（应用数学专业论文）复合材料中椭圆方程组解的正则性.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 本文考虑了来自于复合材料中三个椭圆型方程和方程组问题：首先考虑了 在n 维欧氏空问的单位立方体上定义的一类含有低阶项的椭圆力程组，该力程 组的系数在每个层状子区域的闭包上虽然是光滑的，但越过边界可以是不连续 的，在本文的第二章中研究了其解的正则性；在第三章考虑了全平面上当两个子 区域无限靠近却不接触时的传导问题，利用单层位势理论，对其解的法向导数进 行了上界估计；最后，在第四章考虑了任意维空间上的理想传导问题，我们建立了 解的梯度的下界估计，并且得知当两个子区域无限靠近时，解的梯度会出现爆破 现象 本文内容主要由下面五个部分组成： 第一章介绍了来自于复合材料的偏微分方程( 组) 模型的发展概括，以及本文 所研究问题的选题背景，理论价值和实际意义 第二章考虑了由l 种不同材料组成的复合材料问题，q = x ：i x i l l 是彤空 间中的单位立方体，包含l 个层状的子区域q 卅= x q ：一i x n g 。j ，l msl ，c m 是1 到1 之间递增的常数设向量函数“( 力= ( u 1 ( 力，( 劝) 是定义 在q 上的，卜面椭圆型方程组的解： o a ( a 男# a # u j ) + 磙勃+ c i j u j = h i + 以g ? ，f - 1 ，2 其中a 芋，磋，c 盯，玩，g ? c 。( 瓦) ( m = l ，2 ，l ) 本章证明了其弱解h c ”( 孬mnq ) 并建立了解的一个上界估计 第三章研究全平面上当两个圆形的传导子区域b l 和晚非常靠近但不接触 时的传导问题： ，2 id i v ( 1 十( 幻一1 ) x b , ) t u = 0j r 2 ， l “( x ) 一h ( x ) = o ( i x l 一1 ) 当i 工i _ o o ， 其中h ( x ) 是肛上已知的调和函数，对于i = i ，2 ，疋b 是毋的指示函数，毋的传 导率k i 是不为l 的常数本葶采片j 位势理论的方法对其解u 进行了分解，然后 对比的法向导数进行了上界估计 第四章进一步研究全空间上的理想传导问题，即传导子区域的传导率都 为0 0 时的一种特殊的传导问题： ( 口u ( 曲民睢) = 0 h f l + = u e l v u e = 0 在g n d l eu d 2 e 内， 在o d i fuo d 2 f 上， 在d l 。ud 2 f 内， 厶d 。( x ) a x , u e 巧l + = 0 j = 1 ，2 ， l i r as u p 。i x l “一1 阢f ( 曲一h ( x ) i o o ， 其中日( x ) 在彤上满足( 口7 ( x ) 九日( x ) ) = 0 本章给出了所有维数空间上非常精 确的解的梯度的爆破率 第五章总结了第一、二、三、四章的内容，并给出了最新结果以及今后的研 究前景 关键词：复合材料；传导问题；理想传导问题；梯度估计；法向导数；子区域 分类号：0 1 7 5 2 北京交通人学硕士学位论文a b s t r a ( 玎 a b s t r a c t i nt h ep a p e r w ec o n s i d e rt h r e ee l l i p t i cp r o b l e m sf r o mc o m p o s i t em a t e r i a l ：w e f i r s t l yc o n s i d e rae l l i p t i cs y s t e mi nac u b ei n 尼7w h i c hh a sl o w e ro r d e rt e r m s t h ec o e f f i c i e n t sa r es m o o t hi nt h ec l o s u r e so fs u b d o m a i n sb u tp o s s i b l yd i s c o n t i n u o u sa c r o s s t h e i rb o u n d a r i e s ，i nc h a p t e r2w er e s e a r c ht h er e g u l a r i t yo fi t ss o l u t i o n ；i nc h a p t e r3 ， w em a i n l ys t u d yt h ec o n d u c t i v i t yp r o b l e mw h e r et w oc i r c u l a rc o n d u c t i v i t yi n c l u s