（信号与信息处理专业论文）色噪声背景中信源数检测方法研究.pdf

摘要 本文首先分析了信号源数目过估计和欠估讨。对m u s i c 算法的影响，指出在信 号源数目过估计的情况下m u s i c 空间谱会出现伪峰，并且波达方向估计的精度随 过估计的加重而降低；在欠估计情况下m u s i c 空间谱的某些谱峰消失，谱峰偏离 真实的信号到达方向，m u s i c 算法完全失效。在此基础上，分析了一种修正的 m u s i c 算法，该方法不需要信号源数目知识，其波达方向估计精度接近于信号源 数目精确已知时m u s i c 算法的波达方向估计精度。介绍了估计信号源数目的a i c 准则、m d l 准则、一步预测法以及盖尔圆法，通过计算机仿真实验分析了噪声空 间相关性对上述信号源数日估计方法的影响。针对a i c 准则、m d l 准则和特征值 预测法只适用于白噪声条件而不适用于色噪声条件的限制，提出一种改善色噪声 条件下阵列协方差矩阵噪声特征值相等性的特征值校正方法。该方法可以明显碱 小色噪声条件下阵列协方差矩阵噪声特征值的发散程度，使得校正后的特征值的 特性接近白噪声条件下阵列协方差矩阵特征值的特性。利用校正后的特征值，适 用于白噪声条件的a i c 准则、m d l 准则以及一步预测方法可以进行色噪声条件下 的信号源数目估计。计算机仿真实验和实测数据的处理结果表明特征值校正的a i c 准则、m d l 准则以及一步预测方法可以有效估计色噪声条件下的信号源数日。 关键词：信源数目估计信息论准则波达方向色噪声特征值校正 a b s t r a c t i h eo v e r - a n du n d e r - e s t i m a t i o no fs o u r c en u m b e ra n dt h e i re 丘b c t st ot h em u s l c a l g o r i t h ma r ef i r s t l ya n a l y z e di nt h i sp a p e r s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t ss h o wt h a ti nt h e o v e r - e s t i m a t i o nc a s e ，f a l s ep e a k sa p p e a ri nt h em u s i cs p e c t r u m ，a n ds o m ep e a k s d i s a p p e a r i nt h eu n d e r - e s t i m a t i o nc a s e t h e nam o d i f i e dm u s i c a l g o r i t h m i s c o n s i d e r e d t h i sa l g o r i t h md o e sn o tn e e dt h ek n o w l e d g eo fs o u r c en u m b e ra n dp e r f o r m a sg o o da st h em u s i c a l g o r i t h mp r o v i d e dw i t ht h et r h es o u r c en n m b e r s o m es o n r c e n u m b e rd e t e c t i o na l g o r i t h m sa r ei n t r o d u c e d t h ei n f o r m a t i o nc r i t e r i aa n dt h ep r e d i c t e d e i g e n t h r e s h o l da p p r o a c ha r ea n a l y z e d ，f o l l o w e db yt h ea n a l y s i so f t h ee f f e c to fc o l o r e d n o i s et ot h ee i g e n v a l u e so ft h ec o v a r i a n c em a t r i x t h e nam e t h o dt oe l i m i n a t et i e i n e q u a l i t yo f t h ee i g e n v a l u e sc a u s e db yc o l o r e dn o i s ei sp r e s e n t e d 。u s i n gt h ec o r r e c t e d e i g e n v a l u e s ，t h ei n f o r m a t i o nc r i t e r i o na n dt h ep r e d i c t e de i g e n t h r e s h o l da p p r o a c hc a n e s t i m a t et h en u m b e ro fs o n r c e si n c o l o r e d n o i s e 。