（概率论与数理统计专业论文）常利率复合复合泊松瑕疵几何风险模型的按比例分红问题.pdf

：， i - p r o p o r t i o n a ld i v i d e n dp r o b l e m si n t h ec o m p o u n dc o m p o u n d p o i s s o n d e f e c t i v eg e o m e t r i r i s k l - 0 i s s 00 m er l c - m o d e lw i t hi n t e r e s t ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：x i eh u a s u p e r v i s o r ：p r o f w a nc h e n g g a o h u be iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a ； 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 = ；尊磊日签名日期：v 巾年6 月勺日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版。并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名t 签名日期s年月 日 导师签名：彳q 移 签名日期：刎p 年多月多日 摘要 破产论作为风险论的核心内容，已逐渐成为当前精算界研究的热门话题， 也引起了数学工作者的广泛兴趣对破产论的研究既有实际的应用背景，又有 概率论上的意义经典的破产模型假设索赔次数过程是泊松过程，且索赔量和 索赔次数过程相互独立，此时，它的均值等于方差，但是在实际运用中，索赔 次数并不完全服从泊松过程，方差要大于均值，即散度偏大因此，在实际生 活中，保险人的很多行为不再满足经典的泊松索赔过程 本文研究了索赔次数服从泊松瑕疵几何过程这种更一般的情况在考虑 了线性红利下和常利率下的带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产 概率所满足的积分一微分方程。并用鞅的方法得到了其所满足的l u n d b e r g 不 等式以及最终表达式同时利用h j b 方程的方法证明了常利率复合复合泊松 瑕疵几何风险模型的最优分红策略为边界策略；推导出了最优分红策略下该 模型的期望红利总量现值所满足的积分方程及其期望红利总量现值的精确结 果 第一部分主要介绍了国内外对此模型的研究情况和本文的研究背景，并 对本文的研究内容给出了一个大体的介绍 在第二部分中，我们给模型加入经济因素，分别讨论了在线性红利界限 下和常数利率的条件下，带于扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产概 率所满足的积分一微分方程，并用鞅的方法得到了其所满足的l u n d b e r g 不等 式以及最终表达式最后还得到了在线性红利模型下的生存概率和红利付款 的期望现值所满足的积分一微分方程 第三部分，利用h j b 方程的方法证明了常利率复合复合泊松瑕疵几何 风险模型的最优分红策略为边界策略；推导出了最优分红策略下常利率复合 复合泊松瑕疵几何风险模型的期望红利总量现值所满足的积分方程；通过拉 l a p l a c e 变换技巧给出了当保险公司的初始资金u 大于或等于红利界线b 时的 期望红利总量现值的精确结果 关键词： 复合泊松瑕疵几何过程；p o i s s o n 过程；h j b 方程；l a p l a c e 变换；标准布朗运动；鞅；线| 生红利界限 a b s t r a c t a st h ec e n t e rc o n t e n to fr i s kt h e o r y , r u i nt h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h eh o t s u b j e c t si nt h ef i e l d so fi n s u r a n c eg e n t l y , a tt h es a l n et i m ei th a sa b s o r b e de x t e n s i o n i n t e r e s t o fm a t h e m a t i c ss t u d e n t s r u i nt h e o r y , n o to n l yh a sp r a c t i c a la p p l i c a t i o n b a c k g r o u n d ，b u ta l s oh a ss i g n i f i c a n c ei np r o b a b i l i t y i nc l a s s i c a lr u i nm o d e l ，w e a s s u m ec l a i mt i m e sp r o c e s si sp o s s i o np r o c e s s ，a n dc l a i ms i z e sa n dc l a i mt i m e s p r o c e s sa r ei n d e p e n d e n c e h o w e v e r ，i np r a c t i c e s ，al o to fb e h a v i o u ro fi n s u r e rd o e s n t s a t i s f yc l a s s i c a lp o s s i o nc l a i mp r o c e s s i n t h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ec o m p o u n dp o i