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非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 中文提要 中文提要 本文讨论了非线性离散v o t t e r r a 方程的周期解和渐近周期解的问题文 献【5 1 研究了线性隐式离散v o l t e r r a 差分方程的周期解本文继续了【5 1 的工 作，研究了隐式离散v o l t e r r a 方程周期解的存在性，进而讨论了非线性离散 v o l t e r r a 方程的周期解和渐近周期解我们在本文中所得到的结果对显式离 散v o l t e r r a 方程同样成立首先，我们运用不动点定理寻找非线性离散v o l t e r r a 方程 ( 佗) = f ( n ，嚣( 秆) ) + 芝二d ( n ，七，z ( 砷，z ( 仃) ) ，佗z + 的解的存在性条件然后，我们对以下两个非线性离散v o l t e r r a 方程： 和 z ) = i ( n ，霉( 哟) 十d ( n ，k ，$ ( ) ，2 ( 亿) ) ， n z + ， z ( 竹) = p ( 仃，g ( n ) ) + 乏二p ( n ，k ，茁( ) ，z ( 竹) ) ，他z 解之间的联系进行讨论接下来我们运用压缩映射求不动点的方法来寻找 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解并给出在某些特定条件下这些方程的解的 有界性和吸引性最后，我们讨论方程的一些特殊情况并举例来说明结论 关键词：离散v o l t e r r a 方程，周期解，不动点定理 作者：倪润雯 指导老师：宋亦洪 p e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n , n e a rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s a b s t r a c t p e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep e r i o d i ca n da s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a r d i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s i n f 5 1 。p e d o d i c s o l u t i o n s o f l i n e a r d i s c r e t e v o l t e r r a e q u a t i o n s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d w e c o n t i n u et h ew o r k 5 1t os t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fi m p l i c i td i s c r e t ev o l t e r r a e o u a t i o l l s w es t u d yt h ep e r i o d i ca n da s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a r d i s c r e t e v o l t e r r a u a t i o n s t h er e s u l t sw eo b t a i n e di nt h i sp a p e ra l s oh o l df o rt h ee x p l i c i td i s c r e t e v o l t e r r ae q u a t i o n s i no u rp a p e r , w eu 8 et h et h e o r e mo if i x e dp o i n tt op r o v et h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f e q u a t i o n n 2 ( 哟= ，( m 。( n ) ) + d ( 仉，g ( ) ，z ( 竹) ) ， n z + k = o u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s t h e n ，w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h et w oe q u a t i o n s ： n 2 ( n ) = i ( n ，z ( ) + o ( n ，留( ) ，z ( 竹) ) ，n z + ， k = o a n d n 岔( 佗) = p ( n ，茁( 竹) ) + p ( n ，茁( ) ，。( 钆) ) ，f l z 。