（应用数学专业论文）基于ar1误差函数型半参数回归模型渐近性质的研究.pdf

基于a r ( 1 ) 误差函数型半参数回归模型渐近性质的研究 摘要 本文主要研究了基于函数型半参数回归模型y = x r + 朋仃) + 占，其中( x ，y ) 是在r ，r 上取值的实随机变量，丁是取值于无限维半度量空间( e ，d ) 上的函数型随 机变量( f r v ) ，为p 1 维未知实参数变量，m ( ) 为未知的算子，( x ，t ) 与误 差占相互独立，当误差满足a r ( 1 ) 过程时，建立了这种函数型半参数回归模中未知 参数的估计量和非参数部分m ( o ) 的估计量m ( t ) 的强收敛性，推广了现有文献 中的相关结果。 关键词：函数型半参数回归模型；函数型随机变量；强收敛性；a r ( 1 ) 过程 a s y m p t o t i cp r o p e r t i e sf o r f u n c t i o n l s e m i - - p a r a m e t r i cr e g r e s s m nm o d e l sw i t ha r ( 1 ) e r r o r s a b s t r a c t c o n s i d e raf u n c t i o n ls e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l s ，l ，= x r f l + m ( t ) + g ， w h e r ( x ，y ) a r er e a lr a n d o mv a r i a b l et a k i n gt h e i rv a l u e si nr p r ，tt a k e si t sv a l u e si n as e m i m e t r i cs p a c e ( e ，d ) w h i c hi so fi n f i n i t ed i m e n s i o n ( r v ) ，i sa nu n k n o w n v e c t o r i nr p ，m ( e ) i sa l lu n k n o w nf u n c t i o ni nr ( x ，t ) i si n d e p e n d e n to ft h ee r r o r s i nt h i sp a p e r ，c o n s i d e rs o m ea s s u m p t i o n s ，w eb u i l dt h es t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h e e s t i m a t o r o ft h eu 1 2 k n o w nv e c t o r a n dt h ee s t i m a t o rm ( t ) o f t h en o n p a r a m e t r i c 聊( ) w h i c h i nt h ef u n c t i o n a ls e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lw i t h a r ( 1 ) e r r o r sa n de x t e n dt h er e s u l t so f f u n c t i o n a ls e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l w i t h a u t o r e g r e s s i v ee l t o r s k e y w o r d ：f u n c t i o n ls e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l s ；f u n c t i o n a lr a n d o m v a r i a b l e ； s t r o n gc o n s i s t e n c y ；a r ( 1 ) m o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下近行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盒月墨王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：喊铅犟签字眺加知年午月冶日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金魍王些太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权金罡王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库近行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：减磊辱 签字日期：2 0 1 0 年争为潞日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 首先，感谢合肥工业大学数学系为我提供了难得的学习机会和良好的学习、 生活环境。