（交通信息工程及控制专业论文）复宗量光束的描述、传输变换和光束质量研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文 重 要 意 义 拼 关键词:复宗量光束;传输特性:光束质量:陡度;硬边光阑 瓜 项 工 作 得 至 。 国 家 高 技 术 研 究 发 展 计 划 (8 6 3 -4 1 6 -2 .1 .2 ) 、 国 家 高 技 术 光 束 控 制 巍 实 验 室 基 金 和 激 光 技 术 国 家 重 点 实 验 室 基 金 (n o . 2 0 甲 -0 0 0 9 , n o . 2 0 0 1 - 0 0 1 0 ) m 资 助 ， 得 到 了 西 南 交 通 大 学 校 科 技 发 展 基 金 的 资 助 又 西南交通大学博士研究生学位论文 第i i i 页 a s t u d y o n c o m p l e x - v a l u e d b e a ms c h a r a c t e r i z a t i o n , p r o p a g a t i o n a n d b e a m q u a l i t y ab s t r a c t t h e p r e s e n t t h e s i s i s m a i n l y c o n c e rn e d w i t h t h e c o m p l e x - v a l u e d b e a m c h a r a c t e r i z a t i o n , p r o p a g a t i o n a n d b e a m q u a l i t y . c o n d u c t e d fi r s t l y i s a r e v i e w o n t h e b a s i c t h e o r i e s a n d a n a ly t i c a l m e t h o d s f o r t h e b e a m p r o p a g a t i o n a n d b e a m q u a l i t y , i n c l u d i n g t h e g e n e r a l i z e d h u y g e n s - f r e s n e l d i f f r a c t i o n in t e g r a l , t h e s e c o n d - o r d e r - m o m e n t s - b a s e d b e a m p r o p a g a t i o n f a c t o r ( m f a c t o r ) , t h e k u rt o s i s p a r a m e t e r i n t e r m s o f t h e s e c o n d - a n d f o u r t h - i r r a d i a n c e m o m e n t s , c h a r a c t e r i z a t i o n a n d p r o d u c t i o n o f c o m p l e x - v a l u e d b e a m s . a l s o , b y u s i n g a d i r e c t s o l u t i o n o f t h e p a r a x i a l w a v e e q u a t i o n , t h e m e t h o d f o r s e a r c h i n g n e w b e a m s i s a n a l y z e d . o n s u c h b a s i s , t h e c o m p l e x - v a lu e d b e a m p r o p a g a t i o n a n d b e a m q u a l i t y , w h i c h a r e o f i m p o r t a n c e i n h i g h - p o w e r l a s e r a p p l i c a t i o n s , a re s t u d i e d i n d e t a i l . a m o n g t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h e p r e s e n t r e s e a r c h , t h e o r i g i n a l , a n d c r e a t i v e p a r t s c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : . t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f c o s i n e - g a u s s i a n b e a m s a n d h e r m i t e - c o s i n e - g a u s s i a n b e