i o n s a r ev e r yc l o s eb u tn o tt o u c h i n g ，w em a k eu s eo ft h et h e o r yo ft h el a y e rp o p e n t i m ，a n d e s t a l ：i l i s ht h en o r m a ld e r i v a t i v ee s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o n ：h n a l l y , w ef u r t h e rc o n s i d e r t h ep e r f e c tc o n d u c t w i t yp r o b l e mi na l ld i m e n s i o n s w ee s t a b l i s hl o w e rb o u n d so ft h e g r a d i e n te s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o n ，a n dk n o ww h e t h e rt h eg r a d i e n tc a l lb ea r b i t r a r i l y l a r g ea st h ei n c l u s i o n sg e tc l o s e rt oe a c ho t h e r t h ep a p e ri sm a d eu po ff i v ep a r t sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p o s i t em a t e r i a l ，t h eb a c k g r o u n do fs e l e c t i n gt h i sq u e s t i o na n d t h es i g n i f i c a n c ei nb o t ht h e o r ya n d p r a c t i c e i n c h a p t e r 2 ，w e c o n s i d e r a c o m p o s i t e m a t e r i a l i n 胛w h e n a c u b e q = l 工：k i lj c o n t a i n sld i s j o i n ts u b d o m a i n sq m = l x q ：c m 一1 x n j ，l m l ，c ma r e i n c r e a s i n gc o n s t a n t sl y i n gb e t w e e n 一1a n d1 w - es u p p o s ev e c t o r - v a l u e df u n c t i o n s “( 曲= ( “1 ( 劝，( 力) i st h es o l u t i o nt oe l l i p t i cs y s t e m sa sf o l l o w s ： o a ( a i f o # u j ) + b i a b o + c i j u j = h + o 口6 7 ，i = 1 。2 n ， w h e r ea i f ，h i ，g c ”( _ m ) = l 川2 一，l ) w ep r o v ei t sw e a ks o l u t i o n u c o o ( q mnq ) ，a n de s t a b l i s ht h eu p p e re s t i m a t ef o ri t ss o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h ec o n d u c t i v i t yp r o b l e mw h e r et w oc i r c u l a rc o n d u c t i v i t yi n c l u s i o n sb la n db 2a r ev e r yc l o s eb u tn o tt o u c h i n g ： ，2 ld i v ( 1 + z ( k i 1 ) x r , ) v u = 0 石r 2 ， 1 f l ( 矿晶：d ( 州)a s i 加， w h e r e 日( x ) i sah a r m o n i cf u n c t i o ni nr 2 f o ri = l ，2 ，w es u p p o s et h a tt h ec o n d u c t i v i t y k io