（光学专业论文）双阱中玻色爱因斯坦凝聚体的量子隧穿现象.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘要摘要 在 1995 年，美国三个小组各自在实验室实现了碱金属原子(87rb, 23na 和 7li) 的 bose-einstein 凝聚。全世界有很多研究小组从事研究 bec 的超流性、光学性质、隧 穿性质、稳定性和涡旋状态。 一个基于隧穿的现象是在两个宏观相位相干波函数之间的 josephson 效应。 在耦 合的 bose-einstein 凝聚体中也存在着 josephson 效应， 而且在这新系统中在隧穿粒子 之间的相互作用扮演一个决定角色。这种非线性相互作用引起新的现象宏观量 子自捕获效应。 双阱模型是一个基本的简单物理模型。人们可以用它来研究在双阱中的 bec 呈 现出的原子的干涉现象和量子隧穿现象。 本论文主要是运用了半经典理论研究非对称的双阱中的 bec 的动力性质。本文 工作主要是以下几点： 1. 回顾在弱相互作用和无周期调制时，在对称的双阱中两体 bec 的动力性质， 分别陈述了系统处于零相位模式、 相位模式和 running phase mode 的情况下粒子表 现出的不同的动力行为，并对这些动力行为进行了分析。 2. 利用平均场和双模近似理论研究在弱相互作用和无周期调制时，在非对称的 双阱中的 bec 的动力性质，分别在双阱的基态能量差为零时系统处于零相位模式、 相位模式和 running phase mode 的情况下绘制随着双阱的基态能量差的改变两体 bec 的动力行为的变化，并对这些动力行为进行了分析。 关键词：关键词：玻色-爱因斯坦凝聚体 约瑟夫森效应 自捕获效应 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract in 1995, three groups in u. s. have realized bose-einstein condensate (bec) in alkali metal atomic gas (87rb, 23na and 7li) in laboratory, respectively. and now there are many groups in the world doing research on the superfluidity, optical properties, tunneling properties, stable properties, and vortices state of bec. josephson effect between two macroscopic phase-coherent wave functions is a famous phenomenon based on tunneling. this effect has been observed in different systems such as two superconductors separated by a thin insulator and two reservoirs of superfluid helium connected by nanoscopic apertures. there also exists josephson effect in coupled becs, and interaction among tunneling particles plays a determinative role in such systems. this nonlinearity gives rise to a new phenomenon, called macroscopic quantum self-trapping effect. the double well model is a basic and simple physical model, in which the atom interference phenomena and quantum tunnelling phenomena of bec could be well studied. this thesis carries research on becs dynamic properties in asymmetric double well by using the semi-classical theory. the main works of this thesis are as follow: 1. becs dynamic properties in asymmetric double well are reviewed with weak interaction and non-periodical potential, following which becs dynamic behaviors in the two double wells in zero phase mode, phase mode and running phase mode, as well as the analysis of these dynamic behaviors, are stated. 