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北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 非线性偏微分方程的孤立波解 摘要 非线性动力学是非线性科学的一个重要分支，而非线性偏微分方 程的精确求解及其解法研究又是非线性动力学的一个主要内容。非线 性偏微分方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研 究课题和热点问题，极具挑战性。目前虽然已经提出和发展了许多求 非线性偏微分方程精确解的方法，但由于求解非线性偏微分方程没有 统一而普适的方法，继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重 要和极有价值的工作，本文在较全面总结、归纳和分析现有各种求解 非线性偏微分方程的主要方法的基础上，提出了一种求解非线性偏微 分方程精确解的新方法，并用这些新方法求解了许多物理和力学中非 常重要的非线性偏微分方程，得到了这些方程的若干精确解，不但包 含了已有的结果，而且还有许多新的结果，丰富和发展了非线性偏微 分方程解法研究的内容。本文的工作具有较大的理论意义和应用价 值。 全文分5 章。第一章为绪论，简要地回顾了非线性偏微分方程 发展的历史，对非线性偏微分方程未来的发展和应用前景做出了展 望。第二章较全亟地归纳和总结了国内外所提出的求非线性偏微分方 程精确解的一些主要方法，扼要的介绍了本文研究的目的和主要内 容。第三章提出了一种求解非线性偏微分方程新的方法一一简单方程 i 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤讧波解 法，并利用此方法求解了s k 方程。第四章利用酷c k l u n d 变换方法对 b u r g u r s 方程进行处理并得到双线性形式，利用试探函数法求出这个 方程的单孤子，双孤子和三孤子解，讨论了它们的碰撞与聚合。第五 章利用首次积分法求出了一个非线性偏微分方程的精确解最后对本 文的工作进行了总结，并对今后的研究方向做出了展望。 关键词：精确解简单方程法p a i n l e v 色分析h i r o t a 变换 b a c k l u n d 变换 i v 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 s o l i t o ns o l u t i o n so fn o n u n e a rp ! f 蝴l 气l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t n o n l m e a rd y n a m l c si so n eo ft h e1 m p o n a n tb r a n c h e si i ln o n l i n e a r s c i e n c e ，w h e r e a ss t u d yo nh o wt os o l v e n o n l i n e a rp a r t i a ld i 疵r e n t i a l e q u a t i o n si so n eo ft h em a i nc o n t e n t si i ln o n l i n e a rd y n a m i c s a sal e a d i n g s u b j e c ta n dh o ti n t e r e s ti i ln o n l i n e a rs c i e n c e ，s t u d yo nt h es o l u t i o nm e t h o d o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i 骶r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m em o r ea n dm o r e c h a l l e n g i n g a tp r e s e n t ，a l t h o u g han u m b e ro fm e t h o d sa r ep r o p o s e da n d d e v e l o p e dt ol o o kf b rt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f e e r e n t i a l e q u a t i o n s ，u n f o r t u n a t e l y ， n o ta l lt h e s ea p p r o a c h e sa r e u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l ef b rs o l v i n ga l lk i n d so f n o n l i n e a rp a n i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d i r e c u y a - sac o n s e q u e