（应用数学专业论文）非线性微分方程三点边值问题的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程三点边值问题的正解 摘要 非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的 各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性边值问 题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前分析数学中研究 最为活跃的领域之一其中，多点边值问题来源于应用数学的各个领域以及物 理学中的模型，具有重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论，不动点理 论，拓扑度理论并结合上下解方法等，研究了几类非线性微分方程三点边值问 题解的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下四章： 在第一章中，我们综合利用s c h a u d e r 不动点定理，上下解方法和拓扑度理 论，讨论了一类二阶三点非齐次边值问题 j ( 。) + 。( ) 巾，“) = o ，。( o ，1 ) ，( p b ) l ( o ) = 0 ，u ( 1 ) 一a u ( u ) = b 正解的存在性，非存在性和多解性，其中b 0 ，0 q l ，0 o q 0 使得当0 b 扩时边值问题( 岛) 无解本章结果本质的改进了文【9 i 的结果且证 明方法也与【9 】9 明显不同 在第二章中，我们利用k r a s n o s e l s k i i d u o 不动点定理，研究了如下n 阶奇 异非局部边值问题 j t ( 2 ) + 。( t ) ，( t ，1 上) = o ，( o ，1 ) ， ( 2 1 1 ) l “( o ) = 0 ，u ( o ) = 0 ，t 扣一2 ( o ) = 0 ，口u ( q ) = “( 1 ) 正解的存在性和多解性，其中0 叮 l ，0 o 矿一 1 ，口( ) 允许在t = 0 和 曲阜师范大学硕士学位论文 t = 1 处奇异在一定的条件下，我们得到边值问题( 2 1 1 ) 一个正解和两个正 解的存在性结果本文定理在较宽泛的条件下改进和推广了文f 2 4 1 中的定理 在第三章中，通过相应线性算子的第一特征值，利用锥上约不动点指数理 论，我们研究了如下n 阶奇异非局部特征值问题 ”“( ) + 1 。( 。) ，( t “) = = o ，t e ( o ，1 ) ， ( 3 ，1 1 ) iu ( o ) = 0 ，( o ) = 0 ，“( “一2 ( o ) = 0 ，o m ( 露) = t ( 1 ) 、 正解的存在性，其中0 7 1 ，0 a q 一1 0 ，0 叩 1 ，0 q 叩 1 u n d e rt h ec o n d i t i o n so f ，i sm o n o t o n e ， w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sap o s t t i v en u m b e rb 。s u c ht h a tt h ep r o b l e m ( p b ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o r0 b b b yu s i n gs c h a u d e rf i x e d - p o i n t t h e o r e m ，t h eu p p e r - l o w e rs o l u t i o n sm e t h o dm i dt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , t h e t h e o r e mi m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h er e s u l t so f 【9 1e s s e n t m l l ya n dt h em e t h o d i ss i g n i f i c a n t l yd i f f e r e n tf r o m 【9 i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ek r a s n o s e l s k n g u ot h e o r e mo nc o n ee x p a n s i o n a n dc o m p r e s s i o