（应用数学专业论文）均匀试验设计在金融市场中的应用研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以4 求实，刨新。的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外。所有实验、教据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：丛 蝴 日期：鲤馒蒸虽 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向目家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容缩入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标暮和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：丛强 日 期：2 丝当笠旦 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 摘要 试验设计是统计学的一个重要分支，它是属于一般研究方法中的科学试 验方法的范畴，它是由试验方法与数学方法，特别是统计方法相互交叉而形 成的7 门科学。本文在国内外已有的研究基础上，介绍了一种充满空间的试 验设计均匀设计的理论以及研究其在金融市场中的应用。“均匀设计”属于 一种模型优化设计，主要是对少量的关键因子、优良水_ 平进一步研究因子间 相互作用，探讨试验过程最优水平组合及工艺参数。三十余年来“均匀设计” 已在国内广泛应用于军事工程、医药工业、化学工业、纺织工业、冶金工业、 电子工业等诸多的领域，取得了显著的成效。 证券市场中的证券投资是一项非常复杂的活动。投资者都想寻求一种正 确的方法来确定何时能以低价买进，何时又能以高价卖出，以取得丰厚的投 资报酬，这就需要投资者通过良好的投资策略和投资方法来弥补之不足，尽 可能减少投资失误。马柯威茨模型是现在广泛被应用的投资组合模型，本文 将针对其在实际运用时的缺陷，应用均匀设计寻找出最佳的证券投资组合。 目前国内证券市场还不规范、不完善的情况下，更有许多的不可知因素。 市场上的信息干变万化、难以把握，只有能预测股价波动并作出反映的投资 者才能赚到大钱。因此中国股市需要自己的技术分析。目前可用的技术分析 有许多种，如移动平均、相对强弱指数、p e 值、动态分析、能量分析等等， 其中以移动平均应用最广，在大多数关于股票的书籍和报刊中都会有相应的 介绍，曾渊沦曾对五种方法进行研究，其研究结果表明动态分析是一种不错 的技术分析方法。本文将应用均匀设计抽样并结合e m 算法，针对上海股票 市场上证指数的历史行情，给出了技术分析指标动态指标的最佳参数组 关键词：均匀设计，马柯威茨模型，稳健设计，均匀抽样，证券市场 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 a b s t r a c t d e s i g no fe x p e r i m e n t si st h ei m p o r t a n tr a m i f yo fs t a t i s t i c s i t b e l o n g st h ec a t e g o r yo fs c i e n t i f i cm e t h o d so fe x p e r i m e n t s i tw a s f o r m e db yc r o s s i n gt h em e t h o d so fe x p e r i m e n t sa n dm a t h e m a t i c s ， e s p e c i a l l ys t a t i s t i c a lm e t h o d s i nt h i sp a p e ris h a l li n t r o d u c et h et h e o r y a n dm e t h o do ft h eu n i f o r md e s i g na n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nf m a n c e m a r k e t t h eu n i f o r me x p e r i m e n t a ld e s i g ni so n ek i n do fs p a c ef i l l i n g d e s i g n i tb e l o n g st h em o d e lo p t i m u md e s i g n i tm a i n l yc o n s i d e r st h e k e yf a c t o r s ，f m el e v e l sa n dt h ei n t e r a c to ff a c t o r si no r d e rt of r e dt h e o p t i m a lc o m b i n a t i o no ft h e l e v e l sa n dt h ep a r a m e t e ro ft e c h n i c s i n t h e s et