a m s p a s s i n g t h r o u g h a n a b c d o p t i c a l s y s t e m a r e s t u d i e d , w i t h r e l e v a n t a p p l ic a t i o n e x a m p l e s b e i n g f u r n i s h e d . a l s o t r e a t e d i s t h e f o c a l s h i ft o f c o s i n e - g a u s s i a n b e a m s f o c u s e d b y a t h i n l e n s . s t i l l , t h e b e a m q u a l i t y o f h e r m i t e - c o s h - g a u s s i a n b e a m s a n d h e r m i t e - s i n h - g a u s s i a n b e a m s i s a n a ly z e d . b a s e d o n t h e s e c o n d - o r d e r m o m e n t s m e t h o d , c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e m z f a c t o r o f h e r m i t e - c o s h - g a u s s i a n b e a ms a n d h e r mi t e - s i n h - g a u s s i a n b e a ms a r e d e r i v e d . . t h e b e s s e l - m o d u l a t e d g a u s s i a n b e a m s w i t h q u a d r i c r a d i a l d e p e n d e n c e ( q b g b e a m s ) a r e s t u d i e d s y s t e m a t i c a l l y . t h e s o l u t i o n o f q b g b e a m s i s d e r i v e d v i a d i r e c t s o l u t i o n o f t h e p a r a x i a l w a v e e q u a t i o n . f u r th e r , w i t h t h e p r o p a g a t i o n o f q b g b e a m s b e i n g s t u d i e d , t h e a n a l y t i c a l p r o p a g a t i o n e q u a t i o n o f q b g b e a m s t h r o u g h a f i r s t - o r d e r p a r a x i a l a b c d o p t i c a l s y s t e m i s d e d u c e d . t h e a x i a l i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n a n d f o c a l s h i ft o f q b g b e a m s f o c u s e d b y a t h i n l e n s a r e s t u d i e d a n a l y t i c a l l y a n d 第i v 页 西南交通大学博士研究生学位论文 n u m e r i c a l l y . . b a s e d o n t h e d e f i n it i o n o f s e c o n d - o r d e r i r r a d i a n c e m o m e n t , t h e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n f o r t h e b e a m w i d t h o f q b g b e a m s i s d e r i v e d , fr o m w h i c h t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e w a i s t w i d t h a n d i t s p o s i t i o n o f q b g b e a m s a r e o b t a i n e d . a s s u c h , t h e b a s i c p r o p e rt i e s o f q b g b e a m s c a n b e p r o p e r l y i d e n t i f i e d a n d r e c o g n i z e d a t a n e w