这篇毕业论文是在我的导师凌能祥教授的支持、鼓励和精心指导下 完成的。在我研究生三年的学习中，凌老师严谨的治学态度、深厚的学术造诣， 平易近人的崇高品质，对我产生了深刻影响，导师三年对我的教诲使我受益终 生。 其次，我要向读研期间教授我知识的朱士信教授，杜雪樵教授，惠军教授 等表示深深的谢意，你们辛苦了。 感谢合肥工业大学数学系0 7 级数学学院的所有同学，和你们一起度过的三 年美好时光我永远不能忘怀。 要感谢的人实在太多，在此衷心祝愿所有关心、帮助我的老师、同学、朋 友和家人万事如意。合肥工业大学越办越好。 作者：臧智军 2 0 1 0 年4 月 第一章绪论 1 1 引言 在客观世界中，普遍存在着变量之间的关系，变量之间的关系一般来说分 为确定性和不确定性两种。确定性关系是指变量之间的关系可用函数关系来表 达，变量之间的不确定性关系，称为相关关系。许多实际问题，往往要考察对 象y ( 响应变量) 同影响】，的因素( 解释变量) x 之间的关系，若响应变量】，于 解释变量x 之间存在着某种相关关系，即当x 取一定值时，不足以确定y 的值， 但能确定j ，的条件分布。】，对x 取值的依赖关系，是最广意义下的回归关系， 回归分析就是研究具有相关关系的变量之间的统计规律性。 自f g a l t o n 在1 8 8 6 年首次提出回归模型以来，在过去的几十年来，该模型 被广泛的应用于工农业、气象、经济管理以及医药卫生等领域，同时由于实际 应用的需要，回归模型也在不断发展，其模型从最初的参数回归模型发展到非 参数回归模型，接着又发展到半参数回归模型。随着回归分析的理论研究不断 深入，回归分析越来越深刻的应用于实际生活中。 e n g l e 于1 9 8 6 年在文1 1 中提出了在有限维场合下的半参数回归模型 y = x 。+ m ( t ) + s ，具体来说，( x ，l ，r ) 是在r p rx 0 ，1 】上取值的随机度量， 为p 1 维未知实参数变量，朋( ) 为定义在 0 ，1 上的未知的实函数，s 为随机误差， 满足e ( 占) = 0 ，盯。( s ) 为秧序列，a 2 ，= 厂( ) ，为一常数且u i ( o ，1 ) ，f 为未知 函数 ：妻巳谚一，其中 2 ) 为秧差序列，o oi 勺l 2 ) 阶平均相合性。在实际生活和实际操作过程中，数据污染，或数据观察 存在误差是很常见的现象，在经济学中尤其常见，而在我们收集数据的过程中，由于 2 人力、财力的等各种条件的限制，数据存在截断或者删失也是一种常态。对污染数 据的半参数回归模型的研究崔恒建，马俊玲，薛留根等取得了些优秀的成果，而对 存在数据截断( 数据删失) 时半参数回归模型的研究领域，在国内，王启华分别就截 断分布已知和未知俩种情况，结合非参数的核权函数法和最小二乘法定义了和 m ( t ) 的估计，并证明了他们的强相合性，此外，国内一些其他学者也对数据截断( 数 据删失) 时半参数模型进行了推广，也获得了一些优秀成果。在国外，近年来，对这 一模型尤其是在计量经济学领域的研究的成果也越来越多。 第三就是实证和应用研究。对半参数回归模型的实证研究的成果并不是很多。 1 9 9 4 年，黄四明，采用逐点多项式结合最小二乘的估计方法，把半参数模型引 入居民消费结构框架，分析了我国未来2 5 年的居民消费结构变动趋势，并与线 性回归模型相比较，说明了半参数回归模型的优越性；2 0 0 6 年，韦红梅等在金 融经济发表的一篇论文中，用v a r ( v a l u e - a t - r i s k ) 半参数回归模型对深圳成指进 行实证研究，获得了优异的模拟结果。 