t d r t yy e a r s ，t h eu n i f o r md e s i g nh a sw i d e l ya p p l i e di nm a r t i a l p r o j e c t ，m e d i c a li n d u s t r y , c h e m i c a li n d u s t r y , e l e c t r o n i ci n d u s t r ya n ds o o n i th a sm a d ec o n s p i c u o u sa c h i e v e m e n t s s e c u r i t i e si n v e s t m e n ti sav e r yc o m p l e xp r o c e e d i n g i n v e s t o r n e e d st of m dac o r r e c tm e t h o dt od e c i d ew h e nt ob u yw i t hl o wp r i c ea n d s e l lw i t hh i g hp r i c e t h i sn e e d sg o o dm e t h o d sa n ds t r a t e g i e s ，i nt h i s p a p e r ，ia p p l yan e wm e t h o df o rr o b u s td e s i g nb a s e do nt h eu n i f o r m 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 d e s i g nt oo v e r c o m et h ed e f e c t si nm a r k o w i t zm o d e lf o rs e c u r i t i e s i n v e s t m e n td e c i s i o n n o ws e c u r i t i e sm a r k e ti sn o te n o u g hs t a n d a r d i z ea n dp e r f e c t , t h e r ea r em a n yu n k n o w nf a c t o r s t h ei n f o r m a t i o ni nm a r k e ti sm y r i a d s o fc h a n g e sa n dd i f f i c u l tt oc o n t r 0 1 s os t o c km a r k e ti nc h i n an e e d s t e c h n i c a la n a l y s i s ，m a n yt e c h n i c a la n a l y s i sc a r lb eu s e d f o re x a m p l e ， r u n n i n ga v e r a g e ，r s i ，p e ，d y n a m i ca n a l y s i s ，e n e r g ya n a l y s i sa n ds oo n z e n gy u a n m i n gh a dd i s c u s s e dt h e s ef i v em e t h o d s ，w ec a ns e ed y n a m i c a n a l y s i si sag o o dt e c h n i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e r , is h a l la p p l yu n i f o r m d e s i g ns a m p l i n ga n d c o m b i n ee ma r i t h m e t i ct of i n dt h eo p t i m a l c o m b i n a t i o no fd y n a m i ci n d i c a t o ri ns t o c km a r k e to fs h a n g h a i k e y w o r d s ：u n i f o r m ，m a r k o w i t zm o d e l ，r o b u s td e s i g n ，u n i f o r md e s i g n s a m p l i n g ，s e c u r i t i e sm a r k e t 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 第一章引言 试验设计是统计学的一个重要分支，它是属于一般研究方法中的科学试验方法的 范畴，它是由试验方法与数学方法，特别是统计方法相互交叉而形成的一门科学。 1 l a f i s h e r 在1 9 3 5 年出版了试验设计一书标志着试验设计学的诞生。由于其应用的 广泛性，试验设计这个分支不断地得到了发展己日趋成熟。随着知识经济的到来，科学 试验的范围越来越广泛，不仅高等院校及科研院所在致力进行各种基础、应用、开发研 究，而且各种企业公司都纷纷成立研究开发部、技术革新、质量控制组等部门，以提高 产品的科技含量及企业的竞争能力，加强试验设计的研究正呈现出加速发展的态势。