2. the becs dynamic properties in asymmetric double well with weak interaction and non-periodical potential are described by using mean-field and two-mode approximation theory. and how becs dynamic behaviors change with the variation of ground state energy difference between two double wells in zero phase mode, phase mode and running phase mode. at last, these dynamic behaviors are analyzed. key words: bose-einstein condensate, josephson effect, self-trapping effect. 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪论绪论 1925 年 einstein 将玻色的光子理论1推广到全同粒子理想气体中， 提出和预言了 在极低温度下理想玻色气体将形成一种新的物态玻色-爱因斯坦凝聚态 (bose-einstein codensation)2， 简写成 bec。 随着 80 年代发展起来的激光制冷技术3,4 的完善，在 1995 年，美国国家标准局和科罗拉多大学联合实验室(jila) 、莱斯大 学(rice) 和麻省理工学院(mit) 在各自的实验室分别实现了碱金属原子(87rb，23na 和 7li)的 bose-einstein 凝聚57。bec 是一种具有宏观量子相干、宏观量子隧穿和量 子超流体性质的量子流体8,9。它的奇特性质，使它不仅对基础研究有重要意义，而 且在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都让人们看到了重要的应用前景。例如， 利用凝聚体中的原子几乎不动的性质，可以用来设计精确度更高的原子钟；利用凝 聚体很好的相干性，可以研制高精度的原子干涉仪；原子激光也可用于精密雕刻。 bec 还可以用于量子信息的储存、传输和处理。这些应用前景使 bec 的理论和实 验研究成为当前热门研究。目前全世界有很多研究小组从事这方面的工作，如研究 bec 的超流性10 17 、光学性质、隧穿的性质1822 、稳定性和涡旋状态2326 。 一个基于隧穿的著名现象是在两个宏观相位相干波函数之间的 josephson 效应。 20 世纪 60 年代，josephson 指出用一层约 1nm 左右的绝缘体连接两块同样材料的超 导体，然后在超导体上加上高于两倍超导体能量间隙的电压，cooper 对能隧穿绝缘 体，这就是 josephson 效应。 27这个效应在不同的系统中被观察到，如在一个薄的绝 缘体分隔的两个超导体28和纳米级的孔径连接的两个超流体氦29,30中。在耦合的 bec 中也存在着 josephson 效应， 而且在这新系统中在隧穿粒子之间的相互作用扮演 一个决定角色。这种非线性相互作用引起新的现象宏观量子自捕获效应。 为了在实验中研究以上现象，可以通过使用一种涉及激光和磁场的冷却和捕获 技术的混合方法，31 33从而获得蒸发冷却所需要的高初始密度。方法如下：先利用 激光冷却进行前冷却，再利用中间有一个光学塞的磁场势阱捕获原子，最后利用射 频诱导蒸发34进一步冷却原子，产生 bose-einstein 凝聚。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 图 1.1 磁四极场，光学塞和射频产生的绝热的势场。6 据此就可以进一步制造双阱势场，当凝聚体基态能量低于磁场中间的势垒，凝 聚体会碎裂成两个。通过调节磁场中间的势垒，可以在单阱和双阱之间互相转化， 产生凝聚体原子的碎裂。在中间的势垒为零时，基态被近似成单一凝聚体；在势垒 为无限高时，它被近似成两个的凝聚体。35移动势垒的位置可以制造一个不对称的 双阱。由此可观察凝聚体原子的干涉和量子隧穿现象。 双阱模型是一个基本的简单物理模型。人们可以用它来研究在双阱中的 bec 呈 现出的原子的干涉现象和量子隧穿现象。两个弱耦合凝聚体之间的量子隧穿现象包 括 josephson 效应和自捕获效应14,36及光晶格中 bec 的非线性landau-zener隧穿 18,21,37,38。 