（概率论与数理统计专业论文）几类风险模型的破产问题研究.pdf

摘要 本文一共分为五章，其中第一章是风险理论综述以及本文的主要 内容概括。第二章是本文的预备知识。第三、四、7 五章是本文的主要 内容，本文主要运用递推方法以及鞅方法研究了三种特殊的风险模型 的若干问题。 第三章讨论了连续型带利率、保费收取是负二项分布过程的更新 风险模型。该模型是对j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n h 5 1 中的带利率 更新风险模型的一个推广，文5 1 中的保费收取是常数费率连续收取。 考虑到现在许多新险种的保赞收取都是随机收取的，因此本文在文”副 中模型的基础上进一步假设保费收取是负二项分布过程，利用鞅方法 以及递推方法推导了破产概率上界，接着还分析了破产时的赤字分 布。 第四章考虑离散型带利率风险模型。相对于连续型破产模型，离 散型破产模型更具实际意义，在具体数值计算上相对来说更简便。最 常见的离散型风险模型是复二项风险模型。考虑到利率对保险公司盈 余的影响，在模型中加入利率因素，例如：孙丽娟，顾岚4 1 分析常利 率离散型风险模型。本文对他们的模型进行推广，把常利率推广为随 机利率，进一步假设利率是独立同分布随机变量，得出破产概率的上 界，并利用递推方法推导了破产赤字分布以及破产前瞬间盈余分布满 足的关系式。 第五章研究了含有正、负风险和的风险模型。这种风险模型有其 实际背景。典型的负风险和过程是寿险年金保险。一个较大的寿险保 险公司除了寿险年金保险外，常常还有像人身意外伤害保险等这样的 险种，而后者的风险模型可由正风险和过程描述。本章主要通过递推 方法和鞅方法得出生存概率所满足的积分方程以及破产概率上界。 关键词破产概率，鞅，递推方法，破产时赤字分布，破产前瞬间盈 余 a b s t r a c t t h e r ea r ef i v e c h a p t e r s i nt h i s p a p e r i n t h ef i r s t c h a p t e r ，w e s u m m a r i z et h er i s kt h e o r ya n dt h em a i nc o n t e x to ft h i sp a p e r t h es e c o n d c h a p t e ri st h eb a s i ck n o w l e d g eo f t h ep a p e r a n dt h el a s tt h r e ec h a p t e r sa r e t h em a i np a r t so ft h ep a p e r i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s s e ds o m ep r o b l e m so f t h r e es p e c i a lr i s km o d e l sb yr e c u r s i v em e t h o da n dm a r t i n g a l em e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dt h ec o n t i n u o u s t i m er e n e w a lr i s k m o d e lw i t hi n t e r e s t ，a n di t sp r e m i u mi san e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n p r o c e s s t h i sm o d e li sa m e l i o r a t i o nt ot h er e n e w a lr i s km o d e lo fj u nc a i ， d a v i dc m d i c k s o n 4 5 1 i nj u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n 4 5 1m o d e l ，t h e p r e m i u mi sac o n s t a n ta n dc o n t i n u o u s b u ti nr e a lw o r l d ，m o r ea n dm o r e c o m p a n i e sr e c e i v et h e i rp r e m i u ms t o c h a s t i c s oi n t h i sc h a p t e r ，w e a s s u m et h ep r e m i u mi san e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o np r o c e s sb a s i n g t h er e n e w a lr i s km o d e lo