（应用数学专业论文）关于传导逆散射问题远场算子性态的研究.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文讨论了如下的传导问题 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 摘要 “+ k 2 “；0z e r 3 d a ”+ k ：o v = 0 “= u 1 + u 5 丝；“丝+ 触 o v。a v l i m r 芦一i k us ) ；o o r 工d x r 。d z a d z a d 其中“e c2 弋五) n c 嘏3 d ) ，v e c 2 ( d ) n c ( 西) 。r = h ，“0 ) 一p “4 ，d 是 单位球q ：b ：k i ；1 上的单位向量，辐射条件( 6 ) 式在三一工i x l 上一致成立， d 是r 3 中有界区域且o d e c 2 ，v 是a d 的外单位法向量，为简单起见，我 们假定t ，k 。p 和a ，皆为正数，“5 有以下渐近性 ( 7 ) “5 。) = 生r “。g ，d ) 4 - 0 ( 刍( r 一* ) ( 7 ) “5 0 ) = 三一“。0 ，)( ) ( r 一* ) 这里“。是散射场“5 的远场模式，我们定义远场算子f ：r ( q ) 一r ( q ) ( 8 ) ( ) 0 ) ：= u * ( 石，d ) g ( d ) d s ( d ) 本文中，我们将推导关于远场模式和远场算予的三个基本结果，即关于远场模 式的互换性以及关于远场算子的正则性和单射性。 关键词：反问题；格林定理；远场模式；远场算子；传导问题 硕士学位论文 m a s t e r 7 st h e s i s a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w e c o n s i d e rt h ec o n d u c t i v e p r o b l e m o f f i n d i n g “c2 限3 五) n c 俾、d ) ，v e c 2 ( d ) n c ( d ) s u c h t h a t ( 6 ) a uj k 2 u ：0 a v + 女扣= 0 u = u 1 - i - “5 丝。“塑+ 地 却d v l i m ，( 婴一i k u ，) ；o r _ o d r 跏r 3 d 跏d 胁r d o no d o na d w h e r e ，= u i ) = g “4 ，d i sa v e c t o r o n t h e u n i ts p h e r e q a n d t h er a d i a t i o n c 。n d i t i 。n ( 6 ) i sa s s u m e dt 。h 。l du n i f o r m l yf o rx = x 工l o nq di sab o u n d e d d o m a i nw i t hc o n n e c t e dc o m p l e m e n t r 3 西a n dc 2b o u n d a r y a d h a v i n gu n i t o u t w a r dn o r m a lv f o rt h es a k eo fs i m p l i c i t y w ea s s u m e a l lt h ec o n d i t i o n k ，k o “a n d t o b e p o s i t i v e t h eu 5h a sa l la s y m p t o t i cb e h a v i o r ( 7 ) 坼) = 譬“三棚+ 。寺 a sr _ ，w h e r e “。i st h ef a rf i e l dp a t t e r no f t h es c a t t e r e df i e l dh 5tw e d e f i n e 圆 柳 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s t h ef a rf i e l do p e r a t o rf ：r ( q ) 一l 2 ( q ) b y ( 8 ) ( f g ) ( x ) 1u * x ，a ) g ( a ) a s ( a ) w ee s t a b l i s ht h r e eb a s i cr e s u l t sa b o u tt h ef a r f i e l d p a t t e r n a n df a rf i e l d o p e r a t o ri nt h ec a s eo fc o n d u c t i v ep