统 计学家与各领域的科学工作者共同发现了很多非常有效的试验设计技术，试验设计也在 众多领域发挥了不可替代的作用。关于这些试验设计的全面介绍可以参见统计手册的第 十三章( g h o s ha n d r a o ，1 9 9 6 ) 。本文将介绍均匀设计理论并研究其在金融市场中的应用。 1 1 研究背景及意义 二十世纪七十年代，在系统工程、高科技发展的推动下，计算机仿真试验的要求 十分强烈，迫切要求高质量的试验设计。于是计算机仿真试验设计在那时成为一个具有 挑战的课题。在北美洲，三位学者( m c k a y , m d ，b e e k m a a n , r ja n dc o n o v e r , w j ，( 1 9 7 9 ) ) 在“t e c h n o m e l r i c s ”提出了“拉丁超立方体抽样”的方法，简称l h s ，并立即得到广泛 的应用，一批学者对其理论和方法作了系统的研究和发展，形成了一个独立的分支。几 乎同时，在中国方开泰和王元院士提出了“均匀设计”( u n i f o r m d e s i g n ) 简称( u d ) 。 这是当今因子试验设计和仿真试验设计的主要方法之一。“均匀设计”属于一种模型优 化设计，主要是对少量的关键日子优良水平进一部研究因子闻相互作用t 探讨试验过程 最优水平组合及工艺参数。 三十余年来“均匀设计”已在国内广泛应用于军事工程、医药工业、化学工业、 纺织工业、冶金工业、电子工业等诸多的领域，取得了显著的成效。美国最大、历史最 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 悠久的汽车制造厂_ 福特汽车运用“均匀设计”，发展了新型的六汽缸汽车引擎。“均匀设 计”已成为厂方计算机仿真试验的常规方法。“均匀设计”是我国独创的一种重大的科学 试验方法，其应用目前尚处于自发状态，因此进一步研究完善“均匀设计”的理论以及 应用具有重要的现实意义和研究价值。 进入9 0 年代，伴随中国经济金融机制的改革和对外开放，作为市场经济体系重要 组成部分的金融市场，特别是证券市场相继建立和发展起来。金融市场的发展无论是对 传统的金融制度还是对固有的金融观念都是一场革命。金融市场的运行与操作具有较强 的技术性，需要人们掌握其规律用科学的方法去利用它。但是金融市场在我国毕竟是一 种新事物，我们在这方面还缺乏足够的经验。我国的证券市场从1 9 8 1 年发行国库券算 起已有2 5 年的历史。沪、深两个交易所成立至今也有十五年多的历史。这些年来我国 证券市场的发展总的说来是健康的。它在促进生产要素的重新组合，转换企业经营机制 和建立现代企业制度等方面都发挥了积极的作用。 在我国，金融市场正逐渐影响着每个人的社会与经济生活。对企业来说，在不断 加剧的市场斗争中，它们需要寻求资金支持，而传统的依赖银行和财政供应资金的格局 正在被打破。因此如何从金融市场获得长期和短期资金，怎样融资才能使成本降至最低， 当利率变化时如何调整负债结构等等，逐渐成为企业决策的主要内容。对个人而言，随 着经济发展和人民收入水平的提高，居民的消费结余不断增加，传统的银行储蓄方式已 不能满足人们多样化的投资要求，因而正在逐渐转向金融市场，寻求既能投资获益，又 可安全保值的储蓄方式。个人如何介入金融市场活动成为人们日益关注的问题。金融资 产的投资活动是在确立市场改革取向和市场经济货币化程度不断加深的基础上蓬勃发 展起来的，其前景无限广阔。 1 2 研究现状及本文工作 证券市场中的证券投资是一项非常复杂的活动。投资者都想寻求一种正确的方法来 确定何时能以低价买进。何时又能以高价卖出。以取得丰厚的投资报酬，这就需要投瓷 者通过良好的投资策略和投资方法来弥补之不足，尽可能减少投资失误。证券投资理论 是建立在对理性投资者行为为特征的研究基础上的，理性投资者具有厌恶风险和追求收 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 益最大化的基本行为特征对证券投资进行组合管理，可以在降低资产组合风险的同时， 实现收益最大化。组合管理是一种区别于个别资产管理的投资管理理论。组合管理理论 最早是由美国著名经济学家h a r r y m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年系统地提出的，他开刨了对投资 进行整体管理的先河。在此之前，经济学家和投资管理者一般都仅致力于对个别投资对 象的研究和管理。目前，在西方发达国家，有1 3 的组合管理者在利用数量化方法进行 组合管理，利用传统的基本分析和技术分析进行管理的人也各占1 ，3 。这三种组合管理 者的业务在总体上也无不胜负，只不过在科学化的投资管理时代，数量化方法更合乎时 代的发展趋势。马柯威茨模型【1 】是现在广泛教应用的投资组合模型，本文将针对其在实 际运用时的缺陷，应用均匀设计寻找出最佳的证券投资组合。 随着证券市场的不断成熟，证券法律法规不断健全，市场监管的不断加强和完善， 证券市场不正常的暴涨暴跌机会越来越少，市场预测的因素越来越多，带有普遍性、规 律性的投资理论和市场运作手法将越来越盛行。这时技术分析就可以大显身手，为你的 投资决策作出可靠的、周密的分析和预测。