（应用数学专业论文）具有可逆结构的plaplace方程解的有界性.pdf

摘要 本文主要研究了一类二阶微分方程 ( 哆( 一) ) 7 + 足( 。，t ) 。+ 矿+ 妒( 。，) = o 的拟周期解的存在性和解的有界性，其中( s ) = ( p 一2 ) s ，p 1 ，u o 是个常数， f 和妒是光滑函数，且关于是周期函数在假设f 和l p 满足一定的奇偶性和增长限 制的条件下，我们应用了可逆系统的的小扭转定理证明了上述方程拟周期解的存在性和 解的有界性 关键词：可逆系统；小扭转定理；解的有界性；拟周期解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x i s t e n c eo fq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n sa n db o u n d e d n e s so f a l ls o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gt w o - o r d e rd i f f e r e n t i a ld ：l u a t i o n s ： ( 圣，( z ) ) 7 + b ( 。，t ) 一+ 矿) + 妒0 ，t ) = 0 w h e r e ( s ) = i s i ( p 一2 ) s ，p 1 ，u 0i sap o s i t i v ec o n s t a n t fa n d 妒a f es m o o t h f u n c t i o n sw h i c ha r ep e r i o d i ci nt u n d e rs o m eo d d d v - e i lp r o p e r t ya n di n c r e a s i n gr e s t r i c t i o n so ff ( x ，t ) a n d 妒( z ，t ) ，w eo b t a i nt h et h ee x i s t e n c eo fq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n sa n d b o u n d e d n e a so fa l ls o l u t i o n sf o rt h ea b o v ee q u a t i o nb yas m a l lt w i s tt h e o r e mo fr e v e r s i b l e s y s t e m k e yw o r d s ：r e v e r s i b l es y s t e m s ；s m a l lt w i s tt h e o r e m ；t h eb o u n d e d n e s so fa l ls o l u t i o n s ； q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n s 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名：盾趁日期：翘q ：! 圣：芗 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 一碰n 摊名彳砰魄越 第一章引言 1 1 预备知识 为了叙述问题的方便，我们先引入一些记号和定义。 可逆系统：考虑一个相互作用力与速度无关的s 质点的机械系统此系统由牛顿方 程描述， 铲r d t 2 = f ( r ， ) ，r r 3 3 ，口= d r d t 满足f 一 ) = f ( r ， ) 该系统称为关于时间t 是可逆的，是指若速度取反向，则其在 构形空间舻。中轨迹也取反向更一般地，对自治微分方程d u d t = ( u ) ，若存在相空间 的对合g ( 映射g 满足g 2 = i d ) ，使得t g o 口= 一 o g 其中t g 是g 的微分，则方 程及其向量场口称为是可逆的即g 将向量场口变为其相反方向的向量场一”这就意 味着若“( t ) 是解，那么g ( u ( 一t ) ) 也是方程的一个解在上例中g ：( r ，口) 一( r ，- - v ) 一个自治系统 id z d t = f ( z ，y ) 【d y d t = g ( x ，f ) ( ，y ) 1 f f r q 关于对合g ( ，y ) 一( 一霸y ) 是可逆的，当且仅当，0 ，y ) 关于。是偶函 数，g ( x ，y ) 关于z 是奇函数 对于非自治微分方程组： 出拈“厶曩们 ( 1 1 ) i 咖如= g ( t ，。，y ) 将其化为自治系统： i d z d r = ，( r ，为y ) d y d r = 9 ( f ，z ，口) ( 1 1 ) 【d r d r = 1 称( 1 1 ) 关于对合c ( z ，y ) 一( 一而y ) 是可逆的，是指( 1 1 ) 关于g 。