（应用数学专业论文）几个非线性发展方程（组）的精确解与painleve分析.pdf

几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 摘要 本文针对几个非线性发展方程，做了以下几点工作： ( 1 ) 通过一种新的变换将一类非线性偏微分方程化为常微分方程，然后用待定 函数法求解常微分方程，得到非线性偏微分方程的精确解和孤立波解。b u r g e r s 方程和w n i t h a m - - b r o e r - - k a u p 浅水波方程组为例来说明这一方法。 ( 2 ) 利用j a c o b i 椭圆函数展开法和数学计算软件( m a p l e ，m a t l a b ，m a t h e m a t i c a 等) ，可以求得一类常系数非线性发展方程的双周期解，这些解能退化成孤立子 解、冲击波解、三角函数解。我们对此方法做了如下几点改进：用统一的 j a c o b i 椭圆方程组代替单个的j a c o b i 椭圆函数，避免重复计算；将j a c o b i 椭圆单函数展开方法推广到3 a c o b i 椭圆双函数展开，这样可以得到更多的解； 将通常使用的三个j a c o b i 椭圆函数推广到多个j a c o b i 椭圆函数，丰富了用 j a c o b i 椭圆函数表示的解的内容。利用改进的j a c o b i 椭圆函数展开法，求解 了b b m 方程和b o u s s i n e s q 方程组。 ( 3 ) 通过对耦合的k d v 方程组+ 雌+ u u ；+ = 0 ，u + ( 纠，+ 睢= 0 的 p a i n l e v e 性质的分析，证明了该方程组具有p a i n l e v e 性质，在p a i n l e v e 意义 下可积，并给出了此方程组的一个自b a c k l u n d 变换。利用自b a c k l u n d 变换， 我们从原方程组的一组平凡解，求出了方程组的孤立波解。 ( 4 ) 利用截断的w t c 方法讨论了如下形式的( 2 + 1 ) 维推广的b o u s s i n e s q 方程”。一甜。一一 2 ) 。一”一= o ，得到了该方程的类孤子解。 2 浙江大学硬士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sh a v eb e e n s t u d i e d as u m m a r yo ft h em a i nc o n c l u s i o n so fo u rr e s e a r c h e si s i nt h e f o l l o w i n g ( 1 ) n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( n p d e ) i sc o n v e r t e di n t o a n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( o d e ) v i a an e wa n s t a z u s i n g u n d e t e r m i n e df u n c t i o nm e t h o d ，t h ee x a c ts o l u t i o n sa n ds o l i t a r ys o l u t i o n s o ft h en p d ea r eo b t a i n e db ys o l v i n gt h eo d e b u r g e r se q u a t i o n a n d w h i t h a m - b r o e r - k a u ps h a l l o w w a t e re q u a t i o n sa r ec h o s e nt oi l l u s t r a t et h i s m e t h o d ( 2 ) b yt h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d a n dc o m p u t e r s y m b o l i cs y s t e m s ( m a p l e ，m a t l a bo rm a t h e m a t i c a ) ，m a n ye x a c tp e r i o d i c s o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e da n du n d e rs o m e c o n d i t i o n s ，t h e s es o l u t i o n sd e g e n e r a t es o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s j s h o c k w a v es o l u t i o n s ，t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o ns o l u t i o n sr e s p e c t i v e l y w e