2 1 ，对所有固定的月，存在唯一 的e d 一 = 另外，易知： p ”：；u g ( 2 2 4 ) 弘印；= 斋刷0 焘硝兰硝巩1 = 设当m = k 时，：，则当m = k + l 时，有 喝= “= 者纠者衅s 岩彳“咆- “p = “甜 故由数学归纳法可证：“：“。2s u 2 ，根据定理2 2 1 ，知道“：_ j 。，再 由引理2 1 2 ，知：x 。x ：至x 。即序列 x ) 按序单调增 d 为实b a n a c h 空间e 中一个星形的闭集且按序有上界p 是e 中正则锥 所以 在d 有极限，设该极限为，则慨一而0 一o ，x 0 d 伽一m ) ( ，一彳) ( j ) = x 。一a x 。= j 一r 4 x + ra x 。一, 4 x 。 = j 。一一。j + ( 一1 ) 血。= ( 一1 ) 以 ( 2 2 5 ) 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 因此当n - + o o ，a x 一，。j 0 由算子彳的非扩张性和增性，所以j 。s x oja x 。一血。一j 。同时是 中正则锥，因此也为e 中正规锥，设为其正规常数。因此： i _ 而一出。l 蔓伽r o 一i ( 2 2 6 ) k - a x e _ k 一矗l + 出一毛卜8 血一瓴i 蔓i k 一8 + 8 血一_ l + i l 而一矗l ， 当一j m 时，k h l _ o ，5 以一l 一 o ，所以剧k 一瓴l = o ，缸= x 0 ，x 0 为a 的不动点证毕! 由( 2 2 3 ) 式定义的算子4 的不动点称为彳的渐进不动点事实上，我们无 法给出一的迭代式，因此只能通过以的迭代式逼近一的不动点如果p 是占中正 规锥。则有下面结论成立： 定理2 2 4 设e 为实b a n a c h 空问，d 为占中一个星形的紧集，彳：d 呻d 是增的 序非扩张算子，p 是e 中正规锥，存在u o d ，p “o 一e 。) ，则a 在d 中有 不动点 证明：取= 其中 = 1 , 2 3 显然 s 1 ，- 1 伽一) 对于每个n ， r 4 - jz 定义算子。：d d ( 因为d 为星形的闭集，故定义是合理的) 如下： a n x = m a x ( 2 2 7 ) 易知算子4 为增压缩算子仿定理3 前半部分类似可证，存在d 中唯一点t ，使 得：a n x 。= ，增序列 j 。 按序单调因为d 为实b a n a c h 空间e 中一个星形的紧 集，因此 z ) 存在一个收敛的子列，不妨仍记为 j 设x 。啼x 。o 斗) ，故 x o d ，显然有j 。s x 0 、 仿定理2 2 3 后半部分即可证明x o 为一的不动点证毕! 定理2 2 5 设e 为实b a n a c h 空间，d 为中一个星形的有界闭凸集，a ：d - d 是增的序非扩张半紧算子p 是中正规锥，存在“。e d 护s 爿( u 0 ) ，则 彳在d 中有小动点 证明：仿定理2 2 3 ，取= 其中n = l ，2 ，3 对于每个n ，定义算子 片+ l a ：d 斗d 如下： a x = t a x ( 2 2 8 ) 易知算子爿。为增压缩算子仿定理2 2 3 前半部分类似可证，存在d 中唯一点 ，使得：4 x = j 。，增序列k 按序单调 ( i - 一x j 。) = 一, i x = 工一ta x 。+ 出一血 = 一4 + ( 一1 ) 出= ( 一1 ) 以( 2 2 9 ) 因此当月斗m 呻1 ，以一+ p 。即( ，一a x x ) 是强收敛的由于一是半紧 算子，故k 存在一个强收敛子序列不妨仍记为 j ) ，且斗。故j 。d 仿定理2 2 3 后半部分即可证明x 0 为a 的不动点 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 第三章几类非紧减算子的新的不动点定理及其应用 3 1 引言、定义与预备知识 关于增算子的不动点结论比较丰富，研究也非常深入，但是关于减算子的结 果并不多，主要原因是在使用半序方法验证减算子的收敛性受到了许多约束， 难以构造迭代条件一般的减算子定义如下： 设为实b a n a c h 空间，一为中零元，d 为e 中闭集，p 为中正规 锥，a ：d - e 为d 上称为减算子，如果v x , y d z y j a y 血 盛梅波“”“”1 利用非对称迭代序列得到了一些减算子的结果，吴焱生“”、郭 宣明“”对文献 8 的相关结果进行了一些推广，许绍元。