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窗口傅立叶变换在三维面形测量中的应用 光学专业 研究生：付艳华指导教师：陈文静 摘要 光学三维传感在机器视觉、实物仿形、工业自动检测、产品质量 控制、逆向工程、生物医学等领域具有重要的意义和广泛的应用前景。 傅立叶变换轮廓术作为一种主动光学三维传感方法，因其具有单帧获 取，全场分析和高分辨率等优点，而受到人们广泛关注。由于傅立叶 变换轮廓术涉及傅立叶变换和频域滤波等运算，如何减少频谱混叠、 提高测量精度一直是这种方法应用过程中的关键问题。 由于窗口傅立叶变换( w f t ) 具有局部分析能力，人们已将窗口傅 立叶变换用于提取变形条纹图中包含的有用基频信息来恢复物体的三 维面形。其基本思想是：用一个移动的窗口把整个条纹区域划分成许多 局部条纹段，对每一局部条纹段作傅立叶变换得其局部频谱，再把所 有局部频谱叠加起来得到整个变形条纹的频谱分布。由于局部频谱更 简单，因而更不容易发生频谱混叠。本文利用窗口傅立叶变换( w f t ) 在空域中直接对变形条纹进行处理，提取调制在变形条纹中的由物体 高度变化引起的位相分布。避免了以往窗口傅立叶变换( w f t ) 提取基 频时，对每一个局部频率都需要进行滤波的过程。所以本文提出的方 法提高了处理过程中的自动化程度。为了消除噪声对测量的影响，通 过“门限”去噪的方法，能够有效地抑制噪声对测量精度的影响。 针对窗口傅立叶变换处理过程中，对于高斯窗在条纹图边缘的不 完整而产生的误差，提出了采用g e r c h b e r g 迭代法对条纹进行外插延拓， 扩大窗口傅立叶变换处理的有效区域范围，进而改善窗口傅立叶变换 的测量精度。 计算机模拟和实验结果表明，对于有频谱混叠和噪声影响的情况， 窗口傅立叶变换方法可以得到更好的恢复效果。从而为三维面形测量 提供了一种新的处理手段。 关键词： 窗口傅立叶变换，频谱混叠，三维面形测量g e r c h b e r g 迭代 1 i w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mf o r3 d s h a p em e a s u r e m e n t m a j o ro p t i c s g r a d u a t e ： t a n - h u af u a d v i s o r ：w e n - j i n gc h e n a b s t r a c t o p t i c a l3 - dp r o f i l o m e t r yh a sb e e nw i d e l yu s e df o rm a c h i n ev i s i o n ， i n d u s t r ym o n i t o r i n g ，r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，b i o m e d i c i n e ，r e a lo b j e c t v i s u a l i z a t i o ne r e f o u r i e rt r a n s f o r m p r o f i l o m e t r y b a s e do n f r i n g e p r o j e c t i o ni so n eo ft h en o n c o n t r a c tf u l l f i e l d3 - dm e a s u r e m e n tm e t h o d s t h i sm e t h o dr e q u i r e so n l yo n ef r a m eo fd e f o r m e df r i n g ep a t t e r nr e f l e c t e d b yad i f f u s eo b j e c ts u r f a c ea n dh a v eh i g h e rp r e c i s i o n ，s om u c ha t t e n t i o n o fr e s e a r c h e r sw a sp a y e dt oi t b u ti nf t p f o u r i e rt r a n s f o r ma n df i l t e r i n g o p e r a t i o na r en e e d e d ，s oh o w t oe l i m i n a t ef r e q u e n c ya l i a s i n ga n di m p r o v e m e a s u r e m e n tp r e c i s i o ni sa l w a y st h ek e yp r o b l e mf o rf t pa p p l i c a t i o n b e c a u s eo ft h el o c a la n a l y s i sc h a r a c t e r i s t i co fw i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r m ( w f t ) ，i