c o m p u t e rs i m u l a t i o n a n dt h e p r o c e s s i n g r e s u l t so fr e a l a r r a y d a t as h o wt h a tt h ea i cc r i t e r i aa n dt h e p r e d i c t e d e i g e n - t h r e s h o l da p p r o a c h ，u s i n gt h ec o r r e c t e de i g e n v a l u e s ，o u t p e r f o r mt h eo e r s e h g o r i n d i s km e t h o d ，w h i l et h em d lc r i t e r i au n d e r p e r f o r mt h eo e r s c h g o r i nd i s km e t h o d k e yw o r d s ：d e t e c t i o no fs o u r c en u m b e ri n f o r m a t i o nt h e o r e t i cc r i t e r i a d i r e c t i o no f a r r i v a lc o l o r e dn o i s e e i g e n v a l u ec o r r e c t i o n 创新性声明 馨5 8 3 8 18 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名毒土磊日期 关于论文使用授权的说明 肋0 4 s 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名：办j 尼 导师签名 日期：塑堕：生 日期：型! 、! ：! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 阵列信号处理是近几十年发展起来的一种信号处理技术，其目的是通过对由 传感器阵列接收的信号的处理来获取信号的一些参数，如波达方向、频率等。信 号的波达方向估计是阵列信号处理的一个重要研究内容，其应用涉及到通信、雷 达、声纳、地震勘探等领域。传统的波达方向估计是通过采用波束形成技术来完 成的。这种方法的缺点是其分辨率受到由阵列孔径决定的瑞利限的限制【1 9 】。 自上个世纪八十年代以来，阵列信号处理得到了迅速发展，出现了大量的超 分辨阵列信号处理算法。其中r o s c h m i t ( 1 9 8 6 年) 提出的m u s i c 算法l 标志 着阵列信号处理进入一个新的时代。该算法突破了由阵列孔径确定的瑞利限的限 制，是一种超分辨算法。之后，r r o y 等人( 1 9 8 9 年) 提出了e s p r i t 方法【2 i l ， 该方法利用信号子空间的旋转不变特性来估计信号参数，避免了m u s i c 算法因需 要进行一维搜索而带来的大量计算。 在阵列信号处理中有许多研究热点，如相关信号的方向估计，到达接收阵列 的信号源数目的估计。接收通道的不一致性以及阵元位置误差对参数估计的影响， 色噪声条件下的参数估计等。其中，信号源数目的估计是一个比较难以解决而又 具有重要意义的问题，因为精确的信号源数目这一先验知识是上述超分辨波达方 向估计算法发挥其超分辨性能的前提条件。如果估计的信号源数目与实际的信号 源数目不一致，上述超分辨波达方向估计算法的性能将急剧下降，甚至完全失效。 因此，信号源数目的估计是阵列信号处理中的一个重要研究课题，也是雷达、通 信等领域基本任务之一。 1 2 信号源数目估计的研究历史与现状 阵列信号处理中的信号源数目估计问题可以追溯到上个世纪五、六十年代。 当时的信号源数目估计方法主要是采用假设检验的方法。由于假设检验方法需要 人为确定一个检测门限，用以与似然比检验统计量进行比较，所以基于假设检验 的信号源数目估计方法容易受人的主观因素的影响，使得估计的信号数目与实际 的信号源数目差别比较大。m w a x 和t k a i l a t h i 】首先将信息论准则引入到阵列信 号处理中，用来解决信号源数目估计的问题。在文献【l j 中m 。w a x 和t k a i l a t h 给出 色噪声背景中信源数检测方法研究 了阵列协方差矩阵特征值形式的a i c 准则和m d l 准则，即方便使用又克服了基 于假设检验的信号源数目估计方法的缺点。在m w a x 和t k a i l a t h 之后，许多学者 提出多种改进的基于信息论准则的信号源数目估计方法 2 - 6 。l c z h a o ， r r k r i s h n a i a h 和z d b a i 2 - 3 1 给出了一种被称作是e d c 准则的信号源数目估计方 法，并给出了该准则的强一致性的证明，同时指出m d l 准则是e d c 准则的一个 特例。k m w o n g 、q z h a n g 和j p r e i l l y 【4 哿一种新的对数似然函数应用到a i c 准则和m d l 准则之中，得到修正的a i c 准则和m d l 准则。