（应用数学专业论文）具间断系数拟线性椭圆组的部分正则性和a调和算子的green函数.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：本文主要结果分成两个部分：第一部分研究了散度型拟线性方程组在拟线 性系数关于自变量z 满足一致v m o 条件结构和低阶项满足自然增长条件的情况 下，建立了其弱解具有确切h 6 1 d e r 指数的部分正则性：该结果改进了系数函数关 于自变量z 有界可测下，用d eg i o r g i m o s e r - n a s h 迭代得到h 6 1 d e r 连续性时的 h 6 1 d e r 指数不确定性，我们得到的关于拟线性系数满足v m o 条件时的结果和连 续系数方程的结果恰好是一致的，这正好说明了v m o 是可积函数空间中的”连 续性”的代替物第二部分考虑了另一类散度型退化椭圆算子的g r e e n 函数在分 布意义上的概念，用逼近g r e e n 函数的方法( m o d i f i e dg r e e nf u n c t i o n s ) ，给出 了一些局部估计以及与p - l a p l a c i a n 算子的g r e e n 函数的比较性；该比较结果有 重要的理论意义，尤其在利用补洞( h o l e - f i l l i n gt e c h n i q u e ) 中g r e e n 函数起到核 函数的作用，所以这种比较是必不可少的，参见卢寒芳硕士论文( 我们合作的论文 材料在卢寒芳硕士论文答辩时已用，这里不再附上) 关键词：v m o 函数；自然增长条件；部分正则性；奇异集；a 一调和型算子；g r e e n 函数；修正的g r e e n 函数 分类号：0 1 7 5 2 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t a b s t r a c t ：t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o nm a i n l yi sc o m p o s e do ft w op a r t ：i nt h e f i r s ts e c t i o n ：im a i n b 7e s t a b l i s ht h ep a r t i a lr e g u l a r i t yw i t has h a r ph 6 1 d e re x p o - n e n to fe v e r yw e a ks o l u t i o n sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ，w h c r et h e c o e f f i c i e n to p e r a t o rs a t i s f i e sv m oc o n d i t i o ni nv a r i a b l ezu n i f o r m l yw i t hr e s p e c t t oua n dt h el o w e ro r d e ri t e ms a t i s f i e st h en a t u r a lg r o w t hc o n d i t i o n w h e nt h e c o e f f i c i e n tf u n c t i o ni nv a r i a b l ezi sb o u n d e da n dm e a s u r a b l eth i sw o r ki m p r o v e t h eu n c e r t a i n t yo fh 6 1 d e re x p o n e n t ，w h e r et h et h eh 6 1 d e rc o n t i n u i t yi so b t a i n e d u s i n gt h ed eg i o r g i - m o s e r - n a s hr e i t e r a t i o nm e t h o d o u rr e s u l to nt h ec o n d i t i o n t h a tq u a s i - l i n e a rc o e f f i c i e n ts a t i s f i e st h ev m oi sc o n s i s t e n tw i t ht h a to fc o n t i n u e d c o e f f i c i e n te q u a t i o n s ：w h i c hi l l u m i n a t e st h a tv m oi st h es u b s t i t u t ef o rt h e ”c o n t i n u i t