（应用数学专业论文）基于条件var的投资组合理论及实证分析.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文对已有的风险度量标准一方差作了适当的改进，用c 尺( c o n d i t i o n a l v a l u e - a t - r i s k ，条件风险价值) 作为风险度量的标准。c 眦风险测量方法是在 v a r 的理论基础上产生的，它较之于v a r 风险测量方法，更能体现投资组合潜在 的风险。本文重点研究的是基于c v a r 的投资组合理论。 首先本文类比于均值方差模型，建立均值一c v a r 模型。在假设资产收 益率服从正态分布的情形下，得到模型的隐式解。然后分析讨论了模型的有效前 沿并给出严格的证明，并且给出了随着置信度变化，均值一一c v a r 模型有效前沿 的变化情况。随后研究了资产组合的c v a r 风险的敏感性，并讨论了新增一种证券 后模型有效前沿的漂移情况。 在理论研究的基础上，本文在最后对各种约束条件对投资组合有效前沿的影 响，以及新增一种相关证券后均值一- c v a r 模型有效前沿的漂移性进行了实证分 析。 关键词：c v a r ；投资组合；一致性风险度量；有效前沿 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep a p e ru s e st h er i s km e a s u r em e t h o do fc v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ) i n s t e a do fv a r i a n c e c v a ri sd e v e l o p e do nt h eb a s i so fv a r c v a ri sb e t t e rt or e f l e c tt h ep o t e n t i a lr i s k t h a nv a r t h em a i n r e s e a r c ho ft h i sp a p e ri st h et h e o r yo fp o r t f o l i ob a s e do nc v a r f i r s t ，c o m p a r i n gw i t ht h em e a n 一- 一v a r i a n c e ，u n d e rn o r m a ld i s t r i b u t i o n c o n d i t i o n ，i tp u t sf o r w a r dt h em e a n 一一一c v a ra n dg i v e st h es o l v ei m p l i c i t a b o u ti t t h e ni ts t u d i e st h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro ft h em o d e la n dg i v e st h e p r o o f t h ep a p e rs t u d i e st h ee f f e c to fs o m ec o n s t r a i n t so nt h ee f f i c i e n t f r o n t i e ro fm e a l 2 c v a r ，s u c ha sb e li e v e d e g r e ea n dt r a n s a c t i o nc o s t a n d i ta n a l y z e st h es e n s i t i v i t yo ft h em o d e la n d g e t st h ed r i f to f t h e e f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n c v a ri nt h ec a s eo fi n c r e a s i n gan e ws t o c k o n t h eb a s eo ft h et h e o r y ，a tl a s ti te m p i r i c a l ys t u d i e st h ee f f e c t o fs o m ec o n s t r a i n t so nt h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n c 砌尺a n dt h ed r i f t t h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n - - c v a ri nt h ec a s eo fi n c r e a s i n gan e w s t o c k k e y w o r d s ：c o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k ，p o r t f o l i o ，c o h e r e n tr i s km e a s u r e e f f i c i e n tf r o n t i e r i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。