（应用数学专业论文）声波散射问题从远场模式到近场的数值重构.pdf

摘要 数学物理反问题在众多的实际领域有着非常广泛的应用，它被普遍用丁医学c t 扫描， 热流逆传导，及地球物理勘探等方面。反问题数学上的难点在于其非线性性及不适定性，尤 其是锯不连续依赖于输入数据因此如果用通常的方法来求解反问题，不可能得到正确的 结果：观测值的一个很小的误差及计算误差会带来计算解与真实解的巨大差异，而在具体 的实验中观测值总是存在误差的，所以反问题的研究得到了广泛的关注对一般的不适定 问题的典型求解方法是t i k h o n o v 正则化方法，l a n d w e b e r 迭代方法等而对各类具体的反 问题，则发展丁不同的求解方法如逆散射中的线性抽样方法( l i n e a l s a m p l em e t h o d ) 等 逆散射问题中一个很重要的方面就是从散射波的远场模式求散射波的近场，这是个 典型的不适定的问题，在求解逆散射问题的很多重要方法( 如线性抽样方法，探测方法) 中 起着关键的作用本文利用t i k h o n o u 正则化方法来求解此问题y i k h o n o v 方法主要的难点 在于正则化参数的选取和已有的经典的正则化参数的选取方法不同，本文采用了j u n z h o u 教授在2 0 0 0 年提出的模型函数的方法给出了确定正则化参数的一个迭代算法，该迭代算法 在确定正则化参数时是超线性收敛的这是模型函数的正则化参数选取方法在逆散射问题 中的第一次应用对不同的波数和不同的输入数据误差，本文进行了数值模拟，从计算的 结果看，这个方法有着良好的数值实现由于反问题的输入数据u 。无法从实验中获得因 此必须计算正问题，即从口求解u 。本文中采用双层位势的理论，使用n y s t r o m 方法来 处理问题的奇性 关键词：逆散射，模型函数，t i k h o n o v 正则化方法，迭代方法，位势理论 a b s t r a c t t h ei n v e r s ep r o b l e m sa r i s ei nm a n ya p p l i e da r e a ss u c ha sn o n d e s t l u c l i v et e s t m e d i c a li m a g i n g a n dg e o p h y s i c st h em a i nd i f f i c u l t yo fi n v e r s ep r o b l e m sc o m e sf r o mt h e i ri l i p o s e d e n s s ，n a m e l y ， t h es o l u t i o nd o e sn o td e p e n dc o n t i n u o u s l yo nt h ei n p u td a t e0 n oo ft h em a i nm e t h o dt ot h e t r e a t m e n to fi l l p o s e dp r o b l e mi st h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，w h i c ha p p r o x i r n a t st h e o r i g i n a li l n p o s e dp r o b l e mb yaw e l l p o s e dp r o b l e m i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rt h er e c o n s t r u c t i o no fs c a t t e r e dw a v ef r o mi t sf a x f i e l dp a t t e r n t h i sp r o b l e mp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yr e c e n t l yd e v e l o p e di n v e r s i o nm e t h o d ss u c ha sp o i n t s o u r c em e t h o da n dp r o b em e t h o df o rt h i ss e v e r ei l l p o s e dp r o b l e m jt h er e g u l a r i z a t l o nm c t h o d s h o u l db eu s e dt h em a i ni s s u eo ft h ew e l l 。