i m p r o v et h i sm e t h o d a sf o l l o w s ：( i ) s i n g l ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ni s r e p l a c e d w i t ha nu n i f i e dj a c o b i e l l i p t i ce q u a t i o n ，t h u sr e p e a t e d c a l c u l a t i o ni sa v o i d e d ；e x t e n d i n gt h ee x p a n s i o nm e t h o df r o ms o l e f u n c t i o nt od o u b l e - f u n c t i o nf o r m ，t h em o r es o l u t i o n sf o rn p d ea r e o b t a i n t e d ；u s i n gm a n yo fj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n sb e s i d e so r d i n a r y t h r e ek i n d s ，t h ec o n t e n to fs o l u t i o n sr e p r e s e n t e db yj a c o b ie l l i p t i c 3 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 f u n c t i o n si sv e r ya b u n d a n t b b me q u a t i o na n db o u s s i n e s qe q u a t i o n sa r e c h o s e nt oe x p l a i no u rm e t h o d ( 3 ) f o rt h ec o u p l e dk d ve q u a t i o n s + 0 + 甜+ ”珥= 0 ，u + ( 甜，+ y 匕= 0 ， i t i ss h o w nt h a t t h i se q u a t i o n sp o s s e s sp a i n l e v ep r o p e r t y ，t h u s i ti s p - i n t e g r a b l e f u r t h e r m o r ea na u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n i sg i v e n b y a u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，t h es o l i t a r ys o l u t i o n so ft h ec o u p l e dk d v e q u a t i o n sa r eo b t a i n e df r o mi t st r i a l s o l u t i o n ( 4 ) b yt h ea p p l i c a t i o no ft h et r u n c a t e dw t cm e h t o d ，s o l i t o n l i k e s o l u t i o n sf o ra( 2 十1 ) d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n ”n 一甜盯一甜岸一婶2 ) 丘一“脚：o a r ef o u n d 4 浙江大学硕士学位论文 第一章引言 随着科学的发展，测量精度的提高和计算机的广泛应用，在流体力学、气象学、生命 科学等诸多领域中都提出了许多非线性问题，建立了相应的非线性偏微分方程模型。为了 解决实际问题或解释实际现象，要求我们能求解这些方程。由于非线性问题处理起来比较 困难，因此在很长一段时间里，经常用线性模型来近似代替它，但是计算出来的结果有时 与实际数据或实验结果相差甚远。直到上世纪6 0 年代中期以来，非线性科学的研究有了惊 人的进展并且越来越b l 起人们的广泛重视。在我国，非线性科学被列为”七五”，”八五” 和“九五”的重大科研项日。孤立子理论是非线性科学中的一个重要研究分支。其原因是 由于孤立子现象无所不在。从天上涡旋星系的密度波，海上的冲击波，激光传播，非线性 传输线，基本粒子，等离子体以及流体力学等，都与孤立子有关。孤立子理论自1 9 6 5 年由 n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l r11 将他们发现的孤立波命名为孤立子( s o l i t o n ，筒 称为孤子) 以来，得到了迅猛的发展其发展大致分为三个阶段。 第一阶段，主要是在十九世纪。最早讨论孤立子问题的是英国科学家，造船工程师j o h n s c o t tr u s s e l l “。