n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e , ：t n dt n u l t x p l i c l t yo fp o s i t i v es o l u t t o n s 曲阜师范大学硕士学位论文 f o rac l a s so fn t h o r d e rs i n g u l a rn o n l o c a lb v p 竺0 ，篇竺0 7u 涎( n - 2 ) 0a u ( n 胁，i 珏( o ) = ，u 即) = ，( o ) = ，) = 牡( 1 ) ， w h e r e0 刁 1 ，0 a 矿一1 1 t h es i n g u l a r i t y m a ya p p e a ra t t = 0 ，1 i nc h a p t e r3 ，t h en o n l i n e a rn t h o r d e rs i n g u l a rn o n l o c a lb v p 裟+ ，景磐u ) _ - i 00 u ( n 挺- 2 ) 器0a u ( r l 4 ( 1 ， i 札( o ) = ，“，( o ) =( o ) = ，) = ) i sc o n s i d e r e du n d e rs o m ec o n d i t i o n sc o n c e r n i n gt h ef i r s te i g e n v a l u ec o r r e s p o n d i n gt ot h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r ，w h e r e0 7 7 1 ，0 0 ，0 r 1 ，0 q 卵 1 在适当的条件下，我们得到了非齐次边值 问题( r ) 正解的存在性，非存在性和多解性，主要结果本质的改进和推广了 文【9 】中的结果并且证明方法也与【9 】9 有明显的不同 本文的主要结果如下： 定理1 1 1 假设 ( 日1 ) ，：【0 ，1 】【0 ，o 。) - + f 0 ，o o ) 连续且f ( t ，u ) 关于非减； ( 4 2 ) a ：【0 ，1 】_ 【0 ，o o ) 连续且在h1 】的任一子区间上o ( f ) 不恒等于o ； ( f o = h m ，m a x o _ 吲掣= 0 ，z o o = 慨m i n o 0 ，使得当0 b b 时边值问题( r ) 无解 本定理的证明综合利用了s c h a u d e r 不动点定理，上下解方法和拓扑度理 论，证明思想来源于文【1 0 1 第一章非齐次二阶三点边值问题的正解 1 2 预备知识 引理1 2 1 【l l l 假定0 伽 1 若y ( t ) c o ，1 】，则非齐次边值问题 有唯一解 ( t ) + y ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) 一n u ( t 7 ) = b 酢卜小叫如胪禹小刊如) 如 + 南小叫如冲+ 尚 引理1 , 2 2 假设0 0 使得m c ( t ，8 ) m ，t ，8 ( 0 ，1 ) 注1 2 2 定义算子 8)a(s)f(8，u(s)幽+志，t0 【o i l 】，) = ( t ， ，u ( s ) ) 幽+ 丁兰= ：= ， 【o ，l 】， 1 一l 则u ( t ) 是( r ) 的解当且仅当u ( t ) 是算子方程u ( t ) = t b u ( t ) 的解 引理1 2 3 假定0 o 叩 0 若不然，“( 1 ) 0 ，则b = 仳( 1 ) 一a u ( u ) u ( 1 ) 一o t r u ( 1 ) = ( 1 一e f t ) u ( 1 ) 0 ，矛盾所以，u ( t ) t u ( 1 ) 0 ，0 t 1 引理1 2 4 【1 1 假定0 0 充分大，边值问题( r ) 无解 证明( i ) 设让。是边值问题 i ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 【u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) 一a u ( u ) = 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 的解，则咖2i 兰磊我们知道，t 是边值问题( p b ) 的正解当且仅当口= t 乩。 是边值问题 p ( 。) + 。( 。) 馋， + ) = o ，。( o ，1 ) ， ( 1 3 1 ) 【口( o ) = 0 ，口【1 ) 一a v ( o ) = 0 的非负解令氕t ，钍) = s u p 。