近年来，随着随着现代化仪器和设备的使用，我们观察到的数据的时间间隔越 来越短，我们观察到的几乎是连续的函数曲线，直观上称之为函数型数据在医学、 经济学、生物学、气象学等领域有广泛应用其定义如下： 若随机变量x 取值于一个无限维空间( 函数空间) ，称x 为一函数型变量； 彳的观测值z 称之为函数型数据( f u n c ti o n a ld a t a ) 有时记：x = x ( t ，仍) ，t tcr ； 相应的观测值：z = z ( t ，c o ) ，t tc r 与x有相同分布的n 个函数型随机变量 五，置，以 的观测值 石，筋，以称之为函数型数据集( f u n c t i o n a ld a t a s e t ) 当tetc r 2 时，x = x ( r ，国) 表示一随机曲面 我们来看下面这个例子。 例l ：( 身高曲线，r a m s a y s il v e r m a n ，2 0 0 6 ( 参见文 2 3 )下图提供了研究中涉 及的数据原型，图中显示了1 0 个女孩从出生至1 8 岁在不同生长时期所测得的升高 身 崔 同1 厘 米 1 年龄( 年) 从图中可以看到，测量的时间间隔不等：当孩子一岁时有4 次测量；2 岁到8 岁 时，每年测量1 次，接下来每年测量2 次，每个小孩对应3 1 个离散点，反映了其身 高的变化情况，称之为身高函数。用一条光滑曲线拟合。于是获得了1 0 个身高函数 日) ，f = 1 ，2 ，3 1 0 。构成了所需的样本曲线，对这些数据，虽样本之间的变化不甚 明显，但如果研究其加速变化的规律，则令d 日，：竺鍪， 因此，曲线与曲线之间的细微差别可由其身高函数丹聊的( 高阶) 导数变化反映。 这样，我们需要有函数曲线的记录而不记录一些离散点。 这个例子就是函数型数据的一个直观应用。 函数型数据是随机变量取值于无限维空间的，这与以前的随机变量取值于有限 维空间有着本质的不同，因此，函数型数据的回归模型不论在理论上还是在实际应用 中都有着广泛的前景，最近几年来也逐渐成为研究的热点。 1 2 函数型数据回归模型研究现状 近年来，随着现代化仪器和设备的使用，我们观察到的几乎都是连续的曲线，这 在应用统计许多领域有着广泛的应用，所以，对函数型数据的回归模型的研究越来越 受到广泛的重视。r a m s y s i l v e r m a n ( 2 0 0 2 ) ( 参见文 2 1 ) 在其著作中详细介绍了 函数型数据的背景及早期的一些研究成果。c a r d o te ta l ( 2 0 0 3 ) 将函数型数据引 入到参数线性回归模型研究中，通过光滑样条估计的方法获得了响应变量的估计量并 给出了估计量的收敛速度( 参加文献 2 2 ) ：随后，f e r r a t y fa n dv i e up ，将函数 型数据引入非参数回归模型中，提出了基于函数型数据的非参数统计方法，获得了一 些优秀的结果。如：f e r r a t y 和v i e u ( 2 0 0 2 ) ( 参见文 2 4 ) 提出了利用函数型数据 模型近行时间序列预测的非参数回归模型，获得了模型中非参数回归算子估计量的渐 近性质；随后f e r r a t y 和v i e u ( 2 0 0 4 ) ( 参见文 2 5 ) 近一步研究了基于相依场合下 函数型数据的非参数估计，并获得了估计量的几乎必然收敛速度；在此基础上，m a s r y ( 2 0 0 5 ) ( 参见文 2 6 ) 获得了基于相依函数型数据的非参数回归核估计的渐近正态 性。最近a z z e d i n e 和o u l d s a i d ( 2 0 0 8 ) ( 参见文 2 7 ) 运用稳健的方法，基于独立 同分布函数型样本下，获得了非参数回归函数稳健核估计的几乎完全的收敛速度。在 国内，作者的导师凌能祥教授获得了改良核回归估计几乎完全收敛及其收敛速度( 参 见文 4 7 3 ) a n e i r o s p 6 r e z ，v i e up h i l i p p e ( 2 0 0 6 ) 在文 2 8 中，首次把函数型数据 引入半参数回归模型中，建立了一种叫做函数型半参数的回归模型，用最d - - - 乘核估 计的方法得到了和m ( r ) 的估计量，并给出了他们的收敛速度，最后还给出了实证 模拟来说明此种模型的用途。 函数型半参数回归模型如下： 其中，墨= ( 置，置2 ，) r i = l ，2 ，n ： no 厶工 = 1 毛 + z m + 色西 p 脚 = q + 、- 、巧- m+ 曰 f = y x = ( 墨j ，五j ，) 7 3 = 1 ，2 ，p ：x = ( x 1 ，x 2 ，x 尸) ， 】，= ( i ，k ，) ： m 为未知的光滑算子； z 是在无限维半度量空间f = ( e ，d ) 上取值的函数型随机变 量( f r v ) ； ( 工。z 。