ft h ei n c l u s i o n sb ii sac o n s t a n td i f f e r e n tf r o m1 b yt h et h e o r yo ft h el a y e rp o t e n t i a l ， w ed e c o m p o s et h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m ，t h e ne s t a b l i s ht h en o r m a ld e r i v a t i v ee s t i m a t e f o rt h es o l u t i o n v i nc h a p t e r4 ，w ef u r t h e rs t u d yt h ep e r f e c tc o n d u c t i v i t yp r o b l e mw h i c hi sap a r t i c - u l a rc a s et h a tt h ec o n d u c t i v i t yo ft h ei n c l u s i o n si so o a x j ( a i j ( x ) o x l u f ) = 0 i nr n d l fu d 2 e ， “f i + = h f i o no d i u0 1 ) 2 f ， v u e = 0 i nd l fud 2 f ， 厶，) 、，口7 ( 曲民比巧i + = 0 j = 1 ，2 ， l i m s u p l 卅。i 石i ”一1l u f ( 工) 一h ( x ) l o o ， w h e r e 日( x ) s a t i s f yp _ ( a i j ( 工) 九日( 工) ) = 0i n 彤w eg i v et h ea c c u r a t eb l o w u pr a t e so f t h eg r a d i e n tf o rt h es o l u t i o ni na l ld i m e n s i o n s i nc h a p t e r5 ，t h em a i nc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra r es u m m a r i z e d ，a n dt h ef u r t h e r r e s e a r c hp r o b l e m sa r ep r e s e n t e da tl a s t k e y w o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a l ；c o n d u c t i v i t yp r o b l e m ；p e r f e c tc o n d u c t i v i t yp r o b l e m ；g r a d i e n te s t i m a t e s ；n o r m a ld e r i v a t i v e ；t h ei n c l u s i o n s c l a s s n o ：ol7 5 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论义的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：- 5 心、爻 签字日期： 口拿年7 月日 导师签名： 签字日期： 许裤川 叫年 月1 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人l 二经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志埘本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 了心、丈签字帆d 7 年矽i r 致谢 本文是在我的导师郑神州教授的悉心指导下完成的，在论文选题、研究、定 稿的过程中，郑老师自始至终给了我大力的支持和无私的关怀感谢我的导师，他 严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学爿中的榜样，他循循善诱的教导和 不拘一格的思路给予我无尽的启迪无论是在科研上，还是在平时的生活中，他都 给了我无微不至的关怀与鼓励他严谨的治学风格，广博的知识，精益求精的科研 作风，敏锐的学术思想和忘我的工作精神影响并鞭策了我，是我今后生活与工作 中一笔极大的财富，在此谨向郑老师表示深深的感谢 感谢史志杰师兄，卢寒芳，李俐，王喜芬，章腊平等师姐对我的帮助和指点。