n c e ，i ti ss t i l l av e r ys i g n i f i c a n tt a s kt o g oo n s e a r c h i n g f o rv a r i o u s p o w e r f u l a n de f f i c i e n t 印p r o a c h e s t os o l v e n o n l i n e a rp a n i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n s ，i nt h i st h e s i s ，b a s e do nac o m p l e t e s u m m a r ya n de x a m i n a t i o no ft h em a i nm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a r p a n i a ld i f l e r e n t i a le q u a t i o n s ，af e wn e wa p p r o a c h e sa f ep r o p o s e dt os e e k t h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a n i a ld i f & r e n t i a le q u a t i o n s b ym a k i n g u s eo ft h e s ea p p r o a c h e dp r o p o s e db yu s ，av a r i e t yo fe x a c ts o l u t i o n st o m a n yp h y s i c a l l ys i g n i f i c a n tn o n l i n e a rp a r t i a ld i 骶r e n t i a le q u a t i o n sa r e e a s i l yp r e s e n t e d a m o n gt h e s es o l u t i o n ss o m ea r ei nv e 巧g o o da g r e e m e n t w i t ht h o s eo b t a i n e di no t h e rl i t e r a t u r e s ，a n ds o m ea r en e wo n e sw h i c hc a n n o tb ef o u n di nt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e st ot h eb e s to fo u r k n o w l e d g e t h e s t u d i e sa r eo fm o r ep r o f o u n d l yt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n di m p o r t a n t a p p l i c a t i o nv a l u e t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r y o ft h ed e v e l o p m e n tf o rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sl o o k e d v 北京邮电大学硕士学位论文 非线性偏微分方程的孤吲皮解 b a c ko n ，a n dt h en o n l i n e a rp a n i a ld i f i e r e n t i a l e q u a t i o n sn l t u r ei s p r e d i c t e d i nc h a p t e rt w o ，t h em a i nm e t h o d sf b rs o l v i n go fn o n l i n e a r p a n i a ld i 骶r e n t i a le q u a t i o n sa r es u m m a r i z e d ，a n dt h ep r i m a 巧c o n t e n t so f t h i sd i s s e n a t i o na r er e p o r t e da sw e l la s i nc h a p t e rt h r e e ，an e wa p p r o a c h c a l l e dt h es i m p l ee q u a t i o nm e t h o di sp r o p o s e dt os o l v en o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n db yu s i n gi t ，t h es ke q u a t i o ni ss o l v e d i n c h a p t e rf o u r ，b 矗c k l u n dt f a n s f o r m a t