通过引入序区间上凸减 算子，统一处理了一般凹( 凸) 和一类减算子，利用锥理论和新的叠代技巧在 非紧非连续的假设下得到了一些不动点定理，张志涛1 给出了一类非紧减算子 正不动点的存在唯一性和同有元的存在性及解集结构，并应用于无界区域非线 性积分方程和b a n a c h 空间微分方程本章中，在前人的基础上我们得到了关于 减算子的一些新的结果。首先我们定义一个新算子： 定义3 1 1 设e 为实b a n a c h 空间，p 为中正规锥，d 为e 中闭集，a ：d 寸e 称 为t 凸算子。如果给定某个0 t 1 有： a ( m + ( 1 一五m 兄缸+ t 0 一句砂，v x , y d ，五【叫 若一a 为t 凸算子，则称a ：d e 称为t 凹算子a 吡n n 定义的凸算子是： a ( 五x + ( 1 一兄) 力胁+ o x ) a y ，v x ，y d ，a 【0 ，1 】 显然a m a n i 定义的凸算子是t 凸算子，因此t 凸算子是比h m a n n 定义的凸算子更 为广泛的一类凸算子 3 2 主要结果与证明 奉章主要有四个结果，每个结果的条件均有所不同，所有减算子均不要求紧 性和连续性 3 21 一类序压缩条件下的减算子不动点定理 定理3 2 1 设为实b a n a c h 空间，p 为中正规锥，a ：p - q * p 为p 上的减算子且 9 满足 v 目x y ，4 j 一4 y z ( y j ) 0 l - o 所以v o a 2 y o a v o 定义迭代关系：= 彳v 。( 开= 1 , 2 ，) ，由归纳法，易证 0 s v o v 2s v 2 s + i hs v 故 v 2 ) 二。k + - 按序有界t h - t = v 0 j s y ，o a y _ a x ，血一a y _ l ( y 一曲 所以： a 2 y a 2 工s l ( a x a y ) 上20 t 一曲， 令k = r ，则o k 0 ，使得：。- v z , n n l 2 ”h - i o i ，0 工 0 ，使得：8 v ：一v ：0 n l 2 ”1 i t v - v o l ，0 工 l ， 当疗一时。l k ，。一l 寸o 1 0 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 i v m + p - - v h + ，一h + ，巾+ m + 叫一k i + + 卜。h 0 ( 3 2 3 ) 若n = 2 k 。p = 2 1 则( 3 2 3 ) 式为： 卜，。+ “一v 2 k8 0 v ：。+ 。一v 2 k + 2 1 - 10 + l 屹。：，一v 2 。2 1 - 20 + + p ：。一v ：。l s ( 配砧+ 2 卜1 + 亿甜+ “2 + 膨+ _ 3 + + 膨) 鼽一h i s 。1 + 矿2 + + i ) n k 2 | | l ，l - - v o i 注意到当s 1 ，“+ 。2 + + 1 喜。= 暑z ，所以当厅= 2 七一m ， 卜2 k + 2 1 - - v 2 k 击膨| f v 一v o l - - ，0 ( 3 - 2 4 ) 同理可证当月= 2 k + l ，p = 2 + 1 或者n = 2 k + l ，p = 2 1 或者n = 2 k ，p = 2 + 1 ，栉_ 均有： 。 h ，- - v n i - , o 。 故任意给定正整数的n ，p 当n _ o 。时，h h 0 寸o ，n 为p 中c a u c h y 列， 所以存在j p ，使得v 。i i 瓜一硼蔓i 詹一0 + l h 一卅| - 0 府一a v ，。i + i 一硎s 唯一v 。i + f v 一爿 当刀寸m 时，嬲氟。司= 0 故存在i ，使得麻= j ，即彳有唯一不动点证毕! 定理3 2 2 设e 为实b a n a c h 空间，p 为e 中正规锥，a ：p - - p 为p 上的减算子 且满足： v 口s j 蔓y ，彳工一4 y l ( y 一工) ，0 l 1 ， 若存在v 0 p ，v 0 一i 。则存在i ，使得瓜= i 证明：同定理l 类似证明 3 2 2 一类单调增长条件下的减算子不动点定理 定理3 2 3 设e 为实b a n a c h 空间，一：p 斗p 是一个减算子，口s 刮口s a 2 口， 其中o l ，当s ， l 时，爿( “) 业t 爿( x ) 其中妒( ，) 为单调递增函数 t 烈f ) o ：f m 。 ( 疗= l ，2 ，3 ，由( 3 2 5 ) 式，f + ls ，v s 。s 甜肿l 。 因此f 。+ i t ，所以有：e t t f 2 一t n s 1 ( 3 2 7 ) 故纯 为单调有界序列设，21 i m f ，则s f l o t 删j ： = 1 假设。