拳人郑萱声明；所呈交酌学住论文是 本人在导师的辅导下独立完成的，对所研究酌课题有新们见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标洼和致谢十的地方外，论文串不包括其他人已经发袁或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 慢用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所儆的任何重献均已在论文中作 7 明确的说明并表示了谢毒。 十斗 学位中请人( 学位论丈j 作者) 鍪名：赵：幺j 2 0年月 日 关于拳位耱襄著作投使蔫搔杈书 本人经河南大学审核批堆蟪子礓士学位。作为学位论文蟛作者本人充奎 7 样井陴毒河南走学有关保留、使1 l i l 擘接诗文韵要求。即l 河南太学有权向国家 田书艟、科研信怠机构、数据帆集机构和本校图书馆等提供学位论文 v a r ) = l 一 ( 2 6 ) 其中：为置信度，a v 为证券组合在持有期a t 内的损失。 河南大学硕士学位论文 例如：假定基金开元2 0 0 6 年7 月2 3 日置信度为9 5 的日v a r 值为5 0 0 万元，根据 f a r 的含义可知：该基金以9 5 的可能性保证，2 0 0 4 年7 月2 3 日由于市场价格变动而 带来的损失不会超过5 0 0 万元。如图2 2 所示： 7 吖 、- 一 9 5 v a r ( 5 0 0 刀)v 图2 2 基金开元的损失分布 式2 6 给出的只是v a r 的基本概念，在实际应用中，常常会用别的方法来定义 f a r 。可以将v a r 定义为相对于期望值的损失，即 v a r = e ( p ) 一p + = p o 一r ) ( 2 7 ) 其中，p o 为初始投资额，r 为其在持有期内的收益率，“是尺的均值，r + 是r 在给定置信度下的最低收益率，p 为期末价值。 有时候，也可把v a n 定义为绝对的损失额，即 v a r = p o p = 一p o r ( 28 ) 此外f a r 的定义中还涉及到两个参数选择，其一是持有期，其二是置信度，任何 f a r 的计算只有在给定这两个参数的情况下才有意义。 1 6 河南大学硕士学位论文 2 3 2 均值一踟r 模型 令妇为投资组合p 在特定的时间区间内在置信度下的v a r ，数学表达式 为：p r o b ( - 一o v a r ) = 1 一 r a i n v a r 口 、s f 警强 眨 其中：r = ( 蜀，尺：，r 。) 7 一组合中各资产收益率的均值 x = ( x ，x ：z 。) 7 一组合中各资产所占的比例 投资者的期望收益率 e ( 0 ) 一一投资组合收益率的均值 该模型的含义是在给定投资组合的收益率下，求解最优投资组合，使得投资组 合的v a r 值最小。 2 3 3v a r 的几种主要计算方法 ( 1 ) 历史模拟法 历史模拟法假定回报服从独立同分布，即市场因子的未来波动是历史波动的 重新上演，其核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益分 布，利用分位数给出一定里信水平下的v a r 估计，它的缺点在于需要有大量的历 1 7 河南大学硕士学位沦文 史数据样本来精确估计分位数。 ( 2 ) m o m ec a r l o 模拟法 m o n t ec a r l o 模拟法足一种随机模拟方法，它用市场因子的历史波动参数产生 市场因子未来波动的大量可能路径，虽然正态分布是m o n t ec a r l o 模拟法中最常用 的分布假定，但它无需假定市场因子服从正态分布。此法的缺点在于计算效率低。 ( 3 ) 分析方法 利用证券组合的价值函数与市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布( 方 差一协方差矩阵) 简化v a r 的计算。根据证券组合价值函数形式的不同，分析方法 可以分为两大类：d e l t a 类模型和g a m m a 类模型。分析方法的不足在于，在大多数 的情况下正态性假设与实际不符，但通过人工智能方法和分布拟合方法可以对其 进行改选。 2 3 ，4 肠尺在投资组合应用中的两大缺陷 ( 1 ) v a r 不满足一致性公理 著名的一致性公理( c o h e r e n t a x i o m ) 是由a r t z n e r 等0 9 9 9 ) 提出的，其内容是： 若某种风险计量方法满足次可加性( s u b a d d i t i v e ) 、正齐次性( p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s ) 、单调性( m o n o t o n o u s ) 和传递不变性( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n t ) 四个条件， 则该风险计量方法是一致性风险计量方法( c o h e r e n tr i s km e a s u r e m e n t ) 。