th a sb e e nu s e di no p t i c a l3 - ds h a p em e a s u r e m e n t t h e m a j o ri d e ai st h a t ：t h es p e c t r u mo fp a r t i a lf r i n g e sf o r m e db ys c a n n i n gt h e w h o l ef r i n g ep a t t e r nb yaw i n d o wf u n c t i o ni ss i m p l e ra n dl e s s - a l i a s i n g t h a nt h a to faw h o l ef r i n g e aw f tm e t h o di si n t r o d u c e dt or e t r i e v et h e p h a s ed i s t r i b u t i o n c a u s e db yo b j e c t h e i g h tv a r i e t y , w h i c hh a sb e e n m o d u l a t e di n t od e f o r m e df r i n g e ，f r o m s p a t i a lf r i n g ep a t t e r nd i r e c t l y b a s i n go nt h i sm e t h o d ，t h ef i l t e r i n go p e r a t i o nc a r r i e do u tt oo b t a i nt h e f o u n d a t i o n a lf r e q u e n c yo f e a c hl o c a lf r i n g ep a t t e r ni sn o tn e c e s s a r y , s oi t i m p r o v e st h ea u t o m a t i z a t i o no fp r e v i o u sw f t b e c a u s et h ed e f o r m e df r i n g ep a t t e r nc a p t u r e db yc c di s l i m i t e d e x t e n s i o ni n s p a c e ，w h e ng a u s sw i n d o ws c a n n i n g t h e e d g eo ft h e d e f o r m e df r i n g ep a t t e r nd u r i n gw f tp r o c e s s i n g ，an o n - f u l lg a u s sw i n d o w a tt h ee d g eo ft h ef r i n g ew i l lp r o d u c em e a s u r e m e n te r r o r s ow ee x t e n d t h e f r i n g ep a t t e r nb yu s i n go fg e r c h b e r g i t e r a t i o nt o i m p r o v et h e m e a s u r e m e n tp r e c i s i o n aw f ta n di t si m p r o v e dm e t h o da r ei n t r o d u c e dt or e t r i e v et h e3 - d s h a p eo ft h et e s t e do b j e c t ，i n s t e a do ft h et r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m p r o f i l o m e t r yi nt h i sp a p e r w eg i v et h et h e o r e t i ca n a l y s i sa n dc a r r yo u t t h ee x p e r i m e n tt ov e r i f yo u rt h e o r y i ts h o w st h a tt h ew f tm e t h o dc a n n o to n l yr e d u c et h ei n f l u e n c eo ff r e q u e n c ya l i a s i n gt og u a r a n t e et h e m e a s u r e m e n tp r e c i s i o n ，b u ta l s oe l i m i n a t en o i s ee f f e c t i v e l yi fas u i t a b l e t h r e s h o l di ss e l e c t e dd u r i n gw f tp r o c e s s i n g k e yw o r d ：w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m ，f r e q u e n c ya l i a s i n g ，3 - d s h a p em e a s u r e m e n t ，g e r c h b e r gi t e r a t i o n 四川大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 物体的三维形态特征是物体的重要特征之一，一直以来人们都 在对三维轮廓测量领域进行着深入的研究。