因则邮半撕所以讹啷掣圳= 掣( 3 2 8 ) ”彳洲m 半，南k 却 ( 3 2 9 ) 因为当t 1 时，o 卯) - 。志厶高强t 由2 h d 而1 卜 当”时，升高r 一，故7 2 熙7 * - - - ) o o 显然与7 1 矛盾，所以7 = l 口量“肿：一蔓一“s ( 1 一t r ) v 量( i - t ) v o ( 开，m = 1 , 2 ，3 ，一) 由尸的正规性，v n , t n = l ，2 3 ，l - 一“。0 s 0 一f 。) h l 当n 一时t 陋一u h - - + 0 ，故 为j p 中基本列，从而存在五p ，一j ，类似可证存 在工p ，_ x ，同时有“。j a x a x s 工 ( 3 2 1 0 ) x 一j v 。一“。( 1 - - t 。) v 。( 1 一t ) ( 胛= 1 , 2 ，3 ，- 9 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 卜一丘l ( 1 一) n i m ，当”m 时，卜。一z i _ o ，故x = x 再根据( 3 2 1 0 ) 式，易知： x = a x = 肌= j 令i = 矗= j 则i 为a 在p 中的唯一不动点证毕1 3 2 3f 凸算子条件下的减算子不动点定理 定理3 2 4 设p 是实b a n a c h 空间中的正规锥，是尸的正规常数，a ：p - - p 是t 凸减算子，且j ；0 ，i t s t ，使得口 e a o s a 2 曰，则一在p 中有唯一的不 动点孑 、 证明：令= 0 ，1 , o = a o ，口。= 一( y h ) ，= 鳓) 伽= l ，2 a 由于a ：p 呻p 是一个减算子故由数学归纳法易知： p = “o “l 蔓一 - u v 一 v t v e = a o ( 3 2 1 1 ) 因为o 4 0 0 ：j “。) = l 2 3 ，) 由( 3 2 1 1 )式有 s v 肿t s n v s “h “肿t ， 因此s + l s 。，所以有：e s j i j 2 sj s s 1 故 5 。) 为单调有界序列设i = l i m s 则s i s l 以下证明：i = 1 因为a ：p p 是t 凸减算子，所以： v + l = a u a ( s ) = a ( s 嵋+ o 一晶) 回 ( 3 2 1 3 ) a ( s + ( 1 一s 。) 回s 4 + f ( 1 一s 。) 一口= s “+ l + ( 1 - - $ r ) b 4 口 由( 3 2 1 2 ) 式有： 三( 1 - - s n ) 尉一s 三( 1 一s 。) “。， 放由( 3 2 ：1 3 ) ，( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 1 5 ) 式，得： + ls 【s + 圭( 1 一s ) 】i o i ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) i 因；0z t - o ，所以l i t z ，因此： 矗+ ( 1 鸭) = i t l x l q ) + l 1 由( 3 2 1 6 ) 式， 【s + t ( 1 5 ) 】一。“+ i ，故s 。“【勘+ t ( 1 一j 。) 】一。 ( 3 2 1 7 ) - 一s “s ，一c s + 。一s 。) 】。= ：( t 面- l x l - s ) t 一，。一s 一，c s z - e ， 因为l 三 2 ，所以o 一t 一1 1 ，令口：三一1 ，则o d 0 ，妻 s t ，若存在v ，记 h = v 一“，+ d l a v a u v ，则a 在【“，v 】中具有唯一不动点 证明：令b x = a ( x + “) - h ，垤p 。易证明口为t 凸减算子，由 “+ e h sa v a u v ，0 d i b h b o h ，从而一f b o s b 2 0 b o 由定理 3 2 3 。我们即可得到结论 3 2 4 可转化为某些增算子的减算子不动点定理 由于a 为减算子，则一a 与a 2 为增算子，通过讨论一a 与a 2 在某些条件下的 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 增算子不动点问题也是研究减算子不动点的一种途径 引理3 2 1 9 1 设p 是实b a n a c h 空间e 中的正规锥，u o ( v o ，v o e 且算子 a ：【“。，v 0 】一e 是的增算子，记 。= v 。一“。