r o b l e m ：r e c i p r o c i t y f o rt h ef a rf i e l dp a a e r na n d t h en o r m a l i t ya n di n j e c t i v i t yp r o p e r t i e so ft h ef a rf i e l do p e r a t o r k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ；g r e e n st h e o r e m ；f a r f i e l d p a t t e r n ；f a r f i e l d o p e r a t o r ；c o n d u c t i v ep r o b l e m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 盆彼 日期：伊r - 年，月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 导师豁琴i 卜 日期泌年6 月日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。园意迨塞逞童后进丘；旦圭生i 旦二生i 旦三堡 筮壶! 作者签名：盘埴 日期：年月目 孙虢弓f p 日期4 砗f 月 日 锰锄叁年 娩 者期 。 作日 文沦 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1引言 在经典的散射理论中，两个最基本的问题是声波或电磁波传播时通过一个 可穿透的散射物体或一个有界的不可穿透的介质时所引起的波的敖射现象。 在这篇文章中我们研究的是时间调和声波的散射情形，即 u ( x ，t ) 一r e u ( x ) e “) ，是频率，u ( x ) 满足h e l m h o l t z 方程 ( 1 1 )“+ k 2 u = 0 x e r 3 d 当入射声波从均匀媒质进入到均匀有界散射物体d 时，声波将会散射，如果把 整个场作为事件场“和散射场“。的叠加，即 ( 1 2 ) = “+ “5z r 3 五 那么正散射问题就是由已知事件场“和控制声波运动的微分方程来确定 散射场u ，但可能更有实际意义的是由散射场u 的渐近形式，即远场模式l , l 。来 确定散射体的性质和形状，此即为逆散射问题( 参阅 1 ， 5 ) 。 当声波能穿透均匀散射体时，这时除了散射场“。，我们还可以得到传导场v ( x ) 满足 ( 1 3 ) + t ； = 0 x e d 边界上满足以下条件 ( 1 4 ) u x e o d ( 1 5 ) o a u v = 1 2o 却v + z u 工o d 并且散射场“满足s o m m e r f e l d 辐射条件，即 ( 1 6 )l i m r ( 婴一i k us ) ：o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中“c 2 僻3 d ) n c ( r 3 、d ) ，v e c2 ( d ) n c ( 万) 。r = h ，h ) = e “。，d 是 单位球q = 仁：h = 1 上的单位向量，辐射条件( 6 ) 式在三；x j ：一致成立， d 是r 3 中有界区域且o d c 2 ，v 是0 1 ) 的外单位法向量，为简单起见，我 们假定k ，k 。，1 2 和 ，都是正常数。 特别地，运用格林定理和辐射条件( 1 6 ) 可推导出散射场u 。有如下表达式 ，雌m 掣一蒜y ，卜一3 、五 这里西 ，y ) 是h e l m h o l t z 方程“+ 七2 “；0 的基本解，且 ( 1 8 ) 中 ，y ) 。i 三：之，x y ，x , y r 3 1 8 中 ，y ) 。i 瓦_ = 顶。y 由( 1 。7 ) 和( 1 8 ) 式可推出“5 在无穷远处有渐近形式 “9 ) “一孚“。班d0 0 ( ，一。) ( 1 _ ) h 。 ) 一。 ，) + o ( 二) ( ，一。) rr 这里“。是入射平面波u ) 一e “。的散射场“。的远场模式。我们定义远场算 子f ：工2 ( q ) 一l 2 ( f 2 ) ( 1 l o ) ( f g ) ) 净f u ( x ，a ) g ( a ) d s ( d ) 求解反问题的比较典型的一种方法是由c o l t o n 和k i r s c h 提出的线性抽样方法 ( 参阅 3 ，e 5 1 ) ，其解法的关键是用正则化方法求解下面的线性算子方程 ( 1 1 1 ) ( f g ) ) z 中。0 ，z ) 这里中。( x ，z ) = g “2 是中o ，y ) 的远场模式。 