bec 中的 josephson 效应指有一势垒在两个凝聚体之间， 当两个阱中的化学势不 等时，就产生了一个振荡的原子通量，从而使 bec 密度产生周期性的振荡行为的现 象。在势垒的两边的两个凝聚体之间的重叠仅发生在经典禁区，流量是典型的 josephson 形式 i=i0sin(12)t/。 bec 中的自捕获效应指由于原子间的相互作用， 在对称的双阱中演化的 bec 却 可以呈现高度的不对称分布，好像绝大多数原子被其中的一个阱捕获，即使在排斥 相互作用下原子也会呈现不对称分布的现象。 在 josephson 效应中的交换起源于双阱中宏观波函数之间的相位差。 通常认为一 个相位因为测量过程所产生。通过引入一个测量装置连续监控一个阱中的粒子数， 从而在两个凝聚体之间建立一个宏观量子相干相位，它引起量子隧穿。39如果凝聚 体初始局域化于一个阱，它能通过量子隧穿在双阱之间振荡。然而，由于起源于粒 子相互作用的非线性，当凝聚体中的原子数超过一个临界值时振荡被抑制。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 1.1 bec 的量子隧穿的实验研究成果的量子隧穿的实验研究成果 2005年1月anker等首次在实验中观测了在josephson结阵列中一个带有叠加周 期势的单维波导中 bec 的非线性自捕获。 40他们证实了增加非线性会使系统从扩散 状态变成自捕获状态，揭示了非线性自捕获是一个局域性质。 图 1.2 bose-einstein 凝聚的 87rb 原子的自捕获的观察。通过增加原子数从 2000200（方块）到 5000600（圆圈） ，排斥的相互作用导致波包的扩张停止。40 2005 年 7 月 albiez 等首次在实验中直接观测了在单个玻色 josephson 结之中的 josephson 振荡和自捕获振荡。41 图 1.3 在一个对称的双阱中的两个弱耦合的 bec 隧穿现象的观察结果。41 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 将一个充分预冷却的热原子云装入光偶极势阱，进而通过降低光强度以蒸发冷却之， 从而制造 bec。为了在对称的双阱势场中制造初始布居差，他们首先移动聚焦的激 光束的位置制造一个不对称的双阱势场，然后装入 bec，以此调节初始分布差，再 非绝热地将不对称的双阱势场改变成为一个对称的双阱势场。使用此装置能以一个 标准偏差z=0.06 来调节初始布居差。 图 1.4 描述系统的两个变量 z 和的详细分析。 顶部图形描绘了为实现不同的初始原子分布的实验准备计划。41 1.2 理论模型和方法非线性双模近似理论理论模型和方法非线性双模近似理论 描述被限制在外部的势场vext的n个相互作用的玻色子的多体hamiltonian在二 次量子化时被写成 )() () () ()( 2 1 )( 2 )( 2 rrrrvrrdrdrrv m rdrh ext + + + += ? (1.1) 此处)(r 和)(r + 是玻色子场算符， 分别在坐标 r 湮灭和产生一个粒子， 而)(rrv是 两体原子间的势场。 系统的基态和它的热力学性质一样能直接由多体hamiltonian计算得到。然而， 这个计算太繁重，对有较大数值的n的系统甚至是不实际的。为了克服精确求解完 全多体schrodinger方程的困难，平均场方法通常被用于相互作用系统。bogoliubov 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 利用平均场描述一个稀薄的玻色气体。关键之处在于分离凝聚体对玻色场算符的贡 献。通常场算符能够被写成 arr)()( = ，此处)(r 是单粒子波函数，而 a 是对应的湮灭算符。 bogoliubov 方案推广到非均匀和随着时间变化的布局写成 ),( ),(),(trtrtr +=， (1.2) 这里使用heisenberg表象表示场算符。(r, t)被定义成为场函数的期望值，是凝聚体 的波函数，),( tr 是小的扰动。 此外，由hamiltonian可得，场算符),(tr 的时间演化的heisenberg方程是： ),(), ()(), ()( 2 ,),( 22 trtrrrvtrdrrv m htr t i ext + + = ? ? (1.3) 个体不得不用经典场(r, t)替换算符),(tr 以推导凝聚体的波函数(r, t)的方程。包 含原子间相互作用)(rrv的积分中，当短距离)(rr 被涉及时，这个替换是粗劣的 近似。在稀薄和冷的气体中，个体能够获得一个合适的关于相互作用项的表达式， 通过观察仅仅涉及低能量的双元碰撞的情况，这些碰撞被描绘用一个单个参数，s波 散射长度， 它独立于双体势的细节。 这允许个体用一个有效的相互作用取代)(rrv ， )()( 0 rrgrrv=， (1.4) 此处耦合常数g相关于散射长度a通过mag/4 2 0 ?=，m是原子质量。 