例如：在汽车制造行业中， 利用三维在线测量系统进行车体质量的在线检测及控制，能够大大提 高汽车车体的生产质量：在航空航天领域，要求测量根据实验模型( 如 风洞模型，吹风模型等) 获得的初始设计样件，从面依据样件的三维坐 标数据复制出零件；其它领域，如生物医学诊断、交通监视及航空管理、 运动分析、虚拟现实技术和电子商务、机器视觉、轻工业( 服装制鞋等) 、 以及复合材料变形研究等方面都提出了表面三维测量的需求曙。1 。 光学三维测量技术是二十世纪科学技术飞速发展的产物。由于其 具有高分辨率、高精度、数据获取速度快等优点，而被认为是目前工 程应用中最有发展前途的三维数据采集方法之一“1 。光学三维测量技 术是以现代光学为基础，融光电子学、计算机图像处理、图形学、信 号处理等科学技术为一体的现代测量技术。它把光学图像当作检测和 传递信息的手段，从图像中提取有用的信号，完成三维实体模型的重 构。由于所有图象处理的问题都可以用数字信号处理的形式来解决， 因此，数字信号处理中的许多成熟的算法都可以用在光学三维测量技 术中，如：f f t ，窗口傅立叶变换( w f t ) ，小波变换等。本文主要介 绍窗口傅立叶变换( w f t ) 在采用条纹投影的三维轮廓测量中的应用， 在空域中直接对变形条纹进行处理，提取调制在变形条纹中的由物体 高度变化引起的位相分布，重建物体的三维面形。 1 2 光学三维传感概述 光学三维传感是指用光学手段获取物体三维空间信息的方法和技 术1 ，主要是指获得物体表面三维形状信息的方法和技术，随着计算 机技术、信息技术的迅速发展，它已经成为人们认识客观世界的重要 手段。光学三维传感一般可以分为两大类：被动三维传感和主动三维 传感。 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 1 被动三维传感 被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统获取 的二维图像中确定距离信息，形成三维面形数据阳1 。被动三维传感需 要大量的相关匹配运算，当被测目标的结构信息过分简单或过分复杂， 以及被测目标上各点反射率没有明显差异时，这种相关运算将变得十 分复杂和困难。因此，被动三维传感的方法常常用于对三维目标的识 别、理解，以及用于位置、形态分析等。这种方法结构简单，在无法 采用结构照明的情况下具有独特的优点。常见的被动三维传感有双目 视觉”1 、聚焦离焦法伯1 等。 1 2 2 主动三维传感 主动三维传感采用结构照明方式。由于三维面形对结构光场的空 间或时间进行调制，观察到的变形光场携带了三维面形信息，对变形 光场进行解调，可以得到三维面形数据哺1 。由于这种方法具有较高的 测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维传感系统都采用 主动三维传感方式。 主动三维传感具有测量精度高，装置简单，易于实现，全场快速 等优点。因此成为人们研究的热点。目前，国外已经出现了一些商品 化的三维传感系统，国内在这方面的研究也取得了一定的进展，如天 津大学研制的白车身三维激光视觉检测系统扣1 ；上海大学研制的基于 条纹投影技术的光学三维传感与重建系统n ”；四川大学提出的采用点 结构光技术实现鞋楦的自动测量1 ；清华大学金观昌等用基于光栅投 射的方法进行人体头面部的自动三维测量的尝试性研究“”；台湾智泰 科技股份有限公司1 9 9 8 年推出第一套3 d 激光扫描系统、3 d 曲面编辑 软件( d i g i s u r f ) ，至今一直致力于3 d 数字化科技的研究( h t t p ：w w w 3 d f a m i l y c o r n ) 。 1 3 几种光学主动三维传感方法介绍 根据三维面形对结构光场调制方式的不同，主动三维传感方法分 2 四川大学硕士学位论文 第一童绪论 为时问调制与空间调制两大类。飞行时间法是典型的时间调制方法， 主要基于光脉冲在空间的飞行时间来确定物体的面形。空间调制方法 基于物体面形对结构光场的强度、对比度，位相等参数的影响来确定 物体面形，包括基于三角测量原理的直接三角法、相位测量法和基于 光对比度变化特征的调制度测量轮廓术等。下面对几种典型的主动三 维传感方法作简单的介绍。 to 图i - i 飞行时间法原理图 被 测 物 体 1 3 1 飞行时间法 飞行时间法( t i m e o f - f l i g h t ) “引基于三维面形对结构光束产生的 时间调制，通过检测激光脉冲信号从发射到被探测器接收之间的时间 延迟，计算发射源到物体表面一点的距离，再通过对物体表面进行扫 描，便可得到物面的三维面形数据。其测量原理如图1 - 1 所示。