k n o w nt i k h o n o vr e g u l e a i z a t i o nm e t h o di st h ec h o i c e o fr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ri nt h i sp a p e r ，w eu s et h em o d e lf u n c t i o nm e t h o df o rt h er e g u l a r i z e d f u n c t i o n a l ，w h i c hi ss u g g e s t e dt h e o r e t i c a l l yb yj u n z h o u i n2 0 0 0 ，t oc o n s t r u c ta ni t e r a t i v ep r o c e d u r e f o rt h ed e t e r m i n a t i o no ft h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ro u rr e s e a r c hi s 也ef i r s ta p p l i c a t i o no ft h e m o d e lf u n c l i o nn m t h o dl nt h ei n v e r s ea c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b d m t h en u m e r i c a lr e s u h sw e s a t i s f a c t o r y t og e n e r a t et h ef a r f i e l d p a t t e r no fs c a t t e r e dw a v e ，w h i c hw i l l b ea p p l i e da 8o u r i n v e r s i o ni n p u td a t e 、w eu s et h ed o u b l e - l a y e rp o t e n t i a lt h e o r ya n dt h en y s t r o mm e t h o dt os o l v e t h ed i r e c tp r o b l e m j d ：e y w o r d s ：i n v e r s es c a t t e r i n g ，n m d e lf u n c t i o n ，r e g u l a r i z a t i o n n y s t r o mm e t h o d ，l a y e rp c t e n t i a lt h e o r y n u l n e r i c s 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：敞嗍噬丝 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：鳢导师签 趔 第一章引言 考虑舻中入射波的传播，该入射波碰到一个不可穿透的散射体后，就在散射体外部产 生相应的散射波正散射问题通常是由给定入射波和散射体来确定散射波而逆散射的问 题是由散射波的某些信息( 如散射波的远场形式) 来求散射体的性质，如形状，位置等 二维情况中，在一定的物理假定下，数学上该问题可以用h e l m h o l t z 方程外问题来描 述【3 1 3 假定声波在散射体边界上的压力为零( s o u n d 。s o f t ) ，则对给定的入射波舻= e md ， 散射体外部的总波场u = u ，+ “5 满足下面的定解问题： | f ir 2 d o n0 d t 1 = 【z l 一。 其中d 为入射方向，u 6 为反射波( 1i ) 的第三个式子称为s o m m c r f e l d 辐射条件 本文假设驴不是l a p l a c e 算子在d d 内部的d i r i c h l e t 问题的特征值，即h e l m h o l t z 方 程的齐次d i r i c h f e t 问题在a d 内部只有零解，这在绝大多数j 情况下是可以成立的记 垂( 刎) ：2 i 蛾”( 刮z 一i ) ，。y ( 12 ) 为h e b n h o t t z 方程的基本解，珂3 ( ) 是第一类零阶h a n k e l 函数由g r e e n 公式及辐射条件 可以得到； 州扯z 。