1 8 4 4 年9 月，他在英国科学促进协会作了题为论波动的报告 报告中讲述了1 8 3 4 年8 月，他在运河里观察到的一种奇特的水波现象，即由两匹马拉着船 在离e d i n b u r g h 有6 英里的一条狭窄的运河中行驶，当船突然停止前进时，运河中被船推 动的水并没有停止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船头，然后以巨大的速度滚滚向前，且保 持着巨大的、轮廊分明的、光顾孤立的峰状外形，显然它不改变形状和速度，沿运河继续 前进。他骑着马跟踪了一至二英里远，在支河的拐弯处，这种孤立行进的水蜂终于消失了。 j s r u s s e l l 把这种始终保持在水面上，向前平移的孤立水峰，叫做孤立波。在此之前 不曾有人想到能有孤立波，这是他首次发现的奇特而诱人的水波现象。j s r u s s e l l 认 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 识到孤立波是具关键性质的新现象，新事物，他本人为揭示孤立波的本质花费了毕生大部 分精力，进行了很多实验，也猜想过孤立波形的解析形式，但遗憾的是，由于受当时科学 水平的限制，在他的有生之年，无法从理论上对他在1 8 3 4 年观察到的孤立波现象给以圆满 的解释。1 8 9 5 年，即6 0 年之后，在瑞典a m s t e r d a m 大学数学教授k o r t e w e g 指导下，他的 学生d ev r i e s 写了一篇博士论文，给出了描述这种现象的运动方程( k d v 方程) ，在理 论上表明了j s r u s s e l l 观察到的孤立波的存在性。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年。1 9 5 5 年，a f e r m i ，j p a s t a , s u l a a 4 1 用 计算机计算了一维非谐晶格的实验研究。在实验中，他们取了6 4 个点，初始时刻能量集中 在某几个上，其余的能量为零，根据经典理论，他们预料：随时间的增加，能量将会均匀分 布。但实际计算的结果与他们预料的相反：经过很长时间后，能量的分布几乎又回到了初 始分布的状态；再计算下去过程近似于重复。为了能从理论上正确解释f p u 问题， n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l t 5 1 从连续体的观点研究了f p u 问题，得到了孤立波解。 从而表明在流体力学以外的物理领域也出现了孤立波；使f p u 问题得到圆满地解释，从而 激发了人们研究孤立波的浓厚兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m 把s i n e - - g o r d a n 方程的孤立波解作为物质基本粒子 的一个模型，用计算机实验来研究这种模型的基本粒子在碰撞时如何散射。计算结果表明 孤立波并不散射，在碰撞后与碰撞前有同样的波形与速度。1 9 6 5 年n j z a b u s k y 和 m d k r u s k a l 1 把k d v 方程用于等离子体波的研究，借助电子计算机详细考察了等离子 体中孤立波的互相碰撞，发现了孤立波经碰撞不改变波形和速度的非常稳定的奇特性质 正象物理上的粒子一样。所以z a b u s k y 和k r u s k a l 就用孤立子( s o l i t o n ) 这个词来生动 地表示孤立波的粒子行为。虽然孤立子原源于k d v 方程的孤立波，随着研究的深入发展 人们很快发现，除k d v 方程外，许多具有物理意义的重要的非线性演化方程都具有孤立子 6 浙江大学硕士学位论文 解。如s i n e - - g o r d a n 方程，非线性s c h r o d i n g e r 方程，h i r o t a 方程和b e n j a m i n - - o n o 方 程等。 第三阶段( 1 9 7 3 一) ，把孤立子概念及理论广泛应用于物理学、生物学、天文学等各个 领域。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c ad 问世，同时，开展了高维孤立子，离散孤立子和 光纤中孤立子的研究。 孤立子理论与数学的许多分支都有密切关系。经典分析和泛函分析，李群李代数，近 代微分几何，拓扑学，动力系统以及计算数学都对孤立子的研究有重要作用。在数学领域 内，孤立于理论提供了一个新的求解非线性偏微分方程的途径，发现有这么一类方程，他 们的某一特解都具有孤立子的特性，我们称这类方程为孤子方程，他们的孤波解称为孤立 子解。然而确切地说，虽然孤立子一词在广泛的范围内被引用，但还没有个确切的定义， 因为它还在发展中，给它下严格的定义比较困难，通常在应用数学中，将孤立子理解为非 线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度，或许相位发生变化。 在物理领域，孤立子理解为：经互相作用后，波形与速度只有微弱改变的孤立波：或者理 解为：非线性演化方程能量有限的解，即能量集中在空间有限区域，丽不随时间的增加而 扩散到无限区域中去。孤立子可分为拓扑性孤立子和非拓扑性孤立子。