fj u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n t 4 5 1 f i r s t ，w e d i s c u s s e dt h eu p p e r - b o u n do fr u i np r o b a b i l i t yb yr e c u r s i v em e t h o da n d m a r t i n g a l em e t h o d t h e nw ea n a l y s i st h ed e f i c i t a tr u i nb yr e c u r s i v e m e t h o d i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dd i s c r e t e t i m ei n t e r e s tr i s km o d e l 。 d i s c r e t e t i m er i s km o d e lh a v em o r e p r a c t i c em e a n i n g s t h a n c o n t i n u o u s t i m er i s km o d e li nt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h ec o m m o n d i s c r e t e t i m er i s km o d e li sc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l c o n s i d e rt h e e f f e c to ft h ei n t e r e s t ，w et a k ei n t e r e s ti n t ot h ea c c o u n t f o re x a m p l e ，l i j u a n s u na n dl a ng u s t u d yt h ec o n s t a n ti n t e r e s td i s c r e t e - t i m er i s km o d e l i n t h i sc h a p t e r ，t h em o d e li sm o r eg e n e r a l w ea s s u m et h ei n t e r e s t si si i d r a n d o mv a r i a b l e sa n dg e tt h er u i np r o b a b i l i t y su p p e r - b o u n d t h e nw e d i s c u s s e dt h ed e f i c i ta tr u i na n dt h es u r p l u sp r i o rt or u i n i nt h ef i f t h c h a p t e r ，w es t u d ya r i s k p r o c e s s w i t hp o s i t i v ea n d n e g a t i v e r i s ks u m s t h ec o m m o nn e g a t i v er i s ks u m sp r o c e s si sl i f e a n n u i t yi n s u r a n c e ab i gl i f ei n s u r a n c ec o m p a n yh a sl i f ea n n u i t yi n s u r a n c e a n dp e r s o n a la c c i d e n ti n s u r a n c ea l s o t h el a t e rc a nb ed i s c r i p t e db y p o s i t i v e r i s ks u m s p r o c e s s b y r e c u r s i v em e t h o da n d m a r t i n g a l e m e t h o d ，w ed e r i v et h ei n t e g r a le q u a t i o nf o rt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t ya n d o b t a i nt h ee x p o n e n t i a li n e q u a l i t yf o rt h er u i np r o b a b i l i t y k e yw o r d s ：r u i n p r o b a b i l i t y ，m a r t i n g a l em e t h o d ，r e c u r s i v em e t h o d ， t h ed e f i c i ta tr u i n ，t h es u r p l u sp r i o rt or u i n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 储虢埤 日期：蛐且月j 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者虢哗新签名举多期：地且月 日 硕十学何论文第一章绪论 1 1 风险理论综述 1 1 1 风险理论的介绍 第一章绪论 风险理论作为保险数学( 也称精算数学) 的一部分，是处理保险业务中的随 机模型。