无 论是在平时的学习，还是在论文的写作中，他们都给我提出了很多宝贵建议，在此 向他们表示真诚的感谢此外，在撰写论文期间，万伟娜，潘信飞，司涛涛等都给予 我热情的帮助，我也从中学到很多知识，在此向他们表达我的感激之情 最后，感谢各位专家和学者在r 白忙中审阅我的论文，并给出批评意见。刨首两 年的研究生生活，自己的每一步前进，都离不开老师、亲朋和同学的支持与教诲， 在此表达我对他们最衷心的感谢! 北京交通人学硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1复合材料问题的发展概括 很多物理问题的解决往往最终都归结为偏微分方程和方程组的研究，高维的 复合材料中的传导和力学问题同样是这样的【4 ，5 】对于特定条件下偏微分方程的 定性和定量研究是认识物理世界本质的一个强有力手段和工具，一般来说，求解 出偏微分方程和方程组是困难的，而且对于大多数问题不可能做到( 往往是非初 等函数解) ，能求解出解析表达式的大多方程只局限于数学物理课程介绍的内容 所以对于复杂问题经常是研究解的定性理论，如考虑方程的适定性：存在性，唯一 性，稳定性以及在弱解意义下解的正则性问题 复合材料的研究是一项很有实际意义的工作，根据物理原理它最终可归结为 特殊的偏微分方程( 组) 问题对高维和二维的复合材料问题的研究已经取得了很 多有实际意义的成果；研究相应问题解的较为精确的正则性估计，可以反映出导 体传导率与复合材料的性质以及材料分布区域的密切关系；l 一样地，这些估计也 可以帮助我们研究纤维的电磁场强度和复合材料的应力 在复合材料中，子区域可以很接近甚至边界可以切触，李岩岩教授和v o g e l i u s 【5 】研究了来自复合材料的一类定义在多连通区域上的变系数线性一致 椭圆型方程，文中给出了解的梯度估计，考虑该问题的凼难之处是椭圆系数在 多连通区域上只是分片h 6 1 d e r 连续的：设d 是n 维欧氏空问彤的一个闭区 域，所考虑的导体是一种合成介质，其材料的物理性质在d 内的多连通子区 域d m ( m = l ，) 内是光滑的，但越过边界是不连续的，反映在方程中是主项系 数( - - 阶导数项系数) 在多连通区域上是分片h 6 1 d e r 连续的将这些介质的物理性 质用敞度犁二二阶线性椭网方程的形式表示，予足问题就成为方程解的性质研究 这个方程的系数在多连通子区域内光滑，但越过边界i 日j 断文献【5 】中解的梯 度估计的新颖之处在于它的上界依赖于子区域的大小和形状，方程的系数，但与 子区域之间的距离无关，甚至它们可以切触，而在此前还没有建立解的梯度的 般结论 设d 是彤的个有界区域，c o d c 1 一，0 口 0 ，使得集合( u3 d m ) nb ，( 劢由有限个c 1 舸函数的图像构 北京交通大学硕士学位论文 第1 章绪论 成记f ( 孑，r ) 为这些函数的个数，k ( y ，) 为这些函数c 1 , o r 范数的最大值， 舡s 面u p i 删n f l 砸，r ) + 眠，) + 吾 指的是集合ua d 。，的c 1 ，口模 m = l 设a ( - ，) ( o 1 ) 是一个对称的，正定的矩阵函数，定义 a ( 力= ( a i j ( x ) ) = a 加( z ) ，x d m ，1 m l ( 1 1 ) 令0 页 天 e j 定理1 1 1 5 1 设a ，g ，h 满足( 1 1 ) 一( 1 4 ) ，设0 p ， 0 ，如 果u h 1 ( d ) 是下列方程的解： o i ( a i j a j u ) = h + o i g i 在d 内， 那么存在着c 只与d ，以，口，口，e ，万，一a ，i i a 神i i c 。 ( b , n ) 和0a d , ，。的c 1 ，口模有关，使 m = l 得 眺m a x li l u l l c l 一( - 卅n 仇) c ( i l u l i l ”( o j + i l h l l 帅) + 咖m a ! x li i g “i i c 一) 文献【5 】同样得到解的c 1 ，边界估计 定理1 1 2 【5 1 设a ，g ，h ，妒漓jj g - ( 1 1 ) 一( 1 5 ) ，设0 0 ，有 l s m m a “xli l v l l o c i n ( 1 一f m ) c i l l ，i l l - ( a ) ， ( 1 7 ) 其中c 只与n ，f ，k ，万和天有关 第二步：使用扰动引理，证明了对于任意的q n ，0 磊 0 ，只 与n ，q ，石，万和天有关，使得如果a 舅( 万，天) ，a 一一y z ( 一a ，天) 满足 s u p ，- ( 十i a ( x ) 一承x ) 哪e 0 ， ( 1 8 ) 0 r l 垃 设u h 1 ( q ) 是下列方程的解： o i ( a i ) ( x ) o ) t , t ) = 0 在q 内， 且i l u l l l * ( q ，l ，那么存在着一个近续的，分段的线性函数p ( x ) 是下列方程的解： 岛吼( 工) o j p ( x ) ) = 0 在去q 内， 并满足 1 l u ( x ) 一p ( x ) l c l x l l 佰在云q 内， 其中c 只与n ，q ，瓦，- j 和天有火 3 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 第三步：在定理1 1 1 的假设下，通过平移和伸缩，并选择适当的瓦贸( 页，- r ) ， 可以证明对于d 内的每一个点i ，( 1 8 ) 式都成立，那么方程o i ( a i j ( x ) o j u ) = 0 解的 梯度的三”内估计就得到了 第四步：在q 内不同的i ，与矩阵a i 相关的超平面的定向也是不同的，因 为p _ ( 工) 在这些平面上只是分段线性的处理好这些方向的局部变化和这些集合 上的梯度关系，最终就得到了解的梯度的h 6 1 d e r 估计 接下来我们了解一下李岩岩教授承in i r e n b e r g 院士【4 】对复合材料椭圆方程 组的研究情况 ， d 是彤上的有界区域，d 含l 个不相交的子域d l ，仇，d = ( 0 _ m ) a d 对于j = ( 工l ，) d ，向量函数u = ( u 1 ，) ， 4 】考虑如下的椭圆方程组： 以( a 芋( x ) 如) = b i ，i = l ， ( 1 9 ) 其中口，卢从1 到以求和，_ 从1 到n 求和；这里的系数每个元素a 彳通常记 为a ，a 芋( 瓦) ，m = 1 ，l0 0 ，使得a i j 8 满足 上a 岁( x ) 乱驴协 上i v 妒1 2 v 妒硪( 。，r n ) 更一般，将方程组的右端写成更一般的形式 b i = h i + 8 b 更， ( 1 1 0 ) 存在着0 0 ，存在着常 数c 使得对于任意的满足0 0 q 是以p 为半径的圆盘。 b 是以，为半径的圆盘，q3b ，而且b 非常靠近a q 在文献 8 l e e ，他们利用位势理论，由位势的性质知道，单层位势和双层位势都 满足l a p l a c e 方程，把l a p l a c e 方程的解表示成具有待定密度函数的某种位势，然 后使它满足给定的边界条件就得到关于密度函数的积分方程也就是说，对于上 述问题的解可以表示成： “( x ) ：d n f ( x ) 一5 岛g ( 工) + s b 妒( x ) ，x q ，g ：昙竺i d q ， 其中g ，妒满足下列积分方程组： g 一掣= 等在犯上， i 却+ 掣= 磐在o b 上 通过计算， g = 2 丕o 丽1 瓦0 陋删w 一1 蹦。q 门在a q 上， 薹( 2 , 1 ) o 生r b r b ) m ( i - 如剐在砒 设x l 是o b 卜最靠近讹的点，令x 2 是讹卜最靠近o b 的点 刮豳r 胂叭矿= 等= 等 通过旋转和映射后通常可以认为q = 曰( ( o ，o ) ，p ) ，b = 曰( 一，一，0 ) ，) ，e p r 令 删= 品椭c 曲= 丙南， 眦) = i 丽0 2 x 倒加誓篇+ - r - e , o ) 5 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 设p l 和尸2 分别是尺占如和凰如的不动点令，l 是p i 和置之间的线段， 也是b 和恐之间的线段 通过计算，对于任意的正整数，l ， g 冉( r q ( r 8 r q ) “( 工) ) g q ( ( r 曰r q ) ”( 工) ) l ，x 一b ， 当，2 忐时， g s ( r t 。( r b r q ) “( 工) ) g n ( ( r b r n ) “( 功) 赢，x b 根据上面的计算，文献【8 】得到了如下的定理： 定理1 1 4 嘲假设h 是( 1 1 2 ) 的解，当k l 时，存在着c i 与k ，r f ，f 无关，使 得当充分小时 c l i n f 骶- j , i ( v d n f ( x ) f , v b 一( x i ) ) i i v u i + ( x 1 ) i ， l 一矿+ 4 r 、e 、1 业粤竖堕掣i v u l 一( x 2 ) 1 1 一o r + 4 r 、e 其中y 8 和指的是a b 和讹的单位外法向量 当k 1 时，存在着q 与k ，r ，无关，使得当e 充分小时 c 2 1 1 f l l o n ( m ) i l v u l i l 。