l e v e l . . b y u s i n g a n a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l t r a n s f o r m a t i o n , t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e b e a m p r o p a g a t i o n f a c t o r ( m f a c t o r ) o f q b g b e a m s i s d e r i v e d . t h e k u rt o s i s p a r a m e t e r i s e x t e n d e d t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l c ase i n t h e p o l a r c o o r d i n a t e s y s t e m , s p e c i fi c a l l y f r e e fr o m g e tt i n g i n v o l v e d w i t h c o m p l i c a t e d c r o s s - m o m e n t c o m p u t a t i o n s . t h e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e k u rt o s i s p a r a m e t e r o f q b g b e a m s p a s s i n g t h r o u g h a p a r a x i a l a b c d o p t i c a l s y s t e m s i s d e r i v e d a n d d i s c u s s e d . . t h e p r o p a g a t i o n o f l as e r b e a m s t h r o u g h a f i r s t - o r d e r p a r a x i a l o p t i c a l s y s t e m w i t h h a r d - e d g e a p e rt u r e i s s t u d i e d . b y m e a n s o f e x p a n s i o n o f t h e w i n d o w s fi m c t i o n o f t h e h a r d - e d g e a p e rt u r e i n t o a f i n i t e s u m o f c o m p l e x g a u s s i a n f u n c t i o n s , t h e a p p r o x i m a t e a n a l y t i c a l p r o p a g a t i o n e q u a t i o n s o f l as e r b e a m s a r e d e r i v e d . t h i s m e t h o d i s s u p e r b i n i t s r e d u c t i o n o f c o m p u t i n g t i m e , t o g e t h e r w i t h t h e c o n v e n i e n c e i t f u rn i s h e d i n a n a l y z i n g p h y s i c a l l y t h e p r o p a g a t i o n p r o p e r t i e s o f l a s e r b e a m s . i n a d d it i o n , t h e a p p l i c a t i o n o f t h e a n a l y t i c a l p r o p a g a t i o n e q u a t i o n s a n d r e l a t e d p r o b l e m s a r e d i s c u s s e d . t h e r e s u l t s o b t a i n e d in t h i s t h e s i s a r e o f s i g n i fi c a n t i m p o r t a n c e i n s y s t e m a t i c a l l y u n d e r s t a n d i n g , a n d a p p l i c a t i o n s o f c o m p le x - v a l u e d b e a m s . 