y ”i nt h ei n t e g r a b l ef u n c t i o ns p a c e ：i nt h es e c o n ds e c t i o nw ei n v e s t i g a t et h e c o n c e p tf o rt h eo t h e rc l a s so fg r e e nf u n c t i o no fd i v e r g e n c ed e g e n e r a t ee l l i p t i co p - e r a t o ri nt h es e n s eo fd i s t r i b u t i o n ，a n dw i t ht h em o d i f i e dg r e e nf u n c t i o n sm e t h o d s o m el o c a le s t i m a t e sa n dt h ec o m p a r i s o nw i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o rf o rt h eg r e e n f u n c t i o na r eo b t a i n e d i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et h e o r e t i c a l l yt h a tt h egr e e nf u n e t i o na c ta sac o r ef u n c t i o ni nt h eh o l e - f i l l i n gt e c h n i q u es ot h a tt h i sc o m p a r i s o n i sn e c e s s a r y ( r e f e r e n c et ot h ed i s s e r t a t i o no fl u ，w h i c hh a v ei n c l u d e dt h ed e t a i l c o n t e n ta n dw i l ln o tb eg i v e nh e r e ) k e y w o r d s ：v m of u n c t i o n s ；n a t u r a lg r o w t h ；p a r t i a lr e g u l a r i t y ；s i n g u l a r s e t ；r e s e r v eh 6 1 d e ri n e q u a l i t y ；a - h a r m o n i co p e r a t o r s ；g r e e n 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t f i m ct i o n ；m o d i f i e dg r e e nf u n c t i o n c l a s s n o ：0 1 7 5 2 v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在毹密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 旮 签字日期：2 瘌年舌月j 日 签字日期：土- 坩年g 月7 日 北京交通大学硕士学位论文 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究一i ：作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名： 脚。( ) 致谢 首先感谢我的导师一郑神州教授，本论文是在郑老师的精心指导和关怀下完 成的无论是在研究生课程学习过程中，还是在论文选题、研究、定稿的过程中， 郑老师自始至终给了我大力的支持和无私的关怀，两年的研究生生活中，郑老师 渊博的知识和严谨的治学态度，使我受益匪浅，并将受惠终生，在此向郑老师表 示深深的感谢 两年的研究生生活使我学到了很多知识，树立了新的观念和目标，感谢所有 在学习研究中传道解惑的老师，在生活上关一t ；- 帮助过我的同学 感谢我同门的师姐师妹：与他们的共同学习生活使我收获多多 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见 北京交通大学硕士学位论文1 引言 1 1 选题背景及意义 1 引言 非线性椭圆型方程和方程组是数学分析的一个经典研究领域由于求解变系 数偏微分方程的实质性困难( 通常能求解出表达式的大多方程只限于数学物理方 程课程介绍的范围) ，尤其对非线性方程( 组) ：求解其解的表示形式一般来说是无 望的，所以我们往往在研究经典解时更多的是集中考虑其适定性问题：解的存在 性、惟性、稳定性和解的渐近性态；s