* f 蒜 同时他们研究了带有n e u m a n n 边界条件的传导问题： 箬g 讹一沌0 囊袭， l 考= 在锄上， u “叫 得到相戍解的估计 我们再来看看m = 2 的情况a m m a r i ，k a n g 和l i m 【7 1 中研究了当两个子区域 非常靠近但彳i 接触时的传导问题： d i “1 + ( 卜毗的= 0 i = 1 联肛， ( 1 1 1 4 )弋( j 斗j lh ( 茗) 一h ( x ) = o ( i x l 一1 ) 当i x i _ o o ， 其中b 。和玩是两个靠的很近但不接触的圆，包含区域局和岛的传导 率k i 和也是不为l 的常数，日是尺2 的调和函数根据位势理论，文献【7 】得 到如果u 是( 1 1 4 ) 的解，存在着唯一的函数妒f 瑶( a 毋) ，f = 1 ，2 ，使得 “( 曲= h ( x ) + s 8 i 妒l ( 曲+ 。s 岛妒2 ( 曲， x r 2 6 北京交通大学硕士学位论文第1 章 ( 妒l ，忱) 是定义在l 2 0 ( o b , ) x 己；( a 岛) 上下列方程组唯一的解： 在o b l 上， 在a 晚上， 仁砸沪揣，2 令b - b ( z i ，r i ) 是以磊为圆心以为半径的圆，i = l ，2 ，- g ln 瓦= o 令 = 篱忆 ( 尺f 门( 工) = f ( r f ( 力) ，x r e ，i = l ，2 然后通过计算，得到 旷去芝志赤 ( r 2 r 1 ) m ( i - - 瓦1 删b ， 仇2 石磊而万而 丽恐川汹 炉去芝上南(r1r2)m(1-丽i(4,t2 1 2 ) m 删k 忱2 石磊丽 丽风删川啦 绪论 通过旋转，得到b l = b ( ( 0 ，0 ) ，厂1 ) ，b 2 = b ( ( ，l + r 2 + f ，o ) ，r 2 ) ，俄= 召( ( ，1 + ，o ) ，；) 分别是以z l = ( o ，o ) ，z 2 = ( r l + r 2 + e ，o ) ，z 3 = ( r l + ，o ) 为圆心，r l ，r 2 ，为 半径的圆令x l = ( ，1 ，0 ) ，x 2 = ( n + f ，0 ) 通过上面妒l ，忱的表达式，文献【7 】就得 到( 1 1 4 ) 解的梯度估计 定理1 1 5 【7 1h 是r 2 上的调和函数，使得在否诟内两o i l 0 设口是( 1 1 4 ) 的 解，1 0 足够小，8 f 是r n 内有界的l i p s c h i t z 区域，且满足( 1 1 6 ) ，j = l ，i n 男 外，d i s t ( d ，讹) d o 0 ，d i 的传导率是不为1 的正的常数k i ，f ：1 ，m 定理1 1 7 9 1 若u 是( 1 1 7 ) 的解，则u 可表示成： u ( x ) = 觑曲+ 黾( 力，工q 、1 其中 t - 1 ( x ) = j g n f ( x ) 一k 2 9 ( 曲，x q ，f = “i a n l ；( o d i ) ，i = 1 ，m 满足下列积分方程 卜畅一掣如= 器h 在帆：l ，m 最后，我们了解一下理想传导问题，即传导予区域的传导率都为0 0 的传导问 题e l l e n ，李岩岩和b i a o 【6 】研究了如下的理想传导问题： a u = 0 u l + = 圳一 v u = 0 f o g 雾i + = 0 “2 妒 在q 内， 在o d luo d 2 上， 在d lu 伤内， ( 1 1 8 ) i = l ，2 ， 在施上， 其中q 是彤空间上的一个有界开集，n 2 ，讹c 撕，0 t o , d i a m ( q ) 三， r o 其中蜘，厂。是与无关的正的常数 为了得到方程( 1 1 8 ) 解h 的梯度估计，文献【6 】6 将“分解成： 1 , 8 = c , v l + c 2 v 2 + v 3 9 北京交通大学硕士学位论文 第1 章绪论 其中c i = c i ( e ) ( i = l ，2 ) 是蹦在o d i ( i = 1 ，2 ) 上的边界值v i c 2 ( 孬) ( f = 1 ，2 ，3 ) 分 别满足 i y i = 0在q 内， iv i = 1 在a d i 上y l = 0 ，在o d 2ua q 上， ia v 2 = 0在q 内， lv 2 = l 在o d 2 上，l ，2 = 0 在a ，) 1u 弛上， la v 3 = 0在q 内， lv 3 = 0 在a d lu0 d 2 上，v 3 = 妒在讹卜 定义 续m = 厶0 v 3f m0 v 2 一厶斋上等， 那么q f ：c 2 ( a 一尺是一个线性函数 根据如上对( 1 1 8 ) 解h 的分解，文献【6 】得到了解的梯度的上界估计和下界 估计，且估计均与e 有关 定理1 1 8 6 1 设q ，d i ，d 2 ，e 如( 1 1 9 ) 所定义，妒c 2 ( 铀) 设髓日1 ( q ) nc 1 ( 嚣) 是 方程( 1 1 8 ) 的解对于充分小时，存在正的常数c ，c 与，l ，物，i l a q l l c ：，口，1 l a d l i i c ：。 