s s o n d e f e c t i v eg e o m e t r i cp r o c e s s ，a m o r ec o m m o ns i t u a t i o n w er e s e a r c ho nt h ec o m p o u n dc o m p o u n dp o i s s o n - d e f e c t i v e g e o m e t r i cr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o n a f t e r a d d i n gt h el i n eb o n u sb o u r na n dt h ec o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ，w eg e tt h ec a l e u l u s _ d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t y b y u s i n gt h em e t h o do fm a r t i n g a l e ，w eg a i nt h ei n e q u a l i t yf o rt h eu l t i m a t e l yr u i np r o b - a b i l i t ya n de x p l i c i te x p r e s s i o n w i t ht h em e t h o do fh j be q u a t i o n ，w ep r o v et h a t ，f o r c o m p o u n dc o m p o u n dp o i s s o n d e f e c t i v eg e o m e t r i cr i s km o d e l ，w i t ht h er e g u l a rr a t e ， t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi st h eb o r d e rs t r a t e g y u n d e rt h eo p t i m a ld i v i d e n d s t r a t e g y , w ed e r i v et h ei n t e g r a le q u a t i o nt h a tt h et o t a lp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n d s o ft h en e wm o d e ls h o u l ds a t i s f y b a s e do nt h el a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，t h ea c c u - r a t et o t a lp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n d si so b t a i n e dw h e nt h ei n i t i a li n v e s t m e n to ft h e i n s u r a n c ec o m p a n yi sg r e a t e rt h a no re q u a lt ot h ed i v i d e n db o u n d i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hi n - a n da b r o a da b o u tt h i sm o d e l ，a n d t h ei n v e s t i g a t i o nb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dw ea l s og i v ea ni n t r o d u c ea b o u tt h i s p a p e r i nt h es e c o n dp a r t ，w ea d ds o m ee c o n o m i c a lf a c t o r st ot h ec o m p o u n d c o m p o u n d p o i s s o n - d e f e c t i v ee o m e t r i cr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o n ，u n d e rt h ec o n d i t i o nw i t ht h e l i n eb o n u sb o u r nm i dt h ec o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ，w eg a i nt i l ec a l c u l u s - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t ya n dg e tt h ei n e q u a l i t yf o rt h eu l t i m a t e l yr u i np r o b a b i l i t y a n de x p l i c i te x p r e s s i o nb yu s i n gt h em e t h o do fm a r t i n g a l e a tl a s t ，w ea l s of i n dt h e c a l c u l u s - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs u r v i v a lp r o b