( t ，z ，y ) 一( 一t ，- - j ：，y ) 是可逆的于是( 1 1 ) 是可逆的当且仅当f ( - t ，一z ，y ) = f ( t ，曩y ) ，g ( - t ，一霉，y ) = 一g ( t ，z ，y ) 东南大学硕士学位论文 2 可逆映射：对映射a ，若存在对合g 使得a 与a _ 1 共轭，即a g a = a 则a 称为 是可逆映射在任何时刻，可逆系统的流映射关t - f 司- - 个对合g 都是可逆的 可积系统：求解含有2 n 个方程的常微分方程组，通常需要知道2 n 一1 个首次积 分但对于哈密顿系统 z = j v ：h ( t , z ) 础r 2 n t ，= ( i z ， 来说，只需要知道n 个两两对合的线形无关的首次积分就可以了具体的说如果有站个 两两对合的函数f 1 ，f 2 ，r ， 只，b ) ；0 ，i ，j = 1 ，2 ，礼，且这个函数只独立 ( 即n 个1 一形式d 只线形无关) ，那么哈密顿系统( 1 , 2 ) 是可积的考虑这些函数的一个 等值集 0 = z ：最( z ) = 五，i = 1 ，2 ，n 若流形 0 是紧连通流形，则它微分同胚于 维环面 瓦= ( 妒l ，仇，) ，m o d2 ，r 此时存在辛变换 垂：( ，妒) 一g ) ， 姐a 帆= 觑a 觑 可将哈密顿系统( 1 2 ) 化为以下形式 j 警= 一筹= 0 【警= 筹= w c t ) 其中日= 日( ，) ，从而可以立即解出 x c t ) = j ( o ) ，妒( t ) = 妒( 0 ) + w ( 1c o ) ) t 我们称f 为作用变量，妒为角变量 东南大学硕士学位论文3 拟周期函数：实函数，：r r ，若可以用下列f o u r i e r 级数形式表示： m ) = 4 加 女z 珥 其中k = ( k l , ，k ) ，v = ( u l ，她，“。) ，t = ，了则我们称函数，是关于频率 为u l ，忱，“k 的拟周期函数 东南大学硕士学位论文4 1 2 背景知识 早在1 9 6 0 8 ，l i t t l e w o o d 就在文【12 】中建议研究方程 矿+ g ( x ) = p ( t ) ( 1 3 ) 的解的有界性闻题其中p ( ) 是周期函数，g ：r 一丑是连续的，且g ( x ) s i g n ( x ) 一+ 。 ( 一o 。) 方程( 1 3 ) 的解的有界是指方程( 1 3 ) 的解z ( t ) 对于t r 都有定义，并且 s u p i x ( t ) l + ( t ) i ) l h l ( x ) _ l x ， l ， 【一l ， z 一1 o r t e g a 证明了当ij p ( t ) e “d t 1 本文以下部分的结构安排如下： 第二章；我们给出本文的主要结果定理2 , 1 和定理2 2 第三章：通过一系列的变换最终把问题化成了个可积可逆系统的小扰动问题，进 而利用b i nl i u ，j i a j i as o n g 的可逆映射的小扭转定理 9 】证明我们的结论 第二章主要结论 首先考虑齐次微分方程； ( ( ) ) 7 + ( ) = 0 ( 2 1 ) 它的解可以通过直接积分得到，其中个解s 屿由定义如下：首先定义丌p ， ，沪1 ) “ 幽 唧- 2 上矿万君j 庐 函数鲫：【o 2 1 一【o ，0 一1 ) 1 加1 由隐函数形式给出： ，”( o ) 幽 上矿石而巧刮 叫由以下方式延拓到r ，其延拓函数记为s 1 码首先在h 2 ，丌p 】上定义为s i n p ( t ) = 伽( 乃一t ) ，其次在【- 丌p ，0 1 上定义为s i r b ( t ) = 一w ( ) 最后，将s i n ，以2 和一周期延拓到 r 上由8 i n 。的定义，不难验证： ( 1 ) s i n p ( o ) = 0 ，s i n ；, ( o ) = 1 ； ( 2 ) ( p 一1 ) fs j n ：( t ) p + fs i n p ( t ) = p l ； ( 3 ) s i n pt 是2 唧一周期的奇函数； ( 4 ) t ( 0 ，唧) 时s i n p t 0 ，t ( 丌p ，2 丌p ) 时s i n p t 1 ，。 0 ，f 和妒关于氙t 是c 7 的光滑函数，且关于t 是2 唧 周期的并且始终假设函数f i x ，t ) 和妒( 毛t ) 满足下面的条件： ( a 1 )f ( - x ，- t ) = f ( x ，t ) ， 妒( 一z ，- t ) = 一l ，口 ，t ) ( a 2 ) 下面的极限存在且关于t 是一致的： r g n + m 。里x m j 南万妒( 害，) 2 口+ 一n ( f ) ， 其中( 佗，m ) = ( 0 ，7 ) ，( 7 ，0 ) 和( 7 ，7 ) 并且当m = 7 ，n = 0 或7 时，有 p + 。