i o ni su s e dt od i s c u s sb u i g u r se q u a t i o n ， a n ds i m p l es o l i t o ns o l u t i o n ，t w os o l i t o ns o l u t i o na n dt h r e es o l i t o ns o l u t i o n o ft h e e q u a t i o n a r e o b t a i l l e d a p p l y i n g t h e r e s u l t s ，w es t u d yt h e p h e n o m e n o no ft h es o l i t o nf i s s i 伽a n df u s i o n i nc h a p t e rf o u r ，o n eo ft h e m a i nm e t h o d sf 6 rs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f l e r e n t i a le q u a t i o n s - t h e f i r s ti n t e g a lm e t h o di su s e dt os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i 置眙r e n t i a ld i f u s e d e q u a t i o n s ，a n ds o m en e we x a c ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e d a l tl a s t ，t h ew o r ko f t h i sd i s s e f t a t i o ni ss u m m a r i z e d ，a n df u r t h e rw o r ki i lt h ef u t u r ei s p r o p o s e d k e yw o r d s ：e x a c ts o l u t i o n ；t h e s i m p l ee q u a t i o nm e t h o d ；p a i n l e v 色 a n a l y s e ；h i r o t at r a n s f o r m a t i o n ；b 萏c l ( 1 u n dt r a n s f o 咖a t i o n 北京邮电大学硕士学位论文非线硅偏微分方程的孤立波解 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：筇拗垂乒日期：丝旦盘：i ：兰z 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位 本人签名： 导师签名： 日期：型：兰：兰z 日期：垫巫阿 n 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 第一章绪论 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科。非 线性科学几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并且正在改变着人们对现 实社会的传统看法，被誉为2 0 世纪自然科学的“第三次革命。 在数学上，线性微分方程和非线性微分方程之间有着本质上的差别，主要 表现为一个线性微分方程的任意两个解叠加在一起仍然是该方程的解，即对线性 微分方程来说，其解满足叠加原理，它为解决“线性 问题提供了一个思路，即 可以把整个问题分成若干个“小 问题，再把各个“小”问题的解叠加起来得到 整个问题的解，这就为解决线性问题提供了一个非常有效的方法；但是对于非线 性微分方程来说，叠加原理却是不成立的，因此对于非线性微分方程来说尤为麻 烦，对于非线性方程只能整体的分析其特征，传统的傅立叶变换方法也不再适用 于分析非线性系统。非线性科学的诞生，例如混沌，它起源于非线性系统对于初 始条件的极端敏感性，即初始条件的一个微小变化，都可能造成系统在以后时刻 行为的巨大差异，“蝴蝶效应”即是如此，因而一个决定论系统的行为如果处于 混沌状态是随机的。 随着生产实践和科学技术的迅猛发展，非线性科学在各领域内得到了广泛 的应用，并取得了一系列可喜的成果，这使得微分方程也越来越与其它学科密 切相连物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多 原理和规律都可以描述成适当的微分方程，如万有引力定律、机械能守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨跌趋势、利 率的浮动、市场均衡价格的变化等甚至有些领域的基本方程就是常微分方程或 者偏微分方程，如流体力学中的连续性方程、电磁学中的麦克斯韦方程、大气动 力学中的天气预报方程等此外，热量传递和动量传递、石油勘探开发、煤层气 的开发利用、核废料的处理、水资源的利用以及通讯电子中的一些理论问题都需 