e f i s h e r 和h m e s s e r t ”1 给出一种基于顺序统计量( o r d e rs t a t i s t i c s ) 的m d l 准则( o s m d l ) 。该方法的性 能与m d l 准则相比有很大的提高，但是该方法运算量要远大于m d l 准则的运算 量。除此之外，利用阵列协方差矩阵的特征值来进行信号源数目判断的方法还有 w g c h e n 、k m w o n g 和j r r e i l l y 7 1 提出的基于特征值一步预测的信号源数目估计 方法。该方法对噪声特征值的上限进行预测，并根据估计特征值与该预测值的比 较结果来对信号源数目做出估计。 上述的信号源数目估计方法均是利用白噪声信号模型推导出来的，仅适用于 白噪声条件。但在实际中，由于各种因素的影响，白噪声条件难以满足。很多学 者提出了许多色噪声条件下的信号源数目估计方法 8 t t l 。q t z h a n g 和k m w o n g 8 1 提出了一种估计空间色噪声条件下信号源数目的方法，该方法利用两个相距一定 距离并成一定角度的均匀线阵，结合信息论准则进行信号源数目的估计。y h w u 和k w t a m 9 1 采用与文献【8 】同样的阵列配置，而对其中信息论准则的罚函数进行了 改进，使得检测概率有很大提高。上述两种方法虽然能够估计空间色噪声条件下 的信号源数目，但由于它们对接收阵列有特殊的要求，其使用有一定的限制。 h t w u j f y a n g 和f k c h e n 】提出了一种基于盖尔圆定理的信号源数目估计方 法。该方法能够估计色噪声条件下的信号源数目，并且对阵列结构没有特殊要求。 p s t o i c a 和m c e d e r v a l l t 针对噪声协方差矩阵为块对角阵或带状对角阵以及噪声 协方差矩阵为任意矩阵两种色噪声模型提出两种相应的信号源数目估计方法。 如果说信号源数目的估计是阵列信号处理中的一个难点，那么相干源数目的 估计则是信号源数目估计问题中的一个难点，特别是色噪声条件下相干源数目的 估计。目前解决相干源数目估计问题的途径主要有两条：一是首先采用空间平滑 的方法1 1 2 1 4 1 来去除信号源的相干性，然后利用适用于非相干源的信号源数目估计 方法来估计平滑后相干源的数目，另外一种方法是采用正交投影的方法对相干源 第一章缝谚 的参数与数目进行联含估计( 州引。空间平滑方法有其自身的缺点，一是在馈噪比 比较低时，利用平滑后的阵列协方藏矩阵进行信号源数目估计的效果很差，二是 空闻警瀑技术只适用于均匀线阵，势虽空嚼平、滑会减小阵列豹有效钝径。壤号源 参数与数目联合估计方法在信噪比比较低时也能够估计相干源的参数和数翻，其 圭要姣点是遮算量魄较大。 在过去的几十年中，人们提出了很多的信号源数目估计方法，但其中许多方 法仪矮有理论意义，劳不麓应用予实际工程中。疆究髓够寂用于实际环境豹信号 源数目估计方法仍是阵列信母处理的个重授课题。 1 3 本文主要内容 本文首先分析了信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影晌，指出在信 号源数目过髂诗的憾况下m u s i c 空阅谱会擞现伪蟓，在欠馈诗蛉愤提下m u s i c 空间谱的某然谱峰完全消失。过估计情况时，m u s i c 谱在真实的信号方向上仍然 会爨凝疆蜂，哭是m u s i c 冀法波这方囱售诗豹糖发薅遘 砉诗戆麓耋瑟降低。欠售 计情况下，m u s i c 谱的谱峰完全偏离了实际的谱峰位置，m u s i c 算法完全失效。 分轿了一耱修正的m u s i c 簿法在未知信号潦数鏊情况下豹饿能，该算法剩弼阵列 协方差矩阵的所有特征向量来构造噪声子空间，从褥不需要信号源数目这一先验 知识，并且修正m u s i c 算法波达方向估计精度接近于信号源数目精确飘知时 m u s i c 算法的馈计糖度。计算机仿囊实验表明修i em u s i c 算法的空间落明显好 于过估计和欠估计情况下的m u s i c 谱，接近真实的m u s i c 空间谱。 在第三豢奔缨了绩诗信号添数爨夔a i c 准刘嚣m d l 壤刘，基于特薤壤一步 预测的信号源数目估计方法以及基于盏尔圆定理的信号源数日估计方法。其中a i c 准则、m d l 准则彝蒸予特鬣篷一步鞭测豹绩号滚数嚣绩诗方法可淤弱来 砉诗自噪 声条件下非桐干源的数目，而基于箍尔圆定理的信号源数目估计方法则可以用来 襞计愿噪声条馋下嚣摆于源靛数尽。通过诗舞极接冀实验分凝了噪声空闲翔关性 对上述信号源数目估计方法的影响。 第四章蓠先分摄了自噪声条 牛下估计穗号源数强鲍信爨论准则以及一步预测 方法的特性。针对色噪声对阵列协方差矩阵特征值的影响，提出一种改善德噪声 条件下阵列协方差矩阵噪声特征馕相等性的特征僮校正方法。该方法可以明显减 小色噪声条件下阵列协方差矩阵噪声特征假的发散程度，使得校最后的特征值的 特性接近白噪声条体下阵列糖方差矩阵特缄值的特性。利用校正后的特征傻，适 色噪声背景中信源数检测方法研究 用于白噪声条件的a i c 准则、m d l 准则以及一步预测方法可以进行色噪声条件下 的信号源数目估计。