，假设下面两个条件之一满足： 1 1 ) a 是凹算子，a u o u o + 战，一v 0 v 0 ，其中占为某正数，满足o 1 ： 1 2 ) a 是凸算子a u 0 2 ”o ，a v osv o - d 2 0 ，其中为某正数，满g o 1 ： 则a 在，】中必有唯一的不动点j 。，并且，对任何而m 。，v o 】， 令= 出。o = l ，2 3 ，) ，都有k - - x + l 哼oo - m ) ， k x ，o 一占r ( n = l ，2 ，3 ，一 其中吖是某正的常数，与，。的选取无关 定理3 2 5 设p 是实b a n a c h 空间中的正规锥，n 是p 的正规常数a ：p _ p 是减算子，彳2 为凹算子。且3 0 f 1 ，使得口 甜占a 2 0 则a 在p 中有唯一的 不动点i 证明：令口o = 口，v o = a o ，u = 4 ( i ) ，= a ( u ，i ) = 1 , 2 , 3 9o 由于彳：p p 是一个减算子，故由数学归纳法，易知： 口= “o “i 一s “s 。sv n 一sv i v 0 = 4 0 令戤= a 2 i f ，因为a 为减算子故占：p 寸，是凹增算子，且 = b u y = 她- 1 h o = v 0 一“o = 彳p ，又因为口 d 口s 一2 目，所以肌o u o + 威o ，v i = 砜v o 因此 由引理3 2 1 ，口在阻。，】中必有唯一的不动点i 因为b ( a x ) = a 2 ( 麻) = a ( a 2 动= 血，所以府也是b 的不动点，由不动点的唯 一性，所以瓜= i 即a 在p 中有唯一的不动点i 证毕! 定理3 2 6 设p 是实b a n a c h 空间中的正规锥，是p 的正规常数，a ：p 寸j p 是减算子，a 2 为凸算子，且3 0 1 ，使得口 a 2 护蔓f a 曰，则彳在p 中有唯一的 小动点覃 证明与定理3 2 4 类似 3 3 若干应用 例3 3 1 考察信号与系统中的一个非线性压制干扰信遭中的信号传输函数是古 具有自反馈稳定特征( 即输出信号再反馈到输入中是否具有最终信号的平稳性) 若假设信号周期为l ，我们只需考察一个周期内的情形。信号空间为c i o ，i 】，信 号传输函数( 只考察实数形式) 为： 批) = i 而1 一而i 2i m f 2 ) 知， 其中m 为某个自然数，取p = x ( t ) l z ( f ) 0 ，v t e 【o ，l 】，易知p 为正规锥，彳j 为 减算子，令x - o ) s 屯( f ) ，则 a x i ( f ) 一：i x 2 0 ) = 互而1 一言f 一警一j 而1 唔f n f 2 ) 学 = 两1 而一互丽1 + 斋p + f 2 ) 【气学一笋弘 = 两丽x z ( t ) 丽- x , ( t ) 唔f f 2 ) 世乒 f ，x 2 ( f ) 一j i ( f ) x 2 ( f ) 一j l ( 力 一 1 2。，村 因为m l ，故血m ) 一如( f ) s 睦+ ；) 【硝f ) 一x 例= 瓦5k ( f ) 一而( f ) 】 若存在口s x o ( t ) s a x o ( f ) ，则满足定理3 2 1 中所有条件，由定理3 2 1 ，存在 i ( f ) = 詹。即该函数具有自反馈稳定特征。 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 第四章两类混合单调算子的不动点定理 4 1 引言、定义与预备知识 混合单调算子是非线性泛函研究中的一类重要算子，1 9 8 7 年由著名数学家郭 大钧和l a k s h m i k a n t h a m v 首先提出”1 ，随后倍受国内外很多学者的关注”其 中郭大均教授”1 总结了近年来的主要结果，李国祯和朱传喜将这些结果推广到 了随机空间1 进一步提出了随机混合单调算子的概念本章在非紧性非连续性 假设下研究了一类混合单调算子不动点的存在、惟一及迭代收敛性，获得了新 的结果。并改进和推广了有关文献中的相应结果 设e 是实b a n a c h 空间，p 是的一个锥，从而在e 中引入半序e e 是一 个实b a n a c h 空间，其中的范数为： i ( y ) l | = m a 】邙排i 帅v ( x ，) ，) e x e 定义4 1 1 设d c e ，算子a ：d d _ e 如果a ( x ，_ ) ，) 关于x 增关于y 减，即 x 1 工2 ，y l ，y 2 d ，j i j 2 ，) ，i y 2ja ( x i ，y 1 ) sa ( x 2 ，) 1 ) 则称彳是混合单调的；如果( x ，y ) d x d 满足j = 彳( x ，) ，) ，y = ( y ，x ) 则称( x ，y ) 是a 的一个藕合不动点；如果i d 满足i = ( i ，x - - ) ，则称牙是彳的 不动点 令f = ( j ，) ，) e x e ：j p ，y 蔓研，易知f 是e 中的一个锥，它引入的半序为： ( x t , y i ) s ( x z , y 2 ) 当且仅当j l 工z ，y i _ ，2 引理4 1 1 ”1 下列结论成立： ( a ) 在e 中，【工。