岍 这种用线性样本方式求解反问题的方法以后又被c o l t o n ( 参阅 8 ) 以 及k i r s c h ( 参阅 6 ， 1 0 ) 所改进。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文中我们将讨论传导问题解的存在唯一性。( 参阅r 2 ， 4 ) 并了解关 于远场模式和远场算子的三个基本结果，即关于远场模式的互换性以及关于远 场算子的正则性和单射性。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 预备知识 一一、此文章主要关注逆声波散射的问题，并且是一个可穿透介质中进行的 传导问题，特别是要在所考虑的正问题中找到“e c2 ( 尺3 d ) n c ( r 3 d ) ， v e c 2 ( d ) n c ( d ) 使得 ( 1 1 ) a u + k 2 u ：0z r 3 五 ( 1 2 )a v + k g v = 0 x e d ( 1 3 ) m ：“+ “5x e r 3 d ( 1 4 ) u = ” 工o d ( 1 5 )罢：肛粤+ 血x e o d o vd v ( 1 6 )l i m r ( 旦兰一砌s ) ；o 其中七、k 。、肛、a ，皆为正数，d 为有界域，( 1 6 ) 在z - x h 上一致成立， 。o ) ：。m 一，d 为一单位球q 上的向量，即q = 缸惮l = 1 。 二、研究h e l m h o l t z 方程的基本工具是格林积分公式 引理1 设d 是一有界域，v - y 赫x d 的单位外法向量，对于“c 1 ( d ) 和 u c 2 ( 五) ，我们有格林第一定理 ( 2 1 ) 5 d 、u a v + 弹缸s r n a uk = 。u 挚 对于“、u c 2 ( _ ) ，有格林第二定理成立 ( 2 2 ) y o h v - v h u = r 。 詈一u 詈油 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理2 设d 为c 2 有界域，v 表示区域d 的外法向量，比c 2 西n c l ( 五) 定义詈o ) = 2 i r a v o ) g r a d u ( x 一枷o ) ) ，石c o d 在0 1 ) 上一致存在且“是 h e l m h o l t z 方程a u + k2 u ；0i nd 的个解，那么有： ( 2 3 ) 2 ，m 0 万u 一( y ) 篙辫扭( ) ，) 工。 其中西q ，y ) ：导芒= ，x ，y 是h e l m h 。l t z 方程的基本解。 q 汀阢一y l 证： x d ，q ( x ，p ) = y r 3 i k y l ；p ) c d 球q 0 ，p ) 上的单位法向量v 向内，应用格林公式( 2 2 ) ，在 d p t y e o l k y i ，p ) 上有 f 黟肿叫y ，掣 ；，却伽 ，y ) a u 一“( y ) 巾 ，y ) d y = 0 在毗肿，毗y ) = 毒，鲫d ，吣，y ) = ( 吉以) 嘉咖) 直接积分，运用均值定理有 哪吣斗雩等卫o v 啦y ) 哪) ，- 吣呵。肛脚叫y ，雩辫 一 引理3 设有界集d 是一无界区域的开补集，v 表示d 的外法向量 h c 2 ( 尺3 b ) n c l 3 d ) ，满足h e l m h o l t z 方程和s o m m e r f e l d 辐射条件 目口a u + t2 i z ；0 x r3 、石 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l i m r ( 罢一i k u ) ：0 d r 定义 詈o ) = 舰”o ) g r a d ( x + 胁。) ) ，工e o d 那么有 a ， 喇= f m 号舁一釉咆y ，卜，x e r a d 证：我们首先证明；，o r 卜1 2 d s z o ( 1 ) ，( r m ) 其中：q ，代表半径为r ，球心在原点的球面。 由辐射衰减条件： 泣。， 卜料叫 + 2 k t m ( u 斗 = ，。，f 詈一觑 出一o ，( r _ 。 其中。为q ，的外法向量，r 充分大时，d c f f 2 ，d ，：r 3 五：l y l cr 辟用 格林公式( 2 i ) 得 ，。詈出= 厂。“詈出一七了。，盯咖+ ，d ，l 占r n 如1 2 咖 取上式虚部有h 叮q r “詈如) 一1 1 叮。“詈出) 代入( 2 5 ) 有 眨e ， j 鲤，。， 1 詈1 2 + 蚓矿卜；一2 七h n 叮m “等埘 上式左边两项非负，因此两项分别有界。 ( 2 7 ) r 。，盯d s = d ( 1 ) ，( r 一。) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 又 等地毗炉。由( 一o 。) y e f f 2 r 由s c h w a r z 小等瓦有 卜n 吣) 等哪川一。( r 一) 由l i m r ( _ o u 一池) 。o 和中o ，) ，) ；d 南，) ，q ，有 o r 7 l = r 。，中( 训) f 詈( ) ，) _ 池( y ) 卜( y ) 一。 r - - c o ) 川吣，筹一知毗y ，眇小p 。l - o o ， 再应用引理2 在区域d 中，当r o 。时， 小p 雩等一半啪，卜 一惦 引理4 每一个满足h e l m h o l t z 方程的辐射解都有衰减球面波的渐近形 式，即 眨s ， = 寄+ 。奇 啦卜， 在；：工酬的所有方向成立，函数“。定义在单位球上，是h 的远场模式，在引 理3 的假设条件下有 。，西i f m 啬一警可斗知 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由 k y i = 、f i f 二j i 丽= k i 一；，y + o ( 吉) 有 冈e i l x - y l ；寄p e 科 上o v ( y ) 尚= 寄 裔咧斟y 曲一，一网2 可1 面万。刚蚱凹 叫 把上两式代入( 2 。4 ) 有 西扫。 需一警咿武p 名q 从此式可知) 是单位球q 上的解析函数 引理5 ( r e l l i e h ) 假设有界集d 是一无界区域的开补集，u e c 2 ( 彤西) 是 h e l m h 。i t z 方程的解，且满足；鳃，i 肛 ) 1 2 d s = o 那么“1 0 ，z e r 3 d 参阅 i 、 3 ) 引理6 假设有界集d 是一无界区域的开补集，8 d 是c 2 边界且具有单位 外法向量，“c 2 啦3 d ) n c ( r 3 d ) 是h e l m h o l t z 方程的辐射解且 h n ( f a d h 罢出) 岂。那么h = o ，x 置3 西( 参阅 3 ) j d v 引理7 d 的条件同上，“c 2 僻3 西) 是满足h e l m h o l t ze q u a t i o n 的辐 射解，如果“。0 则h = 0 ，x r 3 - f f ( 参阅 7 ) ( 2 ，。) 厂，b ；1 2 凼一r 。i “。g ) l 出+ o ( ( r 一。) 可证 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 三、单层位势和双层位势 “ ) 2 f o v 中( x ，y ) 妒( y ) d s ( y )妒o ) c ( a d ) x e r 3 a d 单层位势 z ，m 雩并砌y ) c ( a d ) 矧3 晒双层位势 p t l 叫 其中 中o ，y ) 2 焉五_ 可，x 。y ，五_ ) ，尺3 引理8 边界o d 是c 2 的，c p ，妒e c ( o d ) ，那么单层位势“在r 3 连续且 圳。，c i h 。，常数c 依赖于边界a d ，在边界上有 “o ) 2 _ 厂a d 圣o ，y 冲( y ) a s ( y ) ，x a d 警”，。掣砌y ) 千互1 删胙o d w h e r e 塑盟；1 i m v ) g r a d u ( x 。 ) ) o v 一+ 0 、7 在o d 上一致收敛。 双层位势u ( x ) 的连续性可从d 延伸到西和从r 3 西延伸到r 3 d ，即 蚺) = ，m 等砌小j 1 删胙o d 这里， ：o ) 2 1 i m + o v ( x v 0 ) ) 舰愕。协一詈。珈= 。 算0 1 3 四、边值问题的积分算子 似妒) = 叮m 旦；笺萨驴( y 灿( y ) z a d ( 酬小可m 雩辫吣黼) 矧。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( s 妒) ) = 2 f a d a 中o ，_ ) ，砌( ) ，) 出o ) x o d ”2 o r ( x ) 。筹并吣黼) 并o d 其中k 和kr 是共轭算子，s 和丁是自共轭的，k 和k 是紧算子，s 也是紧算子。 t t o 在c ( o d ) 中紧，其中瓦指r 中m o ，y ) 换为中0 0 ，y ) o l x - y l， m 。 ，y ) 5 翻。y z ，y 月3 。 五、传导问题的解的唯一性 定理1 传导问题最多有一个解 证 如果能证得 血5 + t 2 “5 。0 x r 3 d + 七：u = 0 工d m j 邕uz e o d 辛“3 = 0 ， = 0 堕= “里+ 2 u ， 工a d 却。d ” 则传导叫翘只伺唯一j i 竿。 