计算机仿真实验和实测数据的处理结果表明采用校正特征值 的a i c 准则和一步预测方法的性能优于盖尔圆法的性能，而特征值校正的m d l 准则的性能稍差于盖尔圆方法的性能。 第二章信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响 第二章信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响 m u s i c 算法是基于阵列协方差矩阵特征分解，利用信号子空间和噪声子空间 的正交性对信号波达方向进行超分辨波估计的一种方法。该算法发挥其超分辨波 达方向估计性能的前提是信号源数目的准确估计。m u s i c 算法首先对阵列协方差 矩阵进行特征分解，然后根据提供的信源数目确定噪声子空间，利用信号子空间 和噪声子空间的正交性在方向域内搜索来确定波达方向。所以信号源数目估计的 准确性对m u s i c 算法的性能有至关重要的影响。本章分析在信号源数目估计有误 差的情况下m u s i c 算法的性能，并分析了一种修正m u s i c 算法在未知信号源数 目情况下的性能。 2 1m u s i c 算法【2 0 】 采用平面空间的等距线阵，阵兀数为m ，阵元间距为d ( 不大于 2 ) ，信源 数目q ，要求m q 。假设接收阵列位于远场，传播媒质为均匀各向同性介质。在 信号为窄带信号，噪声为高斯白噪声( 均值零、方差盯2 ) 的条件下，阵列输出数 据向量的表达式为： x ( t ) = a ( o ) + s ( t ) + n ( f ) ( 2 1 ) 其中 a ( 口) = 【a ( 已) ，a ( 0 2 ) ，a 峨) j ( 2 2 ) 粥) = 【l ，ir j 芋d s i a ( o ) ，j 2 x ( m - 1 ) d s i n ( o j ) 7 眨， s = b ( f ) ，s 2 ( f ) ，( f ) 】7( 2 4 ) n ( r ) = k ( f ) ，疗：( f ) ，甩。( f ) 】7( 2 5 ) 假设信号和噪声以及各个阵元上的噪声互不相关，则阵列输出向量的协方差 矩阵为： r = a e ( t ) s “( f ) a ”+ e n ( f ) n ”( f ) = a p a “+ 盯2 i( 2 6 ) 上式中p = e ( f ) s “( f ) 是信源协方差矩阵，仃2 i = e n ( t ) n ”( r ) 是噪声协方差矩 阵。协方差矩阵r 是h e r m i t i a n 矩阵，其特征分解为： r = u 。e ，u “+ d r 2 u 。u ?( 2 7 ) 上式中u ，= - ，“：，“，】是信号特征向量构成的特征向量块， 色噪声背景中信源数检测方法研究 u 。= k 。，“。一，“。 是噪声特征向量构成的特征向量块，分别张成信号子空间和 噪声子空间；。是由阵列协方差矩阵的q 个大的特征值构成的对角阵，t 3 r2 是r 的 m - q 个重复的小特征值。根据特征值和特征向量的关系，有： r u 。2 仃2 u ， ( 2 8 ) 另外，由协方差矩阵r 的表达式( 2 6 ) ，有： r u 。= a p a ”u 一0 - 2 u 。( 2 9 ) 所以，由( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式可得：a p a “u 。= 0 ，从而u 。a p a ”u 。= 0 ，又 由p 满秩的条件，有关系式a “u 。= 0 。利用这一关系，m u s i c 算法的空间谱定义 为： 1 c 2 丁两瓦气而 2 1 0 ) 1 a “( 臼) + u ，u ，+ a ( 口) “。“ 2 2 信源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法d o a 估计的影响 在估计的信源数目与实际的信源数目一致的情况下，m u s i c 算法对波达方向 ( d o a ) 的估计是很精确的。但若估计的信源数目比实际的信源数目多( 过估计) ， 则在划分信号子空间和噪声子空间的时候，就会有一定数目的噪声特征向量被划 分到信号子空间，由于信号子空间和噪声子空间共同构成m 维线性子空间，噪声 子空间维数的降低，必然导致信号子空间维数的增加，阵列方向矩阵a 的列空间 与信号子空间是同一子空间，信号子空间维数的增加也就是阵列方向矩阵一的列 空间的增加，意味着爿的列空间内与噪声子空间正交的向量数目增加。而一个这 样的向量对应一个波达方向，所以m u s i c 空间谱会出现比实际信源数目多的谱峰， 即伪峰。同时，在过估计情况下，虽然有一些噪声特征向量被划入了信号子空间， 但是由于构成噪声子空间的仍然是噪声特征向量，所以在利用导向矢量和噪声予 空间的正交行进行波达方向搜索时，在真实的信号方向上仍然会出现谱峰。 如果估计的信源数目比实际的信源数目少( 欠估计) ，在划分信号子空间和噪 声子空间的时候，就会有一定数目的信号特征向量被划分到噪声子空间，信号子 空间维数降低，m u s i c 空间谱的某些谱峰将会消失。