要借助于微分方程来研究微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学， 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域 3 北京邮电大学硕七学位论文非线性偏微分方程的孤、l 波解 近2 0 年来非线性科学的迅猛发展，很大程度上归功于计算机的进步和使用， 2 0 世纪初p o i n c a r e 就发现了混沌现象，但是对混沌的深入研究，则起始于2 0 世纪七十年代，具有推动性意义的发现有：1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n t z ，在 计算具有耗散性的自然对流系统的方程时，得到了一个所谓的l o r e n t z 吸引子 费根鲍姆也是通过计算机得到所谓的费根鲍姆常数再如孤立波的发现早在 1 8 3 4 年，但是长时间里人们无法理解这种奇特现象，虽然1 8 9 5 年荷兰科学家 d j k o r t w e g 与g d ev r i e s 在研究长波近似下浅水波的运动方程时，得到一个非 线性方程，即k d v 方程，并且用解析的方法给出了孤立波解，但是孤立子的研究并 没有得到深入的发展，直到1 9 6 5 美国科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 在计算机上模拟 了孤立波，孤立子立即成为了非线性科学研究的热点，并且在实验上已经发现了 孤立波 卜2 非线性科学中有三大研究领域一孤立子，混沌和分形，这三者之间互相 促进，互相联系孤立子理论是非线性科学中的一个重要研究分支，其原因是因为 孤立子现象无所不在，从天上涡旋星系的密度波，海上的冲击波，激光传播，非线 性传输线，基本粒子，等离子体以及流体力学等，都与孤立子有关，孤立子理论自 1 9 6 5 年由n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 将他们发现的孤立波命名为孤立子 ( s 0 1 i t o n ，简称为孤子) 1 以来，得到了迅猛的发展，其发展大致分为三个阶段 第一阶段：主要在十九世纪最早讨论孤立子问题的是英国科学家，造船工 程师j o h ns c o t tr u s s e l l 1 8 4 4 年9 月，它在英国科学促进协会作了题为 的报告，报告中讲述了1 8 3 4 年8 月，它在运河里观察到的一种奇特的水波现 象，即由两匹马拉着船在离e d i n b u r g h 有6 英里的一条狭窄的运河中行驶，当船突 然停止前进时，运河中被船推动的水并没有停止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船 头，然后以巨大的速度滚滚向前，且保持着巨大的，轮廓分明的，光顺孤立的峰状 外形，显然它不改变形状和速度，沿运河继续前进他骑着马跟踪了一至二英里远， 在运河的拐弯处，这种孤立行进的水峰终于消失了j s r u s s e l l 把种种始终保 持在水面上，向前平移的孤立水峰，叫做孤立波在此之前，不曾有人想到能有孤 立波，这是r u s s e l l 首次发现的奇特而诱人的水波现象当时j - s r u s s e ll 认 识到孤立波是具有关键性质的新现象，新事物，他本人为揭示孤立波的本质花费 了毕生大部分精力，进行了很多实验，也猜想过孤立波形的解析形式，但遗憾的是， 4 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 由于受当时科学水平的限制，在他的有生之年，无法从理论上对他在1 8 3 4 年观察 到的孤立波现象给以圆满的解释。1 8 9 5 年，即6 0 年之后，荷兰科学家d j k o r t w e g 和g d ev r i e s 给出了描述这种现象的运动方程( k d v 方程) ，在理论上证明了 j s r u s s e l l 观察到的孤立波的存在性 第二阶段：大致可划在1 9 5 5 一1 9 7 5 年，1 9 5 5 年，a f e r m i ，j p a s t a ，a u l a m ( f p u ) 用计算机计算了一维非谐晶格的实验研究在实验中，他们取了6 4 个点， 初始时刻能量集中在某几个振子上，其余的能量为零，根据经典理论，他们预料， 随着时间的增加，能量将会均匀分配但实际计算的结果与他们预料的相反：经过 很长时间后，能量的分布几乎又回到了初始分布的状态：再计算下去过程近似于 重复这就是著名的f p u 问题。