由 i m ( k fo , u 堕d v 如) 勘町m ( 肛。- 抛f f + ) 出) = h 叮m 缸 詈出+ ，m 姐盯如) = 砌( 越孙j 。盯d x + j m a 盯d s ) = 0 南弓i 弹6 us ：0 ，x r 3 d 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在边界a d 上有”：o ，望：0 ，x e o d d v 再由引理2 j ；0 ，x d 方程组仅有零解 传导问题最多仅有一解。( 参阅 9 ， 1 0 ) 六、传导问题解的存在性 给出边界a d 上的两个连续函数，占。 找出两个解 u c 2 3 、d ) nc 1 僻3 d ) ，v e c 2 ( d ) n c l ( d ) 使得 “+ k 2 “= 0工r 3 西 + k g v = 0 z d u ；fx o d 罢：肛当+ 他+ g x a d d vd v 且l i r a r f 竺一渤) ：0 o v 设 ( 2 喇= j m p 帮的m 胁) 扭) 矧呖 ( 2 1 2 ) 州= 川掣灿) + 加如y m 扭( y ) z 。 其中中 ，y ) 对应七，西。扛，_ y ) 对应七0 。妒，q ) 在_ o d 上连续，则“0 ) ，u ( x ) 满足 以上h e l m h o l t z 方程( 参阅 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ) 现在来寻求满足边界条件的砂，妒 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 吣) 2 ，。雩等州蛳) + 主肛妒 ) + j _ 一( ) 吣) 出( y ) z o d 吣) 。r ”搿茅的磁y ) 一三妒。) + 。中。( t y 如( y ) 如( y ) 石d d 鬻2 匆m 等妒杪胁 + ，。掣吣7 1 x g o d 掣：熹r a o o ( x , 、y ) 的) 出( y ) a a p 0 )枷j 。v ( y ) 掣。严。、7 7 + v m 掣西) + j 1 蚺) 矧。 由 虬0 ) 一“一( = ， 业o r ( x ) 2 型o r ( x ) + 勉+ o 。+ g 。 + 、，o 有 ( 2 ，1 3 ) ( 肛k 一点r o ) 妒+ ( 肛+ 1 ) 妒+ ( s 一, a s o ) 妒= 2 厂 ( 2 1 4 ) ( 丁一瓦渺一, u a ( k + ，) 妒+ ( k 一口a 砭一a s 一，一肛) 妒互2 9 此即传导问题的边值积分方程组。 由f r e d h o l m 选择定理可知上述边值积分方稗蛔有解。 硕士学位论文 m a s t e r 7 st h e s i s 3 远场算子及其性质 定义1 h e r g l o t z 波函数 ( 3 1 ) ” ) 4 厂。p “占似) 如( d ) ，x r 3 ， g r ( q ) 定义2 远场算子f ：工2 ( q ) 一r ( q ) ( 3 2 ) ( f 占) ) 2 厂* ，d ) g ( d ) d s ( d ) ， g r ( q ) 引理9 对于给定的函数g e r 2 ( q 、 若 g ( x ) - f 。“红，d ) g ( d ) d s ( d ) ， 则 o ) j 5 ，d ) g ( d ) d s ( d ) ， ”。0 ) = r 。( 石，d ) g ( d ) d s ( d ) ， 引理1 0 传导问题中的远场模式满足互换关系 ( 3 3 ) “。 ，d ) = “。( - d ，一工) ， 证：由格林定理( 2 2 ) 式及“5 的衰减条件 工r 工r d 工q z d q j m 弘d ) 扣，一和g 与瓤棚卜；。 斗沁d ，扣j 与叫( ，三，扣棚卜2 。 从( 2 9 ) 式有： “小卜棚学“g 南半卜 其中 去e m 量l1 锄“b ，一二)4 丁【4 兀 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 交换上式中x , d 的角色，有 蚓硝小卜与等锄堕乎卜 再由前三个方程减去最后的方程得 孙。& , d ) - u 。f - a , - x ) h a o 卜，挈叫。，与警卜 母卜) 学喊斗叱南p 协g d ，俨 小卜d ，掣k ，与半卜 2 ，。卜d ) 如；) 氓一三) 龇d ) 卜 2 r 十g 州吩三) ) - 如二) ( 却( ，删卜 即。，d ) ：。( - a ，一二) 成立。 