这种 方法可以避免阴影和遮挡等问题，但要得到高的测量精度，测量系统 必须要有极高的时间分辨率。 1 3 2 直接三角法 直接三角法轮廓测量技术包括“钉激光逐点扫描法、光切法和二元 编码图样投影法这些方法都是以纯粹的三角测量原理为基础，其测 量原理图如图卜2 所示。激光器发出的光照射到参考平面上，部分反 射光通过透镜组成像并显现在光敏面上，当被测物轮廓高度发生变化 时，像点在光敏面上的位置也发生变化。由像点变化可求得高度的变 化，即相对参考面的高度值。逐点法用一个光点扫描物体，虽然简单 可靠，但测量耗时；光切法采用一维线形图样扫描物体，速度比前者 有很大提高，确定测量点也比较容易，故应用比较广。二元编码图像 四川大学硕士学位论文第章绪论 投影法采用时间或空间编码的二维光学图样投影，能够大大提高测量 速度，是一种很有前途的三角测量法。 这几种方法的优点是信号的处理简单可靠，无须复杂的条纹分析 就能唯一确定各个测量点的绝对高度信息，自动分辨物体凸凹，即使 物体上的物理间断点使图样不连续也不会影响测量。共同的缺点是精 度不高，不能实现全场测量。 被测物体 图i 一2 直接三角法原理图 面 1 3 3 相位测量法 相位测量轮廓术是将光栅图样投影到物体表面，变形光栅像可以 解释为相位和振幅均被调制的空间载频信号，解调载频信号求得由高 度变化引起的相位变化，并由相位一高度关系求出相对参考面的高度信 息。相位测量法“钉主要分为两大类：时域相位测量和空域相位测量。 时域相位测量主要是按一定的相位间隔移动投影条纹，多次采集变形 光栅像，由多帧图像求出相位的变化，典型方法是n 步移相式轮廓术 ( p m p ) 。空域相位测量是空域中的主要处理方法，其利用数字滤波，将 频率较高的载波和频率较低的面形分离开来，从而将面形恢复出来。 典型的方法是傅立叶变换轮廓术。 ( a ) 相位测量轮廓术( p m p ) 相位测量轮廓术是由激光干涉计量发展而来。v s r i n i v a s a n 和 4 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 m h a l i o u a “”等人在八十年代初将相移干涉术p s i ( p h a s e - s h i f t i n t e f e r o m e t r y ) 引入对物体三维面形的测量中，称为位相测量轮廓术 p m p ( p h a s e m e a s u r e m e n tp r o f i i o m e t r y ) 。它采用正弦光栅投影和数 字相移技术，通过有一定位相差的多幅条纹图来计算位相。其测量光 路图如图卜3 所示。当一个正弦光栅图像被投影到三维漫反射物体表面 时，从成像系统获取的变形光栅像可表示为 i ( x ，y ) = 彳( 量力+ s ( x ，y ) c o s ( x ，j ，) ( 1 1 ) 式中a ( x ，y ) 是背景强度，b ( x ，y ) 是物体表面的非均匀反射率，矿( 五y ) 表 征了条纹的变形，隐含了对应位置的高度变化信息。 图1 - 3p 1 4 p 原理光路图 直接分析( 卜1 ) 式中的强度分布从而确定位相( x ，y ) 是困难的而 采用相移技术“ 则可以容易的求出妒( 工，y ) 。当投影的正弦光栅被移动 其光栅周期的i n 时，条纹图的相位被移动2 x n ，从而产生一个新的 强度分布函数l ( x ，y ) ，用三个或更多的对应不同相移值的条纹图，就 可以计算出位相。例如在典型的四步相移算法中，位相移动的增量为 石2 ，相应的四帧条纹图为 厶( x ，y ) = a ( x ，j ，) + b ( 五y ) c o s # ( x ，y ) l ( x ，y ) = a ( x ，y ) 一b ( x ，y ) s i n 4 ( x ，y ) ( 1 2 ) 厶( 工，y ) = a ( x ，j ，) 一b ( x ，y ) c o s g ( x ，y ) 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 l ( 石，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) s i n ( x ，y ) 联立这四个方程可以解出相位函数 船川一留装糟等 ( 1 - 3 ) 对于更普遍的n 帧相移算法，可以从n 个相移条纹中，利用某一点 在多次采样时探测到的强度值拟合出该点的位相值 l ( 五y ) s i n ( 2 r m n ) ( x ，y ) = a r c t g 等l 一 ( 卜4 ) 厶( x ，y ) e o s ( 2 册n ) n l l 对( 矗y ) 进行相位展开得到连续相位图，通过相位和高度之间的对应关 系计算出物体的高度分布。 相位测量轮廓术的优点是对相位测量的精度可以达到几十分之一 到几百分之一个等效波长，同时对条纹背景、对比度和噪声的影响不 敏感。缺点是需要精密的相移装置和标准的正弦光栅，避免相移不准 和光场的非正弦性引入的测量误差，同时，对于复杂面形的测量会出 现阴影、遮挡和位相展开问题。 ( b ) 傅立叶变换轮廓术( f t p ) 傅立叶变换轮廓术是1 9 8 3 年由m t a k e d a 等人提出来的“”。