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四川大学硕士学位论文 盲信道辨识与盲均衡的算法研究 信号与信息处理专业 研究生：郑文彬指导教师：舒勤 近年来，盲信道辨识与均衡在通信和信号处理领域已经受到普遍关注。本文 的内容围绕着它的算法实现来展开。首先阐述了这一问题的理论基础，接着详细 地讨论了有关非最小相位系统的盲反卷积的准则设计问题，然后又深入地研究了 基于二阶统计量的盲信道辨识与均衡的时域算法。应用通信信号过采样后所具有 的循环平稳性，将单输入单输出系统( s i s o ) 模型等效成单输入多输出系统 ( s 1 m o ) 模型，并据此模型提出了一种新的基于二阶统计量的递推算法来完成 对非最小相位系统的估计和辨识。首先分析了无噪声情况下该算法的实现，再利 用子空间方法将其扩展到有噪声的情况。传统的盲均衡方法涉及到较多的奇异值 分解( s v d ) ，造成了算法过程复杂化、运算量大的问题。本文所提出的算法二 通过构造一系列的矩阵将均衡信道参数估计问题转化为与白相关矩阵有关的特 征向量的求解问题，可以逐个地推导出信道模糊尺度矩阵所有的特征矢量，最终 得到了信道矩阵的解析解。仿真结果表明：与基于二阶统计量的非递推盲均衡算 法相比，这种递推算法的估计性能与之相仿。然而它却有效地简化了算法过程， 降低了运算量，具有相当的现实意义。 关键词：盲辨识与均衡二阶统计量循环平稳递推 四川大学顽士学位论文 s t u d yf o rb l i n dc h a n n e li d e n t i f i c a t i o na n d e q u a l i z a t i o na l g o r i t h m s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s p o s t g r a d u a t e ：z h e n g w e n b i nd i r e c t o r ：s h uq i n b l i n di d e n t i f i c a t i o na n de q u a l i z a t i o nh a sb e e nr e c e i v e d c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n r e c e n t l yi nc o m m u n i c a t i o na n ds i g n a lp r o c e s s i n g ，t h em a i n w o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o ni s o nt h i st o p i c a tt h ef i r s t ，t h et h e o r e t i cb a s i si se x p a t i a t e d t h e nw ed e t a i l e d l yd i s c u s s h o wt od e s i g nc r i t e r i af o rb l i n dd e c o n v o l u t i o no fn o n m i n i m u mp h a s es y s t e m s a n d t h e nw es t u d yt h et i m ed o m a i na p p r o a c h e sf o rb l i n di d e n t i f i c a t i o na n de q u a l i z a t i o n ， w h i c ha r eb a s e do ns e c o n d o r d e rs t a t i s t i c s o v e r s a m p l i n gt h er e c e i v e ds i g n a l sw i l l p r o d u c tt h ec y c l o s t a t i o n a r i t yo fc o m m u n i c a t i o ns i g n a l s ，t h e r e f o r e ，a l le q u i v a l e n ts i m o ( s i n g l ei n p u tm u l t i p l eo u t p u t ) s y s t e mm o d e lo fs i s o ( s i n g l ei n p u ts i n g l eo u t p u t ) s y s t e mi sp r o p o s e d b a s i n go nt h ee q u i v a l e n ts i m os y s t e mm o d e l ，w ed e v e l o p e da n e wr e c u r s i v ea l g o r i t h mf o rb l i n dc h a n n e li d e