( t ) ；0 ( a 3 ) 0 ，当 x 0 时v t 兄使f i x ，t ) = o 由这些条件可以得到，对于t r ， l i m 妒扛，t ) = 妒一i t ) = 一n ( 一t ) z 一 定义函数： 毗，= 测鲁s 叫州针啪+ 9 酬“删，删 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 我们的主要结论如下： 定理2 1 假定( a 1 ) ，( a 2 ) 和( a 3 ) 成立，当u 是有理数时，如果由( 2 4 ) 式定义的 亿是定号的，则方程( 2 2 ) 有无穷多个拟周期解此外所有解是有界的，即对于每一个 解x i t ) s u p i x i t ) i + i z i t ) l 0 ，所以甜 0 充分小，使当f s i n p t i 6 因而( s i n ；t ) 南 0 于是当is i n p t f 0 ，当r r o 时f 勰i ；，这样 c q ( r ；( 。8 i n ；) 一f p ；8 1 ，0 ) ；赢l s i 嵋i 哦( 1 一穗) 而当f n f 0 充分大，使r r o 时f ( r ；s 吣d ，) = 0 从而 f ( t ，r ，5 ) = c q ( r ；哆( 钾s i n ；自) ) 一r ；8 i n ；= 0 所以 i t - ；f ( ，r ，d ) i c r 一；， r r o 奎查奎兰堡圭兰堡垒壅 1 4 总之，j r o 充分大，使当r t o 时 i t - ；户( ，r 自) fs c r 一； 但戚立 由p 1 ，；+ i 1 = 1 我们可知g 1 因此当3 r o 0 ，当r r o 时，引sj 1 ，这里 = 言r 一； p ( s i n ；0 ) f ( t ，r 自) 一：专r 一；西却织( r ；s l n p 口，t ) + ：击r is i 码如( r ；s l n 尹p ，) 由隐函数定理可知存在t 关于0 的反函数t = 侈) 因此当r r 0 时系统( 3 6 ) 等价于下 列系统： 丽d r = 曙q ( s l n p d - ，1 ，2 ，- ( t ，r ，目) + ；由8 i 嵋加1 一；e ( r ；s 1 砷自，) 一；南8 i n ；r 1 一；妒( r ；s i n r ，t ) 】 1 + j 1 ( 8 i ) r 一；户0 ，r 目) 一；击m 砷西一；只( r ；8 1 砷自，f ) + ，q 。_ l ，s i n ，o r 一：妒( r ；s l n p a ，t ) ) 一1 = ，( t ，0 ，r ) ( 1 + ( ，口，r ) ) 一1 啬= 1 + 击啡( s i n ；0 ) r 一；2 f - - ( t ，r ，自) ；击8 i 脚易一；只( r ；8 1 口，) + ；刍s l n p 务一；妒( r ；西脚5 ，) ) 一1 = ( 1 + ( t ，口，r ) ) 一1 ( 3 7 ) 容易证明蚕( 一t ，一0 ，r ) = 雪( ，0 ，r ) ，( 一t ，一口，r ) = 一氕，口，r ) 从而( 3 7 ) 关于对合g ： ( t ，r ) 一( 一t ，r ) 也是可逆的 系统( 3 6 ) 和( 3 7 ) 的关系是：如果( r ( t ；如，f 0 ，e o ) ，口( t ；t o ，r o ，o o ) ) 是系统( 3 6 ) 满足 初始条件( r ( t o ) ，e ( t o ) ) = ( r o ，0 0 ) 的廨，t = t ( 口；o o ， f 0 ，t o ) 是o ( t ；t o ，e o ) 的反函数，则 p ( t ( 8 ；岛，r o ，t o ) ；t o ，r o ，o o ) ，t ( 以岛，r o ，t o ) ) 是系统( 3 7 ) 满足初始条件( r c o o ) ，t ( e o ) ) = ( r o ，t o ) 的解， 下面我们将考虑可逆系统( 3 7 ) 的p i o n c g r 4 映射 将系统( 3 7 ) 写成如下形式； 耋吖。掣+ 0 ， ( 3 8 ) 【嘉= 1 一( t ，0 ，r ) + ，2 、7 其中，l = 一1 钟l ，2 = 南 为了研究系统( 3 8 ) ，首先要对 ，2 ，五矛进行估计，有关结果在下一节集中给出 东南大学硕士学位论文1 5 3 3 一些引理 引理3 1 ：在假设( 也) 成立的条件下， 对于1s s7 ，0 s f 7 ，有 黑扩茄出，归。 从而下列结论成立： 从而对q s7 , v ( z ，) r 2 ，有 旷赫妒( 。，t ) l m ； 其中肜是个常数 证明；该结论由 1 0 】引理1 直接可得 引理3 2 存在r e 0 ，当r r 0 时，讹+ m s6 ，v ( t ，口) r + 0 ，鲁) 有 旷十1 蒜卅矿+ ；蒜胚g 这里c 0 是一个常数 证明； 首先估计下列函数 1 = i - ；2 f - ( ，为园 坳= r - ：最( r ；s i n ，t ) “3 = r q 2 ( p ( r p 2s i n p 8 。，t ) 。- 的估计，由前面的讨论，当i s l 砷国6 时 0 充分小) ，r 充分大时有 f ( r , t ，目) = 0 1 l = 0 从而对v k ，m 后+ m s6 ，v ( t ，p ) 胪【o ，等) 有 旷碍杀u ，i s d 而当is i n p 6 时，由3 2 节中户( t ，r ，目) 的幂级数形式，得 。