利用上述变换可得，在t=0，对于在势阱vtrap(r, t)中一个相互作用的bec的情 况，波函数(r, t)满足gross-pitaevskii方程 ),(| ),(|),(),( 2 ),( 2 0 2 2 trtrgtrvtr mt tr i trap += ? ?， (1.5) 接下来我们将考虑用远偏共振激光垒切割一个单一的凝聚体成为两个（可以不对称 的）部分，从而产生的双阱势阱。在此双阱势阱中耦合的凝聚体是外部耦合的凝聚 体。除此以外，这个结果能应用于在两个超精细亚层之间的凝聚体，即内禀耦合的 凝聚体。 可以采用双模近似求解方程。此模式由milburn首先提出44。将bec装入一个 对称的双阱单个粒子势v(r)，规定v(r1,2)=0。假设两个最低态是紧密相隔，还很好地 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 与更高的能级分隔，并且多个粒子的相互作用不会显著地改变这个情况。围绕每个 最小值扩展势场，使 v(r)=v(2)(rrj)+，j=1，2， (1.6) 此处v(2)(r-rj)是对每个最小值邻近地区的势能的抛物线近似。局部势v(2)(r)的归一化 的单个粒子基态是u0(r)，带有本征值e0，并且定义单个阱的局部模的解 ui(r) =u0(rri)，i=1，2。 (1.7) 这些局部模并不精确地正交，但可以写 )1 ()()( *3 jkjkkj rurrud+= ，j，k=1，2。 (1.8) 这里的是相对的阱之间的重叠。如果在状态u0(r)上坐标的不确定度远远小于全部 势v(r)最小值的间隔， 那么=?时，这是正确的。使用 3 0 2/3 8rveff，获得能使双模 近似是有效的原子数的条件| / 0 arn 。当前实验中原子数是103-106。如果考虑一 个带有 r0=10m 的势阱并且 a=5nm，则有2000=zze， (2.8) 定义一个临界量zc。在|(0)|/2时，当z(0)zc时出现自捕获状态；在|(0)| /2时，当z(0)zc时出现自捕获状态。15另外，通过改变几何形状势阱和全部凝 聚体原子数，保持z(0)恒定但变化时，亦通过此公式定义一个临界量c， 2/)0( )0(cos)0(11 2 2 z z c + =。 (2.9) 当c时出现自捕获状态。15 2.4 相位模式和相位模式和(0)=的的 running phase mode 2.4.1 相位模式相位模式 josephson 振荡状态和自捕获振荡状态振荡状态和自捕获振荡状态 相位模式描述带有相位差的时间平均值= 的量子隧穿，包括小振幅， 大振幅，和宏观量子自捕获振荡。前两者的布居差的时间平均值z= 0，而最后者 的布居差的时间平均值z 0。在参数取值z(0)=0.6和(0)=的对称势阱中， 布居差随时间变化的行为如图2.2。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 图 2.2 在一个对称势阱中，布居差 z(t)作为无量纲的时间 t 的函数，参数取值 z(0)=0.6 和(0)= 。取值(a)0.1，(b)1.1，(c)1.111，(d)1.2，(e)1.25，和(f)1.3。15 如果e(1，1)，则z是关于的偶函数，有z= 0和= 并且原子 的分布在两个模式之间周期地交换，对应摆在作余弦振荡。48这些解保持了z的对 称性，它们对应的本征函数是奇函数或偶函数。静态的基态有最小能量1，此时z 0，0。这是josephson振荡状态。 小振幅振荡采用摆的类似物，对应非严格的摆的小幅振荡，是一个线性状态。 bjj象一个非严格的摆，摆线长(x2+y2)1/2=(1z2)1/2随着角动量z和惯性力矩 1 增 加而减少。 在小振幅振荡(|，|z|0)时，假设=+方程简化为 )( )(ttz= ， (2.10a) )()()( tztzt= 。 (2.10b) 重组成二阶微分方程 )() 1()(tztz= ， (2.11a) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 )( ) 1()( tt= ， (2.11b) 由此可得 1 ， (2.12a) 进而重新定义有量纲的时间 1 )/2( ?tt可得原始的 ?/2)2(/12 2 = t un ， (2.12b) 它独立于初始条件z(0)和(0)。由上式可知1，否则相位模式的小振幅振荡消 失。 大振幅振荡对应非严格的摆的大幅振荡，是一个非线性状态。这种状态可以通 过在固定的时增加z(0)或在固定的z(0)时增加而获得。 这样振荡的周期随着z(0) 增加并且经过一个临界点后接着减少。在振荡中，动量依赖的长度允许摆锤进行颠 倒的非谐振荡，有z= 0，围绕垂直轴的顶端。对于大振幅振荡，能超过1。 如果e=1，则z的图形为双曲正割，z最终变成总是为零，有z0和0即原 子的分布不变，对应摆在一个垂直翻转的位置。48这是临界状态。这是一种近似表 述，实际是无规则振荡。 如果e(1，emax)，则z或者总是为正或者总是为负值，有z 0，对应摆 锤围绕垂直轴的顶端旋转。48存在两种相位模式的宏观量子自捕获：一种z |zs|0和另一种z|zs|0，此处是gpe的定态的z对称破裂值。