互) ，( 咒，匕，瓦) 为同分布于( x ，】，丁) 且在r px rxf 上取值的n 对随机变量； 且与 b ) 矧厶埘相独立的随机变量序列； 占= ( e l ，e 2 ，乞) ，e ( q ) = 0 ，o r 2 占 0 0 这种模型结合了半参数回归模型和函数型数据的非参数回归模型的优点，在实际中有 着更加广泛的用途。对这种函数型半参数回归模型，a n e i r o s p 6 r e z ，v i e up h i l i p p e ( 2 0 0 7 ) 在文 2 9 中将函数型半参数回归模型用于时间序列预测，得到了参数和非 参数部分的估计量，并给出了这些估计量的渐近性质，并且通过一些实证模拟得出了 此模型的优良性质；现有文献绝大部分都是对函数型半参数回归模型的参数和非参数 部分的研究，而对函数型半参数回归模型的误差的研究则较为少见，凌能祥教授在近 年得到了此种模型的误差方差的估计及渐近分布( 参见文 4 8 3 ) ，以上这些函数型半 参数回归模型的研究均为基于误差为i i d 的情况下得到的结果，而在误差为相依情况 下，s o p h i ed a b o n i a n g ，s e r g eg u i l l a s ( 2 0 0 8 ) 在文 3 0 中研究了在用最小二乘 核估计法得到了函数型半参数回归模型中参数的估计量，并得到了当误差满足弱平稳 a r ( d ) 过程时，这种函数型半参数回归模型中参数的估计量的渐近正态性，并通过蒙 特卡罗模拟的方法对结论近行了验证。 1 3 本文主要内容 本文受以上文献启发，及在导师的指导下，在一些假设条件下，主要解决了当 误差为a r ( 1 ) 过程时，这种函数型半参数回归模型未知参数的估计量和非参数m ( t ) 的估计量的强收敛性，推广了相关文献的结果。 本文组织结构如下：第二章介绍了于本文相关的一些基本定义，记号等 预备知识：第三章研究了在一些假设条件下这种函数型半参数回归模型中未知参 数的估计量的强收敛性；第四章研究了在一些假设条件下这种函数型半参数回归模 型中非参数估计量的强收敛性：第五章为总结和下一步工作 6 第二章预备知识 2 1 半度量空间 我们知道，函数型数据取值的无限维空间f 越大，数据越分散。其实，分散 性的大小与数据之间接近的度量方法有密切的关系。为此，在函数型数据所在的空间 f 中，我们引入半度量。 在有限维空间中： x = ( 而，恐，x p ) r p ，经典的欧式范数： x2 吖= 二x 玎2 + x 2 2 + + x p 2 瑚外漕舻跪斛罐护撒施 在无限维空间f 中，范数之间的等价性不成立，因此，范数的选取很重要。在函 数型数据所在的空间中，由于曲线的形状、统计研究的目的等，使我们选择适当的半 度量，因此，有半度量的空间比引入度量空间更好；于是，在无限维空间f 中用半度 量来衡量曲线之间的接近性程度。 定义设f 为一无限维空间，d ：f f 专r ，满足： ( 1 ) d ( x ，y ) 0 ，d ( x ，x ) = 0 ，v x f ，y f ( 2 ) d ( x ，y ) = d ( y ，x )； ( 3 ) v x ，y ，z f ，d ( x ，y ) d ( x ，z ) + d ( z ，j ，) 称d 为f 上的半度量( 距离) 函数；称( f ，d ) 为半度量空间 即对半度量d ，由d ( x ，y ) = 0 得不到x = y ； 若d ( x ，y ) = 0 j x = y ；称d 为度量 如任意两条曲线魄( f ) ，誓( f ) ，取( 薯，_ ) = r 薯( f ) 一_ o ) ) 2 衍j 矾( ，) 为度量； 如取吐( t ，_ ) = k 薯2 ( ，) 一_ 。( f ) ) 2 衍j 吐( ，) 为半度量：或取半度量族 以( 薯，_ ) = k t _ ( f ) 一_ ( f ) ) 2 衍叱( ，) ，聊= 1 ，2 ，这种半度量使我们能看 到更多的数据( 曲线) 信息可以根据统计研究的目的及数据( 曲线) 的特点，选取适当的 最优半度量 2 2 口混合 序列 置，z ) ：。当。l i m 口o ) - o 时称为口混合， 对于v 刀1 ， 7 口( ，z ) = s u p p ( a b ) - p ( a ) p ( b ) a 2 【：，b 烈嚣珂) ， i k 疗 其中2 【：是由 置，r ：。构成的盯代数。 2 3 几乎必然收敛( a s 收敛) 设 x 。，即1 是r v 序列，若：p ( 1 i m s u p x , , = l i m i n f x , , ) = 1 ，则称该序列是几乎 必然收敛的，记为x 。