该方法 通过投影结构光场到待测三维物体表面，在采集完参考平面的光场后 只需要采集一帧变形条纹图，对获得的条纹图进行傅里叶分析、频域 滤波、逆傅立叶变换、位相展开等处理后，最终求解出物面的高度信 息。该技术与时间飞行法、激光逐点扫描法、光切法等光学三维轮廓 术相比，具有全场、快速的特点，不需要扫描装置；与早期的莫尔轮 廓术相比，具有更高的灵敏度，并能全自动区分物体表面的起伏变化， 对条纹阶次和内插数的设置没有要求，没有由光栅图形的高次谐波成 分产生的假的莫尔条纹所引起的误差；同p m p 相比，只需要一幅或两幅 条纹图就可以求得物面的三维信息，省去了复杂的相移装置，设备简 单，测量速度快，在实时和动态测量领域具有广泛的应用前景。但是 6 四川大学硕士学位论文第一章绪论 由于涉及频域滤波，要避免频谱混叠对测量精度的影响，因此限制了 它的测量范围。f t p 测量方法由于有其独特的优势，而得到众多研究者 的青睐，多年来人们对f t p 作了大量的研究“”2 ”。本文将在第二章中对 其基本理论和研究进展做系统介绍。 1 4 本论文的主要工作 傅立叶变换轮廓术作为一种有着广阔发展前景的光学三维传感方 法，以其独特的优势吸引着广大研究者的注意。本文在傅立叶变换轮 廓术的基础上，提出了窗口傅立叶变换的三维面形测量方法。该方法 利用窗口傅立叶变换的局部分析特性，并配合以门限去噪，在有频谱 混叠和严重噪声影响的情况下，能够得到更好的三维重建效果；另一 方面，还提出了采用g e r c h b e r g 迭代法对条纹图进行外插，提高窗口 傅立叶变换的测量精度，并得到良好的效果。本文主要结构安排如下： 第一章，介绍了光学三维传感的重要意义和应用前景，主要介绍 了其基本理论和常用方法。 第二章，详细论述了傅里叶变换轮廓术( f t p ) 的测量原理，讨论了 f t p 方法的误差来源及相应的改进措施。介绍了窗口傅立叶变换的基本 理论及其应用前景。为下一章窗口傅立叶变换的三维面形测量方法的 提出作了理论铺垫。 第三章，详细介绍了窗口傅立叶变换用于三维面形测量的基本原 理。通过计算机模拟和实验对所提方法进行了验证可以看出：与传 统傅立叶变换方法相比，窗口傅立叶变换能够有效地抑制噪声和频谱 混叠对测量精度的影响。 第四章，针对窗口傅立叶变换处理过程中，由于高斯窗在图象边 缘的不完整而产生误差的问题，提出了采用g e r c h b e r g 迭代法对条纹图 进行外插延拓，扩展窗口傅立叶变换处理的有效区域范围，从而进一 步提高窗口傅立叶变换的测量精度。 第五章，全文总结，并对未来的工作做了一些展望。 7 四川大学硕士学位论文 第二章f t p 与、f r 基本理论 第二章f t p 及w f t 基本理论 傅立叶变换轮廓术( f t p ) 的测量原理如图2 - 1 所示，具体工作过程 可描述为：( 1 ) 投影光栅结构光场( 载波信号) 到被测物体表面，使光 栅结构光场的位相受到物体三维面形高度分布的调制，形成调制后的 变形条纹；( 2 ) 成像系统将此连续分布的变形结构光场( 已调信号) 成 像于面阵探测器上，探测器阵列对其进行抽样，获取离散信息送入计 算机处理；( 3 ) 计算机对所得的离散信息进行快速傅里叶变换处理， 从频谱中滤出基频分量，然后对基频分量进行逆傅里叶变换，获取该 位相信息；( 4 ) 根据位相与高度分布的调制关系，解调出被测物体的 三维面形信息。 2 1f t p 的基本原理 p r o j 町 万 ，2 厶 m 扣m、 zc do r r f e r e n c e 图2 - 1f t p 测量原理图 图2 - 1 是f t p 的典型光路图，图中只和只分别是投影系统的入瞳和 出瞳，和，2 是成像系统的入瞳和出瞳，光栅的栅线垂直于图平面，d 是最与，2 间的距离，厶是，：到参考平面r 的距离，c 和d 是参考平面r 上 的两点，s 是c c d 阵列上任意一点。 当光栅投影在参考平面上时，设参考平面上c 点在c c d 阵列上s 点成 像，则s 点有一相位，览- 晚，当光栅投影到物体表面时，则物面上h 8 四j i i 大学硕士学位论文 第- 二章f t p 与w p r 基本理论 点在c c d 阵列上s 点成像，于是s 点有一新相位五一九- 九，办为参考平 面上d 点的相位，可以看出c c d 阵列上s 点先后两次成像得到的两个相位 纯与荔的差值览正是由物面上h 点相对于参考面的高度h 调制引起的。 由于s 为任意选取，贝l j c c d 阵列上任意点的前后两次相位差有如下关系： 妒( 工，y ) - 妒( 石，y ) 一如( z ，y ) - 2 硝o c d ( 2 - 1 ) 再由三角形c h d 和只脚：的相似关系得： | i l 。，y ) - 硒l 砑o a 妒( 五x , y ) 万 2 2 ) 在远心投影光路条件下，考虑到实际测量中l o ，1 1 0 ，y ) ，则被测物 体高度分布和调制位相的关系为： ，y ) 一云荔庐 ，) ，) ( 2 3 ) 因此，只要求得相位差妒似) ，) 就可以求得高度分布h ( x ，y ) 。 