，：差( 一1 尸鱼二旦子i 里二盟广警和s j ) 舛t n ，j m ( ，；咖，每 壅里奎兰堡圭兰堡笙塞 1 6 因为 筹一州蛳啪_ r - 争锄，羡晰( 0 t fh - ( ) 所以 一；薯杀。霎( 叫r 一掣p 刚r 。 龇羲毫c 筹机( 筹圳 因而总有 旷+ ；募杀“。i r o 有 旷：笪o r k 兰& m 引d 不妨设r e 充分大，使引 0 有 丹“疗k“ i 施五i s m 2 ，l 施正f 坞 由假设( a t ) ，( 如) 和( 如) 可以推出。 l 。i r a 0 + g l ( p ，t ，口，) 2 ，l i r a o + 9 1 ( 舭口，e ) = 。l 。i m 9 2 ( mp ，) = ，l i r a 0 + 晚( 鹏日，) = 一由8 i n ；知1 一；妒+ ( t ) ， 一击s q 知1 一：妒一( t ) ， ；击s 屿劫一；( t ) ， ；专s 屿驴：妒一慨 口( o ，罟) ，峨口 0 0 ( 罟，孕) ，晦口 0 8 ( - 3 ，譬) ，s 鸥 0 ，磬 o ，v ( o ，r ) a ， f 2 ( ，) ，妒1 ( ，6 ) ，如( 一，6 ) c 5 ( a ) 另外，我们假设存在映射i ：a r 。满足 i e ( 以筹 o 】v r ) a ， ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 东南大学硕士学位论文 “盼) 鼢卅1 2 ( 丝o r 眠r ) - o ，v ( o ，r ) a ( 3 1 7 ) 定义 7 m ( 7 ) 52 攀7 ( p ，r ) ，k 2 畦m i s n ，7 ( 8 ，”) 引理3 4t【9 】定理2 】 设 满足( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，满足( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 若u = 2 竹7 r ，n 是整数，而且存在常数a ，6 使得 o a 5 b ，i m ( a ) k ( a ) s 功( a ) 0 ，使得：若j a 且 i | 九( ，6 ) 1 1 c 5 ( a ) + i i 也( ，- ，d ) | | 伊( ) 8 时，映射 在n 具有不变闭曲线，与6 无关 注： 作变换f = 一t ，= 一0 ，则( 3 1 5 ) 变成 l l c 6 ( a ) ，1 1 o ，点0 = e 由( 2 ，3 ) ( 2 ，4 ) 式，f 和妒的周期性，我们有： w ( - t o ) = ；盱8 i n p 日妒+ ( - t o + o ) d o + j s i n l , 0 o 一( - t o + 日) 冽 = 一；盱咖日妒一( t o o ) d e + j s i n p 0 _ o + ( t o o ) d o = ；f j 竺qs i n ，口妒一( t 0 + 口) d 口+ j 二老s i n p 即+ ( 岛+ 口) 冽 = p q 。 f b 2 x 8 i o p 一( t o + o ) d o + f o s i n p o 妒+ ( t o + 口) 冽 = w ( t o ) 壅塑奎兰堡堂焦堡壅：2 3 因此函数关于是t o 偶的 e ( 一t o ) = 一j ：；- s i n ；口妒+ ( 一t o + o ) d e 一2 2j r l 2 r p 即8 i n ：口妒一( 一t o + 0 ) d o = 名啼8 i n ；口l p 一( t 。一e ) d o + ；上：r ps i n ；p 舛( t 。一0 ) d o = 5 厶s i n ；& p 一( t o + o ) d o + r 噼口妒+ ( + 8 ) d e = j = s i n ；目妒一( 如+ 口) 始+ j ：i s i z p 妒+ ( t o + o ) d o = 一e ( t o 、 因此函数e 关于t o 是奇的 对p i o n c a r d 映射 尸： 嬲翥纂：痞凛， 作如下变换： = a = 兰 则 q ：t 犯( 2 ，嘲r p ) t ( 2 r p 篡t o2 函r p 2 发8 t o = + + e i z l ( ，) + ；d 6 ( 1 ) 其中 t , ( x o ，t o ) = - w c t o ) a , ， 如( h ，t o ) ：一e ( t o ) a ：+ ； 令 蛾：一去唧( t o 器m 则有对v ( 知，t ) 【，1xs 1 h ( x o ，t o ) 伊( 辟，们铲) ，f l ，t o ) 0 ，掣 0 ， 东南大学硕士学位论文 且 令 取 z l ( 知，幻) 丽o i ( a o ，t o ) + z 2 ，t o ) 舞( a o ，t o ) 州如a ；【_ 击黜e x p ( ? 