k = - o o 吼w ei l s et h em e t h o do fc o n t r a c t i o nm a p p i n g st of i n dt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a r i m p l i c i td i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n sa n d g i v et h eb o u n d e d n e s sa n da t t r a c t i v i t yr e s u l t so f t h e s e e q u a t i o n su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s f i n a l l y , w es h o ws o m es p e c i a lc a s e so ft h e e q u a t i o n 8 a n dg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s k e y w o r d s ：d i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s ，f i x e dp o i n tt h 。0 孢。 i i w r i t t e nb yn ir u n w e n s u p e r v i s e db yd r s o n gy i h o n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 y9 5 7 0 8 6 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名；4 鱼盥訇芝日期；碰。垒三? 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部，中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的 公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名 导师签名 但塑虱雪日期：2 1 红兰 盗弛日期：趔舡哩 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 一引言 第一章引言 由研究v o l t e r r a 方程( 见c o r d a n e a n uf 1 2 1 ) 的经典著作( 3 2 】) 可知，线性与 非线性v o l t e r r a 方程的理论在数学诸多方面的应用中起着重要的作用离散 v o l t e r r a 方程可以看成v o l t e r r a 积分方程的离散模拟，它们直接出现在建模 系统中，这些系统本质上是数字的如数字滤波器和计算机控制系统，它们 的输入和输出是直接( 见【1 5 1 ) 或间接从积分方程的离散化中抽样得到的( 见 【i ，3 ，7 ，1 6 ，2 0 ，2 2 j ) 随着国际上差分方程的研究日益蓬勃发展以及对v o l t e r r a 积分方程和 v o l t e r r a 积分微分方程数值解( 见1 6 ，7 1 ) 广泛的研究，相应的v o l t e r r a 差分 方程的研究得到了国际上诸多学者的重视，并取得了大量的研究成果 无穷阶差分方程大致可分为显式和隐式两种类型在显式无穷阶差分方 程中，一类重要的方程称为v o l t e r r a 差分方程( v o l t e r r ad i f f e r e n c ee q u a t i o n s ) ，或 显式离散v o l t e r r a 方程有关( 显式 ) v o l t e r r a 差分方程的研究在过去近3 0 年中 取得了大量的成果现任国际差分方程协会主席e l a y d i ，s 教授( 包括国内一 些学者) 领导的研究小组( 见【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 0 1 ) ，俄罗斯莫斯科大学的k o l m a n o v s k i i ， v b 教授领导的研究小组( 见 2 4 ，2 5 】) ，a g a r w a l r p 教授领导的研究小组 ( 见【2 ，2 6 1 ) 和意大利的c r i s c i ，m r 教授领导的研究小组( 见【8 ，9 ，m 1 ) 对( 显 式) v o l t e r r a 差分方程的基础理论及v o l t t e r r a 微分积分方程的数值解的定性 分析作出了主要的贡献另一类重要的隐式无穷阶差分方程，我们称之为 离散v o l t e r f 8 方程( d i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o a s ) ，或隐式v o l t e r r a 差分方程离敦 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解一引言 v o l t e r r a 方程的研究不仅是离散动力系统领域中差分方程这一数学分支本身 的需要，而且由于离散v o l t e r r a 方程起源于v o l t e r r a 积分方程和v o l t e r r a 积分 微分方程的数值解( 见【6 ，7 