风险模型描述通常如下： u ( t ) = u + c 一墨 其中，【，( f ) 表示时刻t 时保险公司的盈余额，u 为初始盈余，c t 表示时刻t 时总保费收 入，s 表示时刻t 时总索赔额。如果在时刻t 盈余u ( t ) 为负值，我们则称破产发生。 按照总理赔的方式划分，风险模型可以分为个体风险模型、短期聚合风险模 型和长期聚合风险模型三种。个体j x l 险模型总理赔是以每张保单为研究对象，而 聚合风险模型则以每次理赔为研究对象，理焙发生过程由一个点过程来刻画，保 险公司支付给客户的理赔额序列被看作足一列随机变量，目日订讨论的主要是聚合 风险模型。按照保费的收取方式划分，j x l 险模型可以连续模型和离散模型。一般 地，我们主要考虑后一种划分方式。连续模型采用连续收费的原则，即以时间为连 续变化的连续地收费；离散模型采取离散收费的原则，即以一定时问长度为收费 的单位区间，在每个单位区间只收取一次固定的保费。讨论的最多的连续模型是 复合p o s s i o nj x l 险模型，又称经典风险模型；讨论的最多的离散模型是复合二项风 险模型。 关于风险理论的研究，可以根据风险模型的不同提法，针对保险公司运做中 遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行休整、附加各种条件等，使模型更加 接近保险公司的实际运作。这使得风险理论的研究变得非常富有挑战性，所以破 产概率的研究在国际上一直是人们关注的焦点，但在国内，从事这方面研究的人 员还比较少，有关风险理论及其发展和研究现状综合性文献、专著有 彳s 聊船j e ，z 【g e r b e r l 2j 和g 阳咒比f f i l 5 j 。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。破产理论主要应用在经营稳 硕十学位论文第一章绪论 定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法。对于保险公司而言，掌握破 产理论可使公司在激烈的市场竞争中处于有利地位；对保险监管机构而言，利用 破产理论可以更好地对保险市场进行监督。总之，对正在发展着的中国保险市场 而言，研究破产理论有着极其重要的意义。 1 1 2 风险理论的产生与发展 风险理论的研究溯源于瑞典精算师只f i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至尽已有一百多年的历史，首次在这篇论文中提出一类重要的随机过程，即 p o s s i o n 过程。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，以h a r a m c r a m e r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作严格化，使之奠立在孥实的数学基础 之上，与之同时c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认l u n d b e r g 与 c r a m e r 的工作为经典风险理论的基本定理。 这之后，风险理论中最令人瞩目的是方法论的改进。w i l l i a m 凡f f e ，i i o j 用更新 方法证明l u n d b e r g c r a m e r 逼近，h a n sug e r b e r l 2 j 用鞅方法证明了l u n d b e r g 不等式。凡厂和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经典j x l 险理论 的主要数学工具，近期大量文献对经典风险模型作了不同程度的推广，但所使用 的方法基本上不外乎这两种。 由于方法上的改进，近几十年来，j x l 险理论得以快速发展。一方面，对经典风 险理论以多视角作了深入探讨，得到了一些经典风险理论的重要结果，如破产时 赤字、破产前瞬时盈余以及著名的b e e k m a n 卷积公式等。另一方面，对经典风险 模型进行更符合经营实际的推广，诸多推广见1 1 4 节。 1 1 3 经典风险模型 经典风险模型是研究历史最长、理论最完善的风险模型，也是最简瞥的风险 模型。