专x ，a s 第三章误差为a r ( 1 ) 过程的函数型半参数回归模型 3 1 引言、记号及假设条件 3 1 1 引言 参数估计的强收敛性 文章研究了基于半函数型偏线性回归模型y = x r p + m ( t ) + s ，其中( x ，y ) 是在 r pxr 上取值的实随机变量，丁是取值于无限维半度量空间( e ，d ) 上的函数型随机变 量( f r v ) ，为p 1 维未知实参数变量，m ( o ) 为未知的光滑算子，( x ，t ) 与误差s 相互独立，在一定假设条件下，当误差满足a r ( 1 ) 过程时，建立了这种函数型半参 数回归模型中未知参数p 的估计量的强收敛性；推广了现有文献中的结果。 3 1 2 模型和一些记号 当自回归误差满足a r ( 1 ) 过程时，函数型半参数回归模型为： 鬈= f 。+ 聊( 巧) + t = x o f l y + m ( t , ) + 岛 ( i = 1 ，2 ，n )( 1 ) 其中，墨= ( 墨l ，置2 ，墨：) i = 1 ，2 ，n ： x 7 = ( 墨_ ，五，) 1 j = 1 ，2 ，p ：x = ( x 1 ，x 2 ，x p ) ，】，= ( 墨，艺，艺) ；m 为未知的光滑算子； z 是在无限维半度量空间f = ( e ，d ) 上取值的函数型随机变量( f r v ) ( x l ，i 。石) ，( 以。艺。瓦) 为同分布于( x ，】，丁) 且在尺p rxf 上取值的 n 对随机变量： ( 五，巧) 闰 2 埘相互独立且与 ) 硝厶相独立的随机变量序列； s = 【q ，岛，乞) ，e ( q ) = 0 ，仃z 占 o o ，误差6 i 同分布且是a r ( 1 ) 过程， 即：q + 角q 一1 = 岛( 日为不等于0 的常数) ( 2 ) 在此，假设 e i ) 有密度且在r 上l e b e s e g u e 可测， 则由文献 3 1 ，弛) 强混合且混合系数 0 0 仃 口( n ) ：o ( k 疗) ，( o k 0 ) ，假定t 在粤中取值。 ( a 2 )3 c r 0 ，使得eitr d c 0 ； ( a 4 ) 对任意的( “，1 ，) zxz ，任意f 聊( ) ，g l ( ) ，9 2 ( ) ，g 。( ) ) ， 有l 厂( “) 一厂( ，) i c ( d ( u ，1 ，) ) 口，c 0 ，口 0 ： ( a 5 )e 7 7 l lr + el7 7 1 2i ，+ e7 7 l pi ， 4 ： l ( a 6 ) 存在( o ，o 。) 上的正值函数矽和正常数c o ，q ，乞； 使满足弘( 凰) 协 t o e ( h ) 且 0 q 矽( 吃) p ( r b ( t ，吃) ) 乞矽( 吃) ，对v t e ，吃 0 成立； ( a 7 ) 窗宽吃满足l i m 吃= 0 ，l i m 等型盟：栩； 1 l 1 i l o gn 注：( a 1 ) 中的紧集z 是非函数型偏线性模型中的一般条件( 参见文献 3 4 ， 3 5 ， 3 1 ) ， 而以，乙是函数型非参数模型中的一般条件。( 参见 2 3 ) ； ( a 2 ) 是文献 3 0 中的基本假设； ( a 3 ) ，( a 6 ) ，( a t ) 是解决函数型非参数模型中的常见假设( 参见 2 3 ) ； ( a 4 ) ，( a 5 ) 是解决非函数型偏线性模型中的一般假设；( 参见 3 8 ， 3 9 ， 4 0 ) 3 2若干结论及证 引理3 2 1由假设条件( a 3 ) ，( a 5 ) ，( a 6 ) ，( a 7 ) ，有： r n 一1x 疗一1x 专ba s 证明：( 具体参见文献 3 0 引理2 ) ，当n 一为( 4 ) 式时，结论显然成立。 r 引理3 2 2 条件( a 3 ) 一( a 7 ) 下，有：x 疗一1m 专0 ， a s 证明：由文献 3 0 引理4 ，在( a 3 ) b w - - 一( a 7 ) 条件下，有： l 7 - ，z jx 。一1m 专0a s i r 1 一 则当。一1 为( 4 ) 式时，显然有即。j x 。一1 m 专0a s ，则有x 盯_ 1m 专o a s 引理3 2 3一列0 均值，口相依的平稳的实过程， 且ekr 0 0 ， o oa ( 刀) 杀 ( o 4 ) ：得： l i m ：翼五) i 房一层i = ( 1 + n ) 2 ( 6 ) 吉a s 其中 b = ( b 一1 ) 注：当肛= o 时，矩阵中一一1 即为单位矩阵i ，则定理4 1 的结论即为文献 4 2 中定理1 - 证明：由( 7 ) 式，引理1 ，引理2 ，得： r 一r rv 一= ( 刀一1x 门一1x ) 一1n 一1xo n - ( x + 所+ 占) 一 r7 r = ( 刀一1x 刀一1x ) 一1 n 一1 ( x 门一1 