n t i f i c a t i o na n de q u a l i z a t i o no fp o s s i b l y n o n - m i n i m u mp h a s ec h a n n e l su s i n go n l ys e c o n d o r d e rs t a t i s t i c s f i r s t l y t h ea l g o r i t h m i sa n a l y z e dw i t h o u tn o i s e t h e ni ti s e x p a n d e dt o t h en o i s ee n v i r o n m e n tw i t ht h e s u b s p a c em e t l l o d t r a d i t i o n a lm e t h o d so fb l i n de q u a l i z a t i o nc o n t a i nl o t s o fs v d ， w h i c hl e a d st oh i g hc o m p l e x i t yo fp r o c e d u r ea n dl a r g ec o m p u t a t i o n a l g o r i t h mi i p r o p o s e di n t h i sp a p e rc h a n g e st h ep r o b l e mo fc h a n n e lp a r a m e t e re s t i m a t i o ni n t o e i g e n v e e t o rs o l u t i o nw i t hr e l a t i v et oc o r r e l a t i o nm a t r i xb yc o n f i g u r i n gas e r i e so f m a t r i x e s s ot h a t ，t h er e c u r s i v e a l g o r i t h m i s g i v e nw h i c hc a no b t a i na l l t h e e i g e n v e c t o r so fc h a n n e lv a g u ed i m e n s i o nm a t r i xo n eb yo n e f u r t h e r ，t h ea n a l y t i c s o l u t i o no fb l i n dc h a n n e li sp r o v i d e d s i m u l a t i o n ss h o wt h a t ，c o m p a r e dw i t ho t h e r b l i n de q u a l i z a t i o na l g o r i t h m st h a ta r en o tr e c u r s i v e ，t h ee s t i m a t i o np e r f o r m a n c eo f t h i s a l g o r i t h n ak e e p su n c h a n g e d h o w e v e r ，t h i sa l g o r i t h me f f e c t i v e l ys i m p l i f i e st h e p r o c e d u r ea n dl o w e r st h ec o m p l e x i t yo fc o m p u t a t i o na n dh a sh i g hp r a c t i c a l 时 k e yw o r d s ：b l i n d i d e n t i f i c a t i o na n de q u a l i z a t i o n ；s e c o n d o r d e r s t a t i s t i c s ； c y c l o s t a t i o n a r y ；r e e u r s i o n i i 四川i 大学硕士学位论文 第一章绪论 码间干扰的补偿器习惯简称为均衡器。信道辨识与均衡有着密切的联系， 它们构成了通信信号处理中的一个主要研究领域。盲均衡是指只根据接收信号 的观测序列，无需训练序列的均衡处理。盲信道辨识与均衡技术为通信信号处 理中的关键技术之一，近年来成为了研究的热点。由于盲信号处理技术的发展， 盲均衡成了通信技术取得的最重要的新进展之。 1 1 盲信道辨识与均衡研究的历史与现状 码间干扰是很多通信环境中的限定性因素。码间干扰产生于时变多径衰 落，这一问题在移动通信中特别严重。为了完成高速可靠的通信，必须克服码 间干扰的影响，因此信道辨识和均衡就显得十分必要。传统的信道辨识和均衡 是通过发送训练序列或者利用某些信道的辅助信息来完成的。近年来通信技术 的迅速发展对具有高数据率的通信提出了更高的要求，而发送训练序列浪费了 一部分的发射时间，从而导致了信道利用率的降低，因而是不可取的，而利用 信道的一些辅助信息在很多实际情况下也是不可能的。