了 k e y w o r d s : c o m p l e x - v a l u e d b e a m , p r o p a g a t i o n p r o p e rt y , b e a m q u a l i t y , k u rt o s i s p a r a m e t e r , h a r d - e d g e a p e r t u r e 入 t h i s w o r k w as s u p p o rt e d b y t h e f o u n d a t i o n s o f t h e n a t i o n a l h i g h t e c h n o l o g y o f c h in a ( 8 6 3 - 4 1 6 - 2 . 1 .2 ) , s t a t e k e y l a b o r a t o ry o f l a s e r t e c h n o l o g y ( n o . 2 0 0 1 - 0 0 0 9 , n o . 2 0 0 1 - 0 0 1 0 ) , a n d s c i e n c e a n d t e c h n o l o g y d e v e l o p m e n t o f s o u t h w e s t t i a o t o n g u n i v e r s i t y . r 西南交通大学博士研究生学位论文 第 页 第一章绪论 1 . 1激光光束的传输变换发展历史 激光技术应用中一直十分受重视的问题就是激光光束的传输变换与光束质 量的研究，自 1 9 6 0年梅曼 ( ma i m a n )发明世界上第一台红宝石激光器以来， 激光科学技术的发展极大地推动了相关基础和应用学科研究的进展。其中，也 包括以 研究激光束的传输变换和光束质量控制为主题的激光光学n 1-13 1 的形成和 发展。激光光学是一门年轻的学科，早期研究的重点是以高斯分布为代表的非 匀幅激光束在自由空间、各种介质、光学系统和在光学谐振腔中的传输变换规 律(4 1 。 最具有代表性的z作当 推福克斯( f o x ) 和厉鼎毅( l i ) 5 的” r e s o n a n t m o d e s i n a m a s e r i n t e r f e r o m e t e r ( 脉塞干涉仪中的 共振模) ， 1 9 6 1 年; 和克格里克( k o g e ln i k ) i6 1 的“ i m a g i n g o f o p t i c a l m o d e s - r e s o n a t o r s w it h i n t e rn a l l e n s e s ( 有内 透镜谐振腔的 光膜成像) ，1 9 6 5 年。在这两篇经典性的论文中引入的a b c d矩阵和a b c d定 律、 光腔往返一周自 再 现模 和光强 衍射积分的 福克 斯 一厉( f o x - l i ) 数值 迭代法已 成为研究激光光束传输变换和光学谐振腔问题的最基本和最重要的方法。另一 个具有开创 性的 i作是柯 林斯 ( c o l l in s ) 在 1 9 7 0年的“ l e n s - s y s t e m s d i f f r a c t i o n in te g r a l w r itt e n i n te r m s o f m a t r i x o p t ic s ( 用 矩 阵 光 学 表示 的 透 镜系 统的 衍 射 积 分) ，该工作将复杂光学系统的衍射积分与 a b c d矩阵元联系起来，不仅大为 增强了矩阵光学方法的活力，而且对衍射理论的进一步发展和应用范围的拓宽 具有重要意义。 到目前为止，人们对基模高斯光束的传输规律进行了详尽的研究，得到了 基模高斯光束通过无光阑 a b c d光学系统所满足的 a b c d定律及光束质量的 评价方法，对基模高斯光束通过有光阑光学系统的传输特性及光束质量也进行 了深入研究 1 1-2 1 1 。对多模高斯光束、超高斯光束、平顶高斯光束等的传输特性、 光束质量等也作了研究 1 1-14 1 12 11 -13 6 1 。复宗量光束的产生及物理特性，虽在7 0 年代 就有人3 7 1-3 9 1 提出过，但并未引起人们的兴趣。随着强激光技术的发展，最近， 人们对复宗量光束产生了极大的兴趣4 0 1-5 2 1 第4 页 西南交通大学博士研究生学位论文 mz 因子定义式中同时考虑了束宽和远场发散角的变化对激光光束质量的 影响。一般情况下，激光光束在通过理想无衍射、无相差光学系统是，光束参 数乘积是一个不变量， 这样就避免了只用聚焦光斑尺寸或远场发散角作为光束 质量判据带来的不确定性。 1 . 4 . 1 . 1束宽的定义 对束宽有不同定义，如对旋转对称光束有 l l e ， 的定义，即 在光强 ( 光功率密度)分布曲线上，光强最大值的 l l e z 处两点间距离之半定义 为束宽;8 6 .5 %环围功率 ( 能量) ，亦称 8 6 .5 % 桶中功率 ( 能量) ，即把光强分布 曲线上占总功率 ( 能量)8 6 .5 %处的两点间距离之半定义为束宽，该定义在实 验上较为准确、方便;而理论上最为严格的是二阶矩定义的束宽。 w s 4 户二 一 x ) 2 1 ( x , y , z ) d x d y ( 1 . 