其形状，又有扭状 ( k i n k ) 孤立子，包络孤立子，脉冲状或钟状孤立子，正孤立子，反孤立子( a n t i s o l i t o n ) ，呼 吸子( b r e a t h e r ) ，环孤立子，似瞬子以及它们叠加形成的形形色色的孤立子。孤立子重要特 性的表现在于粒子性质，不在于其形状。 许多物理上重要的非线性系统具有孤立子解这种事实，反映出了相当普遍的非线性现 象的一种特性。因此研究孤立子及其互相作用，不仅有助于弄清物质在非线性作用下的运 动规律，直接推动物理学相关分支的发展，而且在数学上，也推动了难以求解的非线性发 展方程的求解方法与技巧的发展。求解孤立于方程的方法有很多，比较经典的方法有：反 7 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 散射( i s t ) 方法”1 “，李变换群方法( 1 5 。2 1 】，d a r b o u x 变换方法乜2 “ ，b a e k l u n d 变换方法o ” 双线性( h i r o t a ) 方法涩。3 目，w t c 方法 3 6 - 4 4 1 ，齐次平衡方法( h b 方法) 4 5 - 4 6 等等，这些方 法并不是孤立的，而是相互渗透，相互作用的，同时由于计算机符号运算软件( m a t l a b m a t h e m a t i c a m a p l e 等) 的不断完善和各种专业软件包的发展，使这些方法得到了更好的 本文针对几个非线性发展方程，做了以下几点工作 ( 1 ) 通过一种新的变换将一类非线性偏微分方程化为常微分方程，然后用待定函数法 求解常微分方程，得到非线性偏微分方程的精确解和孤立波解。b u r g e r s 方程和w h i t h b r o e r - - k a u p 浅水波方程组为例来说明这一方法。 ( 2 ) 利用j a e o b i 椭圆函数展开法和数学计算软件( m a p l e ，b l a t l a b ，m a t h e m a t i e a 等) ，可以求得一类常系数非线性发展方程的双周期解，这些解能退化成孤立子解、冲击 波解、三角函数解。我们对此方法做了如下几点改进：用统一的j a c o b i 椭圆方程组代 替单个的j a c o b i 椭圆函数，避免重复计算；将j a c o b i 椭圆单函数展开方法推广到j a c o b i 椭圆双函数展开，这样可以得到更多的解；将通常使用的三个j a e o b i 椭圆函数推广到 多个j a c o b i 椭圆函数，丰富了j a c o b i 椭圆函数的内容。利用改进的j a c o b i 椭圆函数展开 方法，求解了b l o t 方程和b o u s s i n e s q 方程组。 ( 3 ) 通过对耦台的k d v 方程组却f + y 匕+ u u 。+ 群胤= 0 ，u + ( ；+ v 叱= o 的p a i n l e v e 性质的分析，证明了该方程组具有p a i n l e v e 性质，在p a i n t e v e 意义下可积，并给出了此方 程组的一个自b a c k l u n d 变换。利用自b a c k l u n d 变换，我们从原方程的一组平凡解，求出 了方程组的孤立波解。 ( 4 ) 利用截断的w t c 方法讨论了如下形式的( 2 + 1 ) 维推广的b o u s s i n e s q 方程 “。一“。一甜，一 2 ) 。一z i 。= 0 ，得到了该方程的类孤子解。 8 浙江大学硕士学位论文 第二章常系数非线性发展方程的一类行波解 变换是研究和求解非线性偏微分方程的重要工具之一，到目前为止，已经提出了许多 著名的变换，有逆散射( i s t ) 变换7 一，1 ) a r b o u x 变换 2 22 4 ，b a c k l u n d 变换防3 l i ，双线性 ( h i r o t a ) 变换2 删和c o l e - h o f e 变换等等。逆散射变换将k d v 方程与量子力学中的 s e h r o d i n g e r 方程的特征值问题联系起来，导出了k d y 方程初值问题的解依赖于线性积分 方程，并得到了许多结果，逆散射变换也称为反散射方法或反散射变换( i s t ) ，这种方法非 常象线性问题的f o u r i e r 变换方法，有人也称之为非线性的f o u r i e r 变换。b a c k l u n d 变换 是指建立一个非线性偏微分方程的解与另一个已知的线性偏微分方程解之间的关系，或者 是建立一个非线性偏微分方程两个不同解之间的联系。b a c k l u n d 变换有两种，一种称为自 b a e k l u n d 变换，如正弦g o r d o n 方程的b a c k l u n d 变换，可以利用原方程的一个解求得另一 个新解，有时还可以得到非线性解的叠加公式。另一种是不同方程之问的b a c k l u n d 变换 如l i o u v i l l e 方程与线性波动方程之问的b a c k l u n d 变换，可以利用一个方程的解得到另一 个方程的解。c o l eh o f e 变换将空气动力学研究中出现的b u r g e r s 方程化成了线性热传导 方程，利用热传导方程各种定解问题的解及其性质，就可得到b u r g e r s 方程的准确解。