当投影光栅为r o n c h i 光栅时，观察系统采集到的变形条纹可以表 示为： g ( x ，y ) - r ( x ，y ) ae x p j 2 f o x + n 妒 ，_ ) ，) 】 ( 2 - 4 ) 式中矗是投影光栅的基频， ，y ) 是物面非均匀反射率，以是傅 里叶级数的系数， ，) ，) 是由物体高度分布引起的相位调制。为了得到 相对高度分布和消除测量系统误差，需对参考平面进行一次测量，对 于物体高度分布h ( x ，y ) 一0 的变形条纹图可表示为： g o ，) ，) 一ae x p i 2 j m f o x + n 确o ( x ，y ) 】 ( 2 - 5 ) 其中吃 ，y ) 为参考平面的非均匀反射率。对式( 2 - 4 ) 的变形结构光 场沿x 方向作一维傅立叶变换，其频谱分布如图2 3 所示。滤掉作为 背景和缓变分量的零频分量以及作为噪声的二次及其以上的高频分 量，只剩下作为调制信号的基频分量，然后作逆傅里叶变换，光场分 布变为 雪o ，y ) 一4 r o ，y ) e x p 2 n f o x + 妒o ，) ，) 】 ( 2 - 6 ) 9 四川大学硕士学位论文 第二章f r p 与w f t 基本理论 对参考平面作同样的处理得： 磊o ，y ) - 4e x p j 2 , - t f o x4 - 纯 ，_ ) ，) 1 ( 2 - 7 ) 由雪0 ，y ) 和锐缸，y ) 相乘可得： 雪0 ，y ) 盛o ，y ) - 群r ，y ) e x p j a ( x ，) ，) 】( 2 8 ) 因此a 妒) ，) 可以通过下式计算得到： 龇一锄兹纂黜 。， 其中 表示共轭运算，l 是取复数的虚部，冠是取复数的实部。 俐 qlq 三只! ，尺三 3 两国0d2 f o 3 叠 图2 - 3 变形条纹的一维频谱图 2 2f t p 测量范围的限制 由于f t p 测量方法主要是从频域中提取包括物体高度信息的频率 分量进行处理，以得到正确的恢复面形，因此必须避免携带有用信息 的一级频谱与零级频谱和高级频谱之间的混叠。如图2 4 所示。 填充部分表示携带物面信息的基频分量q l ，q | 必须同其他的频谱 分量分离，即必须满足： ( ，i ) 。c ( ) 。 ( n ，1 ) ( 2 - 1 0 ) ( ) m ，( 2 - 1 1 ) 五代表零频分量的最大值，( ) 。代表基频分量的最大值，( ) 。代表 基频分量的最小值。( ) 。代表n 级频谱分量的最小值。 1 0 四川大学硕t 学位论文 第二章f i t 与、v f r 基本理论 lq o q 1 ( 蛳虹z ( 跏h 伽 图2 - 4 变形条纹的空问频谱 为了便于讨论，定义一级频谱的局部空间频率为： 矾+ 罟掣婴 ( 2 1 2 ) 将方程( 2 - 1 2 ) 代入方程( 2 - 1 0 ) 和( 2 - 1 1 ) ，经整理，并结合实际情况， 得到频谱分离条件为： ，0 + 去喏) 一c 矾一丢喏) 一 。一2 3 ，) ( 2 - 1 3 ) 五c ，o 一去( 芸) 眦( 2 - 1 4 ) 通常情况下，零频和二倍频对基频的影响最大，且五 打迅速趋于 零的所谓“钟型”函数，信号在乘以平滑移动的窗函数g ( x 一”) 后，有 效地抑止了x = u 的邻域以外的信号，所以，再对八x ) g ( x 一甜) 进行傅立 叶变换所得的结果，反映了x = u 时刻附近的局域频谱信息，也就是给 出了按窗口宽度分解信号厂( x ) 的频谱f ) ，从而达到了时域局域化的 目的。 2 1 四川大学硕士学位论文 第三章窗口傅芷叶变换的三维面形测量 本文的窗口函数选为g a b o r 最初使用的高斯函数，是因为高斯函 数可以达到h e i s e n b e r g 不确定性原理的下界，即具有最小的有效时宽 缸和有效带宽可的乘积r y ，在时频平面中具有最佳分辨率。图3 2 为高斯函数构成的时一频窗。g ( c o ) 是时窗g ( t ) 的傅立叶变换，可以看出， 在时间一频率坐标系中，时窗g ( t ) 和频窗g ( c o ) 共同作用构成了时一频窗。 图8 - 1 窗口傅立叶变换分析过程 0 图8 - 2 窗口傅立叶变换的时一频窗 四川大学硕士学位论文 第三童窗口傅苛叶变换的三维面形测量 3 1 2 积分限的选择 公式( 3 7 ) 中的点，磊，仍，仉是需要滤波的频率范围。由于我们要滤出 基频分量作傅立叶变换，因此，积分上下限就可以选为0 毒 ，碾 0 ，这里的缈= 2 x j o 是投影的正弦光栅的载频。这就 相当于一个带通滤波过程，将有限范围内的频谱滤出来，其他的频谱 ( 如m 0 的负频率部分，背景以及一些噪声的频谱) 都被滤掉了。 3 2 窗口傅立叶分析与傅立叶分析比较 窗口傅立叶分析和传统傅立叶分析的步骤可以由图3 3 和图3 - 4 说明“5 ”图3 3 是用传统傅立叶变换方法对条纹图分析的过程。图 3 - 4 是窗口傅立叶变换方法分析过程，图中给出了四个频率位置的频谱 切片，综合所有需要的频率成分，再作逆窗口傅立叶变换就得到携带物 体位相信息的复指数函数，取其相角就可以得到所需要的位相分布。 3 3 计算机模拟 为了证明窗口傅立叶变换方法的有效性和优越性，计算机模拟了 f t p 的测量过程，并对传统傅立叶变换方法和窗口傅立叶变换方法进 行了比较。