f 帮一等吣) d s ， v xe r 2 d ，( 13 ) n 表示边界o d 上向外的单位法向量注意到第一类n 阶h a n k e r 函数z o c 的渐近形式 删( z ) = 老，警气l + 。( ；) ) “4 ) 及渐近展开 j z 一口= 衅一2 ( 咖) + l y l 2 i z i 一( 2 ，) + 。( 吉) ，蚓_ 。， ( 1 5 ) 将( 14 ) ( 1 , 5 ) 代入( 1 3 ) ，得到u 5 有下述渐近形式 u 5 ( z ) = 而e l k l x lk ( 动十。雨1j ，1 。i - + o o ( 1 6 ) 0 q f j | i q ， 屯 淑 等格 东雨大学硕士论文2 其中i = ，u o 。定义在单位圆n 上，称为散射波的远场模式由r c l l i c h 引理f 3 1 到 “o 。的映射是一一对应的，即u 。= 0 等价于“5 = 0 我们要讨论的反问题是由“。o 确定u 5 这个问题在实际中有着重要的意义在经典的 逆散射问题求解的优化方法 7 】，( 1 5 】，【1 6 】以及最近发展起来的探测方法【6 】中，都需要用到 从远场到散射场的反演从反问题本身的角度来考虑，由下面的( j 1 1 ) 可以看出，这是一 个强不适定的问题，从而必须采用正则化的方法才可能得到合理的重建结果另一方面， u 。( 劫是在单位圆上给定的数据，由此来求砰面上的“3 ( z ) ，也是一种由局部数据获得全 局数据的方法 利用正则化方法由远场形式求散射波的一个标准方法就是引进散射波的密度函数表 示将反射波“。表示成单层位势形式，剐： “3 ( 。) 2 五d 【p ( ) 圣( 剐) 4 5 其中( ) 为未知的密度函数，壬( z ，y ) 是h e l m h o l l z 方程的基本解 利用( 14 ) ，( 15 ) 可以得到： 以加a 湍咖) e - i k i i , v ) d s 删却，吲一o 。 这里。= e t j 蕊此式与( 1 6 ) 比较有 u 。( j ) 29 五。m ) e - i k ( i , u ) d s ( ) ，女n 一 对于给定的“。，我们要寻找密度函数妒( g ) 满足方程： f 归：“n n ( 17 ) ( 1 8 ) 9 ) ( 1 1 0 其中尸算子定义为 ( f 妒) ( i ) = 盯妒( 掣) e 一惦忙v ) d s ( y ) ，岔n j d u 由( 1 1 0 ) 求出后，再由( 17 ) 来确定矿( z ) ，( 1 1 0 ) 中的积分算子有一个解析核，从而( il o ) 是一个严格的第一类不适定方程【7 1 ( il o ) 的不适定程度可以由算子f 的奇异值来表示 为计算简单，不妨取c g d 为一个单位圆，由 7 知，此时f 的奇异值为p 。= 2 ”l o j , ( ) | ，r 一 0 ，1 ，从1 3 e s s e l 函数的级数展开，可以得到近似表达式： l h = o ( ( ；) “) n o 。 ( 11 1 ) 东南大学硕士论文3 由此可以看出，肌一0 的速度极快，故求解密度函数是一强不适定的问题 下面的引理保证方程( 1 l o ) 至多存在一个解 引理1 1远场积分算子f 是单射，并且是稠映射 证明：见f 7 1 下面我们利用( 【l 味【l 7 j ) 中提出的的模型函数的方法来解决上述从远场到散射场的重 建问题，即求解这不适定的算子方程( ll o ) 以得到密度函数该工作是模型函数方法在声波 散射问题上的首次应用z h o u j u n 在2 0 0 0 年提出的的方法给出了t i k h o n o v 正则化参数的 一个新的确定方法，本质上是采用的m o r o z o v 原理但是在求解m o r o z o v 方程时，采用了 模型函数的方法，这种方法不仅提供了m o t o z o v 方程的一种近似解法，并且可以证明在某 种条件下，这样选取的正则化参数可以收敛到某个最优的正则化参数，从实验结果也可以 看出这一点另外本文还给出了采用拟牛顿方法来求解m 6 t o z o u 方程时，正则化参数的超 线性收敛性 第二章声波逆散射中的m o r o z o v 原理与模型函数方法 反问题的难点主要在于正贝0 化参数的选取，本章先论述m o r o z o v 原理和求解m o r o z o v 方程的牛顿方法和拟牛顿方法，然后汪明用拟牛顿方法求解下面关于正则化参数方程( 28 ) 时 的超线性收敛性，最后将给出具体的模型函数算法，该方法使用二元模型函数来代替户( 卢) ( 见 ( 2 ) ，并且在理沦上可以收敛到最优的 2 1t i k h o t t o v 正则化原理 从第一章知道本文所论的反问题可以化为确定密度函数的方程 f 妒= u 其中f 是一个有界线性算子，映射参数空间x 到观察值空间y ，u o 。