同时，由于信号特征向量被 划入了噪声子空间，导致信号子空间与噪声子空间不再正交，这样在利用导向矢 量和噪声子空间的正交行进行波达方向搜索时，估计的m u s i c 谱的谱会与真实的 信号方向有较大的偏差。 为了证明上述分析的正确性，我们进行了计算机仿真实验。图2 1 至2 4 给出 了正常估计、过估计和欠估计三种情况下的m u s i c 谱。 实验1 、信号源数目估计不准确对m u s i c 算法空间谱的影响 第二章信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响 实验中采用1 4 阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长，取快拍数为1 0 0 0 。三个 信噪比均为1 0 d b 独立信号源分别从4 0 。、4 5 。和5 0 。入射到阵列上。噪声为空 间白噪声。 观察信号源数目正常估计、过估计及欠估计情况下的m u s i c 谱。图2 1 是正 常估计情况下的m u s i c 谱，图2 2 和图2 3 分别是过估计8 和过估计1 0 情况下的 m u s i c 谱。可以看出在信源数目过估计的情况下，m u s i c 谱会出现一些伪峰，并 且伪峰的数目随着过估计程度的加重而增多；图2 4 是信号源数目欠估计l 时的 m u s i c 谱，此时m u s i c 谱的谱峰数为2 。在欠估计的情况下，m u s i c 谱的谱峰 随欠估计程度的加重而减少。另外，在过估计和欠估计情况下，m u s i c 谱的谱峰 位置与正常估计情况下m u s i c 谱的谱峰位置相比会发生变化，这意味着过估计和 欠估计带来了d o a 估计的额外误差。从图2 5 至图2 1 0 可以看到这种误差随信号 信噪比和快拍数的变化情况。 信t 目正常估计时h u 辨空嚼谱 恻_ 7 i 1 | _ _ _ _ _ _ - j -j t 选方自皿】 图2 1 正常估计 信撤目过估 时的矾j c 空何鞋 ? 0 童 _ _ 犬 _ 雷 蕊 -_ ， 信号盘目垃估计时的m b 空阿鼍 c ： v | _ i r ，。 i o ” ”鑫方鼎) ”钟 图2 2 过估计f 8 1 信董日戈牯计时忖h 嗽空阿礓 l j 7 。 ， _ _ _ _ _ | 鼠琏z 妊1丑避方m 催) 图2 3 过估计( 1 0 )图2 4 欠估计( 1 ) 实验2 、信源数目正常估计、过估计和欠估计时m u s i c 算法波达方向估计精 度随信号信噪比的变化 实验中采用1 4 阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长，取快拍数为5 0 0 。三个 等功率独立信号源分别从4 4 。、4 8 。和5 2 。入射到阵列上。阵列噪声为空间白噪 0 83匿制ul譬重制u日l 839ul 色噪声背景中信源数检测方法研究 声。信号信噪比从2 d b 以步长2 变化到2 0 d b 。在每个信噪比上，进行5 0 次的m o n t e c a r l o 实验，来观察波达方向估计的均方根误差随信号信噪比的变化情况。实验结 果如图25 至图2 7 所示。 再# n 估”* a t * t 自日 m + n e ” 日) + 过# 计6 ) 、 心 i 、 、# = 信囔m b i 图2 5 正常、过估计( 6 ) 及欠估计( 1 ) 图2 , 6 过估计( 8 ) 和( 6 ) 自# i 镕 * 况t * t # 自均 撮镕差 + t 镕” ： f j k 、 l 、 q 占盎广盎 “罨镕f “”1 。 图2 7 欠估计( 2 ) 和( 1 )图2 8 正常、过估计( 6 ) 及欠估计( 1 ) 两# 戈# 计时涟达方向估计均方根误差 ：魏#书l 幽2 9 过估计估计( 8 ) 和( 6 )幽2 1 0 欠估计( 2 ) 和( 1 ) 从图2 5 至图2 7 可以看出，信号源数目过估计和欠估计时波达方向估计的均 方根误差均高于信号源数目正常估计时波达方向估计的均方根误差；随信号源数 目过估计程度的加重，波达方向估计的均方根误差增大：信号源数目欠估计时波 w 酆k 。 第二章信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响 达方向估计的均方根误差很大，并且随信噪比升高波达方向估计的均方根误差不 会明显降低，因为在信号源数目欠估计时m u s i c 谱的谱峰位置完全偏离了信号源 的真实到达方向，这种偏离不会随信号信噪比的增高明显减小。 实验3 、信源数目正常估计、过估计和欠估计时m u s i c 算法波达方向估计精 度随快拍数的变化 实验中采用1 4 阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长。三个信噪比均为1 5 d b 独立信号源分别从4 4 。、4 8 。和5 2 。入射到阵列上。阵列噪声为空间白噪声。快 拍数从1 0 0 以步长1 0 0 变化到1 0 0 0 。在每个快拍数时进行5 0 次的m o n t ec a r l o 实 验，观察波达方向估计的均方根误差随快拍数的变化情况。