1 ) ，因此对离散v o l t e r r a 方程的研究为人们了解， 研究、操控在物理，工程、生物学等诸多领域中所呈现出的各种现象提供 数值化的途经由此可见，离散v o l t e r r a 方程既属于离散动力系统领域中隐 式无穷阶差分方程，又与积分，微分积分方程的数值解有着密切的联系， 是属于跨学科的前沿课题在学术界，关于离散v o l t e r r a 方程的研究仅有部 分结果( 见【4 ，5 ，2 2 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1j ) s o n g , y 在英国曼切斯特大学攻读博士学 位期间以及近期的研究工作( 见【4 ，5 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 1 ) 中，对此开展了初步且较 系统的基础研究，并对积分，微分积分方程的数值解进行了有意义的探 讨( 见【2 s 1 ) 值得指出的是离散v o l t e r r a 方程不仅包含有限阶差分方程，而 且也包含国际上被广泛研究的显式( 无穷阶) v o l t e r r a 差分方程，因此有关离 散v o l t e r r a 方程的研究方法及结论也能用于有限阶差分方程和( 显式) v o l t e r r a 差分方程 到目前为止，关于离散v o l t e r r a 方程的周期解的存在性问题已有一些著 作研究在参考文献【l4 1 中，e l a y d i 等对于近二十年来关于差分方程周期解 的存在性所取得的结果作了一个概述在这篇综述文章中涵盖了有关常差 分方程以及v o l t e r r a 差分方程的相关结论在参考文献【5 ，2 9 l 中，相应的讨 论了一些线性离散v o l t e r r a 方程以及非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解和渐 近周期解的问题通过不同方法得到的v o l t e r r a 差分方程的相关结果，读者 还可以参考文献【1 3 ，1 8 ，1 9 ，2 1 ，2 3 ，3 0 j 2 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解一引言 和 在本篇论文中，我们研究了下述的离散v o l t e r r n 方程： z ( = y ( n ，( n ) ) + o ( n ，k ，卫( 砷，z c n ) ) ，n z + ( 1 ) 。( 呐= p ( n ，x c n ) ) + p c n ，窭( ) ，z ( n ) ) ，住z ， ( 2 ) 的解的存在性问题以及它们的周期解问题，其中，p ，d 和p 满足特定 条件( 具体见下文) ，g = 。( 竹) ) 属于某个特定的序列空间，z + 和z 分别是 非负整数和整数集合方程( 2 ) 是方程( 1 ) 的一个极限方程 这篇论文的结构如下在第二章中，我们对方程( 1 ) 一方程( 2 ) 作出一些 基本假设并运用不动点定理寻找方程( 1 ) 的解的存在性条件在第三章中， 我们讨论了两个非线性离散v o l t e r r a 方程的解之间的联系在第四章中，我 们运用压缩映射的方法来寻找方程( 2 ) 的周期解，并给出某些特定条件下方 程( 2 ) 的周期解的有界性和吸引性在第五章中，我们讨论了一些特殊的情 况，并用一个例子来说明我们的结论 3 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 二 解的存在性定理 第二章解的存在性定理 我们首先规范一下我们的定义我们用记号e d 表示d 维的实欧氏空间 r 4 或者d 维的复欧氏空闻c 4 ，用记号z 表示所有整数的集合，用记号z + 表示所有非负整数的集合我们用| 1 来表示一上的一个矢量范数以及其 在相应的矢量空间上的从属矩阵范数 我们对辟和俨定义如下： 蹿= g i 。= 如( n ) ) 嚣m ，z ( 哟e 。且l i z l l 。一s u p i z ( n ) i 0 ，方程( 2 ) 可能在z 上有一个满足方程的解 。( 亿) h e z 给定一个 初值序列= 侈( 哟) o 曼。 0 ，$ ( t 1 ) e 8 ，有i l z l l 。 0 为一个整常数 对于任意的) e d e d ，有 p ( n + n ，+ n ，毛”) = p ( n ，$ ，) 0 ( n ，g ，v ) = d ( n ，霉，口) 一p ( n ，z ，) 成立对于任一， 0 ，存在函数 使得 和 p j ：a - + r + ：= i o ，o o ) 和q j ：+ _ r + ：= 【0 ，o o ) p a ( n + n ，k + ) = 功，)若( 竹，动a p ( n ，z ，v ) ls p j ( n ， )若，自) a ，i = 1 一i v l j ： e ( n ，霉，v ) lsq j m ，功若。) + ，i z ls 正i v l ， 当p o 。