，y ) 寸( z ，) 工。寸j 。，儿一y ； ( b ) 在e 中，( 工。，y 。) 叫工，y ) 亡j 与j ，一兰哼y ； ( c ) 芦正规p 正规，且正规常数相同； ( d ) 声正则( 全正则) p 正则( 全正则) ； ( e ) f 极小( 强极小) p 极小( 强极小) ： ( f ) 歹再生营p 再生 4 2 主要结果和证明 定理4 2 1 设是实b a n a c h 空间，p 是三的个正规锥，a ：p x p 呻p 为混合 单调算子，若满足以下条件： 存在，v 0 p 和某常数8 ( 0 1 ) ，0 6 v o s a ( u o ，v o ) a ( v o ，越o ) ： 当e f l 时，彳( f 。l z ，们盟_ “力，其中矿( f ) 为单调递增函 f 数，t 矿( f ) 1 ： 则a 在p 中有唯一不动点l 证明：令甜。= a ( u 卜l ，v n 1 ) ，= a ( v p l ，“卜1 ) ，由条件 ，有：0 “o u i v t v 0 从而由数学归纳法易证： 0 i t o “is h s us v 0 ( 4 2 1 ) 同时有0 0 i “) 则ks “。结合( 4 2 1 ) 式，知 材肿i 越。2 f _ v 2 ，。 ，舯i 故有 0 t o f ls t 2 ，。s 9 1 “2 2 ) 故和 为单调有界数列，且i 为其上界设i = l i r a t ，则f 1 下证f = 1 若，( 1 ，则显然t ns f i k 。：他，氲0 洲- i ，磨竺竽砌) ：掣 所以丽t nk p w ，冈虬。南 因为当f 1 时，t d 嘉r ，当一? o 。时，喃卜m ， 故f = l i i i l ，m _ ，显然与， 1 矛盾，所以i = 1 0 s p 。一“y n 一“。o - t n ) l t ns ( 1 一t ) y o ( n ，m = l ，2 ，3 ，) 由p 的正规性，v ? , h i t = 1 , 2 3 ，舡一0 ( 1 - t 。) 刎v 。，当玎- 0 0 时， i l f 一i 0 ，故扣。) 为p 中基本列，从而存在 p ，”jz ，类似可证存 在工p ，吒_ 工，因此： j - - x 一“s ( 1 - t 。) v 。( 1 - t ) v 0 ( 玎= 1 , 2 , 3 ，) 卜- x 6 存在o ，v 0 p ，0 存在常数墨，k 2 ，0 k l + k 2 1 ，且满足 ( j i ，y i ) 蔓( 工2 ，y 2 ) = ，a ( x 2 ，y 2 ) 一钺工l ，y 2 ) s k l ( 工2 一 ) + x 2 ( y l y 2 ) ： 则a 在尸中有唯一不动点i 证明：令甜。= a ( u 卜i ，v 卜i ) ，= 彳( h 一，肛1 ) ，由条件 ，有：0 o “l v lsv o 从而由数学归纳法易证： 0 u o 埘l “。s s v i i t 0 ( 4 2 4 ) 由条件 ，得： v + l 一“。+ i = 爿( v 。，。) 一a ( u 。，v 。) k l ( v n 一g n ) + k 2 ( 一“) 令k = k + k ，则0 k 0 ，存在x = 熙k 且z v n 1 4 ms 矗s j s 占 o ，故善。= x ，令i = 耳= z ，则： 一( i ，x - - ) a ( u 。，v | ) = 一+ l 一( 置x - ) s 彳( v 一，。) = v 川，令万一 ，有： j ( i 。刃s i ，故：一f i x - ) = i 证毕! 几类非线性算子的不动点理论及其应用研究 第五章实h ib e r t 空间中一种新锥及其不动点定理 5 1 引言、定义与预备知识 数字信号处理与信号分析理论中，常常要讨论滤波器对于某种信号的处理 能力的强弱、滤波器有效性问题、滤波器处理前和处理后信号之间的关系等问 题最终归结于在h i l b e r t 空间h 中的一类非线性方程问题： r ( j ) = g ( 其中j h ，g h ) ( 5 1 1 ) 例如：l ，空间意义下( 因为在该空间下信号方程的范数可表征