技术分析的一条著名假设是“历史往往会重 演的”，我们一方面认识到股价并不是完全随机地变动，而是重演某些可识别的形态： 另一方面历史并不是简单的重复，尤其是在目前国内证券市场还不规范、不完善的情况 下，更有许多的不可知园素。市场上的信息千变万化、难以把握，只有能预测殷价波动 并作出反映的投资者才能赚到大钱。因此中国股市需要自己的技术分析。目前可用的技 术分析有许多种，如移动平均、相对强弱指数、p e 值、动态分析、能量分析等等，其中 以移动平均应用最广，在大多数关于股票的书籍和报刊中都会有相应得介绍，曾渊沦曾 对五种方法进行研究，其研究结果表明动态分析是一种不错的技术分析方法。本文将应 用均匀设计抽样并结合e m 算法，针对上海股票市场中上证指数的历史行情。给出了技 术分析指标动态指标的最佳组合。 1 3 本文内容与结构 本文在国内外已有的研究基础上，介绍了一种充满空间的试验设计均匀设计的理论 及其在金融市场中的应用。 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 论文第一章介绍了论文的研究背景及意义，并从国内外的研究现状说明均匀设计及 其在金融市场中的应用的必要性，并阐述了本文的主要工作。 论文第二章介绍了证券投资组合理论及马柯威菠模型的不足。 论文第三章介绍了均匀设计理论，其中包括均匀设计的理解背景，均匀设计的特 点，均匀设计表，均匀性度量，配方均匀设计，均匀设计抽样。并将正交设计与均匀设 计作了比较。 论文第四章实例验证均匀设计在金融市场中的应用，得出最优的证券组合及针对 上证的动态指标的最佳参数组合。 论文第五章进行了总结与讨论。 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 2 1 证券组合 第二章证券投资组合 2 1 1 证券组合的含义 组合一词对应的英文是p o r t f o l i o ，该词源于拉丁语中的p o r t a f o g l i o ，由p o r t a r e 和 f o g l i o 两部分组合而成，前者意为c a l t y ，即携带，后者意为l e a fo rh e e t , 即为纸张。现在 英语词典中，它的首义也为纸夹、公文包。在投资学中，组合通常是揎个人或机构投资者 同时拥有的股票、债券、不动产、流动资产或其他资产。证券组合由一种以上的有价证券 组成，如包含各种股票、债券、存款单等。 2 1 2 构建证券组合的原因 证券投资者之所以要构建证券组合的原因有二：一是为降低证券投资的风险；二是为 实现证券投资收益最大化。 1 降低风险。构建证券组合为什么可以降低证券投资风险呢? 打个比喻来说，如果 把鸡蛋放在同一篮子里，万一这个篮子不小心掉在地上，所有的鸡蛋就都可能被摔碎；而 把鸡蛋分放在不同的篮子里，一个篮子掉了，不会影响到其他篮子里的鸡蛋。这就是通常 所说的，不要把所有的鸡蛋放在个篮子里。资产组合证明，证券组合的总体风险随着组 合所包含的证券数量的增加而降低，资产间关联性极低的多元化证券组合可以有效地降低 个别风险。 2 实现收益最大化。理性投资者的基本行为特征是厌恶风险和追求收益最大化。投 资者力求在这一对矛盾中达到可能的最佳平衡。如果投资者仅投资于单一资产，则选择有 限，若将各种资产按不同比例进行组合时，则其选择相对增多。这使为投资者在给定风险 水平下提供获取更高收益的机会，当投资者对风险和收入做出权衡时。能够得到比投资中 单一资产更为满意的收益与风险的平衡。 - 8 - 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 2 2 马柯威茨的均值一方差模型 1 , 1 7 】 2 2 1 模型的概述 投资者在选择最优证券组合时应该实现两个相互制约的目标预期收益率最大化 和收益率不确定性( 风险) 的最小化之间的某种平衡。马柯威茨在提供证券组合选择方法 时，曹先通过假设来简化和明确上述两个目标。这些假设是：假设一，投资者以期望收益 率( 亦称收益率均值) 来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差( 或标准差) 来衡量收益率的不确定性( 风险) ，因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差； 假设二，投资者是不知足的和厌恶风险的，即投资者总是希望期望收益率越高越好，而方 差越小越好。 在上述假设和马柯威茨所提供的方法中，牵涉两个最基本的也是最核心的概念期 望收益率和收益率的方差。期望和方差本身是两个数学概念。前者反映一个不确定性的变 量以不同的可能性( 概率) 取各种可能值时，其平均取值水平；后者反映不确定性变量的 各种可能值得分散程度，在一定程度上也反映了该变量的取值的不确定性程度。可见期望 收益率和方差与收益率作为一个不确定性的变量有关。 2 2 2 模型的数学表达形式 设有n 种证券记作一1 ，一2 ，一3 ，a r ，证券组合p = ( x 1 ，x 2 ，h ) 表示将资金 分别以权数x l ，x 2 ，奶，h 投资到证券4 ，爿2 ，4 ，4 ，其中 z 1 + z 2 + 南+ - f x = 1 。证券组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权平均。