o b o l c v 函数空间的引入为偏微分方程现代 理论提供了合适的研究平台s o b o l c v 函数类是一种特殊的泛函空间，既没有经典 解那样要求函数具有很强的光滑性约束，又能为研究偏微分方程提供大量的泛函 技术；而对分布意义下的弱解( 出于理论和实际的需要：为了得到解的存在性，一 般考虑的是s o b o l e v 空间函数中的弱解) 还须考虑其正则性问题、先验估计和其 它有关性质通过引入了s o b o l e v 函数空间，研究解的存在性问题方法多了，问题 也变得容易了，但是这也产生了一个问题：这样在s o b o l e v 意义下得到的弱解( 广 义解) 是否具有经典解的光滑性呢? 如果不是经典解：与经典解相差多少呢? 这是 我们必须要考虑的问题，也可以认为是一种为容易建立存在性的代价吧! 这就是 我们所要考虑的正则性问题解的正则性提供了分布意义下弱解和经典解的一致 性和差别之处，考虑其解是否是连续和h s l d e r 连续的，以及其梯度的可积性和光 滑性，这对于更好的了解这个解，或者进行数值计算将有很大的帮助很多实际问 题( 如物理中的守恒律方程) 得到的偏微分方程其系数的光滑性不一定很好，实 际上可能出现是间断系数情况，这就产生需要对解的光滑性问题深入研究的要求 1 9 0 4 年，s b e r n s t e i n 就平面上单个非线性方程( n = 2 ，n = i ) 正则性给出了首 个结论：平面内的非线性二阶解析椭圆方程的c 3 类解是解析函数 1 9 3 2 年，e h o p f 用不同于s b e r n s t e i n 的证明方法，将此结论从平面推广到 任意维数情形，并证明了其解的解析性，但仍是对于单个方程的 1 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 1 9 3 9 年，i p e t r o w s k ) 7 曾证明了一类椭圆方程组解的解析性 至1 9 5 7 年左右，c b m o r t 。e j ，l n i l e n b e r g 和a f r i e d m a n 等人当时的最后 工作，证明了：对于一般的线性和非线性解析椭圆方程组，每一个充分光滑的解一 定是一个解析函数这个所谓的充分光滑解也就是说意味着：解。，的光滑性要达 到c 1 t o 期间r c a c c i o p p o l i ：s c h a u d c l ：a d o u g l i s ：s a g l n o n 等对线性椭圆方程组 正则性问题都作过重要的贡献 因此这里存在着问题的空隙：如何将方程及方程组解的正则性从s o b o l e v 函 数类提高到u 1 d ? 这是有待解决的问题 1 9 5 7 年：意大利数学家d cg i o r g i 1 】比较彻底地解决了散度型椭圆型方程解 的正则性问题：证明了：具有l 系数的线性椭圆方程的弱解是h 6 1 d c r 连续的( 用 著名的d cg i o r g i 迭代技巧) ；本质上，为在s o b o l c v 函数类中建立非线性椭圆型 和抛物型单个方程的正则性理论建立了重要的基础而后j n a s h 2 j s c r r i n 3 1 等对其方法加以改进和发展：建立了散度型非线性椭圆和抛物方程的c 1 o 正则性 理论；就单个方程来说得到了较为满意的结果 对于方程组来说，在1 9 5 7 - 1 9 6 8 年期间，人们致力于将方程的结果推广到方 程组上来，但除了在二维时n c 芒a s 得到类似与方程组的结论外，一直以来都得不到 满意的结果直到1 9 6 8 年，d eg i o r g i 给出变分极小解和相应线性e u l c r 方程组边 值问题存在唯一无界解的反例，从而表明他对于单个椭圆方程所得到的正则性结 论不能推广到方程组，也就是说对于方程组的解未必是正则的随后e g i u s t i 和 m i r a n d a 通过修改d ed i o r g i 的例子，给出了自然增长条件下正则变分极小解的无 界性，以及解析系数方程组的解具有奇性；n e 芒a s 构造了拟线性椭圆方程组弱解不 属于芝；j f r e h s e 和m 彻y a 等也独立地构造了相应的反例；1 9 7 5 年n e 亡a s 还 给出了最简单的变分极值问题的解向量只属于l i p s c h i t z 连续，而不是c 1 的；所 有这些例子都说明了：对于椭圆型方程组来说，其弱解在一般情况下是不正则的， 除非在非常特殊的情况会出现处处正则性 自1 9 6 8 年以后，除了二维情况外，关于椭圆方程组和向量函数变分极值问 2 北京交通大学硕士学位论文1 引言 题研究有了部分正则性提法即：在可能的一个“小”的闭奇异集之外：其解是 正则的关于这方面的研究：在7 0 年代和8 0 年代有了大量的工作出现表现 在m o