它的严格表述如下： 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有随机变量和随机过程均 定义在此概率空f h j 上，令 v f f l 尺( f ) = “+ c f 一，t o 其中r ( t ) 是保险公司在时刻f 的盈余，“是初始资本，c 是公司每单位时间收取的 保费，x k 表示第k 次的理赔额，( f ) 表示至时刻f 为止发生的理赔次数。 硕十学位论文 第一章绪论 上述模型有三个基本假定： 假定l ( 独立性假定) 设 x 。，k = 1 , 2 ， 是取值于( o ，0 0 ) 的独立同分布的随机 变量序列，记 f ( x ) = p ( x x ) ，v x 0 ， = = n 1 一f ( 工) k ； ( f ) ，t o 是服从参数为五( 五 o ) 的p o s s i o n 过程； 。，k = l ，2 ， 与 j 7 、，( f ) ，t o ) 相互独立。 假定2 ( 相对安全负荷假定) 设c = ( 1 + 目) 舡，其中秒 o ，称为相对安全负 荷。 假定3 ( 调节系数存在唯一性假设)个体理配额的矩母函数 m x ( ，= e e e r x = f e r x d m ) = l + r f e r x 1 一f ( x ) m 至少在包含原点的某个邻域内存在，其次，要求方程 m ( ，) = 1 + r 具有f 解。 若假定卜3 成立，则有风险理论的三大经典结果： ( 1 ) 少( o ) 2 南： ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：( “) e 瑚“，v u 0 。 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 逼近：存在j f 常数c ，使得y ( “) c e 娟“，“j ， 1 1 4 经典风险模型的摧广 。l i m 。( 呐u ) 。：1 ce 一片“ 经典风险模型是研究最为深入的模型，为风险理论的研究奠定了基础，但由 于经典风险模型的构造中有很多假设，不能很好地反映保险公司的经营状况，与 现实生活操作有着很大的差距，因此很多风险理论研究者将其进行推广，使之更 符合的经营实际。这些推广主要有以下几个方面： ( 1 ) 离散风险模型： 考虑在实际中，保险公司对一些重要业务诸如收取保费、支付理赔额的处理 硕十学位论文 第一章绪论 通常是按某个时问段来进行的。例如，在人寿保险中，保险公司以年为单位向投 保人收取一定的保费和支付某笔理赔额。对保险公司来讲，一年内仅可能发生 两种情况：或有一次理赔发生，或没有理赔发生。类似这种情况我们可用复合 二项风险模型来描述： ，、坐) r ( n ) = u + c n 一：x t ，以= 0 ，l ，2 ， 百 其中“是保险公司的初始盈余；c 是公司每单位时1 8 1 收取的保费；x 。( k = 1 , 2 ，) 是第k 次的赔付量，且 x 。，k = 1 , 2 ， 是一列独立同分布的随机变量序列；n ( n ) 表示时问段( o ，z 】内保险公司的赔付次数， g ) ，z = o ，l ，2 ，) 是一列具有参数 p ( o ，1 ) 的二项随机序列。 对于此模型，有许多学者进行了研究。国外，s h i u1 9 j 和w i l l m o t j o j 研究了 最终破产概率以及有限时间内的生存概率；国内c h e n g 和胁研究了生存到 固定时刻以( ，z 0 ) 的概率，在时刻刀恰好发生第k 次赔付，且在时刻行的盈余为某 数d x 0 ) 的概率；龚同朝和杨向群研究了破产时刻d i 的瞬时盈余、破产时刻的 赤字以及到破产时刻为止赔付次数的概率分布；龚同朝和刘永清1 1 3 l 将保单到达 过程进行了推广，讨论了广义复合二项风险模型下的生存概率；孙立娟和顾岚i h j 将利率引入离散风险模型，得到了破产自i 盈余分布、破产持续时问的递推公式。 ( 2 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只经营一 种险种时的情形。但随着保险公司经营规模的f 1 益扩大险种的多元化及新险 种的不断丌发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能 为力了。因此，采用多险种风险模型来拙述实际情况，对于保险公司的经营及监 管部门的监管更具有实际意义。 另外，对于经营n 个险种的保险公司，整个公司的偿付能力与雎个险种都有关 系，这n 个险种在经营中是相互“分散风险的，整个公司的安全性自然与就介 于两个边际之问。通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都足赢利的，为 了长远的计划或稳住长期的客户，对于亏损或赢利低的险种保险公司不能立即 把它们排除市场，而是靠着其它赢利的险种求得暂时的生存。通过改变策略或险 种的更新再寻找赢利的机会。 ( 3 ) 对索赔到达过程的推广： 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更般的点过程来描述索赔到 达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数部是 随机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，因此索赔次 数的强度是随机变化的。例如在机动车中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的 4 硕十学位论文第一章绪论 影响因而用强度不变的齐次p o i s s o n 过程描述赔付次数存在很大的局限性。 g m ，z 如i i j 中详细描述了非齐次p o i s s o n 风险模型、c o x 风险模型、更新风险模型、 平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广。 近年来，很多学者在索赔到达过程上进行了研究。l l u a ns u n 和h a i l i a n g y a n g 怕j 讨论了在索赔到达过程为e r l a n g ( 2 ) 过程的更新j x l 险模型的条件下，破产 前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在i i6 j 的基础上，c c h i l h a n gt s a i 和 l i j u a ns u n l 7j 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联合 分布极其边缘分布，并且比较了e r l a n g ( 2 ) 和e r l a n g ( 1 ) 过程( 即p o s s i o n 过程) 条件下的这些分仃函数；s h u a n r a i n gl i 和j g 口r r 渤l 博1 讨论了在索赔到达过程为 e r l a n g ( n ) 过程的更新j x l 险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破产 时刻、破产自，j 瞬时盈余和破产赤字的联合分布；刘再明教授1 1 9 j 等应用m a r k o v 骨 架过程方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时问分 布以及破产时间与破产时刻自i 后资产盈余的联合分布，由此可以计算一些人们 关心的重要风险指标。 ( 4 ) 对保费收入过程的推广： 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时| 日j 内收取的保费为一常数c ，这 种假设过于理想化了。为此，很多学者在这方面作了推广。孙立娟和顾岚1 2 0 j 认 为不同单位时i 日j 所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服从某一离 散分布，将经典复合p o i s s o n 模型的保单到达推广到和索赔发生独立的p o i s s o n 过程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式；龚同朝 和李风军1 2 l j 将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅方法得出了 此模型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当个体索赔服从指数 分布时破产概率的具体表达式：龚r 朝1 2 2j 在索赔服从指数分前i 的情况下，得到了 有限时i 日j 内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明1 2 3 j 考虑了一类具 有马氏过程调制费率的模型，得到了破产概率满足的积分方程，并且推出了在具 有平稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时破产概率的一个简 洁估计式。 ( 5 ) 对索赔额序列的推广： 经典风险模型研究的是关于“小索赔”情形的风险理论，一个很强的约束是 要求调节系数存在。如果调节系数不存在，则更新理论和鞅方法都无法奏效。 但在实际中，如火灾、冰雹、洪水等灾难性保险都是“大索赔额”的情形。 从 数学的角度来说，对于重尾分布的破产论，就必须启用新的数学工具，如亚指数 分布。这样的研究更适用于火灾、冰雹、洪水等灾难性保险。v k a l a s h n i k o v 和 d k o n s t a n 疗n i d e s1 2 4 j 考虑了在常利率且索赔额满足亚指数分布的条件下，复合 硕十学位论文第一章绪论 p o s s i o n 风险模型的破产概率的渐近公式：唐启鹤1 2 5 j 考虑了在复合p o s s i o n 风险 过程在重尾索赔额的条件下得到了破产概率的一个等价式，并且建立了亚指数 平衡分布的两个重要定。 ( 6 ) 考虑随机干扰： 设赢余过程由下面的式子给出： r ( t ) = “+ c t - - s ( t ) + o w ( t ) ，v t 0 其中u 为保险公司初始盈余，c 为保费率，s ( t ) 为至时刻t 为止的总索赔额，仃 0 ， 扰动项w ( t ) 则是一口厂d m 运动。假定 ( f ) ，0 ) 和 s ( f ) ，t 0 是相互独立的。 此时破产概率( u ) 可分解为： i ( “) = ( “) + y s ( “) 其中( “) 表示因随机扰动而引起的破产，( “) 表示因索赔引起的破产。 这个 模型最早是由g e r b e r 于1 9 7 0 年提出的之后陆续有学者在这方面作出了一些工 作。d u f r e s n e 和g e r b 盯1 2 6 】提出了上述破产概率的分解式；g e r b e r 和l a n d r y 5 7 在 此基础上考虑了贴现罚函数，得到了贴现罚函数满足的更新方程； c c h i l i a n gt s a i 讨论了尺( 7 1 一) 、r ( t ) 和t 的联合分布以及各边缘分布。更 多探讨参见【2 9 】【3 2 】。 ( 7 ) 考虑利率、分红因素的影响： 在保险公司只常的经营活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大 影响外，还有一些不可忽略的因素，如利率、分红。设利率万为常数，则常利率 风险模型可表为 r ( f ) = u e 西+ 何p 一p o l ( 关于量的含义参阅) b s u n d t 和j l t e u g e l s 3 4 j 在常利率的复合p o i s s o n 风险 模型的条件下，得到了破产概率满足的方程，并且给出了其上、下界，对于u = 0 和索赔额指数分布的情形，给出了破产概率的具体表达式吴荣和杜勇宏1 3 5 j 在常 利率的更新风险模型下，利用转移概率得到了风险问题中的几个重要的量和分 布，如破产概率、破产时盈余分布以及破产前瞬时盈余分布的级数展丌式和积分 方程；j u nc a i 和d c m d i c k s o n 3 6 j 在常利率的更新风险模型下，分别利用鞅方法 和递推法给出了破产概率的上界估计，并且对由这两种方法得到的上界进行了 比较；j u nc a i 和d c m d i c k s o n 3 7 】利用中的方法，讨论了一类离散风险模型 的破产概率问题，其中假设利率变化满足一个马氏链。关于这方面更多的文献 可参考【3 8 l1 3 9 】【4 0 】。 对于分红的情形也有很多学者进行了研究。研究的最多的是两类分红： 线性分红和常数分红。t h o r n a ss i e g l 和r o b e r tf r c h y1 4 2 j 考虑了复合p o s s i o n 风 险模型在线性分红、索赔额满足g a m m a 分布的条件下模型的生存概率、分红 6 硕十学位论文第一章绪论 期望以及破产前达到分红值的概率；s h u a n m i n gl i 和j o s eg a r r i d o 【4 3j 对于广义 e r l a n g ( n ) 风险过程在常数分红的假设条件下，得到了g e r b e r s h i u 贴现罚函数 满足的积分方程，并且证明了方程的解与不带分红情形下的贴现罚函数之问的 关系。 1 2 本文的主要内容 本文的主要内容分为三部分。 第三章讨论了连续型带利率、保费收取是负二项分布过程的更新风险模型。 该模型是对j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n t 4 5 i 中的带利率更新风险模型的一个推 广，文【4 5 1 中的保费收取是常数费率连续收取。考虑到现在许多新险种的保费收 取都是随机收取的，因此本文在文f 4 剐中模型的基础上进一步假设保费收取是负 二项分柿过程。利用鞅方法以及递推方法推导了破产概率上界，接着还分析了破 产时的赤字分布。 第四章考虑离散型带利率风险模型。相对于连续型破产模型，离散型破产模 型更具实际意义，在具体数值计算上相对来说更简便。最常见的离散型风险模型 是复二项风险模型。考虑到利率对保险公司盈余的影响，在模型中加入利率因素， 例如：孙丽娟，顾岚【1 4 】分析常利率离散型风险模型。本文对他们的模型进行推 广，把常利率推广为随机利率，进一步假设利率是独立同分和随机变量，得出破 产概率的上界，并利用递推方法推导了破产赤字分布以及破产6 仃瞬徊j 盈余分佰满 足的关系式。 第五章研究了含有f 、负风险和的j x l 险模型。这种风险模型有其实际背景。 典型的负风险和过程是寿险年金保险。一个较大的寿险保险公司除了寿险年会保 险外，常常还有像人身意外伤害保险等这样的险种，而后者的风险模型可由f 风 险和过程描述。本章主要通过递推方法和鞅方法得出生存概率所满足的积分方程 以及l u n d b e r g 不等式。 