在 最近的一段时期里，由于计算机符号运算( m a p l e ，m a t l a b ，m a t h e m a t i e a 等) 的发展， 使得求解非线性发展方程的精确解，特别是孤子解，冲击波解，三角函数的解变得更加容 易。对( 1 + 1 ) 维的非线性常系数偏微分方程，通常采用的一种方法是先对它进行行波 约化，把偏微分方程化为常微分方程，然后采用各种不同的变换，借助计算机的符号运算， 求出常微分方程的解，从而求得偏微分方程的行波解。比如：t a n h 函数法和扩展的t a n h 函数法 4 r - 5 0 ，j a e o b i 椭圆函数展开法 5 1 - 5 7 1 以及其它各种方法 5 8 - e i 3 等等。下面分别用一种 新的变换和改进的j a c o b i 椭圆函数展开方法，求解常系数非线性发展方程的一类行波解。 9 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 2 1 偏微分方程的约化和精确解 设非线性偏微分方程的一般形式为 f 似，甜j ，f ， 矗，甜对，都口，) = 0 作变换甜( x ，f ) = u ) ，善= e 。，z = a ( x + 卢+ c ) 。 把( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，则方程( 2 1 1 ) 变为如下的常微分方程 g ( 善，u ，u ，u ”，u 4 ，) = 0 令= 业钱铲 这里口0 ，a l ，a 2 ，a 2 。，b 是待定系数，m 是自然数，由齐次平衡法确定“1 。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 把( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 3 ) 式，整理后，令舌。o = o 123 ，- ) 前面的系数为0 ，得到 一组代数方程组，利用m a t h e m a t i c a 求解代数方程组，就可得到非线性偏微分方程( 2 1 1 ) 的精确解和孤立波解。下面我们用这种方法求解两个偏微分方程。 ”f + ”甜，一p u 。= 0 把( 2 1 2 ) 式代入方程( 2 1 5 ) ，得到常微分方程 ( 卢一p a + u ) u 一p 口孝u 。= 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 把( 2 1 4 ) 代入方程( 2 1 6 ) ，平衡u u 与u 。的最高次，得到m = 1 ，代入( 2 1 4 ) 式得u g ) = ! 止掣 ( 2 1 7 ) 把表达式( 2 1 7 ) 代入方程( 2 1 6 ) ，通分，然后令分子毒u = 0 , 1 234 ) 前面的系数 为0 ，得到一组关于口o ，q ，a 2 ，b ，口，的代数方程组： a l b ( a 。一幼a - l - 专) = 0 ， a 1 ( a o a 2 b 一2 b p a ) = 0 ，q ( 吒+ p a + ) = 0 ， 2 口；一口；6 2 a o 口2 b 一4 a o b t , a + 4 a 2 b 2 p a + 2 a 0 6 卢一2 a 2 b 2 卢= 0 l o d 动 l 1 心 q 浙江大学硬士学位论文 a ? + 2 a o a 2 2 口；6 + 4 口o p 口4 a 2 纫口+ 2 a o f l 一2 吒夸卢= 0 。 利用m a t h e m a t i c a , 求解上述代数方程组，得 1 = 0 ，= o 一吼6，口= 警 根椐( 2 1 2 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ，褥到b u r g e r s 方程的解为 ( 2 1 8 ) 甜( t f ) = 一一2 p 口菩若，z = 烈r + “一c ) ，其中口，6 ，c 为任意常数。特殊情形 当6 = 1 时，u ( x , t ) = 一声一2 p a t a n h z 。当6 = - 1 时，口( e f ) = 一一2 p a c o t h z a 当p = - 1 ，口= 1 ，卢= 3 , c = 0 时它们的图形分别为 u ( x , o = - 3 + 2 t a n h ( x + 3 t ) 甜( 墨0 = - 3 + 2 e o t h ( x + 3 1 ) 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 例2w h i t h a m - r r o e r k a u p 6 2 1 方程组 “l + l l u ：+ + n = 0 ， v ：+ ( 砂) 。+ i z ”。一p v 。= 0 ( 2 1 9 ) 作变换u ( x , o = u g ) ，v ( x ，f ) = v g ) ，善= e 2 ，z = a ( x + p + 0 。 ( 2 1 1 0 ) 将( 2 1 1 0 ) 式代入方程( 2 1 9 ) ，得到 t p + p a + u 、u | + v i 七p 瑾蚤j = o ， 够一p t x ) v + ( ，矿) 7 + q a 2 u7 + 3 q a2 u 。