近年来采用盲方法来进 行信道辨识和均衡成为研究中的热点，与此同时也出现了很多新的方法。严格 来说，盲反卷积和盲系统辨识都是只有观测的输出数据可资利用，这指的是全 盲。然而实际中应用最多的是所谓半盲方法，即除了接收的数据外，还有某些 辅助信息可以利用。至今，研究的信道盲辩识和源信号恢复算法可分成两大类 【l 】：第一大类是基于高阶统计量( h o s ：h i g h o r d e rs t a t i s t i c s ) 的算法，其又 可分成两子类，即隐含使用h o s 的算法和直接使用h o s 的算法。第二大类是基于 二阶统计量( s o s ：s e c o n d o r d e rs t a t i s t i c s ) 的算法。 隐含使用h o s 的算法也叫b u s s g a n g 类算法，因为假设反卷积序列满足 b u s s g a n g 统计性【l 】【2 】。这类算法般都采用随机梯度下降( l m s 类) 算法求解 代价函数的最优点，因此，算法的简单性是它们的显著优点。b u s s g a n g 类算法 包括：决策指向算法 1 1 2 1 、s a t o 3 1 算法年b g o d a r d 算法 4 1 。s a t e 于1 9 7 5 年提出m 进 制脉冲幅度调制系统的均衡器，s a t o 算法也使用无记忆非线性阈值函数对经横 向滤波器均衡的信号作出决策判断，调整横向滤波器的权值以使有白适应增益 控制的决策判断结果与被横向滤波器均衡的信号最接近，s a t o 算法也是 1 四川大学硕上学位论文 b u s s g a n g 条件的一个特例。g o d a r d 于1 9 8 0 年提出的g o d a r d 算法，也叫恒模算 法( c m a ) 是最有名的一个b u s s g a n g 类算法，对g o d a r d 算法的研究】是当前盲 信号处理领域的研究热点之一。c m a 本质上是基于恒模性质的l m s 算法。值得 注意的是，v a nd e rv e e n 署n p a u l r a j 8 1 于1 9 9 6 年发表了有名的解析恒模算法， 其利用源信号的恒模特性和数字特性，将信道参数估计和均衡问题转换成线性 代数问题，借用所谓的联合对角化技术求解基于恒模特性的源恢复问题。 在高阶统计量方法中，直接利用源信号的高阶统计特性从输出信号的高阶 累积量( 也可包括二阶相关函数) 中首先估计信道参数，然后恢复源信号，也 可以一步估计源信号，即盲反卷积、盲逆滤波或盲均衡9 u 0 【j 1 ”i 。已建立的各 种高阶统计量方法都要使用非线性迭代算法求解代价函数的最优点，这一般要 花费很多计算时间。有代表性的高阶累积量方法主要有：基于倒三谱的盲均衡、 基于二阶统计量和四阶累积量的s h a l v i ，w e i n s t e i n 均衡器、基于累积量的超指数 收敛算法、各种基于累积量的逆滤波算法以及各种基于累积量的反卷积算法等。 c h i 等人给出了单输入单输出逆滤波测度族( 它们包括了w i g g i n s0 据、 s h a l v i w e i n s t e i n 笋1 据和t u g n a i t 笋l j 据) 并初步研究了其性能。s h a l v i w e i n s t e i n 建 立了超指数算法。近五年来，高阶统计量方法已推进到多输入多输出情况。基 于二阶与三阶累积量或二阶与四阶累积量，t u g n a i t 给出用于多输入多输出系统 反卷积的滤波判据，用非线性迭代算法求解代价函数的最优点，每步抽取一个 源信号，利用压缩影射连续对消已得到的信号并作多阶段处理可得到所有源信 号，仅存在尺度不定性和延时不定性。c h i 等人推广了t u g n m t 的工作。 高阶统计量方法一般需要高阶统计量估计和参数或源信号估计交替迭代 进行，这相当花时间，而二阶统计量方法一般将盲分离问题归结为可解析求解 的代数问题。自d o n o h o 于1 9 8 1 年的经典工作 1 6 1 以来，人们普遍认为基于二阶统 计量不能估计非最小相位系统。因此，在1 9 9 1 年以前，人们很少研究二阶统计 量方法。这种状况被t o n g 等：于1 9 9 2 年的突破性工作所改变【l 刀。t o n g ( 1 9 9 4 ) 首 次利用循环平稳性，仅用二阶统计量就可以估计非最小相位信道，从而引起二 阶统计量方法的飞速发展。 二阶统计量方法首先将多通道模型或经过超采样与间空抽取的多通道模 型扩展成高维静态系统，然后估计信道参数。二阶统计量方法主要包括两大类 算法，郊子空间类算法( t o n g 1 ：m o u l i n e s t 博1 ：x u ( 1 9 1 ；a d e d m e r a i m t 2 0 1 ) 和极 一2 一 四川大学硕士学位论文 大似然类算法( h u a 2 l , 1 9 9 6 ) 。近年来，很多估计是利用了信号子空间与噪声 子空间相互正交性，因而称为子空间方法。