硕i j 学位论义第- 二章预备知识 第二章预备知识 为了让全文更加清晰、易懂，我们首先把本文中将要用到的基础知识做一下 介绍。 2 1 数学期望、方差 定义2 1 令x 为一个定义在概率空间( q ，f ) 上的随机变量，p 是在f 上的概率， 若x 为离散随机变量，则其数学期望为 胱= 。x ( ( a ) p ( e a )厶_ 一， 若x 为连续随机变量，则其数学期望为 e x = l x ( 缈炒( 缈) 条件期望 记概率空间为( q ，f ，p ) ，g 是f 的某一个子代数，gcf f ( 缈) 是满足 e 蚓 o o 的随机变量。 定义2 2 具有下面性质的随机变量e ( 引g ) 成为关于f ( 缈) 的条件数学期望 ( 1 ) e ( 4 g 1 是g 的可测函数 ( 2 ) 对于任意的a g ，我们有 e ( 善i g ) 尸( d 彩) = 手尸( d f ) 性质2 3设x y 随机变量。 ( 1 ) 如果x 是g 一可测函数，则有e ( 删i g ) = x e ( y i g ) ( 2 ) 若g icg 2 ，则e le ( x fg 2 ) ig ii = e ( x ig , ) ( 3 ) eo - ( x ) 与g 相互独立，则( x t6 ) = e x ( 4 ) ie ( x ig ) l = e x 定义2 4 设x 是一个随机变量，则其方差定义为： v a r ( x ) = e ( x - e x ) 2 。 2 2 随机和 硕i ：学位论文 第- 二章颅备知识 设x 。，x 2 ，x 。，是独立同分布的随机变量，记x ，的分布函数为 f g ) o = 1 , 2 ，刀) ，令x = x 。+ x ：+ + x 。，设x 的分布函数为凡b ) ，则有 r g ) = e g ) 木r g ) 幸宰g ) 。特别地，若x 。，x ：，x 。具有十h 同的分布函数 f ( ) ，则以x ) = f ”( ) 。 设是一只取非负整数值的随机变量，其概率分布为p 。= p in = k 】， k = 0 ，1 ，2 ，： x ，x 2 ，x 是独立同分布的随机变量序列， 令 s = x i + x 2 + + x ，我们约定n = 0 时，s = 0 ，且假定以与n 相互独立， 则称s 为随机和，为求和次数。于是有： ( 1 ) e b 】= 科】e x 】 ( 2 ) v 口r s - 阮r 【】( e 【x 】) 2 + e 【】v 以r x 】。 证明( 1 ) 设随机变量的矩母函数为m ( r ) ，则聊o ) = z e 睹p 。； 因为x ，x 2 ，x 独立同分布，所以它们有相同的矩母函数，记为肘( ，) ， m ( r ) = e p = p “d f ( x ) 设随机和s 的矩母函数为m s p ) ， m ，( ，) = p 心 = e e p 心i = e ( m ( r ) ) 牛所( 1 。g m ( ，) ) 舭式两边求导，得m s ( r ) 训。g 肌”铹， 令r = 0 ，则m ；( o ) = m ( o ) m ( o ) ，即e 防】= e 】e x 】。 ( 2 ) 对m s p ) 两次求导，得 m s ( r ) 刊( 1 0 删懈吲0 。g 删盟铲 令，= 0 ，m ；( o ) = m ”( o ) 阻( o ) 】2 + 聊( o ) 沁”( o ) 一阻( o ) 】2 ，即 e b2 】= e 2 】( e 【d 2 + e 【】v a r 防】 又助r b 】= e b 2j 一仁陋d 2 ，可得 w r s 】_ v a r i n ( e 【x 】) 2 + e n l w r x 】。 证毕。 此外，随机和s 的分布函数计算如下： 尽g ) = p s 5 】- e p g - o ，当h _ 0 时 尸( m 2 ) = o ( h ) 有独立增量 ( 3 ) 尸( n o = 0 ) = 1 有平稳增量 几乎处处有序 有独立增量 ( 4 ) 尸( n o = 0 ) = 1 对任意的h 0 ，当h - - 0 时 p ( f p 。= 1 ) = 2 h + d ( 力) ，尸( 2 ) = d ( 办) 有独立增量 ( 5 ) p ( n o = 0 ) = 1 对于任意诈整数尼，实数0 t 。 0 没有重点。 定义2 7 计数过程 ：f 0 ) 个，j 、, p 1 蚁7 - 叶】r i i i - u 可强i 度五( f ) 的泊松过程( p o i s s o np r o c e s s w i t ht i m e - - d e p e n d e n ti n t e n s i t y ) 如果它满足下列条件： ( 1 ) p ( n o = 0 ) = 1 ( 2 ) 对任意的h 0 ，t 0 p ( m p 。= 1 ) = 兄( f ) + d ( 办) p ( f h 。