定理2 设f ：r ( q ) 一r ( q ) 是对应于传导问题的远场算子，那么对 v g ，h e l 2 ( q ) 有 ( 3 4 )知( 助，h ) = 2 ，r ( 占，砌) + i k ( f g ，f h ) 证：如果 s 和w s 都是满足衰减条件的h e l m h o l t z 方程的解，且其远场模式分 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 3 5 ) ( 3 6 ) u s ”譬“。占舭dd ( ( r m ) 有 ) = 二一“。 ，) + d ( 书 ( ，一m ) 有 ”孕= 一静妇而+ 。皆 而学；讦i k w 。( x , d ) v 勘+ d ( 帝 f 。卜学一万等卜一吖以珏 由( 2 9 ) 有 叱吲i ，f a 。卜，字一掣e “二卜延q 因此，如果是具有核 的h e r g l o t z 波函数，则有 f 。h ) 挈一而掣阻 = r 。呵。似) 孚彳“。兰卜蜊) 2 叫。h 一( d ) v 。( d 冲( d ) 现在设“：和“：是核为g ， 上2 ( q ) 的h e r g l 。t z 波函数，“。和是以“；和“：分 别替换“c 的传导问题的解，“；和“；分别表示“。和的散射场，“，和，。分别 是其远场模式，假设在边界上有 圹鲁；肛等+ 加；一肛鲁“矩a d 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 驴，鲁= 等o + 帆；粤o v + x 删 v 。 由 l 。q g i o u h 飞- - 拶o u g s = - r 。阻誓“_ ) 司等也) 卜 2 盯m 卜。警一i 等卜 = p ，。h ( 一瑶_ ) 一瓦( 每；一) 扭= o 又 ，。卜。i a u h i 等卜 = f 。联警一一- 引磊- v ) 出+ r 。 ；警再等岫 + j o 。1 7 u g 胁面：- v 万h 堕o v 、- - 舢r 觯；警一再等冲 = 一2 i k 一g ? 五d s + 4 ： r f a d u g , 瓦l s 一蛔 a 五u h , 。g d s = 一复( f 奢，f h ) + 4 x ( f g ， ) 一4 x ( g ，v h ) 即 2 ( f g ，矗) = 2 ( 占，v h ) + i k ( f g ，f h ) 。 定理3 ( 正则性) 相应于传导问题的远场算子是正则的，即f f = f + f 。 证：由定理2 有( i k f + 如， ) ；幼k 露， ) 一( ，g ， ) j i k f f 一2 x ( f f + ) ，g ，h 2 ( q ) 由百 缸幛 - 】6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( f 占) ) 2 f 以( d ，x ) g ( d ) d s ( d ) 。，n “。( 一工，一d 培 ) 出 ) 定义一个镜射算子r ：r ( q ) 一r ( q ) 即( r g ) d = g ( 一d ) 则 注意到 伺 由定理2 r g 似) = g ( - d ) 一f r g ) = f g ( 一d ) = r 。“。 ，d ) g ( 一d ) d s ( d ) = r 。0 ，一d ) g ( d ) d s ( d ) 。- r f r g ( d ) 。f o u ( 一x ，一d ) g ( d ) d s ( d ) r f r g ( d ) ；f o “。( 一x ，一d ) g ( d ) d s ( d ) 有f g = r f r g ( r g ，r h ) 一( 占， ) = 何，i ) g ，h r ( q ) ( f + g ，f h ) = ( r f r h ，r f r g ) 。( f r h ，f r g ) i k ( f g ，f h ) = i k ( f r h 一，f r g ) 、 = 2 a r f r h ，r g ) 一( r h ，f r g ) ) = 2 x ( g ，f ) 一( f + g ， ) j ；扔 ( 堙，h ) 一( ，g ， ) 硕士学位论文 b l a s t e r st h e s i s i i k f f + = 幼但一f ) 即有f f t f + f 成立 定理4 相应于方程( 1 1 ) 一( 1 6 ) 的远场算子是单射的当且仅当不存在 w e c 2 ( d ) n c ( d ) 和一个h e r g l o t z 波函数 使得 ，w 是一个均匀内传导问题 的解，即 a v k 2 v 一0 1 2 ：b ：- o 户d ；o 主v 二旦o 兰v + 。 工刮。 塑：肛业+ ” 炬a d1 f 证：反证( 参阅 1 4 中关于逆媒介散射问题的单射性证明) 假设堙；o r g 一0 ， 则其等价于w 5 的远域形式等于零，这儿w 是方程( 1 1 ) 一( 1 6 ) 中用一个 h e r g l o t z 波动函数” ) = r 。