即： 设d ，的收益率为，( i = 1 , 2 ，3 ，n ) ，则证券组合p = ，x 2 ，而，h ) 的收益率为 ， - - - - - x 1 ，l + x 2 屯+ + x = x ，f 。推导可得证券组合p 的期望收益率和方差( 风险) i = 1 为 塑塑蔓墼堡盐垄垒墼鱼堑主垫查星要塞 e 以) ：兰工；e ) ( 2 1 ) = x 。oc o v ( x ，t ) l 司j - l 。 ( 2 2 ) = 石。x io - f o - j , o u 式中： 霞一爿。收益率的方差； p f l 与0 的相关系数( i j = l ，2 ，) 占( ) 一第i 项资产的净收益。 于是马柯维茨证券投资决策模型可描述为 l n 默五b ) = 一五( ) ， n ni v r n i i l c r 2 ( ) = x ? 盯? + z ；q p f j = 1i = lj - j j x 。= 1 一0 2 2 3 模型的缺陷 ( 2 3 ) 上述模型尽管在理论上享有盛誉，实用性却极差，以至迄今仍无法以其原始形式广泛 应用于建立一个大型证券投资决策的工作。主要原因如下： 1 ) 建模的前提在现实中失效 该模型假定服从正态分布，同时假定投资者均规避风险，偏好较少的标准差。面根 据对美、日证券业人员的调查，他们并不信服把标准差作为风险的测度标准，他们对仅获 得一点非零的利润并不满足，而对较高的利润感兴趣，这表明投资者对风险、收益的理解 并不对称，更谈不上n 一定服从正态分布。换言之，马柯维茨证券投资决策模型的假设部 分失效，它只能看作某种复杂现实的近似。遗憾的是，虽然探索马柯维茨证券投资决策模 - 1 0 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 型的文章有许多，但都是在假设前提满足下而进行的数学上的讨论居多。 2 ) 模型计算的困难 马柯维茨证券投资决策模型中，都是用标准差作为风险度量，且在协方差矩阵 r = ( ) 。为正定、半正定下，利n _ - 次规划理论已给出一些解析解。但事实上用标准 差度量风险，需要事先确定m ( m + 1 ) 2 个q ，这在实际问题中是难以办到的。可喜的是， 一些文献开始探索度量风险另外的方法，如极差、最大绝对偏差和平均偏差平方和等。 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 第三章均匀设计 3 1 均匀设计的理论背景 假设在因析试验中有s 个因素每个因素有q 个水平，那么总水平组合矿。这在运行 时太大了尽管s 、q 是适当的。因此二水平和三水平因析试验设计被广泛的应用着。如果 园素的高阶的交互作用可以忽略的话，一种部分园析试验设计就可以运行了，这种试验运 行次数非常少。在所有部分因析试验设计当中，正交数组可能是最有效而且最受欢迎的了。 在试验中我们希望探索到因素与响应之间的关系，并预测试验区域中任何一点的响 应，在处理试验数据时回归模型非常适用。当因素与响应之间是非线性或试验区域非常大 时，二水平试验设计就不再适用了。通常试验者是不知道响应( y ) 与因子( 叶，x 。) 之间的模型的，我们希望得到一种试验设计对任何一种假设模型都是稳健的。 假设在试验中响应( y ) 与因子( 而，) 之间满足回归方程 y = g ( x 1 ，石，) + 占 ( 3 1 ) 式中方程g 是未知的，s 使随机误差。当方程g 是多项式( 一阶或二阶) 时- 模型( 3 1 ) 叫做响应表面模型( d r a p e ra n d l i n ，1 9 9 6 ) 。当( 3 1 ) 中的方程g 是比较复杂或者非线性的， 我们可以用近似线性模型来代替原始模型( 3 1 ) m y = g 1 0 1 峭。) + 0 1 ，o o t ) + 占 ( 3 2 ) l _ l 式中函数& 是已知的，函数h 表示与( 3 1 ) 的区别。由于实际原因，函数有可能是 不知道的，这时我们把( 3 1 ) 叫做非参数回归模型。我们需要一种多因素试验设计，它 能应付非参数模型，试验者希望通过试验找出函数g 的近似表达式。因此要求试验设计对 模型的变化有一定的稳健性，均匀试验设计正是这样一种试验设计方法。 - 1 2 3 2 均匀性度量 均匀试验设计使其试验点均匀分布在试验区域内，这就是说如果试验中有s 个因素， 记试验区域为c 。= 0 ，l r ，我们的主要目的就是找出n 个试验点p ：仁1 i 一，x 。 c c 。均 匀分布于c 5 令m 为p 的均匀性度量，那么m n 4 、越好。 z ( n ，s ) c c s ，p z ，j ) ， 如果肘0 ) = 。! 瞧、肼( p ) ，那么p 就叫做均匀设计。如何度量其均匀性呢? p “i n j 】 。 一 在试验区域c 5 上分布n 个试验点p = 协i ，一，x 。) ，定义均匀性的方法有很多种，但 最流行的就是所定义的均匀性测度能满足k o k s m a - h l a w k a 不等式，在伪蒙特卡罗方法中 最普遍采用的是- 偏差e 令x = ( 薯，t ) c 3 ，【0 ，工) = o ，x o m 五) 为c 5 中由原 点o 和x 决定的矩形，令0 ， d ，x ) ) 为p 中的点落入到 o i x 中的个数。