为了能从理论上正确解释f p u 问题，n j z a b u s k y 和m d 1 ( r u s k a l 从连续体的观点研究了f p u 问题，得到了孤立波解从而表明 在流体力学以外的物理领域也出现了孤立波，使f p u 问题得到圆满的解释，从而 激发了人们研究孤立波的浓厚兴趣 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y 瑚把s i n e _ _ g o r d a n 方程的孤立波解作为物质基本 粒子的一个模型，用计算机实验来研究这种模型的基本粒子在碰撞使如何散射 计算结果表明：孤立波并不散射，在碰撞后与碰撞前有同样的波形和速度1 9 6 5 年，n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 把k d v 方程用于等离子体波的研究，借助电 子计算机详细的考察了等离子体中孤立波的互相碰撞，发现了孤立波经碰撞不改 变波形和速度的非常稳定的奇特性质，正像物理上的粒子一样虽然孤立子来源 于k d v 方程的孤立波，随着研究的深入发展，人们很快发现，除k d v 方程外，许多具 有物理意义的重要的非线性演化方程都具有孤立子解，如s i n e g o r d a n 方程，非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程，h i r o t a 方程和b e n j a m i n o n o 方程等 第三阶段( 1 9 7 3 一) ：把孤立子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天文 学等各个领域1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c ad 问世，同时，开展了高维孤立子， 离散孤立子和光纤孤立子等问题的研究 许多物理上重要的非线性系统都具有孤立子解，而非线性系统一般都是由 非线性偏微分方程来描述的，因而非线性偏微分方程的求解和其解的性质的研 究成为了理论和实践中一个备受关注的研究课题微分方程的显式解，特别是 行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等但是由于非线性偏微 5 北京邮电大学硕：仁学位论文 非线性偏微分方程的孤屯波解 分方程的复杂性，至今仍有大量的微分方程无法求出精确解虽然已经求出很 多微分方程的精确解，但是求解方法也各有各的技巧，至今尚无一般的求解方 法值得庆幸的是孤子理论中蕴藏着一系列构造显式解的方法，如反散射法 ( i s t ) 3 6 、b a c k l u n d 变换法 7 一1 3 、d a r b o u x 变换法 7 ，9 ，1 4 1 7 、h i r o t a 双线性法 1 8 3 3 、延拓法 3 4 、p a i n l e v 6 分析法 3 5 3 9 、l i e 群法 4 0 一4 7 、 c k 直接方法 4 卜4 6 等随着各种求解办法的不断出现，不但过去难以求解的 方程逐渐得到了解决，而且不断发现非线性偏微分方程有意义的新解近年来 随着计算机的发展和m a p l e 、m a t h e m a t i c a 等符号运算系统的出现，给我们求解 非线性偏微分方程带来了极大的方便 经过最近这几十年的发展，在广大科学工作者的努力下，已经逐渐建立了较 为系统的数学和物理的孤立子理论。 孤立子理论概括如下： 1 、 孤立子是某些非线性发展方程所具有的在空间不弥散的特定的波动解。 由于这些方程中的非线性项和色散效应之间的巧妙平衡，导致波在传播过程中保 持形状不变，其能量始终集中在狭小的空间范围。 2 、两个孤立子相互作用出现弹性散射现象：它们在相互碰撞时保持稳定， 波形和波速在碰撞后能恢复到原状；孤立子具有许多粒子所具有的其他特性，如 具有能量、动量、质量这些粒子属性；孤立子在外力作用下的运动服从牛顿第二 定律，因此孤立子兼有波动和粒子的双重属性。 3 、 不同类型的具有孤立子解的非线性方程，其孤立子解的波形和特性互异， 这就呈现出丰富多彩的孤立子形态。 4 、除了一维的孤立子，还有二维的涡旋解，三维空间的磁单极解等。 5 、 孤立子的行为是十分生动和异常复杂的。如孤立子的产生和湮灭；异相 孤立子的相互排斥；同相孤立子的相互吸引、往返穿行；非传播孤立子的纵向静 止；多维孤立子的坍塌；光通讯中的孤立子串或孤立子解群的相互作用等等。 6 、具有孤立子解的方程存在无穷多守恒率。因此，孤立子方程是完全可积 的无限自由度的哈密顿系统。 7 、 为了求解如k d v 方程一类的非线性方程，发展了逆散射方法，b a c k l u n d 变换方法，数值方法，符号运算等数学物理方法。深入研究非线性发展方程的代 6 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 数几何性质时，用到了较高深的对称方法，代数工具。在高维孤立子理论中，将 会用到很多微分几何的理论和方法。因此孤立子理论是现代应用数学和数学物理 的一个重要组成部分。 8 、 推进孤立子理论不断深入的原因之一是其巨大的应用潜力，除了物理中 的光孤子通讯理念外，在生物过程中孤立子的激发占有重要地位。现在人们已经 十分重视研究在化学和其他局部作用中激发起来的孤立子。 9 、科学家们还运用孤立子理论解释经典理论所不能很好解释的一些问题。 如通过激光光束在非线性介质中自聚焦产生的孤立子的行为特性，可以成功地解 释激光打靶中形成的密度坑与红外线的外移等。 