9 9 m a x s ( _ t ，( 8 ，z ) ，则。l - + i m 。，m a x o 0 使 得 f ( t ，u ) a 缸，7 1 , r ，0st 1 ， 其中a 0 满足 髟g ( 7 ，s ) a ( s ) d s 1 选择充分大的自然数亿使得 6 曲阜师范大学硕士学位论文 y i l 。j j r ，则 岫) = z 1 g h 忡让小) ) d s + 禹 z 1 g ( ) n ( s ) m 胁( s ) ) d s z 1 g ( ) 吣) 地( s ) d s 犰1 1 t , 1 1j 1 1v h 咖如 i l u 。肌 。 此为矛盾证毕 1 3 ( 3 ) 上下解 下面，我们给出所考虑问题的上下解我们称z 是( 忍) 的下解，若 j 0 ) + a ( t ) f ( t ，z ) o ，t ( 0 ，1 ) ；z ( o ) 0 ，z ( 1 ) 一a 。( 叩) 6 类似地，我们称y 是( r ) 的上解，若： ! ”( t ) + a ( t ) f ( t ，y ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ；可( o ) 0 ，y ( 1 ) 一d 掣( 叩) b 引理1 3 3 设y ，z 是边值问题( r ) 的上下解且满足0 z y ，则边值 问题( r ) 存在非负解牡满足x ( t ) ( t ) s ，( t ) ，t 【0 ，1 】 证明定义辅助算子 磊( t ) = f 0 1g 0 ( 如) 。( s ) ，( s ， ( s ) ) d s + r ， 1 一o ! 订 其中 面( t ) = m a ) ( 扛( t ) ，m i n u ( t ) ，y ( ) ) ) 容易验证算子t 有下列性质： ( a ) t b 全连续； 7 第一章非齐次二阶三点边值问题的正解 ( b ) 若u = a t b u ，0 a 1 ，则0 u i l m ，其中m 0 与a 无关； ( c ) 若u 是死的不动点，则u 是死的不动点 下面我们只需要证明z u y ，因为此时面= t ，元= 死假设存在 t o ( 0 ，1 】使得u ( t o ) y c t o ) 记c = i n f t 【o ，1 】：u ( t ) 可( ) ) ，易知c o 且 t ( c ) = p ( c ) 下面我们分三种情况证明 ( i ) 存在d ( c ，1 ) 使得珏( d ) = y ( d ) 且札( t ) y c t ) ，t ( c ，d ) 此时， s ( t ，冠( t ) ) = ，( t ，z ，( t ) ) ，t ( c ，d ) ， u ( c ) = 耖( c ) ，u ( d ) = ( d ) 因此。 ( y u ) ”一口( t ) 【，0 ，y ) 一f ( t ，面) 】= 0 ，t ( c ，d ) ， ( y u ) ( c ) = ( y u ) ( 回= 0 所以，( y 一“) ( t ) 芝0 ，t ( c ，d ) ，矛盾 ( i i ) c ( o ，叩) 且u ( t ) ! ，( t ) ，t ( c ，1 】此时， s ( t ，石( t ) ) = s ( t ，u c t ) ) ，t ( c ，1 1 ；仳( c ) = ( c ) 因此， ( y u ) ”- a ( t ) f ( t ，y ) 一，( t ，司】= 0 ，t ( c ，1 】 考虑边界条件( y 一札) ( 1 ) 一q 一“) ( 叩) 0 并结合( y 一“) ( c ) = 0 ，类似于引理 1 2 3 的证明，我们得到( y t ) ( t ) 0 ，t ( c ，1 】，此为矛盾 ( i i i ) c ( 叩，1 ) 且u ( t ) ! ，( t ) ，t ( c ，1 】此时， s ( t ，面( t ) ) = f ( t ，f ( t ) ) ，t ( c ，1 1 ；u ( c ) = ( c ) 因此。 ( y u ) ”一口( t ) 【，0 ，y ) 一f ( t ，动】= 0 ，t ( c ，l 】 由c 的定义知乱0 ) 0 ) ，t f 0 ，c 】，同时 一仳) ( 1 ) ( 6 + 口( 叩) ) 一( 6 + n 钍( 叩) ) = o 白一u ) ( ，7 ) 0 ，并结合y 一“的凸性，我们得到( y 一钍) ( t ) 20 ，t 0 ，1 】，此 为矛盾 8 曲阜师范大学硕士学位论文 由以上论证，我们得到u ( t ) f ( t ) ，t f o ，1 】同理可证u ( t ) z ( t ) ，t 【0 ，1 】利用( a ) ，( b ) ，( c ) 并结合l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论我们得到算子t 的 不动点本引理证毕 引理1 3 4 假设边值问题( r ：) 存在非负解且0 b 1 0 ：( p b ) 有正解) ，6 = s u p r ，则0 b o o 利用引理1 3 2 和a r z e l d - a s c o l i 定理，我们易证b f 至此，我们已证当0 b 时边值问题( r ) 无正解设矿是( b ) 的正 解，则对0 b b ，u 是( r ) 的一个上解，0 是( b ) 的个下解，从而由引理 1 3 4 知边值问题( b ) 存在正解且0 u b u + 下面我们利用拓扑度理论去 证明( r ) 第二个正解的存在性令q = u c o ，1 】：0 u p 1 使得 d e g ( i d f b ，b ( u b ，化) ，0 ) = 1 ，( 1 3 3 ) 9 第一章非齐次二阶三点边值问题的正解 其中b ( u b ，比) 是以u b 为心以r 为半径的开球由极大值原理，r 在百瓦i 两q 中没有不动点若见在a q 上有不动点，则，= f b ，我们得到了( r ) 的第二 个正解否则，由l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度理论，d e g ( i d f b ，q ，0 ) 是有定义 的，通过( 1 3 3 ) 和切除性得到d e g ( i d r ，q ，0 ) = 1 而f b i n = t b i n ，从而 d e g ( i d t b ，q ，0 ) = 1 ( 1 3 4 ) 其次，由引理1 3 2 知( r ) 的所有正解有界令- b 充分大使得( 斥) 无正 解，则d e g ( i d 一，b ( o ，戊) ，0 ) = 0 利用同伦不变性 d e g ( i d t b ，b ( o ，p z ) ，0 ) = 0 ( 1 3 5 ) 最后，由( 1 3 4 ) ，( 1 3 5 ) 和切除性得到 d e g ( i d 一死，b ( 0 ，见) 孬，0 ) = 一1 这样我们得到了( r ) 的第二个正解定理1 1 1 证毕 注1 3 1 通过类似但复杂的论证，定理1 1 1 对m 一点非齐次边值问题 f 让”( t ) + a ( o y ( t ，乱) = 0 ，t ( o ，1 ) ， 1 “( o ) ：o ，钍( 1 ) 一銮z 叱“( ：6 其中b 0 ，a 。 0 ，0 1 ，( 。= 1 ，2 ，m 一2 ) ，0 ；m ：- - 1 2 啦6 1 仍然 成 1 0 第二章非线性n 阶奇异非局部边值问题的正解 2 1 引言 考虑下列n 阶奇异非局部边值阿题正解的存在性和多解性 o ) + “d ，( t 哪_ 0 ，t e ( 0 , 1 ) ， ( 2 1 1 ) iu ( o ) = 0 ，, t ( o ) = 0 ，仳n 。2 ( o ) = 0 ，a u ( o ) = ( 1 ) ， 。 其中o 叩 1 ，0 o t 矿1 1 ，a ( t ) 允许在t = 0 ，1 处奇异 非续i 生边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目 前分析数学中研究最为活跃的领域之一，许多作者研究了二阶或高阶( 奇异) 边值问题正解的存在性，见文【1 9 ，1 1 ，1 2 ，1 7 - 1 9 】及其参考文献非线性微分 方程非局部边值问题来源于应用数学的各个领域以及物理学中的模型，奇异非 局部边值问题的研究始于【2 7 2 9 】最近，文【2 4 】研究了扎阶微分方程 “( t ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 )( 2 1 2 ) 在非局部边界条件下 u ( o ) = 0 ，让( o ) = 0 ，u ( ”2 ( o ) = o ，a u ( 叩) = u ( 1 )( 2 1 3 ) 正解的存在性，其中0 7 1 ，0 a 矿- 1 1 在a 非奇异，超线性或次 线性的条件下，利用锥上的k r a s n o s e l s k i i g u o 不动点定理，文( 2 4 得到了边 值问题( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 一个正解的存在性结果， 受以上文章启发，在较广泛的情况下，我们研究n 阶奇异非局部边值问 题( 21 1 ) 正解的存在性和多解性本文主要结果和推论改进和包含了文【2 4 】 的结果本文的主要工具是下面的k r a s n o s e l s k n g u o 不动点定理 引理2 1 1 【1 3 1 设q l ，q 2 是b a n a c h 空间e 中的有界开集，0 n 1 ，豆lc 吼，p 是e 的一个锥，a ：pn ( 2 q 。) _ p 全连续，满足下列条件之一： 第二章非线性n 阶奇异非局部边值问题的正解 ( a ) z p n o f t l 时，l i a x l isl i x l l ；z p n a 2 z 时，i i a x l i i i x l l ； ( b ) 。