一p a f 矿”+ g 口2 善2 u 。= 0 令 旧= 塑铲 l 十dj附，= 业噤学z ， 把( 2 t 1 2 ) 代入( 2 1 1 1 ) 式，平衡u u 7 与u ，( 【肜) 与u 。，分别得埘= 1 ，i = 2 。 所以( 2 1 1 2 ) 式变为 吣) = 警， 生刍圭攀孽鳖：一。 ( 2 1 1 3 ) 9 2 + 6 ) 2 把表达式( 2 1 1 3 ) 代入方程组( 2 1 1 1 ) ，通分，然后令分子善1 前面的系数为0 ，得到一 组关于口o ，q ，a x ，b o ，b l ，以，b ，口，p 的代数方程组： a o a l b + b b l + 口1 b 2 p a + a a b 2 卢= 0 ， 口1 口2 + 6 3 一q p 口+ a l f l = 0 ， 一2 a ；+ 砰6 + 2 a o a 2 b 一4 b o + 2 6 6 2 4 a o b p a + 4 a 2 b2 p a 一2 a o b p + 2 a 2 b 2 p = 0 ， a o a l 一a l a 2 6 + 岛一b b 3 + 2 a l b p a = 0 ，口1 6 6 0 + 口0 6 岛一b z b l p a + a l b 3 q a 2 + 6 2 b l p = 0 ， 砰+ 2 a o a 2 一孙；6 + 2 b 2 4 b b 4 4 a o p a + 4 a 2 b p a + 2 a o f l 一2 a 2 b p = 0 ， 一3 a o b o 十口2 b b o + q 6 6 1 + 口0 6 6 2 + 4 b b o p a 一 2 b 2 b z p a 一4 a o b 2 q a 2 + 4 口2 b 3 q a 2 2 b b o f l + b 2 屯= 0 ， 一5 a l b o 一5 a o b l + 3 a 2 6 6 1 + 3 a l b b 2 + 3 a o b b 3 + 1 4 b b l p a 一9 b 2 6 3 p 口一2 3 a l b 2 9 口2 2 b b , f l + 3 b 2 b 3 p = 0 ， 一“2 b o - - a i b l a o b 2 + a 2 b b 2 + a a b b 3 + a o b b 4 4 b o p a + 4 b b 2 p a 一4 6 2 b 4 p o t + s a 。b q a 2 8 a 2 b 2 q a 2 一b o p + 6 2 b , p = 0 ， 1 2 浙江大学硕士学位论文 一3 a 2 b l 一3 a l b 2 3 a o b 3 + 5 a 2 6 也+ 5 a l b b 4 9 玩p a + 1 4 b b 3 p a t + 2 3 a l b q a 2 3 b l f l + 2 6 6 3 卢= 0 ， 一a z b 2 一a i b 3 一a o b 4 + 3 a 2 b b 4 2 b 2 p a + 4 b b 4 p a 一4 g 口2 + 4 a 2 b q a 2 6 2 户+ 2 b b , f l = 0 ， a z b 3 + 口l b 4 + b 3 p o t + a l q a 2 + b 3 p = 0 利用m a t h e m a t l e a , 求解上述代数方程组，得 = 口：b ，q = 蜊口牺：丁丽，6 0 = 一6 2 口2 p 2 + g ) ，b = t - 4 i b p a 2 沥而i ， b 2 = 6 b a t 2 ( p 2 + 力，声= 一a 2 ，屯= + _ 4 i p a 2 6 ( p 2 + g ) ，以= 一( p 2 + q ) o t 2 。 ( 2 1 1 4 ) 口o = a z b + 2 b c t 歹i ，口l = 捌口再而i ，卢= 川：一口矿石，b o ：0 b l = t 2 i b i a 2 p 2 + 鼋+ p 7 百) ，b 2 = 4 h a 2 0 2 + g + p 矿百) ， b 3 = + _ 2 i b i o t 2 p 2 + g + p 丁巧) ，b 4 = 0 。 ( 2 1 1 5 ) 口o = 口：b 一2 h a 7 巧，q ：埘口瓶7 丽，：_ 口：+ 口歹百， b o = 0 ，6 1 = - t - 2 i b i a 2 0 而一p 2 一g ) ，b ：= 4 b a 2 2 + 吁一p 丁巧) ， b 3 = + 2 i b j a 2 ( p p 2 + g p 2 一g ) ，b 4 = 0 。 ( 2 1 1 6 ) 这里i 2 = 一1 。 相椐( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 4 ) 。得蛰f 方程织( 2 1 9 ) 的解为 啦轳一f l 2 i o t 而丢， ( 2 1 1 7 ) v “o = o r 2 p 2 + g ) _ 2 a 2 p 2 + d 三妥譬) z + _ 2 i p c t z 撕石丽7 告e 面- b e - z o ee 。+ 。 e + 0 口。p 。+ 0 p 。 其中z = a ( x + 肛+ c ) ，口，卢，b ，c 为任意常数，f 2 = 一1 。