和i i o d 2j l c 2 ，有关，但是与无关使得 删响丢删c z c 锄 l v 圳p 。两志删c 2 ( 姗 m 嘶，却 当n = 2 ， 当n = 3 当n 4 定理1 1 9 嘲条件如定理1 1 8 一样，令比h 1 ( q ) nc 1 ( 五) 是方程( 1 1 8 ) 的解 对于充分小时，存在正的常数c ，c 与，z ，k o ，r o ，l l a q c 2 廿，1 1 0 dji i c 轴，1 1 0 d 2j i 口，和 m l c 2 ( 施) 有关，但是与e 无关使得 v 圳纠西半忑1 当删， v 圳嘶，半志当删， v 训州弘半 当删 将( 1 1 s ) 拓展到一般系数的情况：设q ，d l ，d 2 ，和妒如定理1 1 8 所述，设 a ( 算) = ( ( 曲) c 2 ( 而 1 0 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 是五上，lxn 对称的矩阵函数，且存在着常数0 a 人 使 a i f l 2 a i j ( x ) s i f j a i s f l 2 ，y x 五，v f 彤， 其中a q ( x ) c 2 ( 琢瓦百瓦) 同时，文献【6 】中考虑了如下的理想传导问题： 巩，( ( x ) o x ，z f ) = 0 在q 内， u l + = “| -在a d lua d 2 上， v u = 0 在d lt jd 2 内， ( 1 1 9 ) j l d ，( x ) o x , u v j l + = 0 s = 1 ，2 ， u = 妒在勰上， 对重复角标f ，_ 将从l 至，l 求和 对于方程( 1 1 9 ) 的解，文献【6 】中得到了与定理1 1 8 和定理1 1 9 类似的估 计这里就不再重复 1 2 选题背景 物理问题数学模型的形成，般有儿种不同的形式，它们在理论上等价，但 在实践中不等效我们知道，物理问题最常见的数学模型是微分方程自从上世 纪9 0 年代开始，由于李岩岩【5 】5 ，k a n g 【1 5 】和a m m a r i 【7 】等数学家对于由复合材 料而形成的椭网方程( 组) 问题的研究工作相继问世，使得这一研究领域变得异常 活跃，也更加显现出其特别的重要性传导问题一方面是复合材料问题的自然发 展，是其在区域和方程有特定限制的一类特殊情况；另一方面，其在电磁场、弹性 学、经典力学和材料学等方面也有着极其重要的理论和实际应用 本文的目的是对一些具有间断系数的椭圆方程( 组) 的解进行正则性的研 究而这些椭圆方程( 组) 是来自于具有密集界面边界的复合介质的数学模型这 种复合介质在一个有界区域上呈现出来，而这个区域被分割成有限个数的子区 域这些介质的物理性质在每个子域上是光滑的，在这些子区域的分界面上可能 是不连续的所以反映到椭网方程( 组) 卜就使得系数具有i 、h j 断性从工程学的角度 来看，复合材料最照婴的啭是应力，反映剑椭圆厅程( 组) 上就是j 解的梯度舀：第 二章巾我们会对定义在立方体上的具有低阶项系数的椭圆方程组进行解的诈则 性什计传导问题是复合材料的个特殊情况我们在第三章中研究了当两个圆 形传导子区域的距离趋于0 时的传导问题，在我们这一章研究的传导问题中，两 个传导子区域的传导率是不为l 的常数理想传导问题指的是当传导问题中的传 导子区域的传导率为o o 的情况，这个时侯反映到椭圆方程卜是指在传导子区域1 - 其解蹦均为常数，我们在第四章给出了任意维数空间上的解的梯度的爆破牢 北京交通大学硕士学位论文第2 章层状复合材料的椭圆方程组的估计 第2 章层状复合材料的椭圆方程组的估计 设q 是n 维欧式空间彤中的单位立方体： q = x ：l x i i 1 ，x = ( ，) ， q 被分割成q 。，的形状类似于带状： q m = 工q ：锄一1 0 ，使得陋垆( 删人 2 1 基本定义和公式 定义2 1 1 q 表示彤中的有界开集，n 2 ，( 功= ( z f l ( x ) ，( x ) ) ，n l ， n 个 ，_ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ ，、- _ _ _ - _ _ _ _ _ _ 、 h ( q ，r ) = ( h ( q ) ) = h ( q ) h ( q ) 定义2 1 2 ( 弱解)“h 1 ( q ，r n ) 是( 2 1 ) 的弱解，指的是 a o l j ( x ) c g # “以一磁如妒一c 玎“= 上g ? 