r r e y ，g i u s t i m i r a n d a ：g i u s t i - p e p e ：g i a q u i n t a ，g i a q u i n t a - g i u s t i ：g i a q u i n t a - m o d i c a ，h i l d e b r a n d t 等人的工作中，方法上基本上体现直接方法( “扰动法”) 和 间接方法( “b l o w u p ”方法) 一般来说连续系数非线性椭圆组，g i a q u i n t a ：g i u s t i 和n e e a s 等大量的文献建立了对变分泛函极小问题及在各种增长条件下的部分 正则性结果：尤其对某些几何问题还可以给出了奇异集的h a u s d o r f f 维数的精确估 计另一方面：在经典偏微分方程理论中：对l a p l a c i a n 算子的经典d i r i c h l e t 问题而言：g r e e n 函数技术是非常重要的，它直接的用途可以用来研究区域边界点 判断( w i c n c r sc r i t e r o n ) 4 对于在q 内定义的有界可测系数的一致椭圆型算子， l i t t m a n 5 】等给出了g r e e n 函数和l a p a l a c i a n 算子的比较性，并且给出了相应的 边界正则点的w i n n e r 准则此外：对于更一般的有界可测系数的一致椭圆算子 g r f i t e r 和w i d m a n 6 也得到了关于g r e e n 函数和边界正则点的相同的结论对 非线性椭圆方程的区域边界正则点判断，k i l p e l 茂i n e n ，m a l 3 7 , 和m a z y a 7 ，8 ，9 】等采用 非线性位势理论( w o l f f 位势) 最近，c a n c e l i e r 和x u f l o j 研究了在向量场a 巧属于 c o 。并满足h s m a n d e r 条件( 7 2 ) 时算子l u = 碍( a o x i u ) ) 的g r e e n 函数， 他们认为即使在这样普通的条件下，它和l a p a l a c i a n 或次调和算子一样有边界正 则点近来，人们发现，在分布的意义上，多次幂的截断函数和g r e e n 函数可以在 一定意义上作为散度型椭圆问题的检验函数f 1 1 】之后，l a b u t i n 1 2 】研究了完全非 线性一致椭圆方程f ( v 2 t ) = 0 的解，通过特殊的基本解得到了孤立奇点的s e r r i n 型特征 另一方面，c h a n i l l o 和w h e e d e n 1 3 】考虑了退化型椭圆方程的g r e e n 函数的 存在性并给出了估计，m a z z o n i 1 4 】得到了非正则系数的x 椭圆算子的局部估计 和表达形式总之，g r e e n 函数和区域边界正则点的w i e n e r 判断【7 , 8 ，9 】，随机游戏 问题 1 5 】，弱解的正则性f 7 , 9 ，1 5 ，1 6 】等很多问题有着紧密的联系事实上，g r e e n 函 数在各种偏微分算子的应用领域中有着重要的作用，特别是在线性和非线性的椭 3 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 圆问题上【6 ：1 l ，1 5 1 6 1 7 】 在本文的第三章，非线性退化椭圆算子4 的o r e e l l 函数的慨念是非线性势 能理论中l a p a l a c i a n 算子的直接推广我们主要证明4 一调和算子的g r e e r l 函数 和p - - l a p a l a c i a n 算子基本解比较性 1 2 论文的体系框架和主要内容 本论文内容由下面三部分构成： 第一章介绍了本文所研究问题的选题背景、理论价值和实际意义：列出了论 文的体系框架和主要内容 第二章将研究如下的满足自然增长条件的拟线性椭圆方程组： 一d 。( a 字( z ：u ) d z u ) = b i ( z ， 1 2 ，d u ) ： 口e z f 2 ，i = l ：2 ，； 在散度型拟线性算子的自变量x 一致满足v m o 的结构条件下，建立其弱解有确 切h s l d e r 指数的部分正则性 第三章主要是研究如下散度型非线形退化椭圆算子： a u ：= - d i v a ( x ，w u ) ， 在开区域q r ”( 几3 ) 内g r e e n 函数的比较性 4 北京交通大学硕士学位论文2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 2自然增长下具v m 0 系数拟线性椭圆组的部分正则性 本章考虑的是如下满足自然增长条件的拟线性椭圆组的弱解具有确切h s l d e r 指数的部分正则性问题 - d 。