实验结果如图2 8 至图 2 1 0 所示。 从图2 8 至图2 1 0 可以看出。信号源数目过估计和欠估计时的波达方向估计 的均方根误差均高于信号源数目正常估计时波达方向估计的均方根误差；随信号 源数目过估计和欠估计程度的增加，波达方向估计的均方根误差增大：信号源数 目欠估计时波达方向估计的均方根误差很大，并且随快拍数增加变化不大，其原 因同实验2 中的分析。 2 - 3 减小信源数目估计误差影响的修正m u s i c 算法 为便于分析，重新写出m u s i c 算法的空间谱函数 dl h “。万两而研i 两 2 1 1 其中，a ( e ) 是导向矢量，在阵列结构已经确定的情况下，其形式也确定。 u 。= u p + iu 。，u ，】是噪声特征向量构成的矩阵。将u 。与其厄米共轭的乘积展 开。有： u 。u ? ：u p + lu ，u 】 i u l p + i u p + 2 ： u m = u ，u “ ( 2 1 2 ) j t p + 1 可以看出，u 。只是利用了噪声特征向量。如果估计的信源数目有误差，就会 导致根据该信源数目确定的噪声子空间与实际的噪声予空间不符，进而导致波达 方向估计的误差。为了避免信号源数目估计不准确带来的影响，考虑利用信号协 方差矩阵的全部特征向量，同时对特征向量进行加权，以使不同特征向量对m u s i c 谱的作用不同。选择适当的权系数，就可以使信号特征向量的影响变得很弱，相 当于m u s i c 算法中只利用噪声特征向量的情形。定义阵列协方差矩阵的所有特征 色噪声背最中信源数捡测方法叫究 向量加权构成的矩阵为： u ： 专古u 一，万1u 。 这里，丑，( i = 1 , 2 ，m ) 是阵列协方差矩阵的特征值 效t g - 。u 与其厄米共轭的乘积为： 吖= 古u ： ：芝知，u ： ：1 l j 1。 一u 1。 u a ? ( 2 1 3 ) 指数m 用来调节加权的 ( 2 1 4 ) 由于大特征值对应的是信号特征向量利用( 2 1 4 ) 式可以减弱信号特征向量 对m u s i c 谱的影响。定义新的m u s i c 空间谱： 。 1 w ”2 了面河可r i 丽 2 - 1 5 ) 修正m u s i c 算法的优点是不用考虑信源数目，因而避免了信源数目估计误差 对m u s i c 算法的影响。 实验4 、修正m u s i c 算法的性能 实验中采用1 4 阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长。三个信噪比均为1 0 d b 独立信号源分别从4 0 。、4 5 。和5 0 。入射到阵列上。阵列噪声为空间白噪声。快 拍数取1 0 0 0 。实验中修fm u s i c 算法中的加权调整系数i l l 取2 。分别对照信号 源数目过估计、正常估计和修正的m u s i c 算法空间谱以及信号源数目欠估计、信 号源数目正常估计和修正的m u s i c 算法空i b 3 谱。 从图21 1 和图2 1 2 可以看出在信源数目过估计和欠估计条件下，m u s i c 空间 谱与真实的m u s i c 谱相差很明显，而修正m u s i c 算法空问谱与真实m u s i c 谱 非常接近，远好于过估计和欠估计条件下的m u s i c 谱。 实验5 、修正m u s i c 算法的性能 实验中采用1 4 阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长。三个信噪比均为5 d b 独 立信号源分别从3 0 。、4 0 。和5 0 。入射到阵列上。阵列噪声为空间白噪声。快拍 数取1 0 0 。实验中修正m u s i c 算法中的加权调整系数m 取2 。分别对照信号源数 _l u 上 第二章信号源数日过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响 目过估计、正常估计和修正的m u s i c 算法空间谱以及信号源数目欠估计、信号源 数目正常估计和修正的m u s i c 算法空间谱。 空目* l i j 三辫潮i l j !； ilj! 拉r l lm 卜i ， 珏1艇 图2 1 1 正常估计及过估计( 1 0 )图2 1 2 正常估计及欠估计( 1 ) 空懈请 j 二： k - o - 矍i 嚣 髂 1 一肇正算接空同谱 ：jj彰 g 。 l _ 蠢 二：侈 ，爰 图2 1 3 正常估计及过估计( 8 ) 空闻谱 二： l + 戈苗计时空呵谴 。1 一正算法空吲暑 j f j i j ， i 、 r l ， - 美选方一畦l 图2 1 4 正常估计及欠估计( 2 ) 从图2 1 3 和图2 1 4 可以看出在信源数目过估计和欠估计条件下，m u s i c 空间 谱与真实的m u s i c 谱相差很明显，而修正m u s i c 算法空间谱与真实m u s i c 谱 非常接近，远好于过估计和欠估计条件下的m u s i c 谱。 2 4 本章小节 本章首先分析了信号源数目过估计和欠估计对m u s i c 算法的影响，指出在信 号源数目过估计的情况下m u s i c 空间谱会出现伪峰，在欠估计情况下m u s i c 空 间谱的某些谱峰完全消失，并且谱峰的位置完全偏离真实的信号到达方向。