a b i l i t ya n dt h ee x p e c t i o nv a l u eo fb o n u s p a y m e n t i nt h et h i r dp a r t ，a sd i v i d e n dp r o b l e mi sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti ni n s u r a n c e a c t u a r i a ls t u d y i nt h i sp a r t ，b yu s i n gt h eh j be q u a t i o nm e t h o d ，w ep r o v et h a t ，f o r c o m p o u n d c o m p o u n dp o i s s o n - d e f e c t i v eg e o m e t r i cr i s km o d e l ，w i t ht h er e g u l a rr a t e ， t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi st h eb o r d e rs t r a t e g y u n d e rt h eo p t i m a ld i v i d e n d s t r a t e g y , w ed e r i v et h ei n t e g r a le q u a t i o nt h a tt h et o t a lp r c s e n tv a l u eo fd i v i d e n d s o ft h ec o m p o u n dc o m p o u n dp o i s s o n - d e f e c t i v eg e o m e t r i cr i s km o d e lw i t ht h er e g u l a r r a t es h o u l ds a t i s f y b a s e do nt h el a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，t h ea c c u r a t et o t a lp r e s e n t v a l u eo fd i v i d e n d si so b t a i n e dw h e nt h ei n i t i a li n v e s t m c n to ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y i sg r e a t e rt h a no re q u a lt ot h ed i v i d e n db o u n d o u rr e s u l t sp r o v i d et h e o r e t i c a lf o u n - d a t i o nf o rt h er e a s o n a b l ea l l o c a t i o na n dc o n t r o lo fd i v i d e n di np r a c t i c e k e yw o r d s ：c o m p o u n dp o i s s o n - d e f e c t i v eg e o m e t r i cp r o c e s s ，p o i s s o n p r o c e s s ；h j be q u a t i o n ；l a p l a c e - t r a n s f o r m ；d i f f u s i o n ；m a r t i n g a l e ；l i n eb o n u sb o u r n 目录 一、引言1 1 1 相关的研究背景i 1 2 本文的主要内容4 二，含经济因素带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产概率7 2 1 模型的介绍7 2 2 线性红利界限下破产概率的研究1 1 2 3 常利率下破产概率所满足的积分一微分方程1 8 三、常利率下复合复合泊松瑕疵几何风险模型的按比例分红2 1 3 1 模型的介绍2 1 3 2 基本方程2 1 3 3 最优分红策略下分红总量现值的期望2 3 3 4v ( o ，b ) 的精确值。2 5 参考文献3 0 致谢3 2 一引言 1 1 相关的研究背景 我们知道，风险理论的发展已经了经历了很长的一个时期，较为系统的理 论始于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 和h a r a l dg r a m e r f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年 发表的博士论文中首次提出破产论中一类重要的随机过程，即经典p o i s s o n 过 程h a r a l dg r a m e r 在l u n d b e r g 工作基础上发展了严格的随机过程论建立 了风险理论与随机过程理论之间的联系 这之后的一段时间风险理论的研究最令人瞩目的是方法论的改进tw i l l i a m f e l l e r 用更新方法证明l u n d b e r g g r a m e r 近似，h a n sug e r b e r 用鞅方法给出 l u n d b e r g 不等式证明f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证和鞅方法为风险理论 注入新鲜的血液，它能大大简化一些经典结果的证明，这已称为研究风险理论 的主要数学方法现在l u n d b e r g 与g r a m e r 所做的工作已公认为经典的破产 论的基础定理 