一旦超过 2 )0(1/1z s =， 系统就从第一种相位模式的宏观量子自捕获状态转化成第二种 相位模式的宏观量子自捕获状态。15 当z(0)2zs时，相位(t)变得局域化围绕着，并且保持束缚在所有z(0)的更 大的值时。当z|zs|时，系统就从第一种相位模式的宏观量子自捕获状态转化 成第二种相位模式的宏观量子自捕获状态。15 2.4.2 (0)=的的 running phase mode 自捕获振荡状态自捕获振荡状态 当c时，系统出现自捕获振荡状态。在对称势阱中，布居差和相位差随时 间变化的行为如图2.3。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20 图 2.3 在一个对称势阱中，布居差 z(t)和相位差(t)作为无量纲的时间 t 的函数， 参数取值 z(0)=0.6 和(0)=。取值(g)2.5，和(h)5。 当=2.5时，z的振荡幅度达到最大，出现无规则振荡。这是临界状态。 随着增大，z的振荡幅度逐渐减小， 趋向于z(0)。 这和在(0)=0 的running phase mode自捕获振荡状态中随着增大，z的振荡幅度逐渐增大，趋向于1不同。 2.5 结果和讨论结果和讨论 对称的双阱中的bec的宏观量子现象的动力行为的一个特征是振荡的时间周 期。周期的倒数随初始布居差和临界布居差的比率变化的行为如图2.4。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21 图 2.4 周期的倒数（以 2k 为单位）1/对 z(0)/zc 在(a)(0)=0 和(b)(0)=15 在(0)=0时： 图象的初始部分标记小振幅振荡， 周期的倒数随z(0)增加而减少。 当z(0)/zc达到1时，1/急速下降变成0，表示振荡消失，标记running phase mode 的宏观量子自捕获的开端。15插图中可见z从零变成非零值的锐利上升。 在(0)=时：图象的初始部分标记宏观量子自捕获，周期的倒数随z(0)增加而 增加。当z(0)/zc达到1时，1/急速下降变成0，表示宏观量子自捕获消失。15 对称的双阱中的bec的宏观量子现象的动力行为能被概括成两个动力变量z和 的相位图，如图2.5。在不同的/c值计算轨道，而z(0)=0.6。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 图 2.5 变量 z 和的相平面图。对所有轨道，z(0)=0.6。15 在(0)=0时：初始=0，轨道形成封闭的区域，随/c增加而扩展。当/ c增加并且达到1，轨道封闭的区域扩展并且裂开，标记running phase mode的宏 观量子自捕获的开端。15 在(0)=时：初始=0，轨道形成封闭的区域，随/c增加而收缩。当/ c增加并且达到1，轨道封闭的区域收缩并且被箍缩 ，标记带有z|zs|的相 位模式的宏观量子自捕获的开端。/c进一步增加，在zzs定态的z对称破裂态 时，区域坍缩成一个点。/c的进一步增加导致关于固定点的轨道反射和带有z |zs|的相位模式的宏观量子自捕获。最后，/c增加并且达到某个值时，轨道 封闭的区域扩展并且裂开，标记running phase mode的宏观量子自捕获的开端。15 此外，象宏观量子自捕获这样的非线性效应在超导josephson结中不可观测，此 处外部回路抑制了充能失衡。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 23 3 非对称的双阱中非对称的双阱中 bec 的动力学的动力学 本章通过运用半经典量理论研究了在非对称的双阱(双阱中不同的阱的基态能量 差与其相互作用能的比率e0)中的bec的动力性质。首先计算定态解，然后分 析不同模式的量子隧穿。 另外，局域化在对称的双阱中指自捕获状态，48有时指粒子被放置于某处，如 初始时某数量的粒子被局域化于某个阱中，此时的粒子尚未参与振荡41。鉴于在非 对称的双阱中，非线性相互作用以外的因素，例如能量差也会造成局域化，这不能 被称为自捕获，故而本文采取后一种定义，认为局域化指粒子被放置于某处不参与 振荡。 自捕获在对称的双阱中指由于非线性相互作用，bec呈现的不对称分布的状态， 48但是在 josephson结阵列中指由于非线性相互作用，每个阱中的bec呈现的不扩 散状态41。鉴于在非对称的双阱中，非线性相互作用以外的因素，例如能量差也会 造成不对称分布，这不能被称为自捕获，故而本文采取后一种定义，认为自捕获指 粒子由于非线性相互作用引起的粒子向某个阱中聚集的状态，而单纯由于能量差引 起的粒子从高能向低能阱中聚集的状态(0)=0)仍视为josephson振荡状态(0)= 时情况相反)。 3.1 定态解定态解 在非对称的双阱中，e0，bec的运动方程是 )(sin)(1)( 2 ttztz= ， (3.1a) )(cos )(1 )( )()( 2 t tz tz tzet += ， (3.1b) 此处我们重新定义无量纲的时间tt ?