时， p a ( n + 肛，) 一0 对每一个佗z ， v 盥- o o n e s ( n ，自) 一0 ， n 0 0 扛0 ( h 2 ) 方程( 1 ) 有一个有界解z ( 佗) = u ( 住) o ) 7 ( 5 ) ( 6 ) 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 三 方程( 1 ) 和方程( 2 ) 之间的关系 第三章方程( 1 ) 和方程( 2 ) 之间的关系 首先，我们来讨论一下方程( 1 ) 和( 2 ) 之间的关系 引理3 1 设俐俐式成立，并且方程p ，在z + 上有一个有界解 z ( 佗) 。o 群( e ) 那么，对于任一序列 n k ，饥，k z + ，且当一o o 时，n k o o ， 序列 矿坼) ) 。z 定义如下 以加：i ：， 则 矿( n ) ) 。z 有一个收敛子列，这个子列收敛到方程 在z 上的有界解0 ( n ) ) 。z ，此处z + ，且p n 证明：容易知道舻( n ) ) 。e z 在z 上一致有界 令缸m ) ) 。z 重新定义 z ( 钆) 。o 在z 上延拓得到的解，定义 z ( = 。( o ) ， 犯 0 那么序列 矿( n ) ) 。z 可由如( 竹) ) 。2 0 向左平移个单位得到 ( 2 因此，我们可以假设序列 扩) ) 。z 收敛到一个有界序列 ( n ) ) 。e z ( 如有 需要我们可以取 矿( 他) ) 。e z 的一个子列) 现在我们来证明对于某个p z + 以及p n ， 口) ) 。z 在z 上满足方程 ( 2 u ) 对每一个z + ，设k 为一个整数，满足 l 竹k ( k + 1 ) 8 zn n蕾 屿 + p + np 妻一 + 彬 茁 坼 +n p = 砂 盘 非线性离散v o l t e r r a 方程的局期解 三 方程( 1 ) 和方程( 2 ) 之间的关系 并且令 v k = n k l k n 因为0 终 0 ，都存在一个m 0 ，使得 n p j ( n + m ，) 0 ， 存在一个整数k 0 ，使得对所有的k 有i r k ( 0 一v ( 0 1 d ，从而有 p ( n + 王，f + 暑，v 七( f ) ，v 知( 竹) ) 一p + p ，f + 暑，( z ) ，可( n ) ) i e m 那么，我们有 。一 nn i p ( n + v , l + v ，y k ( 帅) 一p ( n + v ，f 十乩( 帅( n ) ) i l = - - n , l = 一 n 篇i ( p ( 竹+ l + p ，智七( 1 ) ，! ，( n ) ) 一p ( n + 虬l + v ，掣( f ) ，( n ) ) ) l = 仆一m + l n - m 一 f + p ( n + v ，f + 正，”( f ) ，口( 竹) ) 一p ( n + v ，f + 以口( f ) ，( n ) ) l = - - n l = 一 n i p ( n + u ，f + v , y ( f ) ，y k ( n ) ) 一p ( 竹+ 王，f + 正，掣( z ) ，掣( n ) ) l l = n - 肘+ l n 一 fn 一 f + p s ( n + u , t + u ) + p k n + ，f + 功 l = 一l = 一 n = i p ( n + v , l + p ，( z ) ，口( 佗) ) 一p ( n + p ，f + 工，( f ) ，掣( n ) ) i 因为 我们有 因此， nm p s ( n + m ，) = p s ( n + m ，住+ m + ) e 对所有竹z 七=一t=-oo 一 f p j c n ，n + j ) e 和 ，= 一 对所有竹z nn p ( n + v ，l + v ，y ( f ) ，矿( 佗) ) 一p ( n + v ，l + v ，掣( n ) ) i 3 e = - - n k l = 一 1 0 曲 + + 竹矿 + n 巳 埘一 + 砖 + p + 住p + n 巧 州三 + 0 及相应的6 0 ，存在 n 0 ，使得对所有的t l n ，有i ( 呐一u c n ) l 5 ，从而有i p c n ，$ ( ，1 ) ) 一p ( m ( n ) ) i e 和i q ( n ，z ) ) i 0 ，使得i z 一口i 6 时，有 i p ( 竹，忭+ 矗，z ( n + 矗) ，( n ) ) 一p ，竹+ ，( n + 砷，u c n ) ) l 0 ，使得n n 时，有i z c n ) 一口( 删 m + n ，有 n e i p ( n ，k ，( 助，z ( n ) ) 一p ( n ，k ，( ) ，( 竹) ) i 脚 0 = ei t c n ，n + k ，z ( 住+ ) ，x c n ) ) 一p ( n + k ，( n + ) ，v c n ) ) l k = - n o ei p c n ，n + k ，z c n + k ) ，m ) ) 一p ( 竹，n + k ，p m + ) ，v c n ) ) l k , = - m + 1 一 f + 2 p a n ，n + ) 因此， n ( p ，k ，x c k ) ，。( n ) ) 一p ( k ，口( 七) ，可( 仉) ) ) 一。协一o 。) k = 0 由( 7 ) 式可知， n e q ( n ，k ，。( ) ，g ( 竹) ) + o ( n + o 。) k = 0 由( 6 + ) 及引理3 1 中的证明可知， 因此， 一1 e p c n ，k 。