4 - 2 ) 厂 厂 1 ( x , y , z ) d x d y 式中，x 为光束的 “ 中心坐标” ，由 一阶矩公式给出 厂 厂 x i ( x , y , z )d x d y 厂 厂 i ( x , y , z ) d x d y ( 1 . 4 - 3 ) 夕 方向 有类似的结果。 类似地， 可写出柱坐标系下的二阶矩定义的束宽公式。 1 .4 . 1 . 2远场发散角的定义空间频率域中角谱宽度 ( 远场发散角)的定义为 b ; 4 a 2 厂厂 ( s ， 一 s x ) z i ( s , , s y , z )d s xd s y f 了 ( s , , s , z ) d s , d s , ( 1 . 4 - 4 ) r厂 ij_m 式 中 ， i ( s x , s y , z ) 为 i ( x , y , z ) 在 空 间 频 率 域中 的 傅 里 叶 变 换 对， 而 厂厂 s x l ( s , , s y , z )d s x d s y s x = - 二 二 不 蕊 节万 一 一， 一 一 j_二 土 。 i ( s x , s y , z ) d s ,d s y ( 1 .4 - 5 ) 对y 方向有类似的结果。 设 光束 在x 方向 的 束宽为、 。 、 ， 在s i g e m a n 的 理论中 取基 模高 斯光束为 理想 光束，则由mz 因子定义 西南交通大学博士研究生学位论文 第5 页 厂 一 wn以 凡 ( 1 . 4 - 6 ) - m 这样，当实际光束的场分布为已知时，由 ( 1 .4 - 6 )式及傅立叶变换公式就可计 算出mz 因子。 1 . 4 . 2 光束陡度的描述 ( 四 阶矩) 激光光束的特性及传输变换是目前人们非常感兴趣的课题，我们知道基于 二阶矩的 m i 因子对描述不同的激光是非常有用的参数，然而，仅有 m z 因子 不能完全描述激光束的形态， 基于二阶矩和四阶矩的 激光陡度( k u rt o s i s ) 参数x5 5 /- 6 1 1 k是描述激光的另一个非常有用的参数。通常以基模高斯光束的k值为标准， 将激光束的峰态分为三类， 尖峰( l e p t o k u rt i c ) 、 中 等( m e s o k u r ti c ) 、 扁平态( p l a t y k u rt i c ) 分别对应 k值大于 3 、等于3 和小于3 。在直角坐标系下光束峰态值定义为 、z 2 x) ( 1 . 4 - 7 ) 式中，和 分别为光束束腰处的四阶矩和二阶矩。在二维情况下的 k 值还未见报道。 1 . 5论文的选题、国内 外研究现状、论文结构 1 . 5 . 1论文选题 激励人们追求新型激光光光束的一个重要方面就是产生或合成强激光，强 激光是指高功率、高能量的激光。强激光的研究与应用是当今激光高科技发展 的一个重要方向。它是在一些与国家利益枚关的重大前沿项目的推动下发展起 来的。强激光驱动的惯性约束核聚变 ( i c f ) 、强激光的远距离能量输送和利用 是这类重大项目的典型。 在强激光技术的研究中，需要处理高功率、高能量激光的各类传输、 变换， 光束的控制与整形以及实际强激光光束质量的评价与测量等问题。这些问题具 有相当的复杂性，也是国际这方面的专家们正在努力研究的前沿问题。对这些 问题的研究不仅具有重要的学术意义，还有实际的应用价值，它会影响激光工 程设计的质量和效费比。 第6 页 西南交通大学博士研究生学位论文 核聚变对人类的未来具有非同寻常的意义。它可能会成为人类未来鼓人的 能源宝库，说明他对人类文明的继续和进步的至关垂要性。核聚变的意义还在 于它对t f l 家防卫计划的推动，它可以提供一个核武器及技术人员的重要储备， 尤其在全而禁止核试验之后，喷性约束核聚变 ( i n e rt i a l c o n fi n e m e n t f u s i o n - i c f ) f 4 以在实验i i 模拟核爆的条件，对研究核武 n ，发展先进的模拟技术， 培训1 - 业技术人员，都会起到关键的作用。i c f还可以为民用能源的发展提供 必不. if 少的数据。 铭 1 性约束聚变的丛木思想是把强大的激光束聚焦到热核材料制成的靶丸 上， 一 瞬间即产生高温和高压，被高温压缩的稠密等离子体，在以f iif1l ; 性而扩散 之前，即已) c 1戊 聚变反应，这也是被称为 “ 惯性约束”的原囚。惯性约束聚变 有两种方式:的一种称为 “ ft . 接驱动” ，即直 接用激光脉冲从 4 二 立体角方向均 匀地照射氛j ill 靶丸，首先使之产生对成的高倍压缩然后实现中心点火:第二种 是 “ f i ll 接驱动”方式，激光先照射在 t 个封闭腔体的内侧壁 ( 穿过墙上 c 的针 孔) ，产生强 x光辐射，x光在腔内均匀化后再照射位于腔， ， 心的氛氛靶丸， 产生压缩与点火。直接驭动有以较少5 v . 动能量获得聚变能的潜力，但对靶面辐 照均匀性有非常苛刻的要求。采用fi ll 接驱动方式可降低对辐照均匀性的要求， 但因通过x光辐射输运降低了激光能量利用率. 因此要求驱动器提供更高能n .qa . o 无论是哪种方式驭动都需要高功率激光系统，而高功率激光系统中的传输 光束都要求是光束的填充因子大，在传输过程中光 场均匀、衍射ib l 制小。