是一个观察值在实 际应用中，“。常常被干扰。假设其误差水平是d ，记其干扰后的数据是“ 这种不适定的问题常常通过下面的t i k h o n o v 函数 8 i 的适定的最小化问题来解决，即 在x 上极小化泛函 如( 妒) ：；l i e 妒一u 6 圳2 ，+ 钿妒忆 ( 2 1 ) 这里卢 0 是正则化参数，而8 慨和| _ 对于任意给定的卢存在唯一的极小元【7 】 、r 分别是h i l b e r t 空间x 和y 的范数，问题( 21 ) 记此时的妒为妒( p ) ，它是下面方程的解 f 。f w + 卢【p = f + u 瑟， 或者写为变分的形式： ( f 妒，f g ) ) ，+ p ( 妒，g ) x = 0 ，户7 ( 口) 0( 26 ) 2 2m o r o z o v 准则和胆尼a 彳o t o z o v 准则 著名的a i o r o z o v 准则在线性反问题领域受到了广泛的关注( 【l 】m 【lj 】 1 2 ) 在m o r o z 。” 准则中正则化参数选取的依据是：正则化所产生的误差应等于观察数据的误差即卢的选取 根据下面的等式得到： | | f 妒( 口) 一u 生l i = 6 2 ， 6 是于扰水平，定义为6 ：= 0 n 。一“怯 由于假设u 生k e r f + ，根据户( 卢) 的定义及( 25 ) 上式可以写作： 户( 卢) 卢户7 ( 卢) = ；d 2 但是在某些应用中，上面m o r o z o v 方程并不定能够得到满足，因而考虑更一般形式的阻 尼m o o z o u 准则( mf 1 2 ，f l3 ) ，即： i i f 妒( p ) 一u 生f | 参十口1 l i 妒( 卢) i i 冤= 6 2 ，( 27 ) 这里7 1 。1 或者是等价的形式： 户( 口) + ( p 1 一p ) p 7 ( 卢) = ；d 2 ( 2 8 ) 容易看出 f 。，- o z o u 准则实际上就是阻尼a d o r o z o v 准则取1 = o o 的形式 为了讨论m o r o z o v 方程与阻尼m o r o z o ”方程的解的唯一性假设p ( o ) 譬户( 1 ) ， 其中 户( o ) 2 j n 。x f 护妒一n 挪， 东南大学硕士论文 实际上由引理2l 的证明( 1 7 ) 可知上面的关于5 的上界在1 = 。时可以被下式替代 ；d 2s 户( o 。) = 扣毛旷 注解：这是因为当卢一o 。7 时有妒( 卢) 一o ( 【8 】) ，又由( 22 ) 式得： 口ij 妒( ) i f 2 斗| | f 妒( 口) 1 2 = ( f u 毛，妒( ) ) 显然刮妒( 卢) 胪s ( f + ”，p ( 卢) ) 对此用柯西不等式有 8 1 l 节( 口) 1 1 2 曼去l l f + h 幺1 1 2 _ + o g 从而在卢一。+ 时有硎妒( 口) 】| 2 0 此式代入( 23 ) 有p ( f i ) 一i i u ij 2 2 ，卢一o 。+ 但是在 实际应用中总是将卢限定在( 0 ，1 1 由f 1 7 1 得到下面的引理： 引理21 ：如果户( o ， 譬s 户( 1 ) ，此时m o r o z o v 方程( 27 ) 存在唯一的解卢+ 下面利用n e w t o n 方法和拟n e w t o n 方法来求解阻尼非线性m o r o z o v 方程( 28 ) ，即解 l h ( 卢) = f ( z ) + ( p 1 一口) f ( p ) 一；d 2 = 0 直接计算可以得到 h ( 卢) = 1 口，一1 户( 卢) + ( 卢1 一卢) 户”( _ 臼) = 1 口一1 ( 妒( 口) ，妒( p ) ) x + ( 口，一犀) ( ( p ( 口) ，妒( 芦) ) x 因此在计算h 7 ( 口) 时需要计算妒7 ( 卢) ，即需要解方程( 24 ) 求解方程( 28 ) 的n e w t o n 方法如下： n e w $ o n sm e t h o d ：给定初始的岛，序列岛，岛，岛，由下式产生： f i k + l 聃丽巧丽丽两者锗丽丽蕊 这里妒7 ( 凤) 是从( 2 4 ) 计算而得，通常情况下n e w t o n sm e t h o d 是平方收敛的( 1 2 】) 但是每 一步都需要计算妒( 凤) 和妒( 凤) ，这样计算量很大 为了避免计算妒7 ( 风) ，在n e w t o n 7 sm e t h o d 中将妒7 ( 凤) 用有限差商的形式来代替： 觚m = 呜宅掣 东南大学坝士论又 这样就得到下面的 拟n e w t o n sm e t h