p n a q l 时，i i a x l l l i x l l ；z p n a 2 2 时，i i a z i | i i z l l ； 那么a 在p n ( 砭q 1 ) 内必有一个不动点 令g 是方程就( “( t ) = 0 在边界条件( 2 1 3 ) 下的g r e e n 函数，则 一= 咖( s ) t - - 1 蒜 0 t 8 1 ( 2 1 4 ) 0 8 t 1 ， 蜒， 叩s1 一o z r l n 一1 。一“ 坠尘二黑型二，。町1 1 一a 竹n 一 一。 易知 g ( t ，8 ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，8 ( 0 ，1 ) 引理2 1 2 假定0 8 矿一1 1 若u 满足钍( ”( t ) 0 ，0 t 0 且fg ( s ) a ( s ) d s + o o ( t 1 4 ) 0 f o l ，z 氏o 。 ( 日5 ) l 矗0 0 ，0 ，0 。 0 使得f ( t ，u ) l p ，7 p u p ，t 【7 7 1 ，叩2 】 其中 l ：= ( z 1 9 c s ，。c s ，d s ) 1 ，z ：= ( 7 2 z ? 2 9 c s ，。c s ，d s ) 一1 ， f 。= l i m s u 噬m | 0 a x 。】掣，口_ 0 + 问 f ，= h m i n f 。溉掣，卢甜问 由( 风) 知，存在伪，抛：qs 功st o 啦 0 ，t ( 印1 ，啦) 且0 j 署口( s ) 口( s ) d s + o 。在引理2 1 2 的条件下，我们有m i n 炬q 。1u ( t ) 圳“m 令e = c o ，1 】，对于仳e ，定义| | u i | = s u p 蚝阶】i u ( t ) i ，易知( e ，i i ) 为 实b a n a c h 空间令p = 札e ：u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】，m i n t ：1 钆( t ) f l l , u l l ， 则p 是e 中的锥定义算子a ：p _ e 为 a u ( t ) = 一g ( t ，5 ) o ( s ) ，( 剐l ( s ) ) d s( 2 2 i ) 1 3 第二章非线性n 阶奇异非局部边值问题的正解 由( 日1 ) 一( 凰) 和c ( t ，8 ) 的性质可知算子a 是有意义的众所周知，奇异边 值问题( 2 1 1 ) 的正解等价于a 在尸中的不动点 引理2 2 1 假设( 日1 ) 一( 凰) 成立，则ap _ + 尸全连续 证明由( 日1 ) 一( 风) 和( 2 2 1 ) ，我们知道a u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】v u p t 【0 ，1 】， 刖牡0 1i g s ) | m ，让) d s z 1 小) ( s ) m ，u ( s ) ) d s 从而， j i a u l i g ( s ) a ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s ( 2 2 2 ) 另一方面，根据( 2 1 5 ) 和( 222 ) 有 r 1 。盟i n ，a u ( t ) = m i n ，i g ( t ，s ) l a ( s ) f ( s ，“( s ) ) d s t h l ，口1 t e q l ，】j o 、。“ 4 r 1 2 ，y g ( s ) a ( s ) f ( s ，乱( s ) ) d s y l i a t i i 所以，a ( p ) cp 下证a ( p ) c 尸全连续 ( t ) = m 。( ) ， 耐 易知a 。c ( o ，1 ) 有界且 定义a n ：( 0 ，1 ) - 巩。( 孙 巩。( 睾) ) ， 0 ，+ 。) 为 o t ! 三 z 竺兰 ! 生 t 0 ，根 据( 221 ) ，( 2 2 3 ) ，( 22 4 ) 和9 ( s ) n ( s ) l 1 ( o ，1 ) ，有 u 一州圳= l z l g s ) 【。