当p 中的点在0 ， 中散布均匀时，n o ， 0 ，x ) ) ，珂应与 o ，x 】的体积x x ，相接近，两者的差 。( x ) = l ：! ! ! f ! ! ：竺! 苎堕v 。，( 0 ，x ) ) ( 3 3 ) 力 称为点集p 在点x 的偏差。所谓的乞m 偏差定义为 见( p ) = 0 ， o ，z ) ) 1 21 - v o l ( o ，x ) ) l 出 9 ( 3 4 ) j 当p _ o o 时，上式化为 即) ；见咖垮f i 等竽- v o f ( 【吖) ) i ( 3 s )z e r 在文献上一般称为星偏差( 简称为偏差) a f ( x ) i 为c 5 上的分布函数，c ( 石) 为p 的经验 分布函数，鹕( 加去善地钢 6 ) 式中i ( a ) 为示性函数，当a 的条件满足其值为1 ，否则为0 ，星偏差满足著名的 k o l m 。g o r 。v 。s m k n o v 拟和优度检验，可以表示成| j 0 ( 砷一f ( x ) 4 = 鼍i j 0 ( 一f ( 茹) - 1 3 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 如果我们想数值计算下面的积分，( ) = l ，( _ ，砖) 凼氓= f ( x ) d x ，我 们可以近似为? 。) = i i 善n ，o t ) 式中p 。= 缸l ，一，x 。) 为试验区域c 5 上布n 个试验点。 由k o k s m a - h l a w k a 不等式得该近似值得误差上界：i j 叮) 一，慨 - v 汐) d ( b ) ( 3 7 ) v 表示被积函数的变量，这里的上界使我们想到可以找到最小偏差。如果用蒙 特卡罗方法选择p 。，那么x 1 ，x 。为均匀分布在c 。上的随机变量，当1 1 哼时 d ( n ) = o p ( ) 。然而伪蒙特卡罗方法是找p 。使当珂一d ( 见) = o ( 二( 1 0 9 ( n ) ) 5 ) 。 、n 行 伪蒙特卡罗方法在数指分析和统计学中有着非常大的作用，包括试验设计在内。 我们知道偏差的其中一个缺陷就是计算太复杂了，w a m o c k ( 1 9 7 2 ) 提出了一种计算如- 偏差的公式 d 2 ( a ) = 一i 2 。妻。冉学+ 。n t - - i - 州杰i 。l i 1 一一，嘞) 】；c s 8 ) 式中心= ( x k l j 一，) 是第k 个试验点。当s 固定时，上式的计算薰为o ( n 2 ) ，比偏差的 计算量大大减少。但岛一偏差有其严重缺点，它忽略了低维投影的偏差- 为此， h i c k e m e l l ( 1 9 9 8 a ) 将l p - 偏差定义修改为 b ”c 荟l l 掣u 。，p ， 式中u 为 l ，s 的一个非空子集，u 也可以取 1 ，s ) 。当p = 2 ，正= o , x ) 时， 修正的d 2 ( 只) 记作埘d 2 ( 以) ，它可表示为 m d = ( p o ) = 唁，5 一等l - a 荟n 珥sc ，一，+ 专毫冉c z - m a x ( x n ，如；c a ，。， 修正的d 2 ( 只) 考虑了点集p 。投影到低维空间的均匀性，但其原点。仍占有特殊地位，为 1 4 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 了减少原点的特殊地位便获得了中心化厶一偏差，记住c d 2 ( 只) 。通过化简，中心化厶一 偏差可用下式来计算 在计算中心化与偏差时对c 。的2 3 个顶点一视同仁，从而取消了原点的特殊地 位 h k k e m e i i ( 1 9 9 8 a ) 还定义了所谓的对称化岛- 偏差，它的计算公式 为趿c 力钮争一詈砉冉c + ：靠一2 ，+ 手毫冉c t 1 一l ，乒c ，m ， h i c k e m e l l ( 1 9 9 8 b ) 又定义了一种可卷型偏差，即对每一维设想将0 和1 粘在一起，并将矩形 o , x ) 换成由c 。中两点决定的矩形。可卷厶- 偏差( 记为矽：d 2 ) 定义为 峨c 耻h 争3 砖喜喜密目靠鸣h 靠却# m 以上就是六种均匀性测度：偏差d ，岛一偏差d 2 ，修正的厶一偏差 犯l ，中心化岛一 偏差c d ，对称厶一偏s d ：以及可卷厶一- 差w d 2 。在c 3 中任给n 个点而，。x ，如 何计算它们的偏差对均匀设计表的构造十分重要。长期以来，一直没有人提出一个实用的 算法当1 9 7 8 年提出均匀设计时，只好把偏差展开成级数，取其首项，给出近似偏差的准则。 但有时有大的偏差，而且只适用于好格子点法构造的均匀设计，不能计算正交设计等其它 方法所产生试验点的偏差，b u n d s c h u h 和z h u ( 朱尧辰) 给出了计算偏差的算法，当因素数 不太多时，他们的算法可以精确地求出任何点集的偏差我啦j 可用i 雌t l a b 编出有关的程 序，有关偏差的计算都可以用程序计算。 1 5 - ：卜 2 。呼 懂 叫犷k i 卫： 上下叫1醉批忑m 卦 ! n 铲 o ：一渤 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 3 3 均匀设计表 每一个均匀设计表有一个代号巩( 矿) 或( 矿) ，其中u 表示均匀设计，n 表示 要做n 次试验，q 表示每个因素有q 个水平。