子空间方法非常吸引人之处是其可 得到盲辩识问题的解析解。不利之一是子空间方法的稳健性不是很高，尤其是 扩展后的静态传递矩阵接近奇异时；不利之二是子空间方法花费很多计算时间。 s l o c k 2 2 1 第一次引进了线性预测方法，a b e d - m e r a i m 等提出另外一种线性预测方 法。此方法的优点是不需要预先知道模型的阶数，具有抗模型的阶数误差的性 能。当存在噪声时，线性预测概念不再有效。现在已存在多种线性预测方法【2 3 j 【2 4 l 。 最通用的参数估计算法是最大似然估计f m l e ：m a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o n ) 方法( h u a 。1 9 9 6 ) ，其最大优点是可从有限的采样数据中获得好的 参数估计，在一定条件下，m l e 方法估计方差可以达n c r 界。但遗憾的是m l e 不存在解析解。因此，m l e 方法主要提供一个研究其它方法的性能的框架。 常见的无线通信技术依靠训练序列辩识信道，利用空时均衡抑制码间干扰 和不同信源干扰。训练序列的发送要占用一定信道容量，从而降低了通信信道 的传输效率。盲处理的吸引人之处是不需要训练序列，从而改进了通信信道的 传输效率，但是盲处理也遇到了如上所述的限制条件。近几年，许多研究者【2 5 。2 1 7 1 提出结合盲处理和训练序列基信道参数估计技术，即混合方法，也叫半盲( 部 分盲) 方法，其可以减少训练信号和降低误码率。 1 2 本文简介 本文的工作主要围绕着盲信道辨识与均衡进行，针对如何用高阶统计量和 二阶统计量实现盲信道辨识与均衡作了较深入的研究。本文各章节的内容安排 如下： 第一章为绪论。首先简单阐述了盲信道辨识与均衡技术的研究的历史与现 状，最后概括了本文的主要内容。 第二章为本文的理论基础，主要内容包括盲反卷积与盲均衡的概念和数学 模型以及解决思路，以及通信信号的时间结构设计等问题。 第三章研究了有关非最小相位系统的盲反卷积的准则设计问题。首先讨论 了线性时不变系统盲反卷积的充分和必要条件，接着介绍了准则的设计，同时 也列出了相应的随机梯度搜索算法，并且从理论上证明了它们可以得到理想的 3 一 四川大学硕士学位论文 响应。 第四章研究了基于二阶统计量的盲信道辨识与均衡。首先引入了过采样的 概念，并建立了盲均衡问题的数学描述及等效s i m o 模型。然后介绍了盲信道辨 识与均衡的时域算法，并给出了一种基于二阶统计量的盲信道辨识和均衡的递 推算法。仿真结果表明：在估计性能保持基本不变的基础上，该算法有效地简 化了计算过程，降低了算法的运算量。 一4 一 四川大学硕士学位论文 第二章理论基础 2 1 前言 在( 理想或非理想) 信道响应特性己知的情况下，针对接收信号设计最佳 解调滤波器并不困难。问题是，信道响应特性在实际中常常是未知的，特别地移 动无线信道的响应特性是时变的。对这样的信道，我们不可能设计出固定的最 佳解调滤波器。信道畸变会产生码间干扰，如果不对码问干扰加以适当补偿的 话，接收信号就会有很高的误码率。解决码间干扰问题的基本方法是设计能够 补偿或减少接收信号码间干扰的接收机。习惯上，把码间干扰的补偿器称为均 衡器。 2 2 反卷积的基本考虑 接收的通信信号在数学上可以表示为发射的信息序列( 信道的输入信号) 与信道冲激响应之间的卷积。因此，从接收信号恢复输入信号的过程应为一反 卷积运算，即能够拆开卷积关系的信号处理运算。 考虑图2 1 所示的未知线性时不变系统( l t i ) ，其输入为 x ( ，| ) ，它由概 率分布已知，但不能直接被观测到的信号序列组成。反卷积( d e c o n v 0 1 u t i o n ) 问题的提法是：给出系统输出端的观测序列 y ( 踞) ，恢复输入的信息序列 4 n ) ) ，或等价辨识系统日的逆系统h a 不能观测的数据 x ( n ) ) 线性时不变 系统日 被观测的输出 y ( n ) ) 图2 ，1 反卷积原理 如果系统或信道h 是最小相位的( 即信道传递函数的所有零、极点均位于 z 平面的单位圆内) ，则不仅信道h 是因果稳定的，而且逆信道。也是因果 5 一 四川大学硕士掌位论文 稳定的。在许多实际场合，信道日不是最小相位的。系统的因果稳定性要求系 统传递函数的极点必须全部位于单位圆内。若其传递函数有零点位于z 平面的 单位圆外，即其逆系统在单位圆外有极点，则信道称为非最小相位信道。 对于非最小相位信道，利用已知的信道输出 y ( n ) 恢复出输入序列 x ( n ) 就更为困难。此时，我们需要特别注意以下重要结论： ( 1 ) 为了使非最小相位特性的估计可靠，输入序列 z ( h ) 必须是非高斯的。 ( 2 ) 由于使用最小均方误差( m m s e ：m i n i m u m m e a ns q u a r ee r r o r ) 准则得 到的线性滤波器是最小相位的，所以我们必须使用高阶统计量( 累积量) ，进 行非线性估计。 ( 3 ) 逆系统h 1 是不稳定的，因为其传递函数有极点位于z 平面的单位圆外。 因此，输入序列 x ( ) 的“在线”恢复是不可能的。然而，我们可以对逆信道日。1 的冲激响应进行“截尾”，这样即可实现输入 x ( n ) 的实时近似恢复，但恢复 出的信号与源输入信号存在一常数增益和有限延迟的误差和截断误差，不过这 一延迟在数字通信中并不重要。 因此。在非最小相位系统中的反卷积问题的求解必须满足两个要求，第一 个要求是不能被观测的数据 x ( n ) 必须是非高斯的第二个要求是对被观测的 输出数据 y ( ) 的处理必须包含某种非线性估计。 移动通信中的均衡与一般的反卷积有着重要的区别，这是因为通过具有多 径现象的信道进行的数字通信会受到码间干扰的影响。码间干扰比较严重时， 如果不采用任何特殊装置的话，被发射序列的正确接收将不再是可靠的。解决 这一问题的通常做法是利用已知的的发射序列( 训练序列) ，使信道的辨识变 得可靠。这是因为在发射训练序列时，通信系统的输入和输出信号都是已知的。 一旦信道参数被辨识，一些线性和非线性方法即可用来估计发射码。 然而，当信道为时变信道时，即使是慢时变，也必须周期性地发射训练序 6 一 四川大学硕士学位论文 列，以便更新信道估计，这样就降低了信道的有效速率。这个问题在t d m a ( t i m e d i v i s i o n m u l t i p l e a c c e s s ) 系统中尤其严重，因为为了估计时变的信道参数而发送 的训练序列必然会占据大量时隙，从而使接收用户能够利用的时隙数量大大减 少。 最近几年，在具有高数据率的数字移动通信和数字广播中采用盲方法进行 信道辨识和均衡引起了人们极大的兴趣。 严格来说，盲反卷积和盲系统辨识都是只有观测的输出数据可资利用，这 指的是全盲方法。然而，在实际中应用最多的是所谓的半盲方法。在半盲方法 里，除了接收的数据外，还有某些辅助信息可以利用，这种辅助信息通常是以 概率模型形式给出的。在数字通信的均衡中，该概率模型描述的是被发射的数 据序列的统计量( 简称时间结构) 。通信中的数据序列的某些特征是可以通过 发射信号的设计获取的。这也是盲均衡与时间序列建模之间的本质区别：时间 序列建模中的输入是不可控制的，因此不能通过设计来影响输入。在本文中， 我们讨论的信道辨识和均衡基本上都属于这种半盲方法，以后我们将不再区别 全盲和半盲，而简称盲反卷积、盲信道辨识和盲均衡。盲均衡又叫自恢复均衡 ( s e l f - r e c o v e r i n ge q u a l i z a t i o n ) 。 2 3 通信信号的时间结构 通信信号的时间结构主要反映信号的性质，包括调制方式、脉冲成形函数 和字符的星座图。下面是几种典型的时间结构。 ( i ) 恒模( c m ：c o n s t a n tm o d u l u s ) 在许多无线通信应用( 如调频) 中，发射的波形都有恒定的包络。恒包络 波形的一个典型例子是高斯最小频移键控( g m s k ) 调制信号，它具有以下的 一般形式： 。f ) ：。矗耐+ 删 式中，别f 1 为最小频移键控信号的高斯滤波相位输出。显然，g m s k 信号具有 恒包络1 。 ( 2 ) 有限字符( f a ；f i n i t ea l p h a b e t ) 移动通信信号的另一个重要的时间结构是有限字符特性。所谓有限字符性 四川大学硕士学位论文 是指用户的发射信息是由有限个字符构成的集合。有限字符性也称信息序列的 有限性，所有的数字调制方式都具有这一结构，因为被调制的信号是个有限 字符集合的线性或非线性映射。 ( 3 ) 非高斯性 数字调制信号的分布为非高斯分布。利用这一陛质，可以使用高阶统计量 ( 如三阶或四阶累积量) 估计非最小相位信道。显然，恒模信号也是非高斯信 号。 ( 4 ) 循环平稳性 以码率丁1 采样的通信信号是广义平稳的，但通过时间过采样( 即采样速 率高于码率) 或空间过采样( 多天线阵元) 得到的通信信号却是循环平稳的。 过采样( o v e rs a m p l i n g ) 也称为分数采样( f r a c t i o n a ls a m p l i n g ) 。 过采样信号的循环平稳性携带着信道相位的重要信息，可以用来辨识非最 小相位的信道，而信号的平稳性只能用做辨识最小相位信道。循环平稳性也可 以解释为有限持续时间性。扼要来说，过采样增加了通信信号的样本个数和信 道矩阵口内的相位个数，但不改变符号周期间隔内的数据值。这使得信道矩阵 日变高了( 行比列多；称为高矩阵，它意味着可被利用的信息多了) ，并具有 满列秩。另一方面，信道的平稳性又使得厦具有块t o e p l i t z 结构。高矩阵和t o e p l i t z 矩阵这两个性质对于口的盲辨识和盲均衡起着关键的作用。 对于平稳信号而言，其二阶统计量( 自相关函数和功率谱) 只能辨识最小 相位的信道，不能辨识非最小相位信道。高阶统计量( 三阶和四阶累积量等) 虽然可辨识非最小相位信道，但要求使用比较长的观测数据。与二阶和高阶统 计量相比，循环二阶统计量既可以辨识非最小相位信道，又不需要较长的观测 数据。 