般 来说，两者难以兼得。要求填充因子大，就是要求光束的剖面呈近平顶分布， 以便于有效地抽取泵浦能量。 在 i c f驱动器和激光工业加工中，如激光打孔、切割、焊按、表而处理等 都会根据不同的物理需要要求不同的光场剖面，而复宗量光束山于在传输过程 中小能保持其形状不变性.所以选用不同的参数在不同的位置上有望得到所斋 要的剖而形状。这也正是研究复宗量光束的传输特性和光束质量的意义所在。 父宗gin . 光束分为两大类，一类是可以a .接解近轴波动方程得到的光束或a . 接解波动方程得到的光束，例如，复宗量的厄米一高斯光束、义宗员拉盖尔一 高斯光束、义宗星的厄米一正弦类一高斯光束、复宗量的拉盖尔一 贝塞尔一高 斯光束和变r u .x 4. 为径向平方的贝术尔函数调制的高斯光束;另一类足超高斯光束 和 1 - 项高斯光束，般情况下，它们不是波动方程或近轴波动方程的解s i l , 西南交通大学博士研究生学位论文 第7 页 然他们在 z = 0平面上是实变量的光束，但在传输中变成了复宗量的光束， 所以 我们认为它也是复宗量的光束。基模高斯光束、厄米高斯光束和拉盖尔高斯光 束等在传输时保持其形状不变性，复宗量光束与这些光束不同，复宗量光束在 传输时不能保持其形状不变性，复宗量光束的这种特性虽然给研究它的传输特 性、光束质量等带来了极大的不便，但在选取某些适当参数在某一传输截面上， 有望得到人们预期希望得到的某种激光剖面，这就给复宗量光束的研究带来了 极大的应用前景。 本文从强激光的前沿课题中选取复宗量光束为实际应用研究对象，对复宗 量光束的传输、光束质量为主要研究内容。 1 . 5 .2国内 外研究 现状 国内外对于复宗量光束的描述、传输变换和光束质量所做的研究主要为: 1 .5 .2 . 1理论上建立了直接解波动方程 ( 或近轴近似下的波动方程)得到新激光 光束的方法早期通常是通过假设激光光束的形式解， 然后将其代入波动方程 ( 近 轴 近 似下的 波 动 方 程) 求出 其 具 体形 式 123 3 7 6 3 1， 近 年来， l . w . c a s p e r s o n等 人8 3 9 1 4 0 1通过直接解近轴近似下的波动方程得到了新的激光光束，为寻求新的 激光光束开辟了一条新的道路。 1 .5 .2 .2复宗量光束传输特性的研究 激光光束传输特性的研究主要是利用广义 菲涅耳衍射积分研究光束通过各种光学系统的场分布情况，这是对光束基本传 输性质的认识基础。对于复宗量光束，如厄米一高斯光束、余 ( 正)弦一高斯 光束、双曲余 ( 正)弦一高斯光束等，己经部分地做了传输特性的研究4 4 -5 2 还有大量工作要做，比如，q b g光束，厄米一正弦类一高斯光束通过无光阑 a b c d光学系统传输特性的研究，通过有光阑a b c d光学系统传输特性的研究 和光束通过有光阑a b c d光学系统的快速算法的研究等。 1 . 5 .2 .3复宗量光束质量的研究 对于复宗量光束的m2 因子的研究相对较少4 5 . 4 7 - 4 9 1 ，厄米一双曲余弦一高斯光束通过有光阑情况下 m 2 因子有一篇报道6 3 1 r 而 对q b g光束的m 因 子 还未见 报道。 对厄米 一正 弦 类 一高 斯光 束和q b g光 束峰态的研究未见报道。 第8 页 西南交通大学博士研究生学位论文 1 . 5 . 3论文结构 论文的主要内容分为四章，最后对全文进行了总结。 第一章为引言，简要综述了激光光学传输变换的发展历史，对复宗量光束 的描述、产生从数学和物理上作了简单的概括，对复宗量光束与实际应用的关 系和本文所研究内容的重要性、意义以及国内外的研究现状作了分析，高度扼 要地阐述了本文研究所用方法的要点。 第二章 在对l . w . c a s p e r s o n等 人由 波动 方程 ( 近 轴波动方程) 求解新光束 的方法作深入分析的基础上，由 近轴波动方程直接求解得到了变量为径向平方 贝 塞尔函数调制的高斯光束 ( q b g光束) 。 证明了 余弦光束是非均匀柱对称介 质中近轴波动方程的一组解。 第三章主要研究了余弦一高斯光束通过一阶a b c d光学系统的传输特性包 括余弦一高斯光束通过一阶a b c d光学系统的场分布以 及通过薄透镜后的轴上 光强分布、相对焦移等:研究了厄米一余弦一高斯光束通过一阶a b c d光学系 统的传输特性，作为一阶a b c d光学系统的特例，研究了厄米一余弦一高斯光 束在自由空间以及通过薄透镜的传输特性，对厄米一双曲余弦一高斯光束、余 弦一高斯光束等作为厄米一余弦一高斯光束的特例进行了讨论;对厄米一正弦 类一高斯光束包括厄米一双曲余弦一高斯光束、厄米一双曲正弦一高斯光束的 光束传输因子进行了 研究。对 q b g光束的 传输特性进行了 研究，其中 包括通 过a b c d光学系统的传输公式、 通过薄透镜系统的轴上光强分布、 相对焦移等。 对厄米 一双曲 正弦类 一高 斯光束及 q b g光束的 光束质量进行了 研究， 其中 包 括厄米一双曲 余弦一高斯光束和厄米一双曲正弦一高斯光束，厄米一余弦一高 斯光束、厄米一余弦一高斯光束、余弦一高斯光束、正弦一高斯光束等数学上 作为 特例给出了mz 因子的表达式。 