以一凰 其中妒= ( 妒1 ，) g ( q ) 1 2 北京交通大学硕士学位论文 第2 章层状复合材料的椭圆方程组的估计 下面再介绍一些常用的不等式： y o u n g 不等式 设口 0 ，b 0 ，p 1 ，q 1 ，且石1 + ；1 = 1 ，则有 口易a p + b q pq 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 带的y o u n g 不等式 设口 0 ，b 0 ，e 0 ，p 1 ，q 1 ，且；+ q 1 = 1 ，则有 a b 6 0 p + c ( e ) b q 其中c ( ) = 迸q m i n k o w s k i 不等式 设1 p o o ，五g 上尸( q ) ，则f + g l p ( f 1 ) ，且 2 2 相关引理 l ，+ g l l p t n ) sf i p ( q ) + i l g l l p t o ) 引理2 2 1 【4 】设f 是q 上的一个函数，且d x , f , 彰乱，l 2 ( q ) ，其中0 i y i 【孚】+ 1 ，那么厂c o ( 五) ，且 j l l l * ( 锄c ( n ) ( o 形巩川口( 。) + i | 形慨q ) ) ( 2 2 ) l y l _ l 孚i + l 引理2 2 2 a 萝，睇，c u ，凰，g ? 满足h 1 ) ，h 2 ) ，h 3 ) 设“日1 ( q ，r ) 是方程 组( 2 1 ) 的弱解，那么对于任意的0 e 1 和正数k ，有d ；h 咄( q ) ，对于任意 的l y 7 lsk ，并且存在着常数c 只与刀，l ，a ，e 和i i d 二a i i p ( n ) 有关，使得 1 7 i k i e ，1 _ , ，n i d d ，u 1 2 廖吼 根据带的y o u n g 不等式，我们有 陋z i c 。( 嗣。“i i “i + i h l 2 _ e f t 2 1 。肼1 2 + 等。厂i h l 2 ， 。 川窆0 吼c 卜1 2 左边窆0 驯2 一cp 根据y o u n g 不等式和带e 的y o u n g 不等式，我们有 选取e = ；，得到 右边= 上肉伽+ g 弘2 黜一凰野 f f 尹i 。叫2 + 等厂g 2 + c 厂日2 + 沪， 1 4 2 g+ 2 日+铲 厂c： c+ 2 hd 譬 厂上 a 一4 一 边右 北京交通人学硕士学位论文第2 章层状复合材料的椭圆方程组的估计 j = i 。卯j ! ：尹f 。圳2 _ c f 2 + 俨+ g 2 ， 令v = ( 1 一e ) r a ， f 锄胁1 2 _ l 时用同样的方法可以得证 4 ) 由( 2 3 ) 式，得到d 二w l l ( a ) ，l y ，l k 一1 由( 2 3 ) 式和( 2 6 ) 式中关 于i i 彰w i l l 2 ( ( 1 一。硒的估计即可得到我们把( 2 4 ) 式写成 1 7 l - k - 1 o n w = 凰一嘭彩“- - c i j u j + c g a ( g 7 - a 0 # c g # u j ) a _ n - l 对它进行水平方向的微分，由( 2 1 ) 式，d ；巩w 嚷( q ) ，i y i k 一1 同样也可以得 到( 2 5 ) 式中关于i i 形o w l l z ( ( 1 - f ) q j 的估计引理得证 i s t 一1 口 2 3主要结果及其证明 本章主要建立立方体q 上复合材料的椭圆方程组的弱解的估计 定理2 3 1 a 芋，壤，c i j ，h i ，g ? 满足h i ) ，h 2 ) ，h 3 ) 设“日1 ( q ，) 是方程 组( 2 1 ) 的弱解那么对于任意的，d 二“c o ( q ) ，和任意的m ，有“c ”( 瓦nq ) 1 5 北京交通大学硕士学位论文 第2 章层状复合材料的椭圆方程组的估计 且对于任意的0 1 ，任意的非负数k 和m ，存在着正的常数c 只 与以，k ，a ，a ，和i i d 二a i i l o * ( t a ) 有关，使得 i r 7 i k 叱f 瓦n f l _ f ) q ) c 恻玖q ) + 峨y r 毗+ c 叫g 峨q ) ， ( 2 7 ) i y ，1 3 - i妄 其中i = k + 【孕】+ 2 i i e 明：根据椭网方程组的一般结论，容易知道“c 。( q