孤立子的非凡性质及其与数学描述有关的丰富结构，对很多物理根源和广拓 的应用领域都有深刻意义，非线性科学也愈来愈展现着他的独特的魅力，在不久 的将来，非线性的发展必然会走上一个崭新的台阶 本论文基于非线性偏微分方程和孤立子理论，在总结若干解法的基础上，利 用简单方程法求解了s k 方程，利用b a c k l u n d 变换得出b u r g u r s 方程的双线性形 式和孤立子解，并讨论了孤子间的碰撞 7 北京邮电大学硕士学位论文 非线性偏微分方程的孤市波解 第二章求解非线性偏微分方程的若干方法 2 1 反散射方法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g i ( m ) 发现可以用 s c h 6 d i n g e r 方程的反散射理论求解k d v 方程的初值问题，他们首先对k d v 方程 作m i u r a 变换 h = 一化+ y 2 ) ， 这个m i u r a 变换可看成为关于v 的r i c c a t i 方程，再令 ，一叽妒并引 入谱参数a ，m i u r a 变换线性化为一维定态的s c h 6 d i n g e r 方程 妒。+ “o ，f ) 一九妒 如果方程的势函数u ( x ，t ) 按照k d v 方程随时间t 演化，那么谱参数a 就是与时 间无关的，并且本征函数妒随时间的演化满足方程 妒，+ 妒。一3 ( a 一比) 妒，一0 于是他们由量子力学中的s c h 甜i n g e r 方程的正散射方法得到t = o 时刻的势函数 u ( x ，0 ) 的散射数据s ( 0 ) ，再构造出散射数据随时间演化的常微分方程组，解得t 时刻的散射数据s ( t ) ，由此还原出s c h r 6 d i n g e r 方程的势函数u ( x ，t ) ，即得k d v 方程的解，其图示如下 正散射变化 专s ( o ) 散射数据的时间演化 反散射变化u ( x ，t ) + 一 s ( t ) 此外他们还发现k d v 方程存在无穷多个守恒律的特征。 g g k m 等人提出的反散射方法已被成功的应用到了其他的非线性发展方程中，并 8 北京邮电大学硕士学位论文 非线性偏微分方程的孤立波解 使得逐渐形成为一种系统的求解方法，这一方法有其严格的物理背景和数学严谨 性，而且可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解，一般 说，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及所对应的离散谱，连续谱 等散射数据称为正散射反之给定散射数据，要求恢复谱问题的位势称为反散射问 题，用反散射方法求解非线性偏微分方程的主要步骤是先从目标方程相联系的线 性问题出发将所求的位势归结为g e l f a n d l e v i t a n m a r c h e n k o ( g l m ) 线性积分方 程，并建立散射数据与时间的关系，然后由g l m 积分方程的解来获得非线性偏微 分方程初值问题的解。反散射方法利用了大量的分析技巧和算子谱理论分析的有 关知识，已被大家认为是非线性方程的f o u r i e r 分析方法。a l b o w i t z ，k a u p ， n e w e l l 和s e g u r ( a i ( n s ) 则建立了更一般的反散射框架包括了k d v ，m l ( d v ，耦合 k d v ，s i n e g o r d o n 和n l s 等方程，甚至已推广到了高维和离散情形。目前，仍有 许多学者对反散射方法作各种推广，例如：b o i t i 等考虑了二维不衰减势非静态 s c h r o d i n g e r 方程的反散射理论；s t e u d a l 和k a u p 研究了有限区间上的反散射问 题；曾云波，林润亮和马文秀成功的运用反散射方法求解了具自容源的方程族； 陈登远，宁同科和张大军将反散射方法推广到非等谱方程族等等。 2 2 齐次平衡法 齐次平衡法是求非线性发展方程孤波解的一种有效的方法，这种方法提供了 一种构造非线性物理模型准确解的分析技术，已被推广用来得到非线性物理模型 的多孤子解。 齐次平衡法是寻找非线性发展方程的精确孤立波解的一个直接方法，其主要 步骤如下： 第一步，对给定的非线性方程，例如两个自变量x ，t 的方程 ，( m ，“。，“打，“，) = 0 ( 2 2 1 ) 通过要求方程中最高阶导数项与最高次非线性项平衡，可以选择u 为如下函数 l a ：a ：，( 叻f ，；o ，1 2 合适的线性组合，记为 “= f ( 厂( w ) ) 一气；鬈+ ，( w ) 的低于m + n 阶导数项 ( 2 2 2 ) 北京邮电大学硕士学位论文 非线性偏微分方程的孤立波解 t 厂”“f + w o ，f ) 的低于m + n 阶导数项 其中w = 1 + 州为待定函数，某些系数可能为待定常数 第二步，将( 2 2 2 ) 式代入( 2 2 1 ) 式经求导整理后，将w 的相同导数及最高 次幂项放在一起，并令其系数为0 ，可以得到关于，( w ) 的常微分方程，解之得 ，一g ( w ) ( 2 2 3 ) 第三步，由( 2 2 3 ) 式出发可将第二步所得方程的表达式中f 的各阶导数的非线 性项换成f 的高阶导数的线性项，然后把f 对w 相同导数项放在一起，并令其系 数为0 ，得到关于w 的一组齐次微分方程组， 日( w ) = 0 ( 2 2 4 ) 第四步，设( 2 2 4 ) 式具有如下形式的解， w 一1 + p 肛+ 埘( 2 2 5 ) 其中r ，w 为待定常数，将( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，可得关于r ，w 及( 2 2 2 ) 式中待定系数为未知量的代数方程组，并可对它们求解。 