试验次数就是因素水平数目的均匀设计表， 记为瓯( ) 或玩0 。) ；s 表示该表有s 列。表3 1 是均匀设计表嵋( 7 4 ) ，它告诉我们， 用这张表安排试验要做7 次试验，这张表共有4 列，最多可以安排4 个因素。 表3 1 均匀设计表“( 7 4 ) 试验号 12 34 11236 22 4 65 33 6 24 441 53 55312 6654l 7777 7 每个均匀设计表都附有一个使用表，指示我们如何从设计表中选择适当的列，以及由 这些所组成的试验方案的均匀度。表3 2 是均匀设计表“( 7 4 ) 的使用表。从使用表中看 到，若是2 个因素，应选用1 ，3 两列来安排试验：若有三个因素，应选用1 ，2 ，3 这3 列；若有4 个因素，应选用1 ，2 ，3 ，4 这4 列安排试验。 表3 2 u 7 ( 7 4 ) 的使用表 s 列号 d 130 2 3 9 8 1230 3 7 2 1 12340 4 7 6 0 均匀设计表的右上角加“+ ”和不加“”代表两种不同类型的均匀设计表。加“” - 1 6 - 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用a 表3 3 是均匀设计表嵋( 7 4 ) 表3 4 是它的使 用表。使用表的最后一列d 是刻划均匀度的偏差的数值，由3 3 节我们可以知道偏差值d 越小，表示均匀度越好。比较两个均匀设计表( 7 4 ) 和嵋( 7 4 ) 及它们的使用表。如有两 个因素，若选用( 7 4 ) 的i ，3 列，其偏差d = 0 2 3 9 8 ，选用叫( 7 4 ) 的1 ，3 列，相应偏 差d = 0 1 5 8 2 ，后者较小，应优先择用。 表3 3 均匀设计表嵋( 7 4 ) 试验号1234 1l357 22626 33175 44444 5 5 71 3 66262 77531 表3 4 均匀设计表啊( 7 4 ) 的使用表 s列号d ； 130 1 5 8 2 1230 2 1 3 2 均匀设计表具有如下特点： ( 1 ) 每个因素的每个水平只做1 次试验。 ( 2 ) 任意两个因素的试验画在平面的格子点上，每行每列恰好有一个试验点。 ( 3 ) 均匀设计表任意两列之间不一定平等的。使用均匀设计一般不 宣随意挑列，而应当选择均匀性比较好的列。具体设计时，应按均匀设计袁的 使用表安排因素。使用表可告诉我们在均匀设计时如何选列来安排相应的因素。 均匀设计时，只有遵循使用表的规定，才能达到较好的效果。 ( 4 ) 水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间具有确定的关系。将奇数表划去最 1 7 均匀试骏设计在金融市场中的应用研究 ( 5 ) ( 6 ) 后一行就得到水平数比原奇数少1 的偶数表，相应地，试验数也少1 ，而使用 表不变。例如，将( 7 4 ) 划去最后一行就得到砜( 6 4 ) ，使用表不变。 对于等水平u 表，其试验次数与该表的水平数相等，因此，当水平数增加时， 试验数随之作等量增加。如当水平数从7 增加到8 时，试验次数也随之从7 增 加到8 ，试验次数随水平数增加有连续性。但对于等水平正交试验。当水平数 从7 增加到8 时，试验次数则一般从4 9 增加到6 4 ，按平方关系增加。可见 均匀设计中增加因素水平仅供试验的工作量有微小的增加。这是均匀设计的很 大优点。 u 表中各列的因素水平不能像正交表那样可以随意改变次序，而只能按照原来 的顺序进行平滑就是将原来的最后一个水平与第一个水平链接起来，组成一 个封闭圈，而后从任一处开始定位第一水平，按圈子的原方向排出第二水平、 第三水平 3 4 均匀使用表的产生 在上一节指出均匀设计在使用时由于选择的列不i 司，试验的效果也太不相同，于是逯 议按使用表的推荐去选列，那么使用表又是如何产生的呢? 设我们要从均匀设计表 u 。( n 4 ) 中选出s 列，则可能的选择有( 】种可能，我们要从中选择一个最好的，这里 必须对“好”和“坏”有明确的含义，表u 。( n 1 ) 是由它的生成向薰h = ( h l ，一，h 。) 所唯 一确定的，选择s 列，本质上就是从h 中选择s - t h 1 ，h 。，由这s 个数生成的均匀设 计表为u 。( h i ，一，h i ) ，这是一个n s 矩阵它的每一行是s 维空间r 5 中的一个点，故n 行对应r 8 中的n 个点，若这n 个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不 好。因此，比较两个均匀设计表u 。( h i l ，h i ；) 和u 。( h j i ”，h j 。) 的好坏等价于比较由它 们所对应的两组点集的均匀性。3 3 节已经给出了均匀性测度的概念。设我们要从均匀设 计表u 。( n “) 中选出s 列，使其相应的均匀设计有最小的偏差a 当m 和s 较大时，由i t i 1 8 均匀试验设计在金融市场中的应用研究 列中取出s 列的数目有( 之多，要比较这么多组点集的均匀性工作量很大。于是需要 有简化计算和近似求解的方法。这里仅仅介绍利用整数的同余幂来产生h i l h i ；的办法。 