模拟的结构参数l d = 3 3 ，模拟物体如图3 - 5 ( n ) 所示，图 3 5 ( 6 ) 是一个被噪声严重污染且受高次谐波影响的变形结构光场。模拟 图像大小为2 5 6 2 5 6 p i x i e s ，所加的噪声为高斯噪声，噪声均值为零， 方差口为0 0 6 。对图3 5 ( 6 ) 作快速傅立叶变换，得到它的归一化频谱 如图3 5 ( 订所示。 采用f f t 方法从这个变形结构光场中恢复出的三维面形分布如图 3 5 ( d ) 所示，采用w f t 方法从这个变形结构光场中恢复出的三维面形 分布如图3 5 ( e ) 所示，图3 5 ( 力是f f t 方法恢复结果的误差分布，图 3 5 ( g ) 是w f t 方法恢复结果的误差分布。对比图3 5 和3 - 5 ( g ) 可以 看出，相对误差率由1 2 2 下降到了2 8 。 型! 盔兰堡主兰堡笙塞 苎三童堕旦堡兰竺耋壅竺三堡堕兰塑量 变形条纹频谱分布 基频分量 截断位相 图3 - 3 傅立叶变换分析过程 图3 - 4 窗口傅立叶变换分析过程 婴型查兰堡主兰竺堡苎墨三童堕里堡兰! 窒堡塑三丝堕兰塑苎 1 0 0 5 0 e e 0 ”5 0 - 馏 1 5 0 e e 0 、 一5 0 1 0 0 4 0 0 y p r x e l o0 x l p c e l 图3 - 5 ( a ) 模拟物体 图3 - 5 ( b ) 变形条纹图 喜： 茎。o 九 图3 - 5 ( c ) 归一化频谱 1 5 0 lo 、 n 锄 1 0 0 4 0 0 y p i x e l 00 x l p t x e l y p r x e l 00 x l p l x e l 图3 - 5 ( d ) f f t 方法恢复的物体图3 - 5 ( e ) w f t 方法恢复的物体 四川大学硕士学位论文第三章窗r l 傅啻叶受换的= 维面形测量 2 0 e1 0 e 葛0 - 1 0 4 0 0 4 2 e e0 、 ，2 4 4 0 0 y l p r x e i 00 x l p l x e l y p x e l 0 0 x l p o c e l 图3 - 5 ( f ) f f t 方法恢复物体的误差图3 - 5 ( g ) w f t 方法恢复物体的误差 3 4 实验验证 为了对上述方法作进一步的验证，本文对一人脸面具做了实际测 量。采用实验装置图如图3 - 6 所示，c c d 采集的变形条纹图如图3 - 7 ( 4 ) 所示，图3 7 p ) 是变形条纹图的归一化频谱，图3 - 7 ( c ) 是用传统傅里 叶变换方法恢复的物体，图3 7 似) 是用本文提出的方法恢复的物体。 从图3 7 ( c ) 可见，由于频谱混叠的影响，恢复的人脸产生明显变形 采用本文提出的方法后，频谱混叠的影响减小了，人脸基本上得到正 确的恢复，精度也得到了提高。 图3 - 6 实验装置图 四川大学硕士学位论文 第三章窗口傅屯叶变换的三维面形测量 4 0 e e 2 0 ”0 - 2 0 6 0 0 一 l - 图3 7 ( a ) 人脸的变形条纹图 图3 - 7 ( b ) 归一化频谱 图3 。7 ( c ) f f t 方法恢复的人脸图3 - 7 ( d ) w f t 方法恢复的人脸 3 5 本章小结 本章介绍了窗i d 傅立叶变换的三维面形测量的基本原理。分析了 窗1 ：3 函数选择的依据。对所提出的方法进行了计算机模拟和实验验证， 通过与传统傅立叶变换方法比较得出：在有频谱混叠和较大噪声的情 况下，窗口傅立叶变换的方法可以得到更好地三维重建效果。 网川大学硕士学位论文 第四蕈改进的窗口傅它叶变换方法 第四章改进的窗口傅立叶变换方法 窗1 ：3 傅立叶变换的处理过程是：用一个移动的窗i = l 扫描整个条纹 区域，将整个条纹区域划分成许多局部条纹段，对每一局部条纹段作 傅里叶变换得出其局部频谱，然后再把所有局部频谱叠加起来得到整 个变形条纹的频谱分布。由于c c d 采集的条纹图是空域有限的，当窗 口划过图像边缘区域时，高斯窗就不再是一个完整的高斯形状( 如图 4 1 所示1 ，这时，对于窗口宽度以内区域的窗口傅立叶变换会因为窗 口的不完整而产生误差。因此，本文通过采用g e r c h b e r g 外插迭代法n “ 在条纹图边缘生成新条纹，扩展窗口傅立叶变换处理的有效区域范 围来提高其测量精度。 图4 - 1 高斯窗在图象边缘的分布形状 4 1 g e r c h b e r g 外插迭代 c c d 采集的变形条纹图通常可以表示成下面的形式： g ( 石，y ) 一口( x ，y ) + 6 ( 石，y ) c o s 丽o x + 驴( 石，y ) 】 ( 4 - 1 ) 对式( 4 1 ) 的两边作二维傅立叶变换可得； g ( l ，) - g 0 ( ，) + g l ( 正，) + g ，( 丘，) ( 4 2 ) 式中g o ( ，) ，g 1 ( ，) 和g 一。( 丘，丘) 分别是频谱a ( l ，丘) 的零级谱，一 级谱和负一级谱。 四川大学硕士学位论文 第四章改进的窗口傅芷叶变换方法 g e r c h b e r g 外插迭代的工作原理为：首先对c c d 采集的条纹图作周 期延拓，然后对延拓后的条纹图作二维傅立叶变换，得到其频谱分布。 