解( 2 1 1 7 ) 的特殊情形： 当b = 1 ，p 2 + g 0 时， 1 3 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 ”( l f ) = 书钯7 百e s c h = ， v ( x , o = c 1 2 c p 2 + q ) ( 1 - 2 e o t h 2z ) + _ 2 p a 2 p 2 + gc s c hz c o t h z 根椐( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 t 5 ) ，得到方程组( 2 1 9 ) 的解为 啦f ) _ 伊口而( 舞等埘j 1 寿) ( 2 1 1 8 ) 哪，= - a 2 ( p 2 + q + pp 2 而( e z z 1 i 寿筹一 其中：= 口o + 卢+ c ) ，口，卢，b ，c 为任意常数，i 2 = 一1 。解( 2 1 1 8 ) 的特殊情形 当6 = 一1 ，p 2 + 叮 0 时， 即( e f ) = 邓一口歹百陆：c s c hz 】， v ( 五f ) = 一口2 0 2 + g + p 7 i ) k o t h z = c s c h 舢o t h z 解( 2 1 1 9 ) 也可以写成 ( e f ) = - p 一2 a 歹i t a n h z ， u 也，) = 缸2 p 2 + q + p 而) s e e h 2 = 甜：( r ，f ) = 一声一2 a 歹石c o t h z ， v ：( r ，f ) = 一2 a 2 0 2 + g + p 矿石) c s e h 2 z 当b = 1 p 2 + q 0 时， 打( f ) = 一一a 7 巧【t a l l l l z + i s e c hz 】， v ( f ) = 一口z o ：+ g + p 7 百) 【t a i l l i z ：_ + i s e c hz ，t a r d a z 根椐( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 6 ) ，得到方程组( 2 ，1 9 ) 的解为 ( 2 i 1 9 ) 啦垆叩+ 口而c 箬熹埘i 1 丢吾， 她。， 俐一2 ( p 2 + q _ p 而) c p 。一b e e 2 l b e 一 e 。一b e 一。 e + b e 。 其中z = 口o + p + c ) ，口，卢，b ，c 为任意常数，i 2 = 一1 。解( 2 1 2 0 ) 的特殊情形： 当b = 一1 ，p 2 十吁 0 时， 甜( x ，f ) = 一p + a 7 i b t h z 土c s e hz 1 1 4 “j 志 ； 6 2 、j 浙江大学硕士学位论文 v ( 卅= - - 0 e 2 ( p ：+ q - p 7 巧) c o t h 2 z + c s c h o t h z 一1 】， ( 2 1 2 1 ) 解( 2 1 2 1 ) 式也可以写成 甜。( t f ) = 一f l + 2 a 歹巧t a n h z ， h ( 马f ) ：2 a z p ：+ 譬一p 7 巧) s e e h 2 z 甜：( x ，r ) ：一卢+ 勉歹石e o t h 工， v ： ，f ) ：一2 a 2 ( p z + q - p 7 百) c s c h 2 z 当b = 1 ，p 2 + q 0 时， 甜( e f ) ：邛+ 口7 百【t a i l l l z i s e c hz 】， ， f ) ：一口z q z + g p 矿石) 岫z z 蜘e c h z t a n h z 一1 】 其中z = 口o + 卢+ c ) ，口，c 为任意常数，f 2 = 一1 n 上面得到的方程组( 2 1 9 ) 特殊情形时的其中一组解，文献川用别的方法已经求得。 将偏微分方程或方程组通过变换( 2 1 2 ) 或( 2 1 1 0 ) 化为常微分方程或方程组，然后 用待定函数法求得常微分方程或方程组的解，得到原偏微分方程或方程组的精确解。这种方 法的好处在于：首先它的计算借助数学软件m a t h e m a t i c a ，采用符号计算。其次，用这种 方法计算出的精确解中含有任意常数b ，比用其它方法如t a n h ，s i n e c o s i n e 等方法求出的 解更一般。显然这一方法也适用于求解其它的常系数非线性偏微分方程。 2 2 a c o b i 椭圜函数展开法的介绍及改进 在求解偏微分方程的行波解中，j a c o b i 椭圆函数展开方法是一个非常有用的工具。它 可以求得偏微分方程的精确解，包括孤立子解，冲击波解，三角函数周期解。许多学者在 这方面做了大量的工作m _ 5 7 】，同时将j a c o b i 椭圆函数展开方法一次又一次地改进5 。文 献m 1 在j a c o b i 椭圆函数展开方法中用统一的j a e o b i 椭圆方程代替单个的j a c o b t 椭圆函 数，这样就可省去很多重复计算；文献1 则将单函数的j a c o b i 椭圆函数展式，推广到j a 。o b i 椭圆双函数展式；面文献1 引进变换，利用己知的解得到其它形式的j a c o b i 椭圆函数解。 