( s ) 一嘶) 】，( s 吣) ) d s l s i f o ；g ( t , s m 一嘶， ，幽i + l 名嘶一嘶帅删j m 协s h + 乓如叫圳d s - 0 m - o o ) ， 其中m = m a x t e o ，1 】# e o ，捌f ( t ，z ) 所以，当n _ o o 时，a 。在b r 上一致收 2 3 主要结果 定理2 3 1 若条件( 矾) 一( 凰) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 至少有一个正 解 证明因为0 ，o 0 和0 e l l 使得f ( t ，u ) 一e 1 ) u ，0 t 1 ，0 u m 令q l = 扣ee ：l t u l l m a ) ，则对任意的 u e p n 0 9 t x ，i a u ( t ) g ( s ) a ( s ) f ( s ，乱( s ) ) d s j 0 s ( l e 。) 1 1 u l i 厂1g ( 8 ) 。( 。) d 。 i l u l l ，t o ，1 1 1 5 第二章非线性n 阶奇异非局部边值问题的正解 从而， l i a , , i l 0 使得，( ，) 2 ( 1 + e 2 ) 让， vu 一m 2 ，t 嘲令尬= m a x 2 m l ，孕) 和q 2 = u e ， i m i 从而， l i a u l l l m i ，钍p 1 3a q 2 ( 2 3 2 ) 利用( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 和引理21 1 ，a 至少有一个不动点4 pn ( - 2 q 1 ) 且0 0 ，所以矿是边 值问题( 2 1 1 ) 的正解 定理2 3 2 若条件( 风) 一( 凰) 和( 风) 成立，则边值问题( 211 ) 至少有 一个正解 证明因为z 0 和3 0 使得f ( t ，u ) ( f + e 3 ) u ，v0 i | “jj ，尸n 0 1 2 i ( 2 33 ) 因为0 ，o o o 和0 9 4 m a x m a ，詈，井令2 趾e ：i l u l i u 4 1 ，则v 仳p n 拂“ i i a u l l ，1g ( s ) ( s ) ，( s ，u ( s ) ) 如 z 1 如) 巾) 【m + ( 咱) 尬】d s 工尬z 1 郎) 。( s ) d s 吨批一z 1 如) 。d s 因此， a u i f f ，u p n 掰2 1 ( 2 3 4 ) 根据( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 和引理2 1 1 ，a 至少有一个不动点矿+ pn ( _ 4 q 3 ) ，即 边值问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解证毕 下面的推论2 3 1 和2 3 ，2 是定理2 3 1 和2 32 的直接结果 推论2 3 1 若条件( 日1 ) 一( 凰) 成立，则对任意的a ( 忐，专) ，特征值 问题 ”( ) + a 。( ) ， ，“) = o ， 。( o ，1 ) ， ( 2 3 5 ) i ( o ) = 0 ，( o ) = 0 ，u ( n - 2 ( o ) = 0 ，伽( 卵) = u ( 1 ) 至少有一个正解，其中0 叩 1 ，0 “矿- 1 1 1 7 弟二苹非线性n 阶奇异非局部边值问题的正解 推论2 3 2 若条件( 风) 一( 风) 和( 风) n z , 2 ，则对任意的a ( 去，声) 特征值l ；- j 题( 2 3 5 ) 至少有一个正解 定理2 3 3 若条件( 日) 一( 风) 和( 矾) 一( 7 ) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 至少有两个正解 证明首先，由于i o = o o ，存在r 10 r 】 l u ，0 l l u l l ，珏p n a q l ( 2 36 ) 其次，因为厶= o 。，存在- 2 p 使得f ( t ，“) l u ，u 砭，t c 叩1 ，嘲令r 2 = 粤，q 2 = “ei i l l l 竹忻小m 洲， = l t u , 1 1 ， i | a 札| | i | 让l l ，u p n a q 2 ( 2 3 7 ) 再次，令q 3 = 乱el i u i 订vu pno t i s ，由( h 7 ) 得到 rc t ，u ( 0 ) l p ，t 【0 ，1 】，所以 因此， t a “i is f o lg ( s ) 。