首次对q b g光束进行了 全面分析研究， 给 出了 光束通过a b c d光学系统时q b g光束的 光斑尺寸， 确定了 不同参数时q b g 光束的束腰位置、束腰宽度， 研究了q b g光束通过a b c d光学系统的传输特 性， 研究了 q b g光束的光束质量，首次将光束峰态研究拓展到了 极坐标的二 维情况并对 q b g光束的峰态曲 线进行了 研究给出了 其解析表达式。进行了大 量的数值计算，以说明相应的特性。 第四章主要研究光束通过有硬边光阑限制的a b c d光学系统的传输问题。 一般情况下，光束通过有硬边光阑限制的 a b c d光学系统时，其场分布通常只 西南交通大学博士研究生学位论文 第9 页 能通过对广义菲涅耳衍射积分直接进行数值积分而得到，如果能将硬边光阑的 窗口函数用解析函数表示，从而将光束在通过有硬边光阑限制情况下的 a b c d 光学系统传输的场分布由解析式表达，无疑不论从数学上还是物理上会带来很 多方便。本章主要研究了光束通过有光阑限制的 a b c d光学系统的传输特性， 更主要的是研究将硬边光阑的窗口函数展开为复高斯函数的叠加，得到光束通 过有光阑限制a b c d光学系统的解析场分布表达式，并将该解析式的结果与直 接积分的数值计算结果进行比较，得到近似解析结果的误差大小，通过大量光 束的计算得到有哪些因素影响其精度及其对精度影响的大小，使用该方法应注 意的问题等。 最后是总结。总结了本文所做的主要工作和所得到的主要结果，并指明了 今后值得进一步研究的问题。 第1 0 页 西南交通大学博士研究生学位论文 第二章复宗量光束的描述 本章阐述从近轴近似下波动方程直接求解 ( 本征函数)光束的方法。首先 将l . w . c a s p e r s o n的 方法归 纳总结: 接 着， 我 们用类 似的方 法， 证明 变量为 径 向平方的贝塞尔函数调制的高斯光束是近轴近似下波动方程的本征解;最后， 证明了非均匀柱对称非均匀介质中存在余弦光束。 光是一种电磁现象，因而光学应仅是电动力学的一个分支。光学通常按独 立学科对待有其历史原因，这就是远在光的电磁性质被认识以前，就已经对光 进行了研究。使光学从其他电磁现象独立出来的一个突出特征就是我们能以眼 睛检测光，而其它频段的电磁辐射如果不使用特殊检测装置，就不会引起注意。 光的另一个特点是波长极短，因而可采用近似分析方法，不过这些方法对 于较长波辐射不适用。因此有两种不同的研究光学的方法。几何光学是利用光 的短波长近似简化光传播的许多问题;而波动光学则是直接根据麦克斯韦方程 组来求解光传播的问题。 麦克斯韦方程中，电 场强度矢量云 和电 位移矢量d与磁场强度矢量厅和磁 感应强度矢量b 有如下关系 ? 、 h _ a d a t ( 2 - 1 ) v x e 二 _ a b a t ( 2 - 2 ) 由于介质中无宏观电流，所以 ( 1 - 1 )式中的电流项省略了。 两个点的矢量是彼此相关的。在一般情况下，其关系是相当复杂的。但是 在有实际意义的很多情况下，可取简单的线性关系 乃二厉( 2 - 3 ) 对h和b 有类似的关系， 将 ( 2 - 4 )式代入 ( 2 - 2 ) b=户 产 了 ( 2 - 4 ) 式，两边求旋度，得 西南交通大学博士研究生学位论文 第u页 ; x ( 、 x 、 ) 一、 孚 ( v x h ) 01 ( 2 - 5 ) 我们假定磁导率p 是与空间坐标无关的常数。 将 ( 2 - 1 ) 和 ( 2 - 3 ) 式代入 ( 2 - 5 ) 式，得到 v 、 (v x 、 ) + 。 a 2 e 一 。 a ( 2 - 6) 值得注意的是即使空间a -有 变化，上式依然成立。利用矢量运算公式 v x ( v x 云 ) = v ( v e ) 一 v i e ( 2 - 7 ) 利用 ( 2 - 3 ) 和介质中无自由电荷的性质将 ( 2 - 6 )式改写为 0 2 e + 0 ( e . 巫) - ( 2 - 8 ) 在空间中 为常数的情况下，的梯度为零，方程 ( 2 - 8 )化为如下波动方程 o z e 波动方程 ( 2 - 9 ) 方程 a i e = e 9 了 ( 2 - 9 ) 式对电场矢量的每个分量都适用，即每个分量都满足标量波动 r , 2 二 1 a 2 y v w = 一二一 丁 v at - ( 2 - 1 0) 式中 ，v = ( 8 ,u ) 一 ，/ 为 介 质中 光 速。 即使空间中介电常数 发生变化，只要这一变化在光波长距离范围内 很小， 电场矢量的每个分量还是满足波动方程 ( 2 - 1 0 )式，下面重点讨论这个问题。 我们要讨论的中心是波动方程 ( 2 - 1 0 )式，即式 ( 2 - 8 )的特殊情况。必须 研究在什么条件下此波动方程至少是式 ( 2 - 8 )的良 好近似，这是因为后者在实 际计算时处理起来困难得多且用处不大。所幸光学的大量应用问题均可用简单 的波动方程来处理，即使它的有效条件i 即式 ( 2 - 8 )的第二项趋于零i 未得到充 分满足亦如此。 