口( ) ，口( n ) ) 一o 一o o ) 量= 一 e d ( n ，k ，茹( 膏) ，x c n ) ) 一乏：p ( n ，k ，( 自) ，( n ) ) ，o ( n + o o ) k = 0 k - = - 因为p ( n ，) ) 与e l 一。p ( n ，k ，口( ) ，v c n ) ) 都是周期的，从而z ( 竹) 的周期部 分( 竹) = p ( n ，掣( 仃) ) + k p ( 竹，k ，u c k ) ，v c n ) ) ，则 ) ) 是方程( 2 ) 的一个周期 解 1 4 耗， 0 ，有 n b ：= s u p t l ( n ，) + l , l ( n ，) ：行z ) o ) 0 是某个正整数) ，我们有 再由( 1 2 ) 式，可得 ( t - t a ) ( n ) 一( 日缸) ( 哟i a j i i i 一如mn z 0 日 1 一日缸i k sa i l 白一缸8 因此h ：p l y r 是一个压缩映射因此日在r 上有唯一一个不动点。这 个不动点就是方程( 2 ) 的唯一的周期解，周期为n ，记为 e ( ，；) ) 接下来，由引理4 1 ，可知 c ( 佗) 是方程( 2 ) 在z 上的唯一的有界解因 此，后半部分证明由引理3 1 以及定理3 2 容易得到 口 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 五 一些特殊情况 第五章一些特殊情况 下面我们讨论一些特殊情况，这里令p ( n ，盘) - - p c n ) ，i c n ，z ) = ，( 佗) ，p ( n ，五甄弘) ； e ( n ，丘。) 以及d c n ，2 ，口) = d c n ，j ，岔) ，即 z 协) = ，( 叻+ d ( n ，x c k ) ) ，n z + ， ( 1 ) k = o 2 ( 竹) = p ( n ) - i - p ( n ，z ( 吼 n z ( 2 t ) k f f i - o o 注意到我们在第三章和第四章中得到的结论同样适用于( 1 砷和( 2 ) 定理 4 1 并不必然给出方程( 2 t ) 所有解的渐近性质但是，对于一些线性方程。 我们可以得到所有解的渐近性 考虑以下这个线性方程 茹( 付) = p ) + p ( n ，自) 。( ) ，n z ，4 1 3 ) k ” 其中p ：z 一和p ：a e d 一利用定理4 1 ，我们可以得到以下的定理 定理5 1 设对所有n z ，有毛一。w ( n ，k ) l a n n o ，我们有 n on l y c n ) ls i p ( 佗) i - i - i p ( n ，k ) l l v c k ) l + l p ( 啦k ) l l y ( k ) l 七写一 k f f i n o + 1 i l p l l o + a 0 墩。似舢f m k n 1 9 非线性离散v o l t o r r a 方程的周期解 五一些特殊情况 因此可以得到m 。c k 如 o 在z 上延拓得到的解，其中定义 盘( m = x ( n o ) ( n n o ) 并且对任意的z + ，令铲( n ) = 茹( n + ) ，n z 由定 理4 1 可知方程( 2 + ) 在z 上有唯一的有界解，记为 “n ) ，这也是方程( 2 - ) 在z 上的唯一的周期为n 的周期解由引理3 1 可见 扩( n ) 在0 s n s n 上 一致收敛于 ( 哟l ( 一o 。) 因此，我倪可得z 一e 一0 ，n o o 接下来考虑线性方程 宝( 他) = ，( n ) + e ( n ，) 茹( 自) ，n z + 其中，：z + 一和p ：+ 一e d 4 由定理5 1 ，我们得到以下的定理 ( 1 5 ) 定理5 3 假设例式成立，并对所有n z + ，有岛i p ( n ，k ) lsa ( a 1 ) ， 若有p m + n ，k + n ) = e ( n ，k ) 成立，那么，对于任意的n o z + 以及初值序 列= ( ( 佗) o 。 邶，方程口剀在z 十上有唯一的有界解 z ( n ，n o ，) ) 。并且方 程p 剀有唯一的周期为n 的周期解进而，当n o o 时，方程口印的解 伽协，n o ，纠 渐近方程口砂的周期为n 的周期解 最后，考虑方程( 2 t ) 满足前提假设( 4 ) 一( 6 ) 式且其中的o ( n ，茁) ；0 以及 g ( 竹) z0 ，并设方程( 2 + ) 在z 上有唯一的有界解，记为 e ( n ) 则这个解是 周期为n 的解，易知 e ( n ) ) 是方程 茹( n ) = p ( 竹) + r ( 竹) + 芝二p ( n ，k ，。( ) ) n z + 。 ( 1 6 ) 的解，其中r ( 竹) = 墨一。e ( n ，甄霉( ) ) z + ) 进而，由( 6 ) 式我们知当n o o 时，r ( 一0 因此方程( 1 6 ) 是方程( 1 ) 在g = r ( n ) 和q ( k ，z ) 兰0 时的特 例由定理3 2 以及定理5 2 证明中的讨论，我们可以得到以下的定理 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 五一些特殊情况 定理5 4 假设俐成立，其中口( 哟；0 以及o ( n ，$ ) 著0 方程( 2 + ) 在z 上 有唯一的有界解，记为 e ( n ) ) 那么 ( 佗) ) 是周期为n 的。