2 4 盲均衡问题的数学描述 考虑一离散时间传输信道 如) ，它是未知的，且是线性时不变的，输入信 号序列 x ( n ) ) 假定是均值为零、方差为e 工2 ( ”) ) = 吒2 的非高斯随机过程。暂时 先不考虑信道的噪声。于是，如图2 2 所示： 一8 一 四川大学硕士学位论文 i 均衡器( 反卷积) i 鉴复塑壁型 c f n ) f 哥f n l 图2 2 盲反卷积原理图 接收信号y ( h ) 取以下形式： y 如) = 矗( n ) t x 0 ) = h ( i ) x ( n i ) ( 2 1 ) 为了求解盲均衡问题，需要先规定输入 x ( ”) ) 的概率模型。现在的问题是 根据观测的接收数据 y ( 舱) ) 来恢复 x ( n ) ，或者等价辨识信道的逆滤波器( 即 均衡器) c ( ”) 。 从图2 2 可以看出，均衡器c ( n ) 的输出j 0 ) 由下式给出： i ( ) = c ( 玎) + y ( n ) = c ( 聍) + ( 竹) + x ( ) ( 2 _ 2 ) 盲反卷积的目的是使 舅0 ) = x g d k 川 ( 2 3 ) 其中d 为一整数时延 式中f i ( n ) 蔓j k r o n e c k e r 击为一常数相移。为了实现式( 2 3 ) ，要求 c ( 卯) 自( ”) = 占( 一o ) e 一 ( 2 _ 4 ) 8 函数。取上式的f o u r i e r 变换，则有 c ( 国) ( ) = e 。9 “) ( 2 5 ) 或 c ( 国) = 百b l 卜叫( 2 - 6 )c ( 国) 2 而扩圳 即是说，盲均衡器的目标是实现上式所示的传递函数c 扣) 。 一般来说，d 和书是未知的。 9 四川大学硕士学位论文 综上所述，我们希望设计均衡器抽头系数c i ，使得均衡器输出的恢复序列 ( h ) 与输入序列 x 0 ) ) 菏足式( 2 3 ) 。若令黏，) 代表原信道( 滤波器) 与均 衡器( 逆滤波器) 的组合( 混合) 系统的抽头系数，并且s ( 脚) = 日( 出) c ( ) ， 则 墨= h ( o e c ( f ) = 向( f 一，) c ( 2 7 ) ， 由于 譬o ) = 蹦0i ) = x o d k ( 2 8 ) 显然，有限维的向量s = ，s ：，s l 7 是一个只有一个非零元素( 其模等于1 ) 的 向量，即 s = 10 , - - - , 0 ，o ， l 畜 这就是盲均衡中所谓的“置零条件”。 ( 2 9 ) 2 5 小结 本章为论文研究的理论基础，介绍了盲信道辨识与均衡的一些基本问题。 首先阐述了均衡和反卷积的概念，接着又介绍了盲均衡与盲反卷积的涵义并给 出了它们的数学模型，也介绍了通信信号的时间结构设计问题。更为重要的是 给出了盲信道辨识与均衡问题处理的解决办法与思路。 一1 0 四川大学硕士学位论文 第三章有关非最小相位系统的盲反卷积的准则设计 31 引言 盲反卷积的基本的问题如图3 1 所示 j d y i x f hc s ： 一一一一一一一一一。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。一j 图3 1 盲反卷积模型 图中，y 。是x 。经过系统h 后的观测输出，其中h 是未知的线性时不变系统 且有可能是非最小相位系统，x ，是遵从一定概率分布的独立同分布( i i d ) 随 机变量。我们要恢复出( 反卷积) 输入序列，或者等价地利用均衡器c 辨识出h 的逆系统h 一。这样一来，就需要辨识出系统的传递函数的幅度和相位。幅度 的大小可以用输出信号的二阶统计量来辨识，而相位的辨识由于要用到高阶累 量就显得比较复杂。 s a t o i 3 】和g o d a r d l 4 1 是通过下面的方法来实现盲均衡的，首先引入新的准则， 不同于均方误差( m s e ) 准则，然后应用梯度搜索算法来使所选用的准则达到 最优。在假定输入序列服从一定概率分布的条件下，这些方法可以得到令人满 意的结果。 b e n v e n i s t e 等1 9 1 提出了几个概念，对于理解盲反卷积这一问题非常有帮助。 首先他们论证了基于二阶统计量的准则是不足于辨识相位的，例如m s e 准则。 因此，输入的分布为高斯分布时这一问题是无法解决的，因为二阶统计量就已 包含了所有的输入输出的统计信息。接着，他们又证明了均衡的充分条件为恢 复出来的单个字符置的概率分布等于单个输入字符茸的概率分布。根据这一原 理，在输入服从一类连续分布的假设下，可以设计出一些新的准则来收敛到预 期的结果。然而，我们知道，在数字通信中输入序列的分布一定为某种离散的 分布类型。 一1 1 四川大学硕士学位论文 s h a l v i 和w e i n s t e i n 【】o 】提出了可以解决这一问题的充分必要条件，它只需要 均衡出相应概率分布的几个矩。基于这一条件，他们给出了盲反卷积的新的准 则，并且证明了一定可以达到理想的结果。