占+ x 订一1 聊) 7 = ( b 一1 + d ( 1 ) ) ，z 一1x n 一1 占 r 考察x 月一1s 一项： 1 2 r rrr x 一一1s = xo n - 1 ( ，一w ) s = xo n - 1 s x 行- 1 矿s = 厶一i s ( 1 0 ) 7 _ 对厶：由( 4 ) 式，厶中的第i 个元素即x ( 1 + 彳) x k i s t 一彳而，q 一彳 k = l ( 1 + 彳) x k i e i + 2 p 1 九 k = lk = l 疗 x k a f 一反x 1 ts | ：( 1 + 岛) 2 x u s i + c ( c 为常数) 考虑 七= l 中的第( i ，j ) 个元素的分解： 嘞= r + 彰( 互) = g _ ，( z ) + 7 7 扩一 k = l k = l n - 1 v x k + l ，毛 k = i - p ? x n is i p lx n is i - p gx l is i 呢f ( 互，瓦) 7 7 移( i = 1 ，n ：j = l ，p ) 刀 - 一 ( 1 + p ，) 2 讫，t = ( 1 + 肛) 2 g ，伍) t + 7 7 ，q 一( ，( 互，瓦) 7 7 移) t 】 k = li = li = li = lk = l = ( 1 + 岛) 2 ( 瓯l + 瓯2 一最3 ) 与文献 4 2 证明一样，得： ，叫 邑。= 毋呸) 岛= 0 ( 矿乃l o g n + 矽( h ) 一1 n 2 ( 1 0 9 n ) 2 ) a s ( 1 1 ) 最，= d ( 矽( 办) 一1n 2 ( 1 0 9n ) 2 ) a s ( 1 2 ) ll 由条件刀争0 0 ，n h 4 口专0 ，( n 4r 矽( 厅) ) - 1l o gn 专0( 1 3 ) 由( 9 ) ，( 1 0 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) 得：& l + 瓯2 一e 3 = 7 7 f 6 i + d ( 力圭) a s ：h p ： i = 1 月刀 ( 1 + n ) 2 七= l x k i _ 1 3 f = ( 1 + p 1 ) 27 7 ，q + d ( 门 )a s 硝 对厶部分：与对部分类似，厶中第i 个元素，即x ( i ) - 1 w s 的第i 个元素为： 考虑x 中的第( i ，j ) 个元素的分解： ( c 为常数) = ( 1 + n ) 2 【兰z 何) ( 主睨，( z ，乃坞) + 羔现( 窆，( z ，乃b ) 一窆( 窆睨，( 乃，疋) 7 移) ( ( 主呢，( 乃，巧坞) 】 i = 11 = 1i - - i1 = 1 i = 1k = l1 = 1 = ( 1 + 岛) 2 ( 疋l + 瓯2 。一最3 ) 由文献 4 2 ， 邑l = 0 ( 办口矽( 乃) 一1 刀料l o gn + 矽( h ) 一2n z ( 1 0 9n ) 2 ) 最2 = d ( 矽( 办) 一ln z ( 1 0 9n ) 2 ) e 3 = d ( 矽( 办) 一2n 手( 1 0 9n ) 2 ) a s a s 由( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) 得：最l + 最2 。一邑3 。= d ( ) a s ( 1 + 肛) 2 ( 邑。+ & 2 一3 ) = d ( 刀号) 由( 9 ) 式，得： 多一= ( b - l + o ( 1 ) ) ( 掣羔仇q + d ( 聆- 1 ) ) 粥 刀：了 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 设6 = ( b j l , b 弘，6 彦) 丁，( 6 弦) 业= b 。令形= ( 6 ，) r r i z _ f ，则 = v a r ( v j ) = n o ；( b ) 7 b b = 刀6 f = l 由( 3 ) ，( 5 ) ， q ) 为口相依，则 为口相依，且混合系数故得 1 4 c+ 、磅 巧巧- 吸 竹 一， 。吒 打蹦 r 岛 + 0 、- 、b 巧巧又 疗m l 。 一糊 p a + 0 艺吒( 刀) 杀 _ rekr o o 。令最 l i ms 叩i 南| 一忍唧i 一| 刀s 叩i 酱 由引理3 ，l i m s u p ，z 争 = 1 111i-m-，00鲨(2n掣logl o gn ) = l i n - m - ，o o ( 型业2 nl o g 逝l o gn 型) 兰 专 。 6 。 