分析 了一种修正的m u s i c 算法在未知信号源数目情况下的有效性，该算法利用阵列协 方差矩阵的所有特征向量来构造噪声子空间，不需要信号源数目知识，其波达方 向估计精度接近于信号源数目精确已知时m u s i c 算法的估计精度。计算机仿真结 果说明了分析的正确性和修正m u s i c 算法的有效性。 5 色噪声背最中信源数检测方法圳究 第三章噪声空间相关陛对信源数估计算法的影响分析 正如第二章所阐述的，信号源数目的确定在阵列信号处理中占有重要的地位， 信号源数目估计的精度直接影响到信号源其他参数的估计精度。伴随阵列信号处 理技术的发展，学者们提出了很多信源数目估计方法。这些方法由于基于不同的 信号模型，所以它们适用的环境也不相同，尤其是受背景噪声空间相关性影响较 大。在本章中，介绍几种典型信号源数目估计算法，分析噪声空间相关性对其性 能的影响。 3 1 基于信息论准则的信号源数目估计方法 3 1 1 简介 在阵列信号处理中，观测向量可以看作是有限个信号和加性噪声的叠加。其 中一个关键问题是信号源数目的确定。解决这个问题的一个途径就是采用一系列 假设检验的方法来确定信号源的数目。在每个假设中，首先计算似然比统计量， 然后将该统计量与一个阈值进行比较。当该统计量首次超过设定的阈值时，就判 断该假设成立，从而确定信号源数目。假设检验方法的缺点是要人为设定一个闽 值，这就导致信号源数目的估计精度易受人的主观因素的影响。 m w a x 和t k a i l a t h 在文献中提出一种基于信息论准则的信号源数目 估计方法。该方法的优点是它不需要人为事先设定一个阈值，从而避免了人的主 观因素的对信号源数目估计的影响。信号源的数目有准则的最小值来确定。 3 ，1 2 信号模型 设阵列阵元数目为m ，信号源数目是q ，则阵列接收向量可以表示为： i x ( f ) = a ( 印j 心) + n ( f ) ( 3 1 ) 忙l 其中，s ( ) 是第i 个信号的波形：a ( 0 ) 是由阵列结构和第i 个信号的未知参数 决定的m l 维的导向矢量；n ( ) 是m l 维的噪声向量。假设信号源数目q 小于阵 列阵元数m ，并且s 。( ) ，s 。( - ) 为具有零均值和正定协方差矩阵的复高斯随机过 程，噪声向量n ( ) 是具有零均值和协方差矩阵为a 2 i 复高斯随机向量，这里a2 是 一个未知标量，i 是一个单位矩阵，并且噪声与信号相互独立。 将( 31 ) 式写成矩阵形式 x ( ，) = a s + n ( t ) ( ，) 第三章噪声空间相关性对信源数估计算法的影响分析 其中a ：h p 。l ，a 蛾) | ，是m x q 维的方向矩阵；s 7 ( f ) = b 。( r l ，( f ) 】，是口1 维的信号向量。因为噪声是零均值的随机过程，并且与信号相互独立，所以阵列 接收向量x ( f ) 的协方差矩阵为 r = 甲+ 盯2 i ( 3 3 ) 这里t ：a s a 一，表示共扼转置，s = e 【s m ) “j ，是信源协方差矩阵，e 表 示数学期望。 假设阵列方向矩阵a 满列秩，即a 的列向量a x i = l ，g ) 线性无关，信源 协方差矩阵s 非奇异，则矩阵叩的秩为q ，甲的m q 个小特征值为零。用 五钆表示阵列协方差矩阵r 的特征值，则r 的m - q 小特征值等于 盯2 ，即： 九+ l = 一+ 2 = = m = 盯2 ( 3 4 ) 因此，信号源的数目q 可以由阵列协方差矩阵r 的小特征值的个数米确定。但 实际中阵列协方差矩阵r 不能精确得到，只能用有限个阵列快拍数据来估计。这 种由有限个快拍数据估计的阵列协方差矩阵的特征值不再具有( 3 4 ) 式所描述的 性质，即小特征值( 噪声特征值) 不再相等，而是以概率1 具有关系 九+ i 厶+ 2 钆 盯2 ( 3 5 ) 所以在只有有限个快拍数据可以利用的条件下，无法根据阵列协方差矩阵小 特征值的数目来确定信号源的数目。 3 1 3 信息论准则 由a k a i k e 提出的a i c 准则和由s c h w a r t z 及r i s s a n e n 提出m d l 准则是为了 解决模式选择问题而提出的。信息论准则解决的问题是：给定一组观测数据 x ：f x ，x ( ) 】和一系列的参数化的概率模型j r ( x 睁) ，选择与观测数据拟合最好 的模型。 a k a i k e 建议选择使得a i c 准则最小的模型。a i c 准则的定义如下： a c = - 2 l o g f 晔) + 2 k ( 3 6 ) 色噪声背景中信源数检删方法研究 这里6 是参数向量o 的最大似然估计，k 是参数向量。的自由度。( 3 6 ) 式的 第一项是模型参数的最大似然估计的对数似然函数项，第二项是罚函数项。 s c h w a r t z 和r i s s a n e n 从不同的角度来解决上述问题。在采样数目趋于无穷的 条件下s c h w a r t z 和r i s s a n e n 的方法趋于相同的结论。