/2，并且有 +4/)(2/ )( 21 0 2 0 1t nuueee， (3.2a) unt/2k，u(u1+u2)/2。 (3.2b) 守恒的能量是 )0(cos)0(12/)0()0( 22 zzezh+=。 (3.3) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 24 3.2 在在e=0 时系统处于零相位模式和时系统处于零相位模式和(0)=0 的的 running phase mode 3.2.1 在在e=0 时系统处于零相位模式时系统处于零相位模式 josephson 振荡状态振荡状态 首先，研究在e=0时系统处于零相位模式josephson振荡状态的情况。在参数 取值z(0)=0.6，(0)=0和=2的非对称势阱中，布居差随时间变化的行为及布居差 和相位差的相平面如图3.1。 图 3.1 在一个非对称势阱中，布居差 z(t)分别作为无量纲的时间 t 和相位差(t)的函数，参数取 值 z(0)=0.6，(0)=0 和=2。e 取值(d)8，(c)4，(b)3.5，(s)1.95，(a)1， (o)0，(a)0.4，(b)0.85，(c)1，和(d)3。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 25 当e= 0 (o线)时，z表现出周期性的振荡行为，且在一个周期内在双阱之间的 交换是完全的，即z= 0，而表现出周期性的振荡行为，且= 0。这是零 相位模式josephson振荡状态。以下通过改变e观察振荡状态的变化。 在e=01.95 (o线s线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐减 小。部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在1阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少，而 局域化在1阱的粒子逐渐增多，即处在较低基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较 高基态能量的2阱转移被逐渐抑制。当e=1.95 (s线) 时，z的振荡幅度为0，即 zz(0)=0.6。原来参与隧穿的粒子全部局域化在1阱，使参与隧穿的粒子达到最少， 为0， 即处在较低基态能量的1阱中的粒子不能通过隧穿向较高基态能量的2阱转移。 这是稳定状态。在e=1.953.5 (s线b线) 的变化过程中，z的振荡幅度逐 渐增大，而振荡周期逐渐减小。部分原来局域化在2阱的粒子开始参与隧穿，使参 与隧穿的粒子逐渐增多，而局域化在2阱的粒子逐渐减少，即处在较高基态能量的2 阱中的粒子通过隧穿向较低基态能量的1阱转移。 在e=03.5 (o线b线) 的 变化过程中， = 0，因此系统处于零相位模式。这是零相位模式josephson振荡 状态。 当e=3.6时，z的振荡幅度达到最大。局域化在2阱的粒子全部参与隧穿， 使参与隧穿的粒子达到最多，而局域化在2阱的粒子达到最少，为0。此时，z和 发生突变且表现出非周期性的振荡行为，并且在此数值的两边系统处于不同的状态。 这是临界状态。 在e=48 (c线d线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐 减小。部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在2阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少， 而局域化在2阱的粒子逐渐增多，即处在较高基态能量的2阱中的粒子通过隧穿向 较低基态能量的1阱转移被逐渐抑制。z0.6。在e=48 (c线d线) 的 变化过程中，随时间变化且不受束缚，因此系统处于running phase mode。这是 running phase mode自捕获振荡状态。 在e=00.85 (o线b线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐增 大。部分原来局域化在1阱的粒子开始参与隧穿，使参与隧穿的粒子逐渐增多，而 局域化在1阱的粒子逐渐减少，即处在较高基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较 低基态能量的2阱转移。在e=00.85 (o线b线) 的变化过程中， = 0， 因此系统处于零相位模式。这是零相位模式josephson振荡状态。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 26 当e=0.9时，z的振荡幅度达到最大。局域化在1阱的粒子全部参与隧穿，使 参与隧穿的粒子达到最多，而局域化在1阱的粒子达到最少，为0。此时，z和发 生突变且表现出非周期性的振荡行为，并且在此数值的两边系统处于不同的状态。 