式 ( 2 - 8 )左边的第一项和右边的项同数量级，并在该式中居主导地位。下 第1 2 页 西南交通大学博士研究生学位论文 面对其数量级进行估计，并非精确计算。假设 e ( x , y , z , t ) = e ( x , y , z ) e 则式 ( 2 - 8 )右边的项为 ( 2 - 1 1 ) e 争 e 田一 日 z e e u 丽 利用对于空间中某 级上可化为 = 0v 2 ,t 止 e= ( 2 - 1 2 ) s方向的导数来代替算符v，则式 ( 2 - 8 )左边第二项在数量 v ( e . v e e v e 十 e ( e ， v 6 晶 v eas ( ( 2 - 1 3 ) 汀一几 勺一， 我们感兴趣的是上式右边第二项比第一项小得多的情况。我们来求式 ( 2 - 8 )中 两项之比，令表达式加括号表示其数量级，则有 * = v (、 . v s a / iep 8 2, i 、 2 )r v s- / ( 2 7r ) 2 e o f 一沁 e凡 二 上兄 e 2 - 6 1( 2 - 1 4 ) 2 ) r e 毖 价一 兄 上助 的梯度数量级决定于两点的介电常数差 ( f2 - e l )除以他们的距离。若取 4 s =兄，则由上式 r = 1 2 一e 1 2 z - ( 2 - 1 5 ) 如果想忽略掉式 ( 2 - 8 )左边的第二项，就必须要求 r +1 。正如式 ( 2 - 1 5 )所 指出，这意味着一个波场距离范围内的的相对变化必须比 1要小。非均匀光 学介质常满足这个条件。在介电常数连续但非均匀的光波导的讨论中会发现 r +1是实际情况64 l ，因此我们可以求解波动方程，而不必去解远为困难得多 的 ( 2 - 8 )式。只有在介电常数不同的两种区域的界面之间，( 2 - 1 5 )才会等于 或大于 t o 现在回头再来检验一下忽略 ( 2 - 1 3 )右边第二项的正确性。式 ( 2 - 1 3 )右 西南交通大学博士研究生学位论文 边第二项 ( 被忽略的项)与第一项 ( 剩下一项)之比为 第1 3 页 ! _a _v e 21r - eas ( e ) a ve:1( i d e i) 2 一 ( i v e ) ， 、止 一 兄e 一 一 一 一b 一 一 i 2 ) r i v e i 。 。 曰v j e ( 2 - 1 6 ) 无需真的要求式 ( 2 - 1 6 )的值比 1 小好多。如果 ( 2 - 1 3 )中的两项数量级相等， 忽略 ( 2 - 8 )中的第二项的做法同样是正确的。这意味着仅需要要求一个波场距 离内二的梯度变化等于或小于其梯度本身。在使 r +1的条件下，以上结论常 常也是正确的。 以上的讨论证实，即使 不是常数。只要在空间中的变化在一个波长距离内 是轻微的，也能应用波动方程。除两种不同介质的界面外，这个条件几乎总是 会被满足的。 在大部分有实用意义的情况下，波动方程和更精确的方程的差别 可以忽略不计。 2 . 1 直角坐标系下类透镜介质中的高斯光束族 2 . 1 . 1 厄米 一高 斯光束 在弱非均匀介质中，对近平面波，纵向电场分量比 横向电场分量小得多。 如果在每一个波长长度上e 和产 变化都较小的话， 则 ( 2 - 8 ) 式的 左边第二项可 以忽略。简化的波动方程为 亏 2 宕 + k 2 云= 0( 2 . 1 一 1 ) 其中，k = 0 ) ( - ,u ) 2 定义为 波数。k = k ( x , y , z ) 是空间 坐标的函 数。 若户表示矢量电场的复振幅，则形式上同样有 亏 z 云 + k 2 云 ， = 0( 2 . 1 - 2 ) 由 于电导率不为零或材料的极化或磁化引起附加相位，使波数会有虚部。如果 需要，电 场的z 分量可以 利用麦克斯韦 一海威赛得从电 场的 横向分量求得。 在许多实际情况中，光束所经过的区域其增益 ( 损耗)和折射率最多有二 次方的变化，则波数 k 可以写为 第1 4 页 西南交通大学博士研究生学位论文 k ( x , y , z ) = k o ( z ) k o ( z ) 一 k ,. ( z ) x 一 k , y ( z ) y 一 k 2 x ( z ) x ， 一 k ( z ) 2 y y 2 ( 2 . 1 - 3 ) 对于一个沿z 方向传播x 方向极化的波，一个合适的表达式为 e x (x , y , z ) 一 a (x , y , z ) e x p 一 f k . (z )d z ( 2 .1 -4 ) 将 ( 2 . 1 - 3 ) , ( 2 . 1 - 4 )式代入 ( 2 . 1 - 2 )式，得x 分量的近轴波动方程 a a己 z a 沙aa 1 a_ . a a_ d k 二 ， ， 犷十- 丁 - ; 一z i r 一i 一a一 d x 即一o z d z k o ( k ,x x + k ,y y + k 2 x x 2 + k , , y 2 ) a 一 。( 2 . 1 - 5 ) 其中，假设a随z 是缓慢变化的，所以a对z 的二阶导数略去了。 设一个离轴的像散高斯光束其形式为 a 一 ， ,z ) = b (一 ， ，z) ex p 、一 ，粤 + q