l u n d b e r g g r a m e r 经典破产模型描述的是一类保险的有价证券的盈余过 程在这个模型里，我们假定索赔到达过程服从p o i s s o n 过程，这是由于p o i s s o n 过程有很好的性质；在这个模型里，在充分小的时间内发生事故的次数最多一 次，每一次事故保险公司进行一次赔付但在实际中，往往不是如此，例如在 充分小的时间内，发生水灾的次数最多一次，但在一次水灾事故中，可能要求 保险公司进行多起赔付因此，经典的复合p o i s s o n 风险模型不是最合适的风 险模型于是人民对它进行了各种各样的更贴近现实的推广在本文中，我们 引入一类称为复合泊松瑕疵几何过程，作为赔付次数过程，它足p o i s s o n 过程 的一种推广，并且有着实际的应用背景 在经典的l u n d b e r g g r a m e r 复合过程风险模型中，分布的一个重要性质 是均值等于方差，但实际保险公司的运作中情形并非如此，往往是方差大于 均值，这种现象相对于p o i s s o n 分布来说称为散度偏大随着大偏差理论的提 出，国内外的理论学者开始考虑用一般的计数过程来取代复合泊松过程，如准 似然模型，广义p o i s s o n 回归模型、混合p o i s s o n 模型以及随即效应模型等 在保险实际中，引起散度偏大现象有很多方面的原因：一是受自然环境及各种 1 湖北大学硕士学位论文 客观条件的影响，使得个体保险单实际风险事件数偏离p o i s s o n 分布；其次是 保险公司及投保人增强了风险意识使风险事件数在0 处有更大的概率；同时 随着保险公司一些规避风险的政策出台，比如保险公司推出免赔额制度或无 赔款折扣等制度等，在一次事故中，可能一些需要赔付的个体就不一定能真正 得到保险公司的赔付，这样使得赔付事件数小于风险事件数 基于以上实际背景，本节就集中研究这类保险模型，概括起来，我们可以 描述如下： 为了下面表述的方便，我们定义投保人由于发生事故受到损失需要得到保 险公司的赔付事件为“风险事件”，而定义投保人由于发生事故受到损失确实 得到了保险公司赔付事件为“赔付事件” 设常数0 0 的 p o i s s o n 过程，记时间段( 0 ，t 】内发生的赔付数为( ) ，第i 次事故发生的赔付 数为c i ，假设 q ，i 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，公共分布为( 1 1 ) 进 一步还假设 q ，i l 与 m ( z ) ，t 0 ) 相互独立，则 m ( ) ( t ) = q ，t 0 = 1 1 ) ( ) 的概率母函数a n ( s ) = 唧 丌a 兰) ， | s | 1 2 2 ) n ( t ) 的数学期望和方差分别为 e 【( 纠= q 地v a r n ( t ) = q a ( 嵩叫l 叫砒) 规定m ( t ) = 0 时，n ( t ) = 0 定义1 2 对于计数过程 ( ) ，t o ) 当t 足够小的时候，有 lp ( n ( t ) = 0 ) = l 一口( 1 一) 她+ d ( t ) ； i p ( n ( t ) = k ) = o a ( 1 一e ) 2 七一1 t + o ( ) ，k 1 注1 1 当偏离系数= 0 时，规定o o = 1 ，则( 2 4 ) 即为 ip ( n ( t ) = o ) e _ q 她； 1p ( ( t ) 叫：e - w 3 、t 掣，七 1 此即为p o i s s o n 分布，因此，过程 ( ) ，t o ) 是p o i s s o n 过程的推广 龚日朝1 6 】给出了索赔次数为复合泊松瑕疵几何过程的风险模型如下 设札 0 ，c 0 ，给出概率空间( q ，p ) ，t 0 令 ( t ) r ( t ) = u + c t ， s ( ) = c t 一五 ( 1 2 ) 其中n ( t ) 表示盈余过程， 牡表示保险公司的初始资本，c 表示收取的保险 率， ( ) ，t o 表示【0 ，t 】间到达的理赔次数过程，它服从复合泊松瑕疵几 何过程，托是第i 次索赔额p = e 咒 。o ，它们之间相互独立，服从共同分 布的分布取，并且 ( t ) ) 与 x i 也相互独立，则上述模型叫做复合复合泊 松瑕疵几何风险模型记丑= i n f t ：u ( t ) 0 ，由此定义安全负载系数口：丛安型一1 ：一l o 7 r “q a “ 我们知道，随着风险理论的发展和以及实际生活的需要，人们开始考虑了利 率、红利、干扰等因素对盈余过程的影响d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) p l 最早提出了最优分 红问题，并指出了，当保险公司的余额过程为一个离散过程时，最优分红策略 为带壁分红策略，即当余额超过某一设定的界限时，保险公司才对股东分红 3 湖北大学硕士学位论文 b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) 2 1 讨论了经典风险模型中的最优分红问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) 3 】 讨论了带正漂移的布朗运动在带壁分红策略下的最大值分红问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 ) 1 4 】又讨论了经典风险模型下的按某一有界的比例的分红问题，并且指出 了最优分红策略为边界策略王广华、吕玉华、王洪波【5 】讨论了常利率古典 风险模型的按比例分红问题，得到了红利总量现值的期望的精确结果龚日朝 【引、毛泽春，刘锦萼1 7 】分别对复合复合泊松瑕疵几何风险模型，复合泊松几 何风险模型进行了讨论，利用惩罚函数的方法得到了其破产概率所满足的积 分一微分方程熊双平9 】分别对常利率下、带干扰的索赔次数为复合泊松 