( 4 穿( z ，u ) d 口u ) = b i ( x ：t f ，d “) ： ( j e 丁q ，i = 1 ：2 ，n ( 2 1 ) 这里q 是r “( ，l 2 ) 中的区域，向量函数1 1 , ：q r 的微商d t ，= ( d 。，) = ( 券) ：其中r i ，= 1 ：2 ，n ：j ：j = 1 ，2 ，v 当系数算子1 警c o ( q r ) 时，对于n = 1 经典的s c h a u d e r 方法得到 弱解梯度的内部h 6 1 d e r 估计和位势理论的估计( 参见1 4 1 1 8 】) ：对于n 1 , m g i a q u i n t a 和g m o d i c a 在【1 9 】通过建立m o r r c y 空间l 2 , a , c a m p a n a t o 空间2 1 估计式及一b l o w - u 方法：得到散度结构椭圆方程组( 1 1 ) 弱解梯度的部分正则性 而对于具有界可测系数的散度型线性方程，d cg i o r g i 1 】和n a s h 2 】首先用著名的 d cg i o r g i n a s h m o s e r 迭代方法，建立了其内部h 6 1 d e r 正则性估计之后，o a l a d y z h e n s k a y a 和n n u r a l t s c v a ，c b m o r r e y ，g s t a m p a c c h i a ，n v k r y l o v 和m v s a f o n o v 等进一步对散度( d e g i o r g i n a s h m o s e r 迭代) 和非散度( k r y l o v e v e n s 估计) 的非线性单个方程( 包括椭圆和抛物型方程) 得到类似相同的结论 ( 参见【1 ，1 8 ，2 0 ，2 1 】) ，但用迭代技术得到的h a r n a c k 不等式和”b l o w - u p ”方法建立 的h 6 1 d e r 连续性指数是无法确切给出这里我们感兴趣的是对于拟线性系数算子 a 管( z ，札) 在不连续依赖于自变量z 的较弱条件下，如何建立弱解具有确切指数的 内部h s l d e r 连续性结果s a r a s o n 2 2 】引入的v m o 函数空间是本文问题所考虑的 一个合适子类，它具有界可测函数和b m o 函数并不具备的一些好的函数论性质， 并且要求其函数又不必是连续的 本文第二章的出发点是文【2 3 - 2 7 】中具有v m onl o 。系数的线性和非线性椭 圆、抛物型方程，以及文【2 8 】中泛函的局部极小的驴- s c h a u d e r 理论进一步发展； 主要研究了在允许系数算子月圹对自变量z q 关于t r 是一致消失平均振 5 北京交通大学硕士学位论文 2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 荡的条件下，连续依赖于未知函数m 在给出算子一岁【，。，) 和以( ，- md 7 1 ) 的结构条件前先给出v m o 函数空间的定 义和一些事实 对于，l z 。( q ) 和任意0 “ 。c ，如果 a ，n ( ，：q ) =s u p i q ( z ：p ) i 一1 f j ( v ) 一厶p id y + o c ( 2 2 ) z j 2 ，o p a j o ( x ，p ) 称厂b m o ( a ) ，其中m o ( j ，q ) 为空间男n ，o ( q ) 的半范；这里的f l ( x ：p ) = q n 月( z ：p ) ：z q ，厶，p ：= 雨b 矗【w ) ( 可) d y ：参见【4 ，7 】 定义2 1 【2 2 j ，l z 。( f 1 ) 称为y i ，d ( q ) 空间函数，如果 m o ( j ) = 1 i m 。m o ( f ，q ) = 0 u 个直接的结果显示：设f b j r d ( q ) ：则f 满足如下个更强的性质：v1 p + 。o j 有f 驴( q ) ，且 ( 胪厶m ) 吐胛咖) ；s ) 川加) ( 2 3 ) 其中0 0 ，使得 i a 嚣o ( x ，u ) i l ，比q ，u r ( h 3 ) ( 关于钍连续) 存在常数c 和凹函数( 凹 函数的连续模可以取作o o ( t ) = i n f ( a ( t ) ：入( t ) 凹的和连续，对于任意连续模a ( t ) 具有a ( t ) q ( t ) ) u ：r + _ r + ，满足u ( o ) = 0 ，0 u l ，使得 i a 嚣o ( z o ，u ) 一a 嚣a ( x o ， ) i c u ( 1 仳一口1 2 ) ， 比o q ，u ，v r ； ( 2 5 ) 6 北京交通大学硕士学位论文2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 ( n 4 ) ( 自然增长性) 对于“1 2 nl 。