令a 为小于n 的整数，且a ，a 2 ( r o o d n ) ，a 1 ( m o d n ) 互不相同，a 1 “= 1 ( r o o d n ) ，则称a 对n 的次数为t ，例如 2 1 = 2 ，2 2 = 4 ，2 3 = 3 ，2 4 = 1 ( r o o d 5 ) 则2 对5 的次数为3 。又如 3 1 = 3 ，3 2 = 9 ，3 3 = 5 ，3 4 = 4 ，3 5 = l ( r o o d 9 ) 表示3 对9 的次数为4 。一般若a 对n 的次数大于或等于s - 1 ，且( a n 户l ，则可用 ( a 0 ，a ，a ”1 ) ( r o o dn )( 3 1 4 ) 作为生成向量，故a 称为均匀设计的生成元。然后在一切可能的a ( 最多n 1 个) 中去比 较相应试验点的均匀性，工作量则大大减少。理论和实践证明，这种方法获得的均匀设计 使用表仍能保证设计的均匀性。于是，给定i i 和s ，只要求得最优的a ，便可获得生成向 量，从而获得相应的均匀设计表。表3 5 对奇数( 5 n 3 1 ，n - 3 7 ) 给出了u 。表的生成元及 其相应均匀设计的偏差。同时对偶数n ( 6 n 3 0 ) 给出了u ：表的生成元和相应的偏差。类 似地，对奇数n ，我们也获得u ：表的生成向量和相应均匀设计表的偏差( 表3 6 ) 。表3 5 和3 6 的结果取自f a n ga n d l i t 2 0 “】，综合两个表的结果，我们有如下的说明； i ) 对奇数n ，u ：表比u 。表有更好的均匀性，例如n = 1 5 ，s = 4 时，u 1 5 0 5 4 ) 的偏差 为d = 0 2 7 7 2 ，而u ：5 ( 1 5 4 ) 的偏差为d = 0 1 5 1 1 后者比前者相对降低了 0 2 7 7 2 - 0 1 5 1 1 ：4 5 4 9 0 2 7 7 2 表3 , 6 中口一列给出了所有情形偏差降低的百分比。 1 9 - 塑塑蔓壁望生垄叁墼塑堑史箜查里竺塞 表3 5u 。和u ：的生成元和相应设计的偏差 234 56 7 5 2 ( _ 3 i o o )2 ( 4 5 7 0 ) 6 3 ( 1 8 7 5 ) 3 ( 2 6 5 6 ) 3 r 2 9 9 0 ) 7 3 ( 2 3 9 8 )3 ( 3 7 2 1 ) 3 ( 4 7 6 0 ) 8 4 ( 1 4 4 5 ) 4 ( 2 0 0 0 )2 ( 2 7 0 9 ) 9 4 ( 1 9 “) 4 r 3 1 0 2 )2 r 4 0 6 6 ) 1 0 7 r 1 1 2 5 )7 ( 1 6 8 1 ) 5 r 2 2 3 6 )5 f 2 4 1 4 )7 ( 2 9 9 4 ) 1 1 7 ( 1 6 3 4 )7 ( 2 6 4 9 ) 7 ( 3 5 2 8 )7 ( 4 2 8 6 ) 7 ( 4 9 4 2 ) 1 2 5 f 1 1 6 3 )6 ( 8 3 8 )6 ( 2 2 3 3 ) 4 r 2 2 7 2 )6 r 2 6 7 0 )6 ( 2 7 6 8 ) 1 3 5 ( 4 0 5 )吖2 3 0 8 )6 ( 3 1 0 7 ) 6 ( 3 8 1 4 )6 ( 4 4 3 9 )6 ( 4 9 9 2 ) 1 4 1 1 ( 0 9 5 7 )7 ( 1 4 5 5 )7 ( 2 0 9 1 ) 1 5 1 1 ( 1 2 3 3 )7 ( 2 0 4 3 )7 ( 2 7 7 2 ) 1 6 l o ( 0 9 0 8 )5 ( 1 2 6 2 )5 ( 1 7 0 5 ) 5 ( 2 0 7 0 )l o ( 2 5 1 8 )2 ( 2 7 6 9 ) 1 7 1 1 ( 1 0 9 9 )1 0 ( 1 8 3 2 ) l o ( 2 5 0 1 )1 0 ( 3 1 1 1 )l o ( 3 6 6 7 )l o ( 4 1 7 4 1 1 8 8 ( 0 7 7 9 ) 9 r 1 3 9 4 ) 9 ( 1 7 5 4 ) 4 ( 2 0 4 7 )3 r 2 2 4 5 )9 ( 2 2 4 7 ) 1 9 8 f 0 9 9 0 )8 r 1 6 6 0 )1 4 f 2 2 7 7 )1 4 ( 2 8 4 5 )1 4 ( 3 3 6 8 ) 1 4 ( 3 8 5 0 ) 2 0 1 3 ( 0 9 4 7 )5 ( 1 3 6 3 )l o ( 1 9 1 5 )l o ( 2 0 1 2 ) l o ( 2 0 l o ) 2 1 1 3 ( 0 9 4 7 )1 0 ( 1 5 8 1 )l o ( 2 0 8 9 )l o ( 2 6 2 0 )l o ( 3 1 1 3 ) 2 2 9 f 0 6 7 7 ) 1 7 r 1 1 0 8 ) 1 7 ( 1 3 9 2 1 1 7 ( 1 8 2 7 )1 7 ( 1 9 3 0 )1 l f 2 1 9 5 ) 2 3 1 7 ( 0 8 2 7 )1 5 f 1 3 9 7 )1 7 ( 1 9 3 0 )1 1 ( 2 4 2 8 )1 7 ( 2 8 9 3 )1 1 ( 3 3 2 8 ) 2 4 1 1 ( 0 5 8 6 )6 ( 1 0 3 1 ) 6 ( 1 4 4 1 )1 2 ( 1 7 5 8 )1 2 f 2 0 6 4 )1 2 f 2 1 9 8 ) 2