第五步，将( 2 2 3 ) ( 2 2 5 ) 式及必要的待定常数代入( 2 2 2 ) 式，即得方程 ( 2 2 1 ) 的准确孤立波解。 分析发现，采用上述方法所得到的精确解仅是孤立波型解，难以得到其他类 型的精确解。主要原因是在第四步中形如( 2 2 5 ) 式的假设限制了w ( x ，t ) 的一 般性，而采用直接求解齐次方程组( 2 2 4 ) 的方法，首先根据w 关于t 的导数 项，从而得到可看作w 关于x 的常微分方程，即可将w 解出来。注意求解过程中 积分常数应看作t 的函数，最后再将w 代入( 2 2 4 ) 式，确定这些积分函数，这 样得到的w ( x ，t ) 更具一般性，从而可获得一大批新的具有更为丰富形式的精确 解。孤波解仅是其中的特殊情形，这对于发现其他形式精确解很有用 2 3hir o t a 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 创造性的提出了一种获得孤子解的直接方法一一h i r o t a 双 线性导数方法，在这种方法中，首先通过引入位势u 的适当变换，将孤子方程化 1 0 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤市波解 为双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下 该展开式可以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，双孤子解 和三孤子解等具体表达式，但过程比较复杂，值得一提的是在实际应用中的 h i r o t a 方法所引入的位势u 的变换，往往以反散射变换的结果为基础或者 p a i n l e v 6 截断展开为基础，但要比反散射方法简单和直接，由于h i r o t a 双线性 方法以双线性导数为工具，且仅与求解方程k d v 方程，m l ( d v 方程，s i n e g o r d a n 方程等的多孤子解而发展成为一种可以求解一大批非线性发展方程多孤子解的 十分普遍的方法，其使用范围几乎涵盖了所有反散射变换可解的方程；h i r o t a 等考虑了带有损耗和非均匀项的k d v 方程，得到其多孤子解，因此，在孤立子理 论中，h i r o t a 方法是求解非线性问题的一个重要方法，利用h i r o t a 方法寻找非 线性方程的孤立子解，酷c k l u n d 变换，l a x 对，非线性叠加公式和分离变量等问 题是比较便利的，就一般情况而言，应用h i r o t a 方法最关键的一点是要充分认 识双线性算子的性质和寻找相关变量的变换，把一个非线性偏微分方程写成双线 性形式，因此，这里详尽的介绍了双线性算子的性质，对各类非线性偏微分方程 的双线性形式进行了总结和归纳。 2 3 1 关于双线性算子及主要性质 1 1双线性算子的定义 h i r o t a 将下列形式的算子成为双线性算子： 誓。r ( 口6 ) = 昙一砉】“口( z ，r 弘 ，r ) i 等 e x p ( 酬忡) 一p 吖杀一砉】口( 妒坳“，口。删帅训 1 2 双线性算子的性质 1 2 1 彤口1 昌【兰r 口，或口6 = 口，6 一口吃，谚口6 = 口。6 2 口，吃+ 口k 硝( 口。6 ) 2 荟( 一1 ) 或口( m 卅x ，彤6 口；( 一1 ) ”彤口6 ，( 当优为奇数时，彤口口；0 ) 1 2 2 e x p ( q 弦 ) 6 0 ) ；口o + f 涉o 一) ，为常数 北京邮电人学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 1 2 3 e x p pj d ! x ) 口 弘o ) c o 矽( z ) = 口o + 弘 + ) c 0 一f 矽o s ) 一口o + f ) c o 一弘0 + 矽o f ) 一【e x p ( s p 。o ) c o ) 】【e x p ( f p 。弘o 矽 ) 】 1 2 4 p ? e x p ( 白x ) e x p ( 尼) = 。一七：) ”e x p ( 缸+ 七：p ，其中，七：为常数 1 2 5 彤口re x p ( 七l z + ) e x p ( 七2 x + w 夕) = 1 一七2 ) “( m 一) ”e x p 【( 一+ 七2 讧+ ( m + y 】 1 2 6 聃e x p m 州e x 嗽声+ 咐) = 器捌嘶c x p 阶也州嵋+ 州 其中f ( 口，见) 一般是关于q ，见的多项式，而七，与f ，工无关 1 2 7 e x pd l ( e x p d 尹6 ) ( e 】【p b c d ) - e x p 哇( d 2 一b ) 1 e x p 哇( d 2 + d 3 ) + d l p d e x p 哇( d 2 + d 3 ) 一q 】c 盼 q 一，皿+ 6 d f ，一1 ，2 ，3 ，式中6 j 是常数 1 2 8 a 口口l 口6 a 2 口 d 2 。