这些准则的一个重要特征是在没有 对输入序列强加约束的意义上是普遍使用的，因为x 可以是实数的或者是复数 的任意的非高斯的连续的或是离散的概率分布的随机变量。另外在有噪声的情 况下，所提出的准则不受影响。下面，我们将以这一方法为例详细的讨论非最 小相位系统的盲反卷积的准则设计问题。 3 2 问题描述 考虑图3 1 中的系统，并做出以下假设： 假设l 输入序列 x ( 订) ) 包括零均值独立同分布的随机变量，它们具有任意 的概率分布。 假设2 输入序列 x ( 聆) 存在非零的二、三、四阶矩。 假设3未知系统h = 慨 是线性时不变系统且有可能为非最小相位系统， 它的传递函数在单位圆上没有零点。 假设4 均衡器c = q 的抽头延时线为足够长，因此截尾效应可以忽略。 我们要设置均衡器的抽头c 】使得恢复数据置与输入数据一只相差一个常数 时延和常数相移。我们可以等价地表示混合系统s = h o c ( o 表示矢量中各个 分量之间的卷积) 的单位取样响应为 置= 4 q = h i 一，c ， ( 3 1 ) j 接着我们设置c = ( c j ，c 2 ，c 。) 7 使得s = ( q ，s ：，屯厂为只有一个非零元素的矢 量，它的大小等于1 ，表示如下： 叫掣 o ，- ，叮 这里d 表示时延，痧表示楣移。这一条件等价予混合系统s ( 3 - 2 ) h o c 的传递函数 四川i 大学硕士学位论文 的大小为1 ，并且是线性相移的。式( 3 - 2 ) 是均衡的条件或者期望的响应。 b e n v e m s t e 9 1 曾证明，均衡的充分条件是即时值章，的概率分布等于即时值x ， 的概率分布。在下一节中我们会发现它只是足够均衡相应的概率分布的几阶累 积量。 3 3 准则的设计 3 3 1 准则的提出及稳定性分析 在第二章对盲均衡数学模型的分析中，输入输出有如下关系： i j = s i 4x t = s j x _ e i 墨1 2 = e i 莩_ 一，1 2 = e 莩莩一s ：t 一，t 。) 交换数学期望与求和的顺序，得到 e 僻1 2 2 莩莩e 托，一甲：= e 忙1 2 j 手m 2 再对式( 3 - 3 ) 两边取平方后求数学期望，得到 e # ) x t e ，s j 2 类似地，对式( 3 - 3 ) 两边取绝对值的四次方后求数学期望，又有 小忙眵h ) r、 = e _ q 一，。_ 一，x i _ 。 【j ki ” j = z z z z s j ；, , s ：e k ，也x i _ i x 二。 j，” 1 3 ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 四川大学硕士学位论文 e 一一，x ：_ k x i _ l x 二。 e i x , 1 4 l ， = = k m e 2 | 一1 2 ) ，= 女f = 珊，= m k = ， e ( x 2 ( n ) ) 1 2 ， ，= f 七= m 0 ，o t h e r s 将式( 3 - 8 ) 代入式( 3 - 7 ) ，得 r ，、2 e i | 4 ) 莩i 。1 4 十 b 2 i - 1 2 il 莩 s ，1 2 j ( 3 8 ) 砂门十i 怿。2 一刊4 m 4 卜( # ) | 2 1 1 妒| - 驰 jj j 将式( 3 - 5 ) 和式( 3 - 6 ) 代入式( 3 - 9 ) ，并进行简化，就得到下式： 世( 舅) = k ( z ) z i d 4 式中，k 仁) 和茁0 ) 分别是随机变量置和薯的峰度，即 足( 王) = l 置1 4 ) 一2 e 2 l 毫1 2 一t m ：) t 2 k ( x ) = e 卜。1 4 j 一2 e 2 l t l 2 一l e ( z ；) 1 2 于是，有如下的定理 定理3 1 若e = e ，则 ( 1 ) i k 吲陋； ( 2 ) 1 世( 】= l k g 】当且仅当向量s 具有式( 3 - 2 ) 的形式。 证明：由式( 3 5 ) 知：e 悔1 2 ) = e k 1 2 i 。1 2 ； 所以当e 阮1 2 = e i _ r ) 时有：川2 = 1 ； 很显然，我们可以推断出：k 1 4 1 ； ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 1 2 ) 竺燮羔堡主堂篁堡塞 那么由( 3 i 0 ) 就可以得到：l k ( 】i g 】，( i ) 证毕! 当且仅当向量s 中只有一个模为l 的非零元素时才能同时满足 1 0 1 2 = l 着, z k l 4 = 1 j i 髟( 膏) 1 = i k ( x ) l ，( 2 ) 证毕! 由此可见，均衡的充要条件是 e “2 2 i b 【l k ( i ) l = l 世( x ) i “ 即i 和具有相同的方差，并且它们的峰度的绝对值相等。 定理3 1 隐含了以下的均衡准则： 在e f 墨f 2 j = e f t f 2 的条件约束下，使阻g 】最大化( 3 - 1 4 ) 容易证明，优化问题式( 3 - 1 4 ) 的解对应于式( 3 2 ) 的置零条件。 