2 ) = d ( j i z ) ( 3 ) 有独立增量 这里的兄( f ) 是r 上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 硕i ：学位论义第- 二章预备知识 人( f ) = 兄( s 定义的函数称作过程的累积强度函数。 定义2 8 有限值计数过程 l ：f 0 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下条件： ( 1 ) p ( n o = 0 ) = l ( 2 ) 对任意的h 0 ，t 0 p ( ，+ 。2 ) = d ( 五) ( 3 ) 有独立增量 定义2 9 随机过程 墨；f 0 称作复合尸d 船f d 刀过程，如果它可以表示为如下的形 式：对任意的t 0 n 置= k 其中 ，；f 0 是带时齐强度a ( f ) p o s s f 0 ，z - - 过4 程， k ，甩= l ，2 ，) 是独立同分布的 随机变量序列，并且过程 ，；f 0 和序列 r ，珂= l ，2 ， 是相互独立的。 特别地，若 m ；f 0 ) 的强度为常数a ，；g z , m ；f 0 ) 就是齐次p o i s s o n 过程。 对于这样的复合p o s s i o n 过程，有如下重要定理： 引理2 1 0 设s ，足，瓯为相互独立的复合p o s s i o n 过程，则我们有 s = 巧， f = 1 ，2 ，k 其中 f ( f ) ；f 0 相互独立而且f ( f ) 是参数为a i 的齐次p d s s f o n 过程， 对于同一个， 巧 为独立同分布的随机序列( 简记作r ) ，其分布函数为气( y ) ， 则 s = s ，= i 还是一个复合p o s s i o n 过程，设为 ( f ) s = z fj 二_ _ l 七 l i i 其中( f ) 是参数为a = a i 的齐次凡邸f d 胛过程且 = 去a ，气( z ) v ，2 i 本定理的证明参见1 4 4 1 。 2 2 2 更新过程 定义2 1 1 设 z ，刀= 1 ，2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们的共同 分布函数是f ( x ) ，如果我们把瓦看作是一个点过程的第，l 1 个和第n 个点事件 之间的时间间距，则第，1 个点事件的发生时间是 第二章预得知识 s = z ， 甩l 再定义品= 0 ，我们把由 ，= s u p n ：最t 定义的计数过程 m ：t 0 称作更新过程。 更新过程大体分为普通更新过程，延迟更新过程和平衡更新过程三类。普通 更新过程也就是我们上面的定义，而对于其它的两类更新过程这罩有必要稍微交 代一下： 定义2 1 2 设 瓦，z = l ，2 ，) 是一串相互独立的点间白j 距，其中第一个点间间距巧 有分柿g ，其余的 瓦，z = 2 ， 有共同分布函数是f ( x ) ，我们令： 氐= o ，邑= z ， 以1 n d = s u p n ：s ，s t 则我们称n o = s u p n ：毛t ) 为延迟更新过程。 定义2 1 3 在上面的定义中若g ( f ) = 去f ( 1 一f ( x ) 炒其中“为分布函数尸( j ) 的 数学期望。则这样的延迟更新过程就称为平衡更新过程。 2 4 鞅 定义2 1 8 设在概率空间( q f ，p ) 上有一个非降盯一代数族 f ；f t 以及实随 机过程 专；f t ) ，若随机过程 鲁；f t 对( q ，f ，p ) 适应，则称为 专；f 丁 鞅，如果 满足e 旧l 而且对于任意j t ，有e ( 鲁ic ) = 晏成立。 定义2 19 设在概率空问( q ， ，p ) 上有一个非降仃一代数族 f ；f t ，一个取值丁 t w ( 0 0 1 的随机变量f ( 珊) 称为一个相对于它的停时，如果对于v t t ，有 ( 2 2 ，f ( 国) t f 成立。 引理2 2 0 如果m ( f ) 为一个鞅，r 是一个停时，那么过程 m ( t r ) 是一个鞅，尤 其是对于任何的f ，我们有e m ( t f ) = e m ( 0 ) 。 引理2 2 1若m ( f ) ，0 t t 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程h ( t ) 满 足：e f 日2 ( s ) 出 ，肘( f ) = m ( o ) + 点日( j ) 出 引理2 2 2 若( f ) 为一个可料过程，满足e h 2 ( j ) 幽 ，则 y ( t ) = efh 2 ( 5 ) 拈( 5 ) 0 f t 是一个平方可积鞅。 引理2 2 3 若m ( t ) 为一个鞅，则 ( 1 ) 若r k 0 ，0 o 表示单位时| 日j 早收取的保 费。那么更新破产模型为： u ( f ) = u + c t - z ( t ) ，t 0( 3 2 ) 本文对该模型进行扩展，假设盈余以利息力万 0 积累，并且保费的收取 1 6 硕l ：学位论义 第三章连续时问带利率风险模型 次数是负二项分布过程m ( t ) ，且m ( f ) 有