这是临界状态。 在e=13 (c线d线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐减 小。部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在1阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少，而 局域化在1阱的粒子逐渐增多，即处在较高基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较 低基态能量的2阱转移被逐渐抑制。z0.6。在e=13 (c线d线) 的变化过 程中，随时间变化且不受束缚，因此系统处于running phase mode。这是running phase mode自捕获振荡状态。 概括在e=0时系统处于零相位模式josephson振荡状态随e变化的情况如 下：当两个阱的能量差小于临界值时，与初始布居差同号的能量差促使隧穿，抑制 局域化，强化josephson振荡，与初始布居差异号的能量差促使局域化，抑制隧穿， 弱化josephson振荡，直至达到稳定状态，进而达到反向josephson振荡状态，促使 反向隧穿，抑制在另一个阱中局域化，强化反向josephson振荡；当两个阱的能量差 大于临界值时， 能量差促使局域化， 抑制隧穿， 强化running phase mode自捕获振荡。 3.2.2 在在e=0 时系统处于时系统处于(0)=0 的的 running phase mode 自捕获振荡状态自捕获振荡状态 其次，研究在e=0时系统处于(0)=0的running phase mode自捕获状态的情 况。在参数取值z(0)=0.6，(0)=0和=12的非对称势阱中，布居差随时间变化的 行为及布居差和相位差的相平面如图3.2。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 27 图 3.2 在一个非对称势阱中，布居差 z(t)分别作为无量纲的时间 t 和相位差(t)的函数，参数取 值 z(0)=0.6，(0)=0 和=12。e 取值(g)15，(f)12，(e)11.5，(d)10，(s) 7.95，(c)4，(b)0.7，(a)0.6，(o)0，和(a)2。 当e= 0 (o线) 时，z表现出周期性的振荡行为，且在一个周期内在双阱之间 的交换是不完全的，即z 0，而表现出非周期性的振荡行为，且随时间变化 且不受束缚，这是running phase mode自捕获振荡状态。以下通过改变 e观察振 荡状态的变化。 在e=02 (o线a线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐减小。 部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在1阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少，而局域 化在1阱的粒子逐渐增多，即处在较高基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较低基 态能量的2阱转移被逐渐抑制。z0.6。在e=02 (o线a线) 的变化过程中， 随时间变化且不受束缚， 因此系统仍然处于running phase mode。 这是running phase mode自捕获振荡状态。 在e=00.6 (o线a线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐增 大。部分原来局域化在1阱的粒子开始参与隧穿，使参与隧穿的粒子逐渐增多，而 局域化在1阱的粒子逐渐减少，即处在较低基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较 高基态能量的2阱转移。在e=00.6 (o线a线)的变化过程中，随时间变 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 28 化且不受束缚，因此系统仍然处于running phase mode。这是running phase mode自 捕获振荡状态。 在e=0.630077 时，z的振荡幅度达到最大。参与隧穿的粒子达到最多，而 局域化在1阱的粒子达到最少。 此时，z和发生突变且表现出非周期性的振荡行为， 并且在此数值的两边系统处于不同的状态。这是临界状态。 在e=0.77.95 (b线s线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期 逐渐减小。部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在 1 阱，使参与隧穿的粒子逐渐减 少，而局域化在 1 阱的粒子逐渐增多，即处在较低基态能量的 1 阱中的粒子通过隧 穿向较高基态能量的 2 阱转移被逐渐抑制。