a r t z n e r 等 指出，只有一致性的风险计量方法才能充当投资组合管理工具。若用向量x 和y 表 示两个投资组合的随机回报，p ( x ) 和p ( 力表示它们的风险计量，则一致性公理的四 个条件可以表述如下： 次可加性：p ( x + y ) - 0 其中：r = x r r 投资组合的期望收益率 r = ( 蜀，r ：，r 。) 7 投资组合中各资产的期望收益率 r o 投资者期望的投资组合收益率 x = ( z 。，x ：，z 。) 7 投资组合中各资产所占的比例 ，= ( ，l ，r 2 ，) 7 一投资组合中各资产的收益率 3 3 均值一一c v a r 模型的隐式解 对于模型3 1 l ：利用l a g r a n g i a n 乘子法求解此模型： 上= g ( ) 莎，一e ( 0 ) + ( 民一并7 r ) + 以( 风一x r i ) ( 3 1 2 ) 最优解得一阶条件为： 由( 1 ) 得 t ：坐g ( ) 一如，一( + 1 ) r ：0 盯， l = r o r r 石= 0 气= 1 一j 7 戈= 0 x = z - 1 ( a + 1 ) r + 屯，】 将( 4 ) 代入( 2 ) 和( 3 ) ： r r r e r = 尺7 一r + 如尺7 - 1 ，= 口+ 如6 1 = a ，一1 r + 屯，7 一1 ，= 2 a b + 屯c ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 河南大学硕士学位论文 其中，记 e 一= g ( ) 一d r 。q ，口= r r e r ，b = r r 2 1 ， c = r e 一1 ，r = r o r r z 一1 r 则 = 即一么，如= 口一尺- 么 其中q 为组合中各资产所构成的协方差矩阵； = a c b 2 c a t - d r 。= 0 7 黜) “2 ，故( + ) 式即为模型3 1 1 的隐式解。 3 4 风险资产组合均值一c 阮r 模型边界与有效前沿 经典的投资组合模型即均值一方差模型的有效前沿早在1 9 5 2 年就已被马科 维茨解决。自1 9 9 4 年v a r 风险测量方法的出现到现今的广泛应用，研究者又提出 了均值v a r 模型，并对其有效前沿进行了深入的理论与实证研究。但现今学者 及研究者通过不断的理论与实证研究，证明了f a r 风险测量方法有严重的缺陷， 所以继续应用v a r 风险测量方法可能会给金融机构与投资者带来严重的威胁，于 是，c v a r 风险测量方法就应运而生了，用c v a r 风险测量方法来代替v a r 风险测 量方法，因此，也就产生了均值c v a r 有效前沿的问题。本节讨论了胛种资产均 值c v a r 有效前沿( 本节置信度均为9 5 ) 。 基于方差的证券组合优化问题，这个经典模型已经得到解决，如式3 1 3 ： m i n ( x “：= x t q 。z s t j e ( 名) = x r r = r x 7 ，= l( 3 1 3 ) 【x ，- 0 对于式( 3 1 3 ) ，利用l a g r a n g i a n 乘子法可得其有效前沿为： x = g + h e ( r d ( 3 1 4 ) 河南大学硕士学位硷文 其中：9 2 毒即。- i d - 椎。别 2 瓦1 q 。一1 r ) 一4 ( q 。一纠 ，= ( 1 ，1 ，1 ) 。7 r 。为投资者期望收益率；q 。为组合中各资产所构成的协方差矩阵 对于任意前沿证券组合，其收益率的期望与标准差满足： 锷一警2 必。 ： 其中：a 。= ，7 q 。- 1 r b 。= r 7 q 。一1 r c n = i t q ，- 1 i d 。= b 。c 。一以2 ( 3 1 5 ) 且b 。 0 ，c 。 0 ，d 。 0 。( f 表月指的是资产种数) 在确定情况下，由于e ( ) 和g ( ) 为常数，所以式3 1 1 和式3 1 3 同解，即 m i nc r “2 一= m i n c v a r 。从而可得 结论l ( c v a r 。( 树= 击( c 似_ ) z - 2 a e ( 咖”g ( 其中：a 。= i r q 。r b 。= r 7 q - 1 r c 。= i t q 。- i ， 河南大学硕士学位论文 d = b 。c 。一a 。 证明：模型3 1 9 和模型3 1 7 的规划解实际一样的。由于 ( y n 2 。击( c e ( _ ) 2 _ 2 a e 以) + e ) ，再由c v a r 一= g 妙一一e ( _ ) 即可得到结 结论2 均值c 阮r 模型的有效前沿存在，当且仅当g ( ) d 。c 。此 c v a r 。：c 。( 石：石乙而。一4 。) 证明由于砰= 击( c 似_ ) 2 - 2 a e ( _ ) 十峨) 2 每( e ( ) 一毒) 2 + 击，且 e ( _ ) = 鲁+ 毒( 仃：一击) ，故方差和均值的最小值分别为盯m2 ( 寺m ， e ( _ ) 。h = 了a - n 。利用正态情况下c 矿矾和标准差的线性关系知，如果最小c v a r 报t 资组合存在，则它必是均值方差有效前沿组合，最小c 玩r 投资组合问题转化 ，m