接下来我们将说明在e i - , 1 2 = e 2 的情况下，没有伪局部最大值点，因此可 以利用梯度搜索算法收敛到期望的响应而不管初始值的大小。 回顾式( 3 - 5 ) 和( 3 - 1 0 ) 我们令 f ( s ) = ( 3 1 5 ) 则( 3 - 1 4 ) 中有约束的最大化等价于 学f ( s ) ( 3 1 6 ) 这里。 b = s ：蚶= l ( 3 - 1 7 ) 从而构造l a g r a n g e 函数 ，( s ，丑) = i _ j 4 一丑l j 0j 2 1l ( 3 1 8 ) 一1 5 四川大学硕士学位论文 等吨i 枷) = o 岳= 一阻2 - - 1 ) _ o z 。， 解式( 3 1 9 ) 可得，o = o 或k i2 = 五2 ，同理 解式( 3 2 0 ) 可得，m a 2 = 1 。这里，m 是s 中非零元素的个数。对于一个预 先设定的m ，式( 3 1 9 ) 和式( 3 2 0 ) 的解是所有的矢量s ”= b “，s ：“，) 。， 其中 | 乎1 2 等矬 z ， 这里，1 。表示一个任意m 个整数元素的集合。因此，一系列的稳定点是 s m ，m ：l ，2 ，j ，r 3 l 。其中，s 1 是一组全局最大值点。在文献中已经说明了所 有的矢量s ”，m = 2 ，3 ，三并非稳定点。 我们接下来要分析l 临近全局最大值点的目标函数变化率。假设s 是( 3 1 6 ) 的全局最大值，它满足 阱悟惹 z z ， 设s e b 为从9 1 的任意一个变化，它的元素为 s k = 瓜五 坩i ：s ( 3 - 2 3 ) 然后 f ( s ) 一f ( s 1 ) _ x 1 s , i 1 = ( 一s ) 2 + 驯4 七一2 针渺i 4 ( 3 - 2 4 ) 由t - 523 占一一 、， ， 叶 6 酬m j ，、， 一 叶 m 一 o 四川大学硕士学位论文 所以有 s 2 2 s f ( s ) 一f ( s 1 ) 2 g 2 2 s ( 3 2 6 ) 因此，对于足够小的占，有 f ( s ) 一f ( s 1 ) 。一2 占 ( 3 2 7 ) 现在，我们观察到 1 i s - s il 1 2 = 卜s 烀( 万一，) 2 + 阱= ( 再一) 2 + z s( 3 - z 8 ) 比较式( 3 - 2 7 ) 和( 3 - 2 8 ) 可以发现 f ( s ) 一f ( s 1 ) “一2 1 1 s - s l l l 2 ( 3 2 9 ) 从中我们可以看出，在全局最大值点附近，目标函数以平方率变化。因此 梯度搜索算法预期在收敛点附近呈现出线性收敛率。同样的二次性也表现在不 稳定点s ”，m = 2 ，3 ，三附近沿着预设的梯度方向。 3 3 ，2 算法的实现 在【9 】中提出了一种针对于解决像( 3 - 1 4 ) 那样的有约束的最大化问题的随 机梯度搜索算法。这种算法需要对系统输出的谱进行预先的白化。算法的每次 迭代包含两步： c 7 = e + 2 - v 。f ( 3 3 0 ) c 。2 赢d 汨一化( 3 - 3 1 ) 这里，c = ( c ，c 2 ，c 。) 。是迭代前的从抽头矢量，c7 是迭代后的抽头矢量，2 是 步长，v 。f = 浯，嚣，瓦o fj 是所选准则的梯度，它是均衡器输入输出的一 些函数的期望。式( 3 - 3 1 ) 中所需要的归一化运算是用来满足平均功率限制。 为了应用这个准则需要给出梯度的明确的表达式，如下 1 7 四川大学硕士学位论文 f = j 足( 叠) l = s g n 置( i ) 髟( i ) = s 鲫k ( t ) 嘲置呼z 2 2 h e 蚓2 s z ， 从式( 3 - 1 0 ) 可以看出s g n k 仁) = s g n k ( x ) 。在平均功率的限制条件下，包含 e 引2 的项是常量。在下面的两种情况下包含e i ； 的项可以忽略： 1 ) 葺是复量且e # = o ，由( 3 6 ) 知，此时e 寄 = o ： 2 ) x , 平1 1 置是实数，此时e 寄 _ o 。 在上面两种情况下，有s g i l k 仁) = 一1 。准则函数变为 f = 一( e 旧1 4 ) 一c 。脚t a n ，) ( n s t a n r 表示常量) ( 3 - 3 3 ) 有 暑= 夕。+ c i = 只一，o ( 3 3 4 ) 这里，或是y ，预白化后的数据序列，类i n i f 主成分分析( p c a ) 、奇异值 分解( s v d ) ，预白化也是一种数据预处理方法。在盲处理问题中，观测数据序 列y ，是相互统计独立的源信号序列的空间混台。因为相关只用到了数据的二 阶统计量，所以不相关只是统计独立的必要条件，而非充分条件。对观测数据 序列的预白化就是寻求一个线性白化矩阵v ，使得变换后的输出妒= v y ，其 中，妒的各分量z 互不相关，且具有单位方差( e l i e 菇7 = i ) 。把式( 3 3 4 ) 代入( 3 3 3 ) 中执行直接微分，得 箬叫啪2 薯训 。s ， 用实时实现来代替期望。可以得到如下算