当e=7.95 (s线) 时，z的振荡幅度为 0，即zz(0)=0.6。原来参与隧穿的粒子全部局域化在1阱，使参与隧穿的粒子达到 最少，为0，即处在较低基态能量的1阱中的粒子不能通过隧穿向较高基态能量的2 阱转移。这是稳定状态。在e=7.9511.5 (s线e线) 的变化过程中，z的 振荡幅度和振荡周期逐渐增大。部分原来局域化在2阱的粒子开始参与隧穿，使参 与隧穿的粒子逐渐增多，而局域化在2阱的粒子逐渐减少，即处在较高基态能量的2 阱中的粒子通过隧穿向较低基态能量的1阱转移。在e=0.711.5 (b线e 线) 的变化过程中，= 0， 因此系统处于零相位模式。 这是零相位模式josephson 振荡状态。 在e=11.6 时，z的振荡幅度达到最大。局域化在2阱的粒子全部参与隧穿， 使参与隧穿的粒子达到最多，而局域化在2阱的粒子达到最少，为0。此时，z和 发生突变且表现出非周期性的振荡行为，并且在此数值的两边系统处于不同的状态。 这是临界状态。 在e=1215 (f线g线) 的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐 渐减小。部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在2阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少， 而局域化在2阱的粒子逐渐增多，即处在较高基态能量的2阱中的粒子通过隧穿向 较低基态能量的1阱转移被逐渐抑制。z0.6。 在e=1215 (f线g线) 的 变化过程中，随时间变化且不受束缚，因此系统处于running phase mode。这是 running phase mode自捕获振荡状态。 概括在e=0时系统处于(0)=0的running phase mode自捕获振荡状态随e 变化的情况如下：当两个阱的能量差与初始布居差同号时，能量差促使局域化，抑 制隧穿，强化running phase mode自捕获振荡。当两个阱的能量差与初始布居差异号 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 29 时，分三种情况：当能量差小于第一个临界值时，能量差促使隧穿，抑制局域化， 即弱化running phase mode自捕获振荡。当两个阱的能量差大于第一个临界值，并且 小于第二个临界值时，能量差促使局域化，抑制隧穿，即弱化josephson振荡，直至 达到稳定状态，进而达到反向josephson振荡状态，促使反向隧穿，抑制在另一个阱 中局域化，强化反向josephson振荡。当两个阱的能量差大于第二个临界值时，能量 差促使局域化，抑制隧穿，强化running phase mode自捕获振荡。 3.2.3 结论结论 由此可以得到结论：当系统处于零相位模式josephson振荡状态时，能量差会促 使粒子从较高基态能量的阱向较低基态能量的阱转移，抑制粒子从较低基态能量的 阱向较高基态能量的阱转移，类似水向低处流；当系统处于running phase mode自捕 获振荡状态时，能量差会促使粒子从较低基态能量的阱向较高基态能量的阱转移， 抑制粒子从较高基态能量的阱向较低基态能量的阱转移，类似水向高处流。 3.3 在在e=0 时系统处于相位模式和时系统处于相位模式和(0)=的的 running phase mode 3.3.1 在在e=0 时系统处于相位模式时系统处于相位模式 josephson 振荡状态振荡状态 首先，研究在e=0时系统处于相位模式josephson振荡状态的情况。在参数 取值z(0)=0.6，(0)=和=1的非对称势阱中，布居差随时间变化的行为及布居差 和相位差的相平面如图3.3。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 30 图 3.3 在一个非对称势阱中，布居差 z(t)分别作为无量纲的时间 t 和相位差(t)的函数，参数取 值 z(0)=0.6，(0)=和=1。e 取值(d)4，(c)2，(b)1，(s)0.15，(a)0.04，(o)0，(a )0.05，(b)0.25，(c)0.4，和(d)4。 当e= 0 (o线)时，z表现出周期性的振荡行为，且在一个周期内在双阱之间的 交换是完全的，即z= 0，而表现出周期性的振荡行为，且= 。这是 相位模式josephson振荡状态。以下通过改变e观察振荡状态的变化。 在e=00.15 (o线s线)的变化过程中，z的振荡幅度和振荡周期逐渐减小。 部分原来参与隧穿的粒子开始局域化在1阱，使参与隧穿的粒子逐渐减少，而局域 化在1阱的粒子逐渐增多，即处在较高基态能量的1阱中的粒子通过隧穿向较低基 态能量的2阱转移被逐渐抑制。当e=0.15 (s线) 时，z的振荡幅度为0。原来参与 隧穿的粒子全部局域化在1阱，使参与隧穿的粒子达到最少，为0，即处在较低基态 能量的1阱中的粒子不能通过隧穿向较高基