( q ：r 。v ) 和n j r = 一t 。n 1 ) f 低阶项 b i ( f ： 1 1 ，d , 1 1 ) 满足 i 以( t ：md i i ) l l ( ，) ( i d ，1 2 + ，2 ( j j ) ) ( 2 6 ) 其中，i ( z ) l q ( q ) ：g 号：i = 1 ：2 ， 2 1 预备知识 先给出m o r r e y 空间的有关概念 定义2 1 对于p 1 和a 0 ，定义m o r r e y 空间为 沙，r 忙 u 叫q 船s u pp l u l p d x - i - ) ； 其范数为 ”l i l ，xc n ，= s u p 。p 一 上。，纠i u i p d z ) ；， c 2 7 ， 其中f 2 ( x o ，p ) = b ( x o ，p ) nq ，b ( x o ，p ) 表示r ”中以x 0 为一6 - ，p 为半径的球，d 为 q 直径，参见【1 8 ，2 9 ，3 0 下文中设仳咄nl o o ( q ，r ) 为方程组( 2 1 ) 的弱解，其意义理解为： 上a 垆( z ，u ) d o u j 优如= f b i ( x , u , d u ) 扩如，w 哪2n l ”( q ，r ) ( 2 8 ) 2 2 相关引理 为了用c a m p a n a t o 的冻结法，记球体上的积分平均为 a 孙_ 孤r = 乞。) a 垆( y ，l t x o , r ) 坝 7 北京交通大学硕士学位论文2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 篓然一1 2 帅呱) 2 ， z 岍“：u ( 加，：) 2 埘 u b a = o ) i 。u 1 2d z 冬c ( 袅) ”五月。，i 刃”1 2 d r ： ( 2 2 3 ) i d ( v 一1 i ) 1 2 d - e , sc i d u 2 d x( 2 2 5 ) j b n ( z o )j b n ( x o ) 厶r(训以字(，u孤r)砘r)daud,，fh=)1字(，。，r)m只)d口u,jdajd b n ( z o 以n b r ( z o ) 北京交通大学硕士学位论文 2 自然增长下具v m o 一墨墼塑垡壁煎堕堡堕塑坌重型堡 引理2 2 3 唯代引理l 设中( ，) 是一卜非负的单调增函数! 且满足 西( p ) a 【( 晏) 。+ f 】圣( 尺) + b 廖 vo ，j b ：那么一定存在两个常数f o = r o ( a ：“：b ) 和 c = c ( a ，“，厶) ，使得当f f o 时：有 圣( ，j ) c i ( 晏) 6 西( r ) + b t ，6 】： v o ，j 兄 0 ， 使得vb r ( j ：o ) cf 2 ，0 几，所以由( 2 6 ) 可得 阮譬i 。衅d ；cm ri d u l 2 叫+ c 阢r 军圳9 翻j c 2 7 ， 引理2 2 5 【d i r i c h l e t 增长定删设t w 1 ，2 ( b 尺( z o ) ，r ) 满足如下增长不等式： l d “1 2d x m 2 r 驴2 + 2 ， v b 兄( z o ) cf l ； ( 2 8 ) j b _ r ( z o ) 则u ( q ，r ) ；并且v gc cq ，有 8 盯u plui+z，甜snu，p，。掣铧cl彳+iiuiil：(q)】， 9 北京交通大学硕士学位论文 2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 其中c = u ( 幔 ：q 7 ，n ) 0 ，参见1 1 8 第三章推论3 2 】 引理2 2 6 h a u s d o , f f 维数估计 设q 是冗“中的开集 0 。( q ) ：如果对于 0 s 0 ) ， 亿9 ， 则有 l is ( 、e 0 = 0 1 参见【3 2 ，第二章：p 7 7 2 3 主要结果及其证明 本蕈建立的主要结论如f ： 定理2 3 1 对于n 1 ，设，“1 4 。1 。anl ”( q ，r + v ) 是散度型拟线性椭圆组( 2 1 ) 的弱解假定系数算子以垆( r 川) 满足条件( t 1 1 ) - ( h 3 ) ，且低阶项仉( ：r ，md 。