刀s u pi 南| _ ( 三 。刀s u pl 五b 五) 圭i i 房一辟l = ( 1 + 届) 2 ( 6 ) l j s 以上就证明了定理。 1 5 故k 疗硝 = 第四章误差为a r ( 1 ) 过程的函数型半参数回归模型 非参数估计的强收敛性 4 1 引言、记号及一些假设 4 1 1 引言 在本章中研究了基于半函数型偏线性回归模型】，= x r f l + m ( t ) + s ，其中( x ，y ) 是在r p r 上取值的实随机变量，丁是取值于无限维半度量空间( e ，d ) 上的函数 型随机变量( f r v ) ，为p l 维未知实参数变量，朋( ) 为未知的光滑算子， ( x ，t ) 与误差占相互独立，在一定假设条件下，当误差满足a r ( 1 ) 过程时， a 建立了这种函数型半参数回归模型中非参数m ( t ) 的估计量聊( 丁) 的强收敛性 4 1 2 模型及记号 当自回归误差满足a r ( 1 ) 过程时，半函数型偏线性回归模型为： 影= 义+ 聊( 巧) + 乞= 圭乃+ 朋( z ) + b ( i = 1 ，2 ，n )( 1 ) j = l 其中；五= ( 置l ，置2 ，) 7 i = 1 ，2 ，n ；x 7 = ( 五，x 2 ，) 7 j = l ，2 ，p ： x = ( x 1 ，x 2 ，x 尸) ，y = ( 巧，e ，e ) ：m 为未知的光滑算子； z 是在无限维半度量空间f = ( e ，d ) 上取值的函数型随机变量( f r v ) ； 瞄。五石) ，( 以匕瓦) 为同分布于x 乃且在r px r xf 上取值的n 对随机变量； ( 五。z ) 川，。相互独立且与 岛 瑚“。相独立的随机变量序列； f = ( 毛，岛，毛) ，e ( 岛) = o ，仃2 。 o o ，误差毛同分布满足a r ( 1 ) 过程， 即：+ 届毛一l = q( n 为不等于0 的常数) 在本文中，假设 q ) 有密度且在实数r 上l e b e s e g u e 可测，则由文献 3 6 3 ，豫) 强混 合且混合系数 口 口( n ) = o ( k 疗) ，( o k c 0 ； ( b 2 ) 对任意的( “，1 ，) gx g ，任意厂 朋( ) ，蜀( ) ，9 2 ( ) ，邬( ) ) ， 有if ( u ) - f ( v ) l c ( d ( u ，v ) ) 口，c o ，口 0 ： l ( b 3 ) 存在( o ，) 上的正值函数和正常数，q ，c 2 ； 使满足j ( h s ) d s t o e ( h ) 且q ( 吃) p ( t b ( t ，吃) ) 乞( 吃) ，对v t e ，吃 0 成立； ( b 4 ) 3 p 2 ，使得e 盯 0 有 o c 3 甲( 吃) s u p p ( t ，t j b ( t ，h ) xb ( t ，吃) ) 】c 4 甲( 吃) c o j ， 其中：假设1 _ 4 参见第三章，假设5 川参见文献v i e u ( 2 0 0 4 ) ( 文献 2 5 ) 4 2 若干引理及证明 引理4 2 1 由假设条件( b 1 ) - - ( b 5 ) 及( 6 ) ，( 7 ) 得 s 擘协m h ( t ) - m ( t ) b w 。c 案s 1 0 9 n s 劫叫沪方r ( t ) - e ( ) _ ( 所叩卅嚣( r ( t ) - e ( ) _ ( a 。( f ) - 1 ) 】 由文献 2 5 中引理3 1 知： e a = l ， v za s ( 8 翠如咽尸a ：l = d ( a s s m u p 隆沪吲a 和c 等卜s ， s 姚一印，b 铮a s ， 自( 8 卜( 1 o ) 蜘s u p m h ( t ) * - m ( t ) 卜+ d ( 紫) a 8 。 ir v ， 引理4 2 2假设条件( b 1 ) 一( b 6 ) 得 s 。= 0 ( 彬( 厅) ) 证明： 令 z ( 1 1 1 ) = m a x ( g ( h ) ，矽( 办) 2 ) s = a p - 2 a + p 由文献 2 5 引理3 2 知 其中a ，p 均为常数。 s 。= d ( 矽( 办) ) + d ( z ( 办) h 刀1 )d ( z ( 办) 1 _ 刀m ) = 0 则得s 。= d ( 以( 办) ) 定理4 2 3 由引理4 2 1 ，4 2 2 ，( 6 ) 式，及定理3 2 4 得 s 姚。训b w 。c 需，a s 证明： 1 9 由 式则知翕。( d2 善w 咖( f ，丁从m ( 丁，) + 占，) 一喜w 咖o ，t ，) x j ( 一历 一u 胁p k a ( t ) - m ( t ) i s 霉胁m ，l + s 紫卧。