几何过程的风险模型进行研究，给出了其模型的破产概率所满足的积分一微 分方程这些研究成果都为本文提供了大量的思路和理论基础 1 2 本文的主要内容 本文的第二部分是在模型( 1 2 ) 的基础上，对其进行适当的修改，加上一个 标准布朗运动，同时分别加上两个常见的经济因素：红利和利率分别讨论了 在这两种因素下破产概率的情况 设定线性红利界限y = b + a t ，其中b 为初值( u 6 ) ，a 为递增速率( 0 a c ) 这样，只要盈余在红利界限以下就不发放红利，一旦盈余超过红利界限每 单位时间就发放c a 的红利，直至下一次索赔发生这样的运作结果可以使 得盈余一旦超过红利界限便驻留在边界上于是得到线性红利下带干扰的复 合复合泊松瑕疵几何风险模型： ， ic d t + a d w ( t ) 一d s ( t ) ， n ( t ) 0 是无风险 利率，s ( t ) = e 五为索赔过程，以及 矽= o e 知d t ，= 对于模型( 1 4 ) ，我们仿照仿照龚日朝【6 】求更新方程的方法，得到了常利率 下带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产概率所满足的微分方程 d ( o ) + c 妒6 ( 0 ) = 7 r a ( 1 一b ( 耖) ) d 一6 掣嗨( y ) d y 本文的第三部分是在模型( 1 2 ) 的基础上，对其进行适当的修改，同时加上 了两个常见的经济因素：红利和利率讨论了常利率下复合复合泊松瑕疵几何 风险模型的按比例分红 设带常利率的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的余额过程为uc t ) ， u c t ) ：? 2 e 6 t + c 竿一厂细) d s ( t ，) ，20 假设保险公司为股份公司，公司按有界的比例r 对股东进行分红其中0 rs 卢，且z t 1 ，则有r = 0 如果y 7 ( “) 1 ，则最优分红比例为0 若 v 7 ( x ( ) ) l ，则最优分红比例为p 我们假设当u 1 当u b 时，有( u ) 0 也 就是说当x ( t ) b 时，公司不分红当x ( t ) b 时以最大的比例p 对股东分 红 令y ( u ，b ) 为破产前分红总量现值的期望，即y ( u ，b ) = e d i 然后用类似( 1 6 ) 式的方法推导出了红利总量现值的期望所满足的积分方 程， m 6 ) = 掣+ o u 型等等型y ( x , b ) d x ( 。 u b ) ( 1 7 ) y ( 乱 6 ) = 垒三龛 学+ z u 旦三 拿掣y ( x , b ) d x ( u b ) ( 1 8 ) 最后通过拉l a p l a c e 变换技巧得出当保险公司的初始资金仳大于或等于红 利界限b 时，红利总量现值的期望的精确结果 哪，= 焉铣笺籍 z 6 p + p 铲1 t a ( t ) d t 】 22p5+fo(pt+atr#o(t)a(t)dt。 其中 邱) = 唧a l p ( i n t - l n a ) 邛_ 0 ) ( c p ) + 椰z 。北) d z 】) 咖( t ) = e - t “d f l ( u ) 在0 牡 0 的 p o i s s o n 过程，记时间段( 0 ，t 】内发生的赔付数为( ) ，第i 次事故发生的赔付 数为白，假设 q ，i 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，公共分布为( 1 1 ) 进 一步还假设 q ，i21 ) 与 m ( ) ，t 0 ) 相互独立，则 m ( ) 、，( ) = 白，t 0 1 ) ( z ) 的概率母函数g | v ( s ) = e x p 丌a t 三) ， i s | 1 2 ) n ( t ) 的数学期望和方差分别为 e 邮) 】_ q a t ，v a r n ( t ) = q a t ( 篝叫1 一) q a ) 规定m ( t ) = 0 时，n ( t ) = 0 证明1 ) n ( t ) 的概率母函数 g n ( s ) ：e s n ( 0 1 ：妻e p i = 1 p ( m ( 牡n ) 8 = 妻( 鳓) 叫聊) - n ) = 妻( 啪) ”警e 埘 n = 0n = 0 = 薹竿e 砒一跳( g ( ( s ) _ 1 ” 其中g e 为( 的概率母函数，显然为 g ( ( s ) = 1 一掣 于足有 g ( s ) = o x p 砒篙) l s i 1 此即为p o i s s o n 分布，因此，过程 ( ) ，t 0 ) 是p o i s s o n 过程的推广 引理2 3 对于计数过程 ( ) ，t 0 ) 当t 足够小的时候，有 证明取t 足够小， p ( n ( t ) = 0 ) p ( n ( t ) = 1 ) 当凫2 时，有 使得 e 一”m = 1 一z r a t - t - o ( t ) = 1 一q ( 1 一e ) a + d ( ) e - a ( 1 5 ) 胤a a t ( 1 一e 1 2 ( 1 一a a t ( 1 一e ) + o ( t ) ) a a t ( 1 一) 2 a m ( 1 一) 2 一( q a t ) 2 ( 1 一e ) 3 + q a t ( 1 一e ) 2 0 ( t ) a a t ( 1 一) 2 + o ( ) p ( n ( t ) = k ) = e x p 一q ( 1 = e x p 一口( 1 f j ( q 州l 叫2 ) j ( 一1 ) ! ( 七一j ) ! j ! u 吖。 f 黑点( a a ( 1 - e ) 2 沁 o 一1 ) ! ( 七一j ) ! j ! 、 。 。 h p 一墨t ) 衰f 溉( j 3 = 1 、。 