( s ) ，( s ，让( s ) ) 出 却z 1 如m s ) d s = p = i i “ a u l i i i u mu p n a q ( 2 3 8 ) 最后，利用( 23 6 ) ，( 2 37 ) ，( 2 3 8 ) 和0 月l p r e ，a 有不动点 矿p n ( 豆3 q 1 ) 和u + + p n ( 醌q 3 ) 且满足0 l u | l p 0 充分小通过计算，有 。 z 1 小m s z 1f 巾) d s = 0 充分大通过计算，i i 哩雀掣= ，l i m 锷坐= 0 由定理2 32 ，边值 “_ u 一 “+ o 。 问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解t _ n 2 4 】中定理虿再适用因为。h - + m 。掣= p o o 例2 3 3 取 。o ) = 史二j 磊掣，( t ，“) = u 2 + l + ( + ；) ( s i n 钍) ， 则f 0 = + o 。，k = + o 。，0 = f 夕( 8 ) o ( 8 ) d s 片丌啬褊o ( s ) 如 = 击，l 1 0 另一方面，选取p = 1 ，则v ( t ，“) 【0 ，1 】x 【0 ，州，f ( t ，u ) 1 2 + 1 + ； l p ，从而由定理2 3 3 知，边值问题( 21 1 ) 至少有两个正解 注2 3 1 若y ( t ，u ) = ，( ) ，非奇异，则本文定理2 31 和2 3 2 改进和 推广了文f 2 4 】的定理，且本文在较宽泛的条件下得到了更广泛方程的奇异非局 部边值问题的多解定理2 33 和2 34 ，故本文包含的内容更丰富。也更实用 第三章非线性n 阶奇异非局部特征值问题的正解 3 1 引言 考虑n 阶奇异非局部特征值问题 i u n ( t ) + a n ( t ) ，( t ，u ) = 0 ，te ( 0 ，1 ) ， 【让( o ) = 0 ，( o ) = 0 ，( ”2 ( o ) = 0 ，e ( 7 ，) = u ( 1 ) ， 、 其中0 叩 1 ，0 口矿一1 0 a ( t ) 允许在，= 0 ，1 处奇异，f ( t ，u ) 、 允许在t l = 0 处奇异利用锥上的不动点指数理论j p 结合考虑相应线性莽子的 第一特征值，我们得到了特征值问题( 3 1 1 ) 正解的存在性结果 本章是对第二章的深化和继续，证明方法与第二章有很大不同 3 2 预备知识 令e 为一b a n a c h 空间，k 足e 中的锥对于0 r r + o o ，令 j 0 = “k ：i i 牡0 0 且 广l g ( s ) o ( s ) d s + o o j 0 ( 日2 ) ，：【0 ，1 】( 0 ，o o ) - + 【0 ，o 。) 连续且对0 r r + o 。， ， j m s u p 9 ( ) n ( s ) ，( 即，( - ) ) r 口0 ， “ - h o du 霄小rj h ( n ) 其中h ( n ) = 【0 ，i 1 】u ( 警，l l ，坼= 让k ：l l u l i 0 ，( 仉6 ) 且0 e9 ( s ) ( s ) d s 0 ，我们首先证明 ，l s u pa g ( s ) a ( s ) f ( s ，让( s ) ) 幽 + o o ( 3 2 4 ) u e a k rj o 根据( 岛) ，存在自然数! 使得 s u pa g ( s ) n ( s ) ，( s ，札( s ) ) d q 0 ，我1 证明a k r k , - h 全连续 第三章非线性n 阶奇异非局部特征值问题的正解 设t ，i ，伽耳冗j 0 且i i “。一撕0 - 0 ( ；r t ) v 0 ，根据( 阮) ，存 在自然数m 0 使得 s u p a 厶f m ) g ( s ) n ( s ) m ，u ( 9 ) ) 幽 0 ，存在自然数，当 n 时，有 a 丘”g ( s ) 。让小) ) - ，( 蛐) k ； ( 3 26 ) 由( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，当n n 时， i i a 牡。一a u o l i 2s u p af 9 ( s ) n ( ) _ r ( t l o ( s ) ) r f s u 霄小j f ， jh i ，n ) r 譬 + a 9 ( s ) o ( s ) i ，( s ，。( ) 一，( 8 ，札o ( s ) ) ) id s ，击 0 ，由( 飓) 知存在自然数七使得 s u p 、。af n ( k ) g ( s ) n ( s ) ，( s ，( s ) ) ，f s 0 ，存在f 0 ，当i t t l ，7 【0 ，l 】时，固