选择合适的滤波窗滤出零频和正负一级频谱，再作逆傅立叶变换，就 可以得到一个有外插条纹的新的条纹分布。新条纹中对应于原始条纹 处用原始条纹代替，然后再进行傅立叶变换，滤波、逆傅立叶变换的迭 代，直到得到一个质量好的满场条纹，迭代结束。其工作流程如图4 2 所示。 4 2 选择 了g 模拟 口傅 误差 原始条纹图 ：僦h 傅立叶变换h 频域滤波 四川大学硕士学位论文 第四蕈改进的窗口傅盘叶变换方法 1 0 0 5 0 lo 、 “锄 1 0 0 4 0 0 1 0 0 5 0 e e0 - 1 0 0 4 0 0 y p l x e l 00 x p e t a l 图4 - 3 ( 8 ) 模拟物体 y p e t e l 00 x l p e t e l 图4 - 3 ( c ) 恢复的物体 3 0 0 3 0 0 图4 - 3 ( b ) 变形条纹圈 y p l x e l oo x ，删 图4 - 3 ( d ) 恢复物体误差 4 2 1 不同滤波方式的外插迭代对测量的影响 首先采用低通滤波的g e r c h b e r g 迭代对变形条纹图进行外插延拓。 未拓展的变形条纹图如图4 - 4 ( a ) 所示，图象大小为2 5 6 x 2 5 6 p i x i e s ，延 拓后的图象大小为2 8 0 x 2 8 0p i x i e s ，延拓周期为条纹周期的整数倍， 如图4 4 ( b ) 所示。采用的滤波方式如图4 - 4 ( c ) 所示，g e r e h b e r g 外插迭 代后的变形条纹如图4 - 4 ( d ) 所示。对迭代后的变形条纹图作窗口傅立 叶变换，得到的恢复面形如图4 - 4 ( e ) 所示，其误差如图4 - 4 ( 0 所示。可 四川大学硕士学位论文 第四章改进的窗口傅立叶变换方法 以看出：图象拓展后，测量误差减小了。最大测量误差由原来的i 8 4 m m 减小为0 9 r a m 。 图4 - 4 ( a ) 原变形条纹图 图4 - 4 ( b ) 延拓后的条纹图 滤波窗 八八 迭f - 一f o 0 f of 图4 - 4 ( c ) 低通滤波 图4 - 4 ( d ) 迭代后的条纹图 朋川大学硕士学位论文 第四章改进的窗口傅屯叶变换方珐 1 5 0 l 0 、 “5 0 1 3 0 0 y p l x e l o o x p j x e l 图4 - 4 ( e ) 恢复物体 1 0 5 e e0 n 0 5 1 3 0 0 y p o e l oo x ，o 删 图4 - 4 ( f ) 恢复物体误差 采用带通滤波分别滤出零频和正负一级频谱作g e r e h b e r g 迭代， 滤波过程如图4 - 5 ( a ) 所示。迭代后的变形条纹图如图4 - 5 ( b ) 所示。对外 插延拓后的变形条纹图作窗口傅立叶变换，得到的恢复面形如图4 5 ( c ) 所示，误差如图4 - 5 ( d ) 所示。最大测量误差为o 7 r a m ，平均误差为 o 0 9 6 r a m 。经分析比较得出，带通滤波的g e r c h b e r g 迭代能够较快地得 到好质量的延拓条纹，而且测量精度也要高一些。 滤波窗 而而； 一氏0f of 图4 - 5 ( i 1 1 ) 带通滤波 图4 - - 5 ( b ) 迭代后的变形条纹图 k 四川大学硕十学位论文第四章改进的窗口傅立叶变换方法 1 5 0 l0 n 娜 伯o 3 0 0 y ，p i ) c e i oo x p i x e l 1 0 5 e e0 、 n - 0 5 - 1 3 图4 - 5 ( c ) 恢复的物体图4 - 5 ( d ) 恢复物体的误差 4 2 2 延拓周期不是条纹周期整数倍的情况 由于f f t 算法会产生频谱泄露的问题，因此，f t p 测量中通常选 择空域拓展周期为条纹周期整数倍以减小频谱泄露带来的误差”。因 此，这里模拟了拓展周期不是条纹周期整数倍的情况来分析频谱泄露 对窗口傅立叶变换的影响。正弦光栅的周期t = i o ，边缘延拓后的图象大 小为2 8 8 x 2 8 8 p i x i e s ，如图4 - 6 ( a ) 所示，拓展后图像包含2 8 8 个条纹周 期。图4 - 6 ( b ) 为外插迭代后的条纹图，作窗口傅立叶变换得到的恢复物 体如图4 - 6 ( c ) 所示，误差分布如图4 - 6 ( d ) 所示。最大误差为o 7 r a m ，平 均误差为0 1 m m 。与上面的拓展周期为条纹周期整数倍的情况比较， 可以看出，频谱泄露对窗口傅立叶变换的影响很小。由于窗口傅立叶 变换本身对频谱泄露有一定的抑制作用。因此窗口傅立叶变换的拓展 周期不必为条纹周期的整数倍。 4 2 3 延拓区域超过一个窗口宽度的情况 根据分析，随着窗口形状在图象边缘趋于完整，测量精度就越高。 因此模拟了延拓后图象大小为4 0 0 4 0 0 p i x i e s 的情况( 原图象大小为 2 5 6 2 5 6 p i x i e s ) 。这里窗口傅立叶变换使用的高斯窗为4 9 4 9 p i x i e s 大 小，延拓区域超过了一个窗口宽度。延拓后图象如图4 - 7 ( a ) 所示，迭 1 5 0 l0 、 n 搠 1 3 0 0 四川大学_ 赜亡学位论文 第四章改进的窗口傅屯叶变换方法 代后的条纹图如图4 - 7