口6口d 2 。6 6 a 3 口 d 3 。口6d 2 ，口6d 2 。6 6 一一= = 一一一= - - ：- - 一一一- 二：一一一i 二二一一：= - - = - 一 a x66 2a x 266 266 2a x 366 2 。 6 26 2 m 9 扣；手，去- n 厂号 = 鼍掣，2 蔷h 坤竽= 掣掣 2 争，= 半一研学，2 菩h 厂；半出t 半学m q 芈，3 1 2 1 3 1 2 五一 i l 一一，学 0 1 l k ：一以 “ 叭 铲一姗 卫 l 2 1 北京邮电大学硕士学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 若“= 2 ( 1 i l 厂) 。，贝0 ( d ：f f ) f 2 = “，( d ：f f ) f 2 一“2 ，+ 知2 ，( d ：f f ) f 2a 比4 ，+ 1 甄h h + 1 细3 ， ( d ：f f ) f 2 = “6 。+ 2 l “4 ，+ 3 5 ( h 2 ，) 2 + 2 1 m 2 “h + 1 0 5 “4 ( d ? f f ) f 2 - “8 ，+ 4 5 “比6 。+ 2 1 m 2 ，“+ 1 5 7 5 “( 比拟) 2 + 6 3 阻“+ 3 1 5 m 3 “2 。+ 9 4 5 2 1 5 ， ( d ，p ：厂厂) ，2 = a ：1 w 甥，屹= h ，( d 擘d ，见厂。，) ；2 w ，屹+ h a ：1 w 归+ “弦， 似d ，。厂) 厂2 一“一+ 1 锄“种+ 5 “。+ l 甄2 k 。4 瓣，；等，熹h t 争等一学， 翱= 学一3 学等+ 4 半】3 m t 5 善h 】= 等一r 等】2 2 3 2 非线性偏微分方程的双线性形式 按照双线性算子的定义和性质，人们可以把非线性偏微分方程化成容易求解的双 线性形式。 2 1k d v 方程的双线性形式 “。+ 6 “h ，+ h 。= o ，“= 2 ( 1 n 厂) 。，( d f 占l + d c ) 厂。，；o 2 2b o u s i n e s q 方程的双线性形式 口盯一“。一3 ( “2 k 一“一= o ，“；2 ( 1 l l 厂k ，( d f d ：；一d ? ) 厂厂= o 2 3k p 方程的双线性形式 ，+ 缸蚝+ “。) ，知拶；o ，“= 2 ( h l 厂) 。，限d i 蟛+ p ：) 厂厂= o 2 2 4s k 方程的双线性形式 “一一1 5 “比。一1 5 “，比。+ 4 5 “，+ “，= o ，比= 一( 1 n 厂) 。，五l ( 三e + d f ) ，= o 2 5 浅水波方程双线性形式 “埘+ 孙z l f 一锄。：出一叱一= o ，= 2 ( h l ，) 。，( p ；d f 一谚一见d f ) 厂。厂= o 2 6 高阶k d v 方程的双线性形式 1 3 北京邮电大学硕：卜学位论文非线性偏微分方程的孤立波解 h ，+ 4 5 甜2 口，一1 0 ( 觑；“。+ 比“。) + “一= 0 ，比= 2 ( 1 n ，) 。， 【皿( d f + 碟) 一三谚( d f + 碟) 】，厂= o o 2 3 3 双线性形式的孤立波解 现在以k d v 方程 “f + 6 比“j + “嬲暑0 为例，给出双线性方法的求解过程。 首先利用对数变换可得到方程的双线性形式 q | ) t d x + d ：、) f f = o 然后利用扰动展开法，令 ，= 1 + 厂1 + ，2 + 则k d v 方程的单孤子解仅包含1 + 占，n 将厂一1 + ，1 代入( 2 3 2 ) 中可以得到 ( d f 见+ 噬) 1 1 + ，( 1 + 厂( 1 1 + 占2 ，( 1 厂o = o 由于常数项为零，而对于的1 次项，则由d 算子的性质可得 p ( a ，a 。) ，1 一0 取 ，1 = e 5 ，亭= 觑+ 们+ + 亭们 则( 2 3 5 ) 变为色散关系 p ，w ，) ；0 此时，对于的2 次项系数，则为 p ( d 弘5 to 因此单孤子解为厂一1 + e 5 ，式( 2 3 7 ) 是参数的约束关系式 而2 孤子解的形式可写为 厂= 1 + e 岛+ p 岛+ 口1 2 e 岛+ 岛 d 动 $ 回 乃 黔 h 3 3 3 3 3 3 3 3 q q q q q q q q 北京邮电大学硕士学位论文 非线性偏微分方程的孤立波解 其中 毒= 毛x + m f + + 等， f l 2 ， 引入记号q - 能，m ，) ，x = 缸，f ， 则 ( 2 3 9 ) 磊一q f x + 亭m ， ( 2 3 1 0 ) 其色散关系为 p ( q f ) ；0 ，f 一1 ，2 ，( 2 3 1 1 ) 而相位是 。一烈 ( 2 3 1 2 ) “ p ( q l + q 2 ) 、 这里要注意，若方程能够写成双线性方程，则只需双线性方程满足齐次性就可保证 方程具有孤子解但存在孤子解并不足以说明方程的可积性，尚需进一步推求3 孤 子解甚至4 孤子解等等 3 孤子解形式形如 ，= 1 + 毋+ 毋+ p 岛+ 口1 2 p 氧+ 岛+ 口1 3 e 磊嗡+ 盘舻磊+ 毛+ 口1 2 口1 3 口扩亭1 + 岛峨，( 2 3 1 3 ) 其中 磊= t