且 e ( n ) ) 是方程 n 础在z + 上的有界解对于方程p 印在z + 上的任意一个有界解( x ( n n o ，) 满足当住_ 0 0 时，。( ，l ，n o ，一( ( 竹) - + 0 ，其中n o z + ，妒= ( 佗) ) o n n o 现在我们用一个例子来说明我们的结论 例5 1 考虑标量线性方程 z ( 呐= p + p e k e ( c o s k l r ) z ( k ) ，n z ( 1 7 ) k f f i - f 其中p + 2 ) = p ( n ) ，肛是一个常数满足 ( e 一1 ) e 方程以刀是方程( 2 + ) 在 d = 1 和e ( n ，七，岔) = p e k - n ( c o s k 7 r ) x 时的特殊情况因此，“，满足g ( 竹) 兰0 ，何 满足q ( n ，。) i0 ，俐满足l s ( n ，砷一e 一，c i 0 3 满足b = ( e 一1 ) e 以及p 纠满 足a = ( e 一1 ) e 时成立因此，由定理5 1 及定理5 涩，方程以刀在z 上有唯 一的有界解，记为 e ( 哟) ，且这个解是周期为2 的并具有全局吸性 另一方面， ( 佗) ) 是以- - - 这个方程 一l “ 霉( n ) = p ( 哟+ p e 胁h ) e ( 砷+ 弘e ”自7 r ) 。( ) ，z + ， ( 1 8 ) k = 一b o 在z + 上唯一的有界解进而，由定理5 3 ，方程口砂的周期为2 的解k ( n ) ) 是全局吸引的偿町 非线性离散v o l t e r r a 方程的周期解 参考文献 参考文献 【l 】a g a r w a ，r p ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s t h e o r y , m e t h o d s a n da p p l i c a t i o n s m a r c e ld e k k e r ，i n c n e wy o r k ：1 9 9 2 【2 1 2a g a r w a l ，r p - a n dp a n g ，p y h 。o nag e n e r a l i z e dd i f f e r e n c es y s t e m ，n o n l i n e a ra n a l y - s i s3 0 ( 1 ) ，p r o c e e d i n g so ft h e2 n dw o r l dc o n g r e s so fn o n l i n e a ra n a l y s t s ，e d i t e db yv l a k s h m i k a n t h a m ，1 9 9 7 。3 6 5 - 3 7 8 【3 1 3b a k e r ，c t h ，ap e r s p e c t i v eo nt h en u m e r i c a lt r e a t m e n to fv o l t e r r ae q u a t i o n s j c o m p u t a p p l m a t h 2 0 0 0 ，1 2 5 ：2 1 7 - 2 4 9 4 1b a k e r ，c t h a n ds o n g ，y ，d i s c r e t ev o l t e r r ao p e r a t o r s 。f i x e dp o i n tt h e o r e m s t h e i r a p p l i c a t i o n n o n l i n e a rs t u d i e s ，2 0 0 3 ，1 0 ：7 9 - 1 0 1 5b a k e r ，c t h a n ds o n g ，y ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s m a t h e - m a t i c sa n dc o m p u t e ri ns i m u l a t i o n ，2 0 0 4 ，6 4 ：5 2 1 5 4 2 【6 ib a k e r ，c t h ，t h en u m e r i c a lt r e a t m e n to fi n t e g r a le q u a t i o n s ，o x f o r d ，c l a r e n d o np r e s s 【7 jb r u n n e r ih a n dh o u w e n ，p j v a nd e r ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fv o l t e r r ae q u a t i o n n o r t h - h o l l a n dp u b l i s h i n gc o ，a m s t e r d a m ，1 9 8 8 【8 | 8c r i s c i ，m r ，k o l m a n o v s k i i ，v b ，r u s s o ，e a n d v e c c h l o ，a ，b o u n d e d n e s so