e “4 9 ( d ) d s ( d ) 替换e “4 的解，由引理7 有 w 5 = o ，z r 3 d 因此如果w = u + w s 我们就有 w = 1 芸= 肛等协r d v棚f 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 d c o l o t na n dr k r e s s ，i n v e r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i ss c a t t e r i n g t h e o r y , 2 n d e d a p p l m a t h s c i 9 3 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 8 2 d c o l o t na n dr k r e s s ，i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d si ns c a t t e r i n gt h e o r y , w i l e y i n t e r s c i e n c ep u b l i c t i o n ，n e wy o r k ，1 9 8 3 3 1d c o h o n ，j c o y l ea n de m o n k ，r e c e n td e v e l o p m e n t si ni n v e r s ea c o u s t i c s c a t t e r i n gt h e r o y , s i a m r e v i e w , 2 0 0 0 4 2 ( 3 ) ：p p 3 6 9 4 1 4 4 v i s a k o v ，o nu n i q u c n e s si nt h ei n v e r s et r a n s m i s s i o ns c a t t e r i n gp r o b l e m ，c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 5 ( 1 9 9 0 ) ，p p 1 5 6 5 - 1 5 8 7 5 d c o l t o na n da k i r s c h ，as i m p l em e t h o df o rs o l v i n gi n v e r s es c a t t e r i n g p r o b l e m s i nt h er e s o n a n c er e g i o n ，i n v e r s ep r o b l e m s ，1 2 ( 1 9 9 6 ) ，p p 3 8 3 3 9 3 6 a k i t s c h ，f a c t o r i z a t i o no ft h ef a r - f i e l do p e r a t o rf o r t h ei n h o m o g e n e o u s m e d i u mc a s ea n da n a p p l i c a t i o n i ni n v e r s e s c a t t e r i n gt h e o r y ， i n v e r s e p r o b l e m s ，1 5 ( 1 9 9 9 ) ，p p 4 1 3 - 4 2 9 7 d c o l t o n ，f a r - f i e l dp a t t e r n sa n dt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e mf o ra c o u s t i c w a v e si n a l l i n h o m o g e n e o u sm e d i u m ，q u a r t j m e c h a p p l m a t h ， 4 2 ( 1 9 8 9 ) ，p p 3 1 7 3 2 6 8 d c o l t o n ，k g l e b e r m a n n ，a n drm o n k ，ar e g u l a r i z e ds a m p l i n gm e t h o df o r s o l v i n gt h r e ed i m e n s i o n a li n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m s ，s i a mj c o m p u t ，t o a p p e a r 9 d c o l t o na