o d ：给定初始的, 3 0 ，卢1 ，序列岛，阮, 3 4 ，由下式产生： 划m 一丽可而而丽万篙岛丽丽忑丽鬲 7 拟n e w t o n s k i e t tl o d 有下面的收敛性质； 定理2 2 ：假设户( o ) 0 ，令= 0 ( 1 ) 解( 22 ) 得到妒( 凤) ，计算户( 凤) 和户( 凤) f 2 1 2 、 ( 2 1 3 、 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 东雨大学硕士论文 然后更新n 莉c k 弧( 刖= 扣酬62 v + 毫一郎* ) 吲风) 一志= 以 ( 2 ) 设第次的模型函数： 在m o r o z o 方程中求解风+ l 1r m 。( 口) 。扣姗+ 羔 1 0 ( 2 1 7 ) f 2 1 8 1 ( 2 1 9 ) 22 0 1 ( 3 ) 如果l 凤+ 1 一风i 曼，则停止；否则令k ：= + l ，回到( i ) 实际上我们直接可以推导出： 死= 锄器，q = 一业咄糍铲燮 皿。- ， 另外很容易看出对口 0 ： m ：( 卢) = 一i j = i ；万弘 。m ! ( 口) = t i 军务 0 ，有9 7 ( 卢) 20 证明； s 伽塑盟型逊罐浠半巡幽 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 东南大学硕士论文 所以只要证明分子 f f 1 ) ；2 ( f 妒7 ( 口) ，f 妒( 卢) ) y l | 妒( 卢) j i 麦一2 ( 妒7 ( 卢) ，妒( 卢) ) x | | f 妒( 卢) l | 0 从( 22 ) 和( 24 ) 中可以得到： ( f ( _ 8 ) ，f 妒( 卢) ) r = 一i _ 妒( 卢) 殳一口( ( 8 ) ，妒( 口) ) 肖 ( 妒7 ( 口) ，p ( 卢) ) x = 一jj f 妒7 ( 卢) ij 争一卢i j 妒7 ( 口) | | 麦 从而有： f ( 9 ) = ( 1 l f 妒( 卢) l l 参+ 芦i5 妒( 口) j 殳) _ ( 1 l f 妒( 芦) l l + 口l i 舻7 ( 目) 1 支) l 妒( 芦) 1 支 对( 22 6 ) 式用c a u c h y 不等式： l i 妒( 口) l l 殳si j f 妒7 ( 卢) i j ) ，i i f 妒( t 3 ) l l r + 卢i | 妒7 ( p ) i i x - i 妒( g ) l l x 上面的不等式两边同时平方，再次利用c a u c h y 。s c h w a x z 不等式可以得到： l i # ( 口) f i 支= ( i i f 妒7 ( 卢) l l 】，| | f 妒( 卢) j f y + 口i j 妒7 ( f 1 ) l l x j i 妒( 口) j | x ) 2 ( i f f 妒( 卢) i + 卢j | 妒( 卢) j i 免) ( i i f 妒( 卢) f j + 卢f | 妒( p ) f | 妥) 从而有f ( 3 ) o 证毕 目理24对卢 0 ，有 7 ( 口) 0 证明：重新将h ( e ) 写成 ( 口) = ( 卢) 巩口) ，这里 ( p ) = 目( 卢) + 0 ， 叩( 口) = 1 j f 妒( 卢0 争十口1 | 妒( b ) 1 1 殳， 通过( 22 6 ) ，有： q 7 ( 卢) = 2 ( f t p ( 卢) ，f 妒( 卢) ) y 十2 口( 妒( 卢) ，妒( 口) ) x + l f 妒( 卢) l i 麦= 一l l 妒( 卢) f 1 支， 从而由上面的引理知 h ( 卢) = f ( 卢) _ ( p ) 十( p ) q 7 ( 卢) = ( 9 ( 口) 十1 ) ( 1 i f 妒( 口) i i + 口妒( 卢) i 受) 量丛2 i 俨i i 妒( 卢) 1 1 支 = g7 ( 卢) ( 1 i f 妒( 口) i l + p i f 妒( 卢) ij 曼) 0 ( 2 2 5 ) f 22 6 1 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 1 ( 22 9 ) ( 23 0 ) ( 23 1 ) ( 2 ，3 2 ) 东南大学硬士论天 目l 理25对p 0 有q ( 口) 0 证明：重写口( 口) 如下： q ( 3 ) 直接计算可得： 证毕 叮( 卢) =丝兰筮画扩 f 商一 下面给出m 。r 。z 。”方程( 28 ) 的可解性定义 肛。：酸| | f 妒一u 挑7 注意到所论的边界条件为u j a d = 0 ，对精确的远场数据u 。