九( 1 一兰+ o ( t ) ) ( 1 + u t b k ( t ) ) 1 0 妨 2 慧阻以 以 疗弓rj l【 着 、j、l， ，j、，j p p ，jl一， 砖 一 k 0 d d 卜 。 t扯 一 0 0 一 口 l n l q = i i = = 0 p p ，jt- 七闰 ， 入 、l ， e一 七触 ，l ， a 、， )一 二 含经济因素带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产概率 其中 u= q a ( 1 一) 2 5 ， 眦) = 薹而芒尚嘞雌旷1 ) ( - 训 记吖( ) = 面= 若1 ，则只要足够小，使得( 1 + w t ) 1 ，就可得到 p i n ( t ) = 七) = e 七u ( 1 一兰t + d ( t ) ) ( 1 + w t ( k 一1 ) ( 1 + w t ) k 一2 叼( ) ) l 一 = e k w t + o ( ) = q a ( 1 一e ) 2 七一1 t + d ( ) 证毕 在接下来的讨论中我们都记 0 0 足( z ) = ( 1 一e ) e k - 1 磺( z ) ， k = l 2 2 线性红利界限下破产概率的研究 0 0 ( z ) = ( 1 一e ) - 1 戍( z ) 七= 1 下面我们先对线性红利下带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的破产 概率进行研究 引理2 4 当d r ( t ) = c d t d s ( t ) 时，满足下式的u ( z ，t ) 能使 ( r ( ) ，t ) 为一 个鞅 c 塞+ 象州口m o 口( x - - z , t 腿一o ( 2 6 ) 证明由文献【7 】的( 3 6 3 ) 式可知，只要v ( x ，t ) 满足下式，它便为一个鞅 1 i m 坐盟业纠些l 塑丛生：o ( 2 7 ) h - - - * oh 在( t ，t + h ) 时间内讨论没有索赔和有一次以上索赔发生两种情况，由全概率 公式可得 e v ( r ( t + 7 1 ) ，t + h ) i 风】 = ( r ( ) + c h ，t + 九) e 一丌a + 苫z 椭) 砌叫卅啪磷( 蝴( 1 _ 咖扣) + d ( ，1 ) = u ( r ( t ) + c h ，t + h ) 一 r a h v ( r ( t ) + c h ，t + h ) + 7 r a h v ( r ( t ) + c h z ，t + h ) d 最( z ) + d ( ) 湖北大学硕士学位论文 那么 l i m 堡鲤业纠些】二! 鲤幽 ： ! ! 皇! 1 2 ! 垒：! 型二! f 墨! 1 211 竺! ! 皇! 1 211 竺二! ! 皇( ! ! ! 1 2 h 一7 r a u ( 兄( ) ，t ) + 7 r a v ( n ( t ) 一z ，) d 足( z ) = c 塞+ 害一砒+ 丌a f o 。v ( x - - z , t ) 蚓z ) =0 由此可知，只要 ( r ( ) ，t ) 满足( 2 6 ) 式，它便满足( 2 7 ) 式，它就是一个鞅 引理2 5 对于在线性红利下带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型， 有 t ，( ，t ) = e x p 一7 y t ( 7 r a ( 日( r ) 一1 ) 一7 c + d r 2 ) + r s e - ( r + s ) b e x p s y 一( 7 r 入( 日( 一s ) 一1 ) + s c + d r 2 ) ) ( 2 8 ) 为鞅，其中h ( r ) _ ，一e r z d f e ( z ) ，d 0 = 为鞅，其中 ) = ， = 去口2 ， 二 证明用引理2 4 的方法可知，对于在线性红利下带干扰的复合复合泊松 瑕疵几何风险模型，为了寻找o ( y ，t ) ，t 0 ，0 y 6 + a t ，使得 ( r ( ) ，) ) 为 鞅，要求 喀+ c 鬻+ 害州a f o 。v ( 一蚓加。， 喀+ n 骞+ 害嘲az 巾_ 州脚， 坳 b + a t ， ( 2 9 ) v y ) 由于r ( 。o ) 一0 0 ，n 5 ，所以 口( r ( ) ，) 一0 ，a 8 于是将上述等式的右端令t _ ，对第一项运用单调收敛定理，对第二项运用 控制收敛定理，得到u ( 牡，0 ) = e p ( r ( 7 ) ，t ) it 】 ( u ，6 ) ，所以 巾，6 ) = 币茄( 2 1 5 ) 在( 2 8 ) 式定义的函数v ( y ，t ) 中令= 0 即得 ”( u ，。) e - r u ( 1 + 善c x p 一( r + s ) ( 6 一u ) ) ) ( 2 1 6 ) 将( 2 1 6 ) 式和系数关系( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 5 ) 式即得( 2 1 4 ) 式成立 又由于在( 2 1 4 ) 式中，其分母大于1 ，故可得在这种情况下的l u n d b e r g 不 等式： 妒( 牡 6 ) e - r u ( 1 + 否rc x p 一( 兄+ s ) ( 6 一u ) ) ) ( 2 1 7 ) 定理2 7 在线性红利下带干扰的复合复合泊松瑕疵几何风险模型的生存 概率为u ( u ，b ) 满足下面的积分一微分方程 。等+ c 甏+ n 等- ，r a u ( u ，6 m az m 咱6 ) d e e ( 加札g 且满足边界条件 v ( 0 ，b ) = 0 ， 丝l = 0 0 u ， f ：6 l i mu ( t ，b ) = 1 ， t - 4 0 0 1 i mu ( u ，b ) = u ( u ) d _ 二 含经济因素带干扰的复合