该结论可以表示为： 慨= - l o g s ( x l o ) + j 1 ( 3 7 ) 可以看出，除相差一个常数因子2 之外，m d l 准则的第一项与a i c 准则的第 一项相同，其罚函数项与a i c 准则的罚函数项相差去l o g 。 3 1 4 利用信息论准则来估计信号源数目 为了利用信息论准则来估计信号源的数目，或等价说为了应用信息论准则来 确定信源协方差矩阵甲的秩，首先要有一组可供选择的概率模型。即概率密度函 数。假设观测向量x ( t ，1 t ，x “) 是具有零均值、独立同分布的复高斯随机向量，则 可以得到观测向量的联合概率密度函数。在上述的高斯假设条件下，该概率密度 函数可用观测向量x ( - ) 的协方差矩阵来描述。如果k 个信号入射到接收阵列时的阵 列协方差矩阵用r ( ) 来表示，则在不同的信号源数目假设下，可以得到如下的协 方差矩阵系列： r ( 。) = 叩( + ) + 0 2 i ( 3 ，8 ) 这里甲( 。表示秩为k 半正定矩阵，盯是一个未知标量。其中七 0 ，l ，肘一l ， 代表了所有可能的信源数目。根据矩阵理论中的普分解定理，矩阵r ( ) 可以表示 为： r ：圭以。一0 - 2 ，v ，+ 以 h ( 3 9 ) 这里， ，五。和v 一，u 分别是r 的特征值和特征向量。用o 。表示概率 模型的参数向量，则： o 扣= 乜一， ，口2 v ? ，一，v ? ) ( 3l o ) 既然观测向量x ( f ，l ，x o 。) 是独立同分布的零均值的复高斯随机变量，它们的 第三章噪声空间相关性对信源效估计算法的影响分析 联合概率密度函数为： 厂( x “) ，x 帅略珥n 硼1e x p ( - x ”卟o ， 将上式取对数，并将与参数向量o ( 】无关的项略去，可以得到如下的对数似 然函数： 工( o ) = 一n i 。g d e t r ( 虬t r r ( ) l _ 盘( 3 1 2 ) 这里f r 表示矩阵的迹，矗是采样协方差矩阵，矗= 专萼x o ，k ( f ) ”a 参数o ( ) 的最大似然估计是使得( 3 1 2 ) 式取最大的参数值。在文献2 3 1 中，这 些参数的最大似然估计由下式给出： = ， i = 1 ，k ( 3 1 3 a ) 扩2 志，萎i f f m ， v 12 c i = l ，k ( 3 1 3 c ) 其中， ，： 0 是采样协方差矩阵矗的特征值，c l 一，c 。是矗的特征向 量。将( 3 1 3 ) 式所表示的参数的最大似然函数估计代入到( 3 1 2 ) 式所表示的对 数似然函数中，并通过一些运算，可以得到如下的表达式： ) ： ( 3 1 9 ) ( 3 1 4 ) 式中的对数部分是m k 个小特征值的几何平均与算术平均的比值。 参数向量o ( ) 的自由参数可以根据由o n ) 张成的空间的自由度来计算。由于参 数向量o ( ) 中的特征值为实参数，特征向量为复向量，因此参数向量o ( t 】共有 k + 1 + 2 m k 个实参数。但是，由于参数l 诣t o ( ) 中的特征向量是两两正交的单位向 量，所以o o ) 的k + l + 2 缸个参数并不是全部相互独立的，这使得o ( t ) 中可自由变 扩焉 ，i1 色噪声背景中信源数榆测方法研究 化的参数的数目减少。首先，由于特征向量的单位范数约束，使得oc ”的自由度 减少2 ，同时由于特征向量的正交性约束，使得o ( t 的自由度减少2 三t 一1 ) 。 这样参数向量。耻) 的自由度为： + z 胁一( z 扣叫) 却m 卅 利用( 3 1 4 ) 式和( 3 1 5 ) 式，并根据( 3 6 ) 式，可以得到估计信号源数目的 a i c 准日l i ： a c ( k ) = 一2 1 0 ( m 一女】 u 。l ( k ) = - l o g 蚓“专q m k ) l o g n ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 估计的信号源数目为 o ，1 ，m l 之中使得a i c 准则或m d l 准则取最小值的k 。 m w a x 和t k a i l a t h 在文献证明由m d l 准则得到的估计是信号源数目 真实值的一致估计，由a i c 准则得到的估计不是一致估计，丽是信号源数目真实 值的过估计。m d l 准则是一个优于a i c 准则的信号源数目估计准则。 3 1 5 计算机仿真实验 实验1 、a i c 准则和m d l 准则随信噪比变化的统计性能比较 仿真中采用8 个阵元的均匀线阵，三个等功率的独立信号源分别以角度0 、 1 0 、和3 0 。入射到阵列上，阵列噪声为单位功率的空间白噪声，取快拍数为1 0 0 。 信号信噪比从- - 2 0 d b 以步长2 增加到2 0 d b ，在每个信噪比上进行5 0 次的m o n t e c a r l 实验。实验结果见图3 1 。 实验2 、a i c 准则和m d l 准则随快拍数变化的统计性能比较 仿真中采用8 个阵元的均匀线阵，三个信噪比均为1 0 d b 的独立信号源分别以 rlj吲lil 第三章噪声空间相关性对信潦数估计算法的影响分析 1 7 角度0 。、1 0 。、和3 0 。入射到阵列上，阵