例酬睁卜三： 扪睫1 2 埘 情s 霉瞄( t ) - m 卜聃+ d 而、l o g n ) a ，8 对l 2 由第三章定理3 3得厶2d ( 塑祟) a s ( 参见文献 2 8 ) 由以上得 ，劬l 厅l s t e h a f ( d 一卜胂+ d ( 等) a s 微。 2 0 第五章总结与下一步工作 近年来，随着现代化仪器和设备的使用，我们观察到的几乎都是连续的曲线，这 在应用统计许多领域有着广泛的应用，所以，对函数型数据的回归模型的研究越来越 受到广泛的重视。对函数型数据的回归模型的研究在国内还属于一个全新的领域，研 究的人员和获得的成果还很少，在国际上这个领域也主要是f e r r a t yf 和v i e up 及其他少量研究人员取得一些成果，尤其是对半函数型偏线性回归模型的研究成果则 更少，但由于这种回归模型在实际中有着广阔的前景，因此在不久的将来对此种模型 的理论研究必将越来越深入。本文主要解决了误差为a r ( 1 ) 过程的函数型半参数回 归模型中的参数部分和非参数估计量的一些收敛速度方面的问题，而这种模型还有许 多问题需要解决，比如： ( 1 ) 如何构造这种模型的误差的估计量，以及这个估计量的收敛性如何； ( 2 ) 这种模型如何做一些实证模拟 ( 3 ) 对带有a r ( d ) 误差的函数型半参数型回归模型的非参数估计的收敛性。 ( 4 ) 对非函数型多元的半参数回归模型的一些性质和结论在多元函数型的半参数 回归模型能否成立? 这些都是作者在今后的学习和工作中继续深入研究的课题。 总之，对函数型半参数回归模型的研究到目前为止仍然是个全新的领域。 这种模型的巨大适应性和实用性，决定了对这种模型的研究在不久的将来必将 成为热点研究领域，随着我们的仪器和设备越来越现代化以及函数型半参数回 归模型的理论越来越成熟，这种模型的在医学、经济学、生物学、气象学等领域 的用途将越来越明显 2 l 参考文献 1 e n g l er ，g r a n g e rc ，r i c ej ，w e i s sa n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t e so ft h e r e l a t i o nb e t w e e nw e a t h e ra n de l e c t r i c i t ys a l e s j j a m e r s t a t i s t a s s o c ，1 9 8 6 ，8 1 ：3 1 0 3 2 0 2 c h e nh ，c o n v e r g e n c er a t e sf o rp a r a m e t r i cc o m p o n e n t si nap a r t i a l l y 1 i n e a rm o d e l j a n n s t a t i s t ，1 9 8 8 ，1 6 ：1 3 6 1 4 6 3 s p e c k m a np ，k e r n e ls m o o t h i n gi np a r t i a ll i n e a rm o d e l s j j r o y s t a t i s t s o c b ，1 9 8 8 ，5 0 ：4 1 3 4 3 6 4 r o b i n s o np m r o o t n c o n s i s t e ns e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n j e c o n o m e t r i c a ，1 9 8 8 ，5 6 ：9 3 1 9 5 4 5 d o n a l dg ，d e w e yk s e r i e se s t i m a t i o no fs e m ili n e a rm o d e l s j j m u l t i v a r i a t ea n a l ，1 9 9 4 ，5 0 ：3 0 4 0 6 洪圣岩一类半参数回归模型的估计理论 j 中国科学a 辑，1 9 9 1 7 g a oj a s y m p t o t i ct h e o r yf o rp a r t l yl i n e a rm o d e l s j c o m m u n s t a t i s t ：t h e o r ym e t h o d s 1 9 9 5 ，2 4 ：111 0 一l1 4 7 8 s u n ，x ，y o u ，j ，c h e n ，g ，