f d i s c r e t e v o l t e r r ae q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 1 1 ：1 0 6 - 1 3 0 【9 lc r i s c i ，m r ，k o l m a n o v s k i i ，v b ，r u s s o ，e a n dv e c c h i o ，a s t a b i l i t yo fd i f f e r e n c e v o l t e r r ae q u a t i o n s ：d i r e c tl i a p u n o vm e t h o da n dn u m e r i c a lp r o c e d u r e ，c o m p u t m a t h a p p l 1 9 9 8 3 6 ：1 7 。明 非线性离教v o l t e r r a 方程的周期解 参考文献 【1 0 lc r i s c i ，m r k o l m a n o v s k i i iv b ，r n s s o ，e a n dv e c c h l o ，a ，s t a b i l i t yo fc o n t i n u o u s a n dd i s c r e t ev o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb yl i a p u n o va p p r o a c h j i n t e g r a l e q u a t i o n sa p p l 1 9 9 5 7 ：3 9 3 - - 4 1 1 【1 1 ic o r d u n e a n u ，c ，i n t e g r a le u q t a i o n sa n ds t a b i l i t yo ff e e d b a c ks y s t e m s n e w y o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 3 【1 2 1c o r d u n e a n u ，c a b s t r a c tv o l t e r r ae q u a t i o n s ：as u r v e y m a t h c o m p u t m o d e l l i n g ，2 0 0 0 ， 3 2 ：1 5 0 3 一1 5 2 8 【1 3 lc u s h i n g ，j m ，p e r i o d i cc y c l e so fn o n l i n e a rd i s c r e t er e n e w a le q u a t i o n s j d i f f e q a p p l 1 9 9 6 2 ：1 1 7 - 1 3 7 【1 4 1d a n n a af ，e l a y d is a n dl i up p e r i o d i cs o l u t i o n so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s j d i f f e r e q u a t a p p l 2 0 0 0 ，6 ：2 0 3 - 2 3 2 【1 5 ld e s o r ，c a a m dv i d y a s a g e r ，m ，f e e d b a c ks y s t e m s ：i n p u t - o u t p u tp r o p e r t i e s n e w y o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 5 【l s e l a y d i ，s ，a ni n t r o d u c t i o nt od i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，u n d e r g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t - i c s s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 6 【1 7 e l a y d i ，s n ，p e r i o d i c i t ya n ds t a b i l i t yo fl i n e a rv o l t e r r ad i f f e r e n c es y s t e m s ，j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 4 ，1 8 1 ：4 8 3 - 4 9 2 f 1 8 ie l a y d i ，s n a n dz h a n g ，s ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fv o l t e l t ad i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a yi ：t h el i n e a re a s e ，p r o c e e d i n g so ft h