器俐一e ( 坛) 掌碍1 g ) 脚e ( t ) ) 出) ：n 3 - i e ( t 。) 唧( ? 器出) 一n 2 - _ 1 e ( 如) 唧( 7 器出) 口：嬲唧( t o 器蛾p ：黔酬t o 器 如( ；) 7 警唧叮器= 一8 墨，岛( 7 ) = 一；警e x p ( 孑器出) 每 k ( 7 t ) = 一击警唧( 孑器班) = 一2 笆o t ，( ，y - ) 一上。m 如i n e x p ( ? 器出) = 一2 p k ( 讹) = 一击警唧( ? 器出) = 弓( 蚀) 一。上m 缸i n e x p ( ? 器斑) 篙 则有 i 1 饥 他甜 k ( ；) k ( 1 1 ) ( 1 - ) o g l ( p o ，t o + 只口，) d 疗+ 【0 2 “霄p l # 畔汨 og z ( ：o ，f o + p ，p ，e ) d p + f e l o 2 却1 商砷硼 o ，v r 陋，6 i ( 3 1 8 ) 则存在a 0 和 0 ，当0 j a 且 l l 毋l “r ，j ) l l ( ) + i i 妒2 ( ，r ，j ) i l c t i 舢 0 ，协 口，b 1 等价于f 鬻( 日，r ) d 8 00 是定号的， 为应用引理3 5 ，下面要证明条件( 3 1 8 ) 成立 设u 是无理数 由 嚣1w ( t o ) d t o ：专【伊d t o f o + s i 脚口妒+ ( t o + p ) 础+ 伊出。詹8 i 如一( t o + p ) 冽 ；：专舻护妒+ ( t o + o ) d t 。】8 i n p 8 d o + 詹护1 ：p ( t o + o ) d t 。】姊泐 = ；专 j 【j 妒+ ( t o + e ) d t o s i 砷砌+ 詹f 正，妒一( t o + o ) d t 0 18 i n p o d s = i 专 罟【j 妒+ ( 如) 一妒一( z o ) 矧8 i n ，自d 日 = 2 ：专铲s i 砷泐驴( 如) 蕊 又f l ( 知，如) ：一耽) ，所以 伊哟掣 一霜1 詹却儿( t 。) d t 。 = 一；专埒1 一；铲呜5 彬譬妒+ ( 。) d t o 东南大学硕士学位论文 又有眉却妒+ ( t o ) d t o 是定号的，因而j 垫；髦掣砒也是定号的，因而条件( 3 1 8 ) 成立由引理3 5 可知映射q 存在同胚于a o = 常数的不变闭曲线，进而映射p 存在同 胚于珈= 常数的不变闭曲线 定理2 2 成立 致谢 本硕士论文是在我的导师徐君祥教授的悉心指导和严格要求下完成的，从选题到最 后定稿的整个过程都凝聚着徐老师的大量心血徐老师深厚的数学修养，丰富的专业知 识，诲人不倦的精神，严谨的治学态度，坦荡的胸襟以及谦逊的学者风范，让我耳濡目 染，受益终生他始终不渝的关怀，鼓励和教诲使我得以j l 瞬利完成学业在此，谨向我的 导师徐君祥教授致以最崇高的敬意和最衷心的感谢! 此外，我还要真诚的感谢张福保教授，管平教授，江其保教授，潮小李副教授等东 大数学系的老师们对我的帮助和教诲感谢我的家人，是他们的无私奉献和鼓励，使我 能安心学习并顺利完成学业! 在日常的学习和论文的写作过程中，师姐张丽，师兄成荣，张东峰，王丙风以及王 小才，薛秀，吴伟，杨洁，孟凤娟等给予了热心的支持和宝贵的意见；在日常生活中也得 到了宿舍舍友王理峰，杨小燕，周丽丽的热心鼓励和无私帮助，在此一并向他们表示感 谢! 最后，感谢2 0 0 4 级的所有同学，是他们给了我家的感觉谢谢 参考文献 【1 】1 c f a b b ya n dd f a y y a d p e r i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q t m t i o n sw i t ha p - l a p l a c i a na n da s y m m e t r i cn o n l i n e a r i t i e s 【j 1 r e n d i c o n t im a t u n i v t r i e s t ex x i v ( 1 9 9 2 ) ， 2 0 7 - 2 2 7 ， 【2 1 g r m o r r i s ac a s eo fb o u n d e d n e s so fl i t t l e w o o d s p r o b l e mo no s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b u i l a n s t r a l m a t h s o c ，1 9 7 6 ，1 4 ：7 1 9 3 【3 】j m a e s e r a t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d u k e m a t h 1 9 5 0 ，1 7 ：4 5 7 - 4 7 5 f 4 】 j y o u b o t m d e d n e s sf o rs o l u t i o n so fs u p e r l i