综合他们的优点，在此基础上，我们作如下改进：用耦台的j a c o b i 椭圆方程组代替单 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与p a i n l e v e 分析 个的j a c o b i 椭圆函数，将j a c o b i 椭圆单函数展开推广到双函数展开，利用j a c o b i 椭圆函数的性质，将1 0 个j a e o b i 椭圆函数包含在统一的j a e o b i 椭圆方程中。下面我们先 来介绍一下j a c o b i 椭圆函数展开方法。 设给定一个非线性发展方程 f ( 甜，甜，。，”。，) = 0 对它进行行波约化，令”( e ，) = u ( 善) ，善= k ( x + c t ) ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 这里】 和c 分别为波数和波速。代入方程( 2 2 1 ) ，得到一个非线性常微分方程 f ( u ，u ，u “，u 4 ，- = 0 我们假设( 2 2 3 ) 的解为： ，g ) = i 册手 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 这里胁孝= 册g 神称为j a c o b i 椭圆正弦函数，m 是介于0 和1 之间的实数，拧可由 齐次平衡原则来确定m “1 ，即由方程( 2 2 3 ) 的最高阶导数项与最高阶非线性项平衡得 到。而c 鹭= 册( 考i 埘) 西= d h ( f m ) 又分别称j a e o b i 椭圆余弦函数和第三类j a c o b i 椭圆函数。它们之间有如下关系 s ? 1 2 善+ c 栉2 善= 1 ，d n 2 善+ m 2 册2 毒= 1 警= 硝蟛，警一硝蟛，警一舻耐嘴 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 当m 寸1 时，s n 4 ，c ，和西喀分别退化为t a n h 孝，s e c 蟛和s e cj 鹭。而当m o 时 册，研善和西分别退化为s i n 孝，c o s 善和1 。把( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 代入方程( 2 2 3 ) 得到一个关于蟛，册善和蟛的方程，令其线性无关项的系数为零，得到一个关于 a o ，q ，a n ，七和c 的超定方程组。利用m a t h e m a t i c a 等数学软件求解此方程组，就得到 非线性发展方程的一个关于册舌= 册( 孝i 珊) 的多项式解。而且我们知道，当m 斗1 时有 1 6 浙江大学硕士学位论文 蟛i t a n h 善，即可得到方程的一种行波解u ) = q t a n h 善。如果在展式( 2 2 4 ) i - - 0 中用c 蟛或西代替勰善，完全类似可得到新的解。比方说由u ( 告) = q c 玎i 善得到孤子 解( 孝) = q s e e h y 等等。这里有两个问题：第一，由于j a c o b i 椭圆函数是很丰富的， 除了上述三种类型外，还有许多其他类型的j a c o b i 椭圆函数3 。删，他们分别是 n s 4 ，n c 4 ，蟛，嘶，蟛，蟛，赋。他们与蟛，硝和a n e , 之闻的关系为 蟛= 面1 ，蟛= 面1 ，咪= 去，嘶= 委，蟛= 善，蟛2 篙，蟛2 萎 满足瑚2 孝= l + c s 2 毒，珊2 孝= m 2 + d s 2 ，s c 2 善+ l = ，l c 2 舌。m 2 s d 2 善+ 1 = n d 2 善。( 2 2 7 ) 因此如果想要得到方程( 2 2 1 ) 其它类型的j a c o b i 椭圆函数解，就要进行重复计算许多 次。第二，用上述方法求得的解仅仅是j a c o b i 椭圆单函数形式，如果在( 2 2 4 ) 中册善用 j a c o h i 椭圆双函数代替，如期一善奴跚亭+ 岛c 蟛) ，也许可以获摄更多的解n 针对上面两 个问题，我们作如下改进：设方程( 2 2 3 ) 有如下形式的解 u g ) = 嘞十h “( a ；h + b i t ) ( 2 2 8 ) i = 1 这里函数日= 日( 善) 和l = l ( o 满足耦合的j a c o b i 椭圆方程 日比= ( 1 一h 2 x 日2 + 6 ) ，h 2 十p = 1 其中- 面d ，刀可由齐次平衡原则来确定，q 助常数。 根据( 2 2 9 ) ，通过计算，可得下面一些等式 ( 2 z 9 ) h h = 一l l ，三2 = h 2 ( a h 2 + 6 ) ，h 。= ( 口一b ) h 一2 a n 3 , r = 一( 2 吐h 2 + 6 ) 三 ( 2 2 1 0 ) 将( 2 2 8 ) 代入( 2 2 3 ) ，同时利用式子( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) ，令日2 鲁和 日7 等( f = o , 1 , 2 , - - - ) 前面的系数为零，得到一组关于，q ，q ，鱼，以，口，b , k 和c 的 1 7 几个非线性发展方程( 组) 的精确解与