( ) ，f 妒= “。是唯一可解的( f 7 c h a p t c rl s ) 即存在一个妒+ x ，使得f 垆+ = u 。则这时肛56 不失一般性，假设： 从 1 0 可以知道 从而有 05p 6 譬及凤足够小，则( 28 ) 的模型方程g k ( 卢) = 譬存在唯一的 解凤+ l ，并且有g ( 仇+ 1 ) 譬 东南大学硕士论又 1 3 证明：这里只对证明过程作简要叙述，详细过程见【1 7 从( 21 9 ) ，( 2 2 1 ) 以及q ( 卢) 的定 义可以知道： g t ( o ) = ；1 l u 垒l l 一；q ( 声。) ( 23 s ) 从( 23 3 ) ，( 2 3 5 ) 可以知道，当风足够小的时候g ( o ) 0 ，卢( o ，】( 2 3 9 ) g k ( 卢) 的单调性表明风+ t 仇为了证明g ( 仇+ 。) ；a 2 这预示着瓯( 口) 0 ，所以吼( 口) 是单调的 改进的两个参数的算法： ( 24 2 ) 东南大学硕士论文 ( l ) 解( 22 ) 得到妒( 艮) ，计算声( 风) 和户( 风) = 洲妒( 凤) 暇 然后更新死和： 州蹦；扣5 酬2 r + 熹= 即* ) ，n k ( 2 m ) = 一志= 声7 ( 口 ) ( 2 ) 设第次的模型函数： m 舻) 2 扣训52 ”高 在近似的m o r o z o u 方程中求解_ 臼l 1 4 ( 24 3 、 f 2 4 4 、 f 24 5 1 文( 卢) = ；6 2 ， ( 24 6 ) ( 3 ) 如果1 , 3 “一仇i e 或者是q ( f k ) 曼；d 2 ，则停止；否则令女= k + l ，回到( 1 ) 定理27如果0 0 ( 口0 ) 6 2 ，这时由改进的两个参数的算法得到的( 仇) 是有定义 的，更进一步，这个数列是有限的，并且终止在某个凤，也即满足g 慨) ! d 2 ；或者假定 初始的风在( 口。，1 ) ，这个数列是无限的并且是严格单调递减收敛于m o r o z o v 方程的唯一 解口4 证明：详细的过程见f 1 7 1 评论：从定理的证明来看，上面0 ( 口) 的取法主要是保证通过“的选取使得g k ( o ) s d 2 也即保证了文( 卢) = d 2 总是有解存在 第三章正问题解的实现 对于声波散射的正问题，本章首先通过双层位势来建立密度函数满足的方程，然后在 奇性分解后用n y s t r o m 方法来求解相应的积分方程 3 1解的双层位势表示 散射场的数值重建考虑的是从“。到u 5 的转换 没有实际的解析式可供使用，也没有实验测量数值 u 。，然后再作反演的计算 显然可以将( 1 1 ) 写成下面的形式： 挺二一她2 心 【l i i n , , z l l 。 f i 2 ( 筹一i k u 5 ) = 0 但是从数值计算的角度来看，因为u 。 我们先从“t 和o d 作数值模拟来产生 i n r 2 d o n o d ，( 3 1 ) r = 1 i x l i 我们用密度函数的方法解( 31 ) 来得到u ”和“5 为此令 州加上。裂地黼d s ) ( 3 2 ) u ( v ) 是o d 向外的法向量，则由h a n h e l 函数的渐近展开式可得： 。一i ， u 。( ) = 二去若：k ( u ( ) ，j ) e 1 “”( g ) 如( ) ， 2 n ( 33 ) 显然( 32 ) 满足( 31 ) 中的方程和辐射条件，所以正问题求解是通过( 31 ) 中的边界条件解 ( y ) ，然后得到u 。( ) 注：这里与第二部分不同是采用了双层位势的形式，目的是为了避免再次出现正则化 求解的过程，因为此时出现的关于( 口) 的方程将是一个第二类的积分方程 3 2 一些结论 令出( z ，) ：= i 础( k l x y 1 ) 是二维h e i m h o l t z 方程的基本解，一般h a n k e l 函数的形式 是两12 ) = 士z k ，分别称为第一与第二类的h a n k e l 函数，其中 。与y 分别称为n 阶 b c s s e l 和n e u m a n n 函数，具体表达式如下： 圳= 薹揣t ”印，一叭，。，+ c s a ， 1 5 东南大学硕士论文 其中妒( p ) = ：二l 瓦1 ，p = l ，2，c 为欧拉常数 下面是一些后面将要用到的结论( 证明见 4 】) ： 引理31 1 6 n = 0 ，1 ，2 ，-f 。5 ) ( 础( _ ) ) = 一研( ) 引理32 对于二次连续的边界o d ，存在一个正的常数l ，使得： ： ：j 一x 。- - 。”州) l l l i i 。z