n e a rd a l 五n g se q u a t i o n sv i at w i s t e r r v e s t h e o r e m s c i c h i n a ，1 9 9 2 ，3 5 ：3 9 9 4 1 2 5 】b l i u b o u n d e d n e s sf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a rh i l l 8e q u a t i o n sw i t hp e r i o d i cf o r c i n gt e r m s v i am o s e r 8t w i s tt h e o r e m j j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 8 9 ，7 9 ：3 0 4 - 3 1 5 【6 】b l i u b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a rd u f f i n ge q u a t i o n j 1 j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，1 9 9 8 ，1 4 5 ：1 1 9 - 1 4 4 m b l i u b o u n d e d n e i nn o n l i o e a r o s c i l l a t i o n s a t r e s o n a n c e j j d i 疗e r e n t i a l e q u a t i o n s ，1 9 9 9 ，1 5 3 ：1 4 2 - 1 7 4 【8 j b i nl i u b o t m d e d n e e so fs o l u t i o n sf o re q u a t i o n sw i t hp l a p l a c i a na n da s y m m e t r i cn o n - l i n e a rt e r m j 1 , 1 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 0 0 4 ，2 0 7 ：7 3 - 9 2 【9 】b i nl i u ，j i a j i as o n g i n v a r i a a tc u r v e so fr e v e r s i b l em a p p i n g sw i t hs m a l lt w i s t 【j 】a c t a m a t h e m a t i c s , q i n i c ，e n g l i s hs e r i e s ，2 0 0 4 ，2 0 ：1 5 - 2 4 【1o 】柳彬共振点附近半线形l i e n a r d 方程的拟周期解【i ，1 中国科学a 辑，2 0 0 5 ，3 5 ( 6 ) ： 6 8 5 6 9 4 【1 1 】 b i nl i u i n v a r i a n t c u r v e so f q u a s i - p e r i o d i c r e v e r s i b l e m a p p i n g s j n o n l i n e a r i t y 2 0 0 5 ，1 8 ：6 8 5 - 7 0 1 【1 2 】l i t t l e w o o d js o m e p r o b l e m si nr e a la n d c o m p l e xa n a l y s i s h e a t h l e z i n g t m m a ，1 9 6 8 c o m m m a t h p h y s , 1 9 9 1 ，1 4 4 ：4 3 - 8 2 【13 】m a d e lp i n o 1 l f m a n d s e v i c h ，a e m u n l d e x i s t e n c ea n dm u l t i p l 蚵o fs o l u t i o n sw i t h p r e s c r i b e dp e r i o df o ras e c o n do r d e rq u a s i l i n e a xo d e n o n l i n e a ra n a l y s 诂t m a ，1 9 9 2 ，1 8 ：7 9 - 9 2 【1 4 】m l e v i q u a s i p e r i o d i c m o t i o n si n s u p e r q u a d r a t i e t i m e - p e r i o d i cp o t e n t i a l c m n m m a t h p h y s , 1 9 9 1 ，1 4 4 4 3 - 8 2 【1 5 】 j m 0 6 e r c o m b i n a t i o nt o n e sf o r d u f f i n g se q u