，) 满足 条件( h 4 ) 如果对于i ，“i l ，有2 p ( a j r ) 1 ， l ，；则一定存在一个开子集q f jcq ： 满足d i m h ( f 2 q o ) n 一2 ：使得 札c o ，5 ( q ，r ) 其中圪= 2 一号，d i m h 表示h a u s d o r f f 维数 i t n ：对于给定的x o q ，o 冗 2 ，其中d = d i s t ( x o ，a q ) ；则b 2 兄：= b 2 曰( z o ) cq 设u ( z ) 是d i r i c h l e t 问题( 2 2 1 ) 的弱解，对于0 p r ，由引理i ， 有 k ，i 砒1 2 d x 宁 厶hi 刃z ，i p d r ) ； c ( p ) ( u 。r ”) 学 确。4 穿( ? 。：“砘r ) 】 u c 冗” ，暑f 4 字( x o u x a , r ) 】( z 。l j 7 ) 札i pd 丁) ； c r “ 确1 岁( d u pr 2 1 虬咿，时吖c z 。 c 吲a 垆( 孤仳m r ) 盼t 1 2 如 b 2 l + c i j r 轧1 垆( ：m 。l m j r ) 】胪一号 c , w j r 2i h a 巧3 ( z o ：u 。，r ) 阪 1 z ) ) ：i i j 汜硼_ ”以：) d u l 2d x + r 2 q “i ib ( 2 3 9 ) 其中k = 2 一号 为了估计i i i 项，根据假设条件( h 3 ) ：h 6 1 d e r 不等式，逆向h s l d c r 不等式 ( 2 2 7 ) 和凹函数的j e n s e n 不等式( 2 2 2 ) ：有 i i i = 小 c b r 垆( z 池。，凡) 一月圹( z ，札) 1 2 i d u l 2d x u 2 ( 1 u u x o , r 1 2 ) l d u l 2d x c 上r m i u - - u x o , r 1 2 ) ，冬出) 宁 上ri 。u 阳z ) ； c 彤 五r 圳u - - u z o , r 1 2 ) 似( i u - - u x o , r 1 2 ) 】爱出) 学 互咒i 。u i p d z ) ； c 彤 ； c r n u 学 吣b i u u 。，r 1 2d z ) k rl 。乱1 2d z + ( 厶r ；i f i ( x ) l q d x ) j 利用s o b o l e v 不等式 m c u 宁( c 舻上rw 如) ( 口驯2d z ) + c r n + 2 - 2 e i i l y d l 胁 1 3 ( 2 3 1 0 ) 1 一q 北京交通大学硕士学位论文2 自然增长下具v m o 系数拟线性椭圆组的部分正则性 其中 = 2 一n q 综述式( 2 3 1 ) ：( 2 3 3 ) 和上面i i i ：i i i 的估计式则v 1 ) 0 ，只要e ( 凡) 0 0 ，这 里r o d i s t ( ：r o ，d q ) ；贝0 有 猡( z o ，r ) e 0 ， v 0 r 。) 根据引理2 2 6 ，则 定理2 3 1 得证 咒”2 ( q q o ) = 0 北京交通大学硕士学位论文 3a 调和方程的g r e e n 函数的比较性 3 a 一调和方程的g r e e n 函数的比较性 本章主要研究如下散度型非线性退化椭圆算子a 在开区域q r ”f n 3 ) 的g r e e n 函数： a u ：= 一d i v 4 ( 丁：v u ) ：f 3 1 ) 这里1 ( t ，v u ) ：q r “一r “是c a r a t h d d o r ) s 向量函数：即对r “，1 ( ，f ) 关 于r 是可测的，对任意的_ ：。1 ( ，f ) 关于f 是连续的且对于常数n ，和1 0 定义函数g ( ，) ：q qh r t j x ) 称为a 一调和算子( 3 1 ) 的修正的g r e e n 函数若对每一个q 和任意小的h 0 ：有g “( ：y ) w o p ( q ) 且对任意的 ( t ) 曙( q ) ： a g h y ，纠：= ( 1 ( z v g ( z ) ) ：v 西( 州d x = 6 h ( y z ) 妒( z ) 出： ( 3 1 2 ) j n1 1 这里6 h ( z ) = 盟i ，h l ：x 是在b h ( u ) 的特征函数，i b h l 表示r ”内以y q 为心：h 为半径的球的体积c f 1 3 3 - 3 5 因为谨( q ) 在l “伊( q ) 内稠密，且对任意小的h 0 和检验函数曲 嵋p ( q ) ，h 拓。妒( z ) d x 是喇p ( q ) 上的有界线形泛函因此，由( 3 1 2 ) 可知 对任意的检验函数砂( z ) w d p ( q ) 4 f 四，小= fi 似，v g 舻m ) ) 把六) 州如 ( 3 1 3 ) 